专题15 相似与函数综合题分类训练（4种类型32道）（高效培优期末专项训练）九年级数学上学期北师大版

专题15 相似与函数综合题分类训练 （4种类型32道） 考点01 相似相关几何动点函数图像问题 考点02 一次函数中的相似问题 考点03 反比例函数中的相似问题 考点04 二次函数中的相似问题 考点01 相似相关几何动点函数图像问题 1．如图1，中，，，动点P沿按每秒1个单位长度运动，动点Q以相同的速度沿运动，P，Q两点同时运动，当点P运动到点B时，停止运动，点Q也停止运动，在运动过程中，连接，记，运动时间为t秒 (1)直接写出与t的函数关系，并注明自变量t的取值范围； (2)如图2，在给定的平面直角坐标系中画出的函数图像，并写出该函数的一条性质； (3)结合函数图像，若函数与的图像有两个交点，直接写出k的取值范围． 2．如图，中，，点是边的中点，动点从点出发，沿折线运动，当点到达点时停止运动，过点作直线的垂线，垂足为，设点的运动路程为，的长度为． (1)请直接写出关于的函数表达式，并注明自变量的取值范围； (2)在给定的平面直角坐标系中画出函数的图象，并写出函数的一条性质； (3)结合函数图像，直接写出时的取值范围．（近似值保留一位小数，误差不超过） 3．如图1．矩形中，交于点，动点沿按每秒2个单位长度运动，动点沿按每秒个单位长度运动，两点同时运动，当运动至点时，点也停止运动，在整个运动过程中，记，记点到点的距离为，设运动时间为秒． (1)直接写出和关于的函数关系，并注明自变量的取值范围； (2)如图2，在给定的直角坐标系中画出的函数图像，并写出该函数的一条性质； (3)根据所画出的函数图像，直接写出当．时，所对应的取值范围． 4．如图，在中，，，，点是的中点，动点从点出发，沿折线运动，到达点停止运动，设点运动的路程为（），的面积为，请解答下列问题： (1)请直接写出与的函数关系式，并写出自变量的取值范围； (2)在平面直角坐标系中画出与的函数图像，并写出它的一条性质； (3)已知函数，当时，请直接写出自变量的取值范围． 5．如图1， 矩形 中， 交 于点O，动点P沿按每秒1个单位长度运动，动点Q 沿按每秒 个单位长度运动，P，Q两点同时运动，当P运动至点D时，点Q也停止运动，在整个运动过程中，记 记点Q到与的距离和为，设运动时间为x秒． (1)直接写出和关于x的函数关系，并注明自变量x的取值范围； (2)如图2，在给定的直角坐标系中画出的函数图像，并写出该函数的一条性质； (3)根据所画出的函数图像，直接写出当 时，所对应x的取值范围． 6．如图，在中，点D为中点，点P 从点 D出发，沿D→C→A方向以每秒1个单位的速度匀速运动到点A．设点P 的运动时间为x秒，的面积为y． (1)直接写出y与x的函数关系式，并注明x的取值范围； (2)画出y的函数图像，观察y的函数图像，并写出一条该函数的性质； (3)观察图像，直接写出函数与y只有一个交点时k的取值范围． 7．如图，在中，，，点D是的中点，动点E从A出发，沿着折线(含端点)运动，速度为每秒2个单位长度，到达C点停止运动，设点E的运动时间为t秒，点E到的距离为y． (1)求y关于t的函数关系式，并写出自变量的取值范围； (2)在直角坐标系中画出y关于t的函数图象，并写出它的一条性质： ； (3)根据函数图像写出当时t的取值范围． 8．如图1，在四边形中，，点从点出发以每秒1个单位的速度沿的方向运动，点以每秒个单位的速度沿运动，当点与点重合时同时停止运动，连接，记运动时间为秒，． (1)直接写出与之间的函数表达式，并写出自变量的取值范围； (2)在图2中画出的函数图像，并写出函数的一条性质； (3)结合画出的函数图像，直接写出时，的取值范围． 考点02 一次函数中的相似问题 9．如图，直线与轴交于点，与轴交于点B，点C在轴上点A的右边，，经过点C的直线与正比例函数的图象平行，直线与直线相交于点D，点P为直线上一动点． (1)求点D坐标； (2)若，请求出P点的坐标； (3)若在平面内存在一点Q，使得四点C、D、P、Q构成菱形，若存在，请直接写出点P横坐标的值，若不存在，请说明理由． 10．如图，在平面直角坐标系中，O是坐标原点，一次函数的图象与y轴交于点A，与x轴交于点，与正比例函数交于点C，点C的坐标为．    (1)求一次函数的表达式． (2)如图1，点P为直线上一动点，若，求点P的坐标． (3)如图2，点H为线段上一动点，连接，将沿直线翻折得到，线段交x轴于点E． ①当点落在y轴上时，求点的坐标． ②若为直角三角形，直接写出点H的坐标． 11．已知，如图：直线AB：y＝﹣3x+3与两坐标轴交于A，B两点．    （1）过点O作OC⊥AB于点C，求OC的长； （2）将△AOB沿AB翻折到△ABD，点O与点D对应，求直线BD的解析式； （3）在（2）的条件下，正比例函数y＝kx与直线BD交于P，直线AB交于Q，若OP＝3OQ，求正比例函数的解析式． 12．如图，四边形OABC为矩形，OA=4，OC=5，正比例函数y=2x的图像交AB于点D，连接DC，动点Q从D点出发沿DC向终点C运动，动点P从C点出发沿CO向终点O运动．两点同时出发，速度均为每秒1个单位，设从出发起运动了t s． （1）求点D的坐标； （2）若PQ∥OD，求此时t的值？ （3）是否存在时刻某个t，使S△DOP=S△PCQ？若存在，请求出t的值，若不存在，请说明理由； （4）当t为何值时，△DPQ是以DQ为腰的等腰三角形? 13．如图，一次函数y＝﹣x+7的图象与正比例函数y＝x的图象交于点A，点P（t，0）是x正半轴上的一个动点． （1）点A的坐标为（　 　，　 　）； （2）如图1，连接PA，若△AOP是等腰三角形，求点P的坐标： （3）如图2，过点P作x轴的垂线，分别交y＝x和y＝﹣x+7的图象于点B，C．是否存在正实数，使得BC＝OA，若存在求出t的值；若不存在，请说明理由．    14．已知：如图1，一次函数y=mx+5m的图象与x轴、y轴分别交于点A、B，与函数y=-x的图象交于点C，点C的横坐标为-3． （1）求点B的坐标； （2）若点Q为直线OC上一点，且S△QAC=3S△AOC，求点Q的坐标； （3）如图2，点D为线段OA上一点，∠ACD=∠AOC．点P为x轴负半轴上一点，且点P到直线CD和直线CO的距离相等． ①在图2中，只利用圆规作图找到点P的位置；（保留作图痕迹，不得在图2中作无关元素．） ②求点P的坐标． 15．如图，一次函数的图像与轴、轴分别相交于点 、．二次函数的图像与轴的正半轴相交于点，与这个一次函数的图像相交于点、，． （1）求点的坐标； （2）如果，求这个二次函数的解析式． 16．如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与x轴交于点A，与y轴交于点，与直线OC交于点． (1)求直线AB的函数表达式； (2)过点C作轴于点D，将沿射线CB平移得到的三角形记为，点A，C，D的对应点分别为，，，若与重叠部分的面积为S，平移的距离，当点与点B重合时停止运动． ①若直线交直线OC于点E，则线段的长为________（用含有m的代数式表示）； ②当时，S与m的关系式为________； ③当时，m的值为________． 考点03 反比例函数中的相似问题 17．如图，在平面直角坐标系中，反比例函数与正比例函数的图象交点的横坐标为8，过点分别作轴于点，交轴于点． (1)求的值； (2)求点的坐标； (3)点以每秒1个单位长度的速度沿路线向终点匀速运动，连接，将绕点顺时针旋转得到（点为点的对应点），旋转角等于，过点作于点，设点的运动时间为秒（）． ①当点在线段上运动时，求证：； ②当点落在轴上时，请在备用图中画出图形并求出此时的值； ③作的中线，当线段与线段有交点时，请直接写出的取值范围． 18．如图1，一次函数的图象与反比例函数的图象交于点，与轴交于点． (1)求该一次函数的解析式； (2)在轴上有一点，直线与反比例函数图象交于点，连接．求的面积； (3)如图2，以线段为对角线作正方形，点是线段上的一动点，点是线段上的一动点，连接、，使，当点运动到的三等分点时，求点的坐标． 19．如图，反比例函数的图象经过斜边的中点P，与交于点Q，连接，点A的坐标为． (1)求反比例函数的表达式； (2)证明：． 20．如图1，在平面直角坐标系中，四边形是菱形，轴． (1)若菱形边长为5，对角线． ①若点，反比例函数的图像经过点B．求该反比例函数的表达式，并判断点A是否在这个反比例函数图像上； ②是否存在点，使得反比例函数的图像同时经过点A、B？若存在，求a、b满足的关系式；若不存在，说明理由． (2)如图2，菱形的顶点A，B和边的中点E在反比例函数图像上，顶点C、D在反比例函数图像上，边与y轴的交点为F， ①求的值； ②若，则菱形的面积为 ． 21．如图，一次函数与反比例函数的图像交于点和点，与y轴，x轴分别交于C，D两点， (1)求一次函数和反比例函数的表达式； (2)点E为反比例函数（x>0）上一点（不与点A，B重合），过点E作轴，垂足为点F，当时，求点E坐标． 22．如图，A为反比例函数（其中）图像上的一点，在x轴正半轴有一点B，．连接，且． (1)求k的值； (2)过点B作，交反比例函数（其中）的图像于点C，连接交于点D，求的值． 23．如图，在平面直角坐标系中，矩形OABC的顶点B的坐标为（4，2），OA，OC分别在x轴和y轴正半轴上，连接OB．将△OAB绕点O逆时针旋转，得到△ODE，点A的对应点为点D，点B的对应点为点E，且点E在y轴正半轴上，OD与CB相交于点F，反比例函数y（x＞0）的图象经过点F，交AB于点G． （1）点F的坐标为 　 　；k＝　 　； （2）连接FG，求证：△OCF∽△FBG； （3）点M在直线OD上，点N是平面内一点，当四边形GFMN是正方形时，请直接写出点M的坐标． 24．如图，在平面直角坐标系中，直线y＝3x+b经过点A（﹣1，0），与y轴正半轴交于B点，与反比例函数y＝（x＞0）交于点C，且BC＝2AB，BD∥x轴交反比例函数y＝（x＞0）于点D，连接AD．    （1）求b、k的值； （2）求△ABD的面积； （3）若E为射线BC上一点，设E的横坐标为m，过点E作EF∥BD，交反比例函数y＝（x＞0）的图象于点F，且EF＝BD，求m的值． 考点04 二次函数中的相似问题 25．如图，二次函数 的图象与x轴交于点A和点，以为边在x轴上方作正方形，动点P从点A出发，以每秒2个单位长度的速度沿x轴的正方向匀速运动，同时动点Q从点C出发，以每秒1个单位长度的速度沿匀速运动，设运动时间为t秒，连接，过点P作P的垂线与y轴交于点E．    (1)求二次函数的解析式及点A的坐标； (2)当点P在线段(点P不与A、O重合)上运动至何处时，的面积的最小值，并求出这个最小值； (3)在P，Q运动过程中，当时，求t的值； (4)在P，Q运动过程中，是否存在t，使 度，若存在请求出t的值，若不存在，请说明理由． 26．如图1，在直角坐标系中，O是坐标原点，点A在y轴正半轴上，二次函数y=ax2+x+c的图象F交x轴于B、C两点，交y轴于M点，其中B（﹣3，0），M（0，﹣1）．已知AM=BC． (1)求二次函数的解析式； (2)证明：在抛物线F上存在点D，使A、B、C、D四点连接而成的四边形恰好是平行四边形，并请求出直线BD的解析式； (3)在（2）的条件下，设直线l过D且l⊥BD，分别交直线BA、BC于不同的P、Q两点，AC、BD相交于N，求的值； 27．已知：二次函数y=ax2+bx+6（a≠0）与x轴交于A、B两点（点A在点B的左侧），点A、点B的横坐标是一元二次方程x2﹣4x﹣12=0的两个根． （1）请直接写出点A、点B的坐标． （2）请求出该二次函数表达式及对称轴和顶点坐标． （3）如图1，在二次函数对称轴上是否存在点P，使△APC的周长最小，若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由． （4）如图2，连接AC、BC，点Q是线段0B上一个动点（点Q不与点0、B重合）．过点Q作QD∥AC交BC于点D，设Q点坐标（m，0），当△CDQ面积S最大时，求m的值． 28．如图1，二次函数的图像记为，与y轴交于点A，其顶点为B，二次函数的图像记为，其顶点为D，图像、相交于点P，设点P的横坐标为m． （1）求证：点D在直线上； （2）求m和h的数量关系； （3）平行于x轴的直线经过点P，与图像交于另一点E，与图像交于另一点F，若，求h的值； （4）如图2，过点P作平行于的直线，与图像交于另一点Q，连接．当时，_________．（直接写出结果） 29．如图，二次函数的图象与轴交于、两点（在的左侧），交轴于点，点的坐标，． （1）求二次函数的解析式； （2）点是线段上的一个动点（不与点、点重合），过点作交轴于点，点是抛物线的对称轴与线段的交点，连接、．设的长为，的面积为．求与之间的函数关系式，并求出当最大时，点的坐标； （3）在（2）条件下，连接，把绕点沿逆时针方向旋转一定的角度，得到，其中边交坐标轴于点．在旋转过程中，是否存在一点，使得？若存在，请直接写出所有满足条件的点的坐标；若不存在，请说明理． 30．已知，如图二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象与y轴交于点C（0，4）与x轴交于点A、B，点B（4，0），抛物线的对称轴为x=1．直线AD交抛物线于点D（2，m）， （1）求二次函数的解析式并写出D点坐标； （2）点Q是线段AB上的一动点，过点Q作QE∥AD交BD于E，连结DQ，当△DQE的面积最大时，求点Q的坐标； （3）抛物线与y轴交于点C，直线AD与y轴交于点F，点M为抛物线对称轴上的动点，点N在x轴上，当四边形CMNF周长取最小值时，求出满足条件的点M和点N的坐标． 31．如图，二次函数y＝－x2＋nx＋n2－9（n为常数）的图像经过坐标原点和x轴上另一点A，顶点在第一象限． （1）求n的值和点A坐标； （2）已知一次函数y＝－2x＋b（b >0）分别交x轴、y轴于M、N两点．点P是二次函数图像的y轴右侧部分上的一个动点，若PN⊥NM于N点，且△PMN与△OMN相似，求点P坐标． 32．如图，二次函数y=x2+bx+c的图象与x轴交于A（3，0），B（﹣1，0），与y轴交于点C．若点P，Q同时从A点出发，都以每秒1个单位长度的速度分别沿AB，AC边运动，其中一点到达端点时，另一点也随之停止运动． （1）求该二次函数的解析式及点C的坐标； （2）当点P运动到B点时，点Q停止运动，这时，在x轴上是否存在点E，使得以A，E，Q为顶点的三角形为等腰三角形？若存在，请求出E点坐标；若不存在，请说明理由． （3）当P，Q运动到t秒时，△APQ沿PQ翻折，点A恰好落在抛物线上D点处，请判定此时四边形APDQ的形状，并求出D点坐标． （4）在AC段的抛物线上有一点R到直线AC的距离最大，请直接写出点R的坐标． 1 / 37 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题15 相似与函数综合题分类训练 （4种类型32道） 考点01 相似相关几何动点函数图像问题 考点02 一次函数中的相似问题 考点03 反比例函数中的相似问题 考点04 二次函数中的相似问题 考点01 相似相关几何动点函数图像问题 1．如图1，中，，，动点P沿按每秒1个单位长度运动，动点Q以相同的速度沿运动，P，Q两点同时运动，当点P运动到点B时，停止运动，点Q也停止运动，在运动过程中，连接，记，运动时间为t秒 (1)直接写出与t的函数关系，并注明自变量t的取值范围； (2)如图2，在给定的平面直角坐标系中画出的函数图像，并写出该函数的一条性质； (3)结合函数图像，若函数与的图像有两个交点，直接写出k的取值范围． 【答案】(1) (2)见解析；当时，随着的增大而减小，当时，随着的增大而增大（答案不唯一） (3) 【分析】（1）分2种情况讨论：①；②，利用相似三角形的性质与判定求出的长，即可解答； （2）描点连线作函数图像即可，再根据函数图像写出该函数的一条性质即可； （3）利用一次函数的性质得到函数经过定点，再求出函数分别经过点和时，对应的值，再结合图像即可确定k的取值范围． 【详解】（1）解：①当时，点P在上运动，点Q在上运动， ∴，， ∴，， ∴， 又∵， ∴， ∴，即 ∴ ∴； ②当时，点P在上运动，点Q在上运动， ∴，， 同理可得， ∴，即， ∴， ∴； ∴综上所述，与t的函数关系为； （2）解：如图，的函数图像即为所求： 由图像可知，当时，随着的增大而减小，当时，随着的增大而增大（答案不唯一）； （3）解：当时，， ∴函数经过定点， 当函数经过点时，，解得； 当函数经过点时，，解得； ∵函数与的图像有两个交点， ∴k的取值范围为． 【点睛】本题考查了一次函数与几何综合、相似三角形的性质与判定、画一次函数图像，熟练掌握相关知识点，运用数形结合的思想是解题的关键． 2．如图，中，，点是边的中点，动点从点出发，沿折线运动，当点到达点时停止运动，过点作直线的垂线，垂足为，设点的运动路程为，的长度为． (1)请直接写出关于的函数表达式，并注明自变量的取值范围； (2)在给定的平面直角坐标系中画出函数的图象，并写出函数的一条性质； (3)结合函数图像，直接写出时的取值范围．（近似值保留一位小数，误差不超过） 【答案】(1) (2)见解析；当时，y随x增大而增大，当时，y随x增大而减小； (3)或． 【分析】本题主要考查了相似三角形的性质与判定，直角三角形的性质，画一次函数图象，一次函数图象的性质，一次函数与不等式之间的关系，正确求出对应的函数关系式是解题的关键． （1）先由勾股定理得到，则由直角三角形的性质得到；当时，；当时，可证明得到，则；当时，可证明，得到，则，当时，；据此可得答案； （2）根据（1）所求画出对应的函数图象，再根据函数图象写出对应的函数的性质即可； （3）求出函数值为3时的自变量的值即可得到答案． 【详解】（1）解：∵在中，， ∴， ∵点是边的中点， ∴； 当时，； 当时，点E在上运动， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴，即， ∴； 当时，点E在上运动（不包括端点）， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，即， 解得， 当时，； 综上所述，； （2）解：如图所示，即为所求， 由函数图象可知，当时，y随x增大而增大，当时，y随x增大而减小； （3）解：在中，当时，， 在中，当时，， ∴当时的取值范围为或． 3．如图1．矩形中，交于点，动点沿按每秒2个单位长度运动，动点沿按每秒个单位长度运动，两点同时运动，当运动至点时，点也停止运动，在整个运动过程中，记，记点到点的距离为，设运动时间为秒． (1)直接写出和关于的函数关系，并注明自变量的取值范围； (2)如图2，在给定的直角坐标系中画出的函数图像，并写出该函数的一条性质； (3)根据所画出的函数图像，直接写出当．时，所对应的取值范围． 【答案】(1)， (2)作图见详解，当 时， 随的增大而增大； (3)当时， 【详解】（1）解：如图所示，四边形是矩形，， ∴，， ∴点从的运动时间为（秒），点从的运动时间为（秒），运动时间为秒， ∴当时，即点在上时，如图所示， ∴，； 当时，即点在上时，如图所示，过点作于点，且， ∴， ∵四边形是矩形， ∴，且， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴，； 综上所述， ，； （2）解：由（1）可得，作图如下， ∴当时，随的增大而增大； （3）解：根据题意，如图所示，函数、的图象， ∴， 解得，， ∴当时，． 4．如图，在中，，，，点是的中点，动点从点出发，沿折线运动，到达点停止运动，设点运动的路程为（），的面积为，请解答下列问题： (1)请直接写出与的函数关系式，并写出自变量的取值范围； (2)在平面直角坐标系中画出与的函数图像，并写出它的一条性质； (3)已知函数，当时，请直接写出自变量的取值范围． 【答案】(1) (2)画图见解析；性质：当时，随的增大而增大；当时，随的增大而减小（答案不唯一） (3) 【详解】（1）解：当点在上运动时，如图，过点作，垂足为， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵，，点是的中点， ∴， ∴， ∴， ∵点在点时，不构成， ∴当时，； 当点在上运动时，如图，过点作，垂足为，则， ∵点是的中点， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵底边上的高与底边上的高相等， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵点在点时，不构成， ∴当时，； 综上，与的函数关系式为； （2）解：∵ ∴时，连接，，原点为空心； 时，连接，，端点为空心， ∴与的函数图象如图所示： 性质：当时，随的增大而增大；当时，随的增大而减小； （3）解：当时，联立函数式得， 解得； 当时，联立函数式得， 解得； ∴与的函数图象及与的函数图象如下： 由图象可得，当时，． 5．如图1， 矩形 中， 交 于点O，动点P沿按每秒1个单位长度运动，动点Q 沿按每秒 个单位长度运动，P，Q两点同时运动，当P运动至点D时，点Q也停止运动，在整个运动过程中，记 记点Q到与的距离和为，设运动时间为x秒． (1)直接写出和关于x的函数关系，并注明自变量x的取值范围； (2)如图2，在给定的直角坐标系中画出的函数图像，并写出该函数的一条性质； (3)根据所画出的函数图像，直接写出当 时，所对应x的取值范围． 【答案】(1)； (2)见详解 (3) 【分析】本题考查的是矩形的性质，等腰三角形的性质，勾股定理，相似三角形的性质和判定，涉及到一次函数的图象和性质，函数作图，数形结合以及分类求解是解题的关键． （1）分两种情况：当时，当时，结合矩形的性质以及等腰三角形的性质，即可求解； （2）由函数表达式画出函数图象即可； （3）在图中画出直线，根据图象求解即可． 【详解】（1）解：∵四边形是矩形， ∴， ∴， ∴， 当点在上时，即，； 当点在上时，即， 过点作， 则， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴终上所述， ； 过点作交于点，过点作交于点，过点作交于点， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴； （2）解：由函数表达式画出函数图象如下： 从图象看，当时，y随x的增大而增大；当时，y随x的增大而减小； （3）解：在图中画出直线， 当时，或， 解得：或， 则直线与函数的交点的横坐标为：1.6或7， 当 时，所对应x的取值范围． 6．如图，在中，点D为中点，点P 从点 D出发，沿D→C→A方向以每秒1个单位的速度匀速运动到点A．设点P 的运动时间为x秒，的面积为y． (1)直接写出y与x的函数关系式，并注明x的取值范围； (2)画出y的函数图像，观察y的函数图像，并写出一条该函数的性质； (3)观察图像，直接写出函数与y只有一个交点时k的取值范围． 【答案】(1) (2)图象见解析，性质见解析 (3)或 【分析】（1）分点P在上和上分别讨论即可； （2）用描点法画出函数图象，然后根据图象写出一条性质即可； （3）由可知过定点，求出直线过点M，N时k的值，结合图象即可求解． 【详解】（1）∵，点D为中点， ∴，， 在中， ∵， ∴． ∵点P以每秒1的速度匀速运动到点A，运动时间为x秒， ∴点P运动的路程为x， ①当点P在上，即当时， ∵， ∴， ②当点P在上时，即当时， ， 过点P作于点E， ∵， ∴， ∴， ∴， 即， ∴， ∴， ∴y与x的函数关系式为：． （2）列表如下： x 0 3 8 y 0 6 0 函数图象如下： 答案不唯一，比如： ①当时，y随x的增大而增大， ②当时，y随x的增大而减小； （只要写出一条即可）； （3）过定点， 当直线过点时，，． 当直线过点时，，． 结合图象可知，当或时，函数与y只有一个交点． 【点睛】本题考查了等腰三角形的性质，勾股定理，相似三角形的判定与性质，画函数图象，分段函数，以及一次函数的交点问题，数形结合是解题的关键． 7．如图，在中，，，点D是的中点，动点E从A出发，沿着折线(含端点)运动，速度为每秒2个单位长度，到达C点停止运动，设点E的运动时间为t秒，点E到的距离为y． (1)求y关于t的函数关系式，并写出自变量的取值范围； (2)在直角坐标系中画出y关于t的函数图象，并写出它的一条性质： ； (3)根据函数图像写出当时t的取值范围． 【答案】(1) (2)图象见解析，性质：函数图像关于直线对称(答案不唯一)． (3) 【分析】（1）首先根据勾股定理求出，然后利用直角三角形的性质得到，然后分两种情况讨论，分别根据相似三角形的性质求解即可； （2）根据题意画出图象，然后由图象写出它的一条性质即可； （3）将代入解析式得到或，然后结合（2）中图象求解即可． 【详解】（1）∵在中，，， ∴ ∵点D是的中点， ∴ ∵动点E从A出发，沿着折线(含端点)运动，速度为每秒2个单位长度， 当点E在上时，此时， ∵， ∴ ∵ ∴ ∴，即 ∴； 如图所示，当点E在上时，此时， ∴ ∵， ∴， 又∵， ∴ ∴，即 ∴ 综上所述，y关于t的函数关系式为； （2）列表得： x 0 5 y 0 3 0 画图，如下图所示， ∴性质：函数图像关于直线对称(答案不唯一)． （3）∵当时，，解得； ，解得 ∴由（2）中图象可得，当时，． 【点睛】此题考查了动点问题的函数图象，一次函数的性质，勾股定理，直角三角形的斜边中线的性质，相似三角形的性质和判定等知识，解题的关键是掌握以上知识点． 8．如图1，在四边形中，，点从点出发以每秒1个单位的速度沿的方向运动，点以每秒个单位的速度沿运动，当点与点重合时同时停止运动，连接，记运动时间为秒，． (1)直接写出与之间的函数表达式，并写出自变量的取值范围； (2)在图2中画出的函数图像，并写出函数的一条性质； (3)结合画出的函数图像，直接写出时，的取值范围． 【答案】(1)， (2)图见详解；函数的性质：函数有最大值，最大值为10 (3) 【分析】本题是三角形综合题，考查了三角形的面积，函数图象等知识，解题的关键是理解题意，学会利用图象法解决问题． （1）由三角形的面积公式可求解； （2）根据题意画出图象，即可求解； （3）由函数图象可求解． 【详解】（1）解：过点作 ∵ ∴ ∵， ∴是矩形 ∴ ∵ ∴ ∴ 过点作 ∴ ∴ ∴ 由题意得：， ∴ 当时，； 当时，， 综上所述．； （2）函数图象如图所示： 函数的性质：函数有最大值，最大值为10； （3）当即 ，即 由图象可得： 时，， 故答案为：． 考点02 一次函数中的相似问题 9．如图，直线与轴交于点，与轴交于点B，点C在轴上点A的右边，，经过点C的直线与正比例函数的图象平行，直线与直线相交于点D，点P为直线上一动点． (1)求点D坐标； (2)若，请求出P点的坐标； (3)若在平面内存在一点Q，使得四点C、D、P、Q构成菱形，若存在，请直接写出点P横坐标的值，若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)或 (3)点的横坐标为或或 【详解】（1）解：∵直线与轴交于点，与轴交于点，将点的坐标代入得： ， 解得：， ∴， ∵点在轴上点的右边，， ∴，即， ∵经过点的直线与正比例函数的图象平行， 设直线的解析式为：， 代入，有： ， 解得：， ∴直线的解析式为：， 由直线与直线相交于点， 联立得：， 解得：， ∴； （2）解：当点在点的上方时，如图1， ∵， ∴， ∴， 过点作于点，过点作于点， ∴， ∴∽， ∴， ∵，， ∴，， ∴， ∴， ∵点在直线上， ∴， 解得：， ∴； 当点在点的下方时，如图2， ∵， ∴， ∴， 过点作于点，过点作于点， ∴， ∴∽， ∴， ∵，， ∴，， ∴， ∴， ∵点在直线上， ∴， 解得：， ∴； 综上所述，点的坐标为或； （3）解：存在，证明如下： 设，，由，， 当为对角线时，根据菱形的性质，得， ∴， 解得：； 当为边时，根据菱形的性质，得， ∴， 解得：； 综上所述，点的横坐标为或或． 10．如图，在平面直角坐标系中，O是坐标原点，一次函数的图象与y轴交于点A，与x轴交于点，与正比例函数交于点C，点C的坐标为．    (1)求一次函数的表达式． (2)如图1，点P为直线上一动点，若，求点P的坐标． (3)如图2，点H为线段上一动点，连接，将沿直线翻折得到，线段交x轴于点E． ①当点落在y轴上时，求点的坐标． ②若为直角三角形，直接写出点H的坐标． 【答案】(1)； (2)或； (3)①；②或． 【分析】（1）用待定系数法即可求解； （2）由，得到，即可求解； （3）①由得：，即可求解； ②当时，则，则点，则，即可求解；当时，同理可解． 【详解】（1）解：将点C的坐标代入得：， 即点， ∴一次函数的表达式为：， 将点B的坐标代入上式得：， 解得：， ∴一次函数的表达式为：； （2）当点P在延长线上时， 由一次函数的表达式知，点，过点P作轴交于点H，    设点，则点， ∵， ∴， 即， 解得：， ∴点P的坐标为：； 当点P在线段上时，同理可得：点P的坐标为：； 综上，点P的坐标为：或； （3）①设点的坐标为：， ∵， ∴， 解得：， ∴点的坐标为：； ②由①知，，设， 当时， ∴，则点， ∴，即， 解得：（舍去）或6， ∴点； 当时， ∴，， 由题意得：， ∴，即， 解得：， ∴点H的坐标为：； 综上，点H的坐标为：或． 【点睛】本题是一次函数综合题，主要考查了一次函数的性质、三角形相似、图形的翻折、面积的计算等，其中（3），要注意分类求解，避免遗漏． 11．已知，如图：直线AB：y＝﹣3x+3与两坐标轴交于A，B两点．    （1）过点O作OC⊥AB于点C，求OC的长； （2）将△AOB沿AB翻折到△ABD，点O与点D对应，求直线BD的解析式； （3）在（2）的条件下，正比例函数y＝kx与直线BD交于P，直线AB交于Q，若OP＝3OQ，求正比例函数的解析式． 【答案】（1）；（2）y＝3x﹣3；（3） 【分析】（1）首先求出A、B两点的坐标得出OA＝3，OB＝1，据此利用勾股定理求出AB的长，最后通过三角形等面积法进一步求解即可； （2）连接OD，过点D作DH⊥x轴于H，根据题意证明△AOB~△OHD，然后利用相似三角形性质求出D点坐标，最后利用待定系数法求解析式即可； （3）过点P作PM⊥x轴于M，点Q作QN⊥x轴于N，根据题意求得OM＝，ON＝，结合OP＝3OQ进一步分析求出k＝，据此即可得出相应的解析式. 【详解】（1）∵直线AB解析式为y＝﹣3x+3， ∴A（0，3），B（1，0）， ∴OA＝3，OB＝1， ∴AB＝， ∵△AOB的面积＝OA×OB＝AB×OC， ∴OC＝； （2）连接OD，过点D作DH⊥x轴于H，    ∵点O与点D关于AB对称， ∴AB垂直平分OD，由（1）OC＝， ∴OD＝2OC＝， 易得：△AOB~△OCB，△OCB~△OHD， ∴△AOB~△OHD， ∴， ∴DH＝，OH＝， ∴D（，）． 设直线BD解析式为y＝kx+b， ∵B（1，0），D（，）， ∴，且， 解得：，， ∴直线BD解析式为y＝3x﹣3． （3）如图，过点P作PM⊥x轴于M，点Q作QN⊥x轴于N．    ∵正比例函数y＝kx与直线BD交于P， ∴kx＝3x﹣3，解得x＝， ∴OM＝， ∵正比例函数y＝kx与直线AB交于Q， ∴kx＝﹣3x+3，解得x＝ ∴ON＝， ∵OP＝3OQ， ∴ON＝3OM， ∴＝3×，解得k＝， ∴正比例函数的解析式为． 【点睛】本题主要考查了勾股定理和相似三角形性质与判定及一次函数性质的综合运用，熟练掌握相关概念是解题关键. 12．如图，四边形OABC为矩形，OA=4，OC=5，正比例函数y=2x的图像交AB于点D，连接DC，动点Q从D点出发沿DC向终点C运动，动点P从C点出发沿CO向终点O运动．两点同时出发，速度均为每秒1个单位，设从出发起运动了t s． （1）求点D的坐标； （2）若PQ∥OD，求此时t的值？ （3）是否存在时刻某个t，使S△DOP=S△PCQ？若存在，请求出t的值，若不存在，请说明理由； （4）当t为何值时，△DPQ是以DQ为腰的等腰三角形? 【答案】（1）D（2，4）；（2）；（3）存在，t的值为2 ；（4）当或或时，△DPQ是一个以DQ为腰的等腰三角形 【分析】（1）由题意得出点D的纵坐标为4，求出y=2x中y=4时x的值即可得； （2）由PQ∥OD证△CPQ∽△COD，得，即，解之可得； （3）分别过点Q、D作QE⊥OC，DF⊥OC交OC与点E、F，对于直线y=2x，令y=4求出x的值，确定出D坐标，进而求出BD，BC的长，利用勾股定理求出CD的长，利用两对角相等的三角形相似得到三角形CQE与三角形CDF相似，由相似得比例表示出QE，由底PC，高QE表示出三角形PQC面积，再表示出三角形ODP面积，依据S△DOP=S△PCQ列出关于t的方程，解之可得； （4）由三角形CQE与三角形CDF相似，利用相似得比例表示出CE，PE，进而利用勾股定理表示出PQ2，DP2，以及DQ，分两种情况考虑：①当DQ=DP；②当DQ=PQ，求出t的值即可． 【详解】解：（1）∵OA=4 ∴把代入得 ∴D（2，4）． （2）在矩形OABC中，OA=4，OC=5 ∴AB=OC=5，BC=OA=4 ∴BD=3，DC=5 由题意知：DQ=PC=t ∴OP=CQ=5t ∵PQ∥OD ∴    ∴ ∴ ． （3）分别过点Q、D作QE⊥OC， DF⊥OC交OC与点E、F 则DF=OA=4 ∴DF∥QE ∴△CQE ∽△CDF ∴ ∴ ∴   ∵ S△DOP=S△PCQ ∴   ∴，   当t=5时，点P与点O重合，不构成三角形，应舍去 ∴t的值为2． （4）∵△CQE ∽△CDF ∴ ∴ ∴                     ①当时，， 解之得：   ②当时， 解之得： 答：当或或时，△DPQ是一个以DQ为腰的等腰三角形． 【点睛】此题属于一次函数的综合问题，涉及的知识有：坐标与图形性质，相似三角形的判定与性质，勾股定理，以及等腰三角形的性质，熟练掌握相似三角形的判定与性质以及勾股定理是解本题的关键． 13．如图，一次函数y＝﹣x+7的图象与正比例函数y＝x的图象交于点A，点P（t，0）是x正半轴上的一个动点． （1）点A的坐标为（　 　，　 　）； （2）如图1，连接PA，若△AOP是等腰三角形，求点P的坐标： （3）如图2，过点P作x轴的垂线，分别交y＝x和y＝﹣x+7的图象于点B，C．是否存在正实数，使得BC＝OA，若存在求出t的值；若不存在，请说明理由．    【答案】（1）（4，3）；（2）P（5，0）或（8，0）或（，0）；（3）t＝． 【分析】（1）解方程组即可得到结论； （2）根据勾股定理得到OA＝＝5，当OP＝OA＝5时，△AOP是等腰三角形，当AP＝OA＝5时，△AOP是等腰三角形，当OP＝PA时，△AOP是等腰三角形，于是得到结论； （3）由P（t，0），得到B（t，t），C（t，﹣t+7），根据BC＝OA，解方程即可得到结论． 【详解】解：（1）解得， ∴点A的坐标为（4，3）， 故答案为：（4，3）； （2）∵A（4，3）， ∴OA＝＝5， 当OP＝OA＝5时，△AOP是等腰三角形， ∴P（5，0）， 当AP＝OA＝5时，△AOP是等腰三角形， 则OP＝8， ∴P（8，0）； 当OP＝PA时，△AOP是等腰三角形， 则点P在OA的垂直平分线上， 如图1，设OA的垂直平分线交OA于H， ∴OH＝OA＝， 过A作AG⊥x轴于G， ∴△OPH∽△OAG， ∴， ∴， ∴OP＝， ∴P（，0）， 综上所述，P（5，0）或（8，0）或（，0）； （3）∵P（t，0）， ∴B（t，t），C（t，﹣t+7）， ∵BC＝OA， ∴﹣t+7﹣t＝×5或t+t﹣7＝×5， 解得：t＝﹣或t＝， ∵t＞0， ∴t＝．    【点睛】本题考查了一次函数的综合题，解方程组求点的坐标，等腰三角形的性质，相似三角形的判定和性质，正确的识别图形是解题的关键． 14．已知：如图1，一次函数y=mx+5m的图象与x轴、y轴分别交于点A、B，与函数y=-x的图象交于点C，点C的横坐标为-3． （1）求点B的坐标； （2）若点Q为直线OC上一点，且S△QAC=3S△AOC，求点Q的坐标； （3）如图2，点D为线段OA上一点，∠ACD=∠AOC．点P为x轴负半轴上一点，且点P到直线CD和直线CO的距离相等． ①在图2中，只利用圆规作图找到点P的位置；（保留作图痕迹，不得在图2中作无关元素．） ②求点P的坐标． 【答案】（1） B（0，5）；（2） Q（-12，8）或（6，-4）．（3）作图见解析；P1（-5-2，0），P2（-5+2，0）． 【详解】试题分析：（1）把点C的横坐标代入正比例函数解析式，求得点C的纵坐标，然后把点C的坐标代入一次函数解析式即可求得m的值，则易求点B的坐标； （2）由S△QAC=3S△AOC得到点Q到x轴的距离是点C到x轴距离的3倍或点Q到x轴的距离是点C到x轴距离的2倍； （3）①如图2，以点A为圆心，AC长为半径画弧，该弧与x轴的交点即为P； ②如图3，作P1F⊥CD于F，P1E⊥OC于E，作P2H⊥CD于H，P2G⊥OC于G．利用△CAO∽△DAC，求出AD的长，进而求出D点坐标，再用待定系数法求出CD解析式，利用点到直线的距离公式求出公式，，解出a的值即可． 试题解析：（1）把x=-3代入y=-x得到：y=2．则C（-3，2）． 将其代入y=mx+5m，得 2=-3m+5m， 解得 m=1． 则该直线方程为：y=x+5． 令x=0，则y=5， 即B（0，5）； （2）由（1）知，C（-3，2）． 如图1，设Q（a，-a）． ∵S△QAC=3S△AOC， ∴S△QAO=4S△AOC，或S△Q′AO=2S△AOC， ①当S△QAO=4S△AOC时， OA•yQ=4×OA•yC， ∴yQ=4yC，即|-a|=4×2=8， 解得 a=-12或6， ∴Q（-12，8）或（6，-4）． ②当S△Q′AO=2S△AOC时， OA•yQ=2×OA•yC， ∴yQ=2yC，即|-a|=2×2=4， 解得 a=6（舍去负值）， ∴Q′（6，-4）； （3）①如图2，以点A为圆心，AC长为半径画弧，该弧与x轴的交点即为P； ②如图3，作P1F⊥CD于F，P1E⊥OC于E，作P2H⊥CD于H，P2G⊥OC于G． ∵C（-3，2），A（-5，0）， ∴AC=， ∵∠ACD=∠AOC，∠CAO=∠DAC， ∴△CAO∽△DAC， ∴， ∴AD=， ∴OD=5-=， 则D（-，0）． 设CD解析式为y=kx+b， 把C（-3，2），D（-，0）分别代入解析式得， 解得， 函数解析式为y=5x+17， 设P点坐标为（a，0）， 根据点到直线的距离公式，， 两边平方得，（5a+17）2=2×4a2， 解得a=-5±2， ∴P1（-5-2，0），P2（-5+2，0）． 考点：一次函数综合题． 15．如图，一次函数的图像与轴、轴分别相交于点 、．二次函数的图像与轴的正半轴相交于点，与这个一次函数的图像相交于点、，． （1）求点的坐标； （2）如果，求这个二次函数的解析式． 【答案】（1）点的坐标（0，3）（2） 【分析】（1）先求出A点坐标为（-1，0），B点坐标为（0，1），则OA=1，OB=1，AB=，再根据正弦的定义得sin∠ACB=，而AC=，则OA=，然后根据勾股定理可计算出OC=3，从而确定点C的坐标为（0，3）； （2）分类讨论：当点D在AB延长线上时，如图1，过点D作DE⊥y轴，垂足为E，由于∠CDB=∠ACB，∠BAC=∠CAD，根据相似的判定得△ABC∽△ACD，则AD：AC=AC：AB，即AD：：，可计算出AD=5，易得ADE为等腰直角三角形，则DE=AE=AD=×5=5，OE=4，得到点D的坐标为（4，5），然后设一般式，利用待点系数法求过A（-1，0）、C（0，3）、D（4，5）的二次函数的解析式；当点D在射线BA上，如图2，过点D作DE⊥y轴，垂足为E，与前面的解法相同． 【详解】（1）（，0），， 在Rt△中，∵，， ∴，∴点的坐标（0，3）． （2）当点在延长线上时， ∵（0，1）， ∴， ∴， ∵，， ∴△∽△． ∴， ∴， ∴． 过点作⊥轴，垂足为， ∵//， ∴， ∴． ∴， ∴点的坐标为（4，5）． 设二次函数的解析式为，∴ ∴ ∴二次函数解析式为． 当点在射线上时，同理可求得点， 二次函数解析式为． 过点作于，当点在延长线上或点在射线上时，可用锐 角三角比等方法得，． 16．如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与x轴交于点A，与y轴交于点，与直线OC交于点． (1)求直线AB的函数表达式； (2)过点C作轴于点D，将沿射线CB平移得到的三角形记为，点A，C，D的对应点分别为，，，若与重叠部分的面积为S，平移的距离，当点与点B重合时停止运动． ①若直线交直线OC于点E，则线段的长为________（用含有m的代数式表示）； ②当时，S与m的关系式为________； ③当时，m的值为________． 【答案】(1)y＝﹣x+9； (2)①m；②m2；③或15﹣2． 【分析】（1）将点B（0，9），C（8，3）的坐标代入直线解析式，求解即可； （2）①过点C作CF⊥C′D′，易得△CFC′∽△AOB，可用m表达CF和C′F的长度，进而可表达点C′，D′的坐标，由点C的坐标可得出直线OC的解析式，代入可得点E的坐标； ②根据题意可知，当0＜m＜时，点D′未到直线OC，利用三角形面积公式可得出本题结果； ③分情况讨论，分别求出当0＜m＜时，当＜m＜5时，当5＜m＜10时，当10＜m＜15时，S与m的关系式，分别令S＝，建立方程，求出m即可． 【详解】（1）解：将点B（0，9），C（8，3）的坐标代入直线y＝kx+b， ∴， 解得． ∴直线AB的函数表达式为：y＝﹣x+9； （2）①由（1）知直线AB的函数表达式为：y＝﹣x+9， 令y＝0，则x＝12， ∴A（12，0）， ∴OA＝12，OB＝9， ∴AB＝15； 如图1，过点C作CF⊥C′D′于点F， ∴CF∥OA， ∴∠OAB＝∠FCC′， ∵∠C′FC＝∠BOA＝90°， ∴△CFC′∽△AOB， ∴OB：OA：AB＝C′F：CF：CC′＝9：12：15， ∵CC′＝m， ∴CF＝m，C′F＝m， ∴C′（8﹣m，3+m），A′（12﹣m，m），D′（8﹣m，m）， ∵C（8，3）， ∴直线OC的解析式为：y＝x， ∴E（8﹣m，3﹣m）. ∴C′E＝3+m﹣（3﹣m）＝m． 故答案为：m． ②当点D′落在直线OC上时，有m＝（8﹣m）， 解得m＝ ， ∴当0＜m＜时，点D′未到直线OC， 此时S＝C′E•CF＝•m•m＝m2； 故答案为：m2． ③分情况讨论， 当0＜m＜时，由②可知，S＝m2； 令S＝m2＝ ，解得m＝＞（舍）或m＝﹣（舍）； 当≤m＜5时，如图2， 设线段A′D′与直线OC交于点M， ∴M（m，m）， ∴D′E＝m﹣（3﹣m）＝m﹣3， D′M＝m﹣（8﹣m）＝m﹣8； ∴S＝m2﹣•（m﹣3）•（m﹣8） ＝﹣m2+m﹣12， 令﹣m2+m﹣12＝； 整理得，3m2﹣30m+70＝0， 解得m＝ 或m＝＞5（舍）； 当5≤m＜10时，如图3， S＝S△A′C′D′＝×4×3＝6≠，不符合题意； 当10≤m＜15时，如图4， 此时A′B＝15﹣m， ∴BN＝（15﹣m），A′N＝（15﹣m）， ∴S＝•（15﹣m）•（15﹣m）＝（15﹣m）2， 令（15﹣m）2＝，解得m＝15+2＞15（舍）或m＝15﹣2． 故答案为：或15﹣2． 【点睛】本题属于一次函数综合题，涉及待定系数法求函数解析式、三角形的面积、相似三角形的性质与判定、一元二次方程、分类讨论思想等知识，根据△A′C′D′的运动，进行正确的分类讨论是解题关键． 考点03 反比例函数中的相似问题 17．如图，在平面直角坐标系中，反比例函数与正比例函数的图象交点的横坐标为8，过点分别作轴于点，交轴于点． (1)求的值； (2)求点的坐标； (3)点以每秒1个单位长度的速度沿路线向终点匀速运动，连接，将绕点顺时针旋转得到（点为点的对应点），旋转角等于，过点作于点，设点的运动时间为秒（）． ①当点在线段上运动时，求证：； ②当点落在轴上时，请在备用图中画出图形并求出此时的值； ③作的中线，当线段与线段有交点时，请直接写出的取值范围． 【答案】(1) (2) (3)①见详解；②；③ 【分析】（1）先将代入，求得，再将代入中，即可求得． （2）先根据勾股定理求得，再证明，根据相似三角形的对应边成比例求出，则可得． （3）①根据旋转的性质可得，，再根据证明，即可得； ②证明，根据相似三角形的对应边成比例即可求得； ③当N点在上时，延长交x轴于E点，先证，，根据相似三角形的性质求得，，，进而可得，由可得．当Q点在上时，由可得 ．过M点作于F点，则可得，再利用待定系数法求出直线的表达式为，则可得，进而可得．利用两点之间距离公式求得，进而可得，即，由此可得t的范围为． 【详解】（1）解：将代入，得， ∴， 将代入中，得． （2）解：，轴， ，， ， 轴，， ，且， ， ， ， ， 解得， ． （3）解：①∵，轴， ， 由题知， ， 由旋转可得， ， ． ②如图，当N点落在x轴上时， ∵轴， ∴轴， ， ， ， ， ， ， ， 解得． ③（ⅰ）如图，当N点在上时，延长交x轴于E点， ，， ， ∴，， ∵中，，， ， ∵是上的中线， ∴， ∵， ， ∴， 解得，， ， ∵， ∴， ∴， 解得， ∴， ∵， ∴． （ⅱ）如图，当Q点在上时， ，， ∴， ∴， ∴， ∴， 过M点作于F点， 则， ∵， ∴， 即， 又∵， ∴， ∴， 设直线的表达式为， 则， 解得，， ∴直线的表达式为， ∴， 由，得， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴当线段与线段有交点时， 的取值范围为． 【点睛】本题考查了旋转的性质，全等三角形的判定和性质，一次函数与反比例函数交点问题，相似三角形的判定和性质，以及直角三角形的性质．综合性强，难度较大．熟练掌握以上知识，正确的作出图形是解题的关键． 18．如图1，一次函数的图象与反比例函数的图象交于点，与轴交于点． (1)求该一次函数的解析式； (2)在轴上有一点，直线与反比例函数图象交于点，连接．求的面积； (3)如图2，以线段为对角线作正方形，点是线段上的一动点，点是线段上的一动点，连接、，使，当点运动到的三等分点时，求点的坐标． 【答案】(1) (2) (3)或 【分析】本题考查的是反比例函数综合运用，涉及正方形的性质、一次函数的性质、三角形相似，确定直线间的关系是解题的关键． （1）根据点在函数图象上，求出点，再根据待定系数法求出一次函数的解析式； （2）设直线交轴于点，设直线的解析式为：，利用待定系数法求出直线的解析式，推出点的坐标，联立方程，即可； （3）根据两点间的距离公式，求出，根据勾股定理求出点的坐标，根据正方形的性质，中点坐标公式，求出点的坐标，过点，分别作轴的垂线，垂足分别为，，根据相似三角形的判定和性质，则，得，求出，求出点的坐标，过点作；根据中点坐标公式，求出的坐标为或，根据待定系数法求出的直线解析式，得到的解析式，联立直线的解析式，即可． 【详解】（1）解：反比例函数的图象交于点， ∴点， ∵一次函数的图象交于点，与轴交于点， ∴， 解得， ∴一次函数的解析式为：． （2）解：设直线交轴于点，设直线的解析式为：， ∵点，， ∴， ∴， ∴， ∴点， ∴联立和， ∴， 解得：，， ∵点在第一象限， ∴， ∴点的坐标为， ∴， ∴． （3）解：∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴点， 在正方形中，的中点即为的中点， ∴的中点坐标为， ∴， ∴， ∴点； 过点，分别作轴的垂线，垂足分别为，， ∴，， ∴， 当， ∴， ∴， 即点的纵坐标为，同理可得，点的横坐标为， ∴点； 当时，同理可得点， 即点的坐标为或， 过点作， ∴，， ∵， ∴， ∴点是的中点， ∴的坐标为或， 设直线的解析式为：， ∴， ∴， ∴设直线的解析式为：， ∵， ∴的解析式为：或， ∴分别将上述两式和的表达式联立得：， 解得：或， ∴点的坐标为或． 19．如图，反比例函数的图象经过斜边的中点P，与交于点Q，连接，点A的坐标为． (1)求反比例函数的表达式； (2)证明：． 【答案】(1) (2)见解析 【分析】本题考查了用待定系数法求函数解析式，相似三角形的判定． （1）先由点A的坐标为，根据中点的性质得出点P的坐标，根据反比例函数的性质得出k值，即可得反比例函数的表达式； （2）先根据题意得出Q的坐标，再得各线段长，进而得，再由即可证． 【详解】（1）解：点A的坐标为，P是的中点， ， 反比例函数经过点， ， 反比例函数的表达式为； （2）证明：当时，， 解得：， ， ∵， ，，， ，， ， 又， ． 20．如图1，在平面直角坐标系中，四边形是菱形，轴． (1)若菱形边长为5，对角线． ①若点，反比例函数的图像经过点B．求该反比例函数的表达式，并判断点A是否在这个反比例函数图像上； ②是否存在点，使得反比例函数的图像同时经过点A、B？若存在，求a、b满足的关系式；若不存在，说明理由． (2)如图2，菱形的顶点A，B和边的中点E在反比例函数图像上，顶点C、D在反比例函数图像上，边与y轴的交点为F， ①求的值； ②若，则菱形的面积为 ． 【答案】(1)①，不在；②存在， (2)①，② 【分析】（1）①连接交于，交轴于，根据菱形的性质先求出，，再根据将向下平移4个单位，再向左平移3个单位即可得到B点，可得，问题得解；②同理有将向下平移4个单位，再向左平移3个单位即可得到B点，即，问题随之得解； （2）①如图，连接交于，交轴于，设，，可得，结合为的中点，可得，可得：，可得，解得，由，可得，②再结合，可得：，，再利用菱形的面积公式计算即可． 【详解】（1）①连接交于，交轴于，如图， ∵菱形边长为5，对角线， ∴，，， ∴， ∵，且将向下平移4个单位，再向左平移3个单位即可得到B点， ∴， ∵反比例函数的图像经过点B， ∴，即， ∴反比例函数解析式为：， ∵， ∴不在反比例函数的图像上； ②存在，理由如下： ∵，， ∴将向下平移4个单位，再向左平移3个单位即可得到B点， ∴， ∵反比例函数的图像同时经过点A、B， ∴，， ∴， 整理有：； （2）①如图，连接交于，交轴于， ∵菱形， ∴，，，， 设，，即有， ∴，，即有， 则， ∴，即， ∴， ∵为的中点， ∴ ∴， 整理得：， ∴， ∴， ∴， 解得：（舍去），， ∵， ∴， 即， ②根据， ∵， 解得：，， ∴菱形的面积为： ； 故答案为：， 【点睛】本题考查的是菱形的性质，反比例函数的几何应用，一元二次方程的解法，平行线分线段成比例的应用，本题难度大，计算量大，作出合适的辅助线是解本题的关键． 21．如图，一次函数与反比例函数的图像交于点和点，与y轴，x轴分别交于C，D两点， (1)求一次函数和反比例函数的表达式； (2)点E为反比例函数（x>0）上一点（不与点A，B重合），过点E作轴，垂足为点F，当时，求点E坐标． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）先根据点点求得k确定反比例函数解析式，然后再根据、利用待定系数法求得一次函数解析式即可； （2）设点，则点，由点可得、，再根据相似三角形的性质列方程求得t即可解答． 【详解】（1）解：∵反比例函数过点 ∴且 将，带入直线 得：， 故一次函数为：． （2）解：设点，则点，点 则， 当时 即：，解得：，（舍去） ∴点． 【点睛】本题主要考查了一次函数和反比例函数的结合、相似三角形的性质等知识点，根据相似三角形的性质列出参数方程成为解答本题的关键． 22．如图，A为反比例函数（其中）图像上的一点，在x轴正半轴有一点B，．连接，且． (1)求k的值； (2)过点B作，交反比例函数（其中）的图像于点C，连接交于点D，求的值． 【答案】(1)8； (2)． 【分析】（1）过点A作轴，垂足为点H，交于点M，利用等腰三角形的性质可得出的长，利用勾股定理可得出的长，进而可得出点A的坐标，再利用反比例函数图像上点的坐标特征即可求出k值； （2）由的长，利用反比例函数图像上点的坐标特征可得出的长，利用三角形中位线定理可求出的长，进而可得出的长，由可得出，利用相似三角形的性质即可求出的值． 【详解】（1）解：如图:过点A作轴，垂足为点H，交于点M， ∵， ∴， ∴， ∴点A的坐标为． ∵A为反比例函数图像上的一点， ∴． （2）解:∵轴，，点C在反比例函数上， ∴． ∵， ∴， ∴． ∵， ∴， ∴． 【点睛】本题属于反比例函数综合题，主要考查了反比例函数图像上点的坐标特征、等腰三角形的性质、勾股定理、相似三角形的判定与性质等知识点，掌握等腰三角形的性质和相似三角形的性质是解答本题的关键． 23．如图，在平面直角坐标系中，矩形OABC的顶点B的坐标为（4，2），OA，OC分别在x轴和y轴正半轴上，连接OB．将△OAB绕点O逆时针旋转，得到△ODE，点A的对应点为点D，点B的对应点为点E，且点E在y轴正半轴上，OD与CB相交于点F，反比例函数y（x＞0）的图象经过点F，交AB于点G． （1）点F的坐标为 　 　；k＝　 　； （2）连接FG，求证：△OCF∽△FBG； （3）点M在直线OD上，点N是平面内一点，当四边形GFMN是正方形时，请直接写出点M的坐标． 【答案】（1）（1，2）；2；（2）见解析；（3）点M的坐标为（，5）或（，-1） 【分析】（1）根据四边形OABC是矩形，B点坐标为（4，2），得到OC=AB=2，BC=OA=4，∠OAB=∠OCB=90°，由旋转的性质可得，∠D=∠OAB=∠OCF=90°，DE=AB=2，OD=OA=4，然后证明△COF∽△DOE，得到，即可得到F点坐标，把F点坐标代入反比例函数解析式即可求出k的值； （2）由（1）得到反比例函数解析式，先求出BF的长，然后求出G点坐标从而得到BG的长，然后证明，再由∠OCF=∠FBG=90°，即可证明△OCF∽△FBG； （3）先求出直线OF的解析式为，设M的坐标为（m，2m），根据两点距离公式求出，再由正方形的性质得到，则，由此求解即可． 【详解】解：（1）∵四边形OABC是矩形，B点坐标为（4，2）， ∴OC=AB=2，BC=OA=4，∠OAB=∠OCB=90°， 由旋转的性质可得，∠D=∠OAB=∠OCF=90°，DE=AB=2，OD=OA=4， 又∵∠COF=∠DOE， ∴△COF∽△DOE， ∴， ∴， ∴F点的坐标为（1，2）， ∵点F在反比例函数上， ∴， ∴， 故答案为：（1，2）；2； （2）由（1）得反比例函数解析式为， ∵CF=1，BC=4， ∴BF=BC-CF=3， ∵G在AB上，且G在反比例函数的函数图像上， ∴点G的坐标为（4，）， ∴， ∴， 又∵四边形OABC是矩形， ∴∠OCF=∠FBG=90°， ∴△OCF∽△FBG； （3）设直线OF的解析式为， ∴， ∴直线OF的解析式为， 设M的坐标为（m，2m）， ∵F坐标为（1，2），G点坐标为（4，）， ∴， ∵四边形GFMN是正方形， ∴， ∴， 解得或， ∴点M的坐标为（，5）或（，-1）． 【点睛】本题主要考查了矩形的性质，相似三角形的性质与判定，旋转的性质，两点距离公式，坐标与图形，正方形的性质，一次函数与几何综合等等，解题的关键在于能够熟练掌握相似三角形的性质与判定条件． 24．如图，在平面直角坐标系中，直线y＝3x+b经过点A（﹣1，0），与y轴正半轴交于B点，与反比例函数y＝（x＞0）交于点C，且BC＝2AB，BD∥x轴交反比例函数y＝（x＞0）于点D，连接AD．    （1）求b、k的值； （2）求△ABD的面积； （3）若E为射线BC上一点，设E的横坐标为m，过点E作EF∥BD，交反比例函数y＝（x＞0）的图象于点F，且EF＝BD，求m的值． 【答案】（1）b＝3，k＝18；（2）9；（3）m的值为1或 【分析】（1）作CH⊥y轴于点H，把点A坐标代入直线解析式中求出b，求出点B坐标，再用相似三角形的性质求出CH、BH，求出点C坐标，即可求出k； （2）先求出点D坐标，求出BD，根据三角形的面积公式计算，得到答案； （3）先求出EF=2，设出点E坐标，分0＜m＜2、m＞2两种情况，表示出点F坐标，根据反比例函数图象上点的坐标特征建立方程求解，即可得出结论． 【详解】解：（1）作CH⊥y轴于点H，    ∵直线y＝3x+b经过点A（﹣1，0）， ∴﹣1×3+b＝0， 解得，b＝3， 对于直线y＝3x+3，当x＝0时，x＝3， ∴点B的坐标为（0，3），即OB＝3， ∵CH∥OA， ∴△AOB∽△CHB， ∴，即， 解得，CH＝2，BH＝6， ∴OH＝OB+BH＝9， ∴点C的坐标为（2，9）， ∴k＝2×9＝18； （2）∵BD∥x轴， ∴点D的纵坐标为3， ∴点D的横坐标为＝6，即BD＝6， ∴△ABD的面积＝×6×3＝9； （3）EF＝BD＝×6＝2， 设E（m，3m+3）， 当0＜m＜2时，点F的坐标为（m+2，3m+3）， ∵点F在反比例函数y＝上， ∴（m+2）（3m+3）＝18， 解得，m1＝﹣4（舍去），m2＝1， 当m＞2时，点F的坐标为（m﹣2，3m+3）， ∵点F在反比例函数y＝上， ∴（m﹣2）（3m+3）＝18， 解得，m3＝（舍去），m4＝， 综上所述，m的值为1或． 【点睛】本题考查的是反比例函数知识的综合运用，主要考查了待定系数法求函数解析式、三角形的面积公式、相似三角形的判定和性质，用方程的思想解决问题是解本题的关键． 考点04 二次函数中的相似问题 25．如图，二次函数 的图象与x轴交于点A和点，以为边在x轴上方作正方形，动点P从点A出发，以每秒2个单位长度的速度沿x轴的正方向匀速运动，同时动点Q从点C出发，以每秒1个单位长度的速度沿匀速运动，设运动时间为t秒，连接，过点P作P的垂线与y轴交于点E．    (1)求二次函数的解析式及点A的坐标； (2)当点P在线段(点P不与A、O重合)上运动至何处时，的面积的最小值，并求出这个最小值； (3)在P，Q运动过程中，当时，求t的值； (4)在P，Q运动过程中，是否存在t，使 度，若存在请求出t的值，若不存在，请说明理由． 【答案】(1), (2)点P运动至线段的中点时， 的面积的有最小值 (3) (4)存在，使得度 【分析】（1）将代入即可求解； （2）由题意得当最大时，点到线段的距离最小，此时的面积的最小；设，证即可求解； （3）由（2）得，结合得，可推出，即可求解； （4）延长至点，使得，连接，证得，再证得即可求解． 【详解】（1）解：将代入得：， ∴ ∴ 令，即：， 解得： ∴； （2）解：∵为定值， ∴当最大时，点到线段的距离最小，此时的面积最小 ∵ ∴ ∵ ∴ ∴ 设， ∵ ∴ 得：, ∵ ∴当时， 即：，此时点P运动至线段的中点时，， ∴点到线段的距离，的面积的最小值为：； （3）解：由（2）得：， ∴ ∵， ∴ ∴ ∵ ∴ 解得：； （4）解：如图所示：    延长至点，使得，连接， ∵， ∴ ∴ ∵ ∴ ∴ ∴ ∴ ∵ ∴ ∴ 解得：（舍） 【点睛】本题综合考查了二次函数的解析式求解、相似三角形的判定与性质、全等三角形的常见模型等知识点，综合性较强，需要学生具备扎实的函数和几何基础． 26．如图1，在直角坐标系中，O是坐标原点，点A在y轴正半轴上，二次函数y=ax2+x+c的图象F交x轴于B、C两点，交y轴于M点，其中B（﹣3，0），M（0，﹣1）．已知AM=BC． (1)求二次函数的解析式； (2)证明：在抛物线F上存在点D，使A、B、C、D四点连接而成的四边形恰好是平行四边形，并请求出直线BD的解析式； (3)在（2）的条件下，设直线l过D且l⊥BD，分别交直线BA、BC于不同的P、Q两点，AC、BD相交于N，求的值； 【答案】(1)y=x2+x-1 (2)证明见解析，y=x+ (3) 【分析】（1）利用待定系数法求出二次函数的解析式； （2）首先求出D点的坐标，可得AD=BC且AD∥BC，所以四边形ABCD是平行四边形；再根据B、D点的坐标，利用待定系数法求出直线BD的解析式； （3）推出AC∥直线l，从而根据平行线间的比例线段关系，求出BP、CQ的长度，计算出的值. 【详解】（1）∵二次函数y=ax2+x+c的图象经过点B（-3，0），M（0，-1）， ∴， 解得a=，c=-1． ∴二次函数的解析式为：y=x2+x-1． （2）∵二次函数的解析式为：y=x2+x-1， 令y=0，得0=x2+x-1， 解得x1=-3，x2=2， ∴C（2，0）， ∴BC=5； 令x=0，得y=-1， ∴M（0，-1），OM=1． 又AM=BC， ∴OA=AM-OM=4， ∴A（0，4）． 设AD∥x轴，交抛物线于点D，如图1所示， 则， 解得x1=5，x2=-6（位于第二象限，舍去） ∴D点坐标为（5，4）． ∴AD=BC=5， 又∵AD∥BC， ∴四边形ABCD为平行四边形． 即在抛物线F上存在点D，使A、B、C、D四点连接而成的四边形恰好是平行四边形． 设直线BD解析式为：y=kx+b， ∵B（3，0），D（5，4）， ∴， 解得：k=，b=， ∴直线BD解析式为：y=x+． （3）在Rt△AOB中，， 又AD=BC=5， ∴是菱形． ①若直线l∥BD，如图1所示． ∵四边形ABCD是菱形， ∴AC⊥BD， ∴AC∥直线l， ∴， ∵BA=BC=5， ∴BP=BQ=10， ∴． 【点睛】本题考查了二次函数压轴题，正确解答本题需要熟练掌握函数的图象与性质（二次函数与一次函数）、平面图形的性质与应用（平行四边形、菱形、相似三角形、平行线等）．本题涉及考点较多，虽有一点的难度，但相信不少考生均可顺利解答．第（3）问中，需要注意平行四边形ABCD是菱形，这样后续的计算均可迎刃而解． 27．已知：二次函数y=ax2+bx+6（a≠0）与x轴交于A、B两点（点A在点B的左侧），点A、点B的横坐标是一元二次方程x2﹣4x﹣12=0的两个根． （1）请直接写出点A、点B的坐标． （2）请求出该二次函数表达式及对称轴和顶点坐标． （3）如图1，在二次函数对称轴上是否存在点P，使△APC的周长最小，若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由． （4）如图2，连接AC、BC，点Q是线段0B上一个动点（点Q不与点0、B重合）．过点Q作QD∥AC交BC于点D，设Q点坐标（m，0），当△CDQ面积S最大时，求m的值． 【答案】（1）A（﹣2，0），B（6，0）；（2），对称轴为x=2，顶点坐标为（2，8）；（3）存在，P（2，4）；（4）2 【分析】（1）解一元二次方程x2﹣4x﹣12=0可求A、B两点坐标； （2）将A、B两点坐标代入二次函数y=ax2+bx+6，可求二次函数解析式，配方为顶点式，可求对称轴及顶点坐标； （3）作点C关于抛物线对称轴的对称点C′，连接AC′，交抛物线对称轴于P点，连接CP，P点即为所求； （4）由DQ∥AC得△BDQ∽△BCA，利用相似比表示△BDQ的面积，利用三角形面积公式表示△ACQ的面积，根据S△CDQ=S△ABC﹣S△BDQ﹣S△ACQ，运用二次函数的性质求面积最大时，m的值． 【详解】解：（1）解一元二次方程：x2﹣4x﹣12=0 x1=-2，x2=6 ∴A（﹣2，0），B（6，0）； （2）将A、B两点坐标代入二次函数y=ax2+bx+6，得 ， 解得， ∴y=﹣x2+2x+6， ∵y=﹣（x﹣2）2+8， ∴抛物线对称轴为x=2，顶点坐标为（2，8）； （3）如图，作点C关于抛物线对称轴的对称点C′，连接AC′，交抛物线对称轴于P点，连接CP， ∵C（0，6）， ∴C′（4，6），设直线AC′解析式为y=ax+b，则 ， 解得， ∴y=x+2，当x=2时，y=4， 即P（2，4）； （4）依题意，得AB=8，QB=6﹣m，AQ=m+2，OC=6，则S△ABC=AB×OC=24， ∵由DQ∥AC，∴△BDQ∽△BCA， ∴=（）2=（）2， 即S△BDQ=（m﹣6）2， 又S△ACQ=AQ×OC=3m+6， ∴S=S△ABC﹣S△BDQ﹣S△ACQ=24﹣（m﹣6）2﹣（3m+6）=﹣m2+m+=﹣（m﹣2）2+6， ∴当m=2时，S最大． 【点睛】本题主要考查了二次函数图象的几何变换，二次函数图象与一元二次方程的综合应用，熟练各性质以及数形结合是解决本题的关键． 28．如图1，二次函数的图像记为，与y轴交于点A，其顶点为B，二次函数的图像记为，其顶点为D，图像、相交于点P，设点P的横坐标为m． （1）求证：点D在直线上； （2）求m和h的数量关系； （3）平行于x轴的直线经过点P，与图像交于另一点E，与图像交于另一点F，若，求h的值； （4）如图2，过点P作平行于的直线，与图像交于另一点Q，连接．当时，_________．（直接写出结果） 【答案】（1）见解析；（2）m= h；（3）h的值为8；（4）4或20． 【分析】（1）先求出A、B的坐标，再代入，最后验证即可； （2）联立 ，得出x与h的关系，再根据图象交于点P，即可得出结论； （3）求出P、E、F的坐标轴即可得出结果； （4）得出四边形BPQD为矩形，再分两种情况解得即可． 【详解】（1）证明：由， 令x=0时，y=1，即A(0，1)，令y=0时，x=2，即B(2，0)， 设A，B的解析式为： ， 把A，B的坐标代入得，解得， ∴顶点D的坐标为， 令x=h，则 ， ∴点D在直线上； （2）联立 ， 得出， 根据图象交于点P， 设点P的横坐标为m,则； （3）由点P的横坐标为x=，代入，得出E点的横坐标为4-， 将P的横坐标为x=，代入得出F点的横坐标为， 则， 解得h=8； （4）由题意得由平移得到， ∴BD=PQ且BD∥PQ，得出四边形BPQD为矩形， 作DM⊥x轴，得出△AOB∽△BMP，当h=4时，一定成立； 又有 ，得出h=20， 综上所述h=4或20． 【点睛】本题考查了二次函数的性质，待定系数法求解析式，矩形的性质，相似三角形的判定，利用分类讨论思想解决问题是本题的关键． 29．如图，二次函数的图象与轴交于、两点（在的左侧），交轴于点，点的坐标，． （1）求二次函数的解析式； （2）点是线段上的一个动点（不与点、点重合），过点作交轴于点，点是抛物线的对称轴与线段的交点，连接、．设的长为，的面积为．求与之间的函数关系式，并求出当最大时，点的坐标； （3）在（2）条件下，连接，把绕点沿逆时针方向旋转一定的角度，得到，其中边交坐标轴于点．在旋转过程中，是否存在一点，使得？若存在，请直接写出所有满足条件的点的坐标；若不存在，请说明理． 【答案】（1）；（2），当时，，；（3）存在，点的坐标为，，，． 【分析】（1）根据，求得点坐标，再利用待定系数法解题； （2）由平行线的性质判断，再根据相似三角形的性质解得，最后根据整理得到与之间的函数关系式，利用配方法转化为顶点式解析式即可解题； （3）由题意可得4种情况，第一种情况，利用勾股定理解得AD的长，过点作于，证明，由相似三角形对应边成比例解得，继而得到，依次类推，解其它三种情况即可． 【详解】解：（1）∵点坐标，， ∴点坐标 ∵点、在上， ∴， 解得 ∴二次函数的解析式； （2）如图， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∴ ∵， ∴当时，，； （3）存在，点的坐标为，，，，理由如下， 由 如图，在旋转过程中，依次有4种情况满足题意， 边分别交坐标轴于点，下面只讨论第1种情况，（其余同理可证） 当， 过点作于，则， 依次作于，于，于，同理可得， 的坐标为，，， 综上所述，满足条件的的坐标为，，，． 【点睛】本题考查二次函数综合题，涉及待定系数法解二次函数解析式、相似三角形的判定与性质、勾股定理等知识，包含分类讨论、数学结合、函数等数学思想，是重要考点，有难度，掌握相关知识是解题关键． 30．已知，如图二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象与y轴交于点C（0，4）与x轴交于点A、B，点B（4，0），抛物线的对称轴为x=1．直线AD交抛物线于点D（2，m）， （1）求二次函数的解析式并写出D点坐标； （2）点Q是线段AB上的一动点，过点Q作QE∥AD交BD于E，连结DQ，当△DQE的面积最大时，求点Q的坐标； （3）抛物线与y轴交于点C，直线AD与y轴交于点F，点M为抛物线对称轴上的动点，点N在x轴上，当四边形CMNF周长取最小值时，求出满足条件的点M和点N的坐标． 【答案】（1）点D的坐标为（2，4）． （2）当t=1时，S△DQE有最大值，所以此时Q点的坐标为（1，0）； （3）满足条件的点N的坐标为N（，0），点M的坐标为M（1，1）． 【详解】试题分析：（1）根据点C（0，4），点B（4，0），抛物线的对称轴为x=1可得关于a，b，c的方程组，解方程求得a，b，c的值，从而得到二次函数的解析式，再将点D（2，m）代入二次函数的解析式，得到关于m的方程，求得m的值，从而求解； （2）先求得A，B点的坐标，过点E作EG⊥QB，根据相似三角形的判定和性质可得EG= ，由于S△DQE=S△BDQ-S△BEQ，配方后即可得到S△DQE有最大值时Q点的坐标； （3）根据待定系数法得到直线AD的解析式为：y=x+2，过点F作关于x轴的对称点F′，即F′（0，-2），再连接DF′交对称轴于M′，x轴于N′，由条件可知，点C，D是关于对称轴x=1对称，则CF+F′N+M′N′+M′C=CF+DF′=2+2，得到四边形CFNM的最短周长为：2+2时直线DF′的解析式为：y=3x-2，长而得到满足条件的点M和点N的坐标． （1）由题意有：， 解得：． 所以，二次函数的解析式为：y=-x2+x+4， ∵点D（2，m）在抛物线上，即m=-×22+2+4=4， 所以点D的坐标为（2，4）． （2）令y=0，即-x2+x+4=0，解得：x1=4，x2=-2， ∴A，B点的坐标分别是（-2，0），（4，0）， 如图1，过点E作EG⊥QB，垂足为G，设Q点坐标为（t，0）， ∵QE∥AD， ∴△BEQ与△BDA相似， ∴ ，即， ∴EG=， ∴S△BEQ=×（4-t）×， ∴S△DQE=S△BDQ-S△BEQ =×（4-t）×4-S△BEQ =2（4-t）-（4-t）2 =-t2+t+ =-（t-1）2+3， ∴当t=1时，S△DQE有最大值，所以此时Q点的坐标为（1，0）； （3）由A（-2，0），D（2，4），可求得直线AD的解析式为：y=x+2，即点F的坐标为：F（0，2）， 如图2，过点F作关于x轴的对称点F′，即F′（0，-2），再连接DF′交对称轴于M′，x轴于N′，由条件可知，点C，D是关于对称轴x=1对称, 则CF+F′N+M′N′+M′C=CF+DF′=2+2， 则四边形CFNM的周长=CF+FN+NM+MC≥CF+FN′+M′N′+M′C, 即四边形CFNM的最短周长为：2+2． 此时直线DF′的解析式为：y=3x-2， 所以存在点N的坐标为N（，0），点M的坐标为M（1，1）． 考点：二次函数综合题． 31．如图，二次函数y＝－x2＋nx＋n2－9（n为常数）的图像经过坐标原点和x轴上另一点A，顶点在第一象限． （1）求n的值和点A坐标； （2）已知一次函数y＝－2x＋b（b >0）分别交x轴、y轴于M、N两点．点P是二次函数图像的y轴右侧部分上的一个动点，若PN⊥NM于N点，且△PMN与△OMN相似，求点P坐标． 【答案】（1）A（3，0）；（2）P（，）和P（2，2） 【详解】试题分析：(1)、将点(0,0)代入求出n的值，从而得到函数解析式，得出点A的坐标；(2)、首先求出M和N的坐标，然后分两种情况进行讨论得到答案. 试题解析：(1)、∵图像经过坐标原点 ∴－9=0 ∴n=3或－3 ∵顶点在第一象限 ∴n=3 ∴y=－+3x ∴点A的坐标为(3,0) 、过P作PB⊥y轴于B，设P(x，－+3x) ∵PN⊥MN ∠NOM=90° ∴要使△PMN与△OMN相似 则分两种情况：①、△PMN∽△MNO  ②、△PMN∽△NMO ∵一次函数y=－2x+b分别交x轴、y轴于点M、N ∴OM= ON=b ∴ ①、当△PMN∽△MNO(如图1)，得 ∵PN⊥NM，PB⊥y轴 ∴△PNB∽△MNO ∴ ∴x=，x=0(舍去) ∴点P的坐标为(，) ②、当△PMN∽△NMO时(如图2)，得： 解法同上，得x=2，x=0(舍去) ∴点P的坐标为(2,2) 综上所述：满足条件的点有2个：P(，)和P(2,2). 考点：三角形相似的应用、求二次函数解析式. 32．如图，二次函数y=x2+bx+c的图象与x轴交于A（3，0），B（﹣1，0），与y轴交于点C．若点P，Q同时从A点出发，都以每秒1个单位长度的速度分别沿AB，AC边运动，其中一点到达端点时，另一点也随之停止运动． （1）求该二次函数的解析式及点C的坐标； （2）当点P运动到B点时，点Q停止运动，这时，在x轴上是否存在点E，使得以A，E，Q为顶点的三角形为等腰三角形？若存在，请求出E点坐标；若不存在，请说明理由． （3）当P，Q运动到t秒时，△APQ沿PQ翻折，点A恰好落在抛物线上D点处，请判定此时四边形APDQ的形状，并求出D点坐标． （4）在AC段的抛物线上有一点R到直线AC的距离最大，请直接写出点R的坐标． 【答案】（1）y=x2﹣x﹣4 C（0，﹣4） （2）存在满足条件的点E，点E的坐标为（﹣，0）或（﹣，0）或（﹣1，0） （3）四边形AQDP为菱形 D（﹣，﹣） （4）R（） 【详解】试题分析：（1）将 A，B点坐标代入函数，求得b，c，进而可求解析式及C点坐标． （2）等腰三角形有三种情况：．借助垂直平分线，画圆易得E大致位置，设边长为x表示其它边后利用勾股定理易得E坐标． （3）注意到P，Q运动速度相同，则运动时都为等腰三角形，又有A、D对称，则，易得四边形四边都相等，即菱形．利用菱形对边平行且相等的性质可用t表示D点坐标，又D在E函数上，所以代入即可求t，进而D可表示． （4）求出直线AC的解析式 ，，求出对称轴，代入，所以R． 试题解析： 解：（1）∵二次函数y=x2+bx+c的图象与x轴交于A（3，0），B（﹣1，0）， ∴， 解得 ， ∴y=x2﹣x﹣4． ∴C（0，﹣4）． （2）存在． 如图1，过点Q作QD⊥OA于D，此时QD∥OC， ∵A（3，0），B（﹣1，0），C（0，﹣4），O（0，0） ∴AB=4，OA=3，OC=4， ∴AC==5，AQ=4． ∵QD∥OC， ∴， ∴， ∴QD=，AD=． ①作AQ的垂直平分线，交AO于E，此时AE=EQ，即△AEQ为等腰三角形， 设AE=x，则EQ=x，DE=AD﹣AE=﹣x， ∴在Rt△EDQ中，（﹣x）2+（）2=x2，解得 x=， ∴OA﹣AE=3﹣=﹣， ∴E（﹣，0）． ②以Q为圆心，AQ长半径画圆，交x轴于E，此时QE=QA=4， ∵ED=AD=， ∴AE=， ∴OA﹣AE=3﹣=﹣， ∴E（﹣，0）． ③当AE=AQ=4时， ∵OA﹣AE=3﹣4=﹣1， ∴E（﹣1，0）． 综上所述，存在满足条件的点E，点E的坐标为（﹣，0）或（﹣，0）或（﹣1，0）． （3）四边形APDQ为菱形，D点坐标为（﹣，﹣）．理由如下： 如图2，D点关于PQ与A点对称，过点Q作，FQ⊥AP于F， ∵AP=AQ=t，AP=DP，AQ=DQ， ∴AP=AQ=QD=DP， ∴四边形AQDP为菱形， ∵FQ∥OC， ∴， ∴， ∴AF=，FQ=， ∴Q（3﹣，﹣）， ∵DQ=AP=t， ∴D（3﹣﹣t，﹣）， ∵D在二次函数y=x2﹣x﹣4上， ∴﹣=（3﹣t）2﹣（3﹣t）﹣4， ∴t=，或t=0（与A重合，舍去）， ∴D（﹣，﹣）． （4）R（）． 考点：二次函数综合题． 1 / 37 学科网（北京）股份有限公司 $