专题14 相似与几何图形综合问题分类训练（6种类型48道）（高效培优期末专项训练）九年级数学上学期北师大版

专题14 相似与几何图形综合问题分类训练 （6种类型48道） 考点01 相似与平行线综合 考点02 相似与平行四边形综合 考点03 相似与矩形综合 考点04 相似与菱形综合 考点05 相似与正方形综合 考点06 相似与圆综合 考点01 相似与平行线综合 1．如图，已知直线、被三条互相平行的直线、、所截，其中点A、B、C在直线上，点D、E、F在直线上．下列四个结论①，②，③，④中，正确的个数有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【分析】本题主要考查平行线分线段成比例的性质．直接利用平行线分线段成比例定理进而得出结论． 【详解】解：∵， ∴，故①正确； ，故②正确； ，故③错误； ，故④错误， 正确的个数2个， 故选：B． 2．如图，CE是平行四边形ABCD的边AB的垂直平分线，垂足为点O，CE与DA的延长线交于点E，连接AC、BE、DO，且DO与AC交于点F．则下列结论：①四边形ACBE是菱形；②∠ACD＝∠BAE；③AF∶AD＝2∶5；④S四边形AFOE∶S△COD＝2∶3．其中结论正确的有（    ） A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 【答案】B 【分析】根据菱形的判定、平行线分线段成比例定理、直角三角形斜边中线的性质一一判断即可． 【详解】解：如图，四边形是平行四边形， ，， 垂直平分， ，， ， ， ，， ，， 四边形是平行四边形， ， 四边形是菱形，故①正确； ，， ， ，故②正确； ， ， ， 故③错误． 设的面积为，则的面积为，的面积为，的面积的面积， 四边形的面积为，的面积为， ．故④正确， 故选：B． 【点睛】本题考查平行四边形的性质、菱形的判定和性质、平行线分线段成比例定理、等高模型等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，学会利用参数解决问题，属于中考常考题型． 3．如图，点F是ABCD的边CD上一点，直线BF交AD的延长线于点E，则下列结论正确的有(　 　) ① ；② ； ③；④. A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】由四边形ABCD是平行四边形，可得CD∥AB，AD∥BC，CD=AB，AD=BC，然后根据平行线分线段成比例定理，对各个结论进行分析即可求得答案． 【详解】∵四边形ABCD是平行四边形， ∴CD∥AB,AD∥BC，CD=AB，AD=BC， ∴，故①正确； ∴,即，故②正确； ∴，故③错误； ∴,即，故④正确. 故选:C. 【点睛】考查平行线分线段成比例, 平行四边形的性质，比较基础，难度不大. 4．已知，如图，DE∥BC，EF∥AB，则下列结论： ① ② ③ ④ 其中正确的比例式的个数是（    ） A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 【答案】B 【详解】试题分析：∵EF∥AB， ∴=，=， 即=， ∵DE∥BC， ∴==， 即=， ==， 所以①②④正确，故题中正确的个数为3个． 故选B 考点：平行线分线段成比例 5．如图，在中，和的平分线相交于点，过点作交于点，交于点，交于点，连接．给出以下四个结论：    ①若，； ②； ③平分； ④若，，则． 其中正确的有 ．(把所有正确结论的序号都选上) 【答案】②③④ 【分析】运用三角形内角和定理和角平分线的定义进行计算，即可判定①；根据平行线等分线段定理和角平分线定理即可确定②；根据三角形三条角平分线交于一点，即可判定③；设O到AE的距离为h，h=OD=3,然后求三角形AEF的面积即可判定④． 【详解】解：∵ ∴∠ABC+∠ACB=180°-80°=100° ∴∠OBC+∠OCB=(∠ABC+∠ACB) =50° ∴=180°-∠OBC+∠OCB=130°,故①错误； ∵     ∴ ∵OB平分∠ABC ∴∠ABO=∠OBC ∵ ∴∠EOB=∠OBC ∴∠EOB=∠EBO ∴OE=BE,同理：CF=OF ∴，即②正确； ∵和的平分线相交于点 ∴O为三个角的角平分线的交点，即平分，故③正确； 设O到AE的距离为h，即高为h ∵O为三个角的角平分线的交点 ∴h=CD=3 ∴S△AEF= S△AOE+ S△AOF=×AE·h+×AF·CD=×3（AE+AF） ∵AE+AF=8 ∴S△AEF=12，故④正确； 故答案为②③④． 【点睛】本题考查了角平分线的定义与性质、等腰三角形的判定与性质以及平分线等分线段定理，解答题的关键是灵活应用所学知识和掌握数形结合思想． 6．如图， 是的中位线， 是的中点，射线与交于点，与的延长线交于点．下列结论：①；②； ③；④，正确的有 ．(填序号．)    【答案】②③ 【分析】由题意可知，，根据平行截线求相关线段的长或比值可判断①；由题意得出与联立可得，由此可判断②；由平行截线求相关线段的长或比值及等量代换可判断③；连接．设，根据面积可判断④． 【详解】解：是的中位线， 是的中点， 又 , ① ， ∴． ∴①错误 ② 又， 由两式相减，得 ∴． ∴． ∴②正确 ③ ∴ ∴③正确 ④连接．设，可得其他三角形面积如图 ∴，∴④错误    故答案为：②③． 【点睛】本题考查了平行截线求相关线段的长或比值、全等三角形的判定及性质、三角形中位线的性质，熟练掌握性质定理是解题的关键． 7．如图， 在中，D在AB的延长线上，E在AC的延长线上， 且．下列结论：①；②；③；④，其中正确的有 ．（填序号） 【答案】①②③ 【分析】已知BC//DE，根据平行线分线段成比例判断即可. 【详解】∵BC//DE， ∴，故①说法正确； ，故②说法正确； ，故③说法正确； ，故④说法错误. 故答案为：①②③. 【点睛】本题考查平行线分线段成比例的运用，正确理解题意与图形，根据平行找到相应的关系是解题的关键. 8．如图，在中，线段AD为中线，点O为线段AD的中点，直线l经过点O，且B，C两点在l的同侧，过点B，C，D，A作直线l的垂线，垂足分别为点E，F，H，G．则下列说法一定正确的有 ．    ①； ②； ③； ④若点B，C位于l异侧，有． 【答案】②③/③② 【分析】连接，，证明，可判定②；证明，得，由，可得，即是梯形的中位线，由梯形中位线性质可判定③；在与中，，，，得与是对应边，由于，无条件能得出，故不能判定两三角形全等，可判定①；若点B，C位于l异侧，分两种情况：当时，求得；当时，求得，可判定④． 【详解】解：连接，，如图，    ∵，， ∴ ∵，， ∴， ∴，故②正确； ∵，，， ∴， ∴ ∵AD为的中线， ∴ ∴ ∴是梯形的中位线， ∴ ∵ ∴，故③正确； 在与中，，，， ∵，而与不一定相等，则与不一定相等， ∴与没有对应边相等，所以与全等，故①错误； 若点B，C位于l异侧，分两种情况：当时，如图，    在截取，过点M作，垂足为M，交于N，过点N作于P，过点D作于Q， ∵ ∴ ∵， ∴ ∴ ∵ ∴ ∵， ∴ ∴ ∴ ∵，， ∴四边形是矩形， ∴ME=NP， ∵，，， ∴， ∴ ∴，即； 当时，如图，    在截取，过点M作，垂足为M，交于N，过点N作于P，过点D作于Q， 同理可得： 综上，若点B，C位于l异侧，则有或，故④错误． 故答案为：②③． 【点睛】本题考查全等三角形的判定与性质，三角形中位线的性质，梯形中位线性质，平行线的判定与性质，矩形的判定与性质．熟练掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键． 考点02 相似与平行四边形综合 9．如图，在平行四边形中，过点作交边于点，点在边上，且，连接交于点． (1)求证：四边形是矩形； (2)若平分，且，求线段的长． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）根据题意可得，，由对边平行且相等的四边形为平行四边形可得四边形是平行四边形，结合，即可由一个角为直角的平行四边形是矩形，证得结论； （2）先由平分，结合等角对等边得到，，然后由勾股定理求得，即可根据相似三角形的性质求得，进而求得的长． 【详解】（1）证明：四边形是平行四边形， . ， ， ， 四边形是平行四边形， ， ， 四边形是矩形； （2）解：平分，， ， ， 在中， 四边形是平行四边形， ． ， ， ， ． 【点睛】本题考查了平行四边形的判定与性质，矩形的判定与性质，角平分线的定义，等腰三角形的判定，勾股定理，相似三角形的判定与性质，熟练掌握以上判定与性质是解题的关键． 10．如图，四边形为平行四边形，为边上一点，连接，，它们相交于点，且． (1)求证：； (2)若，，，求的长． 【答案】(1)证明见解析； (2)． 【分析】本题考查了平行四边形的性质，相似三角形的判定与性质，掌握知识点的应用是解题的关键． （）由四边形为平行四边形，则，所以，得，然后证明，再根据相似三角形性质得即可； （）由（）得，求出，，证明，则，即，求出解得，又，则，然后代入即可求解． 【详解】（1）证明：∵四边形为平行四边形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； （2）解：由（）得， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，即， 解得， ∵， ∴，即， ∴． 11．如图，平行四边形中，于，于，与、分别相交于点、．求证：． 【答案】见解析 【分析】本题考查了平行四边形的性质，相似三角形的判定与性质；根据平行四边形的对角相等，以及垂直的定义可得△ABE和△ADF的两角对应相等，则两个三角形相似． 【详解】证明：，， ， 四边形是平行四边形， ， ． 12．在平行四边形中，对角线交于点O，P是线段上一个动点（不与点O、点C重合），过点P分别作的平行线，交于点E，交于点F、G，连接． (1)如图1，如果，求证：； (2)如图2，如果，，且与相似，并求的值； (3)如图3，如果，且射线过点A．请补全图形，并求的度数． 【答案】(1)见解析 (2) (3) 【分析】（1）根据平行线分线段成比例得到，，，即可求解； （2）根据题意得到当时，，则，结合题意，设，则，，，，，，根据即可求解； （3）根据菱形的性质，找出线段比例关系，证明，设，则，结合两直线平行同旁内角互补，列式求解即可． 【详解】（1）证明：∵， ∴， 设，则，， 在平行四边形中，，则， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴； （2）解：如图2， ∵， ∴平行四边形为矩形，则， ∴，则， ∵， ∴四边形是矩形， ∴， 又∵，且， ∴当时，， ∴， ∵， ∴设， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，则， ∴， ∴； （3）解：补全图形如下， ∵， ∴平行四边形为菱形， ∴， ∵， ∴， ∴， 同理，， 设， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴（负根已舍）， ∴， ∴，且， ∴， 又∵， ∴， ∴设，则， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题主要考查了平行四边形，矩形，菱形的性质，相似三角形的判定和性质，平行线分线段成比例等知识的综合运用，掌握以上知识，找出三角形相似得到线段之间的关系是解题的关键． 13．如图，在平行四边形中，F是上一点，交于点E，的延长线交的延长线于点G，． (1)求证：； (2)求的值． 【答案】(1)见解析 (2)16 【分析】本题考查了平行四边形的性质得到相似三角形的判定及性质，解题的关键是熟练掌握相似三角形的判定定理和性质定理． （1）利用平行四边形的性质得到，，，进而得到，再结合相似三角形的性质证明； （2）由，得到，利用相似三角形的面积比等于相似比的平方以及面积的比例关系求解． 【详解】（1）证明：在平行四边形中，，，， ，， ， ， ； （2）解：， ， ， 又， ． 14．如图，在平行四边形中，为上一点，连接、，且、交于点， (1)求证：； (2)已知，，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查平行四边形的性质，相似三角形的判定与性质； （1）由平行四边形得到，即可证明； （2）由得到，再代入求值即可． 【详解】（1）证明：∵平行四边形， ∴，， ∴， ∵， ∴； （2）解：∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴． 15．已知，如图，在平行四边形中，E、F分别是边、上的点，且，、分别交于点G和点H，，．求： (1)的值； (2)线段的长. 【答案】(1) (2)6 【分析】本题主要考查平行四边形的性质及相似三角形的性质与判定，熟练掌握平行四边形的性质及相似三角形的性质与判定是解题的关键； （1）由题意易得，则有，然后平行四边形的性质问题可求解； （2）由题意易得，则有，然后可得，进而可得，最后问题可求解． 【详解】（1）∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∴； （2）解：∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴． 16．【定义】 如果从一个平行四边形的一个顶点向不过该顶点的对角线作垂线，垂线交平行四边形的边于另一点，且该点为所在边的中点，那么这个平行四边形叫做“垂中平行四边形”，垂足叫做“垂中点”． 如图1，在中，于点，交于点，若为的中点，则是垂中平行四边形，是垂中点． 【应用】 (1)如图1，在垂中平行四边形中，是垂中点．若，，则________；________； (2)如图2，在垂中平行四边形中，是垂中点．若，试猜想与的数量关系，并加以证明； 【答案】(1)1； (2)，证明见解析 【分析】本题考查了垂中平行四边形的定义，平行四边形的性质，相似三角形的判定与性质，勾股定理等，熟练掌握以上知识点是解题的关键． （1）证明，可得，从而推出，再根据勾股定理可求得，再求得，即可； （2）根据题意可推出，得到，设，则，再利用勾股定理得到，从而推出，即可求得答案； 【详解】（1）解：∵四边形是平行四边形， ∴， ∵为的中点， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； 故答案为：1； （2）解：，证明如下： 根据题意，在垂中四边形中，，且F为的中点， ∴， ∵， ∴， ∴， 设，则， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 考点03 相似与矩形综合 17．在矩形中，，的平分线交于点，交射线于点，交射线于点，取的中点，连接． (1)利用图①，求证：； (2)若射线交射线于点，当时，请直接写出的面积； (3)如图②，交于点，若，求的长． 【答案】(1)证明见解析 (2)的面积为 (3) 【分析】（1）通过矩形的性质，求出，得到，再通过平分的性质，最后通过换角得等角对等边即可； （2）作图：延长射线交射线于点，作交于点，先通过矩形的性质得、为等腰直角三角形，设，通过勾股定理求出各个边长，通过条件求出，再通过相似求出，后通过平行相似得，根据相似比求出边长，计算三角形面积即可； （3）先通过矩形的性质得、、为等腰直角三角形，设，通过勾股定理求出各个边长，通过条件求出，再平行相似得得出的值，最后以点为原点，建立平面直角坐标系，得到点，点，点，运用中点公式得到点，求出直线的解析式，求出点坐标，即可求出的长． 【详解】（1）证明：∵矩形， ∴， ∴． ∵平分， ∴， ∴， ∴为等腰三角形， ∴． （2）解：延长射线交射线于点，作交于点 ∵矩形， ∴，，，． ∵由（1）可得为等腰三角形，， ∴为等腰直角三角形． 又∵， ∴． ∵， ∴同理：为等腰直角三角形，设，． ∵点为的中点， ∴． ∵， ∴， ， 解得：， ∴，，， ∴． ∵，点为的中点， ∴， ∴． ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． （3）解：∵由（2）可得、为等腰直角三角形， 又∵，设， ∴，． ∵点为的中点， ∴． ∵， ∴． ∵矩形， ∴，， ∴同理：为等腰直角三角形， ∴ ． ∵， ∴， ∴， ， ， ， ， ， ， ， 解得：，（舍）， ∴． ∵以点为原点，建立平面直角坐标系， ∴点，点，点． ∵点为的中点， ∴点，即点． ∵设直线的解析式为：， 代入，， ， 解得：， ∴直线的解析式为：， ∴当时，，即点， ∴． 【点睛】本题主要考查了等腰直角三角形的判定和性质、矩形的性质、勾股定理、相似三角形的判定和性质、平面直角坐标的建立和中点坐标公式等，能够掌握数形结合的思想是解决本题的关键． 18．如图，矩形中，点在边上，连接，过点作于点，交于点，连接并延长交于点，且点恰好是的中点． (1)求证：； (2)求证：； (3)若，求的长． 【答案】(1)见详解 (2)见详解 (3) 【分析】（1）根据两角分别相等的两个三角形相似，证明； （2）根据直角三角形斜边中线等于斜边的一半，同角的余角相等，对顶角相等证明出，然后根据两角分别相等的两个三角形相似，证明，根据对应边成比例得到； （3）根据（2）得出的结论求得的值，然后证明，根据等角对等边，得出，故求得的值． 【详解】（1）证明：∵四边形是矩形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴； （2）证明：∵， ∴， ∵是的中点， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； （3）解：由（2）得， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴由（2）得， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题考查相似三角形的性质和判定，矩形的性质，等腰三角形的性质和判定，直角三角形斜边的中线等于斜边的一半，熟练掌握三角形相似的判定和特殊三角形的性质是解决此题的关键． 19．如图，E，F分别在矩形的边和上，垂直平分． (1)求证：四边形为菱形； (2)取的中点（如图），我们称为菱形的“对中三角形”． ①设菱形的边长为x，的周长为y，当时，求y与x的函数关系式；（不必写出x的取值范围） ②当菱形的一条对角线与它的对中三角形的一边相等时，直接写出的值． 【答案】(1)见解析 (2)①y与x的函数关系式为；②的值为或 【分析】（1）利用相等的垂直平分线定义与性质和全等三角形的判定与性质得到，再利用菱形的判定定理解答即可； （2）①利用“对中三角形”的定义，菱形的性质和相似三角形的判定与性质求得MF，再利用相似三角形的性质求得，最后利用三角形的周长的意义解答即可； ②利用分类讨论的思想方法解答：Ⅰ．当时，利用等腰三角形的性质，菱形的性质和等边三角形的判定与性质求得，利用平行线的性质得到，再利用含角的直角三角形的性质，勾股定理得到，利用等量代换即可得出结论；Ⅱ．当时，过点F作于点N，利用等腰三角形的性质，再利用相似三角形的判定与性质解答即可得出结论；Ⅲ．由题意：，此种情况不存在；同时，，此种情况也不存在． 【详解】（1）证明：垂直平分， ，， 四边形为矩形， ， ， 在和中， ， ， ， ， 四边形为平行四边形， ， 四边形为菱形 （2）解：①的中点为M， ， 四边形为菱形， ，， ， ， ， ， 菱形的边长为x， ，， ， ， ， ， ， ， 的周长， 与x的函数关系式为； ②Ⅰ．当时， 四边形为菱形， ， ， 为等边三角形， ， ， ， ， ， ， ， ， ； Ⅱ．当时，过点F作于点N，如图， ，， ， ， ， ， ， ， ， ， ， Ⅲ由题意：，此种情况不存在；同时，，此种情况也不存在， 综上，当菱形的一条对角线与它的对中三角形的一边相等时，的值为或． 【点睛】本题主要考查了矩形的性质，菱形的判定与性质，直角三角形的性质，勾股定理，相似三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，分类讨论的思想方法，等腰三角形的性质，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解题的关键． 20．矩形中，，，E是射线上一点，连接，点C关于的对称点F恰好落在射线上． (1)如图，当点E在边上时，若，的长为 ；若时，求的长； (2)作的平分线交射线于点M，当时，求的长． 【答案】(1)2； (2)2或18 【分析】（1）根据轴对称得出，根据勾股定理求出，再求出即可；先证明，得出，根据，，得出，求出，再根据勾股定理，即可得出答案； （2）分两种情况：当点F在边上时，当点F在边延长线上时，分别画出图形，进行求解即可． 【详解】（1）解：∵四边形为矩形， ∴，，， 根据轴对称可得：， 根据勾股定理得：， ∴； ∵矩形中，， ∴，． ∴． ∴． ∴． ∴． ∵，， ∴． ∴． ∵点C和F是关于的对称点， ∴． ∴． （2）解：①如图1，当点F在边上时， 过点M作于点N， ∵平分，， ∴，． ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∵，，， ∴． ∴， 设，则， ∴， 在中，， ∴． 解得，（舍去）． ∴， ∴矩形中，． ∴． ②如图2，当点F在边延长线上时， 同①可得，，，， ∴． 综上所述：或18． 【点睛】本题属于相似形综合题，考查了相似三角形的判定与性质，等腰三角形的判定，折叠的性质，矩形的性质，勾股定理的综合应用，解题时注意分类思想与方程思想的运用． 21．如图，在矩形中，，，动点从点开始以每秒个单位长度沿向终点运动，同时，动点从点开始沿以每秒个单位长度向终点运动，它们同时到达终点，设运动的时间为秒． (1)当点在线段上时，求证：； (2)当点在线段上时是直角三角形，求出此时的值？ 【答案】(1)见解析 (2)或 【分析】（1）通过证明，即可求证； （2）进行分类讨论：①当时，证明四边形是矩形，则，则，求解即可；②当时，根据勾股定理求出，则，证明，得出，求出，即可求解． 【详解】（1）解：当点Q在线段上时，由题意可得：，，， ∴， ∴； （2）解：①当时， ∵四边形是矩形， ∴，， ∵， ∴四边形是矩形， ∴， ∵， ∴， 解得：； ②当时， ∵，， ∴， 根据勾股定理可得：， ∵， ∴，即， 解得：， ∵， ∴， ∴，即， 解得：， 即，解得：， 综上：或． 22．（1）基础：如图1，在矩形中，是边上一点，将沿着折叠得到．若点恰好落在上，求证：． （2）迁移：如图2，在矩形中，，是边的中点，是边上一点，若点恰好落在上，将沿着折叠得到．若，求的值． （3）拓展：如图3，在矩形中，是的一条角平分线，是边上一点，将沿着折叠得到．若点恰好落在的中点，，设，求的值． 【答案】（1）见详解，（2），（3） 【分析】本题考查矩形的性质、折叠的性质、相似三角形的判定、等高三角形面积比、勾股定理等知识，是重要考点，掌握相关知识是解题关键． （1）根据矩形的性质和折叠的性质得出，，由得，即可求证； （2）点作的平行线分别交，于点，，证得，，根据勾股定理设列方程求解，再证得，根据线段比求解即可； （3）作于点．利用平分，点为的中点，折叠的性质，勾股定理求证，根据线段比列方程求解即可． 【详解】解：（1） 证明：在矩形中，，， ∵ 由折叠而成， ∴ ． ∴ ． ∵ ， ∴ ． ∴ ． （2） 如图1，过点作的平行线分别交，于点，， 则，， ∴， ∴ ． ∵ ， ∴ ． 设，则， ∴ ． ∴ ． 又∵ 点为的中点， ∴ ． ∴ ． 在中，， ∵ 由折叠而成， ，即． ， ， ，． ， ， ， ， ， ， 点为的中点． （3）如答图2，作于点． 又为的角平分线， 由折叠知， 又点为的中点， 在中， 在中， 又， 整理，得 故所求的值为 23．已知，矩形中，，，E是边上的动点． (1)如图①，当点F在边上时，若，求的值； (2)如图②，当点F在边上时，若，求证：是一个定值； (3)当点F为矩形某边上一点，若四边形的对角线，且，请直接写出的长． 【答案】(1) (2)见解析 (3)1或或或 【分析】本题考查矩形的判定与性质、相似三角形的判定与性质、勾股定理、解一元二次方程等知识，解答的关键是利用相似三角形的性质解决问题． （1）根据矩形的性质和相似三角形的判定证明，利用相似三角形的对应边成比例求解即可； （2）同理，证明，利用相似三角形的对应边成比例得到，可证明结论； （3）分点F在上和点F在上，结合（1）（2）结论、勾股定理以及一元二次方程的解法求解即可． 【详解】（1）解：∵四边形是矩形， ∴，则， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴； （2）证明：∵四边形是矩形， ∴，则， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 故是一个定值，定值为16； （3）解：∵四边形是矩形，，， ∴，， 当点F在上时，如图， 由（1）得， ∴， 设，则， 在中，，，， 由勾股定理得， ∴，解得，， ∴或， ∴或； 当点F在上时，如图，过E作于H， 则， ∴四边形是矩形， ∴，， 在中，； 同理（2），， 设，则， ∴， 解得（负值已舍去）， ∴； 当点F在上时，如图，过E作于H， 同理，，， 设，则， ∴， 解得（负值已舍去）， ∴， 综上，的值为1或或或． 24．如图，已知矩形中，，．某一时刻，动点从点出发沿方向以的速度向点匀速运动；同时，动点从点出发沿方向以的速度向点匀速运动． (1)经过多长时间，的面积等于矩形面积的？ (2)是否存在时刻，使以，，为顶点的三角形与相似？若存在，求的值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)秒或秒 (2)存在，秒或秒 【分析】（1）设经过秒，的面积等于矩形面积的，由题意得，，，先求得矩形的面积，再根据的面积等于矩形面积的，得到关于的一元二次方程求解； （2）由题意得，，，再分、两种情况，分别得到关于的方程求解即可． 【详解】（1）解：设经过秒，的面积等于矩形面积的， 由题意得，，， ∵矩形中，， ∴，，， ∴矩形的面积为：， ∴的面积， ∴， 解得：，， 答：经过秒或秒，的面积等于矩形面积的； （2）由题意得，，， 若， 则有， ∴， 解得：， 若， 则有， ∴， 解得：， 答：当秒或秒时，以、、为顶点的三角形与相似． 【点睛】本题考查了相似三角形——动点问题，利用相似三角形的性质求解，动态几何问题(一元二次方程的应用)，根据矩形的性质求线段长等知识，解题关键是掌握上述知识点并能熟练运用求解． 考点04 相似与菱形综合 25．如图，菱形的对角线相交于点，过点作，过点作交于点，延长到，使得，连接交于点，连接，在上取点，连接， (1)求证：四边形是矩形； (2)若菱形的周长，，则________． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了矩形的判定与性质、菱形的判定与性质、相似三角形判定与性质以及勾股定理： （1）先证明四边形是平行四边形，根据菱形的性质得到，即可证明是矩形； （2）根据菱形的性质和勾股定理得到，通过角之间的关系得，证明后得到比例关系即可求． 【详解】（1）证明：平行于，平行于， 四边形是平行四边形， 四边形是菱形， ， ， 是矩形； （2）解：菱形的周长，， ，， ， ， 四边形是矩形，， ，， ， ， ， ， ， ． 故答案为：． 26．如图，在菱形中，点为对角线上的动点，连接，将绕点按逆时针方向旋转至，使与交于点． (1)求证：； (2)已知． ①当时，求的面积； ②当将分成的两部分的面积之比为时，试求出的值． 【答案】(1)证明见解析 (2)①；②的值为或 【分析】本题考查了菱形的性质、相似三角形的判定与性质，熟练结合菱形性质推导角和边的关系，利用相似三角形的判定定理（两角对应相等）是解题关键． （1）利用菱形中得角相等，结合旋转性质及，推导角的等量关系，再通过“两角对应相等”证明三角形相似； （2）①借助菱形对角线垂直平分的性质，结合相似三角形的对应边成比例求出，再用三角形面积公式计算； ②通过证明三角形相似得到边的比例关系，结合面积比转化为线段比，分两种面积比例情况计算． 【详解】（1）证明：在菱形中，， ， ， ， ， ， ， ，， ， 又， ； （2）解：①如图，连接与交于点， 在菱形中，与互相垂直平分， ， ， ， ， ， 又， ， ， 解得， ； ②， ， ， ， ， ， ，即， ， 当，即时， ； 当，即时， ， 综上所述，的值为或． 27．已知，点是上任意一点，菱形菱形． (1)求证：； (2)若，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2)6 【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质，菱形的性质，解决本题的关键是熟练掌握相似三角形的判定与性质． （1）根据菱形的性质可得，再由菱形菱形，可得，由此可证； （2）根据菱形的性质可得边长与角度的关系，即可得，根据直角三角形可得，再根据相似三角形边长成比例求解即可． 【详解】（1）证明：在菱形中， ∴， ∴， ∵菱形菱形， ∴， 在与中， ， ∴； （2）解：在菱形中， ∴，， 在菱形中，， ∴，，， ∴， 在中，， ∴， 由（1）知，， ∴， 即，解得． 28．如图，在菱形中，点在对角线上，点在边上，连接并延长交于点F，请用尺规作图法作，使得，且点在上．（保留作图痕迹，不写作法） 【答案】见解析 【分析】本题主要考查了相似三角形的判定，尺规作图，熟练掌握相似三角形的判定定理是解题的关键．作，即可求解． 【详解】解：如图，点即为所求． 理由：根据作法得， ∵四边形是菱形， ∴， ∴， ∴． 29．定义：菱形一边的中点与它所在边的对边的两个端点连线所形成的折线，叫做菱形的折中线．例如，如图 1，在菱形中，是的中点，连接，，则折线叫做菱形的折中线，折线的长叫做折中线的长． 已知，在菱形中，，是的中点，连接，． (1)如图 1，若，，求折中线的长； (2)如图 2，若，请探究折中线的长与菱形的边长之间满足的等量关系式，并说明理由； (3)若，且折中线中的或与菱形的一条对角线相等，求折中线的长． 【答案】(1) (2)，理由见解析 (3)或 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定与性质、相似三角形的判定与性质、菱形的性质、平行四边形的判定与性质等知识点，掌握相似三角形的判定与性质与菱形的性质是解题的关键． （1）如图：连接，根据题意证得为等边三角形，利用勾股定理求出，即可解答； （2）证明，列出比例式，求出代入比例式求解即可； （3）当时，过点E作交的延长线于点F，过点B作于点G，利用勾股定理即可解答；当时，过点C作交的延长线于点F，证明，再，求出，即可解答． 【详解】（1）解：如图，连接， ∵在菱形中，，， ∴为等边三角形， ∵点E为的中点， ∴， 在中，， ∵， ∴， 在中，， ∴折中线的长为． （2）解：折中线的长等于，理由如下： ∵在菱形中，， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴折中线的长等于． （3）解：由已知得折中线中的或只能与菱形中较短的对角线相等， 当时，如图，过点E作交的延长线于点F，过点B作于点G， ∴， 在中，， 在中，， ∵，， 在中，， ∴， 当时，如图，设相交于点，过点C作交的延长线于点F， ∴四边形是平行四边形． ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，即， ∵， ∴， ∴， ∴，解得：， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 综上，折中线的长为或． 30．已知菱形，是边上一点，连接交于点． (1)如图，当是中点时，求证：； (2)如图，连接，若，，当为直角三角形时，求的长； (3)如图，当时，若，则_____．（请直接写出） 【答案】(1)证明见解析 (2)或 (3) 【分析】（1）证明，由相似三角形的性质即可得解； （2）连接交于，证明，再分三种情况：当时；当时；当点在线段上时；分别求解即可； （3）证明四边形为正方形，得出为等腰直角三角形，从而可得在中，，证明，得出，结合，得出，从而可得，即可得解． 【详解】（1）证明：是的中点， ， 四边形是菱形， ，， ，， ， ∴， ∴， ； （2）解：连接交于，如图， 四边形是菱形，， 、互相平分， ，， 在上， ， 在中，，， ， ， ∵， ，， ∴， 当时，在中，， ∴， 在中，，； 当时，在中，，点是的中点， ， ，， ∵， ∴，即， ； 点在边上， 点在线段上，故， 故这种情况不存在， 综上所述，当为直角三角形时，的长为或； （3）解：∵菱形中，， ∴四边形为正方形， ∴为等腰直角三角形， ∴在中，， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题考查了菱形的性质、正方形的判定与性质、相似三角形的判定与性质、勾股定理、等腰直角三角形的判定与性质，熟练掌握以上知识点并灵活运用，添加适当的辅助线是解此题的关键． 31．如图1，在菱形中，，E是上的一点，将线段绕点A逆时针旋转得到，连接，． (1)求证：； (2)如图2，G是的中点，连接，延长，相交于点． ①用等式表示与的数量关系，并证明； ②若，求的值． 【答案】(1)见解析； (2)①，证明见解析；②． 【分析】（1）利用菱形性质得到和的关系，结合旋转角，通过角的和差关系证明； （2）①通过构造全等三角形，再证明另一对三角形全等，从而得出与的数量关系； ②根据前面得到的线段关系设未知数，利用相似三角形的性质，结合菱形对角线性质，求出的值． 本题是相似形综合题，主要考查了全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，菱形的性质，熟记各性质定理是解题的关键． 【详解】（1）证明：四边形是菱形， ，， ， ， 线段绕点A逆时针旋转得到， ，，， ； （2）①证明：延长到H，使得，连接，如图： 为的中位线， ， ，， ， ， ， ≌， ； ②过F作于N，过E作于M，如图： ， ， 和等底， ， 是FH中点，≌， ， ， ， ， ， ∴ 32．在四边形中，对角线，交于点，，垂直平分． (1)求证：四边形是菱形； (2)若四边形的面积为，，． 求线段的长度； 若，求线段的长度． 【答案】(1)证明见解析； (2)；． 【分析】（）根据证明，进而利用菱形的判定解答即可； （）利用菱形的性质得出，进而利用菱形的面积和勾股定理解答即可； 利用勾股定理得出，进而利用相似三角形的判定与性质解答即可． 【详解】（1）证明：∵垂直平分， ∴，， ∵， ∴， 在与中， ， ∴， ∴， ∵， ∴四边形是平行四边形， ∵ ∴四边形是菱形； （2）解：过作于， ∵由（）可知四边形是菱形， ∴， ∵四边形是面积为，， ∴， ∴， ∴， ∴； 由可知，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 【点睛】此题考查了菱形的判定与性质，垂直平分线的性质，平行四边形的判定，全等三角形的判定与性质，勾股定理，相似三角形的判定与性质，掌握知识点的应用是解题的关键． 考点05 相似与正方形综合 33．【问题探究】 （1）已知正方形，点E在边上，点H在射线上，连接 ①如图1，当点H在边上时，过点H作交于点O，交边于点G，则线段______；（填“”“”或“”） ②如图2，平移图1中的线段，使点G与点D重合，点H在的延长线上，连接，取的中点P，连接，点N在上，且，连接求证：； 【问题解决】 （2）如图3，某市区有一块正方形广场，现计划对其进行改造，在广场内设计一条特色步道．规划详情如下：点E、F分别是正方形的边、的中点，沿、修建两条景观廊道，这两条廊道交汇于广场内的一个重要景观G处，为人行步道，同时修建一条穿过G点的特色步道（点M、N分别在边、上），且，将点E规划为一个入口，需要确定点到点的长度与整条步道长度的比例关系，即的值，以便合理布置服务设施和景观节点，请你帮助工作人员求出的值廊道宽度忽略不计） 【答案】（1）①；②见解析；（2） 【分析】（1）①证明四边形是平行四边形得到，再证明，得到，则可得到；②证明得到，证明是的中位线，得到，由勾股定理得，据此可证明结论； （2）运用正方形的性质证明，得证明得出，在中，求得，作于点交的延长线于点，则，证明四边形是正方形，得，作于点，于点，则，证明四边形是矩形，再分别证明和，运用相似三角形的性质求解即可． 【详解】（1）①解：如图1，过点C作，交于点F， ∵四边形是正方形 ，，， ， ∵ 四边形是平行四边形， ， ， ， ， 又∵， ， 在和中， ， ， ， ， 故答案为：； ②证明：四边形是正方形， ，， ， ， ， ∴ ， ，， ， 点P为的中点， 是的中位线， ， 在中，由勾股定理得 ，即 （2）解：设的长为单位“1”． 点分别是正方形的边的中点， ， ， ， ， ， 在中，由勾股定理得：， 即， ， 如图，作于点交的延长线于点，则， 又， ∴四边形是矩形， ， ，， ∴四边形是正方形， ， 在Rt中，由勾股定理得：， 如图，作于点，于点， 则， ， 四边形是矩形， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 的值是． 【点睛】本题主要考查平行四边形的性质与判定，全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，正方形的性质与判定，勾股定理，三角形中位线定理等等，正确作出辅助线是解题的关键． 34．如图1，四边形和四边形均为正方形，点，分别在，上，，分别为两正方形的对角线． (1)猜想：图1中的值为________； (2)探究：将正方形绕点旋转到图2位置，连接，，判断的值是否保持不变？并说明理由． 【答案】(1) (2)的值保持不变，理由见解析 【分析】（1）根据正方形性质，结合点E在上，点G在上，点F在上，可得，即得； （2）的值保持不变．证明即可求证． 【详解】（1）解：∵四边形和四边形均为正方形， ∴， ∵点E在上，点G在上， ∴， ∵, ∴， ∴点A、F、C三点共线，点F在上， ∴． 故答案为：． （2）解：的值保持不变．理由： 四边形与四边形是正方形， ，， ∴， 即， ， ． 【点睛】本题考查了正方形的性质，勾股定理，平行线分线段成比例定理，相似三角形的判定和性质，熟练掌握这些知识点是解题的关键． 35．如图，在正方形中，对角线与相交于点，是边上的一个动点，连接，交于点． (1)如图1，当时，求的值． (2)如图2，当平分时，过点作，垂足为，连接．求证：四边形是菱形． (3)如图3，当是的中点时，过点作，垂足为，求的值． 【答案】(1) (2)证明见解析 (3) 【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质、等腰三角形的判定与性质、正方形的性质等知识点，理解正方形的性质是关键． （1）由四边形是正方形，得到，，再证明，最后由相似三角形的性质求解即可； （2）由平分得到，再证得，从而得出四边形是平行四边形，再证得，最后得到结论． （3）由及是的中点得出，从而可得，再证得，最后由相似三角形的性质可得结论． 【详解】（1）解：在正方形中，，， ， ． （2）证明：四边形是正方形， ，． 平分，，， ，，， ， ， ． ，， ， 四边形是平行四边形． ， 四边形是菱形． （3）由（1）得， ， 是的中点，， ， ． ， ， ， ， ，即， ． 36．在正方形中，为边上一动点，将沿折叠，得到，过点作直线，分别交，于点，． (1)如图①，求证：； (2)如图②，若正方形的边长为10，，求的值； (3)如图③，延长交边于点，连接交于点，当时，求出的值． 【答案】(1)见解析 (2) (3) 【分析】（1）根据正方形的性质，折叠的性质，平行线的性质可证，结合相似三角形的判定即可证明结论； （2）根据题意可证四边形是矩形，可得，，由（1）中，可得，再根据相似三角形的性质列比例式求解即可； （3）根据题意可证，可得，，则有，，，，即点P是的中点，设，，则，，，在中，由勾股定理可得，由此可得，进而得到，最后代入求解即可． 【详解】（1）证明：∵四边形是正方形， ∴，， ∵在正方形中，为边上一动点，将沿折叠得到，直线， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴． （2）解：∵正方形的边长为10， ∴ ∵将沿折叠得到， ∴，， 由 (1) 知， 四边形是矩形， ，，， ，， 由 (1) 知， 与的相似比是， ， 在中，， ， ， ， 或， （舍去）或， ； （3）解：根据题意，，， 在和中， ， ∴， ∴，， ∵，， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴，即， ∴，即点是的中点， ∴， 设，，则，，， 在中，由勾股定理得：， ，解得：， ∴，， ∴． 【点睛】本题主要考查正方形的性质、折叠的性质、相似三角形的判定和性质、全等三角形的判定和性质、等角对等边、勾股定理求线段长等知识点，掌握相似三角形的判定和性质、全等三角形的判定和性质是解题的关键． 37．综合与探究：如图①，已知四边形 是正方形，点 E，F 分别在边， 上，，，与交于点O． (1)求证：． (2)如图②，若E是边的中点，连接 并延长交 于点H，求 的值． (3)如图③，在（2）的条件下，延长交的延长线于点M，若，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) (3) 【分析】本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，根据平行证明两个三角形相似是解题的关键． （1）利用“HL”证明，根据全等三角形的性质证得； （2）设，先把用表示出来，再证明，最后根据相似三角形的性质求解即可； （3）根据求得，，在中，根据勾股定理求得，最后求得的值． 【详解】（1）证明：在正方形中，， ， ， ； （2）解：， ， 在中，，设， ， ， ，， 在中，， ，即， ， ； （3）解：由（2）知，， ，, ， ， ，， 在中，， ，即, 解得，(舍去）， ． 38．如图1，在正方形中，M是边上一点（不与点B重合），将绕点M顺时针旋转得，交于点H，连接交于点N． (1)①求证：， ②若，求证：N是的中点； (2)如图2，当点M、N分别在边延长线上时，若正方形的边长为5，，求线段的长． 【答案】(1)①见解析②见解析 (2) 【分析】本题主要考查一次函数的应用，全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质等知识，正确作辅助线构造全等三角形和相似三角形是解答本题的关键． （1）①由正方形的性质可得，由旋转得，从而得，进而可得； ②设正方形的边长为，得，；过点作交的延长线于点，证明，可得,，，分别以和所在直线为坐标轴，建立平面直角坐标系，此时,，，，，求出直线的解析式，可得结论； （2）方法同②可得直线的解析式为，求出，，延长交于点，证明，根据相似三角形的性质可求出，代入计算即可得的长． 【详解】（1）解：①证明：∵四边形是正方形， ∴， ∴， 由旋转得， ∴， ∴， 又∵， ∴； ②设正方形的边长为，则， ∵， ∴； 过点作交的延长线于点，如图， ∵绕点顺时针旋转得, ∴，， ∴， 又， ∴， 又， ∴， ∴,， ∴， 分别以和所在直线为坐标轴，建立平面直角坐标系，此时,，，，， 设直线的解析式为， 把，代入得， 解得， ∴直线的解析式为， 当时，， ∴在直线上， 又的中点坐标为，即， ∴N是的中点； （2）解：∵正方形的边长为5， ∴， 分别以和所在直线为坐标轴，建立平面直角坐标系，此时,，， 设，过点作交的延长线于点，如图， 同（1）②可证， ∴，，, ∴， 设直线的解析式为， 把，代入得， 解得， ∴直线的解析式为， 当时，，即 ∴， 延长交于点，则, ∴四边形是矩形， ∴， ∴； ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴ ∴ ∴． 39．如图1，在边长为2的正方形中，动点在对角线上，连接，以为斜边向下作等腰直角三角形． (1)求证：； (2)点在运动过程中，求的最大值； (3)如图2，点是中点，连接，．求证：． 【答案】(1)见解析 (2) (3)见解析 【分析】本题考查了正方形的性质和全等三角形的判定和性质、等腰三角形的性质和判定、勾股定理等知识点，解题关键是构建直角三角形，利用勾股定理进行求解． （1）根据正方形，等腰直角三角形的性质得到，由三角形外角的性质即可求解； （2）过点作于，过点作于，设，则，，接着可证，根据相似比得到，，再在中，利用勾股定理得到的表达式，根据函数性质求最值即可； （3）过点作于，可证得，进而得到，，，再在中，利用勾股定理求得，结合（2）中即可证明． 【详解】（1）证明：∵四边形是正方形，是对角线， ∴，， ∵是等腰直角三角形， ∴， ∵是的外角， ∴， ∵， ∴； （2）解：过点作于，过点作于， 设， 在正方形中，， 为等腰直角三角形， ，则， 由（1）知，即， 又， ， ， 又为等腰直角三角形， ， ，即， 解得，， ， 在中，， ， 又时，随的增大而增大， 时，取得最大值，最大值为， 所以点在运动过程中，的最大值为； （3）证明：过点作于， 由（2）知， ， ， ， 又是中点， ，则， ，， ， 在中，， ， 由（2）知， ． 40．如图所示，正方形中，点、分别在边、上，且． (1)证明：； (2)证明：正方形的边长是与的比例中项． 【答案】(1)见详解 (2)见详解 【分析】本题主要考查正方形的性质及相似三角形的性质与判定，熟练掌握正方形的性质及相似三角形的性质与判定是解题的关键； （1）连接，由题意易得，然后可得，则有，进而问题可求证； （2）由（1）可知：，，则有，然后可得，进而根据相似三角形的性质及正方形的性质可进行求证． 【详解】（1）证明：连接，如图所示： ∵四边形是正方形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； （2）解：由（1）可知：，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 即正方形的边长是与的比例中项． 考点06 相似与圆综合 41．如图，在中，，以点为圆心，为半径的圆与交于点，直线与相切，并且交于点，与的延长线交于点． （1）求证：； （2）若，，求的长． 【答案】（1）见解析；（2）． 【分析】(1)连接CD，根据互余原理，等腰三角形性质可证∠A=∠BDF，利用∠ADE=∠BDF等量传递即可得证； (2)利用勾股定理求EF，利用计算即可. 【详解】（1）证明：连接． ∵与相切， ∴，即． ∴． ∵， ∴． ∵， ∴， ∴． （2）∵，，根据勾股定理， 得． ∵， ， ∴． ∵， ∴． ∴， ∴． 解得． ∴． 【点睛】本题考查了圆的切线,等腰三角形的判定,勾股定理,三角形的相似,熟练运用三角形相似的判定和性质是解题的关键. 42．如图，在△ABC中，AB＝AC，以AB为直径作圆O，分别交BC于点D，交CA的延长线于点E，过点D作DH⊥AC于点H，连接DE交线段OA于点F． （1）求证：DH是圆O的切线； （2）若A为EH的中点，求的值. 【答案】（1）见解析；（2）. 【分析】（1）根据同圆的半径相等和等边对等角证明：∠ODB=∠OBD=∠ACB，则DH⊥OD，DH是圆O的切线； （2）如图2，先证明∠E=∠B=∠C，则H是EC的中点，设AE=x，EC=4x，则AC=3x，由OD是△ABC的中位线，得：OD=AC=，证明△AEF∽△ODF，列比例式可得结论； 【详解】连接OD，如图1， ∵OB＝OD， ∴△ODB是等腰三角形， ∠OBD＝∠ODB①， 在△ABC中，∵AB＝AC， ∴∠ABC＝∠ACB②， 由①②得：∠ODB＝∠OBD＝∠ACB， ∴OD∥AC， ∵DH⊥AC， ∴DH⊥OD， ∴DH是圆O的切线； （2）如图2， 在⊙O中，∵∠E＝∠B， ∴由（1）可知：∠E＝∠B＝∠C， ∴△EDC是等腰三角形， ∵DH⊥AC，且点A是EH中点， 设AE＝x，EC＝4x，则AC＝3x， 连接AD，则在⊙O中，∠ADB＝90°，AD⊥BD， ∵AB＝AC， ∴D是BC的中点， ∴OD是△ABC的中位线， ∴OD∥AC，OD＝AC＝×3x＝， ∵OD∥AC， ∴∠E＝∠ODF， 在△AEF和△ODF中， ∵∠E＝∠ODF，∠OFD＝∠AFE， ∴△AEF∽△ODF， ∴, ∴, ∴. 【点睛】本题是圆的综合题，考查了等腰三角形的性质和判定、切线的性质和判定、三角形的中位线、三角形相似的性质和判定、圆周角定理，第三问设圆的半径为r，根据等边对等角表示其它边长，利用比例列方程解决问题． 43．如图，△ABC内接于圆O，且AB＝AC，延长BC到点D，使CD＝CA，连接AD交圆O于点E． （1）求证：△ABE≌△CDE； （2）填空： ①当∠ABC的度数为　 　时，四边形AOCE是菱形． ②若AE＝，AB＝2，则DE的长为　 　． 【答案】（1）详见解析；（2）①60°；②． 【分析】（1）根据AAS证明两三角形全等； （2）①先证明∠AOC＝∠AEC＝120°，∠OAE＝∠OCE＝60°，可得▱AOCE，由OA＝OC可得结论； ②由△ABE≌△CDE知AE＝CE＝，AB＝CD＝2，，证△DCE∽△DAB得，据此求解即可． 【详解】（1）∵AB＝AC，CD＝CA， ∴∠ABC＝∠ACB，AB＝CD， ∵四边形ABCE是圆内接四边形， ∴∠ECD＝∠BAE，∠CED＝∠ABC， ∵∠ABC＝∠ACB＝∠AEB， ∴∠CED＝∠AEB， ∴△ABE≌△CDE（AAS）； （2）①当∠ABC的度数为60°时，四边形AOCE是菱形； 理由是：连接AO、OC， ∵四边形ABCE是圆内接四边形， ∴∠ABC+∠AEC＝180°， ∵∠ABC＝60， ∴∠AEC＝120°＝∠AOC， ∵OA＝OC， ∴∠OAC＝∠OCA＝30°， ∵AB＝AC， ∴△ABC是等边三角形， ∴∠ACB＝60°， ∵∠ACB＝∠CAD+∠D， ∵AC＝CD， ∴∠CAD＝∠D＝30°， ∴∠ACD=120°, ∵∠ECD=∠BAE=60°+30°=90°， ∴∠ACE＝,120°﹣90°＝30°， ∴∠OAE＝∠OCE＝60°， ∴四边形AOCE是平行四边形， ∵OA＝OC， ∴▱AOCE是菱形； ②∵△ABE≌△CDE， ∴AE＝CE＝，AB＝CD＝2， ∵∠DCE＝∠DAB，∠D＝∠D， ∴△DCE∽△DAB， ∴，即， 解得DE＝， 故答案为：． 【点睛】此题是图形类的综合题，考查三角形全等的判定，等边三角形的性质，菱形的判定定理，相似三角形的判定及性质的运用，解题时注意综合运用的方法. 44．如图，已知⊙O是△ABC的外接圆，AD是⊙O的直径，且BD=BC，延长AD到E，且有∠EBD=∠CAB． (1)如图1，若BD=,AC=6 A．求证：BE为圆O的切线 B．求DE的长 (2)如图2，连结CD交AB于点F,若BD=，CF=3，求圆O的半径． 【答案】（1）A.见解析；B.；（2）5 【分析】（1）A.连接OB，由条件可求得∠EBD=∠ABO，再利用圆周角定理可求得∠EBD+∠OBD=90°，可证明BE是⊙O的切线； B.利用圆内接四边形的性质可求得∠BDE=∠ACB，可证明△ACB∽△BDE，利用相似三角形的性质可求得DE的长； （2）延长DB、AC交于点H，可证得△ABD≌△ABH，可求得HB，再利用△DCH∽△DBF，可求得DF的长，设⊙O的半径为r，则AD=AH=2r，在Rt△DCH中可求得CH=4，在Rt△ADC中，AD=2r，CD=8，AC=2r-4，由勾股定理可得到关于r的方程，可求得圆的半径． 【详解】(1) A.如图1，连接OB， ∵BD=BC， ∴∠CAB=∠BAD， ∵∠EBD=∠CAB， ∴∠BAD=∠EBD， ∵AD是⊙O的直径， ∴∠ABD=90°，OA=BO， ∴∠BAD=∠ABO， ∴∠EBD=∠ABO， ∴∠OBE=∠EBD+∠OBD=∠ABD+∠OBD=∠ABD=90°， ∵点B在⊙O上， ∴BE是⊙O的切线； B.∵四边形ACBD是圆的内接四边形， ∴∠ACB=∠BDE，且∠EBD=∠CAB， ∴△ACB∽△BDE， ∴=,即， 解得DE=； (2)如图2，延长DB、AC交于点H， ∵AD为⊙O的直径， ∴∠ABD=∠ABH=90°， ∵BD=BC， ∴∠DAB=∠HAB， 在△ABD和△ABH中 ∴△ABD≌△ABH(ASA)， ∴BD=HB=， ∵∠DCH=∠FBD=90°， ∴△DCH∽△DBF， ∴=,即=，解得DF=5， 设⊙O的半径为r，则AD=AH=2r， 在Rt△DCH中,CH===4， ∴AC=2r−4， 在Rt△ACD中,由勾股定理可得AD2=AC2+CD2， ∴(2r)2=(2r−4)2+82，解得r=5， 即⊙O的半径为5. 【点睛】本题考查了圆周角定理，圆内接四边形的性质，勾股定理，相似三角形的判断和性质，综合性比较强，熟练掌握性质定理是解题的关键. 45．如图，四边形ABCD为圆内接四边形，A为弧BD中点，连接对角线AC，E在AC上，且AE＝AB求证： （1）∠CBE＝∠CAD； （2）AC2＝BC•CD+AB2． 【答案】（1）证明见解析   （2）证明见解析 【分析】（1）连接BD交AC于F，根据圆的性质得：∠ABD＝∠ACB＝∠ACD，由等腰三角形的性质得：∠ABE＝∠AEB，根据外角的性质得：∠CBE＝∠DBE，从而得结论； （2）先根据两角相等两三角形相似证明：△ACD∽△BCF和△ABF∽△ACB，列比例式后，化为乘积式后相加可得结论． 【详解】证明：（1）连接BD交AC于F， ∵A为弧BD中点， ∴弧AB=弧AD， ∴∠ABD＝∠ACB＝∠ACD， ∵AB＝AE， ∴∠ABE＝∠AEB， ∵∠AEB＝∠ACB+∠CBE，∠ABE＝∠ABD+∠DBE， ∴∠CBE＝∠DBE， ∵∠CAD＝∠CBD＝2∠CBE， ∴∠CBE＝∠CAD， （2）∵∠DBC＝∠CAD，∠ACB＝∠ACD， ∴△ACD∽△BCF， ∴ ， ∴BC•CD＝AC•CF①， ∵∠ABF＝∠ACB，∠BAF＝∠CAB， ∴△ABF∽△ACB， ∴， ∴AB2＝AC•AF②， ①+②得：AB2+BC•CD＝AC•CF+AC•AF＝AC（CF+AF）， ∴AC2＝BC•CD+AB2． 【点睛】本题考查圆周角定理、相似三角形的判定和性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，学会利用相似三角形的性质解决线段之间的关系问题． 46．如图，已知AB是的直径，C为圆上一点，D是的中点，于H，垂足为H，连交弦于E，交于F，联结. (1)求证：. (2)若，求的长. 【答案】（1）证明见解析；（2） 【分析】（1）由题意推出再结合，可得△BHE～△BCO. （2）结合△BHE～△BCO，推出带入数值即可. 【详解】（1）证明：∵为圆的半径，是的中点， ∴,, ∵, ∴， ∴, ∴, ∵, ∴, ∴, 又∵, ∴∽． （2）∵∽， ∴, ∵，, ∴得， 解得， ∴. 【点睛】本题考查的知识点是圆与相似三角形，解题的关键是熟练的掌握圆与相似三角形. 47．如图，在等腰△ABC中，AB＝AC，AB为直径的圆O交BC于点D，过点C作CF∥AB，与⊙O的切线BE交于点E，连接DE： （1）求证：BD＝CD； （2）求证：△CAB∽△CDE； （3）设△ABC的面积为S1，△CDE的面积为S2，若∠ABC＝30°，S1，S2满足，试求直径AB的长． 【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）AB＝4． 【分析】（1）因为AB＝AC，欲证明BD＝DC，只要证明AD⊥BC即可． （2）可根据两角对应相等的两个三角形相似进行证明． （3）分别用x表示S1、S2，列出方程即可解决问题． 【详解】（1）证明：∵AB是直径， ∴∠ADB＝90°， ∴AD⊥BC， ∵AB＝AC， ∴BD＝CD． （2）证明：∵AB∥CE， ∴∠ABC＝∠BCE， ∵AB＝AC， ∴∠ABC＝∠ACB， ∴∠ACB＝∠BCE， ∵BE是⊙O切线， ∴∠ABE＝90°， ∵AB∥CE， ∴∠BEC+∠ABE＝90°， ∴∠BEC＝90°， ∵BD＝DC， ∴DE＝DB＝DC， ∴∠BCE＝∠DEC， ∴∠ABC＝∠DEC， ∴△CAB∽△CDE． （3）解：设AB＝2x，则S1＝， ∵△CAB∽△CDE， 由题意得：，解得，x＝±2（负值舍去）， ∴AB＝4． 【点睛】本题考查圆的综合题、等腰三角形的判定和性质、相似三角形的判定和性质、平行线的性质等知识，解题的关键是灵活运用这些知识解决问题． 48．如图，是圆的一条直径，弦垂直于，垂足为点、是劣弧上一点，点处的切线与的延长线交于点，连接，交于点． 求证： 已知，，，求圆的直径． 【答案】(1)证明见解析；(2) 圆的直径为． 【分析】（1）如图1，连接OE，根据切线的性质得出∠PEO=90°，求出∠PEF=∠PFE，根据等腰三角形的判定得出即可； （2）如图2，连接BE，根据相似三角形的判定得出△AGF∽△AEB，得出比例式，代入求出即可． 【详解】如图，连接， ∵是的切线， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴； 如图，连接， ∵为直径， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵，，， ∴， ∴， 即圆的直径为． 【点睛】本题考查了切线的性质，等腰三角形的性质和判定，相似三角形的性质和判定的应用，能综合运用知识点进行推理和计算是解此题的关键． 1 / 37 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题14 相似与几何图形综合问题分类训练 （6种类型48道） 考点01 相似与平行线综合 考点02 相似与平行四边形综合 考点03 相似与矩形综合 考点04 相似与菱形综合 考点05 相似与正方形综合 考点06 相似与圆综合 考点01 相似与平行线综合 1．如图，已知直线、被三条互相平行的直线、、所截，其中点A、B、C在直线上，点D、E、F在直线上．下列四个结论①，②，③，④中，正确的个数有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 2．如图，CE是平行四边形ABCD的边AB的垂直平分线，垂足为点O，CE与DA的延长线交于点E，连接AC、BE、DO，且DO与AC交于点F．则下列结论：①四边形ACBE是菱形；②∠ACD＝∠BAE；③AF∶AD＝2∶5；④S四边形AFOE∶S△COD＝2∶3．其中结论正确的有（    ） A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 3．如图，点F是ABCD的边CD上一点，直线BF交AD的延长线于点E，则下列结论正确的有(　 　) ① ；② ； ③；④. A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 4．已知，如图，DE∥BC，EF∥AB，则下列结论： ① ② ③ ④ 其中正确的比例式的个数是（    ） A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 5．如图，在中，和的平分线相交于点，过点作交于点，交于点，交于点，连接．给出以下四个结论：    ①若，； ②； ③平分； ④若，，则． 其中正确的有 ．(把所有正确结论的序号都选上) 6．如图， 是的中位线， 是的中点，射线与交于点，与的延长线交于点．下列结论：①；②； ③；④，正确的有 ．(填序号．)    7．如图， 在中，D在AB的延长线上，E在AC的延长线上， 且．下列结论：①；②；③；④，其中正确的有 ．（填序号） 8．如图，在中，线段AD为中线，点O为线段AD的中点，直线l经过点O，且B，C两点在l的同侧，过点B，C，D，A作直线l的垂线，垂足分别为点E，F，H，G．则下列说法一定正确的有 ．    ①； ②； ③； ④若点B，C位于l异侧，有． 考点02 相似与平行四边形综合 9．如图，在平行四边形中，过点作交边于点，点在边上，且，连接交于点． (1)求证：四边形是矩形； (2)若平分，且，求线段的长． 10．如图，四边形为平行四边形，为边上一点，连接，，它们相交于点，且． (1)求证：； (2)若，，，求的长． 11．如图，平行四边形中，于，于，与、分别相交于点、．求证：． 12．在平行四边形中，对角线交于点O，P是线段上一个动点（不与点O、点C重合），过点P分别作的平行线，交于点E，交于点F、G，连接． (1)如图1，如果，求证：； (2)如图2，如果，，且与相似，并求的值； (3)如图3，如果，且射线过点A．请补全图形，并求的度数． 13．如图，在平行四边形中，F是上一点，交于点E，的延长线交的延长线于点G，． (1)求证：； (2)求的值． 14．如图，在平行四边形中，为上一点，连接、，且、交于点， (1)求证：； (2)已知，，，求的长． 15．已知，如图，在平行四边形中，E、F分别是边、上的点，且，、分别交于点G和点H，，．求： (1)的值； (2)线段的长. 16．【定义】 如果从一个平行四边形的一个顶点向不过该顶点的对角线作垂线，垂线交平行四边形的边于另一点，且该点为所在边的中点，那么这个平行四边形叫做“垂中平行四边形”，垂足叫做“垂中点”． 如图1，在中，于点，交于点，若为的中点，则是垂中平行四边形，是垂中点． 【应用】 (1)如图1，在垂中平行四边形中，是垂中点．若，，则________；________； (2)如图2，在垂中平行四边形中，是垂中点．若，试猜想与的数量关系，并加以证明； 考点03 相似与矩形综合 17．在矩形中，，的平分线交于点，交射线于点，交射线于点，取的中点，连接． (1)利用图①，求证：； (2)若射线交射线于点，当时，请直接写出的面积； (3)如图②，交于点，若，求的长． 18．如图，矩形中，点在边上，连接，过点作于点，交于点，连接并延长交于点，且点恰好是的中点． (1)求证：； (2)求证：； (3)若，求的长． 19．如图，E，F分别在矩形的边和上，垂直平分． (1)求证：四边形为菱形； (2)取的中点（如图），我们称为菱形的“对中三角形”． ①设菱形的边长为x，的周长为y，当时，求y与x的函数关系式；（不必写出x的取值范围） ②当菱形的一条对角线与它的对中三角形的一边相等时，直接写出的值． 20．矩形中，，，E是射线上一点，连接，点C关于的对称点F恰好落在射线上． (1)如图，当点E在边上时，若，的长为 ；若时，求的长； (2)作的平分线交射线于点M，当时，求的长． 21．如图，在矩形中，，，动点从点开始以每秒个单位长度沿向终点运动，同时，动点从点开始沿以每秒个单位长度向终点运动，它们同时到达终点，设运动的时间为秒． (1)当点在线段上时，求证：； (2)当点在线段上时是直角三角形，求出此时的值？ 22．（1）基础：如图1，在矩形中，是边上一点，将沿着折叠得到．若点恰好落在上，求证：． （2）迁移：如图2，在矩形中，，是边的中点，是边上一点，若点恰好落在上，将沿着折叠得到．若，求的值． （3）拓展：如图3，在矩形中，是的一条角平分线，是边上一点，将沿着折叠得到．若点恰好落在的中点，，设，求的值． 23．已知，矩形中，，，E是边上的动点． (1)如图①，当点F在边上时，若，求的值； (2)如图②，当点F在边上时，若，求证：是一个定值； (3)当点F为矩形某边上一点，若四边形的对角线，且，请直接写出的长． 24．如图，已知矩形中，，．某一时刻，动点从点出发沿方向以的速度向点匀速运动；同时，动点从点出发沿方向以的速度向点匀速运动． (1)经过多长时间，的面积等于矩形面积的？ (2)是否存在时刻，使以，，为顶点的三角形与相似？若存在，求的值；若不存在，请说明理由． 考点04 相似与菱形综合 25．如图，菱形的对角线相交于点，过点作，过点作交于点，延长到，使得，连接交于点，连接，在上取点，连接， (1)求证：四边形是矩形； (2)若菱形的周长，，则________． 26．如图，在菱形中，点为对角线上的动点，连接，将绕点按逆时针方向旋转至，使与交于点． (1)求证：； (2)已知． ①当时，求的面积； ②当将分成的两部分的面积之比为时，试求出的值． 27．已知，点是上任意一点，菱形菱形． (1)求证：； (2)若，，求的长． 28．如图，在菱形中，点在对角线上，点在边上，连接并延长交于点F，请用尺规作图法作，使得，且点在上．（保留作图痕迹，不写作法） 29．定义：菱形一边的中点与它所在边的对边的两个端点连线所形成的折线，叫做菱形的折中线．例如，如图 1，在菱形中，是的中点，连接，，则折线叫做菱形的折中线，折线的长叫做折中线的长． 已知，在菱形中，，是的中点，连接，． (1)如图 1，若，，求折中线的长； (2)如图 2，若，请探究折中线的长与菱形的边长之间满足的等量关系式，并说明理由； (3)若，且折中线中的或与菱形的一条对角线相等，求折中线的长． 30．已知菱形，是边上一点，连接交于点． (1)如图，当是中点时，求证：； (2)如图，连接，若，，当为直角三角形时，求的长； (3)如图，当时，若，则_____．（请直接写出） 31．如图1，在菱形中，，E是上的一点，将线段绕点A逆时针旋转得到，连接，． (1)求证：； (2)如图2，G是的中点，连接，延长，相交于点． ①用等式表示与的数量关系，并证明； ②若，求的值． 32．在四边形中，对角线，交于点，，垂直平分． (1)求证：四边形是菱形； (2)若四边形的面积为，，． 求线段的长度； 若，求线段的长度． 考点05 相似与正方形综合 33．【问题探究】 （1）已知正方形，点E在边上，点H在射线上，连接 ①如图1，当点H在边上时，过点H作交于点O，交边于点G，则线段______；（填“”“”或“”） ②如图2，平移图1中的线段，使点G与点D重合，点H在的延长线上，连接，取的中点P，连接，点N在上，且，连接求证：； 【问题解决】 （2）如图3，某市区有一块正方形广场，现计划对其进行改造，在广场内设计一条特色步道．规划详情如下：点E、F分别是正方形的边、的中点，沿、修建两条景观廊道，这两条廊道交汇于广场内的一个重要景观G处，为人行步道，同时修建一条穿过G点的特色步道（点M、N分别在边、上），且，将点E规划为一个入口，需要确定点到点的长度与整条步道长度的比例关系，即的值，以便合理布置服务设施和景观节点，请你帮助工作人员求出的值廊道宽度忽略不计） 34．如图1，四边形和四边形均为正方形，点，分别在，上，，分别为两正方形的对角线． (1)猜想：图1中的值为________； (2)探究：将正方形绕点旋转到图2位置，连接，，判断的值是否保持不变？并说明理由． 35．如图，在正方形中，对角线与相交于点，是边上的一个动点，连接，交于点． (1)如图1，当时，求的值． (2)如图2，当平分时，过点作，垂足为，连接．求证：四边形是菱形． (3)如图3，当是的中点时，过点作，垂足为，求的值． 36．在正方形中，为边上一动点，将沿折叠，得到，过点作直线，分别交，于点，． (1)如图①，求证：； (2)如图②，若正方形的边长为10，，求的值； (3)如图③，延长交边于点，连接交于点，当时，求出的值． 37．综合与探究：如图①，已知四边形 是正方形，点 E，F 分别在边， 上，，，与交于点O． (1)求证：． (2)如图②，若E是边的中点，连接 并延长交 于点H，求 的值． (3)如图③，在（2）的条件下，延长交的延长线于点M，若，求的长． 38．如图1，在正方形中，M是边上一点（不与点B重合），将绕点M顺时针旋转得，交于点H，连接交于点N． (1)①求证：， ②若，求证：N是的中点； (2)如图2，当点M、N分别在边延长线上时，若正方形的边长为5，，求线段的长． 39．如图1，在边长为2的正方形中，动点在对角线上，连接，以为斜边向下作等腰直角三角形． (1)求证：； (2)点在运动过程中，求的最大值； (3)如图2，点是中点，连接，．求证：． 40．如图所示，正方形中，点、分别在边、上，且． (1)证明：； (2)证明：正方形的边长是与的比例中项． 考点06 相似与圆综合 41．如图，在中，，以点为圆心，为半径的圆与交于点，直线与相切，并且交于点，与的延长线交于点． （1）求证：； （2）若，，求的长． 42．如图，在△ABC中，AB＝AC，以AB为直径作圆O，分别交BC于点D，交CA的延长线于点E，过点D作DH⊥AC于点H，连接DE交线段OA于点F． （1）求证：DH是圆O的切线； （2）若A为EH的中点，求的值. 43．如图，△ABC内接于圆O，且AB＝AC，延长BC到点D，使CD＝CA，连接AD交圆O于点E． （1）求证：△ABE≌△CDE； （2）填空： ①当∠ABC的度数为　 　时，四边形AOCE是菱形． ②若AE＝，AB＝2，则DE的长为　 　． 44．如图，已知⊙O是△ABC的外接圆，AD是⊙O的直径，且BD=BC，延长AD到E，且有∠EBD=∠CAB． (1)如图1，若BD=,AC=6 A．求证：BE为圆O的切线 B．求DE的长 (2)如图2，连结CD交AB于点F,若BD=，CF=3，求圆O的半径． 45．如图，四边形ABCD为圆内接四边形，A为弧BD中点，连接对角线AC，E在AC上，且AE＝AB求证： （1）∠CBE＝∠CAD； （2）AC2＝BC•CD+AB2． 46．如图，已知AB是的直径，C为圆上一点，D是的中点，于H，垂足为H，连交弦于E，交于F，联结. (1)求证：. (2)若，求的长. 47．如图，在等腰△ABC中，AB＝AC，AB为直径的圆O交BC于点D，过点C作CF∥AB，与⊙O的切线BE交于点E，连接DE： （1）求证：BD＝CD； （2）求证：△CAB∽△CDE； （3）设△ABC的面积为S1，△CDE的面积为S2，若∠ABC＝30°，S1，S2满足，试求直径AB的长． 48．如图，是圆的一条直径，弦垂直于，垂足为点、是劣弧上一点，点处的切线与的延长线交于点，连接，交于点． 求证： 已知，，，求圆的直径． 1 / 37 学科网（北京）股份有限公司 $