专题6.2 平面向量的运算（举一反三讲义）高一数学人教A版必修第二册

专题6.2 平面向量的运算（举一反三讲义） 【人教A版】 【题型1 向量的加、减运算】 3 【题型2 向量数乘的有关计算】 3 【题型3 平面向量的混合运算】 4 【题型4 由平面向量的线性运算求参数】 4 【题型5 平面向量共线定理证明点共线问题】 6 【题型6 平面向量共线定理的推论及应用】 6 【题型7 根据向量关系判断三角形的心】 7 【题型8 向量的线性运算的几何应用】 7 1．向量的加法运算 (1)向量加法的定义及两个重要法则 定义 求两个向量和的运算，叫做向量的加法. 向量加法的三角形法则 前提 已知非零向量,，在平面内任取一点A. 作法 作，连接AC. 结论 向量叫做与的和，记作，即. 图形 向量加法的平行四边形法则 前提 已知两个不共线的向量,，在平面内任取一点O. 作法 作，以OA,OB为邻边作四边形OACB. 结论 以O为起点的向量就是向量与的和，即. 图形 规定 对于零向量与任一向量，我们规定. (2)多个向量相加 为了得到有限个向量的和，只需将这些向量依次首尾相接，那么以第一个向量的起点为起点，最后一个向量的终点为终点的向量，就是这些向量的和，如图所示. 2．向量加法的运算律 (1)交换律：； (2)结合律：. 3．向量的减法运算 (1)相反向量 我们规定，与向量长度相等，方向相反的向量，叫做的相反向量，记作.零向量的相反向量仍是零向量. (2)向量减法的定义： 向量加上的相反向量，叫做与的差，即.求两个向量差的运算叫做向量的减法. (3)向量减法的三角形法则 如图，已知向量,，在平面内任取一点O，作，，则.即可以表示为从向量的终点指向向量的终点的向量，这是向量减法的几何意义. 4．向量的数乘运算 (1)向量的数乘的定义 一般地，我们规定实数λ与向量的积是一个向量，这种运算叫做向量的数乘，记作，它的长度与方向规定如下： ①； ②当λ>0时，的方向与的方向相同；当λ<0时，的方向与的方向相反. (2)向量的数乘的运算律 设为实数，那么①；②；③. 特别地，我们有，. (3)向量的线性运算 向量的加、减、数乘运算统称为向量的线性运算.对于任意向量,，以及任意实数，恒有 . 5．平面向量线性运算问题的求解思路： (1)解决平面向量线性运算问题的关键在于熟练地找出图形中的相等向量，并能熟练运用相反向量将加减法相互转化； (2)在求向量时要尽可能转化到平行四边形或三角形中，运用平行四边形法则、三角形法则及三角形中位线定理、相似三角形对应边成比例等平面几何的性质，把未知向量转化为用已知向量线性表示. 【题型1 向量的加、减运算】 【例1】（24-25高一下·福建三明·期末）化简等于（   ） A． B． C． D． 【变式1-1】（24-25高一下·四川成都·月考）（ ） A． B． C． D． 【变式1-2】（24-25高一下·广东云浮·期末）（    ） A． B． C． D． 【变式1-3】（24-25高一下·陕西渭南·期末）下列命题中一定正确的是（   ） A． B． C． D． 【题型2 向量数乘的有关计算】 【例2】（24-25高一下·浙江·期中）在中，，则（   ） A． B． C． D． 【变式2-1】（24-25高一下·山东济南·期末）在中，记，，若，则（    ） A． B． C． D． 【变式2-2】（24-25高一下·河南郑州·期中）点在线段上，且，则下列选项正确的是（   ） A． B． C． D． 【变式2-3】（24-25高一下·安徽亳州·期中）在中，若，则（   ） A． B． C． D． 【题型3 平面向量的混合运算】 【例3】（24-25高一下·福建宁德·期中）设向量，，满足，则（   ） A． B． C． D． 【变式3-1】（24-25高二上·北京朝阳·月考） （    ） A． B． C． D． 【变式3-2】（24-25高一下·江苏淮安·月考）化简下列向量运算； (1)； (2)； (3)． 【变式3-3】（24-25高一下·全国·课后作业）计算： (1)； (2)； (3)． 【题型4 由平面向量的线性运算求参数】 【例4】（24-25高一下·甘肃定西·期末）在中，M为边中点，N为的中点，，则（　　） A． B． C． D．1 【变式4-1】（24-25高三上·安徽宣城·期末）在所在平面中有一点P满足，且，则（   ） A． B． C． D． 【变式4-2】（2025高三·全国·专题练习）在矩形中，已知，，为的中点，且，则 ． 【变式4-3】（2025高一·全国·专题练习）正五角星是一个非常优美的几何图形，且与黄金分割有着紧密联系，在如图所示的五角星中，以为顶点的多边形为正五边形，且，设，则 ． 知识点2 向量共线定理 1．向量共线定理 (1)向量共线定理 向量(≠)与共线的充要条件是：存在唯一一个实数λ，使. (2)向量共线定理的应用——求参 一般地，解决向量,共线求参问题，可用两个不共线向量(如)表示向量,，设(≠)，化成关于的方程，由于不共线，则解方程组即可. 2．利用共线向量定理解题的策略 (1)是判断两个向量共线的主要依据.注意待定系数法和方程思想的运用. (2)当两向量共线且有公共点时，才能得出三点共线，即A,B,C三点共线共线. (3)若与不共线且，则. (4)(λ,μ为实数)，若A,B,C三点共线，则λ+μ=1. 【题型5 平面向量共线定理证明点共线问题】 【例5】（24-25高一下·甘肃天水·月考）已知非共线向量、，，，，则下列说法正确的是（   ） A．三点共线 B．、、三点共线 C．、、三点共线 D．、、三点共线 【变式5-1】（24-25高一下·辽宁朝阳·月考）已知为不共线的非零向量，，，，则（    ） A．三点共线 B．三点共线 C．三点共线 D．三点共线 【变式5-2】（24-25高一下·四川成都·期末）已知向量，，，，，则一定共线的三点是（    ） A． B． C． D． 【变式5-3】（24-25高一下·四川成都·期末）已知向量，，，，，则一定共线的三点是（   ） A．A，B，D B．A，B，C C．A，C，D D．B，C，D 【题型6 平面向量共线定理的推论及应用】 【例6】（2025高三·全国·专题练习）已知是两个不共线的向量，，若A，B，C三点共线，则实数k的值为（   ） A． B． C．1 D．4 【变式6-1】（25-26高二上·广西贵港·开学考试）如图，设，，线段与交于点F，且，则（   ）    A．4 B．3 C． D．5 【变式6-2】（25-26高二上·广东广州·期中）设向量，，不共面，已知，，，若，，三点共线，则（   ） A．1 B．0 C．3 D．2 【变式6-3】（24-25高一下·广西南宁·期末）在，点是中线上一点（不包含端点），且，则的最小值是（   ） A．8 B．16 C．18 D．25 【题型7 根据向量关系判断三角形的心】 【例7】（24-25高一下·河南南阳·期中）在中，若，，则点的轨迹必经过的（   ） A．内心 B．外心 C．重心 D．垂心 【变式7-1】（2025高一·全国·专题练习）已知，为平面内任意一点，动点满足，则点的轨迹一定经过（    ） A．的内心 B．的垂心 C．的重心 D．的外心 【变式7-2】（24-25高一上·上海·课堂例题）已知，若点P满足，其中，则点P的轨迹一定通过的（    ） A．外心 B．内心 C．垂心 D．重心 【变式7-3】（24-25高一下·江苏宿迁·开学考试）已知△ABC，向量满足条件，，则△ABC是（    ） A．等腰直角三角形 B．钝角三角形 C．等边三角形 D．直角三角形 【题型8 向量的线性运算的几何应用】 【例8】（25-26高三上·浙江温州·月考）点是所在平面内一点，满足，若为中点，则的值为（    ） A． B． C． D． 【变式8-1】（24-25高一下·云南昭通·期中）已知为内一点，且满足，若的面积与的面积的比值为，则的值为（    ） A． B． C． D．2 【变式8-2】（2025高一·全国·专题练习）根据下列各小题的条件，试判断四边形的形状． (1)； (2)； (3)且． 【变式8-3】（24-25高一下·河南周口·月考）如图，在梯形中，，，，为的中点，.    (1)若，试确定点在线段上的位置； (2)若，当为何值时，最小? 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题6.2 平面向量的运算（举一反三讲义） 【人教A版】 【题型1 向量的加、减运算】 3 【题型2 向量数乘的有关计算】 4 【题型3 平面向量的混合运算】 5 【题型4 由平面向量的线性运算求参数】 7 【题型5 平面向量共线定理证明点共线问题】 9 【题型6 平面向量共线定理的推论及应用】 11 【题型7 根据向量关系判断三角形的心】 13 【题型8 向量的线性运算的几何应用】 16 1．向量的加法运算 (1)向量加法的定义及两个重要法则 定义 求两个向量和的运算，叫做向量的加法. 向量加法的三角形法则 前提 已知非零向量,，在平面内任取一点A. 作法 作，连接AC. 结论 向量叫做与的和，记作，即. 图形 向量加法的平行四边形法则 前提 已知两个不共线的向量,，在平面内任取一点O. 作法 作，以OA,OB为邻边作四边形OACB. 结论 以O为起点的向量就是向量与的和，即. 图形 规定 对于零向量与任一向量，我们规定. (2)多个向量相加 为了得到有限个向量的和，只需将这些向量依次首尾相接，那么以第一个向量的起点为起点，最后一个向量的终点为终点的向量，就是这些向量的和，如图所示. 2．向量加法的运算律 (1)交换律：； (2)结合律：. 3．向量的减法运算 (1)相反向量 我们规定，与向量长度相等，方向相反的向量，叫做的相反向量，记作.零向量的相反向量仍是零向量. (2)向量减法的定义： 向量加上的相反向量，叫做与的差，即.求两个向量差的运算叫做向量的减法. (3)向量减法的三角形法则 如图，已知向量,，在平面内任取一点O，作，，则.即可以表示为从向量的终点指向向量的终点的向量，这是向量减法的几何意义. 4．向量的数乘运算 (1)向量的数乘的定义 一般地，我们规定实数λ与向量的积是一个向量，这种运算叫做向量的数乘，记作，它的长度与方向规定如下： ①； ②当λ>0时，的方向与的方向相同；当λ<0时，的方向与的方向相反. (2)向量的数乘的运算律 设为实数，那么①；②；③. 特别地，我们有，. (3)向量的线性运算 向量的加、减、数乘运算统称为向量的线性运算.对于任意向量,，以及任意实数，恒有 . 5．平面向量线性运算问题的求解思路： (1)解决平面向量线性运算问题的关键在于熟练地找出图形中的相等向量，并能熟练运用相反向量将加减法相互转化； (2)在求向量时要尽可能转化到平行四边形或三角形中，运用平行四边形法则、三角形法则及三角形中位线定理、相似三角形对应边成比例等平面几何的性质，把未知向量转化为用已知向量线性表示. 【题型1 向量的加、减运算】 【例1】（24-25高一下·福建三明·期末）化简等于（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【解题思路】利用向量加法直接得到答案. 【解答过程】. 故选：C. 【变式1-1】（24-25高一下·四川成都·月考）（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【解题思路】利用向量加法法则及相反向量的意义求解. 【解答过程】 故选：C. 【变式1-2】（24-25高一下·广东云浮·期末）（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】根据题意，利用向量的线性运算法则，准确运算，即可求解. 【解答过程】根据向量的线性运算法则，可得. 故选：A. 【变式1-3】（24-25高一下·陕西渭南·期末）下列命题中一定正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【解题思路】根据向量减法的三角形法则可以判断A，C，根据向量加法的三角形法则可以判B，D. 【解答过程】因为，故A错误； 因为，故B错误； 因为，故C错误； 根据向量加法的三角形法则可知，故D正确. 故选：D. 【题型2 向量数乘的有关计算】 【例2】（24-25高一下·浙江·期中）在中，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【解题思路】根据向量的线性运算，可得答案. 【解答过程】 ，，. 故选：C. 【变式2-1】（24-25高一下·山东济南·期末）在中，记，，若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】直接根据已知条件以及向量加法和数乘的运算性质得到结果. 【解答过程】由已知有. 故. 故选：A. 【变式2-2】（24-25高一下·河南郑州·期中）点在线段上，且，则下列选项正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】由向量的线性运算即可求解. 【解答过程】因为点在线段上，且， 所以，，，故A正确，BCD错误. 故选：A. 【变式2-3】（24-25高一下·安徽亳州·期中）在中，若，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】利用向量的线性运算即可. 【解答过程】因，则， 则. 故选：A. 【题型3 平面向量的混合运算】 【例3】（24-25高一下·福建宁德·期中）设向量，，满足，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【解题思路】根据平面向量的线性运算化简求解. 【解答过程】因为，所以. 故选：D. 【变式3-1】（24-25高二上·北京朝阳·月考） （    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解题思路】根据向量的加减法即可得到答案. 【解答过程】. 故选：C. 【变式3-2】（24-25高一下·江苏淮安·月考）化简下列向量运算； (1)； (2)； (3)． 【答案】(1) (2) (3) 【解题思路】（1）根据向量的线性运算化简即可； （2）根据向量的线性运算化简即可； （3）根据向量的加法法则化简即可. 【解答过程】（1）. （2）. （3） . 【变式3-3】（24-25高一下·全国·课后作业）计算： (1)； (2)； (3)． 【答案】(1) (2) (3) 【解题思路】根据平面向量的数乘运算及线性运算计算即可. 【解答过程】（1）原式． （2）原式． （3）原式． 【题型4 由平面向量的线性运算求参数】 【例4】（24-25高一下·甘肃定西·期末）在中，M为边中点，N为的中点，，则（　　） A． B． C． D．1 【答案】C 【解题思路】由向量的线性运算即可求解. 【解答过程】 因为在中，M为边中点，N为的中点， 所以， 所以. 故选：C. 【变式4-1】（24-25高三上·安徽宣城·期末）在所在平面中有一点P满足，且，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【解题思路】应用向量加减的运算法则得，结合已知即可得答案. 【解答过程】由题设，则， 即，则， 又，所以 . 故选：C. 【变式4-2】（2025高三·全国·专题练习）在矩形中，已知，，为的中点，且，则 ． 【答案】 【解题思路】根据平面向量的线性运算求解即可. 【解答过程】如图，由可得， 则 ， 则，，故． 故答案为：. 【变式4-3】（2025高一·全国·专题练习）正五角星是一个非常优美的几何图形，且与黄金分割有着紧密联系，在如图所示的五角星中，以为顶点的多边形为正五边形，且，设，则 ． 【答案】 【解题思路】根据五角星中的长度关系，由平面向量的线性运算即可求解. 【解答过程】由题意：， 则， 因为，同样, 所以， 则． 故答案为：. 知识点2 向量共线定理 1．向量共线定理 (1)向量共线定理 向量(≠)与共线的充要条件是：存在唯一一个实数λ，使. (2)向量共线定理的应用——求参 一般地，解决向量,共线求参问题，可用两个不共线向量(如)表示向量,，设(≠)，化成关于的方程，由于不共线，则解方程组即可. 2．利用共线向量定理解题的策略 (1)是判断两个向量共线的主要依据.注意待定系数法和方程思想的运用. (2)当两向量共线且有公共点时，才能得出三点共线，即A,B,C三点共线共线. (3)若与不共线且，则. (4)(λ,μ为实数)，若A,B,C三点共线，则λ+μ=1. 【题型5 平面向量共线定理证明点共线问题】 【例5】（24-25高一下·甘肃天水·月考）已知非共线向量、，，，，则下列说法正确的是（   ） A．三点共线 B．、、三点共线 C．、、三点共线 D．、、三点共线 【答案】A 【解题思路】利用平面向量共线定理求解. 【解答过程】由题可得，， 对于A，，所以三点共线，故A正确； 对于B，若三点共线，则存在实数，使得，则，无解，所以三点不共线，故B错误； 对于C，若三点共线，则存在实数，使得，则，无解，所以三点不共线，故C错误； 对于D，若三点共线，则存在实数，使得，则，无解，所以三点不共线，故D错误. 故选：A. 【变式5-1】（24-25高一下·辽宁朝阳·月考）已知为不共线的非零向量，，，，则（    ） A．三点共线 B．三点共线 C．三点共线 D．三点共线 【答案】B 【解题思路】将点共线转化成向量共线，结合条件，利用两向量共线的充要条件，对各个选项逐一分析判断，即可求解. 【解答过程】对于A，因为，，则， 若，则，又为不共线的非零向量， 则，无解，则不共线，所以三点不共线，故A错误， 对于B，因为，，，则， 所以，则三点共线，故B正确， 对于C，，，若，则， 又为不共线的非零向量，所以，无解，所以不共线，则三点不共线，所以C错误， 对于D，由选项A知，又，若，则， 又为不共线的非零向量，所以，无解，所以不共线，则三点不共线，所以D错误， 故选：B. 【变式5-2】（24-25高一下·四川成都·期末）已知向量，，，，，则一定共线的三点是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】利用向量的共线定理逐项判断即可. 【解答过程】因为，故三点共线, A正确； 因为，， 故不存在任何的使得，所以不共线，B错误； 因为，， 故不存在任何的使得，所以不共线，C错误； 因为，， 故不存在任何的使得，所以不共线，D错误； 故选：A. 【变式5-3】（24-25高一下·四川成都·期末）已知向量，，，，，则一定共线的三点是（   ） A．A，B，D B．A，B，C C．A，C，D D．B，C，D 【答案】A 【解题思路】利用向量的共线定理一一判断即可. 【解答过程】因为，故A，B，D三点共线，A对； 因为，，故，不一定共线，B错； 因为，，所以，不一定共线，C错； 因为，，则，不一定共线，D错. 故选：A. 【题型6 平面向量共线定理的推论及应用】 【例6】（2025高三·全国·专题练习）已知是两个不共线的向量，，若A，B，C三点共线，则实数k的值为（   ） A． B． C．1 D．4 【答案】A 【解题思路】由三点共线可得，由此可得构造方程组求得结果. 【解答过程】三点共线，可设， 即， ，解得：. 故选：A. 【变式6-1】（25-26高二上·广西贵港·开学考试）如图，设，，线段与交于点F，且，则（   ）    A．4 B．3 C． D．5 【答案】D 【解题思路】先计算出，进而得到，利用共线定理的推论得到，得到答案. 【解答过程】，， 又，故，所以， 因为，，所以， 因为三点共线，所以， 故. 故选：D. 【变式6-2】（25-26高二上·广东广州·期中）设向量，，不共面，已知，，，若，，三点共线，则（   ） A．1 B．0 C．3 D．2 【答案】B 【解题思路】把，，三点共线转化为列出方程组，求解即可. 【解答过程】因为，，， 所以， 因为，，三点共线，所以存在唯一的，使得， 即， 即，解得：. 故选：B. 【变式6-3】（24-25高一下·广西南宁·期末）在，点是中线上一点（不包含端点），且，则的最小值是（   ） A．8 B．16 C．18 D．25 【答案】D 【解题思路】利用共线向量定理的推论可得，且，再根据“1”的代换，运用基本不等式可解. 【解答过程】由是的中点得，所以， 因为三点共线，所以， 所以， 当且仅当，即时取等号， 所以的最小值是25. 故选：D. 【题型7 根据向量关系判断三角形的心】 【例7】（24-25高一下·河南南阳·期中）在中，若，，则点的轨迹必经过的（   ） A．内心 B．外心 C．重心 D．垂心 【答案】A 【解题思路】根据平面向量加法及数乘的几何意义作出图形，即可得出判断． 【解答过程】因为是与同向的单位向量，是与同向的单位向量， 如图，设，， 则可化为：，且， 以，为邻边作平行四边形， 则，且平行四边形为菱形，所以平分， 所以， 又为公共端点，所以，，三点共线，所以在的平分线上， 则点的轨迹必经过的内心， 故选：A． 【变式7-1】（2025高一·全国·专题练习）已知，为平面内任意一点，动点满足，则点的轨迹一定经过（    ） A．的内心 B．的垂心 C．的重心 D．的外心 【答案】C 【解题思路】取中点为，根据向量的线性运算，以及共线定理，即可判断. 【解答过程】先设的中点为，则，      又因为， 而， 由三点共线的充要条件知三点共线， 则点的轨迹一定经过的重心. 故选：C． 【变式7-2】（24-25高一上·上海·课堂例题）已知，若点P满足，其中，则点P的轨迹一定通过的（    ） A．外心 B．内心 C．垂心 D．重心 【答案】B 【解题思路】先根据单位向量的加法得出点在角平分线上进而得出轨迹过内心即可. 【解答过程】指向角A的平分线方向， 而与是平行的，所以依旧指向角A的平分线方向， 所以点P的轨迹即为角A的平分线及其反向延长线.而内心一定落在角A的平分线上， 所以点P的轨迹会经过内心. 故选：B. 【变式7-3】（24-25高一下·江苏宿迁·开学考试）已知△ABC，向量满足条件，，则△ABC是（    ） A．等腰直角三角形 B．钝角三角形 C．等边三角形 D．直角三角形 【答案】C 【解题思路】首先由条件判断点是的重心和外心，再根据几何性质判断三角形的形状. 【解答过程】如图，点是的中点，所以， 因为，即，即， 则点三点共线，且，所以点是的重心， 又，所以点是的外心，则，即， 所以，同理，则， 所以是等边三角形. 故选：C. 【题型8 向量的线性运算的几何应用】 【例8】（25-26高三上·浙江温州·月考）点是所在平面内一点，满足，若为中点，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解题思路】由结合，可得点是线段上靠近点的四等分点，结合图形分析可得答案. 【解答过程】， 因为中点，则， 代入可得，从而三点共线，， 即点是线段上靠近点的四等分点. 则，而，故. 故选：B. 【变式8-1】（24-25高一下·云南昭通·期中）已知为内一点，且满足，若的面积与的面积的比值为，则的值为（    ） A． B． C． D．2 【答案】B 【解题思路】如图，根据平面向量的线性运算可得，则在线段上，且，设，结合和计算即可求解. 【解答过程】由，得， 如图，分别是的中点，    则， 所以在线段上，且， 得，设，则，所以， 因为，，， 所以，则，解得. 故选：B. 【变式8-2】（2025高一·全国·专题练习）根据下列各小题的条件，试判断四边形的形状． (1)； (2)； (3)且． 【答案】(1)梯形 (2)平行四边形 (3)四边形是夹角为的菱形 【解题思路】（1）利用向量线性运算的几何意义及梯形的概念求解即可； （2）利用向量线性运算的几何意义及平行四边形的概念求解即可； （3）解法1：根据平行四边形法则得四边形是平行四边形，再根据向量的加法运算得，即可判断四边形是夹角为的菱形； 解法2：根据平行四边形法则得四边形是平行四边形，根据向量的几何意义得是的角平分线且，即可判断． 【解答过程】（1）因为，所以且， 即四边形是梯形． （2）因为，即，所以， 所以四边形是平行四边形． （3）解法1：因为，根据平行四边形法则，四边形首先是平行四边形． 又因为，所以， 即，所以， 即，所以四边形是夹角为的菱形，如图． 解法2：因为，根据平行四边形法则，四边形是平行四边形． ，分别为与和同向的单位向量， 它们的和在的角平分线上． 又因为的几何意义是与同向的单位向量为与和同向的单位向量之和， 所以是的角平分线且，即四边形是夹角为的菱形． 【变式8-3】（24-25高一下·河南周口·月考）如图，在梯形中，，，，为的中点，.    (1)若，试确定点在线段上的位置； (2)若，当为何值时，最小? 【答案】(1)在线段上靠近点的四等分点处 (2) 【解题思路】（1）结合图形，先证得四边形是平行四边形，利用向量的线性运算即可判断点在线段上的位置； （2）结合（1）中的结论，得到关于的表达式，进而利用向量数量积运算求模得到关于的二次表达式，从而可求得最小以及相应的值. 【解答过程】（1）过作交于，如图，    因为，所以， 则四边形是平行四边形，故，即是的中点， 所以， 因为，所以， 所以 又因为， 所以，解得， 所以在线段上靠近点的四等分点处； （2）因为，所以， 所以， 因为，，， 所以， 所以当，即时，取得最小值. 所以的最小值为，此时. 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 $