九年级数学上学期期末模拟卷（湘教版九上第1章-九下第2章，高效培优·强化卷）

命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 2025-2026学年九年级数学上学期期末模拟卷 强化卷·参考答案 一、 选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目 要求的。 1 2 3 5 6 7 8 10 D C C 心 二、填空题：本题共8小题，每小题3分，共24分。 11.60 13.10 14.2 15.5 17.1 18. 3 5-1 2 三、解答题（本题共8小题，第19-20题每题6分，第21-22题每题8分，第23-24题每题9分，第25-26 题每题10分，共66分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.) 19.(6分) 【详解】(1)解：x2-3x-4=0 (x-4)(x+1=0(1分) x-4=0或x+1=0 解得：x=4或x=-1, 原方程的根为：x1=4,x2=-1;(3分) (2)解：3xx-1=x-1 3xx-1-(x-1=0 1/8 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 (3x-1(x-1=0(4分)】 3x-1=0或x-1=0 解得：x=二或x=1, 3 1 原方程的根为：x= 3,5=1.6分) 20.(6分) 【详解】(1)解：根据题中的1项数据计算，可得被抽取的学生人数为30÷30%=100；补全图形如图. 人数/人 45 42 40 4项及以上0项 35 30 30 25 3项 1项 20 30% (2分) 15 15 10 10 2项 5 0 0项1项2项3项4项及以上项目数量 (2)解：10÷100×360°=36°， .“4项及以上"部分所对应扇形的圆心角度数是36°；(4分) (3)解： 15+10x1000=250(人) 100 答：估计该校五月份参与家务劳动的项目数量达到3项及以上的学生有250人.(6分)】 21.(8分)】 【详解】(1)解：将43,4)代入为=mm≠0)，得：m=3×4=12, 12 :反比例函数的表达式为，= 将点B@,-2)代入为=12，可得a=-6, .B(-6,-2). 3k+b=4 把43,4)，B(-6,-2)代入=x+b,得 -6k+b=-21 2 K= 解得： 3 b=2 2 “一次函数的表达式为y=二x+2.(4分) 3 2 (2)一次函数的表达式为y=二x+2, 2/8 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 令=0，则x+2=0,=-3 ∴点C坐标为(-3,0)， :点P在反比例函数=二的图象上， 设P点坐标为m,m】 12 :S△Poc=18, 2-18, 宁3 n 解得：n=-1或n=1, 又：点P在第三象限， .点P坐标为(-1，-12).(8分) 22.(8分) 【详解】解：(1)如图，延长BA交CD于点G,则AG⊥CD. C5- B 一F 在RtAAGD中，∠D=45°， ·tanD=tan45°=4G =1.(2分) DG 设AG=DG=x米，则CG=CD-DG=(84-x米 在Rt△AGC中，∠ACG=∠DCA=22°， ·tan∠4CG=tan22°=4 ≈0.40，即。x≈0.40. CG 84-x 解得x≈24（已检验是原方程的解，且符合题意）. .AG=DG=24米，CG=60米。 在RtAGBC中，∠BCG=71°， ·tan∠BCG=tan71°= BG CG .BG=CG.tan71°≈60×2.90=174（米）. AB=BG-AG=174-24=150（米). 答：大桥主塔相对于桥面的高度AB约为150米.(6分) 3/8 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 (2)无人机能实时显示点C到桥面EF的距离，结合(1)可知，利用数据22°，71°，求得AG的长度即可， 所以原数据采集方案中至多可以删减的数据为84米和45°.(8分) 23.(9分) 【详解】(1)解：设该款泳装价格每次下降的百分率为x, 根据题意得：200(1-x=162, 解得x1=0.1=10%,x2=1.9（舍去)，(4分) 答：该款泳装价格每次下降的百分率10%； (2)解：设该款式泳装每套涨价m元， 根据题意得：10+m)(500-25m=5600, 整理得m2-10m+24=0, 解得m1=4,m2=6, :要尽可能让顾客得到实惠， .m=4, 答：该款式的泳装每套应涨价4元.(9分) 24.(9分) 【详解】(1)证明：~BD=BD' ∠BCD=LP, :∠1=LBCD, ∠1=∠P, ∴.CBPD;(4分) (2)解：CD1AB, .∠BEC=90°， ∠BCD=30°， .∠0BC=90°-30°=60°， :0B=0C, :△BOC是等边三角形， ..OB=BC=3, .AB=20B=2×3=6, 4/8 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 即00的直径为6，(9分) 25.(10分) 【详解】(1)解：把A-3,0,D(-2,-3)代入y=x2+bx+c得： 0=(-3)2-3b+c -3=(-2)2-2b+c b=2 解得 c=-31 抛物线的解析式为y=x2+2x-3:(3分) （2)解：当y=x2+2x-3=0时，解得x=-3,x2=1, .B(1,0), 设直线BD解析式为y=kx+b, [0=k+b 把B(1,0),D(-2,-3)代入得 -3=-2k+b k=1 解得 b=-1' .直线BD解析式为y=x-I, 过Q作QP⊥x轴，交BD于点P,如图， B D 设Q1,t2+2t-3,则P(t,t-1, P0=1-1-(t2+2t-3=-t2-t+2, S.8DO =S.DPO+S.BP0 =。-P0+,-gPe 5/8 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 =(x,-x)PO =[1-(21--*2 E-号<0，-2<1<1 小当1=号时，9m最大，最大值为号：6例 (3)解：y=x2+2x-3=(x+1)-4的对称轴为直线x=-1, :设抛物线的对称轴上有一动点M(-1,m), A-3,0),D-2,-3, ÷AD2=[-3-(-2]+(-3-0)2=10,AM2=[-3-(-1]+(m-0)2=m2+4, DM2=[-2-(-1]+(-3-m2=(m+3)2+1, 当△MAD是以AD边为腰的等腰三角形时，AD=AM或AD=DM, 当AD=AM时，AD2=AM2,即10=m2+4,解得m=±√6，此时M(-1,V6)或(-l,-V6)； 当AD=DM时，AD2=DM2,即10=(m+3)+1,解得m1=0,m2=-6,此时M(-1,0或(-1，-6； 综上所述，当△MAD是以AD边为腰的等腰三角形时，M点坐标为-L,V6)或-山，-V6)或(-1,0)或(-1，-6) .(10分) 26.(10分) 【详解】(1)如图，设BC=x, D' D B :矩形ABCD绕点A顺时针旋转90°，得到矩形ABCD, 点A,B,D在一条线上，AB=AB,BC=DA=B'C',∠BAD=LB'=90°， AB∥B'C, 6/8 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 .△DAB△DBC, DA AB DB'B'C' x=1 x+1 x 理，得2-10，解得+5，，”（不合题意，舍去> 2 BC=1+5.B分) 2 (2)证明：如图，连接DD, D D :D'M∥AC', .∠AD'M=∠D'AC', :AD'=AD,∠AD'C'=∠DAB=90°，D'C'=AB, △AC'D'≌△DBA(SAS), ∠ADB=∠D'AC', .∠ADB=∠AD'M, AD'=AD, ∠ADD'=∠AD'D, .∠MDD'=∠MD'D, D'M=DM.(6分) (3)关系式为MW2=DN.PN.理由如下： 如图，连接AM, C D B M B D D'M DM,AD'=AD,AMAM .△AD'M≌△ADM(SSS), ∠MAD=∠MAD', 7/8 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 :∠AMN=∠MAD+∠NDA,∠NAM=∠MAD+∠NAP, .∠AMN=∠NAM, .MN AN :∠APN=∠DNA,∠NAP=∠NDA, .△NPA∽△NAD, .PN AN AN DN' .AN2=DN·PN, .MN2=DN.PW.(10分) 8/8 2025-2026学年九年级数学上学期期末模拟卷 强化卷·全解全析 （考试时间：120分钟 试卷满分：120分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4．测试范围：湘教版九年级上册第1章~九年级下册第2章。 一、选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。） 1．已知线段，，，且a，b，c，d成比例，则线段d的长是（   ） A．2 B．4 C．5 D．6 2．若关于x的方程是一元二次方程，则a的取值范围是（    ） A．取任意实数 B． C． D． 3．的值是（　　） A． B． C． D． 4．已知点，点和点在反比例函数的图象上，则，，的大小关系为（） A． B． C． D． 5．抛物线的函数表达式为，若将轴向上平移2个单位长度，将轴向左平移3个单位长度，则该抛物线在新的平面直角坐标系中的函数表达式为（    ） A． B． C． D． 6．已知、、、在上，、交于外点，，则的度数为（   ） A． B． C． D． 7．甘肃省某中学为了加深学生对本省非物质文化遗产的了解，计划开展一些非物质文化遗产知识的相关选修课程（分别是剪纸、皮影戏、黄河战鼓、秦州小曲、跳鼓舞），选取了若干学生进行了“我最喜欢的一门选修课程”的调查，要求每人只能选择其中的一项，根据得到的数据，绘制的不完整统计图如图所示，则下列说法中正确的是（   ） A．这次调查的样本容量是110 B．全校1600名学生中，估计最喜欢剪纸的大约有240人 C．扇形统计图中，黄河战鼓所对应的圆心角是 D．被调查的学生中，最喜欢皮影戏的有33人 8．如图，在矩形中，，，点E是边上的点，连接交于点G，过点A作，分别与，交于点H，F，若，则（    ） A． B． C． D． 9．如图，某小区计划在一个长80米，宽36米的长方形场地上，修建三条同样宽的道路，使其中两条与平行，另一条与平行，其余部分种草，若使每块草坪的面积都为260平方米，求道路的宽度．设道路宽度为x米，则根据题意可列方程为（   ） A． B． C． D． 10．如图，二次函数的图象与x轴交于点，与y轴的交点B在与之间（不包括这两点），对称轴为直线．下列结论，正确的是（　　） ①； ②； ③若点，点是函数图象上的两点，则； ④． A．①②③ B．①②④ C．②③④ D．①③④ 2、 填空题（本题共8小题，每小题3分，共24分．） 11．夜跑已逐渐成为年轻人跑步的新方式，调查表明：在校大学生中有夜跑习惯的占比约为左右．若随机选择150名在校大学生进行调查，则估计有夜跑习惯的人数为 ． 12．如图，在8×4的网格中，每个小正方形的边长都是1．的顶点均在格点上，则的值为 ． 13．如图，若，如果，，，那么 ． 14．设，是方程的两个根，则 ． 15．如图，点P在y轴正半轴上运动，点C在x轴上运动，过点P且平行于x轴的直线分别交函数和于A，B两点，则的面积等于 ． 16．如图，在扇形中，已知，，过的中点C作，，垂足分别为D、E，则图中阴影部分的面积为 ． 17．二次函数的图象的顶点为D，图象与轴交于点，与x轴正方向从左至右依次交于A，B两点，若和均为等腰直角三角形（O为坐标原点），则 ． 18．如图，四边形是正方形，连接，点E是上一点，连接交于点F，连接，过点D作于点G，连接． （1）若，则的值为 ； （2）若，则的值为 ． 3、 解答题（本题共8小题，第19-20题每题6分，第21-22题每题8分，第23-24题每题9分，第25-26题每题10分，共66分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 19．解方程： (1)； (2)． 20．某校为了解学生五月份参与家务劳动的情况，随机抽取了部分学生进行调查．家务劳动的项目主要包括：扫地、拖地、洗碗、洗衣、做饭和简单维修等．学校德育处根据调查结果制作了如下两幅不完整的统计图： 请根据以上信息，解答下列问题： (1)本次被抽取的学生人数为_______人；并补全条形统计图； (2)在扇形统计图中，“4项及以上”部分所对应扇形的圆心角度数是______； (3)若该校有学生1000人，请估计该校五月份参与家务劳动的项目数量达到3项及以上的学生人数． 21．如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与反比例函数的图象相交于第一，三象限内的，两点，与轴交于点． (1)求该反比例函数和一次函数的表达式； (2)在第三象限的反比例函数图象的一点，使得的面积等于18，求点的坐标． 22．综合与实践 香炉洲大桥是湘江流域主塔最高、跨度最大的独塔斜拉桥，是湖南基建的标志性成就，更是绿色建造领域的标杆工程．数学实践小组查阅相关资料，其主塔“湘江之钻”造型的高度为202米，这个高度包含了塔基、承台塔座等水下部分，他们计划运用所学知识测量香炉洲大桥的主塔相对于桥面的高度，制定了如下方案： 【数据采集】如图，点A是大桥主塔顶部一点，为主塔相对于桥面的高度，无人机在主塔上方点C处时，测得主塔顶部A处的俯角，底部B处的俯角，沿水平方向由点C飞行84米到达点D处，在D处测得A处的俯角，已知图中各点均在同一竖直平面内． 【数据应用】 （1）请根据以上数据求大桥主塔相对于桥面的高度；（结果精确到1米，参考数据：，，，，，） 【方案反思】 （2）湘湘同学对该测量方案提出改进建议：考虑到现代无人机能实时显示点C到桥面的距离，则可减少需要采集的数据，请直接写出原数据采集方案（，84米，）中至多可以删减的数据为_______． 23．近年来，兴城泳装行业蓬勃发展，泳装销量逐年提升，为进一步扩大市场，某商店在“泳装节”期间对一款泳装进行降价出售，这款泳装原来的价格是200元/套，经两次降价后变为162元/套． (1)若该商店两次降价的百分率相同，求该款泳装价格每次下降的百分率； (2)活动结束后，经市场调研发现，当这种款式泳装每套盈利10元时，月销售量为500套，如果调整销售单价，每涨价1元，则月销售量就减少25套，现在既要月销售利润达到5600元，又要尽可能让顾客得到实惠，那么该款式泳装每套应涨价多少元？ 24．如图，是的直径，弦于点E，点P在上，． (1)求证：； (2)连接，若，，求的直径． 25．已知：二次函数的图象与轴交于两点，其中点坐标为，与轴交于点，点在抛物线上． (1)求抛物线的解析式； (2)为直线下方抛物线上一点，求面积的最大值； (3)抛物线的对称轴上有一动点，当是以边为腰的等腰三角形时，求出点坐标． 26．探究活动：将一个矩形绕点A顺时针旋转，得到矩形，连接． (1)【探究1】如图1，当时，点恰好在延长线上使得．若，求的长； (2)【探究2】如图2，连接，过点作交于点M．证明：； (3)【探究3】在探究2的条件下，射线分别交，于点P，N（如图3），试探究线段，，之间的数量关系，并说明理由． 1 / 15 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年九年级数学上学期期末模拟卷 强化卷·全解全析 （考试时间：120分钟 试卷满分：120分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4．测试范围：湘教版九年级上册第1章~九年级下册第2章。 一、选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。） 1．已知线段，，，且a，b，c，d成比例，则线段d的长是（   ） A．2 B．4 C．5 D．6 【答案】D 【分析】本题考查线段成比例问题．根据比例线段的定义，由成比例，得，即，代入已知值求解． 【详解】解：∵ a，b，c，d成比例， ∴， ∴将，，，代入得：，   ∴，即，   ∴， 故选：D． 2．若关于x的方程是一元二次方程，则a的取值范围是（    ） A．取任意实数 B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了一元二次方程的定义，含有一个未知数，并且未知数的次数为2的整式方程为一元二次方程，解题的关键是掌握一元二次方程的定义． 根据一元二次方程的定义可得，，由于，可得，恒不为零，即可求解． 【详解】解：由题意可得，二次项系数， 又∵， ∴，恒成立， ∴取任意实数， 故选A． 3．的值是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了特殊角的三角函数值． 根据特殊角的三角函数值计算即可． 【详解】解：． 故选：C． 4．已知点，点和点在反比例函数的图象上，则，，的大小关系为（） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查反比例函数的图象和性质，掌握相关知识是解决问题的关键．由反比例函数性质，时，则且函数递增，根据点所在象限确定值的正负，再利用函数在各象限的增减性即可得y的大小关系． 【详解】解：∵， ∴当时，；当时，， ∵，，， ∴，，，故最小； 又∵在时，函数随x的增大而增大， 且， ∴， 综上，． 故选：C． 5．抛物线的函数表达式为，若将轴向上平移2个单位长度，将轴向左平移3个单位长度，则该抛物线在新的平面直角坐标系中的函数表达式为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查二次函数图象的平移：将坐标轴的平移转换为函数图象的平移：轴向上平移2个单位相当于图象向下平移2个单位，轴向左平移3个单位相当于图象向右平移3个单位． 【详解】解：∵轴向上平移2个单位，相当于函数图象向下平移2个单位； ∵轴向左平移3个单位，相当于函数图象向右平移3个单位； ∴原函数向右平移3个单位得； 再向下平移2个单位得． 故选：C． 6．已知、、、在上，、交于外点，，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查的是圆周角定理、三角形的外角性质， 先由圆周角定理求出，再根据三角形的外角性质计算即可． 【详解】解：， ， ， ， 故选：A． 7．甘肃省某中学为了加深学生对本省非物质文化遗产的了解，计划开展一些非物质文化遗产知识的相关选修课程（分别是剪纸、皮影戏、黄河战鼓、秦州小曲、跳鼓舞），选取了若干学生进行了“我最喜欢的一门选修课程”的调查，要求每人只能选择其中的一项，根据得到的数据，绘制的不完整统计图如图所示，则下列说法中正确的是（   ） A．这次调查的样本容量是110 B．全校1600名学生中，估计最喜欢剪纸的大约有240人 C．扇形统计图中，黄河战鼓所对应的圆心角是 D．被调查的学生中，最喜欢皮影戏的有33人 【答案】B 【详解】解：人， ∴这次一共调查了200人，即样本容量为200，故A说法错误，不符合题意； 人， ∴样本中最喜欢剪纸的有30人， ∴全校1600名学生中，估计最喜欢剪纸的大约有人，故B说法正确，符合题意； 扇形统计图中，黄河战鼓所对应的圆心角是，故C说法错误，不符合题意； 人， ∴被调查的学生中，最喜欢皮影戏的有60人，故D说法错误，不符合题意； 故选：B． 8．如图，在矩形中，，，点E是边上的点，连接交于点G，过点A作，分别与，交于点H，F，若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了相似三角形的判定和性质，矩形的性质． 根据矩形的性质得到，，，证明，得到，证明，得到，进而计算即可． 【详解】解：∵矩形， ∴，，． ∴， ∴， ∵，， ∴， 解得：， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵，，， ∴， ∴． 故选：C． 9．如图，某小区计划在一个长80米，宽36米的长方形场地上，修建三条同样宽的道路，使其中两条与平行，另一条与平行，其余部分种草，若使每块草坪的面积都为260平方米，求道路的宽度．设道路宽度为x米，则根据题意可列方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，根据题意列出一元二次方程是解题的关键． 设道路宽度为x米，根据草坪的总面积为260平方米列方程即可． 【详解】设道路宽度为x米， 根据题意得，． 故选：A． 10．如图，二次函数的图象与x轴交于点，与y轴的交点B在与之间（不包括这两点），对称轴为直线．下列结论，正确的是（　　） ①； ②； ③若点，点是函数图象上的两点，则； ④． A．①②③ B．①②④ C．②③④ D．①③④ 【答案】B 【详解】解：∵抛物线开口向下， ∴， ∵对称轴为直线， ∴2，即， ∵二次函数与y轴的交点与之间（不包括这两点）， ∴， ∴，故①正确； ∵二次函数的图象与x轴相交于点，对称轴为直线， ∴二次函数的图象与x轴相交于点，， ∴时，，故②正确； ∵抛物线开口向下，对称轴为直线， ∴点到对称轴的距离大于点到对称轴的距离， ∴，故③不正确； ∵二次函数的图象与x轴交于点， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，故④正确； 故选：B． 2、 填空题（本题共8小题，每小题3分，共24分．） 11．夜跑已逐渐成为年轻人跑步的新方式，调查表明：在校大学生中有夜跑习惯的占比约为左右．若随机选择150名在校大学生进行调查，则估计有夜跑习惯的人数为 ． 【答案】60 【分析】本题主要考查用样本估计总量，利用总人数乘以有夜跑习惯的占比，即可解答，熟练计算是解题的关键． 【详解】解：人， 故答案为：． 12．如图，在8×4的网格中，每个小正方形的边长都是1．的顶点均在格点上，则的值为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了求角的正切值，正确构造直角三角形是解题的关键．取格点，连接、，再根据三角函数的定义即可求解． 【详解】解：如图，取格点，连接、． 由题图知： ， 故答案为：． 13．如图，若，如果，，，那么 ． 【答案】 【分析】本题考查平行线分线段成比例定理，解题关键是识别平行线所截线段的比例关系，易错点是比例线段对应关系混淆，解题思路为：根据平行线分线段成比例定理列出比例式，求出后再计算． 【详解】解： ，，， 则； ; 故答案为：． 14．设，是方程的两个根，则 ． 【答案】2 【分析】本题主要考查了一元二次方程根与系数的关系，对于一元二次方程，若，是该方程的两个实数根，则，，据此可得，，代入即可得到答案． 【详解】解：∵，是方程的两个根， ∴，， ∴． 故答案为：2． 15．如图，点P在y轴正半轴上运动，点C在x轴上运动，过点P且平行于x轴的直线分别交函数和于A，B两点，则的面积等于 ． 【答案】 【分析】本题考查了反比例函数的性质． 设点P坐标为，则A，B两点纵坐标均为，求出，，根据三角形面积公式计算即可． 【详解】解：设点P坐标为， 则A，B两点纵坐标均为， ∵过点P且平行于x轴的直线分别交函数和于A，B两点， ∴，， 即，， ∴ ． 故答案为：． 16．如图，在扇形中，已知，，过的中点C作，，垂足分别为D、E，则图中阴影部分的面积为 ． 【答案】 【分析】如图：连接，根据矩形的判定定理得到四边形是矩形，再根据证明，根据全等三角形的性质得到，从而得到矩形是正方形，再求出正方形的边长，再根据扇形和正方形的面积公式求解即可． 【详解】解：如图：连接， ∵， ∴， ∴四边形是矩形， ∵点C是的中点， ∴， 在与中， ， ∴， ∴， ∴矩形是正方形， ∵， ∴，解得：， ∴图中阴影部分的面积． 故答案为：． 17．二次函数的图象的顶点为D，图象与轴交于点，与x轴正方向从左至右依次交于A，B两点，若和均为等腰直角三角形（O为坐标原点），则 ． 【答案】1 【详解】解：由已知，得点的坐标为：， 令，则， 解得， ，， 顶点坐标为， 过作于点， 为等腰直角三角形， 则， ， 整理得：， 或， 又， ， 为等腰直角三角形， ， ， 整理得：， ， 故答案为：1． 18．如图，四边形是正方形，连接，点E是上一点，连接交于点F，连接，过点D作于点G，连接． （1）若，则的值为 ； （2）若，则的值为 ． 【答案】 3 【详解】解：（1）∵四边形是正方形， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴设， 则， ∴， ∴， 故答案为：3 （2）∵四边形是正方形， ∴， ∵， ∴ ∵， ∴， ∴， ∴， 设， ∵四边形是正方形， ∴， ∴，，， ∴， ∴， ∴， 则， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 在中，， 即， ∴， 则， ∴， ∴，（舍去）， 则 ∴， ∴， 故答案为：． 3、 解答题（本题共8小题，第19-20题每题6分，第21-22题每题8分，第23-24题每题9分，第25-26题每题10分，共66分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 19．解方程： (1)； (2)． 【答案】(1)， (2)， 【分析】本题考查了解一元二次方程，熟练掌握开平方法，因式分解法，配方法，公式法是解题的关键。 （1）因式分解法解一元二次方程； （2）因式分解法解一元二次方程． 【详解】（1）解： 或 解得：或， ∴原方程的根为：，； （2）解： 或 解得：或， ∴原方程的根为：，． 20．某校为了解学生五月份参与家务劳动的情况，随机抽取了部分学生进行调查．家务劳动的项目主要包括：扫地、拖地、洗碗、洗衣、做饭和简单维修等．学校德育处根据调查结果制作了如下两幅不完整的统计图： 请根据以上信息，解答下列问题： (1)本次被抽取的学生人数为_______人；并补全条形统计图； (2)在扇形统计图中，“4项及以上”部分所对应扇形的圆心角度数是______； (3)若该校有学生1000人，请估计该校五月份参与家务劳动的项目数量达到3项及以上的学生人数． 【答案】(1)100，见解析 (2)36 (3)250 人 【分析】本题考查了用样本数据估计总体以及补全条形图和扇形图等知识，解题关键是理解题中数据的含义，并根据相关概念求解． （1）根据题目中的1项数据计算即可求解； （2）根据“4项及以上”的人数所占的比例乘以即可求解； （3）根据该校五月份参与家务劳动的项目数量达到3项及以上的学生人数所占的比例乘以1000即可求解． 【详解】（1）解：根据题中的1项数据计算，可得被抽取的学生人数为；补全图形如图． （2）解：， ∴“4项及以上”部分所对应扇形的圆心角度数是； （3）解：（人） 答 ：估计该校五月份参与家务劳动的项目数量达到 3 项及以上的学生有250 人． 21．如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与反比例函数的图象相交于第一，三象限内的，两点，与轴交于点． (1)求该反比例函数和一次函数的表达式； (2)在第三象限的反比例函数图象的一点，使得的面积等于18，求点的坐标． 【答案】(1)， (2)点坐标为 【分析】本题考查了待定系数法求函数表达式，函数与三角形的面积问题； （1）将代入，即可确定，将点代入可确定点坐标，将，坐标代入，即可确定一次函数表达式； （2）先求出一次函数与轴交点坐标，可以得到的长度，通过设点坐标为，再利用三角形面积建立等量关系即可确定点坐标； 【详解】（1）解：将代入，得：， ∴反比例函数的表达式为． 将点代入，可得， ∴． 把，代入，得， 解得： ∴一次函数的表达式为． （2）一次函数的表达式为， 令，则，． ∴点坐标为， ∵点在反比例函数的图象上， 设点坐标为， ∵， ， 解得：或， 又∵点在第三象限， ∴点坐标为． 22．综合与实践 香炉洲大桥是湘江流域主塔最高、跨度最大的独塔斜拉桥，是湖南基建的标志性成就，更是绿色建造领域的标杆工程．数学实践小组查阅相关资料，其主塔“湘江之钻”造型的高度为202米，这个高度包含了塔基、承台塔座等水下部分，他们计划运用所学知识测量香炉洲大桥的主塔相对于桥面的高度，制定了如下方案： 【数据采集】如图，点A是大桥主塔顶部一点，为主塔相对于桥面的高度，无人机在主塔上方点C处时，测得主塔顶部A处的俯角，底部B处的俯角，沿水平方向由点C飞行84米到达点D处，在D处测得A处的俯角，已知图中各点均在同一竖直平面内． 【数据应用】 （1）请根据以上数据求大桥主塔相对于桥面的高度；（结果精确到1米，参考数据：，，，，，） 【方案反思】 （2）湘湘同学对该测量方案提出改进建议：考虑到现代无人机能实时显示点C到桥面的距离，则可减少需要采集的数据，请直接写出原数据采集方案（，84米，）中至多可以删减的数据为_______． 【答案】（1）大桥主塔相对于桥面的高度AB约为150米；（2）84米和． 【分析】本题主要考查了解直角三角形的实际应用，熟知锐角三角函数是解题的关键． （1）延长交于点G，则，解得到，设米，则米；解得到，则，解方程求出的长，再解求出的长即可得到答案； （2）根据题意可得无人机可直接显示的长，那么解可求出的长，解可求出的长，则可求出的长，因此不需要知道的长和的度数． 【详解】解：（1）如图，延长交于点G，则． 在中，， ∴． 设米，则米． 在中，， ∴，即． 解得（已检验是原方程的解，且符合题意）． ∴米，米． 在中，， ∴． ∴（米）． ∴（米）． 答：大桥主塔相对于桥面的高度约为150米． （2）无人机能实时显示点C到桥面的距离，结合（1）可知，利用数据，求得的长度即可，所以原数据采集方案中至多可以删减的数据为84米和． 23．近年来，兴城泳装行业蓬勃发展，泳装销量逐年提升，为进一步扩大市场，某商店在“泳装节”期间对一款泳装进行降价出售，这款泳装原来的价格是200元/套，经两次降价后变为162元/套． (1)若该商店两次降价的百分率相同，求该款泳装价格每次下降的百分率； (2)活动结束后，经市场调研发现，当这种款式泳装每套盈利10元时，月销售量为500套，如果调整销售单价，每涨价1元，则月销售量就减少25套，现在既要月销售利润达到5600元，又要尽可能让顾客得到实惠，那么该款式泳装每套应涨价多少元？ 【答案】(1) (2)4元 【分析】本题考查一元二次方程的应用，理解题意，正确列出方程是解答的关键． （1）根据题意，根据降价前的价格降价后的价格列方程求解即可． （2）设该款式泳装每套涨价元，根据月销售利润达到5600元列方程，解方程后根据让顾客得到实惠确定结果． 【详解】（1）解：设该款泳装价格每次下降的百分率为， 根据题意得： ， 解得，（舍去）， 答：该款泳装价格每次下降的百分率； （2）解：设该款式泳装每套涨价元， 根据题意得：， 整理得， 解得，， ∵要尽可能让顾客得到实惠， ∴， 答：该款式的泳装每套应涨价4元． 24．如图，是的直径，弦于点E，点P在上，． (1)求证：； (2)连接，若，，求的直径． 【答案】(1)证明见解析 (2)6 【分析】本题考查了圆周角定理、等边三角形的判定、平行线的判定，熟练掌握相关知识点是解题的关键． （1）根据圆周角定理得到，结合，得到，再根据内错角相等，两直线平行即可证明； （2）证明是等边三角形，则有，即可求出的直径． 【详解】（1）证明：， ， ， ， ； （2）解：， ， ， ， ， 是等边三角形， ， ， 即的直径为6． 25．已知：二次函数的图象与轴交于两点，其中点坐标为，与轴交于点，点在抛物线上． (1)求抛物线的解析式； (2)为直线下方抛物线上一点，求面积的最大值； (3)抛物线的对称轴上有一动点，当是以边为腰的等腰三角形时，求出点坐标． 【答案】(1) (2)最大值为； (3)点坐标为或或或 【分析】本题考查二次函数综合，涉及到待定系数法求解析式，二次函数与面积综合，二次函数与等腰三角形综合等知识点； （1）把，代入后解方程即可； （2）先求出，再求出直线 解析式为，过作轴，交于点，设，则，再根据求出最大值为； （3）设，根据，，表示出、、的长度，再根据当是以边为腰的等腰三角形时，或，据此列方程求解即可． 【详解】（1）解：把，代入得： ， 解得， ∴抛物线的解析式为； （2）解：当时，解得， ∴， 设直线 解析式为， 把，代入得， 解得， ∴直线 解析式为， 过作轴，交于点，如图， 设，则， ∴， ∴ ， ∵，， ∴当时，最大，最大值为； （3）解：的对称轴为直线， ∴设抛物线的对称轴上有一动点， ∵，， ∴，，， 当是以边为腰的等腰三角形时，或， 当时，，即，解得，此时或； 当时，，即，解得，此时或； 综上所述，当是以边为腰的等腰三角形时，点坐标为或或或． 26．探究活动：将一个矩形绕点A顺时针旋转，得到矩形，连接． (1)【探究1】如图1，当时，点恰好在延长线上使得．若，求的长； (2)【探究2】如图2，连接，过点作交于点M．证明：； (3)【探究3】在探究2的条件下，射线分别交，于点P，N（如图3），试探究线段，，之间的数量关系，并说明理由． 【答案】(1)； (2)见解析； (3)，证明见解析． 【分析】本题考查了矩形的性质，旋转的性质，全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，等腰三角形的判定与性质，熟练掌握这些知识是解题的关键． （1）设，由旋转性质得，，由相似三角形的性质得出，由比例线段得出方程，求解即可； （2）连接，证明，由全等三角形的性质可得，由等腰三角形的性质可得，证出即可； （3）连接，证明，由全等三角形的性质可得出，得出，证明，由相似三角形的性质得出即可． 【详解】（1）如图，设， ∵矩形绕点A顺时针旋转，得到矩形， ∴点A，B，在一条线上，，，， ∴， ∴∽， ∴，∴， 整理，得，解得，（不合题意，舍去）， ∴． （2）证明：如图，连接， ∵， ∴， ∵，，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． （3）关系式为．理由如下： 如图，连接， ∵，，， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴． 1 / 15 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $