专题01 反比例函数相关压轴题分类训练（5种类型40道）（高效培优期末专项训练）九年级数学上学期湘教版

专题01 反比例函数相关压轴题分类训练 （5种类型40道） 考点01 已知反比例系数求面积 考点02 已知面积求反比例系数 考点03 反比例函数相关综合性问题 考点04 反比例函数相关最值问题 考点05 反比例函数相关规律性问题 考点01 已知反比例系数求面积 1．如图，在平面直角坐标系中，平行四边形的对角线交于点．双曲线经过，两点，双曲线经过点，则平行四边形的面积为（    ） A．5 B．6 C．7 D．8 【答案】B 【分析】本题主要考查了平行四边形的性质，反比例函数系数的几何意义，掌握相关知识是解决问题的关键．根据平行四边形的性质得到，因为双曲线经过点，所以可设的坐标是，则的纵坐标是，作，由得到的坐标是，代入双曲线求得的值，然后代入的纵坐标，可得到的横坐标是，根据平行四边形的面积公式即可得到结论． 【详解】解：平行四边形的对角线交于点， ， ∵双曲线经过点， ∴设的坐标是， 则C的纵坐标是， 作， ， ， ， ， 的坐标是， ∵双曲线经过点，代入得： ， ∴反比例解析式为， ∵双曲线经过C点，将C点纵坐标代入得： ， 得：， 即的横坐标是， ， 平行四边形的面积点的纵坐标， 故选：B． 2．如图，反比例函数与长方形在第一象限相交于、两点，，，连接，，，记、的面积分别为、．若，则的面积为（    ） A．8 B．12 C．15 D． 【答案】C 【分析】本题考查反比函数系数的几何意义，图形与坐标，根据长方形的性质得，，，继而得出轴，轴，根据三角形的面积及反比函数系数的几何意义得，，推出，继而得到，，，再根据即可得解．求出、的长是解题的关键． 【详解】解：∵四边形是长方形，，， ∴，，， ∴轴，轴， ∵反比例函数与长方形在第一象限相交于、两点，、的面积分别为、，， ∴，， ∴， 解得：， ∴，，即，， ∴，， ∴，， ∴，， ∴ ∴， ∴的面积为． 故选：C． 3．如图，过轴正半轴上的任意一点作轴的平行线，分别与反比例函数，的图象交于，两点，若是轴上任意一点，点是的中点，连接、、，则的面积为（   ） A． B． C．5 D． 【答案】C 【分析】本题考查了反比例函数的几何意义；连接，，根据轴，则，根据反比例函数的几何意义，即可求解． 【详解】解：如图所示，连接，， 与同底等高， ， 轴， 轴， 、分别在反比例函数和的图象上， ，， ． 故选：C． 4．如图，点是反比例函数的图象上一点，轴交轴于点，，则四边形的面积为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了反比例函数与几何图形，过点作于，设，得，证四边形是矩形，得，，再由四边形是平行四边形，得，最后根据平行四边形的面积公式计算即可求解，熟练掌握知识点是解题的关键． 【详解】解：如图，过点作于，设， 则，， ∵轴， ∴， ∴四边形是矩形， ∴，， ∵轴，， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∴， 故选：． 5．如图，在平面直角坐标系中，平行四边形的顶点在反比例函数上，顶点在反比例函数上，点在轴的正半轴上，则平行四边形的面积是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，平行四边形的性质，反比例函数比例系数的几何意义，作轴于，延长交轴于，由四边形是平行四边形，得，，证明，根据系数的几何意义，，，然后代入求面积即可，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：如图，作轴于，延长交轴于， ∵四边形是平行四边形， ∴，， ∴轴， ∴， ∴， ∴ 根据系数的几何意义，，， ∴平行四边形的面积， 故选：． 6．如图，正比例函数与反比例函数的图象相交于两点，轴于点，则的面积为（   ） A． B．1 C．2 D．3 【答案】B 【分析】此题考查了一次函数和反比例函数综合题，由A与点B关于原点对称得到，再根据反比例函数的比例系数的几何意义即可求出答案． 【详解】解：∵正比例函数与反比例函数的图象相交于A、B两点， ∴点A与点B关于原点对称， ∴， ∵轴， ∴的面积． 故选：B． 7．如图，反比例函数与过原点的直线交于点A，延长至点B使得，过点B作轴，垂足为C，与反比例函数图像交于点D，则（    ） A．3 B． C．6 D． 【答案】B 【分析】本题考查了反比例函数与几何综合，已知比例系数求特殊图形的面积，解题关键是掌握上述知识点并能熟练运用求解． 先设，再求得，从而可求得，，再分别用表示出与，利用三角形面积公式求解即可． 【详解】解：∵反比例函数与过原点的直线交于点A， ∴设， ∵延长至点B使得， ∴点A为的中点， ∴， ∵轴，垂足为C，与反比例函数图像交于点D， ∴，， ∴，， ∴ ， 故选：B． 8．如图，A、B为双曲线上的点，轴于D，轴于点C，则四边形的面积为（   ） A．8 B．12 C．16 D．18 【答案】D 【分析】本题考查了反比例函数的综合运用，由反比例函数k的几何意义可得出，和，然后相加即可得出答案． 【详解】解：∵A、B为双曲线上的点，轴于D，轴于点C， ∴，，， ∴四边形， 故选D 考点02 已知面积求反比例系数 9．如图，在平面直角坐标系中，矩形的顶点，分别在轴，轴的正半轴上，函数的图象经过的中点，交于点，连接．若，则的值为（   ） A．1 B．4 C．8 D．2 【答案】B 【分析】本题主要考查了反比例函数的图象和性质，设点D的坐标为：，则，可得，再根据，再建立方程，即可求出k的值． 【详解】解：∵四边形为矩形，的中点为D， ∴设点D的坐标为：，则， ∴， ∵， ∴， 解得：， 故选：B． 10．如图，在平面直角坐标系中，反比例函数的图象交矩形的边于点D，交边于点E，且，若四边形的面积为3，则（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】A 【分析】本题考查了矩形的性质、三角形面积的计算、反比例函数的图象与解析式的求法，熟练掌握矩形的性质和反比例函数解析式的求法是解决问题的关键． 连接，由矩形的性质和已知条件得出，再求出的面积，即可得出k的值． 【详解】解：连接， 如图所示： ∵四边形是矩形， ，． ∵D、E在反比例函数的图象上， ， ， ， ， ． 故选A． 11．如图，过轴正半轴上的任意一点作轴的平行线，分别与反比例函数和的图像交于点和点，若点是轴上的任意一点，连接，，若的面积为10，则的值为（   ）． A． B． C．6 D． 【答案】B 【分析】本题考查反比例函数的图像与性质，掌握系数的几何意义是解题关键． 连接和，由平行线间的距离处处相等，可知和的面积相等．根据反比例函数的几何意义，可以用表示出的面积，构建等式求出即可． 【详解】解：如图，连接和， ∵轴， ∴和的边上的高相等， ∴， 由反比例函数的几何意义可得，，， ∴，解得，， ∵反比例函数的图像在第二象限， ∴， ∴． 故选：B． 12．如图，直线交x轴于点C，交反比例函数的图象于A、B两点，过点B作轴，垂足为D． 若，则k的值为 （        ） A．5 B．8 C．9 D． 【答案】D 【分析】本题考查了根据图形面积求比例系数（解析式），解题关键是掌握上述知识点并能运用求解． 设点B的坐标为，先表示出D点坐标，从而可得，到的距离为．再利用三角形面积公式，得到关于k的方程求解． 【详解】解：设点B的坐标为． 因为轴， 所以D点坐标为． 所以，到的距离为． 由于，点B在第一或第三象限，a与同号， 所以． 解得∶， 故选：D． 13．如图，点，点在反比例函数（，）的图象上，点在轴上，连结交轴于点，延长交轴于点．已知，．若面积为3，则的值为（   ） A．1 B． C． D．3 【答案】D 【分析】本题考查了反比例函数的的几何意义，三角形中位线定理，与中线有关的三角形的面积的计算，连接、，先求出，证明是的中位线，得出，从而可得，再由反比例函数的的几何意义计算即可得解，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． 【详解】解：如图，连接、， ∵，面积为3， ∴， ∵，． ∴是的中位线， ∴， ∴， ∵点在反比例函数（，）的图象上， ∴， ∴， 故选：D． 14．如图，点A、B是反比例函数图像上的任意两点，且轴于点C，轴于点D，连接OA、OB，若与的面积之和为8，则的值是（   ） A． B． C．8 D．16 【答案】C 【分析】此题主要考查反比例函数中值的含义，正确理解值的含义是解题关键． 设出点A、B的坐标，表示出，，，的长度，进而表示面积，根据题意建立关系求解． 【详解】解：设，，其中，， 轴，轴， ，， ，， ， ， 又与的面积之和为8， ， ． 故选：C． 15．如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，的直角边在x轴上，分别与反比例函数（）的图象相交于点C、D，且C为的中点，过点C作x轴的垂线，垂足为E，连接．若的面积为，则k的值为（　　） A． B． C．3 D．6 【答案】C 【分析】本题考查反比例函数的性质，解题的关键是熟练运用三角形中位线定理解题． 通过设点坐标，结合反比例函数性质和三角形面积公式来逐步推导． 【详解】解：点在反比例函数的图象上， 设点的坐标为， 是的中点， ， ，点的横坐标与点相同，为， 将代入，可得点的纵坐标为， 点的坐标为， 轴，垂直于轴方向， 在中，（底，的长度为点的纵坐标（高， 根据三角形面积公式底高，可得： ， ， ， 故选：C． 16．如图，为等腰三角形，，反比例函数过点B，若，则k为（    ） A． B．4 C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了反比例函数与几何综合、等腰三角形的性质，熟练掌握反比例函数系数的几何意义是解题的关键． 作轴于点，利用三线合一性质得到，进而得出，再利用反比例函数系数的几何意义得到，解出，再结合反比例函数经过第二、四象限，即可确定的值． 【详解】解：如图，作轴于点， ∵，轴， ∴，， ∴， ∵反比例函数过点B， ∴， ∴， 解得， ∵反比例函数经过第二、四象限， ∴， ∴． 故选：A． 考点03 反比例函数相关综合性问题 17．如图，一次函数与反比例函数的图象交于点C，过反比例函数图象上点A作x轴垂线，垂足为点D，交的图象于点B，过点C作于E，点A的横坐标为1．有以下结论： ①线段的长为9；②点C的坐标为；③当时，一次函数的值大于反比例函数的值；④．其中结论正确的个数是（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】本题考查反比例函数与一次函数的综合，根据条件求出相应点的坐标是解题关键． 先根据条件求出点A，C的坐标，从而求出点B，D，E的坐标，求出坐标后，通过坐标逐一确定选项即可． 【详解】∵点A在反比例函数图象上，且横坐标为1， 又轴， 令，得，， ∴，，， ∴，①错误， 令，解得（负值已舍去）， 令，得， ∴，②正确， 由图象可知，在点C的右侧，一次函数的图象在反比例函数的上方， ∴当时，一次函数的值大于反比例函数的值，③正确， ∵， ∴轴， ∴， ∴，， ∴，④正确， 故正确的个数为3， 故选：C． 18．如图，在平面直角坐标系中，直线与双曲线交于A，B两点，且点A的坐标为，将直线向上平移m个单位，交双曲线于点C，交y轴于点F，且的面积是．给出以下结论：①；②点B的坐标是；③；④．其中正确的结论有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】D 【分析】本题考查了反比例函数和一次函数的交点，待定系数法求反比例函数的解析式，三角形的面积等，求得交点坐标是解题的关键．①把代入求得，然后代入求得；②联立解析式，解方程组即可求得；③根据同底等高的三角形面积相等，得出；④根据列出，解得． 【详解】解：①直线经过点， ， ， 点在双曲线上， ，故①正确； ②联立， 解得或， 点B的坐标为，故②正确； ③将直线向上平移m个单位，交双曲线于点C，交y轴于点F， ， 和是同底等高， ，故③正确； ④， ， 解得，故④正确； 综上，正确的结论有：①②③④，共4个． 故选：D． 19．如图，平面直角坐标系中，矩形的顶点B在函数的图象上，，．将线段沿x轴正方向平移得线段（点A平移后的对应点为），交函数的图象于点D，过点D作轴于点E，则下列结论： ①； ②的面积等于四边形的面积； ③的最小值是； ④． 其中正确的结论有（    ）个． A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】由代入求出k值，故①符合题意；和、分别交于M和N两点，利用k的几何意义可得，故②符合题意；根据的最小值逐渐趋向于的长度，故③不符合题意；向右平移的过程中与是矩形的对角线与边的夹角，即判断④解答即可． 【详解】解：①∵A，， ∴， ∵矩形的顶点B在函数的图象上， ∴，故①正确； ②和、分别交于M和N两点， ∵点B、点D在函数的图象上， ∴， ∴， ∴，故②正确； ③随着线段向右平移的过程，平移后的线段与反比例函数的交点D也逐渐下移，此时过点D作y轴的垂线交点E也下移，所以的最小值逐渐趋向于的长度，故③错误； ④向右平移的过程中与变化相同，这两个角刚好是矩形的对角线与边的夹角，所以是相等，④正确． 故正确的结论有①②④． 故答案为：C． 【点睛】本题考查的是反比例函数的图象与性质，平移的性质，矩形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，勾股定理的应用，作出合适的辅助线是解本题的关键． 20．如图，在直角坐标系中，直线与坐标轴交于A，B两点，与双曲线交于点C，连接，过点C作轴，垂足为点D，且．则下列结论正确的个数是（   ） ①；②；③点D到的距离为2；④方程有一个解为；⑤当时，． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】本题主要考查了一次函数与反比例函数综合，等腰直角三角形的性质与判定，勾股定理，先求出点A和点B的坐标，进而得到，则可推出，据此可判断①；证明是等腰直角三角形，得到，则可求出，，据此可判断②；利用勾股定理求出，再利用等面积法可判断③；求出点C的坐标即可判断④⑤． 【详解】解：在中，当时，，当时，， ∴， ∴， 又∵， ∴，故①正确； ∵轴， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∵， ∴，即， ∴或（舍去）， ∴， ∴，故②错误； ∵， ∴点D到的距离为，故③错误； ∵， ∴， ∵直线与双曲线交于点C， ∴方程有一个解为，故④正确； 由函数图象可得当时，，故⑤正确， ∴正确的有3个， 故选：C． 21．如图，一次函数与反比例函数的图象交于点，过反比例函数图象上点作轴垂线，垂足为点，交的图象于点，点的横坐标为1．有以下结论： ①线段的长为15 ②点的坐标为 ③当时，一次函数的值大于反比例函数的值 其中结论正确的个数是（   ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】D 【分析】本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题，熟练掌握反比例函数和一次函数是解题的关键． 根据反比例函数和一次函数的性质逐项判断即可． 【详解】解：①由题意知，，， ∴，故该序号正确； ②联立， 得：， ， ， ∵， ∴，此时， ∴，故此序号正确； ③由图像知，当时，直线一直在的图象上方， ∴当时，一次函数的值大于反比例函数的值 综上，正确的结论有3个． 故选：D ． 22．如图，已知直线与x轴、y轴相交于P、Q两点，与的图象相交于两点，连接．则下列结论：①；②；③；④不等式的解集是或，其中正确的结论有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】D 【分析】根据一次函数和反比例函数的性质得到，故①符合题意；把、代入中得到故②符合题意；把、代入得到，求得，，根据三角形的面积公式即可得到，，，得；故③符合题意；根据图象得到不等式的解集是或，故④符合题意，从而可得答案．本题考查了反比例函数与一次函数的交点，求解函数解析式，求两直线的交点坐标，三角形面积的计算，解题的关键是正确的理解反比例函数与一次函数的交点的特点． 【详解】解：①由图象知，反比例函数经过第二，四象限，一次函数经过第二、三、四象限， ∴，， ，故①符合题意； ②把、代入中得， ， ∴ 故②符合题意； ③把、代入得， 解得， ， ， 已知直线与轴、轴相交于、两点， ，， ，， ∵直线与x轴、y轴相交于P、Q两点， ∴令，， 即 ∴， ，，， ∴，故③符合题意； ④由图象知不等式的解集是或，故④符合题意； 故选：D． 23．如图，一次函数的图象与反比例函数的图象交于A、B两点，过点A作轴于点C，过点B作轴于点D，连接，下列说法正确的有(    ) ①A和点B关于原点对称；②当时，；③；④当时，都随x的增大而增大． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】A 【分析】本题考查一次函数图象与反比例函数图象的交点问题，求出两函数解析式组成的方程组的解，即可得出A、B的坐标，即可判断①；根据图象的特点即可判断②；根据A、B的坐标和三角形的面积公式求出两个三角形的面积，即可判断③；根据图形的特点即可判断④． 【详解】解：①联立，解得或， ∴， ∴A、B不关于原点对称，故①错误； ②由图象可知，当或时， ，故②错误； ③∵， ， ∴，故③正确； ④当时，随x的增大而增大，随x的增大而减小，故④错误； 故选：A． 24．如图，矩形的顶点坐标分别为，，，，动点在边上（不与B、C重合），过点的反比例函数的图象与边交于点，直线分别与轴和轴相交于点和．给出下列命题：①若，则的面积为；②若，则点关于直线的对称点在轴上；③满足题设的的取值范围是；④若，则．其中正确的命题个数是（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】①若，则计算，故命题①正确；②如答图所示，若，可证明直线是线段的垂直平分线，故命题②正确；③因为点不经过点，所以，即可得出的范围；④求出直线的解析式，得到点、的坐标，然后求出线段、的长度；利用算式，求出，故命题④错误． 【详解】解：①， ∴ ，， ，． ，故①正确； ②， ∴ ，， ，． 如答图，过点作轴于点，则，； 在线段上取一点，使得，连接． 在中，由勾股定理得：， ． 在中，由勾股定理得：． ， 又， 直线为线段的垂直平分线，即点与点关于直线对称，故②正确； ③由题意，点与点不重合， 所以， ，故③正确； ④设，则，． 设直线的解析式为， 则有， 解得， ． 令，得， ； 令，得， ． 如答图，过点作轴于点，则，． 在中，，， 由勾股定理得：； 在中，，， 由勾股定理得：． ， 解得， ，故命题④错误． 综上所述，正确的命题是：①②③，共3个． 故选：C． 【点睛】此题是反比例函数综合题，主要考查了函数的图象与性质、反比例函数图象上点的坐标特征、比例系数k的几何意义、待定系数法、矩形及勾股定理等多个知识点，有一定的难度．本题计算量较大，解题过程中注意认真计算． 考点04 反比例函数相关最值问题 25．如图，平面直角坐标系中，边长为的正方形的顶点、分别在轴、轴上，点在反比例函数的图象上，过的中点作矩形，使顶点落在反比例函数的图象上，再过的中点作矩形，使顶点落在反比例函数的图象上，…，依此规律，作出矩形时，落在反比例函数图象上的顶点的坐标为（ ）    A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先根据题意得出P1点的坐标，进而可得出反比例函数的解析式，再依次求出点P2，P3的坐标，找出规律即可得出结论． 【详解】解：∵正方形OAP1B的边长为1，点P1在反比例函数y=（x＞0）的图象上， ∴P1（1，1）， ∴k=1， ∴在反比例函数的解析式为：y=， ∵B1是P1A的中点， ∴P2A1=AB1=， ∴OA1=2， ∴P2（2，）， 同理，P3（22，）， … ∴Pn（2n-1，）． 当时，则有 的坐标为：（，） 故选：A． 【点睛】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，矩形的性质，找出规律是解题的关键． 26．如图，在轴的正半轴上依次截取，过分别作轴的垂线，与双曲线相交于，得，设它们的面积从左到右依次为，按此规律，则 ． 【答案】 【分析】主要考查了反比例函数中的几何意义，规律探索，掌握相关知识是解决问题的关键．过双曲线上任意一点引轴、轴垂线，所得三角形面积为，结合图形找到规律进行解答即可． 【详解】解：过双曲线上任意一点与原点所连的线段、坐标轴、向坐标轴作垂线所围成的直角三角形面积是个定值，， ，，， ， ， ∴， 同理可得 以此类推，． ， 故答案为：． 27．如图，双曲线与直线相交于点A，B，在直线上取点，，…，依次以，…为对角线分别向外作左、右一组对边垂直于x轴的矩形，…．矩形的四条边与该双曲线的交点由第一象限逆时针依次记为：；矩形的四条边与该双曲线的交点由第一象限逆时针依次记为：；矩形的四条边与该双曲线的交点由第一象限逆时针依次记为：，…．按此规律，则点的坐标为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了坐标规律探索，反比例函数的性质，根据题意得出每个矩形上都有4个点，根据，得出点在矩形上，且在第一象限内，先根据规律得出横坐标，然后将横坐标代入反比例函数解析式，求出结果即可． 【详解】解：根据题意可知：在矩形上，在矩形上，,在矩形上，因此每个矩形上都有4个点， ∵， ∴点在矩形上，且在第一象限内， ∴横坐标为， 把代入得：， ∴． 故答案为：． 28．如图，在平面直角坐标系的第一象限中，和，点在上，轴交于点，轴交于点，轴交于点，，按照此规律作图，则的点坐标为 ． 【答案】 【分析】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特点的应用，依次代入求出各个点的坐标事解此题的关键，此题是一个中档题目，难度适中．根据反比例函数图象上点的特点依次代入求出、、、的坐标，即可得出的纵坐标，代入即可求出答案． 【详解】解：把代入得：， 即， 所以点的纵坐标是4， 把代入得：， 即， 所以的横坐标是2， 把代入得：， 即， 所以的纵坐标是2， 把代入得：， 即， 所以的横坐标是4， 把代入得：， 即， 所以的纵坐标是1， 把代入得：， 即， 故答案为：． 29．如图，在反比例函数的图象上有、B两点，连接，过这两点分别作x轴的垂线交x轴于点C、D，已知，点是的中点，连接，得到；点是的中点，连接，得到；……按照此规律继续进行下去，则的面积为 ．（用含正整数n的式子表示） 【答案】 【分析】本题主要考查了反比例函数与几何综合，图形类的规律探索，先求出，得到，，，进而求出，得到，则，根据梯形面积公式求出，再分别求出，，进而得到规律，，则． 【详解】解：∵在反比例函数的图象上， ∴， ∴， ∵轴， ∴， ∴， ∵轴， ∴点B的纵坐标为1， 在中，当时，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵点是的中点， ∴， ∴， ∵点是的中点， ∴， ∴， ∴， ∵为的中点， ∴， ∴， ∴， ……， 以此类推可知，，， ∴， 故答案为：． 30．如图，平面直角坐标系中，边长为1的正方形的顶点A、B分别在x轴、y轴上，点在反比例函数的图象上，过的中点作矩形，使顶点落在反比例函数的图象上，再过的中点作矩形，使顶点落在反比例函数的图象上，…，依此规律，作出矩形时，落在反比例函数图象上的顶点的横坐标为 ． 【答案】 【分析】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，矩形的性质，先根据题意得出点的坐标，进而可得出反比例函数的解析式，再依次求出点的坐标，找出规律可得出的坐标； 【详解】解：∵正方形的边长为1，点在反比例函数（）的图象上， ∴， ∴， ∴反比例函数的解析式为：， ∵是的中点， ∴， ∴， ∴． 同理可得得… ∴， 当时，． 故答案为：． 31．如图，点B1在反比例函数y=（x＞0）的图象上，过点B1分别作x轴和y轴的垂线，垂足为C1和A，得到第一个矩形AOC1B1，点C1的坐标为（1，0）；取x轴上一点C2（，0），过点C2作x轴的垂线交反比例函数图象于点B2，过B2作线段B2 A1⊥B1C1，，交B1C1于点A1，得到第二个矩形A1C1C2B2；依次在x轴上取点C3（2，0），C4（，0） 按此规律作矩形，则第10个矩形A9C9C10B10的面积为 ． 【答案】 【详解】试题分析：根据题意到：第1个矩形AOC1B1的面积=2，因为点C1的坐标为（1，0）；点C2（，0），所以C2B2=，C1C2=-1=，所以第2个矩形A1C1C2B2的面积=×（﹣1）=×=，因为C3（2，0），C2C3=2-=, C3B3=1,所以第3个矩形的面积=（2﹣）×1=， 第n个矩形的面积=（）．所以第10个矩形A9C9C10B10的面积为. 考点：反比例函数的性质. 32．如图，点 在反比例函数的图像上，过点分别作轴和轴的垂线，垂足分别为和，点的坐标为，取轴上一点，过点作轴的垂线交反比例函数图像于点，过点作线段交于点，得到矩形，依次在轴上取点，按此规律作矩形，则矩形（ 为正整数） 的面积为 . 【答案】 【分析】根据反比例函数的比例系数k的几何意义即可得到矩形ABC0O的面积=2，矩形A1B1C1C0的面积==，矩形A2B2C2C1的面积===，矩形A3B3C3C2的面积==，…于是得到矩形（n为正整数）的面积为= =． 【详解】解：矩形ABC0O的面积=2， 矩形A1B1C1C0的面积==， 矩形A2B2C2C1的面积===， 矩形A3B3C3C2的面积==， … 矩形（n为正整数）的面积为= =． 故答案为． 【点睛】本题主要考查了反比例函数的比例系数k的几何意义：在反比例函数y=图象中任取一点，过这一个点向x轴和y轴分别作垂线，与坐标轴围成的矩形的面积是定值|k|． 考点05 反比例函数相关规律性问题 33．如图，在平面直角坐标系中，正方形的顶点A，C 分别在x 轴 ，y轴上，且， 反比例 函数 的图像与正方形 的两边分别相交于M、N 两点，且的面积为3.5，若动点P 在 x 轴上，则取最小值时，点P 的坐标为 ． 【答案】 【分析】本题考查了正方形的性质，反比例函数的图象与性质，轴对称的性质，先求得，再由，再列出方程求得k的值，可求出点M、N的坐标，作点M关于x轴的对称点，连接交x轴于点P，连接，此时最小，设直线的表达式为，将点、N的坐标代入即可求出其表示，直线与x轴的交点即可求得点P 的坐标． 【详解】解：正方形中，， 点M的横坐标和点N的纵坐标都是4， 点M、N在反比例函数的图像上， ， ， ， 解得：（负值舍去）， ， 如图，作点M关于x轴的对称点，连接交x轴于点P，连接，此时最小， 点M关于x轴的对称点， ， 设直线的表达式为， 将点、N的坐标代入得 ， 解得， 直线的表达式为， 令，则， 点P 的坐标为． 34．如图，点都在双曲线上，点分别是轴，轴上的动点，则四边形周长的最小值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了反比例函数与几何综合、坐标与图形变化——轴对称、勾股定理，熟练掌握相关知识点是解题的关键．根据反比例函数的性质求出，根据勾股定理求出，作点关于轴的对称点，点关于轴的对称点，连接，根据轴对称的性质得到，，，，再利用两点之间线段最短的性质即可求出四边形周长的最小值． 【详解】解：代入点到，得； 代入点到，得； ∴， ∴， 作点关于轴的对称点，点关于轴的对称点，连接， 则，，，， ∴，， ∴， ∴四边形周长， ∴四边形周长的最小值为． 故答案为：． 35．如图，在平面直角坐标系中，反比例函数（）的图象与边长是6的正方形的两边，分别相交于，两点. （1）若点是的中点，则 ； （2）已知的面积为16，若动点在轴上，则的最小值是 . 【答案】 18 【分析】本题主要考查了反比例函数与几何综合，正方形的性质，轴对称最短路径问题，勾股定理，正确求出、的坐标是解题的关键． （1））由正方形的边长是6和中点，得到点的坐标为，利用待定系数法求解即可； （2）由正方形的边长是6，得到点的横坐标和点的纵坐标为6，根据三角形的面积列方程得到两点坐标，作关于轴的对称点，连接交轴于点，则的长的最小值，根据勾股定理即可得到结论． 【详解】解：（1）∵正方形的边长是6，点是的中点， ∴点的坐标为， ∴，即； （2） ∵正方形的边长是6， ∴，， ∴，， ∵的面积为16， ∴， ∴或（舍去）， ∴，，作关于轴的对称点，连接交轴于点，则的长的最小值， ∵， ∴，又， ∴，即的最小值为. 36．如图，在平面直角坐标系中，一次函数与两坐标轴分别交于，两点，为线段的中点，点在反比例函数的图象上，则的最小值为 ． 【答案】/ 【分析】先求出，根据中点坐标公式求出，根据轴对称图形的性质确定点P位置，并求出点P的坐标，再求出的长即可． 【详解】解：∵一次函数与两坐标轴分别交于A，B两点， ∴， ∴， ∵为线段的中点， ∴， ∴一次函数与反比例函数的图象是关于直线对称， ∵点C在直线上， ∴当点P在直线上时，线段最小， ∴点在反比例函数的图象上， ∴， ∵, ∴， ∴的最小值为 故答案为： 【点睛】本题是反比例函数与一次函数交点问题，线段最短问题，以及勾股定理，数形结合是解题的关键． 37．如图，点A在x轴的正半轴上，点B在第一象限，连接，将绕它的中点P顺时针旋转得线段，点恰好落在y轴的正半轴上，反比例函数的图象经过点．若，点Q是x轴上一动点，则点的最小值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，轴对称-最短路线问题，全等三角形的判定与性质，勾股定理的应用，作轴于M，轴于N，通过证得得到 ， 设，则利用梯形的中位线定理得到即可得到作关于轴的对称点为交轴于D，连接， 交轴于Q，此时的值最小，最小值为由 利用勾股定理求得m的值，即可求得) ，得到利用勾股定理求得即可求得点的最小值，求得的坐标是解题的关键． 【详解】解：作轴于M， 轴于N，如图： 在和中， ， 设， 则 ∵ P是的中点， 的横坐标为， ∵反比例函数的图象经过点， 作关于轴的对称点为交轴于D，连接， 交轴于Q， 此时的值最小，最小值为 在梯形中，是中位线， 即 解得 ， ∴的最小值为， 故答案为： 38．在平面直角坐标系中，直线与反比例函数的图象交于，两点，与轴交于点．点，点在平面直角坐标系内且满足，连接，，，则的最小值为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查反比例函数与一次函数的交点问题，平行四边形的判定与性质，两点之间线段最短，分别求出直线与轴交点坐标以及点的坐标，根据点坐标可得，要求的最小值只要求最小，平移点B，构造平行四边形和直角三角形，根据两点之间线段最短可解决问题 【详解】解：∴直线与反比例函数的图象交于，两点， ∴联立方程组， 解得， ∴ 对于，当时，， ∴， ∵点，点， ∴，轴， 要求的最小值只要求最小，将点B向左平移3个单位，连接，如图， 则， ∴四边形是平行四边形， ∴, ∴ 当三点共线时，最小，即最小， 在中，， ∴， ∴的最小值为， 故答案为：． 39．如图，点A在反比例函数的图像上，以为一边作等腰，其中，则线段长的最小值是    【答案】2 【分析】设，利用勾股定理得到，进而得到；根据推出，由此即可得到答案． 【详解】解：设， ∴， ∵中，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴线段长的最小值是， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了反比例函数与几何综合，勾股定理，完全平方公式的应用，正确利用勾股定理求出是解题的关键． 40．如图，在平面直角线坐标系中，点A，B在反比例函数的图象上运动，且始终保持线段的长度不变，M为线段的中点，连接，则线段的长度最小值是 ． 【答案】 【分析】如图，当时，线段长度的最小．首先证明点A与点B关于直线对称，因为点A，B在反比例函数的图象上，，所以可以假设，则，则，整理得，推出，，可得，求出即可解决问题． 【详解】解：如图，因为反比例函数关于直线对称，观察图象可知：当线段与直线垂直时，垂足为M，此时，的值最小， ∵M为线段的中点， ∴， ∵点A，B在反比例函数的图象上， ∴点A与点B关于直线对称， ∵， ∴设，则， ∴， 整理得， 解得：（负值舍去）， ∴，， ∴， ∴， ∴线段的最小值为． 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了反比例函数的综合，勾股定理，垂直平分线的性质，轴对称性质，判断取得最小值时A，B两点的位置，熟练掌握对称两点坐标的设法，函数解析式代入求值，由坐标计算线段长度的方法是解题的关键． 1 / 37 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题01 反比例函数相关压轴题分类训练 （5种类型40道） 考点01 已知反比例系数求面积 考点02 已知面积求反比例系数 考点03 反比例函数相关综合性问题 考点04 反比例函数相关最值问题 考点05 反比例函数相关规律性问题 考点01 已知反比例系数求面积 1．如图，在平面直角坐标系中，平行四边形的对角线交于点．双曲线经过，两点，双曲线经过点，则平行四边形的面积为（    ） A．5 B．6 C．7 D．8 2．如图，反比例函数与长方形在第一象限相交于、两点，，，连接，，，记、的面积分别为、．若，则的面积为（    ） A．8 B．12 C．15 D． 3．如图，过轴正半轴上的任意一点作轴的平行线，分别与反比例函数，的图象交于，两点，若是轴上任意一点，点是的中点，连接、、，则的面积为（   ） A． B． C．5 D． 4．如图，点是反比例函数的图象上一点，轴交轴于点，，则四边形的面积为（   ） A． B． C． D． 5．如图，在平面直角坐标系中，平行四边形的顶点在反比例函数上，顶点在反比例函数上，点在轴的正半轴上，则平行四边形的面积是（    ） A． B． C． D． 6．如图，正比例函数与反比例函数的图象相交于两点，轴于点，则的面积为（   ） A． B．1 C．2 D．3 7．如图，反比例函数与过原点的直线交于点A，延长至点B使得，过点B作轴，垂足为C，与反比例函数图像交于点D，则（    ） A．3 B． C．6 D． 8．如图，A、B为双曲线上的点，轴于D，轴于点C，则四边形的面积为（   ） A．8 B．12 C．16 D．18 考点02 已知面积求反比例系数 9．如图，在平面直角坐标系中，矩形的顶点，分别在轴，轴的正半轴上，函数的图象经过的中点，交于点，连接．若，则的值为（   ） A．1 B．4 C．8 D．2 10．如图，在平面直角坐标系中，反比例函数的图象交矩形的边于点D，交边于点E，且，若四边形的面积为3，则（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 11．如图，过轴正半轴上的任意一点作轴的平行线，分别与反比例函数和的图像交于点和点，若点是轴上的任意一点，连接，，若的面积为10，则的值为（   ）． A． B． C．6 D． 12．如图，直线交x轴于点C，交反比例函数的图象于A、B两点，过点B作轴，垂足为D． 若，则k的值为 （        ） A．5 B．8 C．9 D． 13．如图，点，点在反比例函数（，）的图象上，点在轴上，连结交轴于点，延长交轴于点．已知，．若面积为3，则的值为（   ） A．1 B． C． D．3 14．如图，点A、B是反比例函数图像上的任意两点，且轴于点C，轴于点D，连接OA、OB，若与的面积之和为8，则的值是（   ） A． B． C．8 D．16 15．如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，的直角边在x轴上，分别与反比例函数（）的图象相交于点C、D，且C为的中点，过点C作x轴的垂线，垂足为E，连接．若的面积为，则k的值为（　　） A． B． C．3 D．6 16．如图，为等腰三角形，，反比例函数过点B，若，则k为（    ） A． B．4 C． D． 考点03 反比例函数相关综合性问题 17．如图，一次函数与反比例函数的图象交于点C，过反比例函数图象上点A作x轴垂线，垂足为点D，交的图象于点B，过点C作于E，点A的横坐标为1．有以下结论： ①线段的长为9；②点C的坐标为；③当时，一次函数的值大于反比例函数的值；④．其中结论正确的个数是（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 18．如图，在平面直角坐标系中，直线与双曲线交于A，B两点，且点A的坐标为，将直线向上平移m个单位，交双曲线于点C，交y轴于点F，且的面积是．给出以下结论：①；②点B的坐标是；③；④．其中正确的结论有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 19．如图，平面直角坐标系中，矩形的顶点B在函数的图象上，，．将线段沿x轴正方向平移得线段（点A平移后的对应点为），交函数的图象于点D，过点D作轴于点E，则下列结论： ①； ②的面积等于四边形的面积； ③的最小值是； ④． 其中正确的结论有（    ）个． A．1 B．2 C．3 D．4 20．如图，在直角坐标系中，直线与坐标轴交于A，B两点，与双曲线交于点C，连接，过点C作轴，垂足为点D，且．则下列结论正确的个数是（   ） ①；②；③点D到的距离为2；④方程有一个解为；⑤当时，． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 21．如图，一次函数与反比例函数的图象交于点，过反比例函数图象上点作轴垂线，垂足为点，交的图象于点，点的横坐标为1．有以下结论： ①线段的长为15 ②点的坐标为 ③当时，一次函数的值大于反比例函数的值 其中结论正确的个数是（   ） A．0 B．1 C．2 D．3 22．如图，已知直线与x轴、y轴相交于P、Q两点，与的图象相交于两点，连接．则下列结论：①；②；③；④不等式的解集是或，其中正确的结论有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 23．如图，一次函数的图象与反比例函数的图象交于A、B两点，过点A作轴于点C，过点B作轴于点D，连接，下列说法正确的有(    ) ①A和点B关于原点对称；②当时，；③；④当时，都随x的增大而增大． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 24．如图，矩形的顶点坐标分别为，，，，动点在边上（不与B、C重合），过点的反比例函数的图象与边交于点，直线分别与轴和轴相交于点和．给出下列命题：①若，则的面积为；②若，则点关于直线的对称点在轴上；③满足题设的的取值范围是；④若，则．其中正确的命题个数是（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 考点04 反比例函数相关最值问题 25．如图，平面直角坐标系中，边长为的正方形的顶点、分别在轴、轴上，点在反比例函数的图象上，过的中点作矩形，使顶点落在反比例函数的图象上，再过的中点作矩形，使顶点落在反比例函数的图象上，…，依此规律，作出矩形时，落在反比例函数图象上的顶点的坐标为（ ）    A． B． C． D． 26．如图，在轴的正半轴上依次截取，过分别作轴的垂线，与双曲线相交于，得，设它们的面积从左到右依次为，按此规律，则 ． 27．如图，双曲线与直线相交于点A，B，在直线上取点，，…，依次以，…为对角线分别向外作左、右一组对边垂直于x轴的矩形，…．矩形的四条边与该双曲线的交点由第一象限逆时针依次记为：；矩形的四条边与该双曲线的交点由第一象限逆时针依次记为：；矩形的四条边与该双曲线的交点由第一象限逆时针依次记为：，…．按此规律，则点的坐标为 ． 28．如图，在平面直角坐标系的第一象限中，和，点在上，轴交于点，轴交于点，轴交于点，，按照此规律作图，则的点坐标为 ． 29．如图，在反比例函数的图象上有、B两点，连接，过这两点分别作x轴的垂线交x轴于点C、D，已知，点是的中点，连接，得到；点是的中点，连接，得到；……按照此规律继续进行下去，则的面积为 ．（用含正整数n的式子表示） 30．如图，平面直角坐标系中，边长为1的正方形的顶点A、B分别在x轴、y轴上，点在反比例函数的图象上，过的中点作矩形，使顶点落在反比例函数的图象上，再过的中点作矩形，使顶点落在反比例函数的图象上，…，依此规律，作出矩形时，落在反比例函数图象上的顶点的横坐标为 ． 31．如图，点B1在反比例函数y=（x＞0）的图象上，过点B1分别作x轴和y轴的垂线，垂足为C1和A，得到第一个矩形AOC1B1，点C1的坐标为（1，0）；取x轴上一点C2（，0），过点C2作x轴的垂线交反比例函数图象于点B2，过B2作线段B2 A1⊥B1C1，，交B1C1于点A1，得到第二个矩形A1C1C2B2；依次在x轴上取点C3（2，0），C4（，0） 按此规律作矩形，则第10个矩形A9C9C10B10的面积为 ． 32．如图，点 在反比例函数的图像上，过点分别作轴和轴的垂线，垂足分别为和，点的坐标为，取轴上一点，过点作轴的垂线交反比例函数图像于点，过点作线段交于点，得到矩形，依次在轴上取点，按此规律作矩形，则矩形（ 为正整数） 的面积为 . 考点05 反比例函数相关规律性问题 33．如图，在平面直角坐标系中，正方形的顶点A，C 分别在x 轴 ，y轴上，且， 反比例 函数 的图像与正方形 的两边分别相交于M、N 两点，且的面积为3.5，若动点P 在 x 轴上，则取最小值时，点P 的坐标为 ． 34．如图，点都在双曲线上，点分别是轴，轴上的动点，则四边形周长的最小值为 ． 35．如图，在平面直角坐标系中，反比例函数（）的图象与边长是6的正方形的两边，分别相交于，两点. （1）若点是的中点，则 ； （2）已知的面积为16，若动点在轴上，则的最小值是 . 36．如图，在平面直角坐标系中，一次函数与两坐标轴分别交于，两点，为线段的中点，点在反比例函数的图象上，则的最小值为 ． 37．如图，点A在x轴的正半轴上，点B在第一象限，连接，将绕它的中点P顺时针旋转得线段，点恰好落在y轴的正半轴上，反比例函数的图象经过点．若，点Q是x轴上一动点，则点的最小值为 ． 38．在平面直角坐标系中，直线与反比例函数的图象交于，两点，与轴交于点．点，点在平面直角坐标系内且满足，连接，，，则的最小值为 ． 39．如图，点A在反比例函数的图像上，以为一边作等腰，其中，则线段长的最小值是    40．如图，在平面直角线坐标系中，点A，B在反比例函数的图象上运动，且始终保持线段的长度不变，M为线段的中点，连接，则线段的长度最小值是 ． 1 / 37 学科网（北京）股份有限公司 $