微专题18 数列中的放缩问题 讲义-2026届高三数学二轮专题复习

该高中数学讲义聚焦数列放缩这一高考核心考点，围绕中等偏难的考查要求，梳理14个通项放缩常见结论，按先求和再放缩、先放缩再求和、通项放缩与求值三类典型问题构建知识体系。通过考点梳理、方法指导、真题训练（含成都诊断、武汉模拟等题）等环节，帮助学生突破放缩技巧应用难点，体现复习的系统性与针对性。 资料以分类突破和结论体系化为特色，如将放缩问题分类型讲解，结合常见结论培养学生数学思维。通过例1递推求通项后放缩求和等教学活动，训练学生用数学语言表达解题过程。设置分层练习（例题、训练题、强化练），确保学生高效掌握，提升应考能力，为教师把控复习节奏提供有力指导。

微专题18 数列中的放缩问题 近几年高考： 1.数列放缩是高考重点考查的内容之一,数列与不等式结合试题将稳定在中等偏难的程度,其核心技能是放缩技巧的应用. 2.通项放缩常见结论 (1)>=-; (2)<=-(n≥2); (3)<=(n≥2); (4)=<=2; (5)Tr+1=·=·<<=-(r≥2); (6)<1+1+++…+<3; (7)=<=2(-+)(n≥2); (8)=>=2(-+); (9)=<==(-+); (10)=<= =-(n≥2); (11)=< =· =· =· <2(n≥2); (12)=<== =-(n≥2); (13)=<==-; (14)<=-(n≥2). 二．典型例题 1.　先求和再放缩证明不等式 例1 (2025·成都诊断)已知数列{an}满足a1+2a2+…+nan=(n-1)·2n+1+2. (1)求{an}的通项公式; (2)设bn=+,证明:b1+b2+…+bn<. (1)解　由题意可知,当n=1时,a1=2; 当n≥2时,由a1+2a2+…+nan=(n-1)·2n+1+2得, a1+2a2+…+(n-1)an-1=(n-2)·2n+2, 两式作差可得,nan=(n-1)·2n+1-(n-2)·2n=n·2n,∴an=2n, a1=2也适合该式,故an=2n. (2)证明　由题意知bn=+=+, 故b1+b2+…+bn=+=1-+-×=-, 由于n∈N*,则+>0, 故-<, 即b1+b2+…+bn<. 规律方法　此类不等式一般另一端为常数,求和以后常利用去项放缩或利用函数的单调性放缩. 训练1 (2025·武汉模拟)已知数列{an}的首项为2,前n项和为Sn,且Sn+1+2=an+3n+Sn. (1)求数列{an}的通项公式; (2)求满足an>的n的最小值; (3)已知bn=,记数列{bn}的前n项和为Tn,求证:-≤Tn<-. (1)解　由已知Sn+1+2=an+3n+Sn, 则an+1=Sn+1-Sn=an+3n-2, 即an+1-an=3n-2, 则an-an-1=3n-5,an-1-an-2=3n-8,…,a2-a1=1, 等式左右分别相加可得an-a1=(3n-5)+(3n-8)+…+1 ==, 则an=+a1=. (2)解　由(1)得an=, 且an>,即>, 化简可得(3n-1)(n-3)>0, 又n∈N*,即n>3, 所以满足an>的n的最小值为4. (3)证明　依题意得bn= == =, 则Tn= ==--, 又n∈N*,所以∈, 所以Tn=--∈, 即-≤Tn<-. 2.　先放缩通项再求和证明不等式 例2 设数列{an}的前n项和为Sn,a1=1,2Sn=n2+n(n∈N*). (1)求数列{an}的通项公式; (2)设数列{bn}的前n项和为Tn,且bn=,求T99; (3)求证:+++…+>9. (1)解　因为2Sn=n2+n,① 当n≥2时,2Sn-1=(n-1)2+n-1,② 所以①-②得到2an=n2+n-(n-1)2-(n-1)=2n,即an=n, 又a1=1,满足an=n,所以an=n. (2)解　因为bn===-, 所以T99=b1+b2+…+b99=-1+-+…+-=-1=9. (3)证明　因为=>=-, 所以++…+=++…+>-1+-+…+-=-1=9, 即+++…+>9. 规律方法　此类题型关键是如何放缩数列的通项,需要熟悉常见的放缩技巧及结论. 训练2 (2025·巴中模拟)已知数列{an}的通项公式为an=. (1)求证:≤an<1; (2)令bn=log2,求证:++…+<. 证明　(1)an==1-, 可知数列{an}单调递增, 则an=1-<1, 则当n=1时,{an}取最小值为, 故≤an<1,得证. (2)bn=log2=n, 当n≥3时,=<=-, ++…+<1++-+…+-=-<,得证. 3.　通项放缩与求值 例3 已知各项均为正数的数列{an}的前n项和为Sn,且an,Sn,为等差数列. (1)求数列{an}的通项公式; (2)若m为正整数,记集合的元素个数为bm,求数列{bn}的前50项和T50. 解　(1)由已知得2Sn=an+, 当n=1时,有a1=1, 当n≥2时,有2Sn-1=an-1+, ∴2an=-+an-an-1, (an-an-1)(an+an-1)=an+an-1, an+an-1>0, ∴an-an-1=1, ∴数列{an}为等差数列,∴an=n. (2)由+≤m,得m-≤an≤m+, 令m=1,m=2,显然b1=0,b2=1. 当m≥3时,令m-≤1, 得(m-1)2<m2-4,得m>, 易证2m-1<m+<2m, ∴1≤an≤2m-1,bm=2m-1, 从而{bn}的前50项和 T50=0+1+(5+7+…+99)=1+=2 497. 规律方法　1.通项放缩确定新数列注意解相关不等式; 2.先放缩再求和式及和式的应用,应注意考虑所得式子的性质. 训练3 已知Tn为正项数列{an}的前n项的乘积,且a1=3,=. (1)求数列{an}的通项公式; (2)设bn=,数列{bn}的前n项和为Sn,求[S2 026]([x]表示不超过x的最大整数). 解　(1)当n≥2时,=,=, 相除得=,=, =,n≥2, ∴数列{}是常数列,a1=3, ∴=3,an=3n. (2)bn==1->1-, ∴Sn=++…+=n-<n, 而Sn>n-=n-=n-1+>n-1, ∴2 025<S2 026<2 026,故[S2 026]=2 025. 【精准强化练】 1.(2025·重庆部分学校联考)已知数列{an}满足a1=1,an+an+1=2n+1. (1)证明:数列为等比数列,并求数列{an}的通项公式; (2)设Tn=++…+,证明:Tn<对任意n∈N*恒成立. 证明　(1)由an+an+1=2n+1, 得+×=1, 因为-=-, -=-, 所以数列是首项为-, 公比为-的等比数列, 因此,-=-×, 所以an=. (2)由已知得a1=1,a2=3,a3=5,…, 显然Tn单调递增,T1<T2=+=<. 当n>2且n是奇数时, +=3 =3×<3× =3, 所以Tn=++…+ <1+3× =1+3×=-<. 当n>2且n是偶数时,n+1是奇数,有Tn<Tn+1<, 所以对任意n∈N*, Tn=++…+<. 2.(2025·太原调研)已知数列{an}满足a1=1,a2n+1=a2n+1,a2n=2a2n-1. (1)求数列{an}的通项公式; (2)设Tn=++…+,求证:T2n<3. (1)解　将a2n=2a2n-1代入a2n+1=a2n+1中,得a2n+1=2a2n-1+1. 下面构造等比数列: 令a2n+1-k=2(a2n-1-k), 得a2n+1=2a2n-1-k,则-k=1,则k=-1, ∴a2n+1+1=2(a2n-1+1), 故数列{a2n-1+1}是首项为2,公比为2的等比数列, ∴a2n-1+1=2·2n-1,∴a2n-1=2n-1, a2n=2·a2n-1=2(2n-1)=2n+1-2, 故an= (2)证明　由(1)知a2n-1=2n-1,a2n=2n+1-2, ∴=,=. 又2n-1≥2n-1,∴≤, 2n+1-2≥2n,∴≤, 故≤,≤, 则T2n=++…++ <+ =+ =2+=3-3<3, 故T2n<3. 学科网（北京）股份有限公司 $ 微专题18 数列中的放缩问题 一．近几年高考： 1.数列放缩是高考重点考查的内容之一,数列与不等式结合试题将稳定在中等偏难的程度,其核心技能是放缩技巧的应用. 2.通项放缩常见结论 (1)>=-; (2)<=-(n≥2); (3)<=(n≥2); (4)=<=2; (5)Tr+1=·=·<<=-(r≥2); (6)<1+1+++…+<3; (7)=<=2(-+)(n≥2); (8)=>=2(-+); (9)=<==(-+); (10)=<= =-(n≥2); (11)=< =· =· =· <2(n≥2); (12)=<== =-(n≥2); (13)=<==-; (14)<=-(n≥2). 二．典型例题 1.　先求和再放缩证明不等式 例1 (2025·成都诊断)已知数列{an}满足a1+2a2+…+nan=(n-1)·2n+1+2. (1)求{an}的通项公式; (2)设bn=+,证明:b1+b2+…+bn<. 训练1 (2025·武汉模拟)已知数列{an}的首项为2,前n项和为Sn,且Sn+1+2=an+3n+Sn. (1)求数列{an}的通项公式; (2)求满足an>的n的最小值; (3)已知bn=,记数列{bn}的前n项和为Tn,求证:-≤Tn<-. 2.　先放缩通项再求和证明不等式 例2 设数列{an}的前n项和为Sn,a1=1,2Sn=n2+n(n∈N*). (1)求数列{an}的通项公式; (2)设数列{bn}的前n项和为Tn,且bn=,求T99; (3)求证:+++…+>9. 训练2 (2025·巴中模拟)已知数列{an}的通项公式为an=. (1)求证:≤an<1; (2)令bn=log2,求证:++…+<. 3.　通项放缩与求值 例3 已知各项均为正数的数列{an}的前n项和为Sn,且an,Sn,为等差数列. (1)求数列{an}的通项公式; (2)若m为正整数,记集合的元素个数为bm,求数列{bn}的前50项和T50. 训练3 已知Tn为正项数列{an}的前n项的乘积,且a1=3,=. (1)求数列{an}的通项公式; (2)设bn=,数列{bn}的前n项和为Sn,求[S2 026]([x]表示不超过x的最大整数). 【精准强化练】 1.(2025·重庆部分学校联考)已知数列{an}满足a1=1,an+an+1=2n+1. (1)证明:数列为等比数列,并求数列{an}的通项公式; (2)设Tn=++…+,证明:Tn<对任意n∈N*恒成立. 2.(2025·太原调研)已知数列{an}满足a1=1,a2n+1=a2n+1, a2n=2a2n-1. (1)求数列{an}的通项公式; (2)设Tn=++…+,求证:T2n<3. 学科网（北京）股份有限公司 $