重难点05 抽象函数及其应用8考点（期末真题汇编，广东专用）高一数学上学期人教A版必修第一册

专题05 抽象函数及其应用 8大高频考点概览 考点01抽象函数的定义域和值域 考点02求抽象函数的值 考点03抽象函数的单调性 考点04抽象函数的奇偶性 考点05抽象函数的周期性 考点06抽象函数的对称性 考点07解抽象不等式 考点08抽象函数比较大小 地 城 考点01 抽象函数的定义域和值域 1．（24-25高一上·广东佛山·期末）已知函数的定义域为，则函数的定义域为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据复合函数定义域和具体函数的定义域的求法，即可列式求解. 【详解】函数的定义域需满足不等式，解得：且， 所以函数的定义域是. 故选：C 2．【多选】（24-25高一上·广东广州·期末）下列说法正确的是（   ） A．函数的值域为 B．函数的值域为R C．函数与是同一个函数 D．若函数的定义域为，则函数的定义域为 【答案】ABC 【分析】利用函数的单调性求得值域判断A；利用换元法求得值域判断B；分别求得两函数的定义域，又，可判断C；利用抽象函数的定义域的求法求得函数的定义域判断D. 【详解】对于A，函数的定义域为， 又函数在上单调递增，所以， 所以函数的值域为，故A正确； 对于B，由，得，所以函数的定义域为， 令，则， 可得在和上单调递增，所以， 所以函数的值域为R，故B正确； 对于C，函数的定义域为R，函数的定义域为R， 又， 所以函数与是同一个函数，故C正确； 对于D，函数的定义域为，所以， 所以函数的定义域为，，解得， 所以函数的定义域为，选项D错误. 故选：ABC. 地 城 考点02 求抽象函数的值 3．（24-25高一下·广东汕尾·期末）已知函数在定义域上单调，若对任意的，都有，则的值是（    ） A． B． C．2025 D．2027 【答案】C 【分析】由函数在定义域上是单调函数，且，知是一个常数，令，得，结合的单调性可求得，即可求出的解析式以及的值. 【详解】由函数在定义域上是单调函数，且， 知是一个常数，令，则， ∴， ∵在定义域上单调，且, ∴，即 ∴. 故选：C. 4．（24-25高一上·广东梅州·期末）函数的定义域为R，满足，且当时，，则 ；时， ． 【答案】 16 【分析】根据，可得，进行求值；又时，，，即可得解. 【详解】根据题意，， 则； 时，， 则. 故答案为：16； 5．（24-25高二下·广东云浮·期末）已知函数的定义域为R，满足，且，则下列结论一定正确的是（    ）． A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用赋值法，令，化简处理可判断AC选项，再令，可判断BD选项. 【详解】令，则， 所以，故A，C错误； 令，则， 故选：B 6．【多选】（24-25高一上·广东汕尾·期末）已知是函数的一个零点，若，都有，则（    ） A． B． C．有最大值 D．是奇函数 【答案】ABD 【分析】利用赋值法可判断A；令，得，进而求得；构造函数可排除C，设，则，令即可证明函数是奇函数. 【详解】由题意，，令，则，解得， 对于A，令，则，解得， 令，则，解得，故A正确； 对于B，令，则， 则，故B正确； 对于C，设函数， 此时，，符合题意； 此时，的值域为，则无最大值，故C错误； 对于D，设， 因为，有， 即，有， 所以，有， 令，则，所以函数是奇函数， 即函数是奇函数，故D正确； 故选：ABD. 7．（23-24高一上·广东江门·期末）已知函数的定义域为R，对于任意实数x，y满足，且，则（   ） A．1012 B．2023 C．2024 D．4046 【答案】C 【分析】根据抽象函数的性质，化简即可得解. 【详解】对于任意实数，满足， 所以当时，， 所以 . 故选：C 地 城 考点03 抽象函数的单调性 8．（24-25高一上·广东佛山·期末）已知定义在上的函数满足，且当时，，则是（    ） A．奇函数，在上单调递增 B．奇函数，在上单调递减 C．偶函数，在上单调递增 D．偶函数，在上单调递减 【答案】A 【分析】取及进行赋值可以判断奇偶性，再由单调性的定义进行证明即可． 【详解】解：因为， 所以，得， 令， 则， 得，则函数为奇函数， 设，且，得，则， 则 ， 因为，所以，而， 则， 得，得，故函数在上单调递增． 故选：A． 9．【多选】（23-24高三上·广东汕头·期末）已知定义在上的函数满足：，，且当时，，若，则（    ） A． B．在上单调递减 C． D． 【答案】AC 【分析】利用赋值法可判断AC；利用函数单调性的定义，结合题设条件可判断B，利用条件推得，从而利用累加法与等差数列的求和公式可判断D. 【详解】对于A，因为，， 令，得，则，故A正确； 对于C，令，得，则， 所以，故C正确； 对于B，设且，则， 则 ， 因为当时，，所以，即 所以在上单调递增，故B错误； 对于D，令，得， 则，，，， 上述各式相加，得， 又， 所以，故D错误； 故选：AC. 地 城 考点04 抽象函数的奇偶性 10．（23-24高一上·广东珠海·期末）已知定义在上的函数满足，，且. (1)求的值； (2)判断的奇偶性，并证明. 【答案】(1) (2)为偶函数，证明见解析 【分析】（1）利用赋值法结合已知条件可求解； （2）令，结合条件和函数奇偶性定义判断. 【详解】（1）令，得， 令，得， 因为，所以，， 令，得，即， 因为，所以，所以. （2）为偶函数. 证明如下：令，得， 由（1）得， 即，又的定义域为，所以为偶函数. 11．（23-24高一上·广东梅州·期末）已知是定义在上且不恒为零的函数，对于任意实数满足，若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】对于赋值，求出，，，，确定奇偶性，通过奇偶性可得答案. 【详解】当时，， 当时，，可得， 当时，，可得， 函数是定义在上且不恒为零的函数， 令，可得，则函数是奇函数， 令，, 得，所以， 所以. 故选：. 地 城 考点05 抽象函数的周期性 12．（24-25高一上·广东深圳·期末）设函数是定义在上的周期为4的偶函数，当时，，则（    ） A． B．0 C．2 D．6 【答案】B 【分析】根据函数的奇偶性及周期性转化为求即可得解. 【详解】因为函数是定义在上的周期为4的偶函数， 所以， 因为当时，， 所以， 故选：B 13．（24-25高二下·广东深圳·期末）定义在上的奇函数满足，且，则 ． 【答案】1 【分析】由已知得出周期为4，，再由即可求解． 【详解】因为，所以周期为4， 又是定义在上的奇函数，所以， 所以， 故答案为：1． 14．（22-23高三上·广东·期末）已知函数，，，有，其中，，则下列说法一定正确的是（    ） A．是的一个周期 B．是奇函数 C．是偶函数 D． 【答案】A 【分析】利用特殊函数即可判断BCD，利用赋值法可证明是的一个周期，从而可得正确的选项. 【详解】取，，则， ， 因此成立， 此时，，故为偶函数，故B错误，D错误； 取，，则， ，， 因此成立，此时为奇函数，故C错误； 令，则， 令，，则， 若，则，又，故， 令，则，所以， 令，则， 令，则， 又，故，此时令，则， 故或. 若，则，故为偶函数， 故，即， 所以为周期函数且周期为. 若，则，故为奇函数， 故，即， 故， 所以为周期函数且周期为. 若，则，此时，故或， 若， 令，则， 令，，则，所以， 令，则， 令，则， 故即， 故为周期函数且周期为. 若， 令，则， 令，，则，所以， 令，则， 令， 则， 故即， 故为周期函数且周期为． 综上，是的一个周期，故A正确． 故选：A． 【点睛】抽象函数的性质问题，可以根据抽象函数的运算性质寻找具体的函数来辅助考虑，此处需要对基本初等函数的性质非常熟悉.另外，在研究抽象函数的性质时，注意通过合理赋值来研究抽象函数的对称性、周期性． 15．（21-22高一上·广东肇庆·期末）已知函数为奇函数，为偶函数，当时，，则 ． 【答案】 【分析】根据奇偶函数的对称性可得的图象关于点和直线对称，进而得出函数的周期，将化为即可. 【详解】由的图象关于原点对称，得的图象关于点对称． 由的图象关于y轴对称，得的图象关于直线对称， ∴，解得，即的周期为1， ∴． 故答案为： 16．（24-25高三上·广东湛江·期末）已知函数满足，且是奇函数，若，则（   ） A．-6 B．-3 C．3 D．6 【答案】C 【分析】先根据函数是奇函数得出，再结合已知条件得出周期，最后计算求解即可. 【详解】因为是奇函数，所以， 所以． 因为， 所以，所以，即是周期为4的周期函数， 则． 故选：C. 17．（24-25高二上·广东广州·期末）定义在上的函数满足，则的值为（   ） A． B．0 C．1 D．2 【答案】A 【分析】根据给定条件，探讨函数的周期性，再利用性质即可求出函数值. 【详解】当时，，则， 即，于是， 所以. 故选：A. 18．（22-23高二上·广东深圳·期末）已知定义域为R的函数满足是奇函数，是偶函数，则下列结论错误的是（    ） A．的图象关于直线对称 B．的图象关于点对称 C． D．的一个周期为8 【答案】C 【分析】根据是奇函数，可得，判断B;根据是偶函数，推出，判断A;继而可得，可判断D；利用赋值法求得，根据对称性可判断C. 【详解】由题意知是奇函数，即， 即，即， 故的图象关于点对称，B结论正确； 又是偶函数，故， 即，故的图象关于直线对称，A结论正确； 由以上可知，即， 所以，则， 故的一个周期为8，D结论正确； 由于，令，可得， 而的图象关于直线对称，故，C结论错误， 故选：C 【点睛】方法点睛：此类抽象函数的性质的判断问题，解答时一般要注意根据函数的相关性质的定义去解答，比如奇偶性，采用整体代换的方法，往往还要结合赋值法求得特殊值，进行解决. 地 城 考点06 抽象函数的对称性 19．（24-25高二下·广东深圳·期末）已知函数，则图象上关于原点对称的点有（   ） A．1对 B．2对 C．3对 D．4对 【答案】B 【分析】做出分段函数图形，将其中一段函数中心对称变换一下，观察与另一段函数图形的交点的个数. 【详解】 如图所示，当时，，其关于原点对称后的图像为， 易知与有两个交点，即上有两个点，中心对称后在上； 故选：B. 20．（24-25高一下·广东广州·期末）已知函数,的定义域均为 R，且， ，若的图象关于点对称，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】对A项从函数关于点中心对称得到；对B项，通过赋值，依次推理得到和的一个周期均为4，多次替换后即得结论；对C项进行求和得到的值与值相关，而的值不能确定，即可判断；对D项，先计算得到的每连续四个数的和为0，利用的周期性即得结论. 【详解】对于A，因的图象关于点对称，则， 又的定义域为 R，故 ，由，可得， 故，故A错误； 对于B，在中，取，可得，又，则， 因，则两式相加，可得， 则，故可得，即4为函数的一个周期. 由，则，即得，即4也是函数的一个周期. 由，可得，与联立， 可得，故得，故B错误； 对于C，由可得，但的值不能确定， 又，，则， 因，值不能确定，故C错误； 对于D，因，则，故， 又，两式相加，可得，即， 又，则， 于是，故D正确. 故选：D 21．【多选】（24-25高一下·广东揭阳·期末）已知函数是定义在上的奇函数，是偶函数，当时，，则下列说法中正确的有（    ） A．4是的一个周期 B．的图象关于直线对称 C． D．方程恰有8不同的实数根 【答案】ACD 【分析】根据函数的对称性结合奇偶性计算求解周期判断A，应用对称中心定义判断B，应用周期性求函数值判断C，画出图象结合数形结合判断交点判断D. 【详解】对于A，因为是偶函数，所以，即， ， 即的周期，故A正确； 对于B，由A得，函数的图象关于点对称，故B错误； 对于C，因为的周期，，则 当时，，则， 由，令则，令则， 所以，故C正确； 对于D，作出函数与函数的图象，如图． 所以曲线与有8个交点，故D正确． 故选:ACD. 22．（24-25高一上·广东汕尾·期末）若函数的图象关于直线对称，则 ，的最小值为 . 【答案】 【分析】求出函数的零点，由对称性可得零点关于对称，由此求出，进而验证即得答案；再变形函数，结合二次函数求出最小值. 【详解】由，得， 由的图象关于直线对称，得必为方程的二根， 则，即， 此时， ， 因此函数的图象关于直线对称，； ，当且仅当，即时取等号， 所以的最小值为. 故答案为：14； 【点睛】关键点睛：本题解决的关键是注意到方程有两个根，利用对称性求得方程对应的两个根. 23．（24-25高三上·广东深圳·期末）设函数，则“”是“的图象关于对称”的（    ） A．充要条件 B．充分不必要条件 C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】C 【分析】根据的图象关于对称等价于恒成立，求出的值，即可判断充分性和必要性. 【详解】由题意，函数的定义域为. 因为函数的图象关于对称恒成立， 即恒成立， 化简得恒成立， 即，解得. 因为“”是“”的必要不充分条件， 所以“”是“的图象关于对称”的必要不充分条件. 故选：C. 地 城 考点07 解抽象不等式 24．（24-25高一下·广东揭阳·期末）已知偶函数在区间上单调递增，则满足的的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据偶函数的单调性列绝对值不等式求解即可. 【详解】因为为偶函数，且在区间上单调递增，则在区间上单调递减， 而，则，所以． 故选：C． 25．（24-25高一上·广东梅州·期末）函数是定义在上的偶函数，且在区间上单调递增，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据偶函数的性质，把函数不等式转化成代数不等式求解. 【详解】因为为上的偶函数，且在上单调递增，所以在上单调递减. 所以或，即或. 所以所求不等式的解集为：. 故选：C 26．（24-25高一上·广东深圳·期末）已知函数是定义域为的奇函数，且在上单调递减．若，则的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由题可得在R上的单调性，然后由奇函数性质可得答案. 【详解】是定义域为的奇函数，且在上单调递减， 则在上单调递减，即在R上单调递减. 又，则， 则. 故选：C 27．（22-23高一上·广东深圳·期末）若是偶函数且在上单调递增，又，则不等式的解集为（    ） A． B．或 C．或 D．或 【答案】B 【分析】根据偶函数的性质有在上单调递减，在上单调递增，且，再由偶函数、单调性求解集. 【详解】由题设，偶函数在上单调递减，在上单调递增，且， 所以，故或，解集为或. 故选：B 28．（22-23高一上·广东肇庆·期末）已知函数的定义域是，函数的图象的对称中心是，若对任意的，，且，都有成立，，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用函数的图象的对称中心是可得是上的奇函数，由可得，故可得在上单调递增，然后分，和三种情况进行求范围即可 【详解】因为是向左平移1个单位长度得到，且函数的图象的对称中心是， 所以的图象的对称中心是，故是上的奇函数，所以， 对任意的，，且，都有成立， 所以， 令，所以根据单调性的定义可得在上单调递增， 由是上的奇函数可得是上的偶函数 所以在上单调递减， 当时，不等式得到，矛盾； 当时，转化成即，所以； 当时，转化成，，所以， 综上所述，不等式的解集为 故选：D 地 城 考点08 抽象函数比较大小 29．（25-26高一上·广东·期末）设偶函数的定义域为，当时，是增函数，则，，的大小关系是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先利用偶函数的性质，将函数值转化到单调区间上，然后利用函数的单调性比较大小关系，即可得到结果． 【详解】因为函数为偶函数，，， 当时，是增函数，又， 所以，即. 故选：A. 30．（22-23高二上·广东·期末）已知定义在上的函数满足：，且在内单调递增，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据题意可得函数是周期为4的函数，且在内单调递增，在内单调递减，然后利用周期和单调性即可求解. 【详解】根据题意，函数满足，， 则有，变形可得， 则有，即函数是周期为4的周期函数， 对称轴为，在内单调递增，所以在内单调递减，，， 因为，所以，即. 故选：. 31．【多选】（22-23高一上·广东梅州·期末）已知是定义在上的奇函数，当时，恒成立，则（    ） A．在上单调递增 B．在上单调递减 C． D． 【答案】BC 【分析】由已知，结合题意给的不等关系，两边同除得到，然后根据，判断选项A，由可判断选项B，选项C和选项D，可利用前面得到的不等式，令，带入，然后借助是奇函数进行变换即可完成判断. 【详解】由已知，，， 所以，即， 所以在上单调递减，又是定义在上的奇函数， 所以在上单调递减，故A错误； 因为，所以， 所以， 所以在上单调递减，故B正确； 因为时，恒成立， 所以令，代入上式得，即， 又因为是定义在上的奇函数，所以， 所以，故选项C正确，选项D错误. 故选：BC. 试卷第1页，共3页 / 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题05 抽象函数及其应用 8大高频考点概览 考点01抽象函数的定义域和值域 考点02求抽象函数的值 考点03抽象函数的单调性 考点04抽象函数的奇偶性 考点05抽象函数的周期性 考点06抽象函数的对称性 考点07解抽象不等式 考点08抽象函数比较大小 地 城 考点01 抽象函数的定义域和值域 1．（24-25高一上·广东佛山·期末）已知函数的定义域为，则函数的定义域为（    ） A． B． C． D． 2．【多选】（24-25高一上·广东广州·期末）下列说法正确的是（   ） A．函数的值域为 B．函数的值域为R C．函数与是同一个函数 D．若函数的定义域为，则函数的定义域为 地 城 考点02 求抽象函数的值 3．（24-25高一下·广东汕尾·期末）已知函数在定义域上单调，若对任意的，都有，则的值是（    ） A． B． C．2025 D．2027 4．（24-25高一上·广东梅州·期末）函数的定义域为R，满足，且当时，，则 ；时， ． 5．（24-25高二下·广东云浮·期末）已知函数的定义域为R，满足，且，则下列结论一定正确的是（    ）． A． B． C． D． 6．【多选】（24-25高一上·广东汕尾·期末）已知是函数的一个零点，若，都有，则（    ） A． B． C．有最大值 D．是奇函数 7．（23-24高一上·广东江门·期末）已知函数的定义域为R，对于任意实数x，y满足，且，则（   ） A．1012 B．2023 C．2024 D．4046 地 城 考点03 抽象函数的单调性 8．（24-25高一上·广东佛山·期末）已知定义在上的函数满足，且当时，，则是（    ） A．奇函数，在上单调递增 B．奇函数，在上单调递减 C．偶函数，在上单调递增 D．偶函数，在上单调递减 9．【多选】（23-24高三上·广东汕头·期末）已知定义在上的函数满足：，，且当时，，若，则（    ） A． B．在上单调递减 C． D． 地 城 考点04 抽象函数的奇偶性 10．（23-24高一上·广东珠海·期末）已知定义在上的函数满足，，且. (1)求的值； (2)判断的奇偶性，并证明. 11．（23-24高一上·广东梅州·期末）已知是定义在上且不恒为零的函数，对于任意实数满足，若，则（    ） A． B． C． D． 地 城 考点05 抽象函数的周期性 12．（24-25高一上·广东深圳·期末）设函数是定义在上的周期为4的偶函数，当时，，则（    ） A． B．0 C．2 D．6 13．（24-25高二下·广东深圳·期末）定义在上的奇函数满足，且，则 ． 14．（22-23高三上·广东·期末）已知函数，，，有，其中，，则下列说法一定正确的是（    ） A．是的一个周期 B．是奇函数 C．是偶函数 D． 15．（21-22高一上·广东肇庆·期末）已知函数为奇函数，为偶函数，当时，，则 ． 16．（24-25高三上·广东湛江·期末）已知函数满足，且是奇函数，若，则（   ） A．-6 B．-3 C．3 D．6 17．（24-25高二上·广东广州·期末）定义在上的函数满足，则的值为（   ） A． B．0 C．1 D．2 18．（22-23高二上·广东深圳·期末）已知定义域为R的函数满足是奇函数，是偶函数，则下列结论错误的是（    ） A．的图象关于直线对称 B．的图象关于点对称 C． D．的一个周期为8 地 城 考点06 抽象函数的对称性 19．（24-25高二下·广东深圳·期末）已知函数，则图象上关于原点对称的点有（   ） A．1对 B．2对 C．3对 D．4对 20．（24-25高一下·广东广州·期末）已知函数,的定义域均为 R，且， ，若的图象关于点对称，则（    ） A． B． C． D． 21．【多选】（24-25高一下·广东揭阳·期末）已知函数是定义在上的奇函数，是偶函数，当时，，则下列说法中正确的有（    ） A．4是的一个周期 B．的图象关于直线对称 C． D．方程恰有8不同的实数根 22．（24-25高一上·广东汕尾·期末）若函数的图象关于直线对称，则 ，的最小值为 . 23．（24-25高三上·广东深圳·期末）设函数，则“”是“的图象关于对称”的（    ） A．充要条件 B．充分不必要条件 C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件 地 城 考点07 解抽象不等式 24．（24-25高一下·广东揭阳·期末）已知偶函数在区间上单调递增，则满足的的取值范围是（    ） A． B． C． D． 25．（24-25高一上·广东梅州·期末）函数是定义在上的偶函数，且在区间上单调递增，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 26．（24-25高一上·广东深圳·期末）已知函数是定义域为的奇函数，且在上单调递减．若，则的取值范围为（   ） A． B． C． D． 27．（22-23高一上·广东深圳·期末）若是偶函数且在上单调递增，又，则不等式的解集为（    ） A． B．或 C．或 D．或 28．（22-23高一上·广东肇庆·期末）已知函数的定义域是，函数的图象的对称中心是，若对任意的，，且，都有成立，，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 地 城 考点08 抽象函数比较大小 29．（25-26高一上·广东·期末）设偶函数的定义域为，当时，是增函数，则，，的大小关系是（    ） A． B． C． D． 30．（22-23高二上·广东·期末）已知定义在上的函数满足：，且在内单调递增，则（    ） A． B． C． D． 31．【多选】（22-23高一上·广东梅州·期末）已知是定义在上的奇函数，当时，恒成立，则（    ） A．在上单调递增 B．在上单调递减 C． D． 试卷第1页，共3页 / 学科网（北京）股份有限公司 $