数列型不等式放缩技巧讲义-2026届高三数学三轮冲刺复习

该高中数学高考复习讲义围绕数列型不等式放缩这一高考核心考点，按裂项、函数、分式、分类、二项放缩等技巧构建知识体系，通过考点梳理、方法指导、真题训练的教学流程，帮助学生突破思维跨度大、构造性强的难点，体现复习的系统性与针对性。 讲义特色在于采用结构剖析与构造性放缩策略，如裂项放缩中通过通项特征提炼放缩技巧，函数放缩中引导学生构造函数模型，培养数学思维与抽象能力。设置分层例题与技巧积累模块，保障复习效果，助力学生高效掌握放缩方法，为教师把控复习节奏提供实用指导。

数列型不等式放缩技巧 数列型不等式，思维跨度大、构造性强，需要有较高的放缩技巧。这类问题的求解策略 往往是：通过多角度观察所给数列通项的结构，深入剖析其特征，抓住其规律进行恰当地放 缩。主要有以下几种：裂项放缩、函数放缩、分式放缩、分类放缩、二项放缩 一、裂项放缩 米地：2 22 （1)解：因为 11 4n2-1(2n-12n+1)2n-12n+1 所以了2 =1-、1=2n 名4k2-112n+12n+1 =21-1） n2-T4n2-122n-12m+1 4 技巧积累： 1-1 1 (2) 211 ClC:(n-1)n(n+1)nn-1)nn+1) oc是n女 2×1'3×2nn-12 1 11 22”-12”-12” (6)1。<n+2-n n+2 (7)2Wn+i-n)k2<2m-n-司) 21).1 1 1 (8》(2n+2m+522m+-22n+3引-2 (10) n11 (n+1！n!(n+1 2 分<2V2m+1-2n-可2n2a Vw+2+Va-2 wgg可0-习8可2 2” 2" 2" 2-1 11 1 11 1 顶na-ia可a-可n+可)n+1-a可 } 1 m+1+n-<1-1 2n√n-1√n+1 (14)2=22”=3-小2>3→32->2°2-1>23,1<2 392”-1<3 (15)1 k+2 11 +k+1+k+2(k+1(k+2刃 1 <vn-n-1(n22) (16)nn+i )F+1-F+1_ 2-产 i+j /-+1*r+司原+1+F+<1 11 1>2-1m22 例21)求证：1+3+京+…+2n->622n-可 (2)求证：4+1636 111， t…+111 4n2<24n (3)求证： +3+35+…+1352m-<V2n+-1 22.42.4.6 2.462n war-小k方+六l21- a路，对司】 空a1+指10 (3)先运用分式放缩法证明出 1.3.5…2n-11 246…2n<2m+7，再结合 】。<n+2-n进行裂项即可 n+2 首先名>可西·所以常易由量度程到 2-小1店 Ha可-识2 2 一，由均值不等 n 1 1 Vm+2+n-2 11 式可知成立，所以1+2+万+…+后 +↓<2n+i- 6n s1++1+15 例3、求证：a+2n+≤1+4g++7写 2n 1,1，1 1+ 另一方面，”49 >1+,1 +…+ 十…+ 1=1-1=” 2×33×4nn+1n+1n+1 当n23时，”> 6n 6n +++…+ n中产n+12n+1当m:1时，a+12m+-1+4g* =1+ h3, 6n 1 当n=2时，n+12m+ 11 <1+ ++7 综上有 6n 11.15 ≤1+++…+- (n+12n+1 49 +3 例4、设函数fx)=x-xhx,数列{an}满足0<a1<1,a+1=fan,设b∈(a,l,整 数k≥4-b,证明：a1>b a Inb 证：由数学归纳法可以证明{an}是递增数列， 故若存在正整数m≤k，使am≥b,则ak+1>ak≥b, 若am<bm≤k),则由0<a1≤am<b<1知a In a≤a,lnam<a,lnb<0, aw-ar-a,Indx-d->a_Ind. 因为∑a In an<k(a,lnb),于是ak1>a,+ka,lnbl≥a,+(b-a)=b m= 例5、已知nm∈N*，x>-1，Sm=1"+2+3"+…+n,求证： nm1<(m+1Sn<(n+1m-1 证：首先可以证明1+x)”≥1+x, n=n-n-l+(n-l-n-2+…+14-0=k-(k-1m-] 所以要证n+1<(m+1)Sn<(n+)m1-1只要证 2k-k-水m+空”<a+-1 =a+-n+n-n-++2-1=k+1-k时 支要证k-使-小km+区“<[+1- 即等价于km1-(k-1m+<(m+1k"<(k+1m1-k" 价1++1- 而这正是成立的，所以原命题成立 例6、已知an=4”-2”，Tn= 2" -，求证：T+T2+T+…+Tn< a1+a2+…+a 2 证：Tn=4+42+43+…+4”-(2+22+…+2 9-0-刘 2” 2 32”32” 22922+222四-32 i可 3 nn=2k-1,k∈Z) 7、已知=1.x-n-1m=2k,k∈Z) 1 求证： 1 1—>n+i-1neN） 玉xxx 证明：2+可，所以1>点之3。=- x2n·x2m12nVn+Vn+1 所以原式得证 二、函数放缩 血2+n3+n4++n3”<3_5n+6aew） 例8、求证：234 3 6 Inxsx-l→nxs1-1 证：先构造函数有 竖3++<”1-+…+】 从而234 +-台+行写*写 >层限 是<81g=“。 所以23中4 6 6 ++<a+ls+t+月 例9、求证：23 n+1 n f(x)=In(1+x)-x,x>0 In(1+x)<x 证：构造 ,可得 再构造 7*>0 g(x)=In(1+x)-x In(1+x)>x ,可得 x+1, 1< nk+11 令是代入k中kK,接下来羽 三、 分式放缩 b+m(bza>0.m>0)bm(a>b>0.m>0) 糖水不等式aa+m 和aa+m 例10、证明： +++》+n2小m 证：运用两次分式放缩 2.5.8.3n-1>3.6.9..3m 1473n-22583n-1 2583n-1、47103n+1 1473n-23693n 两式相乘，可得 258.3-12、4.7.103m+1-1.4.73-2.3m+1） > 1473n-22583n-12583n-1 则原式得证 四、 分类放缩 1++++1>0 例11、求证： 23 2"-12 经+女 五、 二项放缩 2”=(1+1”=C9+C+…+C%2"≥C0+C=n+1 2”≥C9+C:+C:=n+n+2 2 例12知4=1+n+2是2 +小a+ 得 a,t-a,+shta小 e+小-he+川空司 得2 In(a,+1)-In(az+1)<1-<1 得lna.+l<1+h3,a,<3e-1<e2 8 例13、设n>1,n∈N,求证： (n+1n+2) 正e周-+. +=1+c+c+c+…21+-a+a26 28 8 +a+g