专题10 三角形和直角三角形相关最值问题分类训练（8种类型64道）（高效培优期末专项训练）八年级数学上学期湘教版2024

专题10 三角形和直角三角形相关最值问题分类训练 （8种类型64道） 考点01 三角形相关最值问题 考点02 全等三角形相关最值问题 考点03 等腰三角形相关最值问题 考点04 等边三角形相关最值问题 考点05 直角三角形相关最值问题 考点06 角平分线相关最值问题 考点07 平面图形中的最短路径问题 考点08 立体图形中的最短路径问题 考点01 三角形相关最值问题 1．如图，在锐角三角形中，，的面积为12，平分，若M、N分别是、上的动点，则的最小值为（    ） A．4 B．5 C． D．6 【答案】D 【详解】解：如图，作N关于的对称点，连接、，与交于点O，过C作于E， ∵平分 ∴在上，且 ∴， ∴根据两点之间线段最短可得 的最小值为，即C点到线段某点的连线， ∴根据垂线段最短，的最小值为C点到的垂线段的长度， ∵ 的面积为 12 ∴ ∴，即的最小值为6， 故选D． 2．如图，在中，是边上的中线，点是边上的动点，则的最小值为（　　） A． B． C．5 D．6 【答案】A 【详解】的最小值为点D到边的垂线段长度（垂线段最短）． ∵是边上的中线， ∴D为中点， ∴与的面积相等（等底同高），且均为面积的一半． 已知，则． 又∵，（h为点D到的距离）， 即，解得：， ∴的最小值为． 故选：A． 3．如图，在三角形中，，点P为直线上的一动点，连接，则线段的最小值是 （    ） A．12 B．15 C．20 D．25 【答案】A 【分析】本题考查的是面积法求三角形的高．熟练掌握三角形的面积公式，垂线段最短．是解题的关键． 当时，最小，根据三角形的面积公式即可求出． 【详解】解：当时，最小， ∵三角形中，， ∴， ∴． 故选：A． 4．如图，中，，点、分别是、上的点，，，连接、交于点，当四边形的面积为7时，则线段长度的最小值为（   ） A．7 B．8 C．9 D．10 【答案】D 【分析】本题考查了垂线段最短，三角形的面积，三元一次方程组的应用，过点作于点，连接，根据题意得出，，，设，，，建立方程组，解方程组，进而根据垂线段最短，即可求解． 【详解】解：如图所示，过点作于点，连接， 设，，， ∴， ∵，， ∴，，， ∴，， 联立， ∴， ∵， ∴， ∴当时，最小为． 故选：D． 5．如图，在中，，垂足为D，，．E，F为边，上两点，点，关于直线对称，点为线段上一动点，则的最小值是（   ） A．4 B．6 C．8 D．12 【答案】B 【分析】本题主要考查了轴对称−最短路线问题、三角形面积的计算等知识点，灵活运用相关知识成为解题的关键． 连接，根据轴对称的性质可得，由垂线段最短可知，即的最小值为，结合三角形面积公式求出即可． 【详解】解：如图：连接， ∵点，关于直线对称， ∴， ∴， ∵，． ∴, ∴的最小值为6， 故选B． 6．如图，在中，，，，，如果点D，E分别为，上的动点，那么的最小值是（　　）    A．8.4 B．9.6 C．10 D．10.8 【答案】B 【分析】如图所示，作点A关于的对称点，连接，，，则，,故，由此推出当、D、E三点共线时，，最小值即为的长，当最小时，即满足，故根据三角形的面积即可求得的最小值． 【详解】解：作点A关于的对称点，作点，交于点D，连接，如图：      则， ∴． 即的最小值为． ∵，，，， ∴， ∵， ∴， 即的最小值为9.6． 故选：B． 【点睛】此题考查了轴对称最短路径问题，垂线段的性质，根据三角形的面积求高等，熟练掌握以上性质是解本题的关键． 7．如图，在中，，点是中点，点是线段上一个动点．若，则的最小值是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了三角形中线性质，垂线段最短，由点是中点，则，所以，设到距离为，则，求出，然后根据垂线段最短即可求解，掌握相关知识的应用是解题的关键． 【详解】解：∵点是中点， ∴， ∴， 设到距离为， ∴， ∴， ∴， 根据垂线段最短可知，的最小值是， 故选：． 8．如图，点P是内任意一点，且，点M和点N分别是射线和射线上的动点，当周长取最小值时，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查轴对称的最短路径问题，解题的关键是作出对称点，找到共线时路径最短，利用对称性质，对角等量代换．作点关于的对称点，连接，，，得，，；作点关于的对称点，连接，，，得，，；根据；当，，，共线时，周长最短，再根据对称性质，即可求出的角度． 【详解】解：如图， 作点关于的对称点，连接，，； ∴，，， 作点关于的对称点，连接，，， ∴，，， ∴， 当，，，共线时，周长最短， 又∵，， ∴， 又∵， ∴， ∴在中，， ∴， ∵，， ∴， ∴， 故选：D． 考点02 全等三角形相关最值问题 9．如图，在中，，，E、F分别为、上的动点，且，连接，，当取得最小值时，则的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：如图，过点C作，使得，连接，，交于点M， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴当三点共线时，有最小值，最小值为线段的长，且此时点F与点M重合， ∵, ∴， ∴， 又∵，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，即此时， ∵ ∴， ∴此时． 故选：A． 10．如图，在中，于点，于点，，，若点，分别是线段，上的动点，则的最小值与线段（　　）的长度相等． A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：将沿翻折得，过点作于点， ， ， ， ， ， ，， 是等边三角形， ， 要使最小，则， ， 即的最小值与长度相等． 故选． 11．如图，在锐角中，，的面积为，平分，若，分别是，上的动点，则的最小值是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：如图，在上截取， ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴当三点共线，且时，的值最小，为长，如图， ∵的面积为， ∴，即， ∴， ∴的值最小，为， 故选：． 12．如图，在锐角中，，，的平分线交于点，点，分别是和上的动点，则的最小值是 ． 【答案】 【详解】解：如图，在截取， ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 如图，由垂线段最短可得，当时，此时三点共线，最小，即最小， ∵，， ∴， ∴， ∴最小值为， 故答案为：． 13．如图，长方形中，点E为上一点，连接，将长方形沿着直线折叠，点D恰好落在的中点F上，点G为的中点；点P为线段上的动点，连接、，若、、，则的最小值是 ． 【答案】18 【分析】本题考查了长方形的判定和性质，折叠的性质，三角形全等的判定和性质等，取的中点，连接，可得四边形是长方形，即得，再根据折叠的性质可证，得到，即得到，可知当三点共线时，的值最小，最小值为18，即可求解，正确作出辅助线是解题的关键． 【详解】解：取的中点，连接， ∵四边形是长方形，是的中点， ∴四边形是长方形， ∴， 由折叠可知，，， ∵是的中点，是的中点， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， ∴当三点共线时，的值最小，最小值为18， 故答案为：18． 14．如图，在中，，E为的中点，D为上一点，交的延长线于点F．若，与之间的距离为5，则四边形的周长的最小值是 ． 【答案】16 【详解】解：E为的中点， ， ， ， 在和中， ， ， ， ， 当时最短，此时四边形的周长取最小值， 与之间的距离为5，， 当时，， ∴四边形周长的最小值为． 故答案为：16． 15．如图，在直角中，，平分，是上一动点(不与，重合，是上一动点不与，重合，则的最小值为 . 【答案】 【分析】此题考查根据面积等式求线段的长度、全等三角形的判定与性质、垂线段最短等知识与方法，正确作出辅助线是关键．作于点，根据三角形的面积公式求得，在上取点，使，连接，则，可知当点与点重合，点与点重合时，取得最小值，则的最小值为． 【详解】解：作于点， ， ， ， ， 在上取点，使，连接， 平分， ， 在和中， ， ， ， ， 当点与点重合，点与点重合时，则的值最小， 的最小值为， 故答案为：． 16．如图，在中，，平分．点，分别是，上的动点，若的面积为6，则的最小值为 ． 【答案】 【详解】解：在上截取，连接，， ∵平分， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴ ∴当点G，F，共线时，最小，即为的长，此时， 如图，过点C作交于点， ∵，， ∴， 解得， ∴的最小值为， 故答案为：． 考点03 等腰三角形相关最值问题 17．如图，在等腰中，顶角，点为边所在直线上一点，以为边构造等边，连接． （1）的度数为 ； （2）当取最小值时，的度数为 ． 【答案】 【详解】（1）解：在等腰中，顶角， ∴， 故答案为：； （2）解：如图将绕B点顺时针旋转至，连接， 则为等边三角形， ∵为等边三角形， ∴，， ∴， 又∵， ∴， ，， 当取最小值时，求的度数，即当最小时，求的度数． 作B点关于的对称点M，连接与交点即为点P，此时最小，连接， ∵B、M关于对称， ∴， ∴， ， ， ， ∵B、M关于对称， ∴， ， ， ， ∵B、M关于对称， ， 又， ， ， ， ∴当取最小值时，的度数为． 故答案为：． 18．如图，在等腰中，，是的高，，，、分别是、上一动点，则的最小值为（  ） A．6 B．4 C．9 D． 【答案】D 【分析】本题主要考查轴对称在解决线段和最小的问题，等腰三角形的性质，熟悉对称点的运用和画法，知道何时线段和最小，会运用等面积法求线段长度是解题的关键． 利用等腰三角形的对称性找到点B的对称点C，连接，，当时，线段的和最小，再运用等面积法求的长度即可． 【详解】解：∵在等腰中，，是的高， ∴点B关于的对称点是点C，如图所示，连接， ∴， ∴， ∴当时，有最小值，即的长度 ∵ ∵，，， ∴， 解得：． 故选：D． 19．如图，在中，，，D是边中点，P是边上的一个动点，连接，以为边在的下方作等边，连接，则的最小值（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查垂线段最短，等边三角形的性质，全等三角形的判定和性质等知识，正确作出辅助线，构造全等三角形是解题的关键． 如图在的下方作等边，作射线．证明，推出，推出，推出点Q在射线上运动，当时，的值最小． 【详解】解：如图在的下方作等边，作射线． ∴，， ∵是等边三角形， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴点Q在射线上运动（点T是定点，是定值）， 当时，的值最小，而D为的中点， 最小值为， 故选：B． 20．如图，在中，，，是的两条中线，M是上的一个动点，则下列线段的长等于最小值的是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了等腰三角形的判定与性质，利用轴对称求最短路径是解题的关键． 连接，根据等腰三角形的性质得到和，利用点共线时线段和最小的性质得到，进而求解． 【详解】解：如图连接， 、 、、三点共线时，的值最小，最小值为的长度． 故选：B． 21．如图，在中，，，，为角平分线上一动点，为边上一动点，的最小值为（   ） A．2 B． C．4 D．6 【答案】B 【详解】解：过点Q作的对称点，连接，则，过点作交延长线于点， ∵为角平分线上一动点， ∴点在射线上， ∴， ∴的最小值为，此时重合，点共线， 过点作交于，过点作于点， ∴， ∴ ∵， ∴为等腰直角三角形，，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴的最小值为， 故选：B． 22．如图，中，，，的垂直平分线分别交，边于E，F点，若点D为的中点，点M为线段上一动点，当周长取得最小值为时，的面积为（   ） A．30 B．39 C．60 D．78 【答案】A 【详解】解：连接，， 是等腰三角形，点是边的中点， ， 是线段的垂直平分线， 点关于直线的对称点为点， 的长为的最小值， 周长的最小值， ， ， 故选：A． 23．如图，已知平分中的，过点作，点是边的中点，若，则图中两个阴影部分面积之差的最大值为（    ） A． B．8 C．6 D．4 【答案】B 【详解】解：延长交于点，设交于点， ， ， ，， ， ， ， ， ， ， ， ，， ， ， ， ，， ， ， 当时，△的面积最大，最大面积为． 图中两个阴影部分面积之差的最大值为8， 故选：B． 24．如图，，；射线从开始绕点逆时针旋转，旋转角为（且），点关于的对称点为，直线与交于点，连接，，则面积的最大值是（    ） A．4 B．8 C．12 D．16 【答案】D 【详解】解：如图，连接， ∵点关于的对称点为， ，， 又∵ ∴ ∴， ∵， ∴， 又∵ ∴ ∴ 在中， ∴ ， 又， 是等腰直角三角形， ， ， 当最大时，的值最大， 当旋转角时，此时最大且， 面积的最大值是 故选：D． 考点04 等边三角形相关最值问题 25．如图，在中，，点是边上的中点，点为上的一个动点，连结，在的下方作等边，连结，则最小值是（） A．0.5 B．1 C．1.5 D．2 【答案】B 【详解】解析：如图在的右边作等边，作射线． ∵， ∴， 在和中， ， ∵ ∴ ∵， ∴， ∴点在射线上运动（点是定点，是定值）， 当时，的值最小，． 故选：． 26．如图所示，在等边三角形中，为中点，点分别为上的点，，在上有一动点，则的最小值为（   ） A．4 B．12 C．6 D．8 【答案】D 【详解】解：∵是等边三角形， ∴， ∵为中点，， ∴，则， 作点关于的对称点，连接，如图所示： 由两点之间线段最短可知，此时的值最小，最小值为， ∴，则， ∴， ∵， ，即， 在等边中，，，则为等边三角形， ， 故选：D． 27．如图，在中，，点，分别是，上的点，，点，分别是边，上的动点，在点，运动的过程中，的最小值是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：如图，作点关于的对称点，作点关于的对称点，连接，，，，， 则，，，，，， ， 的最小值是的长； ，， ，， 是等边三角形， ， 的最小值是， 故选：B． 28．如图，点P是内部一点，线段的长度是，点M和点N分别是射线和射线上的动点，周长的最小值是，则的度数是（    ）． A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：分别作点关于、的对称点、，连接，、、、，如图所示： 点关于的对称点为， ，，； 点关于的对称点为， ，，， ，， 周长， 周长的最小值是的长， 周长的最小值是， ， ， 是等边三角形， ， ． 故选：B． 29．如图，是等边三角形，、分别是、中点，连接且，在上找一点，则的最小值为（    ）． A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】D 【详解】解：是等边三角形， ， 是的中点， ，， 点、关于对称， 如图，连接，交于点， 可知此时的值最小，最小值为的长度， 点是的中点， ， ． 故选：D． 30．如图，已知，点P是内任意一点，周长的最小值是，点M和点N分别是射线和射线上的动点，则的长是 （    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】此题考查了轴对称最短路线问题，等边三角形的判定和性质，熟练掌握轴对称的性质是解题的关键． 分别作点P关于的对称点C、D，连接，分别交于点N、M，连接，此时周长的最小，证明是等边三角形，可得，即可求解． 【详解】解：分别作点P关于的对称点C、D，连接，分别交于点N、M，连接，此时的周长最小， ∵点P关于的对称点为D， ∴， ∵点P关于的对称点为D， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴是等边三角形， ∴， ∵周长的最小值是， ∴， ∴， 即的长是． 故选：A． 31．如图，在锐角中，，，，点分别为上的动点，则周长最小值为 ． 【答案】 【详解】解：如图，作点关于的对称点，作点关于的对称点，连接，交于点，交于点，连接， 由对称性可知， ∴的周长， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴为等边三角形， ∴， ∴， ∴当时，最短，此时的周长最小， ∵，的面积， ∴， ∴的周长最小值为， 故答案为：． 32．如图，在等边中，，，D，E分别是边上的点，．若，当取最小值时，线段长为 ． 【答案】2 【详解】解：∵在等边中，，， ∴，， 过A作，且，连接，，设与交点为， ∴， ∴，又，， ∴， ∴， ∴，当B、E、P共线时取等号，此时点E与重合， ∵，，， ∴， ∴， ∴， 故当取最小值时，线段长为2． 故答案为：2． 考点05 直角三角形相关最值问题 33．如图，在中，，，，点是边上一点，将绕点顺时针旋转到点，则长度的最小值是 ． 【答案】 【详解】解：在上截取，连接，过点D作，垂足为H， ∴， ∵，，， ∴，， ∵， ∴，， ∴， 由旋转得：，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 当时，即当点E和点H重合时，有最小值，且最小值为， ∴长度的最小值是， 故答案为：． 34．如图，在等腰直角三角形中，，点D，E分别为边上的动点，且，当的最小值为 ． 【答案】 【详解】解：作，且，连接，作，如图所示： ∵，，， ∴， ∴， ∴， 故当三点共线时，有最小值，且最小值为线段的长度； 由题意得：， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∵， ∴， ∴， 故答案为： 35．如图，在中，，，点E是上的一动点，连接，，垂足为，连接，则的长的最小值是 ． 【答案】 【分析】过点作于点，取的中点，过点作于点，连接，先分别求出的长，再根据（当且仅当，点共线时，等号成立）求解即可得． 【详解】解：如图，过点作于点，取的中点，过点作于点，连接， ∵在中，，，， ∴，， ∴， ∴， ∵点为的中点， ∴， ∴在中，， ∴， ∴， ∴在中，， ∵，点为的中点，且， ∴， 由三角形的三边关系、两点之间线段最短可知，（当且仅当，点共线时，等号成立）， ∴， ∴的长的最小值是， 故答案为：． 36．如图，在中，，，点D是斜边上一点，连结，以为边向右构造等边，连结，若，则的最小值为 ． 【答案】 【分析】取的中点，连结、，交于点，根据题意可知是等边三角形，再利用勾股定理求出的长度，然后可利用边角边证明，得到，根据同位角相等，两直线平行，得出，进一步可得到，最后根据直角三角形斜边大于直角边即可求解． 【详解】解：如下图所示：取的中点，连结、，交于点， 在中，，， ， 是等边三角形， ，， ， ， 是等边三角形， ，， ， 在和中， ， ， ， ， ， ， ， ，， ， ， ， 的最小值为， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了等边三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，平行线的判定和性质，勾股定理等，构造正确的辅助线是解题的关键． 37．在中，，，点M是边上的动点，连接，以为边在其右侧作正，连接．则的最小值为 ． 【答案】2 【详解】解：∵是正三角形， ∴， 将绕着点逆时针旋转60度，至与重合，点的对应点为点F，连接，如图所示： ∴，， ∴，， ∴是等边三角形， ∴，， 记所在的直线为， ∵点M是边上的动点，且，则点是直线上的动点， 当时，则有最小值， ∵，， ∴此时， ∵， ∴在中，． 故答案为：2． 38．如图，在中，，，，点D为边上任意一点（不与点B重合），在上方作等边，F为中点，连结，则的最小值为 ． 【答案】7 【详解】解：延长BE至，使，连接，，， 是等边三角形，F是DE的中点， ， 在和中， ， ， ， ， 当C、F、三点共线时，的值最小， ，，， ，， 在中，， 的最小值为7， 故答案为：． 39．如图，已知直角，，，，为中点，的角平分线交于点，，分别是和上的动点，则的最小值为 ． 【答案】/ 【详解】解：如图，连接， ，为中点， ，， ∴是等边三角形， ∵是的角平分线， ∴是的垂直平分线， ∴， ∴，当且仅当B、F、G三点共线时，等号成立， ∴当B、F、G三点共线时，的最小值为， 当时，最小． ， ， 故答案为：． 40．如图，在中，，平分，其中E是上的动点，F是上的动点，则的最小值为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查垂线段最短问题、角平分线的性质等知识点，解决本题的关键是正确作出辅助线，借助面积法列方程求解． 过点C作交于点G，作交于点H，连接，此时有，利用面积法列方程求出的长度即为的最小值． 【详解】解：过点C作交于点G，作交于点H，连接，如图： ∵平分交于点， ∴点与点H关于对称， ∴， ∴， ∵在中，，，，， ∴， ∴， 解得：， 由“两点之间线段最短”知，的最小值为， 故答案为：． 考点06 角平分线相关最值问题 41．如图，在中，，，，，平分交于点D，点E，F分别是，上的动点，则： （1）的长为 ； （2）的最小值为 ． 【答案】 【详解】（1）解：如下图所示，过点作，   平分交于点， ， ， ， ，，， ， 解得：， 故答案为：； （2）解：如下图所示，过点作交于点，作交于点，连，   平分交于点， 点与点关于对称， 在中，， ， ， 解得：， 由“两点之间线段最短”知，的最小值为， 故答案为：． 42．如图，已知，平分，点P在上，于D，，点E是射线上的动点，则的最小值为 ． 【答案】 【分析】根据角平分线的性质可得，则，再根据角平分线上的点到两边的距离相等，以及垂线段最短，即可进行解答． 本题主要考查了垂线段最短以及角平分线的性质，解题的关键是掌握角平分线上的点到两边的距离相等，以及垂线段最短． 【详解】解：，平分， ， ， ∴， 过点P作于点， 平分， ， 的最小值为． 故答案为：． 43．如图，在中，，，，平分交于D点，E，F分别是，上的动点，则的最小值为 ． 【答案】 【分析】此题主要考查了角平分线的定义，全等三角形的判定和性质，点到直线的距离，垂线段最短，三角形的面积公式，作出辅助线构造出全等三角形是解本题的关键． 在上取一点，使得，连接，根据全等三角形的判定和性质，则，得到，当点，，在同一条直线上且时，有最小值，即最小，最后用面积法，进行解答，即可． 【详解】解：在上取一点，使得，连接， ∵平分， ∴， ∵是公共边， ∴， ∴， ∴， 当点，，在同一条直线上且时，有最小值，即最小，其值为， ∵， ∴， ∴最小值为． 故答案为：． 44．如图，在Rt中，，，，是的角平分线，点E，F分别是AC，AD上的动点，则的最小值是 ． 【答案】 【分析】本题考查了角平分线的性质，全等三角形的判定和性质，线段和最值问题和勾股定理，利用角平分线构造全等三角形是解题关键． 线段和最值问题一般借助对称或者旋转构造全等，将两条线段放置在直线的两边，当两条线段在同一直线上时，达成最小值．本题中可以在上取点G，使得，通过全等可以证出，故最小为．而的长不固定，其最小值等同于点C到的距离，用面积公式即可求出答案． 【详解】解：如图，在上取点G，使得， ∵是的角平分线， ∴， 在和中， ∴， ∴， ∴， 当C、F、G三点共线时，取到最小值， ∵直线外一点与直线上各点的连接的所有线段中，垂线段最短． ∴当时，最小，此时为Rt斜边上的高， 在Rt中，，因此， ， 故答案为：． 45．如图，在中，，是角平分线，点E，F分别在，上，且．若，，则的长的最小值是 ． 【答案】 【分析】作于点M，于点N，则，由，求得，而，则，所以，取的中点L，连接、，，，所以，由，得，则的最小值为，于是得到问题的答案． 【详解】解：作于点M，于点N，则， ∵平分，且， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 取的中点L，连接、， ∵， ∴， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴的最小值为， 故答案为：． 【点睛】此题重点考查全等三角形的判定与性质、直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半、勾股定理、两点之间线段最短，根据面积等式求线段的长度等知识与方法，正确地作出辅助线是解题的关键． 46．如图，在四边形中，，连接，，且，，点E是边上一动点，则的最小值是 ． 【答案】6 【分析】过点C作于点H，证明，利用角的平分线性质定理，垂线段最短，解答即可． 本题考查了角的平分线性质定理，垂线段最短，熟练掌握性质是解题的关键． 【详解】解：过点C作于点H， ∵，，， ∴， ∴， 根据垂线段最短， 故的最小值是6， 故答案为：6． 47．如图，，和分别平分和，过点，且与互相垂直，点为线段上一动点，连接．若，则的最小值为 ． 【答案】 【分析】本题考查角平分线的性质，垂线段最短，平行线的性质，过作于，由平行线的性质推出，由角平分线的性质推出，，得到 ，由垂线段最短得到，即可得到的最小值，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解: 过作于， ∵，， ∴， ∵和分别平分和， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴的最小值为， 故答案为：． 48．如图，四边形的面积为4，，平分，，则的最小值为 ． 【答案】10 【分析】过点A作交延长线于E，交延长线于F，交延长线于H，交延长线于G，由角平分线的性质得到，根据可得；证明是等腰直角三角形，得到，，再证明都是等腰直角三角形，得到，则；证明，得到，，则；作点B关于的对称点M，连接，可证明，由轴对称的性质可得，，则当A、M、G三点共线时，有最小值，即此时有最小值，最小值为的长，在中，由勾股定理得，即的最小值为10， 【详解】解：如图所示，过点A作交延长线于E，交延长线于F，交延长线于H，交延长线于G， ∵，平分， ∴； ∵，，且， ∴四边形是矩形，， ∴， ∴矩形是正方形， ∴； ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴； ∵，， ∴， ∴， ∴； ∵， ∴是等腰直角三角形， ∴，， 又∵， ∴都是等腰直角三角形， ∴， ∴； 在和中， ， ∴， ∴，， ∴， ∴； 如图所示，作点B关于的对称点M，连接， ∵， ∴， ∵， ∴， 由轴对称的性质可得，， ∴， ∴当A、M、G三点共线时，有最小值，即此时有最小值，最小值为的长， 在中，由勾股定理得， ∴的最小值为10， 故答案为：10． 【点睛】本题主要考查了轴对称最短路径问题，角平分线的性质，等腰直角三角形的性质与判定，全等三角形的性质与判定，勾股定理等等，正确作出辅助线是解题的关键． 07 平面图形中的最短路径问题 49．在综合与实践活动课上，我们探究了最短路径问题——牧民饮马和造桥选址问题，这些问题就是利用轴对称、平移等相关知识确定最短路径，建立数学模型，并运用数学模型解决最短路径问题． 【理解模型】 （1）如图1，牧民从A地出发，到一条笔直的河边l饮马，然后到B地，牧民到河边的什么地方饮马可使所走的路径最短？ 下面给出的画图和证明方法，请你补全证明过程所缺的内容或理由： 如图2，画点B关于直线l的对称点，连接，与直线l交于点C，此时牧民到河边C处饮马，所走的路程最短． 证明：如图3，在直线l上另取任一点，连接，，，根据轴对称性质，得， ① ， ∴，， ∵（  ②  ） ∴，即最短路径． 【应用模型】 （2）如图4，某景区内有两条相交的笔直小路，，它们相交所夹的角区域内有一处古迹A，现计划在区域内修建三条步道，连通古迹A，小路，，步道与小路，的连接点分别为C，D，那么点C，D的位置应建在何处，才能使所建的步道总长度最短？请在图4中画出C，D两点与所建步道的最短路线． （要求：保留画图痕迹，写出结论） 【迁移延伸】 （3）如图5，某景区内有一块三角形草坪，，，，，点D为边的中点，小明从A点出发，先到边上某一点E，再到D点，最后回到A点，如何确定上点E的位置，才能使所走的路径最短？并求出最短路径的长． 【答案】（1）①，②两点之间，线段最短，（2）作图见解析，（3）作图见解析，最短路径的长为 【分析】本题考查了轴对称的性质，三角形的三边关系，最短路径问题的转化思想及垂直平分线的性质． （1）因为点B与关于直线l对称，所以直线l是的垂直平分线，根据垂直平分线性质可得，；在中，根据三角形两边的和大于第三边，有，据此数学依据填空即可； （2）分别过点A作关于小路和小路的对称点，，连接，此时与小路和小路的交点分别为C和D，依次连接，和，此时点C，D即为所确定的点，步道总长度即为所建的最短路线； （3）画点A关于的对称点，连接，交于点E，则点E为所确定的点，此时所走的路径最短．根据三角形内角和定理求得的度数，再通过含特殊直角三角形的性质求得，根据已知条件推出，利用轴对称的性质推出，，利用“”证明得出，最后通过已知条件进而推出的长度即可． 【详解】解：（1）①在直线l上另取任一点，连接，，，根据轴对称性质，得，. ②由可知，用到的数学依据为三角形两边的和大于第三边． 故答案为：，三角形两边的和大于第三边． （2）如图所示，点C，D即为所确定的点． ∴此时步道总长度即为所建的最短路线． （3）如图所示，画点A关于的对称点，连接，交于点E，则点E为所确定的点，此时所走的路径最短． ∵在中，， ∴， ∴在中，， ∵点D为边的中点，即， ∴， ∵点A，关于的对称， ∴，， ∴，， 在和中， ， ∴， ∴， 又∵，， ∴， 即最短路径的长为． 50．如图，某物流公司的全自动无人机从仓库（A）出发，由于中央区域有信号塔障碍，该无人机需要先向正东方向飞行到C处后，再向正北方向飞行到达配送点（B）现在升级后的导航系统支持该无人机直线飞行跨越障碍，求该无人机现在从仓库到配送点的最短路径． 【答案】 【分析】本题考查勾股定理，在中，根据勾股定理求解即可． 【详解】解：由题意可知，，，， ∴， ∴从仓库到配送点的最短路径为． 51．综合与实践 【材料一】“最短路径问题”是数学中一类具有挑战性的问题，古希腊学者海伦，他精通数理．有一天，一位将军向他请教一个问题：如图①，将军从甲地骑马出发，要到河边让马饮水，然后再回到乙地的马棚，为使马走的路程最短，应该让马在什么地方饮水？海伦认为以河边为对称轴，画出甲地的对称点，然后连接乙地和甲地的对称点，会与河边相交于一点P，这个点P就是马饮水的地方，能使马走的路程最短． 【材料二】我国三国时期的数学家赵爽利用四个全等的直角三角形拼成图②所示的图形，其中四边形和四边形都是正方形，巧妙地用面积法（）得出了直角三角形三边长a，b，c之间的一个重要结论：． 【小试牛刀】 （1）把两个全等的直角三角形如图③放置，其三边长分别为a，b，c．显然，，．请用含a，b，c的代数式分别表示出梯形，的面积：______，______，已知，再探究梯形，四边形，面积之间的关系，则它们满足的关系式为______，经化简，可得到勾股定理； 【知识运用】 （2）如图④，河道上A，B两点（看作直线上的两点）相距160米，C，D为两个菜园（看作两个点），，，垂足分别为A，B，米，米，现在菜农要在上确定一个抽水点P，使得抽水点P到两个菜园C，D的距离和最短，求该最短距离； 【知识迁移】 （3）借助上面的思考过程，请直接写出当时，代数式的最小值为______． 【答案】（1）；；；（2）200米；（3）41 【分析】（1）根据梯形、三角形面积公式列代数式即可； （2）作点D关于的对称点E，连接与交于点P，作于点F，由轴对称的性质得，利用勾股定理解即可求解； （3）构造和，令，，当A，E，D三点共线时，取最小值，最小值为的长． 【详解】解：（1）， ， ，， ； 故答案为：；；； （2）作点D关于的对称点E，连接与交于点P，作于点F， 由轴对称得，， ， 如图，当点P在上时，取最小值， ，，， ，， ， 在中，， 即抽水点P到两个菜园C，D的距离和最短为； （3）如图，，，，，，， 设，则， 由勾股定理得，， ， 当A，E，D三点共线时，取最小值，最小值为的长， 在中，， 的最小值为41， 故答案为：41． 【点睛】本题考查最短路径问题，勾股定理，列代数式等，利用轴对称的性质和勾股定理进行计算是解题的关键． 52．综合实践：数学课上，王老师以“两条线段和的最小值”为题，把“两点之间，线段最短”以及“垂线段最短”两个知识融合在一起展开一节探究活动课． 【活动一】情境再现，明晰原理 示例1：将最短路径问题（有人称“将军饮马”问题）转化为数学问题．如图①，用直线表示河岸，将军从山脚下的点出发，到达河岸点饮马后回到点宿营，怎样走使他每天所走路程的和最短？ 作法是：如图1②，作点关于直线的对称点，连接与直线交于点，则点即为饮马的地方，此时将军从点走到点，再回到点所走的总路程最短． 示例2，如图1③，要在河岸上建一座水泵房，修建引水渠PQ，使得到村庄的跑离最短．施工人员的做法是：过点作于点，将水泵房建在处，这样修建引水渠PQ最短，即省人力又省物力．示例1中所经含的数学原理是（   ） A．两点之间，线段最短        B．垂线段最短 【活动二】感悟方法，尝试应用 如图2，在等边三角形中，是的中线． ①直接写出与的数量关系__________________： ②若．点为边的中点，点为上一点，当的值最小时，在图2上标注点的位置，并求出的最小值； 【活动三】迁移拓展，综合应用 如图3，在中，，点在斜边上，且，是的角平分线，点，点分别为，上一点，求的最小值． 【答案】活动一：B；活动二：①；②见解析，4；活动三：的最小值为． 【分析】活动一：根据两点之间，线段最短求解即可； 活动二：①根据三线合一得到，，即可得到； ②连接交于点F，连接，得到当点E，F，C三点共线时，的值最小，即的长度，然后根据等边三角形三线合一性质求解即可； 活动三：如图所示，在上取点使，，连接，证明出，得到，然后得到当时，最小，求出，进而求解即可． 【详解】活动一：示例1中所经含的数学原理是两点之间，线段最短 故选：B； 活动二：①∵在等边三角形中，是的中线 ∴， ∴； ②如图所示，点F即为所求； ∵点为上一点 ∴ ∴当点E，F，C三点共线时，的值最小，即的长度 ∵在等边三角形中，是的中线，点为边的中点， ∴； 活动三：如图所示，在上取点使，，连接 ∵是的角平分线 ∴ ∵ ∴ ∴ ∴ ∴当点，G，D三点共线时，有最小值，即的长度 ∴当时，最小 ∵ ∴ ∴ ∵ ∴． ∴的最小值为． 【点睛】此题考查了等边三角形的性质，全等三角形的性质和判定，三线合一性质，轴对称的性质，含30度角直角三角形的性质等知识，解题的关键是掌握以上知识点． 53．如图，南京路与八一街垂直，西安路也与八一街垂直，曙光路与环城路垂直．如果小明站在南京路与八一街的交叉口，准备去书店，按图中的街道行走，最近的路程为 ．    【答案】500 【分析】本题考查了勾股定理的应用，首先根据勾股定理求出、的长度，然后求出两条到达书店的路线，选择较近的即可． 【详解】解：如图，    根据题意，得，，，，，， ∴，， ∴路线的路程为；路线的路程为， ∵ ∴最近的路程为， 故答案为：500． 54．阅读理解：勾股定理是几何学中的明珠，结合数形结合思想，经常在解决最值问题时起到化腐朽为神奇的作用． 例题：求代数式的最小值． 解决问题时，我们可以如图构造图形，中，，，，则，延长至点D，使，过点D作的垂线，在下方的垂线上截取，连接，，则，由两点之间线段最短可知，最小值即为线段的长，最后过点E作的垂线，垂足为点F，利用勾股定理即可求出的长为15，进而解决问题． 类比如上方法，求的最小值为 ． 【答案】10 【分析】借鉴已知解题方法，构造，和，令，，，，则长即为的最小值． 本题考查矩形的性质，线段的最值和勾股定理，利用类比思想，借鉴题目的求解方法是解题的关键． 【详解】解：如图构造图形，中，，，， 则， 延长至点D，使，过点D作的垂线，在下方的垂线上截取，连接，， 则， 由两点之间线段最短可知，最小值即为线段的长， 过点E作的垂线，垂足为点F， 根据勾股定理得， ∴的最小值为10． 故答案为：10． 55．如图，在一条东西走向河流的一侧有一村庄，河边原有两个取水点，，其中，，两取水点之间相距．由于某种原因，村庄到取水点，的路线现在已经不通，该村为方便村民取水，决定在河边新建一个取水点（点，，在同一条直线上），求新建路线的最短距离． 【答案】 【分析】本题考查勾股定理的实际应用，利用“点到直线的垂线段最短”确定最短路线是解题关键． 过点作，先通过垂线段最短明确为最短距离，再设未知数，结合勾股定理建立方程求解的长度． 【详解】解：如图，过点作，此时为新建路线的最短距离， 设，则， 由勾股定理可得：， 即， 解得：， ， 即新建路线的最短距离为． 56．如图，的顶点都在方格纸的格点上，按要求用无刻度的直尺在方格纸中画图． (1)在图①中画出中边上的高线； (2)在图②中，作直线，将分成面积相等的两个三角形； (3)在图③中点、为格点，在上画一点，使得最小，并直接写出最短距离______． 【答案】(1)见解析； (2)图见解析； (3)图见解析，． 【分析】本题考查作图-应用与设计作图、三角形的面积、轴对称-最短问题，解题的关键是掌握相关知识解决问题． 根据三角形的高的定义画出图形； 取的中点，作直线即可； 作点关于的对称点，连接交于点，连接，点即为所求，再利用勾股定理求出即可． 【详解】（1）解：如下图所示，过点作垂足为点，即为所求； （2）解：如下图所示，取线段的中点，作直线，直线即为所求； （3）解：如下图所示， 作点关于的对称点，连接交于点， 点即为所求， 由对称可知， ， 当点、、三点在同一条直线上时的值最小， 最小值的长． 故答案为： 考点08 立体图形中的最短路径问题考点 57．如图，长方体的底面边长分别为和，高为，点在边上，．若一只蚂蚁从点开始经过个侧面爬行一圈到达点，则蚂蚁爬行的最短路径长为 ． 【答案】 【分析】本题考查了勾股定理的应用——求最短路径，先得到长方体侧面展开图，再利用勾股定理计算即可，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：如图，将长方体展开，连接， ∵长方体的底面边长分别为和，高为，， ∴，， 根据两点之间线段最短，， 故答案为：． 58．如图，这是一个供滑板爱好者使用的U型池的示意图，该U型池可以看成是长方体去掉一个“半圆柱”而成，中间可供滑行部分的截面是直径为米的半圆，其边缘米，点E在上，米，一滑板爱好者从A点滑到E点，则他滑行的最短距离为 米． 【答案】20 【分析】本题考查了平面展开-最短路径问题，熟练掌握该知识点是关键． 要求滑行的最短距离，需将该U型池的侧面展开，进而根据“两点之间线段最短”得出结果，U型池的侧面展开图是一个长方形，此长方形的宽等于半径为的半圆的弧长，长方形的长等于米，然后问题可求解． 【详解】解：如图是其侧面展开图： 米，米，米， 在中，， 解得（负值舍去）， 故他滑行的最短距离约为20米； 故答案为：20． 59．如图是一个长、宽、高的无盖长方体果盘，果盘侧面镂空，用一个隔板（厚度忽略不计）卡在中间把果盘分成两个大小相等的正方体，若在果盘内部顶点B处有一滴蜂蜜，果盘内部顶点A处的小蚂蚁想去吃蜂蜜（蚂蚁只能沿着底面和隔板表面行走，不能走边缘和镂空侧面），则小蚂蚁所走的最短路径长为 ． 【答案】 【分析】本题考查了平面展开—最短路径问题，熟练掌握勾股定理是解题的关键． 把底面和隔板的两面展开，根据勾股定理即可得到结论． 【详解】解：如图， 则小蚂蚁所走的最短路径长， 故答案为：． 60．步行台阶每一层高，宽，长．一只蚂蚁从点爬到点，最短路程是 ． 【答案】130 【分析】本题考查勾股定理的实际应用，将蚂蚁行进过程中的多个平面展开形成一个矩形是解题的关键． 将阶梯的表面展开，形成一个矩形，根据勾股定理求解即可； 【详解】解：如图，阶梯的表面展开，形成一个矩形， ∵台阶阶梯每一层高，宽，长， ∴，， ∴在中，． 故答案为：130． 61．如图，一只蚂蚁沿着棱长为的正方体表面从点出发，经过3个面爬到点正下方的处，则蚂蚁走的最短路径为 ． 【答案】 【分析】此题考查了平面展开最短路径问题，勾股定理，熟练求出的长是解本题的关键． 将正方体展开，根据两点之间线段最短，构造出直角三角形，进而求出最短路径的长． 【详解】解：将正方体展开，右边与后面的正方形与前面正方形放在一个面上，展开图如图所示，此时最短， ∴， 故答案为：． 62．如图，圆柱形玻璃杯，高为，底面周长为，在杯外壁离杯底的点处有一滴蜂蜜，此时一只蚂蚁正好在点处，则蚂蚁到达蜂蜜的最短距离为 ． 【答案】 【分析】本题考查了圆柱的侧面展开图，勾股定理，两点之间，线段最短的知识点．熟练掌握圆柱的侧面展开图，勾股定理是解题的关键． 把圆柱形玻璃杯的侧面沿母线展开成矩形，把立体空间中蚂蚁到蜂蜜的最短路径问题，转化为平面直角三角形中斜边长度的计算问题，进而利用勾股定理求解． 【详解】解： 圆柱底面周长为， 展开后长方形的长为，长的一半为（水平方向的关键距离）， 圆柱高为，点离杯底， 垂直方向的距离为， 展开后，蚂蚁从到的最短路径是直角三角形的斜边，两条直角边分别为（水平）和（垂直）， 根据勾股定理，最短距离． 故答案为． 63．三棱镜在物理学中被称为“光的魔法师”，它是由透明材料制成的截面呈三角形的光学仪器，属于色散棱镜的一种，能够使复色光在通过棱镜时发生色散．示意图如图所示．在三棱镜的侧面上，从顶点到顶点镶有一圈金属丝，已知此三棱镜的高为，底面边长为，则这圈金属丝的长度至少为 ． 【答案】10 【分析】本题主要考查了勾股定理的应用，正确理解题意是解题关键．将棱镜侧面展开，利用勾股定理求解即可． 【详解】解：如下图，将棱镜侧面展开， 根据题意，可得，， ， 所以，这圈金属丝的长度至少为． 故答案为：10． 64．如图，圆柱形玻璃杯的杯高为，底面周长为，在杯内壁离杯底的点处有一滴蜂蜜，此时，一只蚂蚁正好在杯外壁上，它在离杯上沿且与蜂蜜相对的点处，则蚂蚁从外壁处到内壁处所走的最短路程为 ．（杯壁厚度不计） 【答案】 【分析】本题主要考查了平面展开—最短路径问题、轴对称的性质、勾股定理，化为最简二次根式等知识点．将杯子半侧面展开，作A关于的对称点，再根据两点之间线段最短可知的长度即为所求． 【详解】解：如图：将杯子半侧面展开，作A关于的对称点，连接，当点、F、B在同一条直线上，则为蚂蚁从外壁A处到内壁B处的最短距离，即的长度，    由题意可得：，，， ∴， ∵． ∴蚂蚁从外壁A处到内壁B处的最短距离为． 故答案为：． 1 / 37 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题10 三角形和直角三角形相关最值问题分类训练 （8种类型64道） 考点01 三角形相关最值问题 考点02 全等三角形相关最值问题 考点03 等腰三角形相关最值问题 考点04 等边三角形相关最值问题 考点05 直角三角形相关最值问题 考点06 角平分线相关最值问题 考点07 平面图形中的最短路径问题 考点08 立体图形中的最短路径问题 考点01 三角形相关最值问题 1．如图，在锐角三角形中，，的面积为12，平分，若M、N分别是、上的动点，则的最小值为（    ） A．4 B．5 C． D．6 2．如图，在中，是边上的中线，点是边上的动点，则的最小值为（　　） A． B． C．5 D．6 3．如图，在三角形中，，点P为直线上的一动点，连接，则线段的最小值是 （    ） A．12 B．15 C．20 D．25 4．如图，中，，点、分别是、上的点，，，连接、交于点，当四边形的面积为7时，则线段长度的最小值为（   ） A．7 B．8 C．9 D．10 5．如图，在中，，垂足为D，，．E，F为边，上两点，点，关于直线对称，点为线段上一动点，则的最小值是（   ） A．4 B．6 C．8 D．12 6．如图，在中，，，，，如果点D，E分别为，上的动点，那么的最小值是（　　）    A．8.4 B．9.6 C．10 D．10.8 7．如图，在中，，点是中点，点是线段上一个动点．若，则的最小值是（   ） A． B． C． D． 8．如图，点P是内任意一点，且，点M和点N分别是射线和射线上的动点，当周长取最小值时，则的度数为（    ） A． B． C． D． 考点02 全等三角形相关最值问题 9．如图，在中，，，E、F分别为、上的动点，且，连接，，当取得最小值时，则的值为（   ） A． B． C． D． 10．如图，在中，于点，于点，，，若点，分别是线段，上的动点，则的最小值与线段（　　）的长度相等． A． B． C． D． 11．如图，在锐角中，，的面积为，平分，若，分别是，上的动点，则的最小值是（   ） A． B． C． D． 12．如图，在锐角中，，，的平分线交于点，点，分别是和上的动点，则的最小值是 ． 13．如图，长方形中，点E为上一点，连接，将长方形沿着直线折叠，点D恰好落在的中点F上，点G为的中点；点P为线段上的动点，连接、，若、、，则的最小值是 ． 14．如图，在中，，E为的中点，D为上一点，交的延长线于点F．若，与之间的距离为5，则四边形的周长的最小值是 ． 15．如图，在直角中，，平分，是上一动点(不与，重合，是上一动点不与，重合，则的最小值为 . 16．如图，在中，，平分．点，分别是，上的动点，若的面积为6，则的最小值为 ． 考点03 等腰三角形相关最值问题 17．如图，在等腰中，顶角，点为边所在直线上一点，以为边构造等边，连接． （1）的度数为 ； （2）当取最小值时，的度数为 ． 18．如图，在等腰中，，是的高，，，、分别是、上一动点，则的最小值为（  ） A．6 B．4 C．9 D． 19．如图，在中，，，D是边中点，P是边上的一个动点，连接，以为边在的下方作等边，连接，则的最小值（    ） A． B． C． D． 20．如图，在中，，，是的两条中线，M是上的一个动点，则下列线段的长等于最小值的是（　　） A． B． C． D． 21．如图，在中，，，，为角平分线上一动点，为边上一动点，的最小值为（   ） A．2 B． C．4 D．6 22．如图，中，，，的垂直平分线分别交，边于E，F点，若点D为的中点，点M为线段上一动点，当周长取得最小值为时，的面积为（   ） A．30 B．39 C．60 D．78 23．如图，已知平分中的，过点作，点是边的中点，若，则图中两个阴影部分面积之差的最大值为（    ） A． B．8 C．6 D．4 24．如图，，；射线从开始绕点逆时针旋转，旋转角为（且），点关于的对称点为，直线与交于点，连接，，则面积的最大值是（    ） A．4 B．8 C．12 D．16 考点04 等边三角形相关最值问题 25．如图，在中，，点是边上的中点，点为上的一个动点，连结，在的下方作等边，连结，则最小值是（） A．0.5 B．1 C．1.5 D．2 26．如图所示，在等边三角形中，为中点，点分别为上的点，，在上有一动点，则的最小值为（   ） A．4 B．12 C．6 D．8 27．如图，在中，，点，分别是，上的点，，点，分别是边，上的动点，在点，运动的过程中，的最小值是（    ） A． B． C． D． 28．如图，点P是内部一点，线段的长度是，点M和点N分别是射线和射线上的动点，周长的最小值是，则的度数是（    ）． A． B． C． D． 29．如图，是等边三角形，、分别是、中点，连接且，在上找一点，则的最小值为（    ）． A．3 B．4 C．5 D．6 30．如图，已知，点P是内任意一点，周长的最小值是，点M和点N分别是射线和射线上的动点，则的长是 （    ） A． B． C． D． 31．如图，在锐角中，，，，点分别为上的动点，则周长最小值为 ． 32．如图，在等边中，，，D，E分别是边上的点，．若，当取最小值时，线段长为 ． 考点05 直角三角形相关最值问题 33．如图，在中，，，，点是边上一点，将绕点顺时针旋转到点，则长度的最小值是 ． 34．如图，在等腰直角三角形中，，点D，E分别为边上的动点，且，当的最小值为 ． 35．如图，在中，，，点E是上的一动点，连接，，垂足为，连接，则的长的最小值是 ． 36．如图，在中，，，点D是斜边上一点，连结，以为边向右构造等边，连结，若，则的最小值为 ． 37．在中，，，点M是边上的动点，连接，以为边在其右侧作正，连接．则的最小值为 ． 38．如图，在中，，，，点D为边上任意一点（不与点B重合），在上方作等边，F为中点，连结，则的最小值为 ． 39．如图，已知直角，，，，为中点，的角平分线交于点，，分别是和上的动点，则的最小值为 ． 40．如图，在中，，平分，其中E是上的动点，F是上的动点，则的最小值为 ． 考点06 角平分线相关最值问题 41．如图，在中，，，，，平分交于点D，点E，F分别是，上的动点，则： （1）的长为 ； （2）的最小值为 ． 42．如图，已知，平分，点P在上，于D，，点E是射线上的动点，则的最小值为 ． 43．如图，在中，，，，平分交于D点，E，F分别是，上的动点，则的最小值为 ． 44．如图，在Rt中，，，，是的角平分线，点E，F分别是AC，AD上的动点，则的最小值是 ． 45．如图，在中，，是角平分线，点E，F分别在，上，且．若，，则的长的最小值是 ． 46．如图，在四边形中，，连接，，且，，点E是边上一动点，则的最小值是 ． 47．如图，，和分别平分和，过点，且与互相垂直，点为线段上一动点，连接．若，则的最小值为 ． 48．如图，四边形的面积为4，，平分，，则的最小值为 ． 07 平面图形中的最短路径问题 49．在综合与实践活动课上，我们探究了最短路径问题——牧民饮马和造桥选址问题，这些问题就是利用轴对称、平移等相关知识确定最短路径，建立数学模型，并运用数学模型解决最短路径问题． 【理解模型】 （1）如图1，牧民从A地出发，到一条笔直的河边l饮马，然后到B地，牧民到河边的什么地方饮马可使所走的路径最短？ 下面给出的画图和证明方法，请你补全证明过程所缺的内容或理由： 如图2，画点B关于直线l的对称点，连接，与直线l交于点C，此时牧民到河边C处饮马，所走的路程最短． 证明：如图3，在直线l上另取任一点，连接，，，根据轴对称性质，得， ① ， ∴，， ∵（  ②  ） ∴，即最短路径． 【应用模型】 （2）如图4，某景区内有两条相交的笔直小路，，它们相交所夹的角区域内有一处古迹A，现计划在区域内修建三条步道，连通古迹A，小路，，步道与小路，的连接点分别为C，D，那么点C，D的位置应建在何处，才能使所建的步道总长度最短？请在图4中画出C，D两点与所建步道的最短路线． （要求：保留画图痕迹，写出结论） 【迁移延伸】 （3）如图5，某景区内有一块三角形草坪，，，，，点D为边的中点，小明从A点出发，先到边上某一点E，再到D点，最后回到A点，如何确定上点E的位置，才能使所走的路径最短？并求出最短路径的长． 50．如图，某物流公司的全自动无人机从仓库（A）出发，由于中央区域有信号塔障碍，该无人机需要先向正东方向飞行到C处后，再向正北方向飞行到达配送点（B）现在升级后的导航系统支持该无人机直线飞行跨越障碍，求该无人机现在从仓库到配送点的最短路径． 51．综合与实践 【材料一】“最短路径问题”是数学中一类具有挑战性的问题，古希腊学者海伦，他精通数理．有一天，一位将军向他请教一个问题：如图①，将军从甲地骑马出发，要到河边让马饮水，然后再回到乙地的马棚，为使马走的路程最短，应该让马在什么地方饮水？海伦认为以河边为对称轴，画出甲地的对称点，然后连接乙地和甲地的对称点，会与河边相交于一点P，这个点P就是马饮水的地方，能使马走的路程最短． 【材料二】我国三国时期的数学家赵爽利用四个全等的直角三角形拼成图②所示的图形，其中四边形和四边形都是正方形，巧妙地用面积法（）得出了直角三角形三边长a，b，c之间的一个重要结论：． 【小试牛刀】 （1）把两个全等的直角三角形如图③放置，其三边长分别为a，b，c．显然，，．请用含a，b，c的代数式分别表示出梯形，的面积：______，______，已知，再探究梯形，四边形，面积之间的关系，则它们满足的关系式为______，经化简，可得到勾股定理； 【知识运用】 （2）如图④，河道上A，B两点（看作直线上的两点）相距160米，C，D为两个菜园（看作两个点），，，垂足分别为A，B，米，米，现在菜农要在上确定一个抽水点P，使得抽水点P到两个菜园C，D的距离和最短，求该最短距离； 【知识迁移】 （3）借助上面的思考过程，请直接写出当时，代数式的最小值为______． 52．综合实践：数学课上，王老师以“两条线段和的最小值”为题，把“两点之间，线段最短”以及“垂线段最短”两个知识融合在一起展开一节探究活动课． 【活动一】情境再现，明晰原理 示例1：将最短路径问题（有人称“将军饮马”问题）转化为数学问题．如图①，用直线表示河岸，将军从山脚下的点出发，到达河岸点饮马后回到点宿营，怎样走使他每天所走路程的和最短？ 作法是：如图1②，作点关于直线的对称点，连接与直线交于点，则点即为饮马的地方，此时将军从点走到点，再回到点所走的总路程最短． 示例2，如图1③，要在河岸上建一座水泵房，修建引水渠PQ，使得到村庄的跑离最短．施工人员的做法是：过点作于点，将水泵房建在处，这样修建引水渠PQ最短，即省人力又省物力．示例1中所经含的数学原理是（   ） A．两点之间，线段最短        B．垂线段最短 【活动二】感悟方法，尝试应用 如图2，在等边三角形中，是的中线． ①直接写出与的数量关系__________________： ②若．点为边的中点，点为上一点，当的值最小时，在图2上标注点的位置，并求出的最小值； 【活动三】迁移拓展，综合应用 如图3，在中，，点在斜边上，且，是的角平分线，点，点分别为，上一点，求的最小值． 53．如图，南京路与八一街垂直，西安路也与八一街垂直，曙光路与环城路垂直．如果小明站在南京路与八一街的交叉口，准备去书店，按图中的街道行走，最近的路程为 ．    54．阅读理解：勾股定理是几何学中的明珠，结合数形结合思想，经常在解决最值问题时起到化腐朽为神奇的作用． 例题：求代数式的最小值． 解决问题时，我们可以如图构造图形，中，，，，则，延长至点D，使，过点D作的垂线，在下方的垂线上截取，连接，，则，由两点之间线段最短可知，最小值即为线段的长，最后过点E作的垂线，垂足为点F，利用勾股定理即可求出的长为15，进而解决问题． 类比如上方法，求的最小值为 ． 55．如图，在一条东西走向河流的一侧有一村庄，河边原有两个取水点，，其中，，两取水点之间相距．由于某种原因，村庄到取水点，的路线现在已经不通，该村为方便村民取水，决定在河边新建一个取水点（点，，在同一条直线上），求新建路线的最短距离． 56．如图，的顶点都在方格纸的格点上，按要求用无刻度的直尺在方格纸中画图． (1)在图①中画出中边上的高线； (2)在图②中，作直线，将分成面积相等的两个三角形； (3)在图③中点、为格点，在上画一点，使得最小，并直接写出最短距离______． 考点08 立体图形中的最短路径问题考点 57．如图，长方体的底面边长分别为和，高为，点在边上，．若一只蚂蚁从点开始经过个侧面爬行一圈到达点，则蚂蚁爬行的最短路径长为 ． 58．如图，这是一个供滑板爱好者使用的U型池的示意图，该U型池可以看成是长方体去掉一个“半圆柱”而成，中间可供滑行部分的截面是直径为米的半圆，其边缘米，点E在上，米，一滑板爱好者从A点滑到E点，则他滑行的最短距离为 米． 59．如图是一个长、宽、高的无盖长方体果盘，果盘侧面镂空，用一个隔板（厚度忽略不计）卡在中间把果盘分成两个大小相等的正方体，若在果盘内部顶点B处有一滴蜂蜜，果盘内部顶点A处的小蚂蚁想去吃蜂蜜（蚂蚁只能沿着底面和隔板表面行走，不能走边缘和镂空侧面），则小蚂蚁所走的最短路径长为 ． 60．步行台阶每一层高，宽，长．一只蚂蚁从点爬到点，最短路程是 ． 61．如图，一只蚂蚁沿着棱长为的正方体表面从点出发，经过3个面爬到点正下方的处，则蚂蚁走的最短路径为 ． 62．如图，圆柱形玻璃杯，高为，底面周长为，在杯外壁离杯底的点处有一滴蜂蜜，此时一只蚂蚁正好在点处，则蚂蚁到达蜂蜜的最短距离为 ． 63．三棱镜在物理学中被称为“光的魔法师”，它是由透明材料制成的截面呈三角形的光学仪器，属于色散棱镜的一种，能够使复色光在通过棱镜时发生色散．示意图如图所示．在三棱镜的侧面上，从顶点到顶点镶有一圈金属丝，已知此三棱镜的高为，底面边长为，则这圈金属丝的长度至少为 ． 64．如图，圆柱形玻璃杯的杯高为，底面周长为，在杯内壁离杯底的点处有一滴蜂蜜，此时，一只蚂蚁正好在杯外壁上，它在离杯上沿且与蜂蜜相对的点处，则蚂蚁从外壁处到内壁处所走的最短路程为 ．（杯壁厚度不计） 1 / 37 学科网（北京）股份有限公司 $