专题06 分式方程应用题分类训练（行程工程销售方案配套新能源6种类型48道）（高效培优期末专项训练）八年级数学上学期湘教版2024

专题06 分式方程应用题分类训练 （行程工程销售方案配套新能源6种类型48道） 考点01 行程问题 考点02 工程问题 考点03 销售利润 考点04 方案问题 考点05 配套问题 考点06 新能源相关分式方程应用题 考点01 行程问题 1．秋天是北京四季中最美的季节，深秋的北京香山更是景美如画，金代诗人周昂在《香山》中用诗句“山林朝市两茫然，红叶黄花白一川”描绘了香山红叶与黄花交相辉映的自然美景．小明和小亮都是登山爱好者．金秋十月，两人相约去香山爬山赏景，挑战香炉峰．小明沿北线步道上山，小亮沿南线步道上山，北线步道长度为，南线步道长度为．两人分别从各自步道起点同时出发，小明比小亮每小时少走，结果小明和小亮同时到达终点，求两人每小时各走多少千米？ 【答案】小亮每小时走1千米，小明每小时走0.5千米 【分析】此题考查了分式方程的应用，设小亮每小时走千米，小明每小时走千米．结果小明和小亮同时到达终点，即两人的时间相同，据此列方程，解方程并检验即可． 【详解】解：设小亮每小时走千米，小明每小时走千米． 根据题意，得 ． 解得：． 经检验，是原分式方程的解，且符合题意． ． 答：小亮每小时走1千米，小明每小时走0.5千米． 2．学校组织春游活动，从学校出发，下面是小红、小明两位同学的对话： 根据以上信息求小明骑自行车的速度． 【答案】明骑自行车的速度是15千米/小时 【分析】本题考查了分式方程的应用，找准等量关系，正确列出分式方程是解题的关键．设小明骑自行车的速度是千米/小时，则客车的速度为千米/小时，根据题意列方程即可得到解答． 【详解】解：设小明骑自行车的速度是千米/小时，则客车的速度为千米/小时， 根据题意，得． 解得 经检验，是所列方程的解． 答：小明骑自行车的速度是15千米/小时． 3．从甲地到乙地有两条路：一条是全长800千米的普通公路，另一条是全长600千米高速公路．某客车从甲地出发去乙地，若走高速公路，则客车平均速度是走普通公路的平均速度的2倍，所需时间比走普通公路所需时间少10小时．问该客车走普通公路的平均速度是每小时多少千米？ 【答案】该客车走普通公路的平均速度是每小时50千米 【分析】本题主要考查了分式方程的实际应用，设该客车走普通公路的平均速度是每小时x千米，则该客车走高速公路的平均速度是每小时千米，根据走高速公路所需时间比走普通公路所需时间少10小时建立方程求解即可． 【详解】解：设该客车走普通公路的平均速度是每小时x千米，则该客车走高速公路的平均速度是每小时千米， 由题意得：， 解得：， 经检验是原方程的解，且符合题意， 答：该客车走普通公路的平均速度是每小时50千米． 4．大运（大同一运城）高速铁路纵贯山西南北，穿越三晋腹地，助力山西的经济发展．高铁开通前，从大同开往运城的某次普通列车，运行距离是．大运高速开通后，从大同开往运城的某次动车，运行距离是．从大同开往运城，动车花费的时间比普通列车少，动车的平均速度是普通列车的3倍，求动车的平均速度． 【答案】动车的平均速度为 【分析】本题考查了分式方程的应用，设普通列车的平均速度为，则动车的平均速度为，根据题意列出分式方程，解分式方程即可得解，理解题意，找准等量关系，正确列出分式方程是解此题的关键． 【详解】解：设普通列车的平均速度为，则动车的平均速度为， 根据题意，得， 解得 经检验，是原方程的解，且符合题意， ， 答：动车的平均速度为． 5．“歼－10”战机是中国自行研制的、具有自主知识产权的高性能、多用途第三代战斗机．宋文骢生于云南省昆明市，是“歼－10”战机的总设计师，被誉为中国“歼－10之父”，“阵风”战机，作为法国达索公司的杰作，与“台风”和“萨博JAS-39”并驾齐驱，被誉为战机界的“欧洲三雄”，对比两种战机，“歼－10”战机以其超过音速的速度优势，是“阵风”战机的1.2倍，已知巴基斯坦与印度首都新德里的直线距离300公里，若“阵风”战机在印度首都新德里先1分钟起飞飞往巴基斯坦，“歼－10”战机才开始从巴基斯坦起飞飞往印度首都新德里，则它们同时到达各自的目的地，求“歼－10”战机的速度是每小时多少公里？ 【答案】“歼－10”战机的速度是3600公里/时 【分析】设“阵风”战机的速度是公里/时，则“歼－10”战机的速度是公里/时，根据题意“阵风”战机在印度首都新德里先1分钟起飞飞往巴基斯坦，“歼－10”战机才开始从巴基斯坦起飞飞往印度首都新德里，列出分式方程，解方程即可． 本题考查了分式方程的应用，找准等量关系，正确列出分式方程是解题的关键． 【详解】解：设“阵风”战机的速度是公里/时，则“歼－10”战机的速度是公里/时． 根据题意得：， 解得：， 经检验，是所列方程的解，且符合题意， ． 答：“歼－10”战机的速度是3600公里/时． 6．电动垂直起降飞行器凭借其独特的电动化与垂直起降技术，开辟了全新的空中勤模式，极大提升出行效率．在太原开展的交通测试中，从太原武宿国际机场到平遥古城，两地相距约100千米，乘坐电动垂直起降飞行器比乘坐长途大巴少耗时45分钟．经测算，长大巴的速度是电动垂直起降飞行器速度的，请求出电动垂直起降飞行器的速度． 【答案】200千米/时 【分析】本题考查了分式方程的应用，准确找出等量关系列出分式方程是解题的关键； 设电动垂直起降飞行器的速度为千米/时，则长途大巴的速度为千米/时，根据乘坐电动垂直起降飞行器比乘坐长途大巴少耗时45分钟，列出分式方程，解方程并检验即可解答． 【详解】解：设电动垂直起降飞行器的速度为千米/时，则长途大巴的速度为千米/时，根据题意，得 ， 解得． 经检验，是该分式方程的解，且符合题意． 答：电动垂直起降飞行器的速度为200千米/时． 7．马小虎同学早上到离家1200米的学校上学，到学校后发现数学作业丢在家里了，此时还有30分钟上第一节课，于是他立即步行回家，在家拿数学作业用了2分钟，然后骑自行车返回学校，已知马小虎骑自行车的平均速度是步行平均速度的2.5倍，马小虎骑自行车到学校比他从学校步行到家少用了9分钟． (1)马小虎步行的平均速度是每分钟多少米？ (2)通过计算判断马小虎能否在第一节课上课前赶到学校？ 【答案】(1)马小虎步行的平均速度是每分钟80米 (2)能 【分析】本题考查了分式方程的应用，正确理解题意、找准相等关系是解题的关键． （1）设马小虎步行的平均速度是每分钟x米，根据骑自行车到学校比他从学校步行到家少用了9分钟，即可列出分式方程，解方程并检验后可得答案； （2）求出马小虎步行回家和骑自行车到学校所用的时间，即可得出结论． 【详解】（1）解：设马小虎步行的平均速度是每分钟x米，则马小虎骑自行车的平均速度是每分钟米， 由题意得：， 解得：， 经检验：是所列方程的解，且符合题意， 答：马小虎步行的平均速度是每分钟80米； （2）解：因为， 所以马小虎能在第一节课上课前赶到学校． 8．为迎接全国第39届科技创新大赛，学校创客社团积极备战，一节社团课上，小明用电脑程序控制小型赛车进行比赛，“畅想号”和“和谐号”两辆赛车进入了决赛．比赛前的练习中，两辆赛车从起点同时出发，“畅想号”到达终点时，“和谐号”离终点还差．已知，“畅想号”的平均速度为． (1)请根据以上背景，提出一个合理问题并解决．（不添加条件，题目中的数据全部用上） (2)如果两车重新开始比赛，“畅想号”从起点向后退，两车同时出发，两车能否同时达到终点？若能，求出两车到达终点时间；若不能，请重新调整一辆车的平均速度，使两车能同时到达终点． 【答案】(1)见解析 (2)不能，将“畅想号”的平均速度降低两车能同时到达终点 【分析】本题考查的是分式方程的应用，理解题意是解本题的关键． （1）先提出问题：求“和谐号”的平均速度？设“和谐号”的平均速度，再利用时间关系建立分式方程求解即可； （2）方便计算两车到达的时间即可判断是否同时到达，设“畅想号”的平均速度降低时能使两车同时到达终点，可得，再解方程即可． 【详解】（1）解：提出问题：求“和谐号”的平均速度？ 设“和谐号”的平均速度，则 解得． 经检验是分式方程的解． 故“和谐号”的平均速度． （2）解：“畅想号”到达终点的时间是，“和谐号”到达终点的时间是， 故两车不能同时到达终点，“畅想号”先到． 设“畅想号”的平均速度降低时能使两车同时到达终点， 则， 解得 经检验是分式方程的解． 故将“畅想号”的平均速度降低两车能同时到达终点． 考点02 工程问题 9．某工厂计划生产文创产品“穿楼积木”套，安排甲、乙两车间完成任务，甲车间生产套，乙车间生产套“穿楼积木”、在生产过程中，乙车间每天生产“穿楼积木”的数量是甲车间每天生产“穿楼积木”数量的倍，两个车间同时生产，结果甲车间比乙车间提前2天完成任务，求甲车间每天生产多少套“穿楼积木”？ 【答案】甲车间每天生产套“穿楼积木” 【分析】本题考查分式方程的运用，理解数量关系，正确列式求解是解题的关键．设甲车间每天生产套“穿楼积木”，则乙车间每天生产套“穿楼积木”，由此列分式方程求解即可． 【详解】解：设甲车间每天生产套“穿楼积木”，则乙车间每天生产套“穿楼积木”， 由题意得，， 即 解得，， 检验，当时，原分式方程有意义， 答：甲车间每天生产套“穿楼积木”． 10．小王和小李一起加工同一种零件，小王每小时比小李多加工4个，结果在相同的时间里，小王加工160个零件，小李加工120个零件．求小王和小李每小时分别可加工多少个零件？ 【答案】小王每小时加工16个，小李每小时加工12个 【分析】本题主要考查分式方程的应用，解题的关键是理解题意；设小李每小时加工x个零件，则小王每小时可加工个零件，由题意易得，进而求解即可． 【详解】解：设小李每小时加工x个零件，则小王每小时可加工个零件，由题意得： ， 解得：， 经检验：是原方程的解， ∴； 答：小王每小时可加工16个零件，小李每小时加工12个零件． 11．某县为落实“精准扶贫惠民政策”，计划将某村的居民自来水管道进行改造，该工程若由甲队单独施工恰好在规定时间内完成；若由乙队单独施工，则完成工程所需天数是规定天数的倍．如果由甲、乙队先合作施工15天，那么余下的工程由甲队单独完成还需5天． (1)这项工程的规定时间是多少天？ (2)为了缩短工期以减少对居民用水的影响、工程指挥部最终决定该工程由甲、乙两队合作完成．则甲、乙两队合作完成该工程需要多少天？ 【答案】(1)这项工程的规定时间是30天 (2)甲、乙两队合作完成该工程需要18天 【分析】本题考查分式方程的应用，理解题意，根据等量关系列出方程是解题的关键． （1）设这项工程的规定时间是天，则甲队单独施工需要天完工，乙队单独施工需要天完工，依题意列方程即可解答； （2）求出甲、乙两队单独施工需要的时间，再根据题意列式求解即可． 【详解】（1）解：设这项工程的规定时间是天，则甲队单独施工需要天完工，乙队单独施工需要天完工， 依题意得，， 解得， 经检验，是原方程的解，且符合题意． 答：这项工程的规定时间是30天； （2）解：由（1）可知：甲队单独施工需要30天完工，乙队单独施工需要45天完工， 由题意得，（天）， 答：甲、乙两队合作完成该工程需要18天． 12．一项工程，甲队单独施工需要a天完成，乙队单独施工需要b天完成，丙队单独施工需要c天完成，若甲、乙、丙三队同时施工则只需要2天可完成，已知a，b，c均为正整数． (1)求a，b，c满足的等量关系； (2)若甲、乙两队同时施工4天后，剩余的工程由丙队单独施工，则丙队还需1天可以完成该项工程，求c的值； (3)若，求乙、丙两队同时施工需要多久可以完成该项工程． 【答案】(1) (2)3 (3)6或4天 【分析】本题主要考查了分式方程的实际应用： （1）根据工作总量等于工作效率乘以工作时间，即可求解； （2）用甲、乙两队同时施工4天的工作量加上丙队施工1天的工作量等于1，即可求解； （3）根据题意，确定，然后分类讨论，即可求解． 【详解】（1）解：根据题意得：， 即； （2）解：根据题意得：， ∵， ∴， ∴， 解得：， 经检验： 是原方程有解，且符合题意， 即c的值为3； （3）解：由（1）得：， ∴， ∵a，b，c均为正整数，， ∴，且， ∴， 当时，， 若，则，符合题意， 此时乙、丙两队同时施工需要完成该项工程的天数为天； 当时，， 若，则，符合题意， 此时乙、丙两队同时施工需要完成该项工程的天数为天； 当时，， 此时， 此时， ∵， ∴， ∴， ∴b能去6， 此时，不符合题意； 综上所述，乙、丙两队同时施工需要完成该项工程的天数6或4天 13．耕地是粮食生产的命根子，是中华民族永续发展的根基．某地区积极响应国家“退林还耕”号召，将该地区3500亩林地改为耕地，经招标，全部“退林还耕”工作由甲、乙两工程队共同完成，已知甲队每天完成的“退林还耕”面积是乙队的2倍，如果两队各自“退林还耕”500亩，甲队比乙队少用5天．求甲、乙两队每天完成的“退林还耕”面积． 【答案】甲每天完成的“退林还耕”面积为100亩，乙每天完成的“退林还耕”面积为50亩 【分析】本题主要考查了分式方程的实际应用，设乙每天完成的“退林还耕”面积为亩，则甲每天完成的“退林还耕”面积为亩，根据两队各自“退林还耕”500亩，甲队比乙队少用5天建立方程求解即可． 【详解】解：设乙每天完成的“退林还耕”面积为亩，则甲每天完成的“退林还耕”面积为亩， 依题意，得解得， 解得， 经检验是所列方程的解，且符合题目要求，此时． 答：甲每天完成的“退林还耕”面积为100亩，乙每天完成的“退林还耕”面积为50亩． 14．某城市的一条主干道排水管道改造工程由甲、乙两个工程队承担．已知甲工程队每天改造管道的长度是乙工程队的1.2倍，甲工程队改造720米管道所用的天数比乙工程队改造300米管道所用的天数多6天．求乙工程队每天改造多少米管道？ 【答案】乙工程队每天改造50米管道 【分析】本题考查了分式方程的应用．设乙工程队每天改造管道米，则甲工程队每天改造管道米，甲工程队改造720米管道所用的天数比乙工程队改造300米管道所用的天数多6天，列出方程，可求解． 【详解】解：设乙工程队每天改造管道米，则甲工程队每天改造管道米． 根据题意得，． 解得． 经检验，是原方程的根． 答：乙工程队每天改造50米管道 15．2025年春晚《秧BOT》节目中的机器人舞蹈，体现了我国人工智能领域的飞速发展．某物流公司采用、型机器人打包物品，某天共有11个机器人运作，型机器人共打包1080件物品，型机器人共打包750件物品，已知型机器人比型机器人每天多打包30件物品． (1)一个、型机器人每天分别打包多少件物品？ (2)“618”期间，物流公司每天使用、型机器人共同完成2460件物品的打包，请你求出所有的安排方案． 【答案】(1)一个、型机器人每天分别打包180件和150件物品； (2)见解析 【分析】本题考查了分式方程的应用，二元一次方程的应用． （1）设型机器人有个，则型机器人有个，根据“型机器人比型机器人每天多打包30件物品”列分式方程，求解即可； （2）设“618”期间，使用型机器人个，使用型机器人个，根据“共同完成2460件物品的打包”列出二元一次方程，利用和都是正整数，即可求解． 【详解】（1）解：设型机器人有个，则型机器人有个， 依题意有， 整理得， 解得（舍去）或， 经检验，是原方程的解， ∴一个型机器人每天打包件物品， 一个型机器人每天打包件物品； 答：一个、型机器人每天分别打包180件和150件物品； （2）解：设“618”期间，使用型机器人个，使用型机器人个， 依题意有， 整理得， ∵和都是正整数， ∴当时，；时，；时，； 综上，共有三种方案，方案一，使用型机器人2个， 型机器人14个；方案二，使用型机器人7个， 型机器人8个；方案三，使用型机器人12个， 型机器人2个． 16．某县积极响应国家优先发展教育事业的重大部署，对通往某偏远学校的一段全长为1200米的道路进行了改造，铺设柏油路面，铺设400米后，为了尽快完成道路改造，后来每天的工作效率比原计划提高，结果共用13天完成道路改造任务． (1)原计划每天铺设路面多少米？ (2)若承包商原来每天支付工人工资为1200元，提高工作效率后每天支付给工人的工资为1500元，完成整个工程后承包商共支付工人工资多少元？ 【答案】(1)80米 (2)18000元 【分析】此题主要考查分式方程的应用，解题的关键是根据题意找到等量关系列式求解． （1）设原计划每天铺设路面x米，则提高工作效率后每天铺设路面米，根据工作时间工作总量工作效率结合共用天完成道路改造任务．即可得出关于x的分式方程，解之经检验后即可得出结论； （2）根据总工资每天支付的工资工作天数，即可求出结论． 【详解】（1）解：设原计划每天铺设路面x米，则提高工作效率后每天铺设路面米． 依题意，得， 解得．             经检验，是原方程的解，且符合题意．                 答：原计划每天铺设路面80米． （2）解：（元）．                 答：完成整个工程后承包商共支付工人工资18000元． 考点03 销售利润 17．生长在海拔2100—2400米的甘肃临夏地区的啤特果，果味酸甜、性温，有多种氨基酸、糖类、维生素和钾、钙、铁等微量元素，是一种品质极高的绿色食品，由它加工成的果汁，酸甜可口，性温护胃．某超市一月份购进了一批红色礼盒和蓝色礼盒包装的啤特果果汁饮料，已知用4000元购进红色礼盒的数量与用5000元购进蓝色礼盒的数量一样多，其中每盒蓝色礼盒的进价比每盒红色礼盒的进价多10元． (1)每盒红色礼盒和蓝色礼盒的进价分别是多少元？ (2)该超市计划春节期间销售红色礼盒和蓝色礼盒啤特果果汁饮料共800盒，每盒红色礼盒和蓝色礼盒售价分别为60元和80元，销售利润为22000元，销售红色礼盒和蓝色礼盒啤特果果汁饮料各多少盒？ 【答案】(1)红色礼盒进价40元，蓝色礼盒进价50元 (2)销售红色礼盒200盒，蓝色礼盒600盒 【分析】本题考查了分式方程的应用，二元一次方程组的应用． （1）利用购进数量相等列方程求进价即可； （2）利用总盒数和总利润列方程组求销售数量即可． 【详解】（1）解：设红色礼盒进价为x元/盒，则蓝色礼盒进价为元/盒． 根据题意，， 方程两边同时乘以，得， 解得， 经检验，是原分式方程的解， 所以红色礼盒进价40元，蓝色礼盒进价50元； （2）解：设销售红色礼盒a盒，蓝色礼盒b盒． ， 解得：， 所以销售红色礼盒200盒，蓝色礼盒600盒． 18．2025年春晚舞台上，宇树科技的人形机器人以一身喜庆的大红棉袄亮相，随着秧歌舞步灵活扭动，手中的红手绢在空中划出流畅弧线．这场表演不仅让观众惊叹于机器人动作的精准协调，更因“机器人舞团”在舞蹈时队形变化整齐无误，成为社交媒体热议的焦点．某公司计划购买A、B两种机器人进行销售．已知每个B种机器人比A种机器人贵5万元，用1200万元购进A种机器人的数量是用650万元购进B种机器人数量的2倍．求购买一个A种机器人、一个B种机器人各需多少万元？ 【答案】购买一个A种机器人需60万元，一个B种机器人需65万元 【分析】本题考查分式方程解决实际问题；设购买一个A种机器人需要x万元，则一个B种机器人需要万元，利用“用1200万元购进A种机器人的数量是用650万元购进B种机器人数量的2倍”作为等量关系建立方程求解即可. 【详解】解：设购买一个A种机器人需要x万元，则一个B种机器人需要万元 去分母得： 解得： 经检验是原方程的解 ∴ 答：购买一个A种机器人需60万元，一个B种机器人需65万元. 19．海安是 “中国麻虾之乡”，麻虾酱是本地知名特产．小安为走访亲友购买了相同数量的甲、乙两种麻虾酱，分别花去元和元．回家后小安告诉妈妈 “每盒甲型麻虾酱比乙型贵元”，妈妈听完后说 “你肯定是搞错了”．设每盒乙型麻虾酱的单价为x 元． (1)请通过计算分析，妈妈为什么说小安搞错了？ (2)小安核实账单后，发现甲、乙两种麻虾酱的单价均为整数，每盒甲型与乙型的单价差值算错了，其他信息都正确．若每盒甲型麻虾酱比乙型贵 m（且为整数）元，求每盒乙型麻虾酱的单价． 【答案】(1)见解析 (2)20元 【分析】本题考查了分式方程的应用，理解题意，找准等量关系是解此题的关键． （1）设每盒乙型麻虾酱的单价为 x元，则每盒甲型麻虾酱的单价为元，根据“购买了相同数量的甲、乙两种麻虾酱，分别花去元和元”列出分式方程，求解即可； （2）根据题意列出分式方程，解分式方程即可得出结果． 【详解】（1）解：设每盒乙型麻虾酱的单价为 x元，则每盒甲型麻虾酱的单价为元， 根据题意，得：， 解得， 经检验：是分式方程的解． 由于不是整数，所以小安搞错了． （2）解：根据题意，得：， 解得． 经检验：是分式方程的解． ∵m为整数，、也是整数，是整数，且． ∴． ∴． 答：每盒乙型麻虾酱的单价为20元． 20．每年9月是全民健康生活方式宣传月，2025年9月1日是第19个“全民健康生活方式日”．为培养健康生活方式，筑牢健康基石，某校用7250元采购了一批羽毛球拍和网球拍共100副，已知每副羽毛球拍的采购价为55元，每副网球拍的采购价为80元． (1)羽毛球拍和网球拍分别采购了多少副？ (2)该校又采购了一批篮球和排球，已知每个篮球的采购价比每个排球的采购价高20%，采购篮球花了3420元，采购排球花了1800元，采购的篮球数量比排球多14个．求每个排球的采购价． 【答案】(1)羽毛球拍采购了30副，网球拍采购了70副 (2)每个排球的采购价为75元 【分析】本题主要考查了二元一次方程组、分式方程的应用，解题的关键是根据等量关系列出方程组、分式方程． （1）设购进副羽毛球拍，副网球拍，根据羽毛球拍和网球拍共100副，一共花了7250元，列出方程组，求解即可； （2）设每个排球的采购价为元，则每个篮球的采购价为元，根据数量＝总价÷单价，篮球数量比排球多14个，列出分式方程，求解即可． 【详解】（1）解：设购进副羽毛球拍，副网球拍， 依题意得：解得 答：羽毛球拍采购了30副，网球拍采购了70副． （2）解：设每个排球的采购价为元，则每个篮球的采购价为元， 依题意得：，解得． 经检验：是原方程的解，且符合题意． 答：每个排球的采购价为75元． 21．某超市用4500元购进一批水果，由于销售状况良好，超市又调拨11000元资金购进该种水果，但这次的进货单价比第一次的单价提高了，购进数量比第一次的2倍还多100千克． (1)该超市第一次购进水果的单价是每千克多少元？ (2)如果超市按每千克15元的定价出售，一部分水果售出后，余下的500千克按定价的8折售完．那么这两次水果销售中，该超市总共获利多少元？ 【答案】(1)超市第一次购进水果的单价是每千克10元 (2)总获利为元 【分析】本题考查分式方程解应用题、有理数混合运算解应用题，读懂题意，准确列出方程及代数式求解是解决问题的关键． （1）设该超市第一次购进水果的单价是每千克元，则第二次进货单价是每千克元．根据数量关系：第二次购进水果数量第一次购进水果数量， 列分式方程求解即可得到答案； （2）按照题意，分别得到两次购进水果数量，进而确定按15元每千克出售的水果，然后分别计算总销售额、总成本，再由利润总销售额总成本即可得到答案． 【详解】（1）解：设该超市第一次购进水果的单价是每千克元，则第二次进货单价是每千克元， ， 解得， 经检验，是分式方程的解， 答：该超市第一次购进水果的单价是每千克10元； （2）解：由题意可知，第一次购进水果的数量为：（千克）；第二次购进水果的数量为：（千克）； 则两次一共购进水果：（千克）； 按15元每千克出售的水果有：（千克）， 则总销售额为：（元）， 总成本为：（元）， 总获利为：（元）． 22．哈尔滨的冻梨是一种传统的冬季水果，很受当地人喜爱．哈尔滨当地某水果店以4000元购进一批冻梨进行售卖，第一批冻梨销售完后，又调拨7200元购进第二批冻梨，但第二批冻梨的进价比第一批的进价每千克少元，购进的冻梨数量是第一批的2倍． (1)第一批和第二批冻梨的进价分别为每千克多少元？ (2)若水果店将冻梨按每千克6元的价格售卖，销售了2000千克后，剩下的冻梨以定价的八折售卖完，则该水果店在两批冻梨售卖中的利润为多少元？ 【答案】(1)第一批每千克4元，第二批每千克元 (2)5600元 【分析】本题考查了分式方程的应用， （1）设第一批冻梨的进价为每千克x元，则第二批冻梨的进价为每千克元．根据题意列分式方程计算即可； （2）求出两次冻梨购进的数量，进而计算即可． 【详解】（1）解∶设第一批冻梨的进价为每千克x元，则第二批冻梨的进价为每千克元． 根据题意可列方程，解得， 经检验，是原分式方程的解，且符合题意， （元）． 答∶第一批冻梨的进价为每千克4元，第二批冻梨的进价为每千克元． （2）第一批冻梨购进的数量为（千克）， ∴第二批冻梨购进的数量为2000千克． 根据题意可得（元）． 答：该水果店在两批冻梨售卖中的利润为5600元． 23．全球人工智能产业发展迅速，智能芯片市场需求大增．某企业计划升级旗下A，B两种制程的智能芯片生产线，共40条． (1)当地政府有补贴政策，升级一条A制程生产线补贴4万元，升级一条B制程生产线补贴3万元．完成升级后该企业共获145万元补贴，那么A，B两种制程的生产线各有多少条； (2)升级一条A制程生产线比B制程生产线多花8万，用384万元升级A制程生产线的数量与用360万元升级B制程生产线的数量相同．问拿到145万元补贴后，完成40条生产线升级还需筹措多少资金？ 【答案】(1)A制程生产线有25条，B制程生产线有15条； (2)完成40条生产线升级还需筹措4855万元资金． 【分析】本题考查了一元一次方程的应用以及分式方程的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出一元一次方程；（2）找准等量关系，正确列出分式方程． （1）设A制程生产线有x条，则B制程生产线有条，根据完成升级后该企业共获145万元补贴，可列出关于x的一元一次方程，解之可得出x的值（即有A制程生产线的数量），再将其代入中，即可求出有B制程生产线的数量； （2）设升级一条A制程生产线需花费y万元，则升级一条B制程生产线需花费万元，根据用384万元升级A制程生产线的数量与用360万元升级B制程生产线的数量相同，可列出关于y的分式方程，解之经检验后，可得出y的值，再将其代入中，即可求出结论． 【详解】（1）解：设A制程生产线有x条，则B制程生产线有条， 根据题意得：， 解得：， ∴（条）． 答：A制程生产线有25条，B制程生产线有15条； （2）设升级一条A制程生产线需花费y万元，则升级一条B制程生产线需花费万元， 根据题意得：， 解得：， ∴（万元）． 答：完成40条生产线升级还需筹措4855万元资金． 24．农为邦本，本固邦宁．某地在多条“振兴链组”赋能下，采取“政府搭台、企业唱戏”方式，搭建“线上+线下”运作的农产品馆，引入联营直销、银行补贴、积分兑换等方式，持续创新新型农产品供销模式．某农产品合作社主要推销甲、乙两种不同品种的有机萝卜，该合作社用2700元从农户处购进甲、乙两种萝卜，其中1200元购买甲种萝卜，其余资金购买乙种萝卜．已知乙种萝卜每千克的价格是甲种萝卜每千克价格的1.5倍，且购进甲种萝卜的数量比乙种萝卜多50千克．求甲、乙两种萝卜每千克的价格． 【答案】甲种萝卜每千克的价格为4元，乙种萝卜每千克的价格为6元 【分析】本题考查了列分式方程解实际问题的应用．设甲种萝卜每千克的价格为x元，则乙种萝卜每千克的价格为元，根据题意列出分式方程求解即可． 【详解】解：设甲种萝卜每千克的价格为元，则乙种萝卜每千克的价格为元， 由题意得：， 解得：， 经检验，是原方程的解，且符合题意， ， 答：甲种萝卜每千克的价格为4元，乙种萝卜每千克的价格为6元． 考点04 方案问题 25．某校组织七年级师生参加春游活动，有中客车和大客车两种交通工具可供租用，已知1辆中客车可乘坐30人，1辆大客车可乘坐42人，且租用1辆大客车和1辆中客车的费用共900元，2500元能租用的大客车数量与2000元能租用的中客车数量相同． (1)分别求出租用1辆大客车的费用和租用一辆中客车的费用． (2)若全校师生共504人参加春游活动，那么有哪些不同租车方案可供选择（要求租用的客车都必须坐满）？ (3)在（2）的条件下，请通过计算说明哪种租车方案最优惠？ 【答案】(1)租用1辆中客车需要400元，租用1辆大客车需要500元 (2)共3种租车方案：中客车0辆，大客车12辆；中客车7辆，大客车7辆；中客车14辆，大客车2辆； (3)租用大客车12辆最优惠． 【分析】本题考查分式方程的应用、二元一次方程的应用、有理数的四则混合运算的应用，理解题意，正确求解是解答的关键． （1）设租用1辆大客车x元，则租用1辆中客车元，根据题意列分式方程求解即可； （2）设租用m辆中客车，n辆大客车，根据题意列二元一次方程得到，再根据m、n 为非负整数，进而得到满足条件的m、n值即可解答； （3）分别求得（2）中方案所花费用，然后比较大小即可得到答案． 【详解】（1）解：设租用1辆大客车x元，则租用1辆中客车元 由题意得： 解得 经检验是所列方程的解，且符合题意 中客车：（元） 答：租用1辆中客车需要400元，租用1辆大客车需要500元； （2）解：设租用m辆中客车，n辆大客车 由题意得：，即， ∴， ∵m、n 为非负整数， ∴或或， 共3种租车方案：方案一：租用中客车0辆，大客车12辆；方案二：租用中客车7辆，大客车7辆；方案三：租用中客车14辆，大客车2辆； （3）解：租用中客车0辆，大客车12辆费用：（元）， 租用中客车7辆，大客车7辆费用：（元）， 租用中客车14辆，大客车2辆费用：（元） ∵ ∴租用大客车12辆最优惠． 26．某单位计划采购包装盒，有、两种产品可供选择，已知每个产品的单价比每个产品的单价少10元，且用1400元买到产品数量与用1600元买到产品数量一样多． （1）、两种产品单价各是多少元？ （2）恰逢商家促销活动，该单位调查了甲、乙两商家，了解到的信息如下表： 产品 商家 产品 产品 甲商家 不超过5件 超出5件的部分 打六折销售 按原标价销售 打八折销售 乙商家 两种产品的标价与折扣前标价相同，但买一个产品赠送一个产品 现单位计划买10个产品和4个产品，若想使总花费最少，请通过计算分析应选择怎样的方案进行购买？并求出此时的最少总费用． 【答案】（1）产品70元/个，产品单价80元/个；（2）在乙商家购买4个，在甲商家购买6个最省钱，最少总费用为726元 【分析】（1）设产品单价元/个，根据“用1400元买到产品数量与用1600元买到产品数量一样多”得； （2）分别计算3种方案购买费用，再进行比较； 【详解】解：（1）解：设产品单价元/个，则产品单价元/个 解得： 经检验：是原方程的解，且符合题意． 元/个 所以产品70元/个，产品单价80元/个 （2）方案一：都在甲商家购买时：元 方案二：都在乙商家购买时：元 方案三：在乙商家购买4个，在甲商家购买6个：元 所以按照方案三购买最省钱，花费726元 【点睛】考核知识点:分式方程的应用．找出题中的等量关系是关键． 27．年初随着电影《哪吒之魔童闹海》的热播，与之相关的手办成了许多人热衷的收藏品．学校动漫社团的同学们也准备团购一批哪吒和敖丙的手办用于收藏，询价后得知，哪吒手办的单价是敖丙手办单价的1.2倍．经统计，计划购买哪吒手办的数量比敖丙手办的数量多6个，购买哪吒手办共需1200元，敖丙手办共需760元． (1)分别求出哪吒手办和敖丙手办的单价； (2)社团与商家协商给出团购政策：哪吒手办的数量若超过20个，则其单价可以降低4元；敖丙手办的数量若超过20个，则可以打九折销售．同学们现有1850元，请通过计算判断能否购买到原来统计的手办．若能，写明购买方案；若不能，请说明理由． 【答案】(1)哪吒手办的单价为元，敖丙手办的单价为元； (2)不能购买到原来统计的手办，理由见解析 【分析】本题考查了分式方程的应用，有理数混合运算的应用，根据题意列出方程是解题的关键； （1）设敖丙手办的单价为元，则哪吒手办的单价为元，根据题意列出分式方程，解方程，即可求解； （2）先求得原计划购买的数量，按照团购方案进行计算，与比较大小，即可求解． 【详解】（1）解：设敖丙手办的单价为元，则哪吒手办的单价为元，根据题意得， 解得： 经检验是原方程的解，且符合题意， （元） 答：哪吒手办的单价为元，敖丙手办的单价为元； （2）解：不能购买到原来统计的手办，理由如下： 原计划购买哪吒手办个，购买敖丙手办个， 依题意， ∵敖丙手办的数量若超过20个，则可以打九折销售． ∴购买敖丙手办个，则需要 ∴不能购买到原来统计的手办 28．2024年11月12日第15届中国国际航空航天博览会在珠海开幕，本次博览会上的超级明星是我国自主研发被誉为“蜂群母舰”的九天无人机，它首次亮相便震撼全球．这也激发了航模小组对新款无人机模型的极大兴趣和购买欲望，于是他们去模型商店了解知道：一架A款无人机模型的价格比一架B款无人机模型的价格贵600元，用9000元购买A款无人机模型的数量与用5400元购买B款无人机模型的数量相同． (1)求A款无人机模型和B款无人机模型的单价各是多少元？ (2)航模小组计划用18000元购买无人机模型，要求A、B两款模型都要购买且钱刚好用完，请求出所有的购买方案． 【答案】(1)A款无人机模型的单价是1500元，B款无人机模型单价是900元 (2)购买方案为：A款无人机模型3架，B款无人机模型15架；A款无人机模型6架，B款无人机模型10架；A款无人机模型9架，B款无人机模型5架 【分析】本题考查分式方程解决实际问题，二元一次方程解决实际问题． （1）设A款无人机模型的单价是x元，则B款的单价为元，根据“用9000元购买A款无人机模型的数量与用5400元购买B款无人机模型的数量相同”列出方程，求解并检验即可解答； （2）设购买A款型无人机模型m架，B款无人机模型n架，根据“用18000元购买无人机模型，要求A、B两款模型都要购买且钱刚好用完”列出二元一次方程，根据题意求出其正整数解，即可解答． 【详解】（1）解：设A款无人机模型的单价是x元，则B款的单价为元．根据题意，得 方程两边乘，得， 解得， 经检验：时， 是该分式方程的解． 则B款无人机模型单价是：（元） 答：A款无人机模型的单价是1500元，B款无人机模型单价是900元． （2）解：设购买A款型无人机模型m架，B款无人机模型n架，根据题意，得 ． ∵m、n均为正整数 或10或15； 此时或6或3 综上，购买方案为： A款无人机模型3架，B款无人机模型15架； A款无人机模型6架，B款无人机模型10架； A款无人机模型9架，B款无人机模型5架． 29．在甲、乙两公司全体员工捐款活动中，甲公司共捐款元，乙公司共捐款元．下面是甲、乙两公司员工的一段对话： 甲公司员工：我们公司的人数比你们公司少人 乙公司员工：我们公司的人均捐款数是你们公司的倍 (1)甲、乙两公司各有多少人？ (2)现甲、乙两公司共同使用这笔捐款购买两种物资，种物资每箱元，种物资每箱元．若购买种物资不少于箱，并恰好将捐款用完，有几种购买方案？请设计出来．（注： 两种物资均需购买，并按整箱配送．） 【答案】(1)甲公司有人，乙公司有人； (2)购买方案有种：一种物资买箱，物资买箱；另一种是物资买箱，物资买箱． 【分析】本题考查了二元一次方程的整数解问题的应用，分式方程的应用，理解题意，确定相等关系是解题的关键． （）设甲公司有人，则乙公司有人，根据“乙公司的人均捐款数是甲公司的倍”，再建立分式方程求解即可； （）设购买种物资箱，购买种物资箱，且，，都是正整数，根据“恰好将捐款用完”再建立方程，利用方程的正整数解即可解决问题． 【详解】（1）解：设甲公司有人，则乙公司有人，根据题意得 解得： 检验：把代入 故是所列方程的解． 则（人） 答：甲公司有人，乙公司有人； （2）解：设购买种物资箱，购买种物资箱，且，，都是正整数， 根据题意得 ∴， ∴， 当时， 符合题意； 当时， 符合题意； 当时， 不符合题意； 综上所述，购买方案有种：一种物资买箱，物资买箱；另一种是物资买箱，物资买箱． 30．某电视专卖店的一张进货单上有如下信息：A款电视进货单价比B款电视多500元，花32000元购进A款电视的数量与花28000元购进B款电视的数量相同． (1)求A，B两款电视的进货单价分别是多少元？ (2)某周末两天销售单上的数据，如表所示： 日期 A款电视（台） B款电视（台） 销售总额（元） 星期六 3 5 37500 星期日 5 4 43000 求A，B两款电视的销售单价分别是多少元？ (3)“国庆节”前后不少市民要乔迁新居或结婚装修新房，近期有很多客户进店了解这两款电视的价格及其各种性能、参数，表现出对这两款电视的兴趣，专卖店老板根据市场预估需求及目前这两款的电视的库存情况，结合（1）、（2）所给的信息，准备花费80000元购进A，B两款电视若干台（两种款型的电视都需要进货），问有哪几种进货方案？并根据计算说明哪种进货方案，可使这批新购电视全部售出获得的总利润最高． 【答案】(1)A，B两款电视的进货单价分别为4000元，3500元 (2)A，B两款电视的销售单价分别为5000元，4500元 (3)购进A款电视6台，B款电视16台时，总利润最高 【分析】本题考查的是分式方程的应用，二元一次方程组的应用，二元一次方程的正整数解的应用，确定相等关系是解本题的关键． （1）设A款电视的进货单价为x元，B款电视的进货单价为元，利用“花32000元购进A款电视的数量与花28000元购进B款电视的数量相同”建立分式方程求解即可； （2）设A，B两款电视的销售单价分别为a元，b元，再利用表格信息建立方程组求解即可； （3）设购进A款电视m部，B款电视n部，利用“准备花费80000元购进A，B两款电视若干台”，建立二元一次方程求解即可． 【详解】（1）解：设A款电视的进货单价为x元，B款电视的进货单价为元， 由题意可得：， 解得：， 经检验，是原方程的根， ∴， ∴A，B两款电视的进货单价分别为4000元，3500元； （2）设A，B两款电视的销售单价分别为a元，b元， 由题意可得：， 解得：， ∴A，B两款电视的销售单价分别为5000元，4500元； （3）设购进A款电视m部，B款电视n部， 则有， 即：， ∴ ∵m，n均正整数，且n是8的整数倍， ∴，或，， 当，时，总利润元， 当，时，总利润元， ∴购进A款电视6台，B款电视16台时，总利润最高． 31．由于最近是红眼病高发期，学校为了应对红眼病的大面积爆发，决定从商店购买一批消毒液供学生消毒使用，现有甲、乙两种不同的消毒液供选择，已知乙种消毒液的单价是甲种消毒液的，用360元单独购买其中一种消毒液时，可以比单独购买另一种消毒液多6瓶． (1)甲、乙两种消毒液的单价分别是多少？ (2)若用360元（钱用完）购买两种消毒液，且甲种消毒液不少于16瓶，问学校有几种方案（两种消毒液都要有）？请通过计算说明 【答案】(1)甲种消毒液的单价为元，乙种消毒液的单价为元 (2)有种购买方案 【分析】(1)设甲种消毒液的单价为元，则乙种消毒液的单价为元, “用元单独购买其中一种消毒液时，可以比单独购买另一种消毒液多瓶” 列出分式方程，解方程即可； (2)设购买甲种消毒液瓶，乙种消毒液瓶，由题意：用元 (钱用完) 购买两种消毒液，列出二元一次方程，求出正整数解, 进而得出答案. 【详解】（1）设甲种消毒液的单价为元，则乙种消毒液的单价为元, 由题意得： ， 解得:, 经检验,是原方程的解, 则元, 答：甲种消毒液的单价为元，乙种消毒液的单价为元； （2）设购买甲种消毒液瓶，乙种消毒液瓶，由题意得: , ∵, 且为正整数, 或 ∴有种购买方案： ①购买甲种消毒液瓶，乙种消毒液瓶； ②购买甲种消毒液瓶，乙种消毒液瓶. 【点睛】本题考查了分式方程的应用以及二元一次方程的应用，解题的关键是：（1） 找准等量关系，列出分式方程；（2）找准等量关系，列出二元一次方程. 32．为了迎接在杭州举行的第19届亚运会，某旅游商店购进若干吉祥物钥匙扣和明信片，已知吉祥物钥匙扣的进价为20元/个，明信片的进价为5元/套．一个吉祥物钥匙扣的售价比一套明信片的售价高20元．若顾客花180元购买的吉祥物钥匙扣数量与花60元购买的明信片数量相同． (1)求吉祥物钥匙扣和明信片的售价． (2)为了促销，商店对吉祥物钥匙扣进行9折销售．某顾客同时购买吉祥物钥匙扣和明信片两种商品若干件，商家获毛利润100元，请问有几种购买方案． 【答案】(1)吉祥物钥匙扣的售价为30元，明信片的售价为10元 (2)有2种购买方案 【分析】（1）设吉祥物钥匙扣的售价为x元，则明信片的售价为元，根据题意列出方程求解即可． （2）设购买吉祥物钥匙扣m个，明信片n个，求方程的整数解即可． 【详解】（1）设吉祥物钥匙扣的售价为x元，则明信片的售价为元， 由题意得：， 解得：， 经检验，是原方程的解，且符合题意， 则； 答：吉祥物钥匙扣的售价为30元，明信片的售价为10元． （2）设购买吉祥物钥匙扣m个，明信片n个． 由题意得：， 整理得：， ∵m、n为正整数， ∴或， 答：有2种购买方案． 【点睛】本题考查了分式方程的应用，二元一次方程的整数解，熟练掌握解分式方程，求方程的整数解是解题的关键． 考点05 配套问题 33．臭豆腐是长沙的特色美食，其外皮焦黑酥脆，内部嫩滑如豆腐脑，搭配辣椒蒜水食用，味道独特，令人难忘． (1)臭豆腐的调味料中有辣椒粉和大蒜，某商家用90元购买大蒜比用同样全额购买辣椒粉的数量多3市斤，且辣椒粉单价比大蒜的单价多50%，求大蒜多少元每市斤？ (2)臭豆腐现已包装生产远销海外，某包装臭豆腐厂有60名工人生产包装臭豆腐料包，已知每袋包装臭豆腐里有1个汤料包和4个配料包，每名工人每小时可加工100个汤料包和200个配料包，为使每天加工生产出的汤料包和配料包刚好配套，请问安排多少名工人加工汤料包？ 【答案】(1)大蒜元每市斤 (2)安排名工人加工汤料包 【分析】本题考查了分式方程和一元一次方程的应用，根据题意正确列出方程是解题的关键． （1）设大蒜元每市斤，列方程求解即可； （2）设安排名工人加工汤料包，列方程求解即可． 【详解】（1）解：设大蒜元每市斤， 根据题意得：， 解得：， 经检验是原分式方程的解， 答：大蒜元每市斤； （2）解：设安排名工人加工汤料包， 根据题意得：， 解得：， 答：安排名工人加工汤料包． 34．某家具生产车间有名工人生产家用餐桌和椅子，张桌子和把椅子配成一套．已知一名工人一天可以生产张桌子或把椅子． (1)分别安排多少名工人生产桌子和椅子可使一天生产的桌椅正好配套？ (2)今年一套餐桌的成本比去年提高了，去年总投入了万元，今年投入的比去年多万元，结果生产的餐桌比去年少套，则今年的成本是每套多少万元？ 【答案】(1)安排名工人生产桌子，名工人生产椅子可使一天生产的桌椅正好配套； (2)今年的成本定每套万元． 【分析】（）设安排名工人生产椅子，则安排名工人生产椅子，根据题意列出一元一次方程，然后求解即可； （）设去年的成本是每套万元，则今年的成本是每套万元，根据题意列分式方程，解方程并检验即可； 本题主要考查一元一次方程的应用，分式方程的应用，解题的关键是理解清楚题意，找到其中的等量关系列出方程． 【详解】（1）设安排名工人生产椅子，则安排名工人生产椅子， 由题意得， 解得：， ∴， 答：安排名工人生产桌子，名工人生产椅子可使一天生产的桌椅正好配套； （2）设去年的成本是每套万元，则今年的成本是每套万元 ， 根据题意得， 解得： ， 经检验，是原分式方程的解 ， ∴， 答： 今年的成本定每套万元． 35．某工厂有40名工人，生产甲、乙两种摩托车配套零件，每个工人每天能加工甲种零件30个，或乙种零件20个． (1)若1个甲零件和2个乙零件配套成一个完整的部件，应怎样安排工人才能使一天生产的零件正好配套？ (2)该工厂将这种完整的部件销售给摩配公司，一月份的销售总额为30万元，受市场影响，二月份该工厂将一个完整部件的销售单价在一月份的基础上提高了，销量比一月份少了500个，结果二月份的销售总额比一月份多了3万元，求一月份每个完整部件的销售单价为多少元？ 【答案】(1)应安排10名工人生产甲零部件，30名工人生产乙零部件，才能使生产出来的两种零部件刚好配套 (2)一月份每个完整部件的销售单价为50元 【分析】该题主要考查了分式方程和一元一次方程的应用，解题的关键是根据题意找出等量关系式． （1）设应安排名工人生产甲零部件，名工人生产乙零部件，根据题意列出方程求解即可； （2）设一月份每个完整部件的销售单价为y万元，则二月份每个完整部件的销售单价为万元，根据题意列出方程求解即可 【详解】（1）解：设应安排名工人生产甲零部件，名工人生产乙零部件，才能使生产出来的两种零部件刚好配套． 依题意，得． 解得，所以． 答：应安排10名工人生产甲零部件，30名工人生产乙零部件，才能使生产出来的两种零部件刚好配套． （2）解：设一月份每个完整部件的销售单价为y万元，则二月份每个完整部件的销售单价为万元， 依题意，得， 解得：万元元， 经检验：是方程的解，且符合题意， 故一月份每个完整部件的销售单价为50元． 36．某工厂加工生产大，小两种型号的齿轮，每名工人每天只能生产一种型号的齿轮．一名熟练工每天生产的小齿轮数量是大齿轮的，并且生产240个大齿轮所用的时间比生产同样数量的小齿轮要多用10天 (1)求一名熟练工每天可以生产多少个大齿轮； (2)该工厂原有15名熟练工，由于订单激增，工厂需要招聘一批新工人，已知新工人每人每天可以生产3个大齿轮或5个小齿轮，工厂决定派3名熟练工带领一部分新工人一起生产大齿轮，其余工人全部生产小齿轮．已知2个大齿轮与3个小齿轮刚好配套．若一共招聘了28名新工人，问安排多少名新工人生产大齿轮，才能使得该工厂每天生产的大，小齿轮刚好配套？ 【答案】(1)一名熟练工每天可以生产6个大齿轮 (2)安排名新工人生产大齿轮，才能使得该工厂每天生产的大，小齿轮刚好配套 【分析】（1）设一名熟练工每天可以生产个大齿轮，则一名熟练工每天生产的小齿轮数量为个，根据题意列出分式方程，解方程即可求解； （2）设安排名新工人生产大齿轮，则安排名新工人生产小齿轮，根据题意列出一元一次方程，解方程即可求解． 【详解】（1）解：设一名熟练工每天可以生产个大齿轮，则一名熟练工每天生产的小齿轮数量为个，根据题意得， ， 解得：（经检验，是原方程的解）， 答：一名熟练工每天可以生产6个大齿轮 （2）解：设安排名新工人生产大齿轮，则安排名新工人生产小齿轮，根据题意得， 解得：， 答：安排名新工人生产大齿轮，才能使得该工厂每天生产的大，小齿轮刚好配套． 【点睛】本题考查了分式方程的应用，一元一次方程的应用，根据题意列出方程是解题的关键． 37．2025年春晚《秧》的精彩呈现，是一系列关键技术的突破与创新．机器人采用了先进的驱动全身运动控制技术，某科技公司计生产和两款机器人，每款机器人主要控制芯片和传感器两种核心零件．月日，公司采购部门调研市场后得知，花费元购买的主控芯片比花元购买的传感器模块数量少8片，主控芯片的单价是传感器模块的倍．另一部分人对机器人进行研究后发现：用个主控芯片、个传感器模块恰好能制作个机器人和个机器人，制作个机器人所需主控芯片、传感器模块数量之比是，制作个机器人需要的主控芯片、传感器模块数量之比是． (1)求主控芯片、传感器模块每个单价分别多少元？ (2)求制作一个机器人和一个机器人分别需要主控芯片、传感器模块多少个？ (3)市场优惠促销，购买个主控芯片赠送个传感器模块．该公司发放活动经费元，采购部门向市场采购主控芯片、传感器模块采用来制作、机器人，由于市场库存数量有限，主控芯片仅剩个．如果一个和一个机器人配成一套，请问最多可以生产多少套机器人？ 【答案】(1)主控芯片单价为元，传感器模块单价为元； (2)制作一个机器人需要主控芯片3个，传感器模块21个，则一个机器人需要主控芯片3个，传感器模块27个 (3)最多可生产85套机器人 【分析】本题主要考查分式方程和二元一次方程组的应用，读懂题意是解答本题的关键． （1）设传感器模块单价为元，则主控芯片单价为元，根据花费元购买的主控芯片比花元购买的传感器模块数量少8片列分式方程求解即可； （2）设制作一个机器人需要主控芯片个，传感器模块个，则一个机器人需要主控芯片个，传感器模块个，分别根据用个主控芯片、个传感器模块恰好能制作个机器人和个机器人，制作个机器人所需主控芯片、传感器模块数量之比是，制作个机器人需要的主控芯片、传感器模块数量之比是列出二元一次方程组求解即可； （3）采购515个主控芯片，花费5150元，赠送171个传感器模块．需要额外购买3970个传感器模块，主控芯片可制作85套，传感器可制作86套，最多可生产85套机器人． 【详解】（1）解：设传感器模块单价为元，则主控芯片单价为元，根据题意得： 解得： 经检验，是原方程的解，且符合题意， ∴主控芯片单价为（元） 答：主控芯片单价为元，传感器模块单价为元； （2）解：设制作一个机器人需要主控芯片个，传感器模块个，则一个机器人需要主控芯片个，传感器模块个，分别根据题意得， 解得：， 故制作一个机器人需要主控芯片3个，传感器模块21个，则一个机器人需要主控芯片3个，传感器模块27个， 答：制作一个机器人需要主控芯片3个，传感器模块21个，则一个机器人需要主控芯片3个，传感器模块27个； （3）解：采购515个主控芯片，花费5150元，赠送171个传感器模块．需要额外购买3970个传感器模块， 主控芯片可制作85套，传感器可制作86套，最多可生产85套机器人． 答：最多可生产85套机器人． 38．某茶具生产车间有25名工人生产茶壶和茶杯，1个茶壶和6个茶杯配成一套．已知一名工人一天可以生产3个茶壶或7个茶杯． (1)要使一天生产的茶壶和茶杯正好配套，应分别安排多少名工人生产茶壶和茶杯？ (2)10月一套茶具的成本比9月提高了20%，9月投入了10万元，10月投入的比9月多5000元，结果生产的茶具比9月少50套，求10月每套茶具的成本是多少元？ 【答案】(1)安排7名工人生产茶壶，安排18名工人生产茶杯使一天生产的茶壶和茶杯正好配套． (2)300元 【分析】本题主要考查了一元一次方程的应用，分式方程的应用，解答的关键是理解清楚题意，找到其中的数量关系． （1）根据生产总量=每人生产的数量×人数，得到每天生产的茶壶的数量，每天生产的茶杯的数量，根据题意列出方程求解． （2）设9月的成本是每套万元，则10月的成本是每套万元，根据题意列出分式方程求解． 【详解】（1）解：设安排名工人生产茶壶，则安排名工人生产茶杯， 每天生产的茶壶数为：个，每天生产的茶杯为：个， 根据题意得：， 解得， ， 答：应安排7名工人生产茶壶，安排18名工人生产茶杯使一天生产的茶壶和茶杯正好配套． （2）解：设9月的成本是每套万元，则10月的成本是每套万元， 根据题意得 ， 解得， 经检验，是原方程的解， （元）． 答：10月每套茶具的成本是300元． 39．春节，是中国传统节日之一，春节有诸多民俗，如喝腊八粥、贴春联、拜年等．某工厂负责制作春节礼品“团圆”套装，已知4个A产品和1个B产品配成一套．该工厂有12名工人参与制作“团圆”套装，每名工人每天能够制作20个A产品或者7个B产品．小沙一月份在该工厂购买了一些“团圆”套装奖励给员工，共花了3000元． (1)若工厂每天生产的A、B产品恰好配套，应分别安排多少名工人制作A、B产品？ (2)该工厂二月份将“团圆”套装的售价提高了，小沙又花3000元购买了一些“团圆”套装，发现比上次恰好少买了20套，求一月份每套“团圆”套装的售价是多少元？ 【答案】(1)安排7名工人制作A产品，5名工人制作B产品 (2)25元 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，分式方程的实际应用． （1）根据“4个A产品和1个B产品配成一套”列方程求解； （2）根据“花3000元购买了一些团圆套装，发现比上次恰好少买了20套”列方程求解． 【详解】（1）解：设应安排x名工人制作A产品， 根据题意，得． 解得：， ， 答：应安排7名工人制作A产品，5名工人制作B产品； （2）解：设一月份每套“团圆”套装的售价是y元， 根据题意，得， 解得：， 经检验：是原方程的解且符合题意． 答：一月份每套“团圆”套装的售价是25元． 40．跳绳是人们喜爱的一种运动项目，对青少年来说，经常跳绳有助于身体长高． (1)一副跳绳由两个手柄和一根绳子组成，某工厂生产某种型号的跳绳，一名工人每天可生产400个手柄或1000根绳子，现打算安排18名工人来生产，如何安排工人使得每天生产的手柄和绳子恰好配套？ (2)甲、乙两位同学进行跳绳训练，甲计划跳120个，乙计划跳100个，若甲平均每秒跳绳的个数是乙平均每秒跳绳个数的倍，甲、乙同时开始跳，但乙在跳的过程中因死绳耽搁了5秒钟，最后甲比乙提前15秒完成跳绳训练，求甲平均每秒跳绳多少个？ 【答案】(1)安排生产手柄有名工人，生产绳子工人有名； (2)甲平均每秒跳绳个 【分析】本题考查的是一元一次方程的应用，分式方程的应用； （1）设安排生产手柄有名工人，则绳子的工人有名，再分别表示手柄，绳子的生产数量，结合一副跳绳由两个手柄和一根绳子组成，再建立方程求解即可； （2）设乙平均每秒跳绳个，则甲平均每秒跳绳的个数是个，则利用时间关系建立分式方程求解即可. 【详解】（1）解：设安排生产手柄有名工人，则绳子的工人有名， 由题可知：， 解得：， ∴（名）， 答：安排生产手柄有名工人，生产绳子工人有名； （2）解：设乙平均每秒跳绳个，则甲平均每秒跳绳的个数是个，则 ， 解得：， 经检验：是原方程的根，且符合题意； ∴， 答：甲平均每秒跳绳个. 考点06 新能源相关分式方程应用题 41．中国是全球电动汽车最大市场，2025年9月全球电动汽车销量210万辆中，中国占比约三分之二（约130万辆），同比增长．中国汽车在2025年前9个月累计销售2436.3万辆，同比增长．其中，新能源汽车（包括纯电动和插电式混合动力）销量占比显著提升．小静家将燃油汽车置换为一辆新的纯电动汽车，原来驾驶燃油汽车从A地到B地所需油费是108元，现在驾驶纯电动汽车所需电费27元．已知每行驶1千米，原来燃油汽车所需油费比纯电动汽车所需的电费多元，求新置换的纯电动汽车每行驶1千米所需的电费． 【答案】元 【分析】本题考查了分式的方程的应用，设新置换的纯电动汽车每行驶1千米所需的电费为元，则燃油汽车所需油费元，根据行驶的路程相等列出方程即可解决问题，理解题意，找准等量关系，正确列出方程是解此题的关键． 【详解】解：设新置换的纯电动汽车每行驶1千米所需的电费为元，则燃油汽车所需油费元， 由题意列方程得：， 解方程得，， 经检验，是原方程得解，且符合实际意义， 答：新置换的纯电动汽车每行驶1千米所需的电费为0.18元． 42．综合与实践 问题背景：随着新能源汽车的快速发展，数学小组选择价格相近的两款国产汽车进行使用费用的对比，其中一款是燃油车，另一款是新能源车． 素材1：燃油车油箱容积：50升，油价：8元／升，续航里程：千米，每千米行驶费用：元；新能源车电池电量：100千瓦时，综合电价：1元／千瓦时，续航里程：千米． 素材2：燃油车的每千米行驶费用比新能源车多0.6元． 素材3：燃油车和新能源车每年的其它费用分别为4800元和7500元． 解决问题： (1)用含的代数式表示新能源车的每千米行驶费用． (2)分别求出这两款车的每千米行驶费用． (3)每年行驶里程为多少千米时，两种车的年费用一样？（年费用年行驶费用年其它费用） 【答案】(1) (2)燃油车的每千米行驶费用为元，新能源车的每千米行驶费用为元 (3) 【分析】本题考查了分式方程的应用、一元一次方程的应用以及列代数式，解答本题的关键是明确题意，列出相应的分式方程和一元一次方程． （1）根据表中的信息，可以计算出新能源车的每千米行驶费用； （2）根据燃油车的每千米行驶费用比新能源车多元，列出分式方程，解方程即可； （3）根据燃油车和新能源车每年的其它费用分别为元和元，列出一元一次方程，解方程即可． 【详解】（1）解：由题意可知，新能源车的每千米行驶费用为：（元）； （2）解：由题意得：， 解得：， 经检验，是原分式方程的解，且符合题意， ，， 答：燃油车的每千米行驶费用为元，新能源车的每千米行驶费用为元； （3）解：设每年行驶里程为， 由题意得：， 解得：， 答：每年行驶里程为时，两种车的年费用一样． 43．新能源汽车有着动力强、能耗低的特点，正逐渐成为人们喜爱的交通工具．在制作新能源汽车的电池正极的材料中，锰是重要的元素之一．现安排甲、乙两个采矿队开采锰矿石，已知甲队每天的开采量是乙队每天开采量的倍，同样开采2400吨锰矿石，甲队所用时间比乙队所用时间少4天，问甲、乙两队每天开采锰矿石各多少吨？ 【答案】甲队每天开采锰矿石300吨，乙队每天开采锰矿石200吨 【分析】本题考查了分式方程的应用，找准等量关系，正确列出分式方程是解题的关键．设乙队每天开采锰矿石x吨，则甲队每天开采锰矿石吨，根据同样开采2400吨锰矿石，甲队所用时间比乙队所用时间少4天，列出分式方程，解分式方程即可． 【详解】解：设乙队每天开采锰矿石x吨，则甲队每天开采锰矿石吨， 由题意得：， 解得：， 经检验，是所列方程的解，且符合题意， ∴， 答：甲队每天开采锰矿石300吨，乙队每天开采锰矿石200吨． 44．随着新能源汽车的普及，我国新能源汽车的保有量已经处于世界第一，解决汽车快速充电技术已经成为新能源汽车发展的主要研究方向，从2023年开始，甚至的快速充电方案已经开始逐步落地．据测试数据显示，使用充电技术，每分钟充电量的续航里程（汽车所能行驶的路程）比采用技术提高了50%，若采用充电技术，续航里程480公里的充电时间，比采用充电技术续航里程400公里的充电时间节省2分钟，求采用充电技术，每分钟充电量的续航里程为多少公里？ 【答案】60公里 【分析】设采用充电技术，每分钟充电量的续航里程为公里，则采用充电技术的续航里程为公里，根据题意，列出分式方程，求解验根即可． 【详解】解：设采用充电技术，每分钟充电量的续航里程为公里，则采用充电技术的续航里程为公里， 根据题意，得， 解得：， 经检验，是原分式方程的解， 当时，， 答：采用充电技术，每分钟充电量的续航里程为60公里． 【点睛】本题考查了分式方程的实际应用，正确理解题意，找到等量关系，列出分式方程是解题的关键． 45．列方程解应用题： 人们提倡“节能减排，低碳出行”，随着新能源电动汽车的迅猛发展，在很多高速公路服务区里既有加油站同时又配有充电桩． (1)在某个服务区，新能源电动汽车的充电桩比燃油汽车的加油枪多4个，爱观察的小萌发现：在1个小时内，平均每个充电桩可以为2辆电动车充电，平均一个加油枪可以为7辆燃油车加油，这样在这1小时内共为80辆车提供了充电、加油的服务．那么这个服务区的充电桩和加油枪分别有多少个？ (2)一般情况下，在高速公路上行驶时燃油汽车平均每公里的汽油费是新能源电动汽车平均每公里电费的倍，两位车主在服务区分别花250元给燃油车加油、花60元给新能源电动车充电，最后燃油汽车可行驶的里程比新能源电动汽车可行驶的里程多100公里，那么新能源汽车在高速路上行驶时平均每公里费用为多少元？ 【答案】(1)充电桩和加油枪分别有12个，8个 (2)新能源汽车在高速路上行驶时平均每公里费用为0.15元 【分析】本题考查了一元一次方程和分式方程在实际生活中的应用，正确理解题意，建立方程是解决本题的关键． （1）设服务区的充电桩有x个，则加油枪有个，建立方程：，解方程即可； （2）新能源汽车在高速路上行驶时平均每公里费用y元，则燃油汽车平均每公里的汽油费为元，由题意得： ，再解分式方程即可，注意需要检验． 【详解】（1）解：设服务区的充电桩有x个，则加油枪有个， 由题意得：， 解得：， 则， 答：充电桩和加油枪分别有12个，8个． （2）解：设新能源汽车在高速路上行驶时平均每公里费用y元，则燃油汽车平均每公里的汽油费为元， 由题意得： ， 解得：， 经检验：是原方程的解，且符合题意． 答：新能源汽车在高速路上行驶时平均每公里费用为0.15元 46．随着全球新一轮科技革命和产业变革蓬勃发展，新能源汽车已经成为全球汽车产业转型发展的主要方向，重庆一些传统汽车零部件生产工厂也开始转型生产新能源汽车零部件某汽车零部件生产厂的甲车间有工人名，乙车间有工人名，因接到加急生产一批新能源汽车零部件的任务，所以工厂新增名工人分配到甲、乙两个车间，分配后甲车间的总人数为分配后乙车间总人数的． (1)新分配到甲车间的人数有多少人？ (2)因为甲车间使用的是改良后的新设备，所以甲车间每名工人每天生产的零件数量为乙车间每名工人每天生产的零件数量的倍新增工人后，甲车间生产个零件的天数比乙车间生产个零件的天数少用天，则乙车间每名工人每天生产零件多少个？ 【答案】(1)新分配到甲车间的人数有人； (2)乙车间每名工人每天生产零件50个． 【分析】本题考查了一元一次方程的应用以及分式方程的应用． （1）设新分配到甲车间的人数有人，则新分配到乙车间的人数有人，根据分配后甲车间的总人数为分配后乙车间总人数的．列出一元一次方程，解方程即可； （2）设乙车间每名工人每天生产零件个，则甲车间每名工人每天生产零件个，根据甲车间生产42000个零件的天数比乙车间生产42000个零件的天数少用4天，列出分式方程，解方程即可． 【详解】（1）解：设新分配到甲车间的人数有人，则新分配到乙车间的人数有人， 依题意得：， 解得：， 答：新分配到甲车间的人数有10人； （2）解：设乙车间每名工人每天生产零件个，则甲车间每名工人每天生产零件个， 依题意得：， 解得：， 经检验，是原方程的解，且符合题意． 答：乙车间每名工人每天生产零件50个． 47．随着“低碳生活，绿色出行”理念的普及，新能源汽车正逐渐成为人们喜爱的交通工具．某汽车销售决定采购新能源型和型两款汽车，已知每辆型汽车的进价是每辆型汽车的进价的1.5倍，若用1500万元购进型汽车的数量比1200万元购进型汽车的数量少20辆． (1)型和型汽车的进价分别为每辆多少万元； (2)该公司决定用不多于1200万元购进型和型汽车共100辆，最多可以购买多少辆型汽车？ 【答案】(1)A型汽车的进价为每辆15万元，B型汽车的进价为每辆10万元 (2)最多可以购买40辆A型汽车 【分析】本题考查分式方程的应用，一元一次不等式的应用，理解题意，弄清数量关系是解题关键． （1）设B型汽车的进价为每辆x万元，则A型汽车的进价为每辆万元，根据用1500万元购进A型汽车的数量比1200万元购进B型汽车的数量少20辆，列出方程求解即可． （2）设购买m辆A型汽车，则购买辆B型汽车，根据购进A型和B型汽车共100辆的总价是不多于1200万元，列出不等式，求解即可． 【详解】（1）解：设B型汽车的进价为每辆x万元，则A型汽车的进价为每辆万元，依题意得： ， 解得：， 经检验，是方程的解，且符合题意，此时， 答：A型汽车的进价为每辆15万元，B型汽车的进价为每辆10万元； （2）解：设购买m辆A型汽车，则购买辆B型汽车，依题意得： ， 解得：， 答：最多可以购买40辆A型汽车． 48．随着冷链需求的快速增长，和叠加政策的推动，某企业决定用万元，购进型、型新能源冷藏车各辆，已知每辆型车进价的倍比型车进价多万元． (1)型、型新能源冷藏车的进价各是多少？ (2)已知A型车的运载量是型车的运载量的，型车单独完成吨货物的运载任务所需要的数量比型车单独完成运载任务所需的数量多辆，若型车、型车共同去恰好完成吨的运载，如何安排型车、型车数量？ 【答案】(1)型新能源冷藏车的进价为万元，设型新能源冷藏车的进价为万元 (2)安排型车辆，型车辆 【分析】本题考查了二元一次方程（组）的应用，分式方程的应用； （1）设型新能源冷藏车的进价为万元，设型新能源冷藏车的进价为万元，根据题意列出二元一次方程组，解方程组，即可求解； （2）设型车的运载量为吨，则型车的运载量为吨，根据题意，列出分式方程，解方程得出，并检验，进而设安排型车辆，型车辆，根据，都是正整数，得出，即可求解． 【详解】（1）解：设型新能源冷藏车的进价为万元，设型新能源冷藏车的进价为万元，根据题意得， ， 解得：， 答：型新能源冷藏车的进价为万元，设型新能源冷藏车的进价为万元 （2）解：设型车的运载量为吨，则型车的运载量为吨，根据题意， ， 解得：，经检验是原方程的解； ∴型车的运载量为吨，型车的运载量为吨； 设安排型车辆，型车辆， ∴ ∴ ∵，都是正整数， ∴， 答：安排型车辆，型车辆． 1 / 37 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题06 分式方程应用题分类训练 （行程工程销售方案配套新能源6种类型48道） 考点01 行程问题 考点02 工程问题 考点03 销售利润 考点04 方案问题 考点05 配套问题 考点06 新能源相关分式方程应用题 考点01 行程问题 1．秋天是北京四季中最美的季节，深秋的北京香山更是景美如画，金代诗人周昂在《香山》中用诗句“山林朝市两茫然，红叶黄花白一川”描绘了香山红叶与黄花交相辉映的自然美景．小明和小亮都是登山爱好者．金秋十月，两人相约去香山爬山赏景，挑战香炉峰．小明沿北线步道上山，小亮沿南线步道上山，北线步道长度为，南线步道长度为．两人分别从各自步道起点同时出发，小明比小亮每小时少走，结果小明和小亮同时到达终点，求两人每小时各走多少千米？ 2．学校组织春游活动，从学校出发，下面是小红、小明两位同学的对话： 根据以上信息求小明骑自行车的速度． 3．从甲地到乙地有两条路：一条是全长800千米的普通公路，另一条是全长600千米高速公路．某客车从甲地出发去乙地，若走高速公路，则客车平均速度是走普通公路的平均速度的2倍，所需时间比走普通公路所需时间少10小时．问该客车走普通公路的平均速度是每小时多少千米？ 4．大运（大同一运城）高速铁路纵贯山西南北，穿越三晋腹地，助力山西的经济发展．高铁开通前，从大同开往运城的某次普通列车，运行距离是．大运高速开通后，从大同开往运城的某次动车，运行距离是．从大同开往运城，动车花费的时间比普通列车少，动车的平均速度是普通列车的3倍，求动车的平均速度． 5．“歼－10”战机是中国自行研制的、具有自主知识产权的高性能、多用途第三代战斗机．宋文骢生于云南省昆明市，是“歼－10”战机的总设计师，被誉为中国“歼－10之父”，“阵风”战机，作为法国达索公司的杰作，与“台风”和“萨博JAS-39”并驾齐驱，被誉为战机界的“欧洲三雄”，对比两种战机，“歼－10”战机以其超过音速的速度优势，是“阵风”战机的1.2倍，已知巴基斯坦与印度首都新德里的直线距离300公里，若“阵风”战机在印度首都新德里先1分钟起飞飞往巴基斯坦，“歼－10”战机才开始从巴基斯坦起飞飞往印度首都新德里，则它们同时到达各自的目的地，求“歼－10”战机的速度是每小时多少公里？ 6．电动垂直起降飞行器凭借其独特的电动化与垂直起降技术，开辟了全新的空中勤模式，极大提升出行效率．在太原开展的交通测试中，从太原武宿国际机场到平遥古城，两地相距约100千米，乘坐电动垂直起降飞行器比乘坐长途大巴少耗时45分钟．经测算，长大巴的速度是电动垂直起降飞行器速度的，请求出电动垂直起降飞行器的速度． 7．马小虎同学早上到离家1200米的学校上学，到学校后发现数学作业丢在家里了，此时还有30分钟上第一节课，于是他立即步行回家，在家拿数学作业用了2分钟，然后骑自行车返回学校，已知马小虎骑自行车的平均速度是步行平均速度的2.5倍，马小虎骑自行车到学校比他从学校步行到家少用了9分钟． (1)马小虎步行的平均速度是每分钟多少米？ (2)通过计算判断马小虎能否在第一节课上课前赶到学校？ 8．为迎接全国第39届科技创新大赛，学校创客社团积极备战，一节社团课上，小明用电脑程序控制小型赛车进行比赛，“畅想号”和“和谐号”两辆赛车进入了决赛．比赛前的练习中，两辆赛车从起点同时出发，“畅想号”到达终点时，“和谐号”离终点还差．已知，“畅想号”的平均速度为． (1)请根据以上背景，提出一个合理问题并解决．（不添加条件，题目中的数据全部用上） (2)如果两车重新开始比赛，“畅想号”从起点向后退，两车同时出发，两车能否同时达到终点？若能，求出两车到达终点时间；若不能，请重新调整一辆车的平均速度，使两车能同时到达终点． 考点02 工程问题 9．某工厂计划生产文创产品“穿楼积木”套，安排甲、乙两车间完成任务，甲车间生产套，乙车间生产套“穿楼积木”、在生产过程中，乙车间每天生产“穿楼积木”的数量是甲车间每天生产“穿楼积木”数量的倍，两个车间同时生产，结果甲车间比乙车间提前2天完成任务，求甲车间每天生产多少套“穿楼积木”？ 10．小王和小李一起加工同一种零件，小王每小时比小李多加工4个，结果在相同的时间里，小王加工160个零件，小李加工120个零件．求小王和小李每小时分别可加工多少个零件？ 11．某县为落实“精准扶贫惠民政策”，计划将某村的居民自来水管道进行改造，该工程若由甲队单独施工恰好在规定时间内完成；若由乙队单独施工，则完成工程所需天数是规定天数的倍．如果由甲、乙队先合作施工15天，那么余下的工程由甲队单独完成还需5天． (1)这项工程的规定时间是多少天？ (2)为了缩短工期以减少对居民用水的影响、工程指挥部最终决定该工程由甲、乙两队合作完成．则甲、乙两队合作完成该工程需要多少天？ 12．一项工程，甲队单独施工需要a天完成，乙队单独施工需要b天完成，丙队单独施工需要c天完成，若甲、乙、丙三队同时施工则只需要2天可完成，已知a，b，c均为正整数． (1)求a，b，c满足的等量关系； (2)若甲、乙两队同时施工4天后，剩余的工程由丙队单独施工，则丙队还需1天可以完成该项工程，求c的值； (3)若，求乙、丙两队同时施工需要多久可以完成该项工程． 13．耕地是粮食生产的命根子，是中华民族永续发展的根基．某地区积极响应国家“退林还耕”号召，将该地区3500亩林地改为耕地，经招标，全部“退林还耕”工作由甲、乙两工程队共同完成，已知甲队每天完成的“退林还耕”面积是乙队的2倍，如果两队各自“退林还耕”500亩，甲队比乙队少用5天．求甲、乙两队每天完成的“退林还耕”面积． 14．某城市的一条主干道排水管道改造工程由甲、乙两个工程队承担．已知甲工程队每天改造管道的长度是乙工程队的1.2倍，甲工程队改造720米管道所用的天数比乙工程队改造300米管道所用的天数多6天．求乙工程队每天改造多少米管道？ 15．2025年春晚《秧BOT》节目中的机器人舞蹈，体现了我国人工智能领域的飞速发展．某物流公司采用、型机器人打包物品，某天共有11个机器人运作，型机器人共打包1080件物品，型机器人共打包750件物品，已知型机器人比型机器人每天多打包30件物品． (1)一个、型机器人每天分别打包多少件物品？ (2)“618”期间，物流公司每天使用、型机器人共同完成2460件物品的打包，请你求出所有的安排方案． 16．某县积极响应国家优先发展教育事业的重大部署，对通往某偏远学校的一段全长为1200米的道路进行了改造，铺设柏油路面，铺设400米后，为了尽快完成道路改造，后来每天的工作效率比原计划提高，结果共用13天完成道路改造任务． (1)原计划每天铺设路面多少米？ (2)若承包商原来每天支付工人工资为1200元，提高工作效率后每天支付给工人的工资为1500元，完成整个工程后承包商共支付工人工资多少元？ 考点03 销售利润 17．生长在海拔2100—2400米的甘肃临夏地区的啤特果，果味酸甜、性温，有多种氨基酸、糖类、维生素和钾、钙、铁等微量元素，是一种品质极高的绿色食品，由它加工成的果汁，酸甜可口，性温护胃．某超市一月份购进了一批红色礼盒和蓝色礼盒包装的啤特果果汁饮料，已知用4000元购进红色礼盒的数量与用5000元购进蓝色礼盒的数量一样多，其中每盒蓝色礼盒的进价比每盒红色礼盒的进价多10元． (1)每盒红色礼盒和蓝色礼盒的进价分别是多少元？ (2)该超市计划春节期间销售红色礼盒和蓝色礼盒啤特果果汁饮料共800盒，每盒红色礼盒和蓝色礼盒售价分别为60元和80元，销售利润为22000元，销售红色礼盒和蓝色礼盒啤特果果汁饮料各多少盒？ 18．2025年春晚舞台上，宇树科技的人形机器人以一身喜庆的大红棉袄亮相，随着秧歌舞步灵活扭动，手中的红手绢在空中划出流畅弧线．这场表演不仅让观众惊叹于机器人动作的精准协调，更因“机器人舞团”在舞蹈时队形变化整齐无误，成为社交媒体热议的焦点．某公司计划购买A、B两种机器人进行销售．已知每个B种机器人比A种机器人贵5万元，用1200万元购进A种机器人的数量是用650万元购进B种机器人数量的2倍．求购买一个A种机器人、一个B种机器人各需多少万元？ 19．海安是 “中国麻虾之乡”，麻虾酱是本地知名特产．小安为走访亲友购买了相同数量的甲、乙两种麻虾酱，分别花去元和元．回家后小安告诉妈妈 “每盒甲型麻虾酱比乙型贵元”，妈妈听完后说 “你肯定是搞错了”．设每盒乙型麻虾酱的单价为x 元． (1)请通过计算分析，妈妈为什么说小安搞错了？ (2)小安核实账单后，发现甲、乙两种麻虾酱的单价均为整数，每盒甲型与乙型的单价差值算错了，其他信息都正确．若每盒甲型麻虾酱比乙型贵 m（且为整数）元，求每盒乙型麻虾酱的单价． 20．每年9月是全民健康生活方式宣传月，2025年9月1日是第19个“全民健康生活方式日”．为培养健康生活方式，筑牢健康基石，某校用7250元采购了一批羽毛球拍和网球拍共100副，已知每副羽毛球拍的采购价为55元，每副网球拍的采购价为80元． (1)羽毛球拍和网球拍分别采购了多少副？ (2)该校又采购了一批篮球和排球，已知每个篮球的采购价比每个排球的采购价高20%，采购篮球花了3420元，采购排球花了1800元，采购的篮球数量比排球多14个．求每个排球的采购价． 21．某超市用4500元购进一批水果，由于销售状况良好，超市又调拨11000元资金购进该种水果，但这次的进货单价比第一次的单价提高了，购进数量比第一次的2倍还多100千克． (1)该超市第一次购进水果的单价是每千克多少元？ (2)如果超市按每千克15元的定价出售，一部分水果售出后，余下的500千克按定价的8折售完．那么这两次水果销售中，该超市总共获利多少元？ 22．哈尔滨的冻梨是一种传统的冬季水果，很受当地人喜爱．哈尔滨当地某水果店以4000元购进一批冻梨进行售卖，第一批冻梨销售完后，又调拨7200元购进第二批冻梨，但第二批冻梨的进价比第一批的进价每千克少元，购进的冻梨数量是第一批的2倍． (1)第一批和第二批冻梨的进价分别为每千克多少元？ (2)若水果店将冻梨按每千克6元的价格售卖，销售了2000千克后，剩下的冻梨以定价的八折售卖完，则该水果店在两批冻梨售卖中的利润为多少元？ 23．全球人工智能产业发展迅速，智能芯片市场需求大增．某企业计划升级旗下A，B两种制程的智能芯片生产线，共40条． (1)当地政府有补贴政策，升级一条A制程生产线补贴4万元，升级一条B制程生产线补贴3万元．完成升级后该企业共获145万元补贴，那么A，B两种制程的生产线各有多少条； (2)升级一条A制程生产线比B制程生产线多花8万，用384万元升级A制程生产线的数量与用360万元升级B制程生产线的数量相同．问拿到145万元补贴后，完成40条生产线升级还需筹措多少资金？ 24．农为邦本，本固邦宁．某地在多条“振兴链组”赋能下，采取“政府搭台、企业唱戏”方式，搭建“线上+线下”运作的农产品馆，引入联营直销、银行补贴、积分兑换等方式，持续创新新型农产品供销模式．某农产品合作社主要推销甲、乙两种不同品种的有机萝卜，该合作社用2700元从农户处购进甲、乙两种萝卜，其中1200元购买甲种萝卜，其余资金购买乙种萝卜．已知乙种萝卜每千克的价格是甲种萝卜每千克价格的1.5倍，且购进甲种萝卜的数量比乙种萝卜多50千克．求甲、乙两种萝卜每千克的价格． 考点04 方案问题 25．某校组织七年级师生参加春游活动，有中客车和大客车两种交通工具可供租用，已知1辆中客车可乘坐30人，1辆大客车可乘坐42人，且租用1辆大客车和1辆中客车的费用共900元，2500元能租用的大客车数量与2000元能租用的中客车数量相同． (1)分别求出租用1辆大客车的费用和租用一辆中客车的费用． (2)若全校师生共504人参加春游活动，那么有哪些不同租车方案可供选择（要求租用的客车都必须坐满）？ (3)在（2）的条件下，请通过计算说明哪种租车方案最优惠？ 26．某单位计划采购包装盒，有、两种产品可供选择，已知每个产品的单价比每个产品的单价少10元，且用1400元买到产品数量与用1600元买到产品数量一样多． （1）、两种产品单价各是多少元？ （2）恰逢商家促销活动，该单位调查了甲、乙两商家，了解到的信息如下表： 产品 商家 产品 产品 甲商家 不超过5件 超出5件的部分 打六折销售 按原标价销售 打八折销售 乙商家 两种产品的标价与折扣前标价相同，但买一个产品赠送一个产品 现单位计划买10个产品和4个产品，若想使总花费最少，请通过计算分析应选择怎样的方案进行购买？并求出此时的最少总费用． 27．年初随着电影《哪吒之魔童闹海》的热播，与之相关的手办成了许多人热衷的收藏品．学校动漫社团的同学们也准备团购一批哪吒和敖丙的手办用于收藏，询价后得知，哪吒手办的单价是敖丙手办单价的1.2倍．经统计，计划购买哪吒手办的数量比敖丙手办的数量多6个，购买哪吒手办共需1200元，敖丙手办共需760元． (1)分别求出哪吒手办和敖丙手办的单价； (2)社团与商家协商给出团购政策：哪吒手办的数量若超过20个，则其单价可以降低4元；敖丙手办的数量若超过20个，则可以打九折销售．同学们现有1850元，请通过计算判断能否购买到原来统计的手办．若能，写明购买方案；若不能，请说明理由． 28．2024年11月12日第15届中国国际航空航天博览会在珠海开幕，本次博览会上的超级明星是我国自主研发被誉为“蜂群母舰”的九天无人机，它首次亮相便震撼全球．这也激发了航模小组对新款无人机模型的极大兴趣和购买欲望，于是他们去模型商店了解知道：一架A款无人机模型的价格比一架B款无人机模型的价格贵600元，用9000元购买A款无人机模型的数量与用5400元购买B款无人机模型的数量相同． (1)求A款无人机模型和B款无人机模型的单价各是多少元？ (2)航模小组计划用18000元购买无人机模型，要求A、B两款模型都要购买且钱刚好用完，请求出所有的购买方案． 29．在甲、乙两公司全体员工捐款活动中，甲公司共捐款元，乙公司共捐款元．下面是甲、乙两公司员工的一段对话： 甲公司员工：我们公司的人数比你们公司少人 乙公司员工：我们公司的人均捐款数是你们公司的倍 (1)甲、乙两公司各有多少人？ (2)现甲、乙两公司共同使用这笔捐款购买两种物资，种物资每箱元，种物资每箱元．若购买种物资不少于箱，并恰好将捐款用完，有几种购买方案？请设计出来．（注： 两种物资均需购买，并按整箱配送．） 30．某电视专卖店的一张进货单上有如下信息：A款电视进货单价比B款电视多500元，花32000元购进A款电视的数量与花28000元购进B款电视的数量相同． (1)求A，B两款电视的进货单价分别是多少元？ (2)某周末两天销售单上的数据，如表所示： 日期 A款电视（台） B款电视（台） 销售总额（元） 星期六 3 5 37500 星期日 5 4 43000 求A，B两款电视的销售单价分别是多少元？ (3)“国庆节”前后不少市民要乔迁新居或结婚装修新房，近期有很多客户进店了解这两款电视的价格及其各种性能、参数，表现出对这两款电视的兴趣，专卖店老板根据市场预估需求及目前这两款的电视的库存情况，结合（1）、（2）所给的信息，准备花费80000元购进A，B两款电视若干台（两种款型的电视都需要进货），问有哪几种进货方案？并根据计算说明哪种进货方案，可使这批新购电视全部售出获得的总利润最高． 31．由于最近是红眼病高发期，学校为了应对红眼病的大面积爆发，决定从商店购买一批消毒液供学生消毒使用，现有甲、乙两种不同的消毒液供选择，已知乙种消毒液的单价是甲种消毒液的，用360元单独购买其中一种消毒液时，可以比单独购买另一种消毒液多6瓶． (1)甲、乙两种消毒液的单价分别是多少？ (2)若用360元（钱用完）购买两种消毒液，且甲种消毒液不少于16瓶，问学校有几种方案（两种消毒液都要有）？请通过计算说明 32．为了迎接在杭州举行的第19届亚运会，某旅游商店购进若干吉祥物钥匙扣和明信片，已知吉祥物钥匙扣的进价为20元/个，明信片的进价为5元/套．一个吉祥物钥匙扣的售价比一套明信片的售价高20元．若顾客花180元购买的吉祥物钥匙扣数量与花60元购买的明信片数量相同． (1)求吉祥物钥匙扣和明信片的售价． (2)为了促销，商店对吉祥物钥匙扣进行9折销售．某顾客同时购买吉祥物钥匙扣和明信片两种商品若干件，商家获毛利润100元，请问有几种购买方案． 考点05 配套问题 33．臭豆腐是长沙的特色美食，其外皮焦黑酥脆，内部嫩滑如豆腐脑，搭配辣椒蒜水食用，味道独特，令人难忘． (1)臭豆腐的调味料中有辣椒粉和大蒜，某商家用90元购买大蒜比用同样全额购买辣椒粉的数量多3市斤，且辣椒粉单价比大蒜的单价多50%，求大蒜多少元每市斤？ (2)臭豆腐现已包装生产远销海外，某包装臭豆腐厂有60名工人生产包装臭豆腐料包，已知每袋包装臭豆腐里有1个汤料包和4个配料包，每名工人每小时可加工100个汤料包和200个配料包，为使每天加工生产出的汤料包和配料包刚好配套，请问安排多少名工人加工汤料包？ 34．某家具生产车间有名工人生产家用餐桌和椅子，张桌子和把椅子配成一套．已知一名工人一天可以生产张桌子或把椅子． (1)分别安排多少名工人生产桌子和椅子可使一天生产的桌椅正好配套？ (2)今年一套餐桌的成本比去年提高了，去年总投入了万元，今年投入的比去年多万元，结果生产的餐桌比去年少套，则今年的成本是每套多少万元？ 35．某工厂有40名工人，生产甲、乙两种摩托车配套零件，每个工人每天能加工甲种零件30个，或乙种零件20个． (1)若1个甲零件和2个乙零件配套成一个完整的部件，应怎样安排工人才能使一天生产的零件正好配套？ (2)该工厂将这种完整的部件销售给摩配公司，一月份的销售总额为30万元，受市场影响，二月份该工厂将一个完整部件的销售单价在一月份的基础上提高了，销量比一月份少了500个，结果二月份的销售总额比一月份多了3万元，求一月份每个完整部件的销售单价为多少元？ 36．某工厂加工生产大，小两种型号的齿轮，每名工人每天只能生产一种型号的齿轮．一名熟练工每天生产的小齿轮数量是大齿轮的，并且生产240个大齿轮所用的时间比生产同样数量的小齿轮要多用10天 (1)求一名熟练工每天可以生产多少个大齿轮； (2)该工厂原有15名熟练工，由于订单激增，工厂需要招聘一批新工人，已知新工人每人每天可以生产3个大齿轮或5个小齿轮，工厂决定派3名熟练工带领一部分新工人一起生产大齿轮，其余工人全部生产小齿轮．已知2个大齿轮与3个小齿轮刚好配套．若一共招聘了28名新工人，问安排多少名新工人生产大齿轮，才能使得该工厂每天生产的大，小齿轮刚好配套？ 37．2025年春晚《秧》的精彩呈现，是一系列关键技术的突破与创新．机器人采用了先进的驱动全身运动控制技术，某科技公司计生产和两款机器人，每款机器人主要控制芯片和传感器两种核心零件．月日，公司采购部门调研市场后得知，花费元购买的主控芯片比花元购买的传感器模块数量少8片，主控芯片的单价是传感器模块的倍．另一部分人对机器人进行研究后发现：用个主控芯片、个传感器模块恰好能制作个机器人和个机器人，制作个机器人所需主控芯片、传感器模块数量之比是，制作个机器人需要的主控芯片、传感器模块数量之比是． (1)求主控芯片、传感器模块每个单价分别多少元？ (2)求制作一个机器人和一个机器人分别需要主控芯片、传感器模块多少个？ (3)市场优惠促销，购买个主控芯片赠送个传感器模块．该公司发放活动经费元，采购部门向市场采购主控芯片、传感器模块采用来制作、机器人，由于市场库存数量有限，主控芯片仅剩个．如果一个和一个机器人配成一套，请问最多可以生产多少套机器人？ 38．某茶具生产车间有25名工人生产茶壶和茶杯，1个茶壶和6个茶杯配成一套．已知一名工人一天可以生产3个茶壶或7个茶杯． (1)要使一天生产的茶壶和茶杯正好配套，应分别安排多少名工人生产茶壶和茶杯？ (2)10月一套茶具的成本比9月提高了20%，9月投入了10万元，10月投入的比9月多5000元，结果生产的茶具比9月少50套，求10月每套茶具的成本是多少元？ 39．春节，是中国传统节日之一，春节有诸多民俗，如喝腊八粥、贴春联、拜年等．某工厂负责制作春节礼品“团圆”套装，已知4个A产品和1个B产品配成一套．该工厂有12名工人参与制作“团圆”套装，每名工人每天能够制作20个A产品或者7个B产品．小沙一月份在该工厂购买了一些“团圆”套装奖励给员工，共花了3000元． (1)若工厂每天生产的A、B产品恰好配套，应分别安排多少名工人制作A、B产品？ (2)该工厂二月份将“团圆”套装的售价提高了，小沙又花3000元购买了一些“团圆”套装，发现比上次恰好少买了20套，求一月份每套“团圆”套装的售价是多少元？ 40．跳绳是人们喜爱的一种运动项目，对青少年来说，经常跳绳有助于身体长高． (1)一副跳绳由两个手柄和一根绳子组成，某工厂生产某种型号的跳绳，一名工人每天可生产400个手柄或1000根绳子，现打算安排18名工人来生产，如何安排工人使得每天生产的手柄和绳子恰好配套？ (2)甲、乙两位同学进行跳绳训练，甲计划跳120个，乙计划跳100个，若甲平均每秒跳绳的个数是乙平均每秒跳绳个数的倍，甲、乙同时开始跳，但乙在跳的过程中因死绳耽搁了5秒钟，最后甲比乙提前15秒完成跳绳训练，求甲平均每秒跳绳多少个？ 考点06 新能源相关分式方程应用题 41．中国是全球电动汽车最大市场，2025年9月全球电动汽车销量210万辆中，中国占比约三分之二（约130万辆），同比增长．中国汽车在2025年前9个月累计销售2436.3万辆，同比增长．其中，新能源汽车（包括纯电动和插电式混合动力）销量占比显著提升．小静家将燃油汽车置换为一辆新的纯电动汽车，原来驾驶燃油汽车从A地到B地所需油费是108元，现在驾驶纯电动汽车所需电费27元．已知每行驶1千米，原来燃油汽车所需油费比纯电动汽车所需的电费多元，求新置换的纯电动汽车每行驶1千米所需的电费． 42．综合与实践 问题背景：随着新能源汽车的快速发展，数学小组选择价格相近的两款国产汽车进行使用费用的对比，其中一款是燃油车，另一款是新能源车． 素材1：燃油车油箱容积：50升，油价：8元／升，续航里程：千米，每千米行驶费用：元；新能源车电池电量：100千瓦时，综合电价：1元／千瓦时，续航里程：千米． 素材2：燃油车的每千米行驶费用比新能源车多0.6元． 素材3：燃油车和新能源车每年的其它费用分别为4800元和7500元． 解决问题： (1)用含的代数式表示新能源车的每千米行驶费用． (2)分别求出这两款车的每千米行驶费用． (3)每年行驶里程为多少千米时，两种车的年费用一样？（年费用年行驶费用年其它费用） 43．新能源汽车有着动力强、能耗低的特点，正逐渐成为人们喜爱的交通工具．在制作新能源汽车的电池正极的材料中，锰是重要的元素之一．现安排甲、乙两个采矿队开采锰矿石，已知甲队每天的开采量是乙队每天开采量的倍，同样开采2400吨锰矿石，甲队所用时间比乙队所用时间少4天，问甲、乙两队每天开采锰矿石各多少吨？ 44．随着新能源汽车的普及，我国新能源汽车的保有量已经处于世界第一，解决汽车快速充电技术已经成为新能源汽车发展的主要研究方向，从2023年开始，甚至的快速充电方案已经开始逐步落地．据测试数据显示，使用充电技术，每分钟充电量的续航里程（汽车所能行驶的路程）比采用技术提高了50%，若采用充电技术，续航里程480公里的充电时间，比采用充电技术续航里程400公里的充电时间节省2分钟，求采用充电技术，每分钟充电量的续航里程为多少公里？ 45．列方程解应用题： 人们提倡“节能减排，低碳出行”，随着新能源电动汽车的迅猛发展，在很多高速公路服务区里既有加油站同时又配有充电桩． (1)在某个服务区，新能源电动汽车的充电桩比燃油汽车的加油枪多4个，爱观察的小萌发现：在1个小时内，平均每个充电桩可以为2辆电动车充电，平均一个加油枪可以为7辆燃油车加油，这样在这1小时内共为80辆车提供了充电、加油的服务．那么这个服务区的充电桩和加油枪分别有多少个？ (2)一般情况下，在高速公路上行驶时燃油汽车平均每公里的汽油费是新能源电动汽车平均每公里电费的倍，两位车主在服务区分别花250元给燃油车加油、花60元给新能源电动车充电，最后燃油汽车可行驶的里程比新能源电动汽车可行驶的里程多100公里，那么新能源汽车在高速路上行驶时平均每公里费用为多少元？ 46．随着全球新一轮科技革命和产业变革蓬勃发展，新能源汽车已经成为全球汽车产业转型发展的主要方向，重庆一些传统汽车零部件生产工厂也开始转型生产新能源汽车零部件某汽车零部件生产厂的甲车间有工人名，乙车间有工人名，因接到加急生产一批新能源汽车零部件的任务，所以工厂新增名工人分配到甲、乙两个车间，分配后甲车间的总人数为分配后乙车间总人数的． (1)新分配到甲车间的人数有多少人？ (2)因为甲车间使用的是改良后的新设备，所以甲车间每名工人每天生产的零件数量为乙车间每名工人每天生产的零件数量的倍新增工人后，甲车间生产个零件的天数比乙车间生产个零件的天数少用天，则乙车间每名工人每天生产零件多少个？ 47．随着“低碳生活，绿色出行”理念的普及，新能源汽车正逐渐成为人们喜爱的交通工具．某汽车销售决定采购新能源型和型两款汽车，已知每辆型汽车的进价是每辆型汽车的进价的1.5倍，若用1500万元购进型汽车的数量比1200万元购进型汽车的数量少20辆． (1)型和型汽车的进价分别为每辆多少万元； (2)该公司决定用不多于1200万元购进型和型汽车共100辆，最多可以购买多少辆型汽车？ 48．随着冷链需求的快速增长，和叠加政策的推动，某企业决定用万元，购进型、型新能源冷藏车各辆，已知每辆型车进价的倍比型车进价多万元． (1)型、型新能源冷藏车的进价各是多少？ (2)已知A型车的运载量是型车的运载量的，型车单独完成吨货物的运载任务所需要的数量比型车单独完成运载任务所需的数量多辆，若型车、型车共同去恰好完成吨的运载，如何安排型车、型车数量？ 1 / 37 学科网（北京）股份有限公司 $