专题02 反比例函数实际应用题分类训练（6种类型48道）（高效培优期末专项训练）九年级数学上学期湘教版

专题02 反比例函数实际应用题分类训练 （6种类型48道） 考点01 温度变化 考点02 销售利润 考点03 浓度变化 考点04 工程问题 考点05 行程问题 考点06 （学科综合）与物理相关反比例函数问题 考点01 温度变化 1．石外集团生物实践小组搜集了学校种植园温室大棚智能控制系统测试阶段时的温度变化，并绘制出大棚内的温度y（）随时间x（时）变化的图象．如图所示，点A表示智能控制系统在0时启动，此时大棚内的温度为，线段表示升温阶段，线段表示恒温阶段，双曲线的一部分表示恒温系统关闭阶段，点D表示24时温度降到． (1)求线段及双曲线段的函数表达式． (2)求该大棚在时内，温度不低于的时间长度． (3)此地日出时间为，日落时间为．为保证该大棚中的植物至少有9小时的光照且在此期间大棚温度不低于．小组同学决定推迟智能控制系统的启动时间，至少推迟 小时，能满足上述要求． 2．某种玻璃原材料需在环境保存，取出后匀速加热至高温之后停止加热，玻璃温度会逐渐降低至室温（），加热和降温过程中可以对玻璃进行加工，如图是玻璃温度与时间的函数图象，其中降温阶段y与x成反比例函数关系，根据图象信息，回答下列问题： (1)求降温阶段y与x的函数表达式； (2)求温度从降到室温所需要的时间． 3．某款三明治机制作三明治的工作原理如下： ①预热阶段：开机1分钟空烧预热至，机器温度y与时间x成一次函数关系； ②操作阶段：操作3分钟后机器温度均衡升至最高温度后保持恒温状态； ③断电阶段：操作完成后进行断电降温，机器温度y与时间x成反比例关系． 如图是李阿姨某次制作三明治时机器温度与时间的函数图象，请结合图象解答下列问题： (1)当时，求机器温度y与时间x的函数关系式； (2)已知当时，机器温度y与时间x的函数关系式为，则三明治机工作温度持续在以上的时间是多少分钟? 4．制作某种金属工具要进行煅烧和锻造两个工序，即将材料由烧到后立即开始锻造操作，当材料温度低于时，须停止锻造并立即进行再次煅烧．每次煅烧温度上升的速度相同，煅烧过程温度与时间成一次函数关系，第一次锻造造时温度与时间成反比例函数关系，开始制作后第8分钟材料的温度为． (1)求第一次锻造操作的时长； (2)求第二次开始锻造的时间． 5．天舟九号货运飞船与中国空间站实现“太空牵手”，为空间站送去了宝贵的“太空快递”．快递中有一个给食物加热的餐具．该餐具给食物加热的时间与食物的温度之间的函数图象如图所示．该餐具4分钟就可以将的食物加热到，此后停止加热，食物温度开始下降．已知食物温度下降过程中食物温度y（单位：）与时间x（单位：）成反比例关系． (1)求食物温度下降过程中y与x的函数关系式．（无需写出自变量x的取值范围） (2)若食物需要从加热到，然后降温到方可食用．问食物从开始加热，到可以食用需要等待多长时间？ 6．如图所示，制作某种食品的同时需将原材料加热，设该材料温度为，从加热开始计算的时间为分钟．据了解，该材料在加热过程中温度与时间成一次函数关系．已知该材料在加热前的温度为，加热一段时间使材料温度达到时停止加热，停止加热后，材料温度逐渐下降，这时温度与时间成反比例函数关系，已知第12分钟时，材料温度是． (1)分别求出该材料加热和停止加热过程中与的函数关系式（写出的取值范围）； (2)根据该食品制作要求，在材料温度不低于的这段时间内，需要对该材料进行特殊处理，那么对该材料进行特殊处理的时间为多少分钟？ 7．某款三明治机制作三明治的工作原理如下： ①预热阶段：开机1分钟空烧预热至，机器温度y与时间x成一次函数关系； ②操作阶段：操作3分钟后机器温度均衡升至最高温度后保持恒温状态； ③断电阶段：操作完成后进行断电降温，机器温度y与时间x成反比例关系． 如图所示为某次制作三明治时机器温度与时间的函数图象，请结合图象回答下列问题 (1)当时，求机器温度y与时间x的函数关系式； (2)求三明治机工作温度持续在以上的时间是多少分钟？ 8．综合与实践：探索某款节能冰箱的日耗电量． 素材1：某款冰箱，耗电功率为0.16千瓦．当内部温度为时，冰箱运行，当温度下降到时，停止运行．温度上升到时，冰箱再次运行，如此循环． 素材2：冰箱内部温度与时间（分钟）如图所示： 当时，是的一次函数；当时，是的反比例函数． 链接：冰箱每天耗电量（度）耗电功率（千瓦）每天运行时间（小时）． 任务1：求时，关于的函数表达式，并求出的值； 任务2：该冰箱的广告中声称：每天耗电不超一度电．请问该冰箱的广告是否符合实际？（忽略特殊情况的耗电量）． 考点02 销售利润 9．双十一促销活动开始，甲乙两家商场采用了不同的促销方案．如果用优惠率（其中代表优惠金额，代表顾客购买商品的总金额）衡量消费者受益程度，则甲乙两商场的优惠率与顾客购买总金额（元）之间的函数关系分别如图所示，其中成反比例函数关系，且总金额m（元）的取值范围满足． (1)___________；用含m的代数式表示：___________． (2)当购买总金额m（元）在的条件下时，指出甲、乙两家商场正在采取的促销方案分别是什么？ 甲：___________；乙：___________ (3)完全相同的商品，在甲、乙两家商场的标价都是m元（），选择哪家商场购买该商品花钱少？请说明理由． 10．某公司生产甲、乙两种产品，每件甲种产品的成本为15元，每件乙种产品的成本包括材料成本和制造成本，其中材料成本固定不变，制造成本与生产产品的数量成反比；现计划生产甲、乙两种产品共200件，其中生产乙产品件，乙产品每件成本为元，在生产过程中，可以得到如下数据： （件） 20 40 （元） 20 15 (1)求与之间的函数关系式； (2)若生产甲产品的总成本不少于生产乙产品的总成本，求生产这200件产品的最小成本． 11．某农户共摘收草莓，为寻求合适的销售价格，进行了天试销，试销中发现这批草莓每天的销售量与售价（元/）之间成反比例关系，已知第天以元/的价格销售了．现假定在这批草莓的销售中，每天的销售量与销售价格（元/）之间都满足这一关系． (1)求与之间的函数表达式； (2)在试销期间，第天的销售价格比第天低了元/，但销售量却是第二天的倍，求第二天的销售价格； (3)试销天共销售草莓，该农户决定将草莓的售价定为元/，并且每天都按这个价格销售，问余下的草莓预计还需多少天可以全部售完？ 12．某商场出售一批进价为120元/件的商品311件，为寻求合适的销售价格，商场营销部进行了4天试销活动，发现此商品的日销售单价（元/件）与日销售量（件）之间有如下关系：观察表中数据，发现可以用反比例函数刻画这种商品的日销售量（件）与日销售单价（元/件）之间的关系 第1天 第2天 第3天 第4天 日销售单价（元/件） 150 200 240 250 日销售量（件） 40 30 25 24 (1)写出这个反比例函数的解析式（不必写的取值范围）； (2)在试销4天后，若商场决定将这种商品的销售单价定为250元/件，并且每天都按这个价格销售，那么余下的这些商品预计再用多少天可以全部售出； (3)设商品的日销售利润为元，试求出与之间的函数关系式，物价局规定此商品的售价最高不超过300元/件，若商场按获得最大日销售利润的销售单价出售该商品，能否在试销后的10天内售完该商品？ 13．某公司今年推出一款产品．根据市场调研，发现如下信息． 信息1：每月的销售总量y（件）和销售单价x（元/件）存在函数关系，其图象由部分双曲线和线段组成． 信息2：该产品2月份的单价为66元/件，3月份的单价降低至45元/件，在生产成本不变的情况下，这两月的销售利润相同． 根据以上信息，解答下列问题： (1)求该产品的生产成本； (2)该公司计划在4月份通过技术改造，使生产成本降低，同时继续降低销售价格，使得4月份的销售利润不低于3月份．求4月份该产品销售单价的范围． 14．甲、乙两家商场进行促销活动，甲商场采用“满200减100”的促销方式，即购买商品的总金额满200元但不足400元，少付100元；满400元但不足600元，少付200元，乙商场按顾客购买商品的总金额打6折促销． (1)若顾客在甲商场购买了510元的商品，付款时应付多少钱？ (2)若顾客在甲商场购买商品的总金额为元，优惠后得到商家的优惠率为，写出p与x之间的函数关系式，并说明p随x的变化情况． (3)品牌、质量、规格等都相同的某种商品，在甲、乙两商场的标价都是元，你认为选择哪家商场购买商品花钱较少？请说明理由． 15．某超市计划购进一批A、B两种规格的端午节礼盘进行销售，进价和售价如下表所示： 端午节礼盘规格 A B 进价(元/盘) 80 100 售价(元/盘) 120 160 若购进两种规格的端午节礼盒共300盒，且投入资金不超过26800元． (1)该超市应购进A规格端午节礼盒至少多少盒? (2)若超市购进A规格端午节礼盒的进价每盒降低a元，并保持这两个规格的端午节礼盒的售价不变，且最多购进240盒A规格端午节礼盒．如果这批端午节礼盒售出后，超市刚好获利18480元，求a的取值范围． 16．元旦期间，甲、乙两家商场都进行了促销活动，如何才能更好地衡量钏销对消费者受益程度的大小呢？某数学小组通过合作探究发现用优惠率p=(其中k代表优惠金额，m代表顾客购买商品的总金额)可以很好地进行衡量，优惠率p越大，消费者受益程度越大；反之就越小.经统计，若顾客在甲、乙两家商场购买商品的总金额都为m(200≤m＜400)元时，优惠率分别为P甲=与P乙=，它们与m的关系图象如图所示，其中p甲与m成反比例函数关系，p乙保持定值. (1)求出k甲的值，并用含m的代数式表示k乙. (2)当购买总金额m(元)在200≤m＜400的条件下时，指出甲、乙两家商场正在采取的促销方案分别是什么. (3)品牌、质量、规格等都相同的某种商品，在甲、乙两家商场的标价都是m(200≤m＜400)元，你认为选择哪家商场购买该商品花钱少些？请说明理由. 考点03 浓度变化 17．近年来，我国煤矿安全事故频频发生，其中危害最大的是瓦斯，其主要成分是．在一次矿难事件的调查中发现：从零时起，井内空气中的浓度达到，此后浓度呈直线型增加，在第7小时达到最高值，发生爆炸；爆炸后，空气中的浓度成反比例下降．如图所示，根据题中相关信息回答下列问题： (1)求爆炸前后空气中浓度与时间的函数关系式； (2)当空气中的浓度达到时，井下的矿工接到自动报警信号，这时他们至少要以多少的速度撤离才能在爆炸前逃生？ (3)矿工只有在空气中的浓度降到及以下时，才能回到矿井开展生产自救，求矿工至少在爆炸后多少小时才能下井？ 18．某污水处理厂在自查中发现，所排污水中硫化物浓度超标，因此立即整改，并开始实时监测．据监测，整改开始第60小时时，所排污水中硫化物的浓度为；从第60小时开始，所排污水中硫化物的浓度是监测时间（小时）的反比例函数．其图象如图所示． (1)当时，求与之间的函数关系式； (2)整改开始第100小时时，所排污水中硫化物浓度为多少？ 19．驾驶员血液中每毫升的酒精含量大于或等于微克即为酒驾，某研究所经实验测得，成人饮用某品牌度白酒后血液中酒精浓度（微克毫升）与饮酒时间（小时）之间函数关系如图所示（当时，与成反比例）． (1)根据图象直接写出：血液中酒精浓度上升阶段的函数解析式为 ；下降阶段的函数解析式为 ；（并写出的取值范围） (2)问血液中酒精浓度不低于微克毫升的持续时间是多少小时？ 20．某药品研究所开发一种抗菌新药，经多年动物实验，首次用于临床人体试验，测得成人服药后血液中药物浓度y（单位：微克/毫升）与服药时间x（单位：h）之间函数关系如图所示， (1)求y与x之间的函数表达式． (2)血液中药物浓度不低于4微克/毫升的时候对人体是有效的，服药后对人体的有效时间是多少？ 21．某药品研究所开发一种抗菌新药，经多年动物实验，首次用于临床人体实验，测得成人服药后血液中药物浓度y（微克/毫升）与服药时间x（h）之间的函数关系如图所示（当时，y与x成反比例）．    (1)根据图象求出血液中药物浓度下降阶段y关于x的函数表达式； (2)问：血液中药物浓度不低于5微克/毫升的持续时间为多少小时？ 22．为了做好校园疫情防控工作，学校每周要对办公室和教室进行药物喷洒消毒，消毒药物在每间教室内空气中的浓度y（单位：）与时间x（单位：）的函数关系如图所示．在进行药物喷洒时y与x的函数关系式为，药物喷洒完成后y与x成反比例函数关系，两个函数图象的交点为． (1)n的值为__________； (2)当时，y与x的反比例函数关系式为__________； (3)当教室空气中的药物浓度不高于时，对人体健康无危害．当教室药物喷洒完成后，学生能否进入教室？请通过计算说明． 23．环保局对某企业排污情况进行检测，结果显示：所排污水中硫化物的浓度超标，即硫化物的浓度超过最高允许的．环保局要求该企业立即整改，在15天以内(含15天)排污达标．整改过程中，所排污水中硫化物的浓度与时间(天)的变化规律如图所示，其中线段表示前天的变化规律，从第3天起，所排污水中硫化物的浓度与时间成反比例关系． (1)求整改过程中硫化物的浓度与时间的函数表达式； (2)该企业所排污水中硫化物的浓度，能否在15天以内不超过最高允许的？为什么？ 24．如图是一次药物临床试验中受试者服药后学业中的药物浓度（微克/毫升）与用药的时间（小时）变化的图象．第一次服药后对应的图象由线段和部分双曲线组成，服药6小时后血液中的药物浓度达到最高，16小时后开始第二次服药，服药后对应的图象由线段和部分曲线组成，其中与平行．血液中的浓度不低于5微克/毫升时有疗效． (1)分别求受试者第16小时，第22小时血液中的药物浓度； (2)受试者第一次服药后第二次服药前这16小时内，有疗效的持续时间达到6小时吗? (3)若血液中的药物浓度不高于4微克/毫升时才能进行第三次服药，问受试者第二次服药后至少经过几小时可进行第三次服药? 考点04 工程问题 25．某工程队接到一项开挖水渠的工程，所需天数（单位：天）是每天完成的工程量（单位：）的反比例函数，其图象经过点．已知该工程队每台挖掘机每天能够开挖水渠，若要求该工程队恰好天完成此项任务，则需要几台这样的挖掘机？ 26．某工程队修建一条公路，所需时间（单位：天）与每天修建该公路的长度（单位：米）是反比例函数关系，如图，该函数关系的图象经过点． (1)求与之间的函数解析式（不用写出自变量的取值范围）； (2)其它条件不变，求该工程队每天修建该公路30米要比每天修建25米提前多少天完成此项工程？ 27．一工程中，某工程队工人每天需要挖掘20吨土的深沟，整个工程完毕恰好用了6天. (1)在工程结束后，工人需要把所有的土进行回填，在整个回填过程中，平均回填速度v（单位：吨/天）与回填天数t之间有怎样的函数关系? (2)由于遇到紧急情况，要求整个回填工程不超过4天完毕，那么平均每天至少要回填多少吨土? 28．某工程队接受一项开挖水渠的工程，所需天数（单位：天）是每天完成的工程量（单位：天）的反比例函数，其图象经过点（如图）． (1)求与的函数关系式； (2)已知该工程队每台挖掘机每天能够开挖水渠，若要求该工程队恰好20天完成此项任务，那么需要几台这样的挖掘机? 29．在伊通河治理工程实验过程中，某工程队接受一项开挖水架的工程，所需天数（单位：天）与每天完成的工程量（单位：m/天）之间的函数关系图象是如图所示的双曲线的一部分．    (1)请根据题意，求关于的函数解析式； (2)若该工程队有台挖掘机，每台挖掘机每天能够开挖水渠，则该工程队需用多少天才能完成此项任务？ 30．被称为“世纪工程”的广西平陆运河正在建设中，运河的某标段工程需要运送的土石方总量为300000立方米，某运输公司承担了该项工程运送土石方的任务．    (1)设该运输公司平均的运送速度为y（单位：立方米/天），完成运送任务所需的时间为x（单位：天）． ①请直接写出y与x的函数关系式； ②若该运输公司每天可运送土石方6000立方米，则该公司完成全部运输任务需要多长时间？ (2)由于工程进度的需要，该公司实际平均每天运送土石方比原计划多2500立方米，结果工期比原计划减少了10天，该公司原计划每天运送土石方多少立方米． 31．某市计划建设一项水利工程，工程需要运送的土石方总量为米3，某运输公司承办了这项工程运送土石方的任务． （1）完成运送任务所需的时间（单位：天）与运输公司平均每天的工作量（单位：米3/天）之间具有怎样的函数关系？ （2）已知这个运输公司现有50辆卡车，每天最多可运送土石方米3，则该公司完成全部运输任务最快需要多长时间？ （3）运输公司连续工作30天后，天气预报说两周后会有大暴雨，公司决定10日内把剩余的土石方运完，平均每天至少增加多少辆卡车？ 32．在工程实施过程中，某工程队接受一项开挖水渠的工程，所需天数y(天)与每天完成工程量x米的函数关系图象如图所示，是双曲线的一部分． (1)请根据题意，求y与x之间的函数表达式； (2)若该工程队有2台挖掘机，每台挖掘机每天能够开挖水渠30米，问该工程队需要用多少天才能完成此项任务？ (3)如果为了防汛工作的紧急需要，必须在10天内完成任务，那么每天至少要完成多少米？ 考点05 行程问题 33．一司机驾驶汽车从甲地去乙地，以千米/小时的平均速度用6小时到达目的地． (1)当他按原路匀速返回时，求汽车速度（千米/小时）与时间（小时）之间的函数关系式； (2)若返回时，司机全程走高速公路，且匀速行驶，根据规定：最高车速不得超过每小时公里，最低车速不得低于每小时公里，试问返程时间的范围是多少？ 34．汽车的功率P（瓦）与行驶速度v（米/秒）和汽车所受的牵引力F（牛）之间的关系为．某汽车的功率P（瓦）为一定值，汽车行驶时的速度v（米/秒）与它所受的牵引力F（牛）之间的函数关系如图所示． (1)这辆汽车的功率是多少？请写出v关于F的函数表达式． (2)当它所受牵引力为1200牛时，汽车的速度为多少千米/时？ (3)如果限定汽车的速度不超过30米/秒，那么F在什么范围内？ 35．某汽车油箱的容积为，小王把油箱加满油后驾驶汽车从县城到外的省城接客人，接到客人后立即按原路返回.请回答下列问题： (1)油箱加满油后，汽车行驶的总路程（单位：）与平均耗油量（单位：）有怎样的函数关系（列出函数表达式）？ (2)小王以平均每千米耗油的速度驾驶汽车到达省城，返程时由于下雨，小王降低了车速，此时平均每千米的耗油量增加了一倍，如果小王始终以此速度行驶，不需加油能否回到县城？如果不能，至少还需加多少油？ 36．越来越多的人选择骑自行车这种低碳又健康的方式出行．某日，家住东涌的李老师决定用骑行代替开车去天后宫．当路程一定时，李老师骑行的平均速度v（单位：千米/小时）是骑行时间t（单位：小时）的反比例函数．根据以往的骑行两地的经验，v、t的一些对应值如下表： t（小时） 2 1.5 1.2 1 v（千米/小时） 12 16 20 24 (1)根据表中的数据，求李老师骑行的平均速度v关于行驶时间t的函数解析式； (2)安全起见，骑行速度一般不超过30千米/小时．李老师上午8:30从家出发，请判断李老师能否在上午9:10之前到达天后宫，并说明理由； (3)据统计，汽车行驶1千米会产生约0.2千克的二氧化碳．请计算李老师从东涌骑行到天后宫的过程中二氧化碳的减排量． 37．某公司将A地生产的农副产品运往B地市场进行销售，记汽车行驶时间为t小时，平均速度为v千米/小时(汽车行驶速度不超过100千米/小时且不低于60千米/小时)．根据经验，v，t的一组对应值如下表： v（千米/小时） 75 80 85 90 95 t（小时） 4.00 3.75 3.53 3.33 3.16 (1)请你根据表中的数据建立适当的平面直角坐标系并描出对应的点，由此判断v与t之间成什么函数关系； (2)求出平均速度v（千米/小时）关于行驶时间t（小时）的函数表达式并写出自变量t的取值范围 (3)若汽车到达B市场的行驶时间t满足，求平均速度v的取值范围． 38．五一假期，小王一家从杭州到温州自驾游，已知杭州到温州市区A处的路程为300千米，小王家的车油箱的容积为55升，小王把油箱加满后驾驶汽车从杭州出发．    (1)求汽车行驶的总路程s（单位：千米）与平均耗油量b（单位：升/千米）的函数表达式． (2)小王以平均每千米耗油0.1升的速度驾驶汽车到达温州市区A处，休整后沿图示路线继续出发，先到雁荡山B处，再到楠溪江C处，最后到洞头D处．由于下雨，从A处开始直到D处小王降低了车速，此时平均每千米的耗油量增加了20%．如果小王始终以此速度行驶，不需加油能否到达洞头D处？如果不能，至少还需加多少油？ 39．丽水某公司将“丽水山耕”农副产品运往杭州市场进行销售，记汽车行驶时间为t小时，平均速度为v千米/小时（汽车行驶速度不超过100千米/小时）．驾驶员根据平时驾车去往杭州市场的经验，得到v、t的一组对应值如下表： （千米/小时） 50 60 75 80 （小时） 6 5 4 3.75 (1)根据表中的数据，可知该公司到杭州市场的路程为___________千米； (2)求出平均速度v（千米/小时）关于行驶时间（小时）的函数表达式； (3)汽车上午7：30从丽水出发，能否在上午10：00之前到达杭州市场？请说明理由． 40．台州沿海高速的开通，大大方便了玉环人民的出行、玉环至台州段全长38公里，记小车在此段高速的时间为t小时，平均速度为v千米/小时，且平均速度限定不小于60千米/小时，不超过100千米/小时． （1）求v关于t的函数表达式和自变量t的取值范围； （2）张老师家住在距离高速进口站的4千米的地方，工作单位学校在出口站附近，距离出口站约6千米，某天张老师开车从家去学校上班，准备从家出来是早上7：00整，学校规定早上7：50以后到校属于迟到，若从家到进口站和从出口站到学校的平均速度为50千米/小时，假如进收费站、出收费站及等特的时间共计需6分钟，请你通过计算判断张老师是否可能迟到，若有可能迟到，应至少提前多长时间出发？ 考点06 （学科综合）与物理相关反比例函数问题 41．物理学中，分别表示动力和动力臂，，分别表示阻力和阻力臂，当杠杆处于平衡状态时，． 如图①，某兴趣小组取一根长的匀质木杆，用细绳绑在木杆的中点O并将其吊起来．在中点O的左侧且与O相距处挂一个重的物体，在中点O右侧挂一个弹簧测力计（质量忽略不计）并用手向下拉，使木杆处于水平平衡状态．当弹簧测力计与中点O的距离L（单位：）改变时，弹簧测力计的拉力F（单位：）也随之改变． (1)当时，______． (2)在弹性限度内，弹簧伸长的最大长度为，弹簧测力计的拉力是弹簧伸长的长度的正比例函数，如图②所示．求出L与x之间的函数解析式（写出x的取值范围），并在图③画出此函数图象． 42．数学是基础学科，物理研究也离不开数学知识的支撑．密闭容器内有一定质量的二氧化碳。当容器的体积（单位：）变化时，气体的密度（单位：）随之变化．已知密度与体积是反比例函数关系，它的图象如图所示，当时，． (1)求密度关于体积的函数解析式； (2)若，求密度的变化范围． 43．【操作实验】小珂在物理综合实践课上，用一固定电压为的蓄电池，通过调节滑动变阻器来改变电流的大小，从而控制小灯泡的亮度，实验电路图如图所示，已知小灯泡的电阻为（不计温度对灯泡电阻影响），滑动变阻器的电阻为（）（串联电路中总电阻灯泡电阻滑动变阻器的电阻），通过多次试验，得到以下数据表： 电阻 电流 (1)根据实验结果，填空：______，______，根据实验数据直接写出y与x的函数关系式：______（）； (2)【初步探究】请在以下平面直角坐标系中，画出函数的图象，并写出函数的一条性质：______； (3)【深入探究】 已知一次函数，结合（）中函数图象分析，请直接写出当时的取值范围：______． 44．心理学研究发现，一般情况下，在一节的物理课中，学生的注意力随上课时间的变化而变化，开始上课时，学生的注意力逐步增强，后保持平稳一段时间，平稳时间持续，随后学生的注意力开始分散．通过实验分析可知，学生的注意力指标数y随时间的变化规律如图所示，为反比例函数图象的一部分． (1)当时，请求出y关于x的函数解析式． (2)物理老师计划在课堂上讲解两道总计需要的串、并联电路综合题，请问：他能否经过适当的安排，使学生在听这道题目的讲解时注意力指标数不低于30？并说明理由． 45．已知某品牌电动车电池的电压为定值，某校物理小组的同学发现使用该电池时，电流I（单位：A）与电阻R（单位：）是反比例函数关系，它的图象如图所示．    (1)求该品牌电动车电池的电流I与电阻R的函数类系式． (2)该物理小组通过询问经销商得知该电动车以最高速度行驶时，工作电压为电池的电压，工作电流在的范围，请帮该小组确定这时电阻值的范围． 46．【问题提出】 在物理课上，小明同学用一固定电压为的蓄电池，通过调节滑动变阻器来改变电流大小，完成控制灯泡L亮度的实验，如图，已知串联电路中，电流与电阻R、灯丝的阻值之间关系为通过实验得出如下数据： ··· 1 2 3 4 6 ··· ··· a ··· ； （1）填空：的值为Ω，a的值为； 【问题探究】 根据以上实验，构建出函数结合表格信息，探究函数的图象与性质； （2）①在平面直角坐标系中画出对应函数的图象； ②随着自变量x的不断增大，函数值y的变化趋势是（） A．不断增大 B．不断减小 C．先增大后减小 D．先减小后增大 【问题升华】 （3）结合（2）中函数图象分析，当时，的解集为．（结果精确到0.1） 47．周末，小华与同学一行人去户外露营，前进路上遇到一片十几米宽的湿地，为了节省时间，并安全通过，他们计划根据所学物理知识，当压力不变时，压强与所受力面积成反比例函数关系，在湿地上用一些大小不同的木板铺设了一条临时通道已知木板所受压力不变时，木板对湿地面的压强与木板面积的对应值如表： 木板面积 木板对地面地压强 (1)求反比例函数的解析式和自变量的取值范围； (2)在平面直角坐标系中，描出以如表中各对对应值为坐标的点，根据描出的点，画出该函数的图象； (3)当木板面积为时，压强是______ ； (4)结合图象，如果要求压强不超过，木板的面积至少要多大？ 48．在物理学中，电磁波（又称电磁辐射）是由同相振荡且互相垂直的电场与磁场在空间中以波的形式移动，随着技术的发展，依靠电磁波作为信息载体的电子设备被广泛应用于民用及军事领域．电磁波的波长λ（单位：m）会随着电磁波的频率f（单位：）的变化而变化．下表是某段电磁波在同种介质中，波长λ与频率f的部分对应值： 频率 5 10 15 20 波长 60 30 20 15 该段电磁波的波长λ与频率f满足怎样的函数关系？并求出波长λ关于频率f的函数表达式． 1 / 37 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题02 反比例函数实际应用题分类训练 （6种类型48道） 考点01 温度变化 考点02 销售利润 考点03 浓度变化 考点04 工程问题 考点05 行程问题 考点06 （学科综合）与物理相关反比例函数问题 考点01 温度变化 1．石外集团生物实践小组搜集了学校种植园温室大棚智能控制系统测试阶段时的温度变化，并绘制出大棚内的温度y（）随时间x（时）变化的图象．如图所示，点A表示智能控制系统在0时启动，此时大棚内的温度为，线段表示升温阶段，线段表示恒温阶段，双曲线的一部分表示恒温系统关闭阶段，点D表示24时温度降到． (1)求线段及双曲线段的函数表达式． (2)求该大棚在时内，温度不低于的时间长度． (3)此地日出时间为，日落时间为．为保证该大棚中的植物至少有9小时的光照且在此期间大棚温度不低于．小组同学决定推迟智能控制系统的启动时间，至少推迟 小时，能满足上述要求． 【答案】(1)， (2)大棚在时内，温度不低于的时间为12小时 (3)1 【分析】本题考查一次函数和反比例函数的应用，掌握待定系数法求反比例函数的表达式是解题的关键． （1）依据题意，根据待定系数法计算可以得解； （2）分别求出线段及双曲线段温度为的时间，相减即可求解； （3）求出符合光照和温度的时间，进而根据要求即可解答． 【详解】（1）解：设线段的函数表达式为， 根据题意，可得，解得， 故线段的函数表达式为， 设双曲线段的函数表达式为， 将代入，得，解得， ∴， 当时，，解得， 故双曲线段的函数表达式为． （2）由（1）可知线段的函数表达式为， 当时，得，解得， 可知双曲线段的函数表达式为， 当时，得，解得， ， 大棚在时内，温度不低于的时间为12小时． （3）由（2）可知大棚温度不低于的时间段为， 设推迟启动t小时，则推迟后大棚温度不低于的时间段为， 根据题意，可知日照时间为， 大棚温度不低于且有日照的时间至少为9小时， 则，解得， 故至少推迟1小时，能满足题目要求． 故答案为：1． 2．某种玻璃原材料需在环境保存，取出后匀速加热至高温之后停止加热，玻璃温度会逐渐降低至室温（），加热和降温过程中可以对玻璃进行加工，如图是玻璃温度与时间的函数图象，其中降温阶段y与x成反比例函数关系，根据图象信息，回答下列问题： (1)求降温阶段y与x的函数表达式； (2)求温度从降到室温所需要的时间． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了反比例函数的应用，理解题意，结合图象求解是解题关键． （1）由题可得，在反比例函数图象上，设反比例函数解析式为，代入点得到与的函数关系式是； （2）将代入得到，根据，于是得到结论． 【详解】（1）解：设反比例函数表达式为， 把代入得，， 解得， 所以所求函数表达式为； （2）把代入得，， ， 答：所需要的时间为． 3．某款三明治机制作三明治的工作原理如下： ①预热阶段：开机1分钟空烧预热至，机器温度y与时间x成一次函数关系； ②操作阶段：操作3分钟后机器温度均衡升至最高温度后保持恒温状态； ③断电阶段：操作完成后进行断电降温，机器温度y与时间x成反比例关系． 如图是李阿姨某次制作三明治时机器温度与时间的函数图象，请结合图象解答下列问题： (1)当时，求机器温度y与时间x的函数关系式； (2)已知当时，机器温度y与时间x的函数关系式为，则三明治机工作温度持续在以上的时间是多少分钟? 【答案】(1) (2)分钟 【分析】本题考查了一次函数与反比例函数的实际应用，正确读懂函数图象，求出函数解析式是解题的关键． （1）当时，设，再由待定系数法求解即可； （2）把时，依次代入及中，求出对应的时间，即可求出时间差． 【详解】（1）解：当时，设， 将代入得：   ∴机器温度y与时间x的函数关系式为； （2）解：当时， 依次代入及中， 分别解得， 故持续时间长为： (分钟)；   答：三明治机工作温度在以上持续分钟． 4．制作某种金属工具要进行煅烧和锻造两个工序，即将材料由烧到后立即开始锻造操作，当材料温度低于时，须停止锻造并立即进行再次煅烧．每次煅烧温度上升的速度相同，煅烧过程温度与时间成一次函数关系，第一次锻造造时温度与时间成反比例函数关系，开始制作后第8分钟材料的温度为． (1)求第一次锻造操作的时长； (2)求第二次开始锻造的时间． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了反比例函数的应用，解题的关键是求出反比例函数的解析式． （1）先求出反比例函数的解析式，再求出当和时x的值，即可得答案； （2）先求出煅烧温度上升的速度，再求出第二次煅烧时需要的时间，即可得答案． 【详解】（1）解：材料锻造时，设， 由题意得，解得， ， 当时，，解得：， 当时，，解得：， ， 所以第一次锻造操作的时长是； （2），所以煅烧时温度每分钟上升， ，所以第二次煅烧需要， ，所以第二次开始锻造的时间是第． 5．天舟九号货运飞船与中国空间站实现“太空牵手”，为空间站送去了宝贵的“太空快递”．快递中有一个给食物加热的餐具．该餐具给食物加热的时间与食物的温度之间的函数图象如图所示．该餐具4分钟就可以将的食物加热到，此后停止加热，食物温度开始下降．已知食物温度下降过程中食物温度y（单位：）与时间x（单位：）成反比例关系． (1)求食物温度下降过程中y与x的函数关系式．（无需写出自变量x的取值范围） (2)若食物需要从加热到，然后降温到方可食用．问食物从开始加热，到可以食用需要等待多长时间？ 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查实际问题与反比例函数，正确的求出函数解析式是解题的关键： （1）待定系数法求出函数解析式即可； （2）求出时的自变量的值，即可得出结果． 【详解】（1）解：食物温度下降过程中y与x成反比例关系，设． 反比例函数的图象过点， ，解得， ． （2）令，得，解得． 答：食物从餐具开始加热，到可以食用需要等待． 6．如图所示，制作某种食品的同时需将原材料加热，设该材料温度为，从加热开始计算的时间为分钟．据了解，该材料在加热过程中温度与时间成一次函数关系．已知该材料在加热前的温度为，加热一段时间使材料温度达到时停止加热，停止加热后，材料温度逐渐下降，这时温度与时间成反比例函数关系，已知第12分钟时，材料温度是． (1)分别求出该材料加热和停止加热过程中与的函数关系式（写出的取值范围）； (2)根据该食品制作要求，在材料温度不低于的这段时间内，需要对该材料进行特殊处理，那么对该材料进行特殊处理的时间为多少分钟？ 【答案】(1)该材料加热过程中对应的函数解析式为，停止加热过程中对应的函数解析式为 (2)对该材料进行特殊处理的时间为12分钟 【分析】本题考查反比例函数与一次函数的应用，解答本题的关键是明确题意，求出相应的函数解析式，利用数形结合的思想解答． （1）根据图象中的数据可以先求出反比例函数的解析式，再求出时对应的的值，即可得到一次函数对应的解析式，注意要写出自变量的取值范围； （2）将代入（1）中的两个函数解析式，即可得到相应的的值，然后作差即可． 【详解】（1）解：设停止加热过程中对应的函数解析式为， 点在该函数的图象上， ， 解得， 停止加热过程中对应的函数解析式为， 当时，，解得， 当时，，解得， 停止加热过程中对应的函数解析式为， 设该材料加热过程中对应的函数解析式为， 点、在该函数的图象上， ，得， 该材料加热过程中对应的函数解析式为； （2）解：将代入中，，得， 将代入中，，得， （分钟）， 答：对该材料进行特殊处理的时间为12分钟． 7．某款三明治机制作三明治的工作原理如下： ①预热阶段：开机1分钟空烧预热至，机器温度y与时间x成一次函数关系； ②操作阶段：操作3分钟后机器温度均衡升至最高温度后保持恒温状态； ③断电阶段：操作完成后进行断电降温，机器温度y与时间x成反比例关系． 如图所示为某次制作三明治时机器温度与时间的函数图象，请结合图象回答下列问题 (1)当时，求机器温度y与时间x的函数关系式； (2)求三明治机工作温度持续在以上的时间是多少分钟？ 【答案】(1) (2)三明治机工作温度在以上持续分钟． 【分析】本题考查了待定系数法求解析式，持续时间的计算，一次函数与反比例函数的应用，熟练掌握应用是解题的关键． （1）分成和两段计算解答即可； （2）求出反比例函数的解析式，分别计算的自变量的值，自变量的差即为所求． 【详解】（1）解：由图象可知：当时，； 设温度与时间之间的关系式为， 根据题意，得， 解得， 故， 综上：； （2）解：当时，设， 将代入得：， ； 当时， 依次代入及中， 分别解得， 故持续时间为：(分钟)；   答：三明治机工作温度在以上持续分钟． 8．综合与实践：探索某款节能冰箱的日耗电量． 素材1：某款冰箱，耗电功率为0.16千瓦．当内部温度为时，冰箱运行，当温度下降到时，停止运行．温度上升到时，冰箱再次运行，如此循环． 素材2：冰箱内部温度与时间（分钟）如图所示： 当时，是的一次函数；当时，是的反比例函数． 链接：冰箱每天耗电量（度）耗电功率（千瓦）每天运行时间（小时）． 任务1：求时，关于的函数表达式，并求出的值； 任务2：该冰箱的广告中声称：每天耗电不超一度电．请问该冰箱的广告是否符合实际？（忽略特殊情况的耗电量）． 【答案】任务一：；任务二：冰箱的广告符合实际 【分析】本题主要考查了反比例函数的应用，解题的关键是根据点的坐标，利用待定系数法求出函数关系式． 任务1：设时，关于的函数表达式为，将点代入，利用待定系数法求解即可，再求出当时x的值，即可得到t的值； 任务2：结合任务1，可得冷柜每60分钟为一个循环，且每一个循环运行时间为分钟，然后根据“冷柜每天耗电量（度）耗电功率（千瓦）每天运行时间（小时）”求解即可． 【详解】解：任务1：将代入得，， ． 当时，， 解得， ， 即． 任务2：每天的耗电量度度， 冰箱的广告符合实际． 考点02 销售利润 9．双十一促销活动开始，甲乙两家商场采用了不同的促销方案．如果用优惠率（其中代表优惠金额，代表顾客购买商品的总金额）衡量消费者受益程度，则甲乙两商场的优惠率与顾客购买总金额（元）之间的函数关系分别如图所示，其中成反比例函数关系，且总金额m（元）的取值范围满足． (1)___________；用含m的代数式表示：___________． (2)当购买总金额m（元）在的条件下时，指出甲、乙两家商场正在采取的促销方案分别是什么？ 甲：___________；乙：___________ (3)完全相同的商品，在甲、乙两家商场的标价都是m元（），选择哪家商场购买该商品花钱少？请说明理由． 【答案】(1)100， (2)打6折促销，优惠100元 (3)当时，甲商场更优惠；当时，乙商场更优惠． 【分析】本题考查了反比例函数的应用和一元一次不等式的应用，解题的关键是正确理解题意、从题目中得出反比例函数的模型． （1）把代入中即可求得，然后根据始终为0.4可得与m的关系； （2）根据（1）的结论和图象即可得出结果； （3）先根据（2）题的促销方案求出在两家商场购买花钱一样多时的的值，再结合图象分类求解即可． 【详解】（1）解：把代入中，得， 由于始终为0.4，即， ； 故答案为：100，； （2）解：由（1）及优惠率的含义可知：当购买总金额都为元，且在的条件下时 甲家商场采取的促销方案是：打6折促销， 乙家商场采取的促销方案是：优惠100元， 故答案为：打6折促销，优惠100元； （3）解：由（2）题可知， 当时，甲家商场需花元，乙家商场需花元， 当时，解得，即当时，在两家商场购买花钱一样多， 再由图象易知，当时，乙商场更优惠；当时，甲商场更优惠． 10．某公司生产甲、乙两种产品，每件甲种产品的成本为15元，每件乙种产品的成本包括材料成本和制造成本，其中材料成本固定不变，制造成本与生产产品的数量成反比；现计划生产甲、乙两种产品共200件，其中生产乙产品件，乙产品每件成本为元，在生产过程中，可以得到如下数据： （件） 20 40 （元） 20 15 (1)求与之间的函数关系式； (2)若生产甲产品的总成本不少于生产乙产品的总成本，求生产这200件产品的最小成本． 【答案】(1) (2)最小成本2640元 【分析】此题考查了反比例函数和一次函数的应用，一元一次不等式的应用，一次函数的性质， （1）设，利用待定系数法求解即可； （2）根据题意列出不等式，求出，设生产这200件产品的成本为，根据题意表示出W，然后根据一次函数的性质求解即可． 【详解】（1）解：设，由题意得， 解得， 所以； （2）解：由题意得，， 解得， 设生产这200件产品的成本为， 则 因为， 所以随的增大而减小； 所以当时，最小，最小值2640元． 11．某农户共摘收草莓，为寻求合适的销售价格，进行了天试销，试销中发现这批草莓每天的销售量与售价（元/）之间成反比例关系，已知第天以元/的价格销售了．现假定在这批草莓的销售中，每天的销售量与销售价格（元/）之间都满足这一关系． (1)求与之间的函数表达式； (2)在试销期间，第天的销售价格比第天低了元/，但销售量却是第二天的倍，求第二天的销售价格； (3)试销天共销售草莓，该农户决定将草莓的售价定为元/，并且每天都按这个价格销售，问余下的草莓预计还需多少天可以全部售完？ 【答案】(1) (2)元/ (3)天 【分析】本题考查了反比例函数的应用以及分式方程的应用，正确得出反比例函数解析式是解答本题的关键． （1）根据“第天以元/的价格销售了”，得出函数解析式即可； （2）设第二天的销售价格是元/，根据“第天的销售价格比第天低了元/，但销售量却是第二天的倍”，列出分式方程，求解即可； （3）把代入得出的值，进而求出答案即可． 【详解】（1）解：设与之间的函数表达式为， 将，代入，得， 解得：， 与之间的函数表达式为； （2）解：设第二天的销售价格是元/，则 ， 解得：， 经检验是原分式方程的解， 答：第二天的销售价格为元/； （3）解：草莓的销售价格定为元/，每天的销售量为：（千克）， （天）， 答：余下的草莓预计还需天可以全部售完． 12．某商场出售一批进价为120元/件的商品311件，为寻求合适的销售价格，商场营销部进行了4天试销活动，发现此商品的日销售单价（元/件）与日销售量（件）之间有如下关系：观察表中数据，发现可以用反比例函数刻画这种商品的日销售量（件）与日销售单价（元/件）之间的关系 第1天 第2天 第3天 第4天 日销售单价（元/件） 150 200 240 250 日销售量（件） 40 30 25 24 (1)写出这个反比例函数的解析式（不必写的取值范围）； (2)在试销4天后，若商场决定将这种商品的销售单价定为250元/件，并且每天都按这个价格销售，那么余下的这些商品预计再用多少天可以全部售出； (3)设商品的日销售利润为元，试求出与之间的函数关系式，物价局规定此商品的售价最高不超过300元/件，若商场按获得最大日销售利润的销售单价出售该商品，能否在试销后的10天内售完该商品？ 【答案】(1) (2)8天 (3)能 【分析】本题主要考查反比例函数的应用，熟练掌握反比例函数的定义和性质是解题的关键． （1）设出反比例函数解析数，找一点代入即可； （2）根据题意计算即可； （3）根据，可表示出与之间的函数关系式，再根据求出最大利润，再进行计算即可． 【详解】（1）解：设反比例函数的解析式为， 把代入得， 解得， ∴反比例函数的解析式为． （2）解：（天）， ∴商场按销售价格250元/件出售该商品，余下的商品预计再用8天全部售出． （3）解：依题意， 整理得：， ∵， ∴当时，最大， ∴当时，， ∴（天）， ∴商场按获得最大日销售利润的销售单价出售该商品，能在试销后的10天内售完该商品． 13．某公司今年推出一款产品．根据市场调研，发现如下信息． 信息1：每月的销售总量y（件）和销售单价x（元/件）存在函数关系，其图象由部分双曲线和线段组成． 信息2：该产品2月份的单价为66元/件，3月份的单价降低至45元/件，在生产成本不变的情况下，这两月的销售利润相同． 根据以上信息，解答下列问题： (1)求该产品的生产成本； (2)该公司计划在4月份通过技术改造，使生产成本降低，同时继续降低销售价格，使得4月份的销售利润不低于3月份．求4月份该产品销售单价的范围． 【答案】(1)该产品的生产成本为38元/件 (2)4月份该产品销售单价的范围是 【分析】本题考查了反比例函数的应用，解不等式，正确地求出反比例函数的解析式是解题的关键． （1）根据题意得到．把代入解析式得到，设该产品的生产成本为元件，列方程即可得到结论； （2）根据题意得到3月份利润为元．由题意得4月份成本为元件，列不等式即可得到结论． 【详解】（1）解：由图象得曲线解析式为． 令，则， 即3月份销售量为400件， 设该产品的生产成本为元件，则， 解得， 答：该产品的生产成本为38元件； （2）解：3月份利润为：元． 由题意得4月份成本为元件， 则， 解得， 月份该产品销售单价的范围是． 14．甲、乙两家商场进行促销活动，甲商场采用“满200减100”的促销方式，即购买商品的总金额满200元但不足400元，少付100元；满400元但不足600元，少付200元，乙商场按顾客购买商品的总金额打6折促销． (1)若顾客在甲商场购买了510元的商品，付款时应付多少钱？ (2)若顾客在甲商场购买商品的总金额为元，优惠后得到商家的优惠率为，写出p与x之间的函数关系式，并说明p随x的变化情况． (3)品牌、质量、规格等都相同的某种商品，在甲、乙两商场的标价都是元，你认为选择哪家商场购买商品花钱较少？请说明理由． 【答案】(1)310元 (2)，p随x的增大而减小 (3)当，即时，选甲商场购买商品花钱较少；当，即时，选甲乙商场一样优惠；当，即时，选乙商场购买商品花钱较少． 【分析】（1）根据题意直接列出算式即可． （2）根据商家的优惠率即可列出p与x之间的函数关系式，并能得出p随x的变化情况． （3）先设购买商品的总金额为x元，，得出甲商场需花元，乙商场需花元，然后分三种情况列出不等式和方程即可． 【详解】（1）解：由题意得，顾客在甲商场购买了510元的商品，付款时应付（元）． （2）解：由题意得，p与x之间的函数关系式为． ∵， ∴p随x的增大而减小． （3）解：时，在甲商场的优惠额是100元，乙商场的优惠额是． 当，即时，选甲商场购买商品花钱较少； 当，即时，选甲乙商场一样优惠； 当，即时，选乙商场购买商品花钱较少． 【点睛】本题主要考查了反比例函数的实际应用，一元一次不等式的实际应用，一元一次方程的实际应用，正确理解题意列出对应的方程和不等式以及函数关系式是解题的关键． 15．某超市计划购进一批A、B两种规格的端午节礼盘进行销售，进价和售价如下表所示： 端午节礼盘规格 A B 进价(元/盘) 80 100 售价(元/盘) 120 160 若购进两种规格的端午节礼盒共300盒，且投入资金不超过26800元． (1)该超市应购进A规格端午节礼盒至少多少盒? (2)若超市购进A规格端午节礼盒的进价每盒降低a元，并保持这两个规格的端午节礼盒的售价不变，且最多购进240盒A规格端午节礼盒．如果这批端午节礼盒售出后，超市刚好获利18480元，求a的取值范围． 【答案】（1）该超市应购进A规格端午节礼盒至少160盒；（2）a的取值范围 【分析】（1）设超市购进A规格端午节礼盒x盒，则购进B规格端午节礼盒（300-x）盒，由题意可得：80x+100（300-x）≤26800，解出该不等式即可； （2）根据题意可得：（120-80+a）x+（160-100）（300-x）=18480，整理得到，再结合题意和（1）中结论得到x的取值范围，进而得到a的取值范围． 【详解】（1）设超市购进A规格端午节礼盒x盒，则购进B规格端午节礼盒（300-x）盒， 由题意可得：80x+100（300-x）≤26800， 解得：x≥160 答：该超市应购进A规格端午节礼盒至少160盒． （2）根据题意可得：（120-80+a）x+（160-100）（300-x）=18480， 整理得：-20x+ax=480， ， 由题意最多购进240盒A规格端午节礼盒可知x≤240， 又由（1）可知，x≥160，即160≤x≤240， 此时，， 综上，a的取值范围． 【点睛】本题考查一元一次不等式的实际应用和反比例函数的应用，根据题意找到等量关系或不等关系是解题的关键． 16．元旦期间，甲、乙两家商场都进行了促销活动，如何才能更好地衡量钏销对消费者受益程度的大小呢？某数学小组通过合作探究发现用优惠率p=(其中k代表优惠金额，m代表顾客购买商品的总金额)可以很好地进行衡量，优惠率p越大，消费者受益程度越大；反之就越小.经统计，若顾客在甲、乙两家商场购买商品的总金额都为m(200≤m＜400)元时，优惠率分别为P甲=与P乙=，它们与m的关系图象如图所示，其中p甲与m成反比例函数关系，p乙保持定值. (1)求出k甲的值，并用含m的代数式表示k乙. (2)当购买总金额m(元)在200≤m＜400的条件下时，指出甲、乙两家商场正在采取的促销方案分别是什么. (3)品牌、质量、规格等都相同的某种商品，在甲、乙两家商场的标价都是m(200≤m＜400)元，你认为选择哪家商场购买该商品花钱少些？请说明理由. 【答案】（1）k甲＝100，k乙＝0.4m；（2）甲家商场采取的促销方案是：优惠100元，乙家商场采取的促销方案是：打6折促销；（3）当m＝250时，在两家商场购买花钱一样多；当200≤m＜250时，甲商场更优惠；当250＜m＜400时，乙商场更优惠，理由见解析． 【分析】（1）把m＝200，p甲＝0.5代入P甲=中即可求得k甲，然后根据p乙始终为0.4可得k乙与m的关系； （2）根据（1）的结论和图象即可得出结果； （3）先根据（2）题的促销方案求出在两家商场购买花钱一样多时的m的值，再结合图象分类求解即可． 【详解】解：（1）把m＝200，p甲＝0.5代入P甲=中，得k甲＝100， 由于p乙始终为0.4，即，∴k乙＝0.4m； （2）由（1）及优惠率p的含义可知：当购买总金额都为m元，且在200≤m＜400的条件下时， 甲家商场采取的促销方案是：优惠100元， 乙家商场采取的促销方案是：打6折促销； （3）由（2）题可知，当200≤m＜400时，甲家商场需花（m﹣100）元，乙家商场需花0.6m元． 当m﹣100＝0.6m时，解得m＝250．即当m＝250时，在两家商场购买花钱一样多， 再由图象易知，当200≤m＜250时，甲商场更优惠；当250＜m＜400时，乙商场更优惠． 【点睛】本题考查了反比例函数的应用和一元一次不等式的应用，解题的关键是正确理解题意、从题目中得出反比例函数的模型. 考点03 浓度变化 17．近年来，我国煤矿安全事故频频发生，其中危害最大的是瓦斯，其主要成分是．在一次矿难事件的调查中发现：从零时起，井内空气中的浓度达到，此后浓度呈直线型增加，在第7小时达到最高值，发生爆炸；爆炸后，空气中的浓度成反比例下降．如图所示，根据题中相关信息回答下列问题： (1)求爆炸前后空气中浓度与时间的函数关系式； (2)当空气中的浓度达到时，井下的矿工接到自动报警信号，这时他们至少要以多少的速度撤离才能在爆炸前逃生？ (3)矿工只有在空气中的浓度降到及以下时，才能回到矿井开展生产自救，求矿工至少在爆炸后多少小时才能下井？ 【答案】(1)爆炸前：，爆炸后： (2) (3)小时 【分析】本题考查了一次函数的应用、反比例函数的应用． （1）分别设爆炸前y与x的函数关系式为，爆炸后y与x的函数关系式为，进而求解即可； （2）将代入，求出撤离的最长时间，进而求撤离的最小速度即可； （3）将代入，求出减7即可． 【详解】（1）解：因为爆炸前浓度呈直线型增加， 所以可设y与x的函数关系式为， 由图象知过点与， 则，解得，则， ∵爆炸后浓度成反比例下降， ∴可设y与x的函数关系式为， 由图象知过点， ∴， ∴， ∴； （2）解：当时，由得，，， ∴撤离的最长时间为（小时）， ∴撤离的最小速度为； （3）解：当时，由得，，（小时）． ∴矿工至少在爆炸后小时才能下井． 18．某污水处理厂在自查中发现，所排污水中硫化物浓度超标，因此立即整改，并开始实时监测．据监测，整改开始第60小时时，所排污水中硫化物的浓度为；从第60小时开始，所排污水中硫化物的浓度是监测时间（小时）的反比例函数．其图象如图所示． (1)当时，求与之间的函数关系式； (2)整改开始第100小时时，所排污水中硫化物浓度为多少？ 【答案】(1) (2)整改开始第100小时时，所排污水中硫化物浓度为 【分析】本题考查反比例函数的实际应用，正确的求出函数解析式是解题的关键： （1）待定系数法求出函数解析式即可； （2）求出时的函数值即可． 【详解】（1）解：设， 把代入，得：， ∴； （2）当时，； 答：整改开始第100小时时，所排污水中硫化物浓度为． 19．驾驶员血液中每毫升的酒精含量大于或等于微克即为酒驾，某研究所经实验测得，成人饮用某品牌度白酒后血液中酒精浓度（微克毫升）与饮酒时间（小时）之间函数关系如图所示（当时，与成反比例）． (1)根据图象直接写出：血液中酒精浓度上升阶段的函数解析式为 ；下降阶段的函数解析式为 ；（并写出的取值范围） (2)问血液中酒精浓度不低于微克毫升的持续时间是多少小时？ 【答案】(1)， (2)血液中药物浓度不低于微克毫升的持续时间小时 【分析】本题考查一次函数的应用、反比例函数的应用等知识. （1）当时，设直线解析式为：，当时，设反比例函数解析式为：，利用待定系数法即可解决问题； （2）分别求出时的两个x值，再求时间差即可解决问题． 【详解】（1）解：当时， 由图象可知，y是x的正比例函数，令，代入 ∴ ∴ ∴ 当时，y与x成反比例，令，代入 ∴ ∴ ∴ （2）解：当，则， 解得：， 当，则， 解得：， （小时）， 血液中药物浓度不低于微克毫升的持续时间小时． 20．某药品研究所开发一种抗菌新药，经多年动物实验，首次用于临床人体试验，测得成人服药后血液中药物浓度y（单位：微克/毫升）与服药时间x（单位：h）之间函数关系如图所示， (1)求y与x之间的函数表达式． (2)血液中药物浓度不低于4微克/毫升的时候对人体是有效的，服药后对人体的有效时间是多少？ 【答案】(1) (2)服药后对人体的有效时间是 【分析】本题主要考查了反比例函数的应用、一次函数的应用等知识点，根据题意得出函数解析式是解题关键． （1）设出解析式，利用待定系数法求解析式，并写出自变量的取值范围即可； （2）根据题意得出时两个函数中的自变量的值，即可找出取值范围． 【详解】（1）当时，函数为正比例函数，设：， ∵函数经过点， ∴，即， ∴当时，； 当时，函数为反比例函数，设：， ∵函数经过点， ∴，即， ∴当时，， ∴； （2）当药物浓度为4微克/毫升时，即时， 由，得， 由，得， ∴根据图象可以判断出：当时，血液中药物浓度不低于4微克/毫升， ∴持续时间为． 21．某药品研究所开发一种抗菌新药，经多年动物实验，首次用于临床人体实验，测得成人服药后血液中药物浓度y（微克/毫升）与服药时间x（h）之间的函数关系如图所示（当时，y与x成反比例）．    (1)根据图象求出血液中药物浓度下降阶段y关于x的函数表达式； (2)问：血液中药物浓度不低于5微克/毫升的持续时间为多少小时？ 【答案】(1)； (2)6h． 【分析】（1）设出解析式，利用待定系数法求解析式，并写出自变量的取值范围即可； （2）根据题意得出在两个函数中的自变量的值，即可找出取值范围． 【详解】（1）由题意可知，当时，y与x成反比例关系，设． 由图象可知，当时， ∴ ∴ ∴下降阶段的函数表达式为 （2）由图象可知，当时，y与x成正比例关系，设． 当时， ∴ 解得 ∴． 在中，当时， 在中，当时， 观察图象可知，当时，血液中药物浓度不低于5微克/毫升，即持续时间为6h． 【点睛】本题主要考查了反比例函数和一次函数的应用，根据题意得出函数解析式是解题关键． 22．为了做好校园疫情防控工作，学校每周要对办公室和教室进行药物喷洒消毒，消毒药物在每间教室内空气中的浓度y（单位：）与时间x（单位：）的函数关系如图所示．在进行药物喷洒时y与x的函数关系式为，药物喷洒完成后y与x成反比例函数关系，两个函数图象的交点为． (1)n的值为__________； (2)当时，y与x的反比例函数关系式为__________； (3)当教室空气中的药物浓度不高于时，对人体健康无危害．当教室药物喷洒完成后，学生能否进入教室？请通过计算说明． 【答案】(1)10 (2) (3)能，说明见解析 【分析】(1)把代入，解方程即可求解； (2)把代入，即可求解； (3)当时，，据此即可判定． 【详解】（1）解：把代入， 得， 故答案为：10； （2）解：设反比例函数的解析式为， 把代入， 得， 解得， 故反比例函数的解析式为， 故答案为：； （3）解：能进教室， 当时，， 即教室空气中的药物浓度不高于，所以能进教室． 【点睛】本题考查了从函数图象获取相关信息，求反比例函数的解析式，从函数图象获取相关信息是解决本题的关键． 23．环保局对某企业排污情况进行检测，结果显示：所排污水中硫化物的浓度超标，即硫化物的浓度超过最高允许的．环保局要求该企业立即整改，在15天以内(含15天)排污达标．整改过程中，所排污水中硫化物的浓度与时间(天)的变化规律如图所示，其中线段表示前天的变化规律，从第3天起，所排污水中硫化物的浓度与时间成反比例关系． (1)求整改过程中硫化物的浓度与时间的函数表达式； (2)该企业所排污水中硫化物的浓度，能否在15天以内不超过最高允许的？为什么？ 【答案】(1)当时，；当时， (2)能在15天以内不超过最高允许的，理由见解析 【分析】（1）根据函数图象，分类讨论①当时，设线段对应的函数表达式为②当时，设，待定系数法求解析式即可求解； （2）令，则，结合题意即可求解． 【详解】（1）分情况讨论： ①当时， 设线段对应的函数表达式为 把代入得， 解得：， ； ②当时，设， 把代入得：， ∴； 综上所述：当时，；时，； （2）能；理由如下： 令，则， ， 故能在天以内不超过最高允许的． 【点睛】本题考查了反比例函数与一次函数的应用，求得解析式是解题的关键． 24．如图是一次药物临床试验中受试者服药后学业中的药物浓度（微克/毫升）与用药的时间（小时）变化的图象．第一次服药后对应的图象由线段和部分双曲线组成，服药6小时后血液中的药物浓度达到最高，16小时后开始第二次服药，服药后对应的图象由线段和部分曲线组成，其中与平行．血液中的浓度不低于5微克/毫升时有疗效． (1)分别求受试者第16小时，第22小时血液中的药物浓度； (2)受试者第一次服药后第二次服药前这16小时内，有疗效的持续时间达到6小时吗? (3)若血液中的药物浓度不高于4微克/毫升时才能进行第三次服药，问受试者第二次服药后至少经过几小时可进行第三次服药? 【答案】(1)第16小时的血液浓度为3微克/毫升，第22小时的血液浓度为11微克/毫升 (2)不超过6小时 (3)48小时 【分析】（1）先求双曲线的函数解析式，可得第16小时的血液浓度，再求直线的解析式，得，再求直线的函数解析式，即可得第22小时的血液浓度； （2）将代入直线的解析式和双曲线的解析式，即可得答案； （3）曲线的函数解析式为，将代入，即可得答案． 【详解】（1）解：把点代入双曲线的解析式得，， 双曲线的函数解析式， 当时，，即第16小时的血液浓度为3微克/毫升， 设直线的解析式为，把点代入得，， ∵OA与BC平行， ∴直线、OB的解析式中的k一样， 设直线的解析式为，把点代入得， 直线的函数解析式， 当时，，即第22小时的血液浓度为11微克/毫升； （2）当时，若，则，解得， 当时，若，则，解得， ． 这16小时内药物有疗效的持续时间不超过6小时； （3）把点代入得，． 曲线的函数解析式为，当时，，． ∴受试者第二次服药后至少过48小时，才能进行第三次服药． 【点睛】本题考查了一次函数，反比例函数的应用，解题的关键是正确的求出函数的解析式． 考点04 工程问题 25．某工程队接到一项开挖水渠的工程，所需天数（单位：天）是每天完成的工程量（单位：）的反比例函数，其图象经过点．已知该工程队每台挖掘机每天能够开挖水渠，若要求该工程队恰好天完成此项任务，则需要几台这样的挖掘机？ 【答案】需要台这样的挖掘机 【分析】本题考查了反比例函数的应用，解题的关键是理解题意，求出反比例函数的解析式．设与的函数关系式为，将点代入求出该函数解析式，令，求出，即可求解． 【详解】解：设与的函数关系式为， 点在该函数图象上， ， ， 与的函数关系式为， 当时，， ， （台）． 答：需要台这样的挖掘机． 26．某工程队修建一条公路，所需时间（单位：天）与每天修建该公路的长度（单位：米）是反比例函数关系，如图，该函数关系的图象经过点． (1)求与之间的函数解析式（不用写出自变量的取值范围）； (2)其它条件不变，求该工程队每天修建该公路30米要比每天修建25米提前多少天完成此项工程？ 【答案】(1)； (2)提前8天完成此项工程． 【分析】本题考查的是反比例函数的实际应用； （1）把代入，再进一步解答即可； （2）把与分别代入，再进一步计算即可； 【详解】（1）解：设反比例函数关系式为． 把代入得，， ． （2）解：把代入得，， 把代入得，， ． 答：提前8天完成此项工程． 27．一工程中，某工程队工人每天需要挖掘20吨土的深沟，整个工程完毕恰好用了6天. (1)在工程结束后，工人需要把所有的土进行回填，在整个回填过程中，平均回填速度v（单位：吨/天）与回填天数t之间有怎样的函数关系? (2)由于遇到紧急情况，要求整个回填工程不超过4天完毕，那么平均每天至少要回填多少吨土? 【答案】(1) (2)平均每天至少要回填30吨土 【分析】本题考查反比例函数的应用，根据题意列出反比例函数解析式是解题关键. （1）首先根据题意可知总工作量为吨不变，故回填速度v与回填天数t之间为反比例关系，即，变形即可得出v关于t的函数关系式； （2）由得出，再将代入，即可求出v的取值范围． 【详解】（1）设总工作量为k吨，根据已知条件得， ∴v关于t的函数表达式为； （2）∵， ∴， ∵， ∴， 解得． 那么平均每天至少要回填30吨土． 28．某工程队接受一项开挖水渠的工程，所需天数（单位：天）是每天完成的工程量（单位：天）的反比例函数，其图象经过点（如图）． (1)求与的函数关系式； (2)已知该工程队每台挖掘机每天能够开挖水渠，若要求该工程队恰好20天完成此项任务，那么需要几台这样的挖掘机? 【答案】(1) (2)需要4台这样的挖掘机 【分析】本题主要考查了反比例函数的实际应用，正确利用待定系数法求出对应的函数解析式是解题的关键. （1）设出反比例函数解析式，利用待定系数法求解即可； （2）求出当时，x的值，再用x的值除以15即可得到答案. 【详解】（1）解：设与的函数关系式为， 点在函数图象上， ， ， 所求函数关系式为． （2）解：当时，， ， ， 答：需要4台这样的挖掘机． 29．在伊通河治理工程实验过程中，某工程队接受一项开挖水架的工程，所需天数（单位：天）与每天完成的工程量（单位：m/天）之间的函数关系图象是如图所示的双曲线的一部分．    (1)请根据题意，求关于的函数解析式； (2)若该工程队有台挖掘机，每台挖掘机每天能够开挖水渠，则该工程队需用多少天才能完成此项任务？ 【答案】(1) (2)天 【分析】（1）将点代入反比例函数的解析式，即可求得反比例函数的解析式； （2）用工作效率乘以工作时间即可得到工作量，然后除以工作效率即可得到工作时间． 【详解】（1）解：设解析式为， ∵点在其图象上， 将代入反比例函数的解析式，得, 解得：， ∴所求函数关系式为． （2）解：由题意知，台挖掘机每天能够开挖水渠（米）， 当时，， 故该工程队需要用天才能完成此项任务． 【点睛】本题考查了反比例函数的应用，解题的关键是从中整理出解决实际问题的函数模型． 30．被称为“世纪工程”的广西平陆运河正在建设中，运河的某标段工程需要运送的土石方总量为300000立方米，某运输公司承担了该项工程运送土石方的任务．    (1)设该运输公司平均的运送速度为y（单位：立方米/天），完成运送任务所需的时间为x（单位：天）． ①请直接写出y与x的函数关系式； ②若该运输公司每天可运送土石方6000立方米，则该公司完成全部运输任务需要多长时间？ (2)由于工程进度的需要，该公司实际平均每天运送土石方比原计划多2500立方米，结果工期比原计划减少了10天，该公司原计划每天运送土石方多少立方米． 【答案】(1)①；②50天 (2)7500 m 【分析】（1）①根据题意可知，运输公司平均的运送速度为y（单位：立方米/天），完成运送任务所需的时间为x（单位：天）之间的函数关系即可函数关系；②令求得x即可； （2）该公司原计划每天运送土石方x立方米，则实际每天运送立方米，再根据“工期比原计划减少了10天”列分式方程求解即可． 【详解】（1）解：根据“运送土方总量=平均的运送速度×完成运送任务所需的时间”可得： ，即； ②令时，则（天）． 答：该公司完成全部运输任务需要50天． （2）解：该公司原计划每天运送土石方x立方米，则实际每天运送立方米， 由题意得， 解得，（不合题意，舍去） 检验：当时， 所以，是原分式方程的解． 答：该公司原计划每天运送土石方为． 【点睛】本题主要考查了反比例函数的应用、分式方程的应用等知识点，根据题意列出反比例函数解析式和分式方程是关键． 31．某市计划建设一项水利工程，工程需要运送的土石方总量为米3，某运输公司承办了这项工程运送土石方的任务． （1）完成运送任务所需的时间（单位：天）与运输公司平均每天的工作量（单位：米3/天）之间具有怎样的函数关系？ （2）已知这个运输公司现有50辆卡车，每天最多可运送土石方米3，则该公司完成全部运输任务最快需要多长时间？ （3）运输公司连续工作30天后，天气预报说两周后会有大暴雨，公司决定10日内把剩余的土石方运完，平均每天至少增加多少辆卡车？ 【答案】（1）；（2）该公司完成全部运输任务最快需要50天；（3）每天至少增加50辆卡车． 【分析】（1）根据“平均每天的工作量×工作时间=工作总量”即可得出结论； （2）根据“工作总量÷平均每天的工作量=工作时间” 即可得出结论； （3）先求出30天后剩余的工作量，然后利用剩余10天每天的工作量÷每辆汽车每天的工作量即可求出需要多少辆汽车，从而求出结论． 【详解】解：（1）由题意得：， 变形，得； （2）当时，， 答：该公司完成全部运输任务最快需要50天． （3） 辆， 辆 答：每天至少增加50辆卡车． 【点睛】此题考查的是反比例函数的应用，掌握实际问题中的等量关系是解决此题的关键． 32．在工程实施过程中，某工程队接受一项开挖水渠的工程，所需天数y(天)与每天完成工程量x米的函数关系图象如图所示，是双曲线的一部分． (1)请根据题意，求y与x之间的函数表达式； (2)若该工程队有2台挖掘机，每台挖掘机每天能够开挖水渠30米，问该工程队需要用多少天才能完成此项任务？ (3)如果为了防汛工作的紧急需要，必须在10天内完成任务，那么每天至少要完成多少米？ 【答案】(1)y＝；(2)2台挖掘机需要20天；(3)每天至少要完成120m． 【分析】(1)根据图像找到反比例图象上点的坐标，代入反比例函数的解析式即可求出答案； (2)由第一问可计算出工程的总工作量，再根据题目中的工作效率，可计算出所需的工作时间； (3)第一问中可计算出工作的总量，再由条件中的工作时间，可计算出工程所需的工作效率. 【详解】解：(1)设y＝． ∵点(24，50)在其图象上， ∴所求函数表达式为y＝； (2)由图象，知共需开挖水渠24×50＝1200(m)； 2台挖掘机需要1200÷(2×30)＝20天； (3)1200÷10＝120(m)． 故每天至少要完成120m． 【点睛】本题主要考查反比例函数的实际应用，正确理解题意是解题的关键. 考点05 行程问题 33．一司机驾驶汽车从甲地去乙地，以千米/小时的平均速度用6小时到达目的地． (1)当他按原路匀速返回时，求汽车速度（千米/小时）与时间（小时）之间的函数关系式； (2)若返回时，司机全程走高速公路，且匀速行驶，根据规定：最高车速不得超过每小时公里，最低车速不得低于每小时公里，试问返程时间的范围是多少？ 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了反比例函数： （1）先计算甲乙两地的距离，根据路程不变得到速度与时间的函数关系式； （2）根据速度的范围计算返程时间． 【详解】（1）， 汽车速度（千米/小时）与时间（小时）之间的函数关系式：； （2）函数如图所示，，随的减小而增大， 当，， 当时，， ． 34．汽车的功率P（瓦）与行驶速度v（米/秒）和汽车所受的牵引力F（牛）之间的关系为．某汽车的功率P（瓦）为一定值，汽车行驶时的速度v（米/秒）与它所受的牵引力F（牛）之间的函数关系如图所示． (1)这辆汽车的功率是多少？请写出v关于F的函数表达式． (2)当它所受牵引力为1200牛时，汽车的速度为多少千米/时？ (3)如果限定汽车的速度不超过30米/秒，那么F在什么范围内？ 【答案】(1)， (2)当它所受的牵引力为1200牛时，汽车的速度为180千米/时 (3)若限定汽车的速度不超过30米/秒，则F应不小于2000牛 【分析】本题主要考查了反比例函数的应用，结合函数图像分析出相关信息是解题的关键． （1）函数图像过点， 将点的坐标代入函数关系式，即可求得功率，进而写出函数解析式； （2）将代入函数解析式，即可求出速度v的大小； （3）汽车的速度不超过30米/秒，即，结合函数解析式，解不等式即可求出F的取值范围． 【详解】（1）解：由题意知，反比例函数表达式为， 把代入，得， （瓦）， ∴． （2）解：当牛时， （米/秒）（千米/时）， 即当它所受牵引力为1200牛时，汽车的速度为180千米/时． （3）解：由，得． 所以，若限定汽车的速度不超过30米/秒，则F应不小于2000牛． 35．某汽车油箱的容积为，小王把油箱加满油后驾驶汽车从县城到外的省城接客人，接到客人后立即按原路返回.请回答下列问题： (1)油箱加满油后，汽车行驶的总路程（单位：）与平均耗油量（单位：）有怎样的函数关系（列出函数表达式）？ (2)小王以平均每千米耗油的速度驾驶汽车到达省城，返程时由于下雨，小王降低了车速，此时平均每千米的耗油量增加了一倍，如果小王始终以此速度行驶，不需加油能否回到县城？如果不能，至少还需加多少油？ 【答案】(1)； (2)不加油不能回到县城，油． 【分析】此题主要考查了反比例函数的应用，正确得出函数关系式是解题关键． （1）利用公式：路程＝，即可得出汽车能够行驶的总路程s（单位：）与平均耗油量b（单位：）之间的函数关系式； （2）分别得出往返需要的油量进而得出答案． 【详解】（1）解：汽车能够行驶的总路程s（单位：）与平均耗油量b（单位：）之间的函数关系为：，即. （2）结论：不加油不能回到县城，原因如下： 去省城需用油，从省城返回需用油，全程共用油 ， 不加油不能回到县城，至少还需加油 答：至少还需加油． 36．越来越多的人选择骑自行车这种低碳又健康的方式出行．某日，家住东涌的李老师决定用骑行代替开车去天后宫．当路程一定时，李老师骑行的平均速度v（单位：千米/小时）是骑行时间t（单位：小时）的反比例函数．根据以往的骑行两地的经验，v、t的一些对应值如下表： t（小时） 2 1.5 1.2 1 v（千米/小时） 12 16 20 24 (1)根据表中的数据，求李老师骑行的平均速度v关于行驶时间t的函数解析式； (2)安全起见，骑行速度一般不超过30千米/小时．李老师上午8:30从家出发，请判断李老师能否在上午9:10之前到达天后宫，并说明理由； (3)据统计，汽车行驶1千米会产生约0.2千克的二氧化碳．请计算李老师从东涌骑行到天后宫的过程中二氧化碳的减排量． 【答案】(1) (2)李老师能不能在上午9:10之前到达天后宫，理由见解析 (3)千克 【分析】本题考查反比例函数的应用，关键是求出反比例函数解析式． （1）由表中数据可得，从而得出结论； （2）把代入（1）中解析式，求出v，从而得出结论； （3）根据得到从东涌骑行到天后宫的距离为24千米，根据汽车行驶1千米会产生约0.2千克的二氧化碳即可得到答案． 【详解】（1）解：根据表中数据可知，， ， 李老师骑行的平均速度v关于行驶时间t的函数解析式为； （2）李老师能不能在上午9:10之前到达天后宫，理由： 从上午8：30到上午9：10，李老师用时40分钟，即小时， 当时，（千米/时）， 骑行速度一般不超过30千米/小时， 李老师能不能在上午9:10之前到达天后宫； （3）∵， ∴从东涌骑行到天后宫的距离为24千米， ∴李老师从东涌骑行到天后宫的过程中二氧化碳的减排量为（千克）． 37．某公司将A地生产的农副产品运往B地市场进行销售，记汽车行驶时间为t小时，平均速度为v千米/小时(汽车行驶速度不超过100千米/小时且不低于60千米/小时)．根据经验，v，t的一组对应值如下表： v（千米/小时） 75 80 85 90 95 t（小时） 4.00 3.75 3.53 3.33 3.16 (1)请你根据表中的数据建立适当的平面直角坐标系并描出对应的点，由此判断v与t之间成什么函数关系； (2)求出平均速度v（千米/小时）关于行驶时间t（小时）的函数表达式并写出自变量t的取值范围 (3)若汽车到达B市场的行驶时间t满足，求平均速度v的取值范围． 【答案】(1)根据图象判断为反比例函数，画图见解析 (2) (3) 【分析】（1）根据表格建立直角坐标系，描点，画出图象，根据图象进行判断即可； （2）待定系数法求函数解析式，根据汽车行驶速度不超过100千米/小时且不低于60千米/小时，求出自变量t的取值范围； （3）根据反比例函数的性质，进行求解即可． 【详解】（1）解：如图所示：    由图可知：v与t之间成反比例函数； （2）设，将代入，得：， ∴； ∵， ∴； （3）由图象可知，时，随着的增大而减小； ∴当时，取最大值为：；当时，取最小值为：； ∴． 【点睛】本题考查反比例函数的实际应用，解题的关键是读懂题意，正确的求出函数解析式． 38．五一假期，小王一家从杭州到温州自驾游，已知杭州到温州市区A处的路程为300千米，小王家的车油箱的容积为55升，小王把油箱加满后驾驶汽车从杭州出发．    (1)求汽车行驶的总路程s（单位：千米）与平均耗油量b（单位：升/千米）的函数表达式． (2)小王以平均每千米耗油0.1升的速度驾驶汽车到达温州市区A处，休整后沿图示路线继续出发，先到雁荡山B处，再到楠溪江C处，最后到洞头D处．由于下雨，从A处开始直到D处小王降低了车速，此时平均每千米的耗油量增加了20%．如果小王始终以此速度行驶，不需加油能否到达洞头D处？如果不能，至少还需加多少油？ 【答案】(1) (2)不加油不能到达洞头D处，还需加油升以上 【分析】（1）利用公式：路程总容积平均耗油量，即可得的函数关系式； （2）求出到达温州市区A处所需油量与从A处到达洞头D处所需油量之和，再和55升比较即可． 【详解】（1）解：根据题意得：； （2）从杭州到温州 A 处，一共耗油升， 从 处： ， 一共耗油升， ∴不加油不能到达洞头D处，还需：升 答：不加油不能到达洞头D处，还需加油 5升 以上． 【点睛】本题考查反比例函数的应用，解题的关键是读懂题意，理解平均耗油量与行驶路程的关系． 39．丽水某公司将“丽水山耕”农副产品运往杭州市场进行销售，记汽车行驶时间为t小时，平均速度为v千米/小时（汽车行驶速度不超过100千米/小时）．驾驶员根据平时驾车去往杭州市场的经验，得到v、t的一组对应值如下表： （千米/小时） 50 60 75 80 （小时） 6 5 4 3.75 (1)根据表中的数据，可知该公司到杭州市场的路程为___________千米； (2)求出平均速度v（千米/小时）关于行驶时间（小时）的函数表达式； (3)汽车上午7：30从丽水出发，能否在上午10：00之前到达杭州市场？请说明理由． 【答案】(1)300 (2) (3)不能，理由见解析 【分析】（1）根据即可得s的值； （2）根据表格中数据，可知v是t的反比例函数，设，利用待定系数法求出k即可； （3）根据时间t = 2.5，求出速度，即可判断． 【详解】（1）解：根据表格中的数据，∵ ∴s = 300， ∴该公司到杭州市场的路程为300千米； 故答案为：300； （2）解：由表格中的数据可以看出每一对v与t的对应值乘积为一定值，将每一对对应值作为点的坐标在平面直角坐标系中做出对应的图象是双曲线的一部分，设， ∵v=75时，t= 4， ∴k=75×4=300， ∴； （3）解：不能． 理由如下：∵10-7.5=2.5（小时）， ∴t=2.5时，， ∵120＞100， ∴汽车上午7：30从丽水出发，不能在上午10：00之前到达杭州市场． 【点睛】本题是反比例函数的应用题，考查了反比例函数的待定系数法求解析式及应用函数解析式解决实际问题，建立反比例函数模型是解题的关键． 40．台州沿海高速的开通，大大方便了玉环人民的出行、玉环至台州段全长38公里，记小车在此段高速的时间为t小时，平均速度为v千米/小时，且平均速度限定不小于60千米/小时，不超过100千米/小时． （1）求v关于t的函数表达式和自变量t的取值范围； （2）张老师家住在距离高速进口站的4千米的地方，工作单位学校在出口站附近，距离出口站约6千米，某天张老师开车从家去学校上班，准备从家出来是早上7：00整，学校规定早上7：50以后到校属于迟到，若从家到进口站和从出口站到学校的平均速度为50千米/小时，假如进收费站、出收费站及等特的时间共计需6分钟，请你通过计算判断张老师是否可能迟到，若有可能迟到，应至少提前多长时间出发？ 【答案】（1）v＝，≤t≤（2）张老师可能迟到，应至少提前分钟出发 【分析】（1）根据路程问题中的速度、时间、路程的关系以及不等式的性质即可解答； （2）根据路程问题中的速度、时间、路程的关系即可解答． 【详解】（1）由题意得：v＝， ∵60≤v≤100， ∴≤t≤， ∴v＝，≤t≤； （2）可能迟到． ∵张老师从家到进口站和从出口站到学校的总时间为：， ∵，且小时＝分钟， ∴张老师可能迟到，应至少提前分钟出发． 【点睛】本题考查了反比例函数的定义、自变量的取值范围及应用函数解析式解决实际问题． 考点06 （学科综合）与物理相关反比例函数问题 41．物理学中，分别表示动力和动力臂，，分别表示阻力和阻力臂，当杠杆处于平衡状态时，． 如图①，某兴趣小组取一根长的匀质木杆，用细绳绑在木杆的中点O并将其吊起来．在中点O的左侧且与O相距处挂一个重的物体，在中点O右侧挂一个弹簧测力计（质量忽略不计）并用手向下拉，使木杆处于水平平衡状态．当弹簧测力计与中点O的距离L（单位：）改变时，弹簧测力计的拉力F（单位：）也随之改变． (1)当时，______． (2)在弹性限度内，弹簧伸长的最大长度为，弹簧测力计的拉力是弹簧伸长的长度的正比例函数，如图②所示．求出L与x之间的函数解析式（写出x的取值范围），并在图③画出此函数图象． 【答案】(1) (2)；图象见解析 【分析】本题主要考查了反比例函数的实际应用： （1）根据解答即可； （2）求出与的关系式，可得L关于x的函数关系式，即可求解． 【详解】（1）解：根据题意得：， ∴； 故答案为： （2）解：设与的关系式为， 由图②得图象经过， ， ∴与的关系式为， ， ， ∴， 根据题意得：，， ∴自变量x的取值范围为， 当时，， 当时，， 当时，， 当时，， 当时，， 画出图象如图所示： 42．数学是基础学科，物理研究也离不开数学知识的支撑．密闭容器内有一定质量的二氧化碳。当容器的体积（单位：）变化时，气体的密度（单位：）随之变化．已知密度与体积是反比例函数关系，它的图象如图所示，当时，． (1)求密度关于体积的函数解析式； (2)若，求密度的变化范围． 【答案】(1)（） (2) 【分析】本题考查了反比例函数的应用，熟练利用待定系数法求得反比例函数解析式是解题的关键． （1）设密度的关于体积V的函数解析式为，将代入，即可解答； （2）将和代入（1）中求得的函数解析式，再结合反比例函数的性质，即可解答， 【详解】（1）解：设密度的关于体积V的函数解析式为 ∵当时，， ∴， ∴， ∴密度关于体积V的函数解析式为； （2）解：当时，代入，可得， 解得：． 当时，代入，可得， 解得：． ∴当时，密度的变化范围为． 43．【操作实验】小珂在物理综合实践课上，用一固定电压为的蓄电池，通过调节滑动变阻器来改变电流的大小，从而控制小灯泡的亮度，实验电路图如图所示，已知小灯泡的电阻为（不计温度对灯泡电阻影响），滑动变阻器的电阻为（）（串联电路中总电阻灯泡电阻滑动变阻器的电阻），通过多次试验，得到以下数据表： 电阻 电流 (1)根据实验结果，填空：______，______，根据实验数据直接写出y与x的函数关系式：______（）； (2)【初步探究】请在以下平面直角坐标系中，画出函数的图象，并写出函数的一条性质：______； (3)【深入探究】 已知一次函数，结合（）中函数图象分析，请直接写出当时的取值范围：______． 【答案】(1)，， (2)画图见解析，性质：当时，随着的增大而减小 (3) 【分析】（）根据即可求解； （）根据（）中表格数据及所得函数解析式可画出函数图象，再根据图象写出函数的性质即可； （）画出一次函数的图象，根据图象解答即可； 本题考查了反比例函数的应用，反比例函数与一次函数的交点问题，由题意得到反比例函数的解析式是解题的关键． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴，， ∵， ∴， 故答案为：，，； （2）解：画函数图象如下： 由图象可得，当时，随着的增大而减小， 故答案为：当时，随着的增大而减小； （3）解：当时，；当时，， 画一次函数图象如下 由函数图象可得，当时的取值范围为， 故答案为：． 44．心理学研究发现，一般情况下，在一节的物理课中，学生的注意力随上课时间的变化而变化，开始上课时，学生的注意力逐步增强，后保持平稳一段时间，平稳时间持续，随后学生的注意力开始分散．通过实验分析可知，学生的注意力指标数y随时间的变化规律如图所示，为反比例函数图象的一部分． (1)当时，请求出y关于x的函数解析式． (2)物理老师计划在课堂上讲解两道总计需要的串、并联电路综合题，请问：他能否经过适当的安排，使学生在听这道题目的讲解时注意力指标数不低于30？并说明理由． 【答案】(1) (2)物理老师经过适当的安排，能使学生在听这两道题目的讲解时注意力指标数不低于30，理由见解析 【分析】本题主要考查了一次函数与反比例函数的应用． （1）分别从图象中找到其经过的点，利用待定系数法求得函数的解析式即可； （2）分别求出注意力指数为30时的两个时间，再将两时间之差与27比较，大于27则能讲完，否则不能． 【详解】（1）解：由题意可知， ∴点C的坐标为 设反比例函数的解析式为， 将代入， 得 ， 解得∶， ∴反比例函数的解析式为 ， ∴将代入 得：， ∴点 D 的坐标为 ， ∴点A 的坐标为 ， 设时，y与x的函数解析式为， 由题图可得点B的坐标为， 将，代入， 得   解的： ， ∴当时，y关于x的函数解析式为； （2）解：物理老师经过适当的安排，能使学生在听这两道题目的讲解时注意力指标数不低于30，理由如下： 对于， 当时，， 解得． 对于 当时， ∵， ∴物理老师经过适当的安排，能使学生在听这两道题目的讲解时注意力指标数不低于30． 45．已知某品牌电动车电池的电压为定值，某校物理小组的同学发现使用该电池时，电流I（单位：A）与电阻R（单位：）是反比例函数关系，它的图象如图所示．    (1)求该品牌电动车电池的电流I与电阻R的函数类系式． (2)该物理小组通过询问经销商得知该电动车以最高速度行驶时，工作电压为电池的电压，工作电流在的范围，请帮该小组确定这时电阻值的范围． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查反比例函数的应用，理解题意得出反比例函数的解析式是解题关键． （1）设电流I与电阻R之间的函数表达式为，将点代入求解即可； （2）把，分别代入解析式求出对应的R，然后结合函数图象即可得出结果． 【详解】（1）解：设电流I与电阻R之间的函数表达式为， 由图象知，函数图象过点， ∴，解得， ∴电流I与电阻R之间的函数表达式为； （2）解：当时，，解得， 当时，，解得， 观察图形可知：， 即该小组确定这时电阻值的范围为． 46．【问题提出】 在物理课上，小明同学用一固定电压为的蓄电池，通过调节滑动变阻器来改变电流大小，完成控制灯泡L亮度的实验，如图，已知串联电路中，电流与电阻R、灯丝的阻值之间关系为通过实验得出如下数据： ··· 1 2 3 4 6 ··· ··· a ··· ； （1）填空：的值为Ω，a的值为； 【问题探究】 根据以上实验，构建出函数结合表格信息，探究函数的图象与性质； （2）①在平面直角坐标系中画出对应函数的图象； ②随着自变量x的不断增大，函数值y的变化趋势是（） A．不断增大 B．不断减小 C．先增大后减小 D．先减小后增大 【问题升华】 （3）结合（2）中函数图象分析，当时，的解集为．（结果精确到0.1） 【答案】（1）4，4；（2）①见解析；②；（3）或 【分析】本题是反比例函数的综合题，考查反比例函数的性质，不等式的解集，解题的关键是读懂题意，画出函数图象，利用数形结合的思想解决问题． （1）由已知列出方程，即可解得，的值； （2）①描点画出图象即可；②观察图象可得答案； （3）同一坐标系内画出图象，观察即可得到答案． 【详解】解：（1）根据题意，， ， ， 故答案为：4，4； （2）①根据表格数据描点，在平面直角坐标系中画出对应函数的图象如下： ②由图象可知，随着自变量的不断增大，函数值的变化趋势是不断减小， 故答案为：； （3）如图： 由函数图象知，当或时， 即当时，的解集为或， 故答案为：或． 47．周末，小华与同学一行人去户外露营，前进路上遇到一片十几米宽的湿地，为了节省时间，并安全通过，他们计划根据所学物理知识，当压力不变时，压强与所受力面积成反比例函数关系，在湿地上用一些大小不同的木板铺设了一条临时通道已知木板所受压力不变时，木板对湿地面的压强与木板面积的对应值如表： 木板面积 木板对地面地压强 (1)求反比例函数的解析式和自变量的取值范围； (2)在平面直角坐标系中，描出以如表中各对对应值为坐标的点，根据描出的点，画出该函数的图象； (3)当木板面积为时，压强是______ ； (4)结合图象，如果要求压强不超过，木板的面积至少要多大？ 【答案】(1) (2)见解析 (3)3000 (4)当压强不超过时，木板面积至少 【分析】本题主要考查了反比例函数的实际应用，正确求出对应的函数关系式是解题的关键． （1）设P与S之间的反比例函数关系式为，然后利用待定系数法求解即可； （2）先描点，再连线画出对应的函数图象即可； （3）把代入（1）所求关系式中进行求解即可； （4）把代入代入（1）所求关系式中进行求解即可． 【详解】（1）解：由题意得：设P与S之间的反比例函数关系式为， 将代入得：，解得， ∴P与S之间的反比例函数关系式为； （2）解：画出函数图象如图所示： （3）解：当时，， 故答案为：3000； （4）解：当时，， 由函数图象可知，P随S增大而减小， ∴当压强不超过时，木板面积至少． 48．在物理学中，电磁波（又称电磁辐射）是由同相振荡且互相垂直的电场与磁场在空间中以波的形式移动，随着技术的发展，依靠电磁波作为信息载体的电子设备被广泛应用于民用及军事领域．电磁波的波长λ（单位：m）会随着电磁波的频率f（单位：）的变化而变化．下表是某段电磁波在同种介质中，波长λ与频率f的部分对应值： 频率 5 10 15 20 波长 60 30 20 15 该段电磁波的波长λ与频率f满足怎样的函数关系？并求出波长λ关于频率f的函数表达式． 【答案】电磁波的波长λ与频率f满足反比例函数关系，λ关于f的函数表达式为 【分析】设解析式为，用待定系数法求解即可；本题是反比例函数的应用问题，考查了求反比例函数的解析式． 【详解】解：由表格可知， 频率f与波长λ乘积为定值300，则电磁波的波长λ与频率f满足反比例函数关系． 设波长关于频率的函数解析式为 把点代入上式中得：， 解得：， ； 1 / 37 学科网（北京）股份有限公司 $