5.3 诱导公式 题型专项训练-2025-2026学年高一上学期数学人教A版必修第一册

5.3 诱导公式 题型专项训练 2025-2026学年高一上学期数学人教A版必修第一册 题型一、默写诱导公式 诱导公式 公式一 可以把求任意角的三角函数值转化为求角的三角函数值 公式二 将的角转化为的角求值 公式三 将负角转化为正角求值 公式四 将的角转化为的角求值 公式五 实现正弦函数与余弦函数的相互转化 公式六 将的角的三角函数值转化为求的角的三角函数值 口诀 奇变偶不变，符号看象限 【答案】公式一：；；； 公式二：；；； 公式三：；；； 公式四：；；； 公式五：；； 公式六：； 题型二、对诱导公式二、三、四的基础套用 1、计算：(1)；(2)． （1）． （2）． 2、计算：(1)；(2)； （1）． （2）． 3、计算：(1) (2) （1）； （2）. 题型三、利用诱导公式一、二、三、四计算 1．求下列三角函数值： (1)； (2)； (3)； (4)； (5)； (6)； (7)； (8)． 【答案】(1) (2) (3) (4) (5) (6) (7) (8) 【分析】根据三角函数的诱导公式，以及特殊角的三角函数值，计算即可得出答案. 【详解】（1）. （2）. （3）. （4）. （5）. （6）. （7）. （8）. 2．求下列各值. (1)； (2)； (3)； (4)； (5)； (6). 【答案】(1)； (2)； (3)； (4)； (5)； (6). 【分析】（1）利用诱导公式结合特殊角三角函数值计算即可； （2）利用诱导公式结合特殊角三角函数值计算即可； （3）利用诱导公式结合特殊角三角函数值计算即可； （4）利用诱导公式结合特殊角三角函数值计算即可； （5）利用诱导公式结合特殊角三角函数值计算即可； （6）利用诱导公式结合特殊角三角函数值计算即可. 【详解】（1）; （2）; （3）; （4）; （5）; （6）. 3．计算： (1)； (2)； (3)． 【答案】(1)1 (2) (3) 【分析】利用诱导公式以及特殊角的三角函数值即可求解； 【详解】（1）解：原式 ； （2）解：原式 ． （3）解：原式 ． 4．计算求值： (1) (2) 【答案】(1)0 (2) 【分析】（1）（2）根据诱导公式，结合特殊角的三角函数值，化简计算，即可得出答案. 【详解】（1） （2） . 题型四、利用诱导公式一、二、三、四化简 1．化简：． 【答案】1 【分析】由诱导公式与同角三角函数的关系化简可得. 【详解】原式． 2．化简：． 【详解】 3．化简： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】用诱导公式化简，然后再用商数关系切化弦即可． 【详解】（1）． （2）. 4．化简： (1)； (2). 【答案】(1) (2)－1 【分析】利用三角诱导公式化简即可. 【详解】（1）由题化简原式得： （2）由题化简原式得： 5．化简：． 【答案】 【分析】利用诱导公式进行求解即可. 【详解】原式． 题型五、诱导公式一、二、三、四的综合应用，并结合同角三角函数的基本关系 1．已知，且为第二象限角. (1)求，的值； (2)求的值. 【答案】(1)； (2) 【分析】（1）利用同角三角函数基本关系，求和的值； （2）用诱导公式化简原式，再利用（1）中的三角函数值计算. 【详解】（1）因为，且为第二象限角， 所以，. （2）. 2．已知． (1)化简； (2)若，求的值． 【答案】(1) (2). 【分析】（1）根据诱导公式及同角关系式化简即得； （2）根据可知，从而求得结果. 【详解】（1）由诱导公式可得： ； （2）由于，有，得， ，可得． 故的值为. 3．已知. (1)化简； (2)若，求的值. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用诱导公式化简，求出； （2）在（1）基础上，利用诱导公式化简，结合特殊角函数值求出答案. 【详解】（1）；. （2）， . 4．已知． (1)化简； (2)若是第三象限角，且，求的值； (3)若，求的值． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）利用诱导公式可化简的表达式； （2）利用同角三角函数的平方关系求出的值，由此可得出的值； （3）利用诱导公式可化简得出的值. 【详解】（1）. （2）因为是第三象限角，且， 所以，故， 因此. （3）当时，. 5．已知，求的值. 【答案】为第三象限角时，；当为第四象限角时，. 【分析】先用诱导公式化简，再代入计算即可. 【详解】因为， 所以， 所以为第三或第四象限角， 当为第三象限角时，， 所以； 当为第四象限角时，， 所以； 综上：当为第三象限角时，； 当为第四象限角时，. 6．已知. (1)求的值； (2)若是方程的两个根，求的值. 【答案】(1)； (2)3. 【分析】（1）利用诱导公式化简，再由同角三角函数的基本关系将弦化切，即可得解； （2）利用韦达定理得到，从而得到，再由同角三角函数的基本关系求出，即可得解. 【详解】（1）因为， 所以， 所以，解得； （2）因为是方程的两个根， 所以， ， 又， . 题型六、对诱导公式五、六的基础套用 1．已知，则 ． 【答案】 【分析】利用诱导公式直接求得答案. 【详解】由，得. 故答案为： 2．已知，则 【答案】 【分析】直接利用诱导公式计算可得； 【详解】解：因为，所以 故答案为： 3．已知角的顶点在坐标原点，始边与轴的非负半轴重合，终边经过点，则 【答案】/0.6 【分析】利用诱导公式及三角函数定义求解即得. 【详解】依题意，． 故答案为： 4．已知，计算 . 【答案】/ 【分析】根据诱导公式即可得到答案. 【详解】. 故答案为：. 5．已知，则 . 【答案】/ 【分析】借助诱导公式计算即可得. 【详解】. 故答案为：. 6．已知，则 . 【答案】/ 【分析】利用诱导公式可得答案. 【详解】由诱导公式得：. 故答案为： 7．已知sin＝，那么cosα＝ ． 【答案】 【详解】分析：根据诱导公式求解可得结果． 详解：． 点睛：本题考查诱导公式的应用，解题的关键是熟记诱导公式并熟练根据公式求解，属容易题． 题型七、诱导公式的综合运用-------化简与求值 1．已知角的终边经过点，. (1)求的值； (2)求的值. 【答案】(1)，， (2) 【分析】（1）由三角函数的定义可得； （2）由诱导公式化简计算即可. 【详解】（1）由题知， 所以，，. （2） . 2．已知：. (1)化简； (2)若，为第三象限角，求的值. 【答案】(1)； (2). 【分析】（1）利用诱导公式化简即可； （2）先根据诱导公式化简，再由同角三角函数的基本关系求解即可. 【详解】（1） . （2）因为，即， 所以. 又为第三象限角，所以， 所以. 3．已知，其中. (1)求的值； (2)若是第三象限角，且,求 的值； (3)若 ，求 的值. 【答案】(1)； (2)； (3)1. 【分析】（1）利用诱导公式化简，代值计算即得； （2）利用诱导公式和同角三角函数关系式化简计算即得； （3）根据题设条件和弦化切求得，再将待求式齐次化后代值计算即得. 【详解】（1）因. 则； （2）由可得， 因是第三象限角，则， 即得； （3）由可得. 则. 4．已知函数． (1)化简； (2)若，求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）应用诱导公式化简求解； （2）根据已知得出，应用齐次式弦化切计算得，计算求解. 【详解】（1） （2）由（1）知， 则， 则， 故． 5．已知. (1)化简； (2)若，求的值； (3)若，求的值． 【答案】(1) (2) (3)答案见解析 【分析】（1）根据诱导公式和同角三角函数商的关系化简可得； （2）由齐次式可得； （3）由同角三角函数得，根据诱导公式可得，进而可得. 【详解】（1）. （2）由得， 故. （3）由得，故， 又，故， 当为第一、四象限角时，， 当为第二、三象限角时，， 因， 故当为第一、四象限角时，， 当为第二、三象限角时，， 6．已知在平面直角坐标系中，锐角的终边与单位圆交于点，射线绕点按逆时针方向旋转角后交单位圆于点，点的纵坐标为． (1)若，求的值； (2)若，且，求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用三角函数的定义得到，，再利用诱导公式化简原式代入即可求得结果. （2）因为，又为锐角，故，再利用转化以及同角三角函数的关系即可求得结果. 【详解】（1）因为锐角的终边与单位圆交于点，所以， 所以， 又，将，代入可得 （2）由三角函数定义得，因为， 且，又为锐角，故， 所以，即， 因为， 又，所以， 所以. 故 7．已知函数． (1)化简； (2)若，求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用诱导公式化简即可； （2）首先可得，利用诱导公式求出，再由诱导公式及同角三角函数的基本关系求出，即可得解. 【详解】（1） ． （2）因为，所以， ， ， 因为，所以，所以， 故，因此． 8．如图，在平面直角坐标系中，以原点为顶点，轴非负半轴为始边作角与，它们的终边分别与以为圆心的单位圆相交于点，，且点的坐标为．单位圆与轴的非负半轴交于点，的面积是的面积的倍． (1)求的值； (2)求的值． 【答案】(1)， (2) 【分析】（1）首先求出点的坐标，再根据三角函数的定义得解； （2）依题意可得，即可求出，再由平方关系求出，最后由诱导公式化简，代入计算可得. 【详解】（1）因为在单位圆上，且位于第一象限， 所以且，解得，所以， 所以，； （2）因为的面积是的面积的倍， 所以， 又，所以，即，又， 解得或（舍去）； 所以. 题型八、用诱导公式进行三角函数恒等式的证明 1．在中，试判断下列关系是否成立，并说明理由. （1）； （2）； （3）； （4）. 【答案】（1）不成立，理由见解析；（2）成立，理由见解析；（3）不成立，理由见解析；（4）不成立，理由见解析 【解析】根据三角形内角和定理，结合诱导公式逐一判断即可. 【详解】解：（1）不成立，， 不成立； （2）成立，成立； （3）不成立.不成立； （4）不成立不成立. 【点睛】本题考查了诱导公式的应用，考查了三角形内角和定理的应用，考查了数学运算能力. 2．证明：． 【答案】证明见解析 【分析】利用诱导公式化简即可. 【详解】左边右边， 所以． 3．求证： 【答案】证明见解析 【分析】对等式左边用诱导公式进行化简证明 【详解】左边＝＝右边，所以原等式成立． 4．求证：． 【答案】证明见解析. 【分析】利用三角函数的诱导公式和同角三角函数基本关系式证明. 【详解】左边==–tanα=右边， ∴等式成立． 5．求证：当或3时，. 【答案】证明见解析 【分析】根据题设，应用诱导公式化简等式左侧即可. 【详解】当时，左边=； 当时，左边=； 综上，或有原等式恒成立. 6．求证:. 【答案】见解析 【解析】利用诱导公式化简式子左边为1，从而证明等式. 【详解】左边右边， 所以等式成立. 【点睛】本题考查利用诱导公式证明等式，考查运算求解能力，属于基础题. 7．设.求证：. 【答案】证明见解析 【解析】由题意从所求式子的左边出发，把作为一个整体代入，再利用同角三角函数间基本关系进行化简即可证得右边. 【详解】证明：左边 把代入，得原式右边，故原等式成立. 【点睛】本题考查同角三角函数间基本关系、诱导公式的应用和整体代入思想.，属于基础题 题型九、用诱导公式进行拼角计算（整体思想） 1．已知，则 . 【答案】 【分析】 ，利用诱导公式即可求解. 【详解】因为 ， 所以 ， 故答案为：. 2．已知，则 ． 【答案】 【详解】 点睛：三角函数求值的三种类型 (1)给角求值：关键是正确选用公式，以便把非特殊角的三角函数转化为特殊角的三角函数. (2)给值求值：关键是找出已知式与待求式之间的联系及函数的差异. ①一般可以适当变换已知式，求得另外函数式的值，以备应用； ②变换待求式，便于将已知式求得的函数值代入，从而达到解题的目的. (3)给值求角：实质是转化为“给值求值”，先求角的某一函数值，再求角的范围，确定角. 3．若，则 . 【答案】 【分析】根据诱导公式结合题意得，即可得解. 【详解】由题意得. 故答案为：. 4．已知，则 ． 【答案】/0.5 【分析】利用诱导公式化简结合已知即可得结果. 【详解】， 故答案为：. 5．设为锐角，若，则 ． 【答案】 【分析】先求出，利用和差角公式即可求解. 【详解】因为为锐角，若，所以. 因此. 故答案为： 6．已知，则 . 【答案】 【分析】结合的值，确定的范围，根据同角三角函数基本关系求出的值，利用诱导公式，求得. 【详解】因为，所以，因为，所以， 所以，所以. 故答案为：. 7．已知，    则 . 【答案】/0.5 【分析】利用诱导公式化简结合已知即可得结果. 【详解】， 故答案为：. 8．已知，则 . 【答案】 【分析】利用诱导公式即可求解. 【详解】. 故答案为：. 9．已知，则 ． 【答案】 【分析】将拆成，利用诱导公式求解即得. 【详解】因， 故. 故答案为：. 10．若，则 ． 【答案】/ 【分析】利用诱导公式即可得到答案. 【详解】. 故答案为：. 第 1 页 共 6 页 学科网（北京）股份有限公司 $ 5.3 诱导公式 题型专项训练 2025-2026学年高一上学期数学人教A版必修第一册 题型一、默写诱导公式 题型二、对诱导公式二、三、四的基础套用 题型三、利用诱导公式一、二、三、四计算 题型四、利用诱导公式一、二、三、四化简 题型五、诱导公式一、二、三、四的综合应用，并结合同角三角函数的基本关系 题型六、对诱导公式五、六的基础套用 题型七、诱导公式的综合运用-------化简与求值 题型八、用诱导公式进行三角函数恒等式的证明 题型九、用诱导公式进行拼角计算（整体思想） 题型一、默写诱导公式 诱导公式 公式一 可以把求任意角的三角函数值转化为求角的三角函数值 公式二 将的角转化为的角求值 公式三 将负角转化为正角求值 公式四 将的角转化为的角求值 公式五 实现正弦函数与余弦函数的相互转化 公式六 将的角的三角函数值转化为求的角的三角函数值 口诀 奇变偶不变，符号看象限 题型二、对诱导公式二、三、四的基础套用 1、计算：(1)；(2)． 2、计算：(1)；(2)； 3、计算：(1) (2) 题型三、利用诱导公式一、二、三、四计算 1．求下列三角函数值： (1)；(2)；(3)；(4)；(5)； (6)；(7)； (8)． 2．求下列各值. (1)；(2)；(3)；(4)；(5)；(6). 3．计算： (1)； (2)； (3)． 4．计算求值： (1) (2) 题型四、利用诱导公式一、二、三、四化简 1．化简：． 2．化简：． 3．化简： (1)； (2)． 4．化简： (1)； (2). 5．化简：． 题型五、诱导公式一、二、三、四的综合应用，并结合同角三角函数的基本关系 1．已知，且为第二象限角. (1)求，的值； (2)求的值. 2．已知． (1)化简； (2)若，求的值． 3．已知. (1)化简； (2)若，求的值. 4．已知． (1)化简； (2)若是第三象限角，且，求的值； (3)若，求的值． 5．已知，求的值. 6．已知. (1)求的值； (2)若是方程的两个根，求的值. 题型六、对诱导公式五、六的基础套用 1．已知，则 ． 2．已知，则 3．已知角的顶点在坐标原点，始边与轴的非负半轴重合，终边经过点，则 4．已知，计算 . 5．已知，则 . 6．已知，则 . 7．已知sin＝，那么cosα＝ ． 题型七、诱导公式的综合运用-------化简与求值 1．已知角的终边经过点，. (1)求的值； (2)求的值. 2．已知：. (1)化简； (2)若，为第三象限角，求的值. 3．已知，其中. (1)求的值； (2)若是第三象限角，且,求 的值； (3)若 ，求 的值. 4．已知函数． (1)化简； (2)若，求的值． 5．已知. (1)化简； (2)若，求的值； (3)若，求的值． 6．已知在平面直角坐标系中，锐角的终边与单位圆交于点，射线绕点按逆时针方向旋转角后交单位圆于点，点的纵坐标为． (1)若，求的值； (2)若，且，求的值． 7．已知函数． (1)化简； (2)若，求的值． 8．如图，在平面直角坐标系中，以原点为顶点，轴非负半轴为始边作角与，它们的终边分别与以为圆心的单位圆相交于点，，且点的坐标为．单位圆与轴的非负半轴交于点，的面积是的面积的倍． (1)求的值； (2)求的值． 题型八、用诱导公式进行三角函数恒等式的证明 1．在中，试判断下列关系是否成立，并说明理由. （1）； （2）； （3）； （4）. 2．证明：． 3．求证： 4．求证：． 5．求证：当或3时，. 6．求证:. 7．设.求证：. 题型九、用诱导公式进行拼角计算（整体思想） 1．已知，则 . 2．已知，则 ． 3．若，则 . 4．已知，则 ． 5．设为锐角，若，则 ． 6．已知，则 . 7．已知，    则 . 8．已知，则 . 9．已知，则 ． 10．若，则 ． 第 1 页 共 6 页 学科网（北京）股份有限公司 $