专题03 三角形相关反比例函数存在性问题分类训练（6种类型48道）（高效培优期末专项训练）九年级数学上学期湘教版

专题03 三角形相关反比例函数存在性问题分类训练 （6种类型48道） 考点01 反比例函数存在性问题（等腰三角形） 考点02 反比例函数存在性问题（直角三角形） 考点03 反比例函数存在性问题（等腰直角三角形） 考点04 反比例函数存在性问题（等边三角形） 考点05 反比例函数存在性问题（全等三角形） 考点06 反比例函数存在性问题（相似三角形） 考点01 反比例函数存在性问题（等腰三角形） 1．如图，反比例函数的图象与一次函数的图象交于两点，． (1)求反比例函数与一次函数的函数关系式； (2)根据图象，直接回答：当x取何值时，一次函数的值大于反比例函数的值； (3)在y轴上找一点P，使得点A，O，P构成以为腰的等腰三角形，直接写出满足条件的点P的坐标． 2．如图，在平面直角坐标系中，矩形的顶点为坐标原点，顶点、分别在轴、轴上，顶点的坐标为．反比例函数的图象与交于点，与交于点．连接，，． (1)若点是的中点，求反比例函数的解析式及点的坐标； (2)若的面积为，求反比例函数的解析式； (3)在的条件下，点是反比例函数图象上的一点，若是以为底边的等腰三角形，求点的坐标． 3．【问题背景】 在平面直角坐标系中，矩形的顶点与坐标原点重合，在轴的正半轴上，，，对角线，相交于点． 【构建联系】 （1）如图1，若将矩形向右平移2个单位长度，使得双曲线经过点，求该双曲线的解析式． 【深入探究】 （2）如图2，若将矩形向右平移个单位长度，使过点的双曲线分别与，交于点，．连接， ①若，求的值． ②若为等腰三角形，求的值． 4．如图，一次函数与轴交于点，与反比例函数分别交于点C、，连接，．作轴于点E，且． (1)求一次函数关系式和k的值； (2)点M是轴上一点，是否存在点M，使点M、O、C为顶点的三角形是等腰三角形，若存在，请直接写出点M的坐标；若不存在，请说明理由． 5．如图，在平面直角坐标系中，矩形的顶点的坐标为，落在轴和轴上，是矩形的对角线．将绕点逆时针旋转，使点落在轴上，得到，与相交于点，反比例函数的图象经过点，交于点． (1)填空：的值等于_____． (2)请判断与的位置关系，并说明理由． (3)在线段OA上存在这样的点P，使得以FG为腰的是等腰三角形．请直接写出点的坐标． 6．如图，在平面直角坐标系中，是坐标原点，点在反比例函数的图象上，过点的直线交轴于点． (1)求和的值； (2)求的面积； (3)点在轴上，当为等腰三角形时，直接写出点的坐标． 7．如图，一次函数的图象与反比例函数（k为常数且）的图象交于，B两点． (1)求此反比例函数的表达式及点B的坐标； (2)在x轴上找一点C使的周长最小，求点C坐标； (3)在y轴上是否存在一点P，使A、O、P的三点围成等腰三角形，若存在直接写出点坐标；若不存在请说明理由． 8．如图，一次函数的图象与y轴正半轴交于点C，与反比例函数的图象交于A，B两点，已知，点B的纵坐标为3． (1)求反比例函数的表达式； (2)当时，直接写出x的取值范围； (3)若点P是在y轴上一动点，当为等腰三角形时，求点P的坐标． 考点02 反比例函数存在性问题（直角三角形） 9．如图，在平面直角坐标系中，一次函数（，为常数，）的图象与反比例函数（）的图象交于、两点． (1)求一次函数和反比例函数的表达式； (2)结合图形，请直接写出关于的不等式的解集； (3)点是轴上的一点，若是以为直角边的直角三角形，请直接写出的值． 10．如图，已知，是一次函数的图象与反比例函数的图象的两个交点． (1)求反比例函数的解析式； (2)求的面积； (3)在坐标轴上有一点P，使得是直角三角形，直接写出点P的坐标． 11．如图，在平面直角坐标系中，菱形的顶点的坐标为，顶点的坐标为，对角线轴，边所在的直线与反比例函数的图象在第一象限内交于点． (1)求和的函数表达式． (2)是x轴上一动点，当是以为斜边的直角三角形时，点的坐标为_______． 12．综合运用： 如图，已知，是一次函数的图象与反比例函数的图象的两个交点． (1)求反比例函数和一次函数的解析式； (2)求的面积； (3)在坐标轴上是否存在一点P，使是直角三角形？若存在，请求出所有满足条件的点P的坐标． 13．如图，一次函数与反比例函数的图象交于点和点，与轴交于点． (1)求一次函数与反比例函数的表达式； (2)过点作轴于点，点是反比例函数在第一象限的图象上一点，设直线与线段交于点，当时，求点的坐标： (3)在（）的条件下，点是直线上的一个动点，当是以为斜边的直角三角形时，求点的坐标． 14．已知：如图，直线与函数的图像交于A，B两点，且与x，y轴分别交于C，D两点． (1)若直线与直线平行，且面积为2，求m的值； (2)若的面积是的面积的倍，过A作轴于E，过B作轴于F，与交于H点． ①求的值； ②求k与m之间的函数关系式． (3)若点P坐标为，在（2）的条件下，是否存在k，m，使得为直角三角形，且，若存在，求出k，m的值；若不存在，请说明理由． 15．如图，在平面直角坐标系中，点O为坐标原点，菱形顶点A的坐标为． (1)求过点B的反比例函数的解析式； (2)点D在x轴上，当以B、D、O三点构成的三角形为等腰三角形时，求点D的坐标； (3)反向延长，与反比例函数在交于点F，点Q在x轴上的一点，当以F、Q、B三点构成的三角形为直角三角形时，直接写出Q点的坐标． 16．如图1，在平面直角坐标系中，点，点，直线与反比例函数的图象在第一象限相交于点， (1)求反比例函数的解析式； (2)如图2，点是反比例函数图象上一点，连接，，试问在轴上是否存在一点，使的面积与的面积相等，若存在，请求点的坐标；若不存在，请说明理由； (3)新定义：如图3，在平面内，如果三角形的一边等于另一边的3倍，这两条边中较长的边称为“麒麟边”，两条边所夹的角称为“麒麟角”，则称该三角形为“麒麟三角形”，如图所示，在平面直角坐标系中，为“麒麟三角形”， 为“麒麟边”， 为“麒麟角”，其中，两点在反比例函数图象上，且点横坐标为，点坐标为，当为直角三角形时，求的值． 考点03 反比例函数存在性问题（等腰直角三角形） 17．已知一次函数与反比例函数的图象交于．两点，交轴于点． (1)求反比例函数的表达式和点的坐标： (2)请直接写出不等式的解集； (3)若点关于原点的对称点为，求的面积； (4)点在轴上，使得为等腰直角三角形，且直角顶点为点，则点的坐标为_____． 18．在平面直角坐标系中，直线过点且与y轴平行，直线过点且与x轴平行，直线，与直线相交于点P，点E为直线上一点，反比例函数的图象过点E且与直线相交于点F． (1)若点E是中点，求反比例函数的表达式； (2)连接、、，若的面积为的面积的2倍，求点E的坐标； (3)当E在P点左边时，G是y轴上一点，直接写出所有使得是等腰直角三角形的点G的坐标，并写出求其中一个点G的坐标的过程． 19．如图，函数的图象过点和两点．点C是双曲线上介于点A和点B之间的一个动点，且， (1)求反比例函数解析式及C点的坐标； (2)过C点作，交x轴于点D，交y轴于点E，第二象限内是否存在点F，使得是以为腰的等腰直角三角形？若存在，请求出点F的坐标；若不存在，请说明理由． 20．如图所示，反比例函数（）的图象与一次函数（）的图象交于、两点，直线分别与x轴、y轴交于点C、D． (1)分别求反比例函数和一次函数的解析式； (2)若（）是x轴的正半轴上一动点，过P作x轴的垂线，分别与一次函数的图象和反比例函数的图象交于点M、N，设的长为d，求出d与t之间的函数关系式； (3)在第二象限内是否存在点Q，使得是等腰直角三角形．若存在，请直接写出点Q的坐标，请说明理由． 21．如图，一次函数的图象与反比例函数的图象交于，两点． (1)求此反比例函数的表达式： (2)在轴上存在点，使得的值最小，求的最小值． (3)为反比例函数图象上一点，为轴上一点，是否存在点；使是以为底的等腰直角三角形?若存在，请求出点坐标；若不存在，请说明理由． 22．综合与探究 如图1，已知正比例函数与反比例函数的图象交于点，，且点的横坐标为，点的纵坐标为． (1)求反比例函数的表达式． (2)如图2，将直线向上平移4个单位长度，与坐标轴交于点，，若是轴上的一个动点，分别连接，，求取得最小值时点的坐标． (3)如图3，以点和点为顶点作矩形，使得轴，轴，边交轴于点，是的中点，直线交轴于点，交轴于点，在第二象限内是否存在点，使得为等腰直角三角形，若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由． 23．如图，在平面直角坐标系中，已知直线与x轴交于点A，与y轴交于点B，与反比例函数的图象在第一象限相交于点． (1)求反比例函数的解析式； (2)点，连接，点E是反比例函数图象第一象限内一点，且点E在点C的右侧，连接，，若的面积是的面积的2倍，求点E的坐标； (3)在（2）的条件下，若点M是反比例函数的图象第一象限上的动点，连接，以点D为直角顶点作等腰直角三角形．当顶点F恰好落在直线上时，求M的坐标． 24．如图，函数的图像过点和点． (1)求和的值； (2)将直线向上平移得到直线，交轴于点，交轴于点，交于点，若，求直线的解析式； (3)在（2）的条件下，第二象限内是否存在点，使得为等腰直角三角形？若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由． 考点04 反比例函数存在性问题（等边三角形） 25．如图，函数的图象过点和两点．    (1)求和的值； (2)点是双曲线上介于点和点之间的一个动点，若，求点的坐标； (3)过点作，交轴于点，交轴于点，第二象限内是否存在点，使得是以为腰的等腰直角三角形?若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 26．如图，在平面直角坐标系中，双曲线经过B、C两点，为直角三角形，轴，轴，，． (1)求反比例函数的表达式及点B的坐标； (2)点M是y轴正半轴上的动点，连接、； ①求的最小值； ②点N是反比例函数的图像上的一个点，若是以为直角边的等腰直角三角形，求所有满足条件的点N的坐标． 27．如图，在平面直角坐标系中，点在反比例函数的图象上，过点A作轴于点C．     (1)求反比例函数的表达式； (2)如图，点B在反比例函数的图象上且在点A的右侧，过点B作轴于点D，连接交于点F，若点C是的中点，求的面积； (3)点N在反比例函数的图象上，点M坐标为，若是等边三角形，求m的值． 28．如图，在平面直角坐标系中，点在反比例函数的图象上，过点作轴于点， (1)求反比例函数的表达式； (2)如图，点在反比例函数的图象上且在点的右侧，过点作轴于点，连接、，交于点，若点是的中点，求的面积； (3)点在反比例函数的图象上，点坐标为，为整数，若是等边三角形，求的值．（在直角三角形中，如果一个锐角等于，那么它所对的直角边等于斜边的一半．） 29．点，是反比例函数图象上的两点，轴． （1）如图1，当是边长为2的等边三角形时，求的值； （2）如图2，当时，连接，随着点在反比例函数图象上移动，四边形的面积是否为定值？若是，请用含的代数式表示这个定值；若不是，请说明理由． 30．如图①，在平面直角坐标系中，函数（，为常数，）的图象经过点和，点在该函数图象上运动，已知直线与x轴，y轴分别交于Q，P两点，连接，，，. （1）若是等边三角形，求k的值； （2）当时，若仅存在唯一点M使得的面积等于，求点M的坐标； （3）当时，如图②，过点B作轴分别交、y轴于点C、D，在直线上是否存在一点E，使得是直角三角形，求出所有可能的E点坐标. 31．如图，已知反比例函数y=的图象与正比例函数y=kx的图象交于点A（m，﹣2）． （1）求正比例函数的解析式及两函数图象另一个交点B的坐标； （2）试根据图象写出不等式≥kx的解集； （3）在反比例函数图象上是否存在点C，使△OAC为等边三角形？若存在，求出点C的坐标；若不存在，请说明理由． 32．如图，直线 y=kx与双曲线=－交于A、B两点，点C为第三象限内一点． （1）若点A的坐标为（a，3），求a的值； （2）当k=－，且CA=CB，∠ACB=90°时，求C点的坐标； （3）当△ABC为等边三角形时，点C的坐标为（m，n），试求m、n之间的关系式． 考点05 反比例函数存在性问题（全等三角形） 33．已知点是反比例函数图形上的动点，轴，轴，分别交反比例函数的图像于点、，点是直线上的一点． (1)请用含的代数式表示P、A、B三点坐标． (2)在点P的运动过程中，联结，三角形的面积是否变化，若不变，请求出三角形的面积；若改变，请说明理由． (3)在点P运动过程中，是否存在以为直角边的三角形和三角形全等，如果存在，请求出关于m的方程（不必求解）． 34．综合与探究 如图1，平面直角坐标系中，直线l：y＝2x+4分别与x轴、y轴交于点A，B．双曲线y＝（x＞0）与直线l交于点E（n，6）． （1）求k的值； （2）在图1中以线段AB为边作矩形ABCD，使顶点C在第一象限、顶点D在y轴负半轴上．线段CD交x轴于点G．直接写出点A，D，G的坐标； （3）如图2，在（2）题的条件下，已知点P是双曲线y＝（x＞0）上的一个动点，过点P作x轴的平行线分别交线段AB，CD于点M，N． 请从下列A，B两组题中任选一组题作答．我选择　 　组题． A．①当四边形AGNM的面积为5时，求点P的坐标； ②在①的条件下，连接PB，PD．坐标平面内是否存在点Q（不与点P重合），使以B，D，Q为顶点的三角形与△PBD全等？若存在，直接写出点Q的坐标；若不存在，说明理由． B．①当四边形AGNM成为菱形时，求点P的坐标； ②在①的条件下，连接PB，PD．坐标平面内是否存在点Q（不与点P重合），使以B，D，Q为顶点的三角形与△PBD全等？若存在，直接写出点Q的坐标；若不存在，说明理由． 35．综合与探究 如图1，平面直角坐标系中，直线分别与轴、轴交于点，．双曲线与直线交于点． （1）求的值； （2）在图1中以线段为边作矩形，使顶点在第一象限、顶点在轴负半轴上．线段交轴于点．直接写出点，，的坐标； （3）如图2，在（2）题的条件下，已知点是双曲线上的一个动点，过点作轴的平行线分别交线段，于点，． 请从下列，两组题中任选一组题作答．我选择组题． A．①当四边形的面积为时，求点的坐标； ②在①的条件下，连接，．坐标平面内是否存在点（不与点重合），使以，，为顶点的三角形与全等？若存在，直接写出点的坐标；若不存在，说明理由． B．①当四边形成为菱形时，求点的坐标； ②在①的条件下，连接，．坐标平面内是否存在点（不与点重合），使以，，为顶点的三角形与全等？若存在，直接写出点的坐标；若不存在，说明理由． 36．如图，直线AP的解析式y＝kx+4k分别交于x轴、y轴于A、C两点，与反比例函数y＝（x＞0）交于点P．且PB⊥x轴于B点，S△PAB＝9． （1）求一次函数解析式； （2）点Q是x轴上的一动点，当QC+QP的值最小时，求Q点坐标； （3）设点R与点P同在反比例函数的图象上，且点R在直线PB的右侧，作RT⊥x轴于T点，交AC于点M，是否存在点R，使得△BTM与△AOC全等？若存在，求点R的坐标；若不存在，说明理由． 37．已知边长为4的正方形ABCD，顶点A与坐标原点重合，一反比例函数图象过顶点C，动点P以每秒1个单位速度从点A出发沿AB方向运动，动点Q同时以每秒4个单位速度从D点出发沿正方形的边DC→CB→BA方向顺时针折线运动，当点P与点Q相遇时停止运动，设点P的运动时间为t． ⑴求出该反比例函数解析式； ⑵连接PD，当以点Q和正方形的某两个顶点组成的三角形和△PAD全等时，求t值； 38．如图，矩形OABC的顶点B的坐标为(1，2)，反比例函数y＝(0<m<2)的图象与AB交于点E，与BC交于点F，连接OE、OF、EF． (1)若点E是AB的中点，则m＝ ，S△OEF＝ ； (2)若S△OEF＝2S△BEF，求点E的坐标； (3)是否存在点E及y轴上的点M，使得△MFE与△BFE全等?若存在，写出此时点E的坐标；若不存在，说明理由． 39．已知点是反比例函数图形上的动点，轴，轴，分别交反比例函数的图像于点A、B，点C是直线上的一点．    (1)请用含m的代数式表示P、A、B三点坐标． (2)在点P的运动过程中，连接，的面积是否变化，若不变，请求出的面积，若改变，请说明理由． (3)在点P运动过程中，是否存在以为直角边的和全等，如果存在，请求出m的值． 40．如图，一次函数的图象与反比例函数的图象交于第一象限C，D两点，坐标轴交于A、B两点，连结OC，OD（O是坐标原点）． （1）利用图中条件，求反比例函数的解析式和m的值； （2）求△DOC的面积． （3）双曲线上是否存在一点P，使得△POC和△POD全等？若存在，给出证明并求出点P的坐标；若不存在，说明理由． 考点06 反比例函数存在性问题（相似三角形） 41．如图，平面直角坐标系中中，在反比例函数的图象上取点，连接，与的图象交于点，点纵坐标为过点作轴交函数的图象于点，连接、． (1)用含的代数式表示点坐标； (2)若与相似，求出此时的值． (3)过点作轴交函数的图象于点，连接，与交于点与面积的比值是否会发生变化？若变化，请说明理由；若不变，请求出这个的比值． 42．已知在直角坐标平面内，直线分别与轴交于点A、与轴正半轴交于点，． (1)求直线的表达式； (2)点在函数的图象上，连接并延长，交轴于点C，且． ①求点的坐标， ②点在函数的图象上，，交线段于点，连接．当与相似，求点的坐标． 43．如图，平面直角坐标系中，直线经过点，与y轴正半轴交于B点，与反比例函数交于点C，且，轴交反比例函数于点D． (1)求b、k的值； (2)如图1，若点E为线段上一点，设E的横坐标为m，过点E作，交反比例函数于点F．若，求m的值． (3)如图2，在（2）的条件下，连接并延长，交x轴于点G，连接，在直线上方是否存在点H，使得与相似（不含全等）？若存在，请求出点H的坐标；若不存在，请说明理由． 44．如图，函数的图象过点和点B，过点A作轴，（C在A的下方），过点C作轴，与函数的图象交于点D，过点B作于点E，连接． (1)求的面积； (2)延长交于点F，当时，求的长； (3)连接，取中点Q，以线段为较长直角边且Q为直角顶点作，使得与相似，求出点P的坐标． 45．如图，一次函数的图象与x轴和y轴分别交于A、B两点，与反比例函数的图象分别交于C、D两点． (1)动点P在线段上（不与点A、B重合），过点P作x轴和y轴的垂线，垂足为M、N．当矩形的面积为2时，求出点P的位置； (2)在x轴上是否存在点E，使得以A、B、E为顶点的三角形与相似？若存在，求出点E的坐标；若不存在，请说明理由． 46．如图，在平面直角坐标系中，直线与x轴、y轴分别交于点，点D，与反比例函数图象的其中一个交点为点，过点B作轴于点C． (1)填空： _____，点B的坐标为_____，反比例函数的表达式为：_________． (2)在第二象限反比例函数的图象上有一点P，且的面积为3，求点P的坐标． (3)在x轴上是否存在一点M，使得以点M、A、B为顶点的三角形与相似，若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由． 47．如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与反比例函数的图象交于，B两点，与x轴交于点，与y轴交于点E． (1)求反比例函数和一次函数的表达式； (2)F为反比例函数第四象限上一点，过点F作轴于点Q，使与相似，求满足条件的F点坐标； (3)将直线平移，与反比例函数图象交于M，N两点，若，求直线的解析式． 48．如图，直线与双曲线交于，两点，点的坐标为，点是双曲线第一象限分支上的一点，连接并延长交轴于点，且．    (1)求的值并直接写出点的坐标； (2)点是轴上的动点，连接，，求的最小值； (3)点是直线上一个动点，是否存在点，使得与相似，若存在，求出此时点的坐标；若不存在，请说明理由． 1 / 37 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题03 三角形相关反比例函数存在性问题分类训练 （6种类型48道） 考点01 反比例函数存在性问题（等腰三角形） 考点02 反比例函数存在性问题（直角三角形） 考点03 反比例函数存在性问题（等腰直角三角形） 考点04 反比例函数存在性问题（等边三角形） 考点05 反比例函数存在性问题（全等三角形） 考点06 反比例函数存在性问题（相似三角形） 考点01 反比例函数存在性问题（等腰三角形） 1．如图，反比例函数的图象与一次函数的图象交于两点，． (1)求反比例函数与一次函数的函数关系式； (2)根据图象，直接回答：当x取何值时，一次函数的值大于反比例函数的值； (3)在y轴上找一点P，使得点A，O，P构成以为腰的等腰三角形，直接写出满足条件的点P的坐标． 【答案】(1)，． (2)或； (3)或或． 【分析】本题主要考查了反比例函数与一次函数的综合应用、等腰三角形的分类讨论、平面直角坐标系内两点间距离公式，熟练掌握函数交点的求解方法和等腰三角形的分类分析是解题的关键． （1）把点A代入反比例函数求k，再用反比例函数求点B的n，最后将A、B代入一次函数列方程组求m、b； （2）观察图象，找一次函数图象在反比例函数图象上方对应的x范围； （3）分、两种情况，结合距离公式计算P点坐标． 【详解】（1）解：将代入，得， 解得， 所以反比例函数的关系式为． 将代入，得， 解得，即． 将、代入，得 ， 解得，， 所以一次函数的关系式为． （2）解：由（1）得反比例函数的图象与一次函数的图象交于两点，， 结合图形得当或时，一次函数的值大于反比例函数的值． （3）解：∵ ，， ∴， 当时，设，则， 所以或，对应点的坐标为、． 当时，，则 ， ， ， 所以或． 当时，（与点O重合，舍去）； 当时，，对应点的坐标为， 综上，点P的坐标为或或． 2．如图，在平面直角坐标系中，矩形的顶点为坐标原点，顶点、分别在轴、轴上，顶点的坐标为．反比例函数的图象与交于点，与交于点．连接，，． (1)若点是的中点，求反比例函数的解析式及点的坐标； (2)若的面积为，求反比例函数的解析式； (3)在的条件下，点是反比例函数图象上的一点，若是以为底边的等腰三角形，求点的坐标． 【答案】(1)，； (2)； (3)． 【分析】根据点的坐标为和矩形的性质把点、的坐标写出来，根据平面直角坐标系中中点坐标的公式求出点的坐标，利用待定系数法求出反比例函数的解析式，再根据反比例函数的解析式求出点的坐标； 设点的坐标为，则反比例函数的解析式为，根据反比例函数的解析式可知点的坐标为，根据的面积为，可得方程，解方程求出的值即可得到点的坐标为，利用待定系数法求出反比例函数的解析式； 根据是以为底边的等腰三角形，可知，设点的坐标为，利用勾股定理可得，解方程可得，把点的坐标代入反比例函数的解析式中求出即可得到点的坐标． 【详解】（1）解：四边形是矩形，顶点的坐标是， 点的坐标是，点的坐标是， 又点是的中点， 点的坐标为， 把点代入反比例函数， 可得：， 反比例函数的解析式为， 当时， 可得：， 解得：， 点的坐标为， 反比例函数的解析式为，点的坐标为； （2）解：设点的坐标为， 则有， 把点的坐标代入反比例函数， 可得：， 反比例函数解析式为， 当时，， 解得：， 点的坐标为， 如下图所示，过点作轴， ，， ， ， ， ， 解得：， 点的坐标为， 把点代入反比例函数得， 的面积为3，反比例函数的解析式为； （3）解：点的坐标是，点的坐标是， 是以为底边的等腰三角形， ， 设点的坐标为， ， ， 解得：， 又点在反比例函数上， ， 解得：， 点的坐标为． 【点睛】本题考查了矩形的性质、反比例函数图象上点的坐标特征、三角形的面积、勾股定理，解决本题的关键是根据反比例函数的解析式把点的坐标表示出来，再根据三角形的面积公式列方程． 3．【问题背景】 在平面直角坐标系中，矩形的顶点与坐标原点重合，在轴的正半轴上，，，对角线，相交于点． 【构建联系】 （1）如图1，若将矩形向右平移2个单位长度，使得双曲线经过点，求该双曲线的解析式． 【深入探究】 （2）如图2，若将矩形向右平移个单位长度，使过点的双曲线分别与，交于点，．连接， ①若，求的值． ②若为等腰三角形，求的值． 【答案】（1）；（2）①；②3或12 【分析】（1）先求出点的坐标，然后利用待定系数法解题即可； （2）①先利用矩形的性质以及勾股定理求得，从而得到，由题设条件可知，则，，利用待定系数法求得，以及反比例函数解析式，接着先求得的长度，也就是点横坐标，然后代入反比例函数解析式求得其坐标，最后利用三角形面积公式求解即可；②分三种情况分别进行讨论，当时；当时，此时点与点重合；当时；分别表示出点和的坐标，列出方程求解即可． 【详解】解：（1）∵矩形往右平移2个单位，，， ∴， ，，， 对角线，相交于点， 点为的中点， ， 把代入，得．解得． 故该反比例函数的解析式为：； （2）①∵四边形是矩形，，，， ，， ， ， ， 由题设条件可知，则，， 反比例函数的图象经过点、， ，解得， ， 反比例函数解析式为， ∵，即， ∴， ∴，点横坐标为10， 当时，， ， ． ②解：为等腰三角形时，分三种情况讨论： 当时， 四边形是矩形， ， ， ， 将矩形向右平移个单位长度， ， 将点，点的坐标分别代入双曲线得：，解得：； 当时，此时点与点重合， ， 将矩形向右平移个单位长度， ， 将点，点的坐标分别代入双曲线得：，解得：； 当时，设， 将矩形向右平移个单位长度， ，， ， ，解得：， ， 将点，点的坐标分别代入双曲线得：，解得：， ， 与题意不符，故舍去； 综上所述，的值为3或12． 【点睛】本题考查了待定系数法求反比例函数解析式，矩形的性质，等腰三角形的判定与性质，三角形的面积，熟练掌握以上知识点是解题的关键． 4．如图，一次函数与轴交于点，与反比例函数分别交于点C、，连接，．作轴于点E，且． (1)求一次函数关系式和k的值； (2)点M是轴上一点，是否存在点M，使点M、O、C为顶点的三角形是等腰三角形，若存在，请直接写出点M的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)一次函数关系式为，； (2)、、、． 【分析】本题考查一次函数与反比例函数的综合，勾股定理，等腰三角形定义． （1）利用待定系数法求解； （2）分，，三种情况，根据等腰三角形的性质分别求解即可． 【详解】（1）解：将代入中，得：， 一次函数关系式为， 在一次函数图象上， ， ， 将代入， 得：； （2）解：， ． 当时，如图： 点M的坐标为：、； 当时，作轴于点H， 则， ， 点M的坐标为：； 当时，设点M的坐标为， 则， 解得， 点M的坐标为：； 综上可知，存在点M，使点M、O、C为顶点的三角形是等腰三角形，、、、． 5．如图，在平面直角坐标系中，矩形的顶点的坐标为，落在轴和轴上，是矩形的对角线．将绕点逆时针旋转，使点落在轴上，得到，与相交于点，反比例函数的图象经过点，交于点． (1)填空：的值等于_____． (2)请判断与的位置关系，并说明理由． (3)在线段OA上存在这样的点P，使得以FG为腰的是等腰三角形．请直接写出点的坐标． 【答案】(1) (2)，见解析 (3)或 【分析】本题考查的是反比例函数综合运用，掌握三角形相似、等腰三角形的性质等知识是解题的关键．其中（3），要注意分类求解，避免遗漏． （1）利用三角形相似，求出点的坐标即可； （2）利用勾股定理的逆定理即可； （3）把三角形的三边长表示出来，需要分三种情况进行分析，解方程即可． 【详解】（1）四边形为矩形，点的坐标为， ,,， 是由旋转得到的，即， ， ， ， ， ． 点的坐标为， 反比例函数的图象经过点， ， 解得，． 故答案为：． （2）解：；理由如下： 由（1）可知，反比例函数， 点的坐标为， ， 点的坐标为， ，． ， ， 为直角三角形， ． （3）解：设点， 由（2）可知， 点的坐标为，点的坐标为，， ， ∵FG为腰的是等腰三角形，故分一下两种情况， 当时，即， 解得，（负值已舍去）； 当时，，同理可得，（另一个根大于4，已舍）； 综上，点的坐标为或． 6．如图，在平面直角坐标系中，是坐标原点，点在反比例函数的图象上，过点的直线交轴于点． (1)求和的值； (2)求的面积； (3)点在轴上，当为等腰三角形时，直接写出点的坐标． 【答案】(1)； (2) (3) 【分析】（1）将点的坐标分别代入反比例函数和一次函数的表达式，利用函数图象上的点满足函数解析式来求解和的值． （2）先求出点的坐标，得到的长度，再以为底，点的纵坐标为高，利用三角形面积公式求解． （3）设点的坐标为，分别计算、、的长度，然后分、、三种情况，根据等腰三角形的性质列方程求解． 【详解】（1）解：∵ 点在反比例函数的图象上， ∴ ， ∴ ， ∵ 点在直线上， ∴ ， ∴ ； （2）解：对于直线，令，则， ∴ ， ∴ 点的坐标为，则， ∵ 点的纵坐标为， ∴ ； （3）解：设点的坐标为， 则，， ， 当时，， 解得， ∴ 点的坐标为， 当时，， 解得或（舍去，与原点重合）， ∴ 点的坐标为， 当时，， 解得或 ∴ 点的坐标为或 综上，点的坐标为、、、 【点睛】本题主要考查了反比例函数与一次函数的综合应用，涉及函数图象上点的坐标特征、三角形面积公式、等腰三角形的性质，熟练掌握函数图象上点的坐标与函数解析式的关系以及等腰三角形的分类讨论是解题的关键． 7．如图，一次函数的图象与反比例函数（k为常数且）的图象交于，B两点． (1)求此反比例函数的表达式及点B的坐标； (2)在x轴上找一点C使的周长最小，求点C坐标； (3)在y轴上是否存在一点P，使A、O、P的三点围成等腰三角形，若存在直接写出点坐标；若不存在请说明理由． 【答案】(1)， (2) (3)或或或 【分析】本题考查待定系数法求函数解析式，“将军饮马”数学模型，等腰三角形的性质，熟练掌握以上模型与性质是解题的关键， （1）将点代入直线上，可先求出点，即可求出反比例函数解析式，再联立直线和反比例函数解析式可求得点B的坐标； （2）过点作关于轴对称的点，连接，交轴于点，利用数学模型“将军饮马”构造三角形，求出的直线解析式为：，令，得到，从而得到点C坐标； （3）设，根据，，得到，，，使A、O、P的三点围成等腰三角形，需要满足以下三种情况之一：①，②，③，代入后求出值，即可得到坐标． 【详解】（1）解：∵在上， ∴， ∴， ∵在上， ∴， ∴， ∵一次函数与反比例函数交于两点， ∴ 解得：或， ∴． （2）解：过点作关于轴对称的点，连接，交轴于点，此时的值最小，则的周长最小， ∵ ∴， 设的直线解析式为：， ∴ 解得： ∴的直线解析式为：， 令，则， ∴． （3）解：设， ∵，， ∴，，， ∵使A、O、P的三点围成等腰三角形，需要满足以下三种情况之一： ①， ②， ③， 情况①：， 两边同时平方得：， 解得：， ∴； 情况②：， 两边同时平方得：， 解得：（舍去）或， ∴； 情况③：， 两边同时平方得：， 解得：或， ∴或， ∴在y轴上是否存在一点P，使A、O、P的三点围成等腰三角形，点坐标为：或或或． 8．如图，一次函数的图象与y轴正半轴交于点C，与反比例函数的图象交于A，B两点，已知，点B的纵坐标为3． (1)求反比例函数的表达式； (2)当时，直接写出x的取值范围； (3)若点P是在y轴上一动点，当为等腰三角形时，求点P的坐标． 【答案】(1) (2)或 (3)点的坐标为或 【分析】本题考查了一次函数与反比例函数的综合应用，涉及函数表达式求解、函数值大小比较以及等腰三角形的存在性问题，解题的关键是熟练运用函数性质、联立方程求交点，以及分类讨论等腰三角形的情况． （1）先由一次函数与轴交点求，得一次函数表达式，再代入点纵坐标求其坐标，进而求反比例函数值． （2）联立一次函数与反比例函数方程求交点，结合图象确定时的取值范围． （3）设点坐标，求长度，分三种情况，用距离公式求解点坐标． 【详解】（1）解：求反比例函数的表达式： 因为一次函数与轴正半轴交于，且， 所以， 将代入，得，故一次函数表达式为， 点在上，且纵坐标为3，代入得，解得， 所以． 将代入反比例函数，得， 所以反比例函数表达式为； （2）解：当时，的取值范围： 联立 ，代入得，整理为，因式分解得，解得，即交点． 结合图象可知，当时，的取值范围是或； （3）解：设，由， ， 分三种情况讨论： （1）当时： ，解得或，此时或； （2）当时： ， 解得舍去，因与原点重合无法构成三角形）， 此时． （3）当时： ，解得， 此时． 综上，点的坐标为或． 考点02 反比例函数存在性问题（直角三角形） 9．如图，在平面直角坐标系中，一次函数（，为常数，）的图象与反比例函数（）的图象交于、两点． (1)求一次函数和反比例函数的表达式； (2)结合图形，请直接写出关于的不等式的解集； (3)点是轴上的一点，若是以为直角边的直角三角形，请直接写出的值． 【答案】(1)一次函数的表达式为，反比例函数的表达式为 (2)或 (3)或9 【分析】本题考查待定系数法求函数解析式，利用函数图象解不等式，直角三角形存在性问题，掌握相关知识解决问题的关键． （1）将代入反比例函数解析式即可求得反比例函数解析式，再将点代入反比例函数解析式求出点，将代入一次函数解析式求解即可； （2）根据图象和，两点坐标可得出不等式中的取值范围； （3）分情况讨论，当是斜边时，当是斜边时，利用勾股定理即可得答案． 【详解】（1）解：在反比例函数的图象上， ， 反比例函数的解析式为； 又在反比例函数的图象上， ， ∴， 把，代入得： ， 解得， 一次函数解析式为； （2）解：由图象得不等式的解集为或， ∴不等式的解集为或； （3）解：，，， 当是斜边时，作轴，轴交于，过P作轴交的延长线于M，作轴交于G， 在中，由勾股定理得：， 在中，由勾股定理得：， 在中，由勾股定理得：， ∵， ， 解得：， 当是斜边时，作轴，轴，过P作轴交的延长线于M，作轴交于G， 在中，由勾股定理得：， 在中，由勾股定理得：， 在中，由勾股定理得：， ∵， ， 解得：， 的值为：或9． 10．如图，已知，是一次函数的图象与反比例函数的图象的两个交点． (1)求反比例函数的解析式； (2)求的面积； (3)在坐标轴上有一点P，使得是直角三角形，直接写出点P的坐标． 【答案】(1) (2) (3)点P的坐标为或或或 【分析】本题考查了待定系数法、一次函数与反比例函数的交点、一次函数与坐标轴的交点、三角形的面积公式、直角三角形的性质、勾股定理等知识，用分类讨论和方程思想解决问题是解题的关键． （1）先把代入，求得m的值即可； （2）把代入反比例函数的解析式求得n，最后把A，B两点代入即可求得一次函数解析式，再利用一次函数的解析式求得点C的坐标，利用三角形的面积公式即可求解；（3）分三种情况求解：①当时，②当时，③当点P在y轴上， 时，④，逐一分析，即可解答． 【详解】（1）解：∵点在反比例函数的图象上， ∴， ∴反比例函数的解析式为． （2）∵点也在反比例函数的图象上， ∴． ∵点，都在一次函数的图象上， ∴， 解得． ∴一次函数的解析式为． 如图，设直线与x轴交于点C， ∴， ∴． ∵，， ∴ ． （3）当点P在x轴上时，设． ①如图，若， ∵点A的坐标为， ∴点P的坐标为； ②如图，若，则，． ∵是直角三角形， ∴，即， 解得， ∴点P的坐标为． ③当点P在y轴上时，设． 如图，若， ∵点A的坐标为， ∴点P的坐标为； ④如图，若，，则 ，． ∵是直角三角形， ∴， 即， 解得， ∴点P的坐标为． 综上所述，点P的坐标为或或或． 11．如图，在平面直角坐标系中，菱形的顶点的坐标为，顶点的坐标为，对角线轴，边所在的直线与反比例函数的图象在第一象限内交于点． (1)求和的函数表达式． (2)是x轴上一动点，当是以为斜边的直角三角形时，点的坐标为_______． 【答案】(1)， (2)或 【分析】本题考查了一次函数的性质、菱形的性质、勾股定理的运用，掌握利用菱形对角线平行、边长相等的性质确定点的坐标以求解函数表达式，结合勾股定理列方程求轴上动点的坐标是解题的关键. （1）由图形的对称性知，点、关于对称，则 点的坐标为，进而求解； （2）由，即，即可求解． 【详解】（1）解：连接，如图， 四边形为菱形，轴， 由图形的对称性可知，点关于对称． 又点B的坐标为，点C的坐标为， 点的坐标为． 将点的坐标分别代入，得解得 ． 将点的坐标代入：，得， 解得． 故和的解析式分别为：，． （2）或， 设点的坐标为． 由点的坐标，得． 由题意，得， 即， 解得． 故点的坐标为或． 12．综合运用： 如图，已知，是一次函数的图象与反比例函数的图象的两个交点． (1)求反比例函数和一次函数的解析式； (2)求的面积； (3)在坐标轴上是否存在一点P，使是直角三角形？若存在，请求出所有满足条件的点P的坐标． 【答案】(1)， (2) (3)存在，、、或 【分析】此题是反比例函数综合题，主要考查了待定系数法，三角形的面积公式，直角三角形的性质，用分类讨论和方程思想解决问题是解本题的关键． （1）先把点的坐标代入反比例函数，求得的值，把的坐标为，的坐标为代入，即可得到结论； （2）利用一次函数的解析式求得点的坐标，利用即可求解； （3）存在，在轴和轴上分两种情况：①若时，如图所示，利用两点间的距离公式和勾股定理即可求解；②若时，如图所示，过点作轴，垂足为点，即可求解． 【详解】（1）解：点的坐标为在反比例函数的图象上， ， 反比例函数的解析式为， 点的坐标为也在上， ， 的坐标为，的坐标为都在一次函数的图象上， 代入可得： ， 解得， 一次函数的解析式为； （2）解：直线与轴交于点， 当时，可得，解得 ， ， 的坐标为，的坐标为， ； （3）解：①若时，如图所示， 的坐标为， 点的坐标为； ②当时，如图， 设点， ，， 是直角三角形， ， 即， 解得， 点的坐标为． ③当时，如图， 当点在轴上时，设点， ，， 是直角三角形， ， ， 解得， 点的坐标为． ④若时，如图所示， 的坐标为， 点的坐标为． 综上可得点的坐标为、、或． 13．如图，一次函数与反比例函数的图象交于点和点，与轴交于点． (1)求一次函数与反比例函数的表达式； (2)过点作轴于点，点是反比例函数在第一象限的图象上一点，设直线与线段交于点，当时，求点的坐标： (3)在（）的条件下，点是直线上的一个动点，当是以为斜边的直角三角形时，求点的坐标． 【答案】(1)，； (2)； (3)。 【分析】（1）由待定系数法求一次函数与反比例函数的表达式即可； （2）求出点A的坐标，根据四边形与三角形的面积比求出点坐标，得直线的解析式，再与反比例函数解析式联立即可得点坐标； （3）设，根据勾股定理列出关于的方程，解方程即可． 【详解】（1）解：将点代入得， ， 解得：， ∴一次函数的解析式为：． 将点代入， 解得：， ∴反比例函数的解析式为：． （2）解：对于，当时，， ∴点坐标为， 联立与得， ， 解得或（舍去）， 经检验是的解， 当时，， ∴点坐标为， ∵，， ∴． ∴， 设直线的解析式为， 将点代入，得：， 解得：， ∴直线的解析式为， 联立， 解得：，， ∵点在第一象限， ∴． （3）解：∵点在直线上， ∴设， ∵是以为斜边的直角三角形，， ∴， 即， 整理得：， 解得：， ∴点． 【点睛】本题考查了待定系数法求函数解析式，一次函数图象上点的坐标特点，梯形与三角形面积计算，勾股定理，解一元二次方程等知识点．解题关键是根据面积关系求出点坐标及掌握利用勾股定理列出方程． 14．已知：如图，直线与函数的图像交于A，B两点，且与x，y轴分别交于C，D两点． (1)若直线与直线平行，且面积为2，求m的值； (2)若的面积是的面积的倍，过A作轴于E，过B作轴于F，与交于H点． ①求的值； ②求k与m之间的函数关系式． (3)若点P坐标为，在（2）的条件下，是否存在k，m，使得为直角三角形，且，若存在，求出k，m的值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)①；②m与k的关系式为（） (3)存在，，或， 【分析】（1）利用两直线平行得到，从而得到点，设点，根据的面积求出a的值，从而得到点A的坐标，根据待定系数法即可求出m的值； （2）①设，（其中，），由得到，根据三角形的面积公式可推出，而，即可求解； ②由得到，进而有，联立与得，根据根与系数的关系得到，，代入后得到，从而； （3）过点B作轴于点N，，可证明，根据相似三角形的性质得到，即，变形得到，利用得到，进而，由（2）有，，代入后得到，求解即可得到m，k的值，从而可解答． 【详解】（1）解：∵直线与直线平行， ∴， 对于直线，令，则， ∴， ∴， 设， ∵，即， ∴， ∴， ∵点在函数的图像上， ∴； （2）解： ①设，（其中，） ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴． ②对于直线，令，则， ∴， ∴， 由①有， ∴，即， 联立与得， ∴，， ∴，即， ∴m与k的关系式为（）． （3）解：存在k，m，使得为直角三角形，且． 过点B作轴于点N， 若，则 ， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴，即， ∴， ∵，， ∴，， ∴， 即， 由（2）有，， ∴，解得，， 当时，； 当时，； ∴存在k，m，使得为直角三角形，且． 【点睛】本题考查反比例函数与一次函数的综合问题，涉及待定系数法，一元二次方程根与系数的关系，相似三角形的判定及性质，三角形的面积等，解题的关键是熟练掌握反比例函数图像上点的坐标特征和一次函数图像上点的坐标特征；会求反比例函数与一次函数的交点坐标，灵活运用根与系数的关系；会利用相似比计算线段的长． 15．如图，在平面直角坐标系中，点O为坐标原点，菱形顶点A的坐标为． (1)求过点B的反比例函数的解析式； (2)点D在x轴上，当以B、D、O三点构成的三角形为等腰三角形时，求点D的坐标； (3)反向延长，与反比例函数在交于点F，点Q在x轴上的一点，当以F、Q、B三点构成的三角形为直角三角形时，直接写出Q点的坐标． 【答案】(1)； (2)或或或 (3)或 【分析】（1）过点A作轴于E，过B作轴于G．由点A的坐标可求出．再根据菱形的性质可知，轴,即得出，，即，最后利用待定系数法即可求出反比例函数解析式； （2））根据勾股定理得到，①当O为顶点时，根据等腰三角形的性质得到，②当D 为顶点时，，根据菱形的性质得到；③当B为顶点时，根据等腰三角形的性质得到结论； （3）反向延长，与反比例函数在第三象限交于点F，即得出，．设，则，．分类讨论：①以为斜边时，②以为斜边时和③以为斜边时，根据勾股定理分别列出关于t的等式，解出t即可． 【详解】（1）解：过点A作轴于E，过B作轴于G，如图， ∵， ∴， ∴． ∵四边形是菱形， ∴，轴, ∴， ∴， ∴． ∵过B点的反比例函数解析式为， ∴， 解得：， ∴反比例函数解析式为； （2）解：∵， ∴， ①当O为顶点时，， ∴或； ②当D为顶点时，， ∵四边形是菱形， ∴是的垂直平分线， ∴点D与C重合， ∴； ③当B为顶点时，，则， ∴， ∴； 综上所述：D的坐标为或或或； （3）解：如图，反向延长，与反比例函数在第三象限交于点F， ∵， ∴， ∴． 设，则，， ①以为斜边时，， ∴， 解得， ∴Q或； ②以为斜边时，， ∴， 解得， ∴； ③以为斜边时，， ∴， 解得， ∴． 综上所述，Q的坐标为：或或或． 【点睛】本题考查反比例函数与几何综合，菱形的性质，坐标与图形，等腰三角形的判定和性质，勾股定理等知识．正确的作出辅助线是解题关键． 16．如图1，在平面直角坐标系中，点，点，直线与反比例函数的图象在第一象限相交于点， (1)求反比例函数的解析式； (2)如图2，点是反比例函数图象上一点，连接，，试问在轴上是否存在一点，使的面积与的面积相等，若存在，请求点的坐标；若不存在，请说明理由； (3)新定义：如图3，在平面内，如果三角形的一边等于另一边的3倍，这两条边中较长的边称为“麒麟边”，两条边所夹的角称为“麒麟角”，则称该三角形为“麒麟三角形”，如图所示，在平面直角坐标系中，为“麒麟三角形”， 为“麒麟边”， 为“麒麟角”，其中，两点在反比例函数图象上，且点横坐标为，点坐标为，当为直角三角形时，求的值． 【答案】(1) (2)存在，点的坐标为：或； (3) 【分析】本题为反比例函数综合题，主要考查了反比例函数，勾股定理，相似三角形的判定和性质，关键是构造直角三角形和相似三角形是解本题的关键． （1）由待定系数法即可求解； （2）当点在点右侧时，过点作直线，交轴于点，则点为所求点，即可求解；当点在点的左侧时，根据点的对称性即可求解； （3）由题意可知，因此当为直角三角形时，不可能为斜边，有或两种情况讨论．作辅助线构造三垂直模型，证得相似三角形，即可求解． 【详解】（1）设直线的表达式为：， 由点，点得 ，解得 所以直线的表达式为：， 当时，即，则， 即点， 将点的坐标代入反比例函数表达式得：， 即反比例函数的表达式为：； （2）存在，理由： 点是反比例函数图象上一点，则点， 当点在点右侧时， 过点作直线，交轴于点，则点为所求点， 直线的表达式为：，， 则直线的表达式为：， 令，则， 解得：，则点， 则， 当点在点的左侧时， 则点的坐标为：， 即点， 综上，点的坐标为：或； （3）为“麒麟三角形”， 为“麒麟边”， 为“麒麟角”， ， 是直角三角形， 不可能为斜边，即， 或， 如图1，当时，过作轴于，过作轴于， ，， ， ， ，， ， ， ， ， ， ， 点坐标为， ， 此时，点不可能在反比例函数上，故该情况不存在； ②如图2，当时，过作轴于，过作轴交于， ， ， ， ， ， ， ，， 设，， ， ， 点坐标，点坐标． ，在上， ， 解得：； 综上，， 则点的坐标为：， 将点的坐标代入函数表达式得：． 考点03 反比例函数存在性问题（等腰直角三角形） 17．已知一次函数与反比例函数的图象交于．两点，交轴于点． (1)求反比例函数的表达式和点的坐标： (2)请直接写出不等式的解集； (3)若点关于原点的对称点为，求的面积； (4)点在轴上，使得为等腰直角三角形，且直角顶点为点，则点的坐标为_____． 【答案】(1)， (2)或 (3) (4) 【分析】题考查了反比例函数的性质，一次函数与反比例函数的交点，全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的性质，三角形的面积公式等知识，灵活运用这些性质解决问题是解题的关键． （1）将点坐标代入解析式可求，联立方程组，即可求解； （2）结合函数图象，根据一次函数的图象在反比例函数的图象的下方，从而可得答案； （3）过点作，交于点，求出点的坐标，由三角形的面积公式可求解； （4）过点作轴于，轴于，由“”可证，可得，即可求解． 【详解】（1）解：一次函数图象过点， ， ， 反比例函数的图象过点， ， 反比例函数的表达式为， 由， 解得或， 点的坐标为； （2）解：根据图象的解集为：或； （3）解：如图，过点作，交于点， ， 点关于原点的对称点为的坐标为， 把代入， 可得， ， ， ； （4）解：如图，过点作轴于，轴于， ， 为等腰直角三角形， ，， ， ， ， ， ， 点． 故答案为：． 18．在平面直角坐标系中，直线过点且与y轴平行，直线过点且与x轴平行，直线，与直线相交于点P，点E为直线上一点，反比例函数的图象过点E且与直线相交于点F． (1)若点E是中点，求反比例函数的表达式； (2)连接、、，若的面积为的面积的2倍，求点E的坐标； (3)当E在P点左边时，G是y轴上一点，直接写出所有使得是等腰直角三角形的点G的坐标，并写出求其中一个点G的坐标的过程． 【答案】(1) (2)或 (3)或或 【分析】（1）首先根据题意确定点P的坐标，根据点E是中点，求出点E的坐标，直接代入解析式求解即可； （2）当E在P右边时，作轴于M，设，则，然后分别表示出和的面积，根据题意建立方程求解即可；当E在P左边时，作轴于M，设，则，分别表示出和的面积，根据题意建立方程求解即可； （3）分三种情况讨论：当，时，当，时，当，时，分别画出图形进行求解即可． 【详解】（1）解：由题意， ∵点E是中点， ∴， ∴把代入得到， ∴反比例函数的表达式为． （2）解：①如图2中，当E在P右边时，作轴于M． 设，则， ∵，， ∴， ∵， ∴， 解得：或， ∵E在P右边， ∴， ∴此时； ②如图3中，当E在P左边时，作轴于M． 设，则， 同理可得， 解得：或， ∵E在P左边， ∴， ∴此时； 综上所述，当或时，的面积为面积的2倍． （3）解：设，则， ∵当E在P点左边， ∴； ①如图，当，时，作于S点，如图所示： ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，， 即：， 解得：， ∴， ∴， ∴， ∴； ②如图，当，时，作轴于T点， 则同①可证得， ∴， ∴， ∴； ③如图，当，时， ∵， ∴， 又∵， ∴， 又∵，， ∴， ∴，， ∴， 解得， ∴，， ∴此时 综上，或或． 【点睛】本题考查反比例函数与几何综合运用，三角形全等的判定和性质，三角形面积的计算，等腰三角形的性质，理解反比例函数的基本性质，以及反比例函数图象上点坐标的特征是解题关键． 19．如图，函数的图象过点和两点．点C是双曲线上介于点A和点B之间的一个动点，且， (1)求反比例函数解析式及C点的坐标； (2)过C点作，交x轴于点D，交y轴于点E，第二象限内是否存在点F，使得是以为腰的等腰直角三角形？若存在，请求出点F的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)，； (2)存在，点或 ． 【分析】此题考查关于一次函数、反比例函数与动态三角形的综合题，熟练运用待定系数法求函数解析式，准确完整地讨论等腰直角三角形的各种可能的情况是解此题的关键． （1）将、两点的坐标分别代入反比例函数解析式，解方程组得、的值，得到反比例函数解析式，设直线解析式，由点A的坐标可求得此解析式，过点做轴于点，交于点，以为底，由的面积解出点坐标； （2）先用待定系数法求得进而求出直线的解析式，再分两种情况进行讨论：①以为直角边，为直角顶点；②以为直角边，为直角顶点．证明三角形全等并利用点的移动特点写出答案． 【详解】（1）解：函数的图象过点和两点，代入得： ， 解得， 反比例解析式为． ，， 点， 设直线的解析式为：， 把代入，得， 解得， 直线的解析式为：， 过点作轴于点，交直线于点，如图1， 设， ， ， ， 或（不符合题意舍去）， ； （2）解：第二象限内存在点，使得是以为腰的等腰直角三角形，理由如下： ，直线的解析式为，， 设直线的解析式为：， 点在直线上， ，即， 直线的解析式为：， 当时，， ，， 当时，， ，， 根据题意，分两种情况进行讨论： ①以为直角边，为直角顶点，如图1； 过做轴于点，可知：， ， ， 又， ， 又， ， ，， 故点到点的平移规律是：向左移3个单位，向上移6个单位得点坐标， ，且在第二象限， 即； ②以为直角边，为直角顶点，如图2； 同①理得，将点向左移3个单位，向上移6个单位得点坐标，得． 综上所述：点或． 20．如图所示，反比例函数（）的图象与一次函数（）的图象交于、两点，直线分别与x轴、y轴交于点C、D． (1)分别求反比例函数和一次函数的解析式； (2)若（）是x轴的正半轴上一动点，过P作x轴的垂线，分别与一次函数的图象和反比例函数的图象交于点M、N，设的长为d，求出d与t之间的函数关系式； (3)在第二象限内是否存在点Q，使得是等腰直角三角形．若存在，请直接写出点Q的坐标，请说明理由． 【答案】(1)y， (2) (3)或或 【分析】（1）将点A，B坐标代入反比例函数解析式中求出a，m，得出反比例函数解析式和点A，B坐标，最后将点A，B坐标代入直线AB的解析式求解，即可求出一次函数解析式； （2）由题意得，，，得出，，分两种情况得出答案； （3）先求出，，再分三种情况，利用三垂线构造全等三角形求解，即可求出答案． 【详解】（1）解：∵反比例函数（）的图象过、两点， ∴， 解得：， ∴、，反比例函数的解析式是y， ∵一次函数（）的图象过点、， ∴ 解得， ∴一次函数的解析式为； （2）解：由题意得，，， ∴，， 当时，点M在点N的上方，则； 当时，点M在点N的下方，则； 综上，d与t之间的函数关系式为 （3）解：由（1）知，直线的解析式为， 令，则， 令，则，解得， ∴，， ∴，， 如图， ∵是等腰直角三角形， ∴①当，时， 过点Q作轴于H， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴，， ∴， ∴； ②当，时， 过点作轴于点G， 同理可证， ∴，， ∴ ∴； ③当，时， 过点作轴于点K，作轴于点L， 同理可得，， ∴，， ∴设（）， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 综上所述，满足条件的点Q的坐标为或或． 【点睛】此题主要考查了全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的性质，待定系数法，懂得添加辅助线构造全等三角形，掌握分类讨论思想是解题的关键． 21．如图，一次函数的图象与反比例函数的图象交于，两点． (1)求此反比例函数的表达式： (2)在轴上存在点，使得的值最小，求的最小值． (3)为反比例函数图象上一点，为轴上一点，是否存在点；使是以为底的等腰直角三角形?若存在，请求出点坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2) (3)存在点使是以为底的等腰直角三角形，点坐标为或，理由见详解 【分析】（1）把，两点代入一次函数，运用求自变量，函数值的方法即可得到的坐标，再运用待定系数法即可求解反比例函数解析式； （2）如图所示，作点关于轴的对称点，可得，此时的值最小，运用两点之间的距离公式即可求解； （3）根据等腰直角三角形的判定和性质，图形结合分析，分类讨论：当点在点的右侧时；当点在点的左侧时；运用三角形全等的判定和性质列式求解即可． 【详解】（1）解：一次函数的图象与反比例函数的图象交于，两点， ∴把，两点代入一次函数得，，， ∴，即，， 把代入反比例函数得，， ∴， ∴反比例函数的表达式为：； （2）解：如图所示，作点关于轴的对称点， ∴， ∴，此时的值最小， ∴，且， ∴， ∴的最小值为； （3）解：存在，理由如下， 设点，，且， 当点在点的右侧时，如图所示，过点作轴于点，过点作轴交的延长线于点， ∵是以为底的等腰直角三角形，则， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴，且， 解得，， ∴； 当点在点的左侧时，如图所示， 同理可得，，则，且，， ∴， ∴，即， 解得，， ∴； 综上所述，存在点使是以为底的等腰直角三角形，点坐标为或． 【点睛】本题主要考查一次函数与反比例函数的综合，掌握待定系数法求解析式，轴对称最短路径的计算方法，等腰直角三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，两点之间的距离公式等知识的综合是解题的关键． 22．综合与探究 如图1，已知正比例函数与反比例函数的图象交于点，，且点的横坐标为，点的纵坐标为． (1)求反比例函数的表达式． (2)如图2，将直线向上平移4个单位长度，与坐标轴交于点，，若是轴上的一个动点，分别连接，，求取得最小值时点的坐标． (3)如图3，以点和点为顶点作矩形，使得轴，轴，边交轴于点，是的中点，直线交轴于点，交轴于点，在第二象限内是否存在点，使得为等腰直角三角形，若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)取得最小值时点的坐标 (3)存在；或或 【分析】（1）先求出，，然后代入反比例函数解析式，得出答案即可； （2）求出直线的解析式为，得出，作点C关于x轴的对称点，连接，交x轴于点P，连接，根据，得出，说明当最小时，最小，根据两点间线段最短，得出此时最小，即最小，求出直线的解析式为，再求出点P的坐标即可； （3）先求出，再求出直线的解析式为：，得出，，分三种情况：当，时，当，时，当，时，分别画出图形求出结果即可． 【详解】（1）解：∵正比例函数与反比例函数的图象交于点，， ∴A与B关于原点对称， ∵点的横坐标为，点的纵坐标为 ∴点的纵坐标为3，点的横坐标为2， 即，， 把代入得：， ∴反比例函数的表达式为； （2）解：把代入得：， 解得：， ∴直线的解析式为， ∵将直线向上平移4个单位长度，得到直线， ∴直线的解析式为， 把代入得：， ∴， 作点C关于x轴的对称点，连接，交x轴于点P，连接，如图所示： 则点， 根据轴对称可知：， ∴， ∴当最小时，最小， ∵两点间线段最短， ∴此时最小，即最小， 设直线的解析式为，把，代入得： ， 解得：， ∴直线的解析式为， 把代入得：， 解得：， ∴取得最小值时点P的坐标为． （3）解：∵以点和点为顶点作矩形，使得轴，轴， ∴， ∵边交轴于点， ∴, ∵是的中点， ∴， 设直线的解析式为：，把，代入得： ， 解得：， ∴直线的解析式为：， 把代入得：， ∴， 把代入得：， 解得：， ∴， ∴，， 当，时，过点Q作轴于点K，如图所示： ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∴， ∴； 当，时，过点Q作轴于点K，如图所示： ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∴， ∴； 当，时，过点Q作轴于点K，过点N作于点I，如图所示： ∵， ∴四边形为矩形， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴，， ∴， ∴ ∵， ∴， 解得：， ∴， ∴； 综上分析可知：点Q的坐标为或或． 【点睛】本题主要考查了反比例函数的性质，矩形的性质，三角形全等的判定和性质，求一次函数解析式，轴对称的性质，解题的关键是作出辅助线，数形结合，注意进行分类讨论． 23．如图，在平面直角坐标系中，已知直线与x轴交于点A，与y轴交于点B，与反比例函数的图象在第一象限相交于点． (1)求反比例函数的解析式； (2)点，连接，点E是反比例函数图象第一象限内一点，且点E在点C的右侧，连接，，若的面积是的面积的2倍，求点E的坐标； (3)在（2）的条件下，若点M是反比例函数的图象第一象限上的动点，连接，以点D为直角顶点作等腰直角三角形．当顶点F恰好落在直线上时，求M的坐标． 【答案】(1) (2) (3)或 【分析】（1）先求出C的坐标，然后把C的坐标代入求解即可； （2）在x轴正半轴，D的右侧取点G，使，则可得出，，过G作交反比例函数图象于E，连接，，则，利用待定系数法求出直线解析式为，联立方程组求出公共解即可； （3）设，，分M在D的左侧和右侧两种情况讨论，利用证明，得出，，则可得出关于m，n的方程，然后求解即可． 【详解】（1）解：把代入，得， 解得， ∴， 把代入，得， ∴反比例函数的解析式为； （2）解：对于， 当时，则，解得， ∴， 当时，， ∴， ∵， ∴，， 在x轴正半轴，D的右侧取点G，使， ∴， ∴， 过G作交反比例函数图象于E，连接，， 则， 设直线解析式为， 则， ∴， ∴， 联立方程组， 解得或（舍去）， ∴； （3）解：设，， ①如图，当M在D的左侧时， 过D作轴，过M作轴，过F作轴，则， ∵以点D为直角顶点作等腰直角三角形， ∴，， ∴， ∴， ∴，， ∴，， ∴， 解得或（舍去）， ∴， ∴； ②如图，当M在D的右侧时， 过M作轴，过F作轴，则， ∵以点D为直角顶点作等腰直角三角形， ∴，， ∴， ∴， ∴，， ∴，， ∴， 解得或（舍去）， ∴， ∴； 综上，M的坐标为或． 【点睛】本题考查反比例函数的图象及性质，待定系数法求函数解析式，等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定及性质等知识，明确题意，添加合适辅助线，构造全等三角形是解题的关键． 24．如图，函数的图像过点和点． (1)求和的值； (2)将直线向上平移得到直线，交轴于点，交轴于点，交于点，若，求直线的解析式； (3)在（2）的条件下，第二象限内是否存在点，使得为等腰直角三角形？若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)，； (2)； (3)点的坐标为或或 【分析】（1）将和点两点，代入函数，得到二元一次方程组，求解即可得到答案； （2）先利用待定系数法求出直线的解析式为，过点作轴，交轴于点，交于点，设，则，，进而得到，，再根据，求出的值，得到点的坐标，设直线的解析式为，利用待定系数法，即可求出直线的解析式； （3）由直线的解析式，求得，，根据等腰直角三角形的性质，分三种情况讨论：①当点为直角顶点时；②当点为直角顶点时；③当点为直角顶点时，分别构造全等三角形求解，即可求出点的坐标． 【详解】（1）解：函数的图像过点和点， ， 解得：， ，； （2）解：由（1）可知，， ， 设直线的解析式为，则， 解得：， 直线的解析式为， 过点作轴，交轴于点，交于点， 设，则，， ，， ， 即， 解得：，（舍）， ， 直线由直线沿轴向左平移得到， 设直线的解析式为， 将代入得：， 解得：， 直线的解析式为； （3）解：存在，点的坐标为或或，理由如下： 直线交轴于点，交轴于点， 令，则；令，则，解得：， ，， ，， 是等腰直角三角形， ①当点为直角顶点时，此时，， 过点作轴于点， ， ， ， ， 在和中， ， ， ，， ， 点在第二象限， ； ②当点为直角顶点时，此时，， 过点作轴于点， 同①理可得，， ，， ， 点在第二象限， ； ③当点为直角顶点时，此时，， 过点作轴于点，轴于点， ， 四边形是矩形， ，即， ， ， 在和中， ， ， ，， 矩形是正方形， ， ， ， ， 点在第二象限， ； 综上可知，第二象限内存在点，使得为等腰直角三角形，点的坐标为或或． 【点睛】本题考查了待定系数法求反比例函数解析式和一次函数解析式，解二元一次方程组，等腰三角形的性质，全等三角形的判定和性质，正方的判定和性质等知识，作辅助线构造全等三角形是解题关键． 考点04 反比例函数存在性问题（等边三角形） 25．如图，函数的图象过点和两点．    (1)求和的值； (2)点是双曲线上介于点和点之间的一个动点，若，求点的坐标； (3)过点作，交轴于点，交轴于点，第二象限内是否存在点，使得是以为腰的等腰直角三角形?若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)和的值分别为，； (2)， (3)点或。 【分析】（1）将、两点的坐标分别代入反比例函数解析式，解方程组得、的值； （2）设点，过点做轴于点，交于点，以为底，由的面积解出点坐标； （3）先用待定系数法求得进而求出直线的解析式，再分两种情况进行讨论：①以为直角边，为直角顶点；②以为直角边，为直角顶点．再观察图形并利用点的移动特点写出答案． 【详解】（1）解：函数的图像过点和两点， ， 解得， 故和的值分别为，； （2）解：， ， 设直线的解析式为：， 把代入，得，解得， ∴直线的解析式为：， 过点作轴于点，交直线于点，    设， ， ， ， 或（不符合题意舍去） ， （3）解：，直线的解析式为：， 设直线的解析式为：， 点在直线上，， ，即， 直线的解析式为：； 当时，， ∴， 当时，， ∴，    根据题意，分两种情况进行讨论： ①以为直角边，为直角顶点； 如图，过做轴于点，可知：，   ， ， 又， ，又， ， ， 故点到点的平移规律是：向左移个单位，向上移个单位得点坐标， ，且在第二象限， 即； ②以为直角边，为直角顶点；同①理得，将点向左移个单位，向上移个单位得点坐标，得． 综上所述：点或 【点睛】此题考查关于一次函数、反比例函数与动态三角形的综合题，熟练运用待定系数法求函数解析式，准确完整地讨论等腰直角三角形的各种可能的情况是解此题的关键． 26．如图，在平面直角坐标系中，双曲线经过B、C两点，为直角三角形，轴，轴，，． (1)求反比例函数的表达式及点B的坐标； (2)点M是y轴正半轴上的动点，连接、； ①求的最小值； ②点N是反比例函数的图像上的一个点，若是以为直角边的等腰直角三角形，求所有满足条件的点N的坐标． 【答案】(1)， (2)①；②或N() 【分析】本题考查反比例函数的综合应用，涉及待定系数法，全等三角形的判定与性质，对称变换等知识． （1）求出，用待定系数法可得反比例函数的表达式为，令得的坐标为； （2）①作关于轴的对称点，连接交轴于，此时最小，由，，可得，，即可得到答案； ②设，，分两种情况：当为直角顶点时，过作轴，过作于，过作于，由的等腰直角三角形，证明，可得，即可解得，；当为直角顶点时，过作轴于，过作于，同理可得，解得，． 【详解】（1），， ， 将代入得： ， 解得， 反比例函数的表达式为， 在中，令得， 的坐标为； （2）①作关于轴的对称点，连接交轴于，此时最小，如图： ，关于轴对称， ， 当，，共线时，最小，即最小，最小值为的长度， 由（1）知，， ， ， 的最小值是； ②设，， 当为直角顶点时，过作轴，过作于，过作于，如图： 的等腰直角三角形， ，， ， ， ，， ， 解得， ，； 当为直角顶点时，过作轴于，过作于，如图： 同理可得，， ， 解得或（舍去）， ，； 综上所述，的坐标为，或，． 27．如图，在平面直角坐标系中，点在反比例函数的图象上，过点A作轴于点C．     (1)求反比例函数的表达式； (2)如图，点B在反比例函数的图象上且在点A的右侧，过点B作轴于点D，连接交于点F，若点C是的中点，求的面积； (3)点N在反比例函数的图象上，点M坐标为，若是等边三角形，求m的值． 【答案】(1) (2) (3)或 【分析】（1）将代入，求得,即得； （2）根据，点C是的中点，得，求得，求出的解析式 ，得点F坐标，得，即得； （3）①当M在y轴正半轴时， 在延长线上取点G，使得，在延长线上取点H使得，过点N作轴于点I，根据为等边三角形，得，求得，，，证明，得，得，，得，得，，得，得点N坐标，得，解得；②当M在y轴负半轴时，在延长线上取点P，使得，在延长线上取点Q，使得，过点N作轴于点R，根据为等边三角形，得，求得，，得，根据， 得，．求出，，得，得N点坐标为，得，解得． 【详解】（1）解：将代入， 得， 解得, ∴反比例函数的表达式为； （2）解：∵轴，, ∴， ∵点C是的中点， ∴， ∵轴于点D， ∴将代入得， ∴点B坐标为， 设的解析式为， 将代入得， 解得， ∴的解析式为， 将代入，得， ∴点F坐标为， ∴， ∴； （3）解：①当M在y轴正半轴时，如图1， 在延长线上取点G，使得，在延长线上取点H使得，过点N作轴于点I， ∵为等边三角形， ∴， 在中，， ∴， ∴， 设，则， 由勾股定理得， 即， 解得（负值舍去）， ∴，，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴，， ∴， 在中，， ∴， ∴，， ∴， ∴点N坐标为， ∵N为反比例上的点， ∴， 解得， ∵m在y轴正半轴上， ∴； ②当M在y轴负半轴时，如图2． 在延长线上取点P，使得，在延长线上取点Q，使得，过点N作轴于点R， ∵为等边三角形， ∴， 在中，， ∴， ∴， 设，则， 由勾股定理得， 即， 解得（负值舍去）， ∴，，， 同理可证：， ，． 在中，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴N点坐标为， ∵N为反比例上的点， ∴， 解得， ∵m在y轴负半轴上， ∴． ∴综上所述，m的值为或． 【点睛】本题主要考查了反比例函数综合．熟练掌握反比例函数图象和性质，待定系数法求反比例函数和一次函数解析式，三角形面积公式，等边三角形性质，含30度的直角三角形性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，分类讨论，是解题的关键． 28．如图，在平面直角坐标系中，点在反比例函数的图象上，过点作轴于点， (1)求反比例函数的表达式； (2)如图，点在反比例函数的图象上且在点的右侧，过点作轴于点，连接、，交于点，若点是的中点，求的面积； (3)点在反比例函数的图象上，点坐标为，为整数，若是等边三角形，求的值．（在直角三角形中，如果一个锐角等于，那么它所对的直角边等于斜边的一半．） 【答案】(1) (2) (3)的值为1或 【分析】（1）将代入得，于是得到结论； （2）由轴，得到，根据点是的中点，得到，得到点和点横坐标相等，将代入得到，求得点坐标为，解方程得到的解析式为，得到点坐标为，根据三角形的面积公式即可得到结论； （3）①当在轴正半轴时，如图1，在延长线上取点，使得，在延长线上取点使得，过点作轴于点1，得到，在中，，得到，求得，设，则，根据勾股定理得到(负值舍去)，求得，根据全等三角形的性质得到，求得，得到点坐标为，解方程得到； ②当在轴负半轴时，如图2在延长线上取点，使得，在延长线上取点，使得，过点作轴于点，根据等边三角形的性质得到，求得，根据勾股定理得到(负值舍去)，根据直角三角形的性质即可得到结论． 【详解】（1）解：将代入，得，解得：， ∴反比例函数的表达式为． （2）解：∵轴， ∴， ∵点是的中点， ∴，， ∵轴于点， ∴点和点横坐标相等， 将代入得， ∴点坐标为， 设的解析式为，将代入得，解得， ∴的解析式为， 将代入，得， ∴点坐标为， ∴， ∴； （3）解：①当在轴正半轴时，如图1 在延长线上取点，使得，在延长线上取点，使得，过点作轴于点，                图1 ∵为等边三角形， ∴，， 在中，， ∴，， 设，则， 由勾股定理得， 即， 解得（负值舍去）， ∴，，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴，， ∴， 在中，， ∴， ∴，， ∴， ∴点坐标为， ∵为反比例上的点， ∴， 即， ∵为整数且在轴正半轴上， ∴； ②当在轴负半轴时，如图2                  图2 在延长线上取点，使得，在延长线上取点，使得， 过点作轴于点， ∵为等边三角形， ∴，， 在中，， ∴， ∴， 设，则，由勾股定理得， 即，解得（负值舍去）， ∴，，， 同理可证：， ∴，， 在中，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴点坐标为， ∵为反比例上的点， ∴，即， ∵为整数且在轴负半轴上， ∴， ∴综上所述，的值为1或． 【点睛】本题是反比例函数的综合题，考查了待定系数法求函数的解析式，三角形的面积的计算，全等三角形的判定和性质，勾股定理，等边三角形的性质，正确地作出辅助线是解题的关键． 29．点，是反比例函数图象上的两点，轴． （1）如图1，当是边长为2的等边三角形时，求的值； （2）如图2，当时，连接，随着点在反比例函数图象上移动，四边形的面积是否为定值？若是，请用含的代数式表示这个定值；若不是，请说明理由． 【答案】（1）；（2）四边形的面积是，为定值． 【分析】（1）设，过点作轴于点，利用等边三角形的性质，可得，，则，根据反比例函数图象上点的特征即可解得k值； （2）设，过点作于点，利用等腰三角形的性质得到BD，进而得点C坐标，则可求得CD，然后用三角形面积公式即可求得四边形的面积． 【详解】（1）设点，过点作轴于点，则，，如图1， 则． ∵ 点，在同一个反比例函数的图象上， ∴， ∴， ∴． （2）四边形的面积是定值． 证明如下：设，过点作于点，如图2， ∵， ∴，即点的纵坐标为． ∵点在反比例函数的图象上， ∴， ∴， ∴的面积为． ∵， ∴ 四边形的面积是，为定值． 【点睛】本题主要考查了反比例函数与几何图形的综合问题，涉及反比例函数图象上点的坐标特征、等边三角形的性质、等腰三角形的性质、含30º的直角三角形、三角形的面积等知识，解答的关键是认真审题，分析相关信息，利用数形结合等方法进行推理和计算． 30．如图①，在平面直角坐标系中，函数（，为常数，）的图象经过点和，点在该函数图象上运动，已知直线与x轴，y轴分别交于Q，P两点，连接，，，. （1）若是等边三角形，求k的值； （2）当时，若仅存在唯一点M使得的面积等于，求点M的坐标； （3）当时，如图②，过点B作轴分别交、y轴于点C、D，在直线上是否存在一点E，使得是直角三角形，求出所有可能的E点坐标. 【答案】（1）；（2）；（3）满足条件的点E坐标为或或或 【分析】（1）利用等边三角形的性质可得到，分别表示出OA,AB，建立一个k的方程，解方程即可； （2）用待定系数法求出直线的解析式，设出M的坐标，过点M作轴交直线于点N，表示出N的坐标，利用解出k的值，从而可求出M的坐标； （3）分①当时②当时③当时三种情况，分别进行讨论即可. 【详解】解：（1）∵是等边三角形， ∴， 又∵和， ∴，. ∴， 化简得， 解得， 又∵， ∴ （2）可设直线的解析式为， 则有解得 ∴直线的解析式为， 当时，可设， 如图，过点M作轴交直线于点N，则， ∴， ∴， 整理得， ∵仅存在唯一点M使得的面积等于， ∴，解得或0（舍去）， ∴， 将代入得，解得， ∴ （3）当时，，，如图， ①当时， 设直线的解析式为， 则有解得 ∴直线的解析式为，直线的解析式为， 当时，， ∴； ②当时， 设直线的解析式为， 则有解得 ∴直线的解析式为， 当时，， ∴； ③当时，易知，中点为（刚好与C点重合）， ∴， ∵， ∴可得. 综上所述，满足条件的点E坐标为或或或 【点睛】本题主要考查反比例函数与几何综合，一元二次方程的应用，掌握等边三角形的性质，待定系数法及分情况讨论的思想是解题的关键. 难点突破：本题的难点在于第（3）问分类讨论时漏情况，特别的，当点E为直角顶点时，应考虑在两侧分别有一个符合条件的E点. 31．如图，已知反比例函数y=的图象与正比例函数y=kx的图象交于点A（m，﹣2）． （1）求正比例函数的解析式及两函数图象另一个交点B的坐标； （2）试根据图象写出不等式≥kx的解集； （3）在反比例函数图象上是否存在点C，使△OAC为等边三角形？若存在，求出点C的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】（1）y=2x；B（1，2） （2）①当x＞0时，2x2≤2，解得0＜x≤1， ②当x＜0时，2x2≥2，解得x≤﹣1； （3）不存在，见解析 【详解】试题解析：（1）把A（m，﹣2）代入y=，得﹣2=，解得m=﹣1， ∴A（﹣1，﹣2）代入y=kx， ∴﹣2=k×（﹣1），解得，k=2， ∴y=2x， 又由2x=，得x=1或x=﹣1（舍去）， ∴B（1，2）， （2）∵k=2， ∴≥kx即为≥kx ①当x＞0时，2x2≤2，解得0＜x≤1， ②当x＜0时，2x2≥2，解得x≤﹣1； （3）①当点C在第一象限时，△OAC不可能为等边三角形， ②如图，当C在第三象限时，要使△OAC为等边三角形，则|OA|=|OC|，设C（t，）（t＜0）， ∵A（﹣1，﹣2） ∴OA= ∴t2+=5，则t4﹣5t2+4=0， ∴t2=1，t=﹣1，此时C与A重合，舍去， t2=4，t=﹣2，C（﹣2，﹣1），而此时|AC|=，|AC|≠|AO|， ∴不存在符合条件的点C． 考点：1、反比例函数；2、一次函数的交点问题；3、不等式；4、等边三角形 32．如图，直线 y=kx与双曲线=－交于A、B两点，点C为第三象限内一点． （1）若点A的坐标为（a，3），求a的值； （2）当k=－，且CA=CB，∠ACB=90°时，求C点的坐标； （3）当△ABC为等边三角形时，点C的坐标为（m，n），试求m、n之间的关系式． 【答案】（1）-2；（2）（-3，-2）；（3）mn=18. 【详解】【分析】（1）直接把A点坐标代入反比例函数解析式即可得； （2）连接CO，作AD⊥y轴于D点，作CE垂直y轴于E点，可证得△ADO≌△OEC，由y=－x和y=－解得x＝±2，y＝±3，从而可得A点坐标为（－2，3），由△ADO≌△OEC得，CE=OD=3，EO=DA=2，从而可得C（-3，-2）； （3）连接CO，作AD⊥y轴于D点，作CE⊥y轴于E点，可得△ADO∽△OEC，根据相似三角形的性质进行推导即可得. 【详解】（1）把（a，3）代入=－，得 ，解得a=－2； （2）连接CO，作AD⊥y轴于D点，作CE垂直y轴于E点，则∠ADO=∠CEO=90°， ∴∠DAO+∠AOD=90°， ∵直线 y=kx与双曲线=－交于A、B两点，∴OA=OB， 当CA=CB，∠ACB=90°时，∴CO=AO，∠BOC=90°，即∠COE+∠BOE=90°， ∵∠AOD=∠BOE，∴∠DAO=∠EOC， ∴△ADO≌△OEC， 又k=－，由y=－x和y=－解得，，所以A点坐标为（－2，3）， 由△ADO≌△OEC得，CE=OD=3，EO=DA=2， 所以C（-3，-2）； （3）连接CO，作AD⊥y轴于D点，作CE⊥y轴于E点，则∠ADO=∠CEO=90°， ∴∠DAO+∠AOD=90°， ∵直线 y=kx与双曲线=－交于A、B两点，∴OA=OB， ∵△ABC为等边三角形，∴CA=CB，∠ACB=60°，∠BOC=90°，即∠COE+∠BOE=90°， ∵∠AOD=∠BOE，∴∠DAO=∠EOC， ∴△ADO∽△OEC， ∴， ∵∠ACO=∠ACB=30°，∠AOC=90°，∴， ∵C的坐标为（m，n），∴CE=-m，OE=-n，∴AD=－n，OD=－m， ∴A（n，－m），代入y=－中， 得mn=18. 【点睛】本题考查了反比例函数与一次函数的综合，涉及到全等三角形的判定与性质、相似三角形的判定与性质等，根据题意结合图形添加正确的辅助线是解题的关键. 考点05 反比例函数存在性问题（全等三角形） 33．已知点是反比例函数图形上的动点，轴，轴，分别交反比例函数的图像于点、，点是直线上的一点． (1)请用含的代数式表示P、A、B三点坐标． (2)在点P的运动过程中，联结，三角形的面积是否变化，若不变，请求出三角形的面积；若改变，请说明理由． (3)在点P运动过程中，是否存在以为直角边的三角形和三角形全等，如果存在，请求出关于m的方程（不必求解）． 【答案】(1)点，点，点 (2)三角形的面积不变， (3)存在以为直角边的三角形和三角形全等；或 【分析】本题考查了反比例函数和正比例函数综合问题，涉及了全等三角形的性质，掌握分类讨论的数学思想是解答本题的关键． （1）根据题意可得点，由轴，轴，、在反比例函数的图象上即可求解； （2）由题意得，分别表示出，即可求解； （3）由题意分类讨论：①，；②，两种情况，求出点的坐标，代入即可得到关于的方程． 【详解】（1）解：点是反比例函数图形上的动点， ， 点， 轴，轴， ，， 、在反比例函数的图象上， ，， 即：点，点； （2）解：三角形的面积不变；理由如下： 轴，轴， ， ，，， ，， ； （3）解：存在以为直角边的三角形和三角形全等；理由如下： 若以为直角边的△和△全等， ①，，如图1所示： 此时， 即：点， 点是直线上的一点， ， 整理得：， 或（舍去）； ②，，如图2所示： 此时， 即：点， 点是直线上的一点， ， 整理得：， 或（舍去）， 综上所述：存在以为直角边的三角形和三角形全等；或． 34．综合与探究 如图1，平面直角坐标系中，直线l：y＝2x+4分别与x轴、y轴交于点A，B．双曲线y＝（x＞0）与直线l交于点E（n，6）． （1）求k的值； （2）在图1中以线段AB为边作矩形ABCD，使顶点C在第一象限、顶点D在y轴负半轴上．线段CD交x轴于点G．直接写出点A，D，G的坐标； （3）如图2，在（2）题的条件下，已知点P是双曲线y＝（x＞0）上的一个动点，过点P作x轴的平行线分别交线段AB，CD于点M，N． 请从下列A，B两组题中任选一组题作答．我选择　 　组题． A．①当四边形AGNM的面积为5时，求点P的坐标； ②在①的条件下，连接PB，PD．坐标平面内是否存在点Q（不与点P重合），使以B，D，Q为顶点的三角形与△PBD全等？若存在，直接写出点Q的坐标；若不存在，说明理由． B．①当四边形AGNM成为菱形时，求点P的坐标； ②在①的条件下，连接PB，PD．坐标平面内是否存在点Q（不与点P重合），使以B，D，Q为顶点的三角形与△PBD全等？若存在，直接写出点Q的坐标；若不存在，说明理由． 【答案】（1）k＝6；（2）A（﹣2，0），D（0，﹣1），G（，0）；（3）A.① P（3，2）；②Q（3，1）、Q（﹣3，1）、Q（﹣3，2）；B.①P（，）；②Q（﹣，）、Q（，3﹣）、Q（﹣，3﹣） 【分析】（1）把代入： 求解的坐标，再把的坐标代入中即可得到答案； （2）由AB⊥BC，可得BC的解析式为，由C是直线BC与反比例函数的交点可求C（2，3），由平移的性质得D（0，-1），求出CD的解析式为y=2x-1， 即可求G的坐标； （3）A①设，得到所以MN= ，根据面积可得 m=3，所以P（3，2）；②利用轴对称的性质得到Q（3，1）、Q（-3，1）、Q（-3，2）时B，D，Q为顶点的三角形与全等．B①由已知MN=AM，则，可得m的值，从而可得答案 ；②利用轴对称的性质得到时B，D，Q为顶点的三角形与全等． 【详解】解：（1）令 令 则 把代入： 把代入：，则 ∴k＝6； （2）由（1）得： ∵四边形为矩形， AB⊥BC， 为：， 设的解析式为： 把代入得： ∴BC的解析式为， 联立， 解得： ∴结合的位置得：C（2，3）， 把先向左平移个单位，再向下平移个单位得 把先向左平移个单位，再向下平移个单位得 由得： 设 把代入得： ∴CD的解析式为y＝2x﹣1， 令 则 ∴ 所以： （3）A①设 ∵MN∥x轴， 把分别代入： ∴ ∴MN＝， ∵四边形AGNM的面积为5， ∴ ∴m＝3， ∴P（3，2）； ②如图，作关于轴对称的 由得： 的中点为： 直线是的中垂线， 分别作关于对称的 ， 综上：Q（3，1）、Q（﹣3，1）、Q（﹣3，2）时B，D，Q为顶点的三角形与△PBD全等． B①∵四边形AGNM成为菱形， MN＝AM， ∴， ∴ 经检验：是原方程的解，且符合题意， ∴； ②如图， 由结合②可得： 时B，D，Q为顶点的三角形与△PBD全等． 【点睛】本题考查的是一次函数与反比例函数的图象及性质；利用待定系数法求解函数解析式，考查了坐标系内图形面积的计算，三角形全等的判定与性质，轴对称的性质，矩形的性质，菱形的判定与性质，熟练掌握以上知识是解题的关键． 35．综合与探究 如图1，平面直角坐标系中，直线分别与轴、轴交于点，．双曲线与直线交于点． （1）求的值； （2）在图1中以线段为边作矩形，使顶点在第一象限、顶点在轴负半轴上．线段交轴于点．直接写出点，，的坐标； （3）如图2，在（2）题的条件下，已知点是双曲线上的一个动点，过点作轴的平行线分别交线段，于点，． 请从下列，两组题中任选一组题作答．我选择组题． A．①当四边形的面积为时，求点的坐标； ②在①的条件下，连接，．坐标平面内是否存在点（不与点重合），使以，，为顶点的三角形与全等？若存在，直接写出点的坐标；若不存在，说明理由． B．①当四边形成为菱形时，求点的坐标； ②在①的条件下，连接，．坐标平面内是否存在点（不与点重合），使以，，为顶点的三角形与全等？若存在，直接写出点的坐标；若不存在，说明理由． 【答案】（1）；（2），，；（3）A．①，②，，；B．①，②，，． 【分析】（1）根据点在的图象上，求得的值，从而求得的值； （2）点在直线上易求得点的坐标，证得可求得点的坐标，证得即可求得点的坐标； （3）A．①作轴，利用平行四边的面积公式先求得点的纵坐标，从而求得答案； ②分类讨论，画出相关图形，构造全等三角形结合轴对称的概念即可求解； B．①作轴，根据菱形的性质结合相似三角形的性质先求得点的纵坐标，从而求得答案； ②分类讨论，画出相关图形，构造全等三角形结合轴对称的概念即可求解； 【详解】（1）在的图象上， ， ， ∴点的坐标是 ， 在的图象上， ∴， ∴； （2）对于一次函数， 当时，， ∴点的坐标是 ， 当时，， ∴点的坐标是 ， ∴，， 在矩形中， ，， ∴， ∴，   ， ， ， ∴点的坐标是 ， 矩形ABCD中，AB∥DG， ∴                       ∴点的坐标是 ， 故点，，的坐标分别是： ， ， ； （3）A：①过点作轴交轴于点， 轴，， 四边形为平行四边形， 的纵坐标为， ∴， ∴， ∴点的坐标是 ， ②当时，如图1，点与点关于轴对称，由轴对称的性质可得：点的坐标是； 当时，如图2，过点作⊥轴于，直线交 轴于， ∵， ∴，， ∴， ∴，， ∵点的坐标是 ，点的坐标是 ， ∴，，， 点的坐标是 ， 当时，如图3，点与点关于轴对称，由轴对称的性质可得：点的坐标是； B：①过点作轴于点 ， ， ， ∴，，， ， 四边形为菱形，， ∵轴， ∴ME∥BO， ∴ ， ， ，    ，     的纵坐标为， ∴， ∴， ∴点的坐标是； ②当时，如图4，点与点关于轴对称，由轴对称的性质可得：点的坐标是； 当时，如图5，过点作⊥轴于，直线交 轴于， ∵， ∴，， ∴， ∴，， ∵点的坐标是 ，点的坐标是 ， ， ∴，，， 点的坐标是 ， 当时，如图6，点与点关于轴对称，由轴对称的性质可得：点的坐标是； 【点睛】本题考查了反比例函数与一次函数的综合应用，运用待定系数法求反比例函数与一次函数的解析式，掌握函数图象上点的坐标特征和矩形、菱形的性质；会运用三角形全等的知识解决线段相等的问题；理解坐标与图形性质，综合性强，有一定的难度． 36．如图，直线AP的解析式y＝kx+4k分别交于x轴、y轴于A、C两点，与反比例函数y＝（x＞0）交于点P．且PB⊥x轴于B点，S△PAB＝9． （1）求一次函数解析式； （2）点Q是x轴上的一动点，当QC+QP的值最小时，求Q点坐标； （3）设点R与点P同在反比例函数的图象上，且点R在直线PB的右侧，作RT⊥x轴于T点，交AC于点M，是否存在点R，使得△BTM与△AOC全等？若存在，求点R的坐标；若不存在，说明理由． 【答案】（1）直线AP解析式为y＝x+2；（2）Q（0.8，0）；（3）R坐标为（4，1.5）． 【分析】（1）由直线AP解析式得到直线恒过A（-4，0），得到OA=4，设OB=a，PB=b，由P在反比例图象上得到ab=6，再由OA+OB表示出AB，根据AB与PB乘积的一半表示出三角形PAB面积，根据已知三角形PAB的面积求出a与b的值，确定出P坐标，将P代入直线AP解析式求出k的值即可； （2）找出C关于x轴的对称点C′，连接PC′与x轴交于点Q，确定出直线PC′解析式，求出与x轴交点即可确定出Q坐标； （3）由直线AP解析式求出OA与OC的长，若△BTM与△AOC全等，则有BT=OC，MT=OA，确定出M坐标，代入直线AP检验即可得到结果． 【详解】（1）直线AP解析式y＝kx+4k＝k（x+4）， 得到A（﹣4，0），即OA＝4， 设OB＝a，PB＝b，即P（a，b）， 代入反比例解析式得：ab＝6， ∵S△PAB＝AB•PB＝9， ∴（a+4）b＝9，即ab+4b＝6+4b＝18， 解得：a＝2，b＝3，即P（2，3）， 将P（2，3）代入直线y＝kx+4k中得：3＝2k+4k， 解得：k＝， 则直线AP解析式为y＝x+2； （2）对于直线y＝x+2，令x＝0，得到y＝2，即C（0，2），OC＝2， 找出C关于x轴的对称点C′（0，﹣2），连接PC′，交x轴与Q点，此时QC+QP最短， 设直线C′P解析式为y＝mx+n， 将P（2，3）与C′（0，﹣2）代入得：， 解得：m＝2.5，n＝﹣2， ∴直线C′P解析式为y＝2.5x﹣2， 令y＝0，得到x＝0.8，即Q（0.8，0）； （3）若△BTM≌△COA，则有BT＝OC＝2，MT＝OA＝4， ∴OT＝OB+BT＝2+2＝4，即M（4，4）， 将x＝4代入直线OP解析式得：y＝×4+2＝2+2＝4，即M在直线AP上， 将x＝4代入反比例解析式得：y＝＝1.5， 此时R坐标为（4，1.5）． 【点睛】此题属于反比例函数综合题，涉及的知识有：待定系数法求函数解析式，坐标与图形性质，全等三角形的判定与性质，对称的性质，熟练掌握待定系数法是解本题的关键． 37．已知边长为4的正方形ABCD，顶点A与坐标原点重合，一反比例函数图象过顶点C，动点P以每秒1个单位速度从点A出发沿AB方向运动，动点Q同时以每秒4个单位速度从D点出发沿正方形的边DC→CB→BA方向顺时针折线运动，当点P与点Q相遇时停止运动，设点P的运动时间为t． ⑴求出该反比例函数解析式； ⑵连接PD，当以点Q和正方形的某两个顶点组成的三角形和△PAD全等时，求t值； 【答案】（1）y=;（2）t= 或t= 或t= . 【详解】试题分析: （1）根据正方形ABCD的边长为4，可得C的坐标为（4，4），再用待定系数法求出反比例函数解析式； （2）分点Q在CD，BC，AB边上，根据全等三角形的判定和性质求得点Q的坐标； 试题解析: （1）∵正方形ABCD的边长为4， ∴C的坐标为（4，4） 设反比例解析式为y=, 将C的坐标代入解析式得：k=16， ∴反比例解析式为y=. (2)当Q在DC上时，如图所示： 此时△APD≌△CQB， ∴AP=CQ,即t=4−4t,解得t=; 当Q在BC边上时，有两个位置，如图所示： 若Q在上边,则△QCD≌△PAD， ∴AP=QC,即4t−4=t,解得t=； 若Q在下边,则△APD≌△BQA， 则AP=BQ,即8−4t=t,解得t=； 当Q在AB边上时，如图所示： 此时△APD≌△QBC， ∴AP=BQ,即4t−8=t,解得t=， 因为0⩽t⩽125，所以舍去. 综上所述      t= ,  t= ,  t= . 点睛: 本题考查了正方形的性质，待定系数法求反比例函数解析式，全等三角形的判定和性质，三角形的面积计算，分类思想，综合性较强，有一定的难度． 38．如图，矩形OABC的顶点B的坐标为(1，2)，反比例函数y＝(0<m<2)的图象与AB交于点E，与BC交于点F，连接OE、OF、EF． (1)若点E是AB的中点，则m＝ ，S△OEF＝ ； (2)若S△OEF＝2S△BEF，求点E的坐标； (3)是否存在点E及y轴上的点M，使得△MFE与△BFE全等?若存在，写出此时点E的坐标；若不存在，说明理由． 【答案】（1）m=1；S△OEF= ； (2)点E的坐标为（1，） （3）存在；E点坐标为（1， ） 【详解】试题分析：（1）先得到E点坐标为（1，1），然后根据反比例函数图象上点的坐标特征即可得到k=1，再利用F的纵坐标为2可确定F点坐标为（ ，2），则可根据S△OEF=S矩形ABCO-S△AOE-S△OCF-S△BEF进行计算； （2）由题意，E（1，m)，F(,2),可表示出△BEF的面积,进而可表示出△OEF与△BEF的面积之和,从而可得到m的值，进而得到点E的坐标； 作EH⊥y轴于C，如图，设E点坐标为（1，m），则F（ ，2），： 由于m＜2，则由△MFE≌△BFE得到MF="BF=1-m" ME=BE=2-m，∠FME=90°，易证得Rt△CFM∽Rt△HME，利用相似比可得到MH=m，然后在Rt△MHM中，根据勾股定理得12+m2=（2-km）2，解得m= ，则E点坐标为（1，） 试题解析：（1）∵B点坐标为（1，2），点E是AB的中点，AB⊥X轴， ∴E点坐标为（1，1）， ∵点E在函数为y=上， ∴1=， ∴m=1 把y=2代入y=得 =2，解得x=， ∴F点坐标为（ ，2）， ∴S△OEF=S矩形ABCO-S△AOE-S△OCF-S△BEF =1×2-×1×1 -××2-× × 1 = ； (2)根据题意，E（1，m)，F(,2) ∴S△BEF=， ∵S△OAE=S△OCF= ∴S△BEF+S△OEF=2-m， ∵S△OEF=2S△BEF， ∴S△BEF=， ∴=， 解得，m=2（舍去）,或m= ∴点E的坐标为（1，） （3）作EH⊥y轴于C，如图， 设E点坐标为（1，m），则F（，2）， 当m＜2时， ∵△MFE≌△BFE， ∴MF=BF=1- ，ME=BE=2-m，∠FME=90°， ∴Rt△CFM∽Rt△HME， ∴MF：ME=CF：MH， ∴MH==m， 在Rt△MHM中，HE=1， ∴HE2+MH2=ME2， ∴12+m2=（2-m）2，解得m= ， ∴E点坐标为（1， ） 考点：1、反比例函数图象上点的坐标特征；2、三角形全等的性质和矩形性质；3、勾股定理；4、相似比 39．已知点是反比例函数图形上的动点，轴，轴，分别交反比例函数的图像于点A、B，点C是直线上的一点．    (1)请用含m的代数式表示P、A、B三点坐标． (2)在点P的运动过程中，连接，的面积是否变化，若不变，请求出的面积，若改变，请说明理由． (3)在点P运动过程中，是否存在以为直角边的和全等，如果存在，请求出m的值． 【答案】(1)，，； (2)不变， (3)或 【分析】本题考查了反比例函数和正比例函数综合问题，涉及了全等三角形的性质，掌握分类讨论的数学思想是解决第三问的关键． （1）根据题意可得点，由轴，轴，在反比例函数的图像上即可求解； （2）由题意得，分别表示出，即可求解； （3）由题意分类讨论，，两种情况，求出点的坐标即可． 【详解】（1）解：∵点是反比例函数图形上的动点， ∴， ∴点， ∵轴，轴， ∴，， ∵在反比例函数的图像上， ∴，， 即：点，点； （2）解：的面积不变，为，理由如下： ∵轴，轴， ∴， ∵，，， ∴，， ∴； （3）解：若以为直角边的和全等， ，，如图所示：    此时， 即：点， ∵点C是直线上的一点， ∴， 解得：，（舍）， ，，如图所示：    此时， 即：点， ∵点C是直线上的一点， ∴，解得：，（舍）， 综上所述：或时，以为直角边的和全等． 40．如图，一次函数的图象与反比例函数的图象交于第一象限C，D两点，坐标轴交于A、B两点，连结OC，OD（O是坐标原点）． （1）利用图中条件，求反比例函数的解析式和m的值； （2）求△DOC的面积． （3）双曲线上是否存在一点P，使得△POC和△POD全等？若存在，给出证明并求出点P的坐标；若不存在，说明理由． 【答案】1），m=1；（2）=1.5；（3）P（，）或P（-，） 【分析】（1）把C（1，2）代入可求出k值，可得出反比例函数解析式，把D（2，m）代入即可求出m的值； （2）如图，过点C作⊥OA于E，过点D作DF⊥OA于F，根据C、D坐标可得CE、DF的长，利用待定系数法可求出直线AB的解析式，即可得出点A坐标，可得OA的长，根据S△DOC=S△AOC-S△AOD，利用三角形面积公式即可得答案； （3）设点P坐标为（n，），根据全等三角形的性质可得PC=PD，根据两点间距离公式列方程求出n值即可得答案． 【详解】（1）∵点C（1，2）在反比例函数图象上， ∴k=2， ∴反比例函数解析式为， ∵点B（2，m）在反比例函数图象上， ∴m==1． （2）如图，过点C作⊥OA于E，过点D作DF⊥OA于F， ∵C（1，2），D（2，1）， ∴CE=2，DF=1， ∵C、D在一次函数的图象上， ∴， 解得：， ∴一次函数解析式为y=-x+3， 当y=0时，x=3， ∴A点坐标为（3，0）， ∴OA=3， ∴=S△AOC-S△AOD===1.5． （3）设点P坐标为（n，）， ∵C（2，1），D（1，2）， ∴OC=OD， ∵△POC和△POD全等， ∴PC=PD， ∴， 解得：， ∴P（，）或P（，）， ∴双曲线上存在一点P，使得△POC和△POD全等，P（，）或P（，）． 【点睛】本题考查反比例函数图象上点的坐标特征、待定系数法求反比例函数及一次函数解析式及全等三角形的性质，熟练掌握相关性质是解题关键． 考点06 反比例函数存在性问题（相似三角形） 41．如图，平面直角坐标系中中，在反比例函数的图象上取点，连接，与的图象交于点，点纵坐标为过点作轴交函数的图象于点，连接、． (1)用含的代数式表示点坐标； (2)若与相似，求出此时的值． (3)过点作轴交函数的图象于点，连接，与交于点与面积的比值是否会发生变化？若变化，请说明理由；若不变，请求出这个的比值． 【答案】(1) (2) (3)不变；比值为 【分析】本题考查了一次函数与反比例函数的综合运用，相似三角形的性质与判定； （1）先求得，进而求得直线的解析式为，联立反比例函数与正比例函数，即可求解； （2）根据题意得出，，，则，进而根据相似三角形的性质可得，勾股定理建立方程，即可求解； （3）设点的坐标为则求出，，的坐标，从而得出，的长度，得出直线，直线的解析式，进而求出直线的解析式，然后求出点的坐标，将直线的解析式与反比例函数联立方程组，求出点的坐标，从而计算，，即可计算出比值． 【详解】（1）解：∵点纵坐标为，点在上， ∴点的横坐标为， ∴， 设直线的解析式为， ∴，解得： ∴直线的解析式为 联立 解得：（舍去）或 ∴； （2）∵轴，点纵坐标为， ∴点的纵坐标为， 又∵点在上， ∴点的横坐标为 ∴， ∵，， ∴是的中点， ∴ ∵轴 ∴， ∴当与相似，只有一种情况 ∴，即 ∴ 解得：（负值舍去） （3）解：设的坐标为， 由轴，可知点，点的横坐标相等， 则点的坐标为，的坐标为 ∴，， 设直线的解析式为，将点，代入得， 所以直线的解析式为①， 设直线的解析式为，将点代入得， 所以直线的解析式为③， 设直线的坐标为，将，的坐标代入得， ，解得 , ∴， 联立①②，得，解得：， ， 将③与联立得，， 解得：，，则， 所以 42．已知在直角坐标平面内，直线分别与轴交于点A、与轴正半轴交于点，． (1)求直线的表达式； (2)点在函数的图象上，连接并延长，交轴于点C，且． ①求点的坐标， ②点在函数的图象上，，交线段于点，连接．当与相似，求点的坐标． 【答案】(1) (2)①；②． 【分析】本题主要考查了求一次函数解析式、相似三角形的判定与性质、平行线分线段成比例定理、等腰三角形的判定与性质等知识点，灵活运用数形结合的思想分析问题是解题的关键． （1）首先确定点，利用比例式可得，即，然后利用待定系数法求解即可； （2）①如图：过点P作轴于点H，设点，根据题意可得，证明，由相似三角形的性质解得x的值，即可确定点P坐标，进而可得，然后结合平行线分线段成比例定理解得，即可确定点C的坐标；②过点Q作轴，设，则，然后分和两种情况解答即可． 【详解】（1）解：∵直线与轴交于点A， 令，可得，即， ∴， ∵． ∴， ∵直线与轴正半轴交于点， ∴ 将点代入直线，可得，解得， ∴直线的表达式为． （2）解：①如图：过点P作轴于点H， 设点，则， ∵， ∴ ∵，， ∴， ∴， ∴，即，解得：， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，解得∶， 又∵点C在x轴的负半轴上， ∴点C的坐标为； ②如图：过点Q作轴， 设， ∵交线段于点， ∴， ∵，，， ∴，，，， ∴，即为等腰三角形且为锐角三角形， ∵， ∴，即点与点对应， 当时， ∴， ∴， ∴， ∵轴， ∴， ∴， ∴点Q的横坐标为， ∵点Q在函数的图像上， ∴，即， ∴， ∵， ∴，整理可得∶，解得：或， ∴或（舍去）或（舍去）或（舍去）， ∴． 当时， ∴， ∴， ∵，， 设直线的解析式为， 则有，解得：， ∴直线的解析式为， ∵， 设直线的解析式为：， 将代入可得：，解得：， ∴设直线的解析式为：， 联立，整理得：， ∴，解得：（不符合题意）或（不符合题意）， ∴这种情况不存在． 综上，． 43．如图，平面直角坐标系中，直线经过点，与y轴正半轴交于B点，与反比例函数交于点C，且，轴交反比例函数于点D． (1)求b、k的值； (2)如图1，若点E为线段上一点，设E的横坐标为m，过点E作，交反比例函数于点F．若，求m的值． (3)如图2，在（2）的条件下，连接并延长，交x轴于点G，连接，在直线上方是否存在点H，使得与相似（不含全等）？若存在，请求出点H的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)， (2)m的值为1 (3)或或或 【分析】（1）将点代入求出b的值，作轴交轴于M，先得出，再结合求出点C的坐标，代入即可求出k的值； （2）将E点横坐标代入，求出纵坐标，根据即可知道F的纵坐标，代入反比例函数的解析式，求出F的横坐标，即可表示出的长度，同理将B点纵坐标代入反比例函数求出D点横坐标，从而表示出的长，根据列方程即可求解m的值； （3）根据相似三角形的性质可知，需要分三种情况，①当时；②当时；③当时，分别画出图形，列出等式求解即可． 【详解】（1）解：如图，作轴交轴于M， 直线经过点， ，， 解得：， 直线解析式为， 代入到得，， ， 轴， ， ， ， 又， ， ， ， ， ，， ∴， 即， ， 代入到得，， 解得：， 综上所述，，． （2）解：由（1）得，，直线解析式为，反比例函数解析式为， 轴， 代入到得，， 解得：， ， ， ， ， 由题意得，点的坐标为， ， 把代入到得，， 解得：， ， ， ， 解得：（不符合题意，舍去），， 的值为1． （3）解：由（2）得，，， 设直线的解析式为， 代入和得，， 解得：， 直线的解析式为， 代入到得，， 解得：， ； ①当时，如图，过点D作轴于点Q，连接与交于点P， 轴，， ， ，， ， 又， 是等腰直角三角形，， 在中，， 在中，， 轴， ， 又， ， ， 设，则， 在中，， 即， 解得：， ， ， 直线的解析式为； 若，则，此时，不符合题意，舍去； 若，则，即， 解得：， 在直线上， 设， ， 解得：，（舍去）， ； ②当时， 若， 则，， ，即在上，， ， ， ，直线的解析式为； 若， 则，即， 解得：， 设，则， 解得：，（舍去）， ； ③当时，， 直线的解析式为， 若，则，此时，不符合题意，舍去； 若， 则，即， 解得：， 设，则， 解得：，（舍去）， ； 综上所述，点H的坐标为或或或． 【点睛】本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题、相似三角形的判定与性质、勾股定理、一元二次方程，熟练掌握以上知识点，学会利用勾股定理和相似三角形的性质求线段长度是解题的关键，本题属于函数与几何综合题，适合有能力解决难题的学生． 44．如图，函数的图象过点和点B，过点A作轴，（C在A的下方），过点C作轴，与函数的图象交于点D，过点B作于点E，连接． (1)求的面积； (2)延长交于点F，当时，求的长； (3)连接，取中点Q，以线段为较长直角边且Q为直角顶点作，使得与相似，求出点P的坐标． 【答案】(1) (2) (3)或 【分析】（1）先求出反比例函数的解析式，然后求出点D的坐标，即可求出三角形的面积； （2）根据反比例函数的解析式求出点B的坐标，然后利用待定系数法求出直线的解析式，即可求出点F的坐标，进而完成解答； （3）过点Q作交x轴于点N，交y轴于点M，再求出点Q的坐标，可得点P在上且点P为或的中点，利用中点坐标公式求解即可． 【详解】（1）解：的图象经过点， ∴， ∵轴，， ∴点C的坐标为， ∴点D的坐标为， ∴， ； （2）解：如图， ∵， ， ∵， ∴点B的坐标为， 设直线的解析式为， 把和代入得： ，解得， ∴直线的解析式为， 当时，， ∴， ； （3）解：过点Q作交x轴于点N，交y轴于点M， ∵Q是的中点， ∴点Q坐标为，且， ，即， ∴点，点， 线段为较长直角边作，使与相似， ， ∴点P在上且点P为或的中点， ∴点P的坐标为或． 【点睛】本题属于反比例函数综合题，主要考查了反比例函数的图象和性质、待定系数法求一次函数解析式、相似三角形的性质、勾股定理、中点坐标公式等知识点，掌握反比例函数的图象和性质是解题的关键． 45．如图，一次函数的图象与x轴和y轴分别交于A、B两点，与反比例函数的图象分别交于C、D两点． (1)动点P在线段上（不与点A、B重合），过点P作x轴和y轴的垂线，垂足为M、N．当矩形的面积为2时，求出点P的位置； (2)在x轴上是否存在点E，使得以A、B、E为顶点的三角形与相似？若存在，求出点E的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)或； (2)存在，或． 【分析】本题主要考查了反比例函数的性质、一次函数的性质、矩形的性质、相似三角形的性质、等腰三角形的性质等知识，利用分类讨论思想分析问题是解题的关键． （1）求得点A，B，设，由矩形面积公式求解即可； （2）先求出点C，D的坐标，由相似三角形的性质即可求解． 【详解】（1）解：如下图，对于函数， 当时，，当时，， ∴，， ∵动点P在线段上， ∴设点，，，即， ∴，， ∵矩形的面积为2， ∴，即， 解得或， ∴点或； （2）如下图， ∵，， ∴， ∴，， 联立一次函数与反比例函数，可得， 解得或， ∴， ∴， 设，， 以A、B、E为顶点的三角形与相似，且， ∴或， ∴或， 解得 或， ∴或． 46．如图，在平面直角坐标系中，直线与x轴、y轴分别交于点，点D，与反比例函数图象的其中一个交点为点，过点B作轴于点C． (1)填空： _____，点B的坐标为_____，反比例函数的表达式为：_________． (2)在第二象限反比例函数的图象上有一点P，且的面积为3，求点P的坐标． (3)在x轴上是否存在一点M，使得以点M、A、B为顶点的三角形与相似，若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)，， (2) (3)存在，或． 【分析】此题考查了相似三角形的判定和性质、反比例函数的图象和性质、一次函数和反比例函数交点问题． （1）把代入得到，得到一次函数解析式为，把点代入得到，求出点，把代入得到，即可得到反比例函数解析式； （2）求出点C的坐标为，则，设点P的坐标是，其中，由的面积为3得到，解得，即可求出点P的坐标； （3）证明，当点M与点C重合时，满足题意，此时点M的坐标是；当，点M在x轴上，证明，则，再求出的长度，即可求出点M的坐标． 【详解】（1）解：把代入得到 ， 解得， ∴， 把点代入得到 ， 解得， ∴点， 把代入得到， ∴， 故答案为：，， （2）解：∵点B作轴于点C． ∴点C的坐标为， ∴， 设点P的坐标是，其中， ∵的面积为3， ∴， 解得， ∴点P的坐标是； （3）解：∵， ∴，， ∴， ∴， 当点M与点C重合时，满足题意，此时点M的坐标是； 如图，当，点M在x轴上， ∴， ∴， ∴， 当时，， ∴点D的坐标为，即， ∵，，点C的坐标为， ∴，，， ∴，， ∴， ∴， ∴点M的坐标为， 综上可知，点M的坐标为或． 47．如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与反比例函数的图象交于，B两点，与x轴交于点，与y轴交于点E． (1)求反比例函数和一次函数的表达式； (2)F为反比例函数第四象限上一点，过点F作轴于点Q，使与相似，求满足条件的F点坐标； (3)将直线平移，与反比例函数图象交于M，N两点，若，求直线的解析式． 【答案】(1)反比例函数的表达式为，一次函数的表达式为； (2)或 (3)或 【分析】本题考查待反比例函数与一次函数的综合应用，待定系数法求解析式，相似三角形的应用，一次函数与反比例函数交点问题； （1）将点代入求解即可得到答案； （2）设出点的坐标，分类讨论直角的两对应边成比例求解即可得到答案； （3）设出平移后的解析式，根据两交点距离列式求解即可得到答案； 【详解】（1）解：将，代入得， ，， 解得：，， ∴反比例函数的表达式为，一次函数的表达式为； （2）解：∵轴， ∴， 设， 当时，， ∴， 当时， ， 解得：，（不符合题意舍去）， ∴， 当时， ， 解得：，（不符合题意舍去）， ∴， 综上所述：满足的坐标为：或； （3）解：设平移后的解析式为：， 联立反比例函数得， ， 即：， 设两个交点为，， ∴，， ∴，， ∵， ∴， 即：， ， 解得：或， ∴或． 48．如图，直线与双曲线交于，两点，点的坐标为，点是双曲线第一象限分支上的一点，连接并延长交轴于点，且．    (1)求的值并直接写出点的坐标； (2)点是轴上的动点，连接，，求的最小值； (3)点是直线上一个动点，是否存在点，使得与相似，若存在，求出此时点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)， (2) (3)或者 【分析】（1）将 代入直线解析式，可求出m，即可得，再联立，即可求出答案； （2）作轴于点E，轴于点F，则，，利用相似三角形性质即可求得，作点B关于y轴的对称点，连接交y轴于点G，则即为的最小值，运用勾股定理即可求得答案； （3）根据点是直线：的上一个动点，则设点，在（2）中有：， 即有，即，即可得，当时，可得，即有，利用两点间的距离公式即可求解；当时，可得，即可得，进而可得，解方程即可求解． 【详解】（1）将代入直线中， 得， 解得：， ， ， ∴反比例函数解析式为， 由， 解得 或， ∴点B的坐标为； （2）如图，作轴于点E，轴于点F，则， ， ， ， ， ， ∴， ， ， ， ∵点C在反比例函数图象上， ， 作点B关于y轴的对称点，连接交y轴于点G，则即为的最小值， ，， ， 的最小值为； （3）根据点是直线：的上一个动点，则设点， ∵，， ∴，，， 在（2）中有：， ∴，即， ，， ，， ∴， ∴，即， ∴， 当时，如图， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵，结合图象有， ∴， ∴，解得：， 此时点； 当时，如图， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， 解得：，， 当时，点P在点B右侧，此时是钝角三角形，不可能与相似， 故舍去； 当时，点； 综上：满足条件的点P的坐标为：或者． 【点睛】本题是一次函数与反比例函数的综合题，主要考查了待定系数法，轴对称性质，线段和的最小值问题，相似三角形的判定和性质，解题的关键是掌握相似三角形的判定和性质，能用分类讨论的思想解决问题． 1 / 37 学科网（北京）股份有限公司 $