专题6.1 平面向量的概念（举一反三讲义）高一数学人教A版必修第二册

本讲义聚焦平面向量的概念这一核心知识点，系统梳理向量的定义、表示法（字母与几何表示）、模、零向量、单位向量、相等向量及共线向量等内容，构建从基础概念到几何应用的知识支架，为后续向量运算奠定基础。 资料以六种题型分类设计，含例题与变式题，通过物理情境（如小汽车弹力）培养数学眼光，结合几何图形（正六边形）提升数学思维，帮助学生用数学语言描述向量关系。课中辅助教师分层教学，课后助力学生巩固练习，查漏补缺。

专题6.1 平面向量的概念（举一反三讲义） 【人教A版】 【题型1 平面向量的概念与表示】 2 【题型2 零向量与单位向量】 3 【题型3 向量的几何表示与向量的模】 5 【题型4 相等向量】 8 【题型5 平行向量（共线向量）】 10 【题型6 利用向量关系研究几何图形的性质】 12 知识点1 向量的概念 1．向量的概念 (1)向量：既有大小又有方向的量叫做向量. (2)数量：只有大小，没有方向的量（如年龄、身高、长度、面积、体积和质量等），称为数量． 【注】：①本书所学向量是自由向量，即只有大小和方向，而无特定的位置，这样的向量可以作任意平移． ②看一个量是否为向量，就要看它是否具备了大小和方向两个要素． ③向量与数量的区别：数量与数量之间可以比较大小，而向量与向量之间不能比较大小． 2．向量的表示法 (1)有向线段：具有方向的线段叫做有向线段，有向线段包含三个要素：起点、方向、长度． (2)向量的表示方法： ①字母表示法：如等. ②几何表示法：以A为始点，B为终点作有向线段（注意始点一定要写在终点的前面）．如果用一条有向线段表示向量，通常我们就说向量. 3．向量的有关概念 (1)向量的模：向量的大小叫向量的模(就是用来表示向量的有向线段的长度). (2)零向量：长度为零的向量叫零向量.记作，它的方向是任意的． (3)单位向量：长度等于1个单位的向量. (4)相等向量：长度相等且方向相同的向量. (5)相反向量：长度相等且方向相反的向量. 【注】：①在画单位向量时，长度1可以根据需要任意设定. ②在平面内，相等的向量有无数多个，它们的方向相同且长度相等． ③非零向量与的关系：是与同方向的单位向量. 【题型1 平面向量的概念与表示】 【例1】（24-25高一下·河南·月考）下列量中是向量的为（    ） A．课桌的高度 B．一段路程的公里数 C．上课时老师敲击黑板的频率 D．小汽车受到路面的弹力 【答案】D 【解题思路】由向量的概念，可得答案. 【解答过程】因为向量是既有大小，又有方向的量，而高度、公里数、频率只有大小，没有方向， 弹力既有大小，又有方向，所以弹力是向量. 故选：D． 【变式1-1】（24-25高一下·河南开封·月考）下列物理量：①质量；②速度；③力；④加速度；⑤位移；⑥密度；⑦功．其中是向量的有（   ） A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 【答案】A 【解题思路】根据向量的知识进行分析，从而确定正确答案. 【解答过程】质量、密度、功是标量，不是向量； 速度、力、加速度、位移是向量； 所以向量共有个. 故选：A. 【变式1-2】（24-25高一上·北京·月考）下列关于向量的说法正确的是（   ） A．物理学中的摩擦力、重力都是向量 B．平面直角坐标系上的轴、轴都是向量 C．温度含零上和零下温度，所以温度是向量 D．身高是一个向量 【答案】A 【解题思路】根据向量有大小有方向的特点逐项判断. 【解答过程】对于A，摩擦力和重力都及有大小，也有方向，所以摩擦力，重力都是向量，A正确； 对于B，轴，轴有方向，但没有大小，所以它们都不是向量，B错误； 对于C，温度只有大小，没有方向，所以温度不是向量，C错误； 对于D，身高只有大小，没有方向，所以身高不是向量，D错误； 故选:A． 【变式1-3】（24-25高一下·新疆·期末）下列说法正确的是（    ） A．身高是一个向量 B．温度有零上温度和零下温度之分，故温度是向量 C．有向线段由方向和长度两个要素确定 D．有向线段和有向线段的长度相等 【答案】D 【解题思路】根据向量的定义及性质判断各项的正误即可. 【解答过程】A：由向量即有大小（模长）又有方向的量，显然身高不是向量，故A错； B：温度有零上温度和零下温度，显然温度可以比较大小，但无方向，故B错； C：有向线段有起点、方向、长度三要素确定，故C错； D：有向线段和有向线段的长度相等，故D对. 故选：D. 【题型2 零向量与单位向量】 【例2】（24-25高二上·广东湛江·开学考试）下列命题正确的个数是（    ） （1）向量就是有向线段；（2）零向量是没有方向的向量； （3）零向量的方向是任意的；（4）零向量的长度为0． A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【解题思路】（1）由向量的几何表示判断；（2）（3）（4）根据对零向量的规定判断. 【解答过程】（1）向量可以用有向线段表示，但不能把两者等同，故错误； （2）根据对零向量的规定零向量是有方向的，是任意的，故错误； （3）根据对零向量的规定，零向量的方向是任意的，故正确； （4）根据对零向量的规定，零向量的大小为0，所以零向量的长度为0，故正确． 故选：B. 【变式2-1】（24-25高一下·甘肃·月考）关于非零向量方向上的单位向量，下列说法正确的是（    ） A．有无数个 B．与可能反向 C． D． 【答案】D 【解题思路】根据单位向量的定义即可判断． 【解答过程】非零向量方向上的单位向量，且，故ABC错误， 故选：D． 【变式2-2】（24-25高一下·新疆·期中）下列说法正确的是（    ） A．向量的模是一个正实数 B．零向量没有方向 C．单位向量的模等于1个单位长度 D．零向量就是实数0 【答案】C 【解题思路】根据向量的模、零向量和单位向量的定义逐个选项分析可得答案. 【解答过程】对于A，零向量的模等于零，故A错误； 对于B，零向量有方向，其方向是任意的，故B错误； 对于C，根据单位向量的定义可C知正确； 对于D，零向量有大小还有方向，而实数只有大小没有方向，故D错误. 故选：C. 【变式2-3】（24-25高一下·新疆巴音郭楞·月考）下列说法正确的是（    ） A．单位向量均相等 B．单位向量 C．零向量与任意向量平行 D．若向量，满足，则 【答案】C 【解题思路】对于A：由方向不一定相同否定结论；对于B：单位向量.否定结论； 对于C：零向量与任意向量平行.即可判断；对于D：，的方向可以是任意的. 否定结论. 【解答过程】对于A：单位向量的模相等，但是方向不一定相同.故A错误； 对于B：单位向量.故B错误； 对于C：零向量与任意向量平行.正确； 对于D：若向量，满足，但是，的方向可以是任意的. 故选：C. 【题型3 向量的几何表示与向量的模】 【例3】（24-25高一下·山东菏泽·月考）如果一架飞机向西飞行，再向南飞行，记飞机飞行的路程为，位移为，则（    ） A． B． C． D．与不能比较大小 【答案】A 【解题思路】根据题意，作图，结合向量的几何意义，可得答案. 【解答过程】由题意，作图如下： 则该飞机由先飞到，再飞到，则，，， 则飞机飞行的路程为，， 所以. 故选：A. 【变式3-1】（24-25高一下·安徽合肥·月考）在如图所示的半圆中，AB为直径，点O为圆心，C为半圆上一点，且，，则等于（    ） A．1 B． C． D．2 【答案】A 【解题思路】根据，可得，进一步得出答案. 【解答过程】如图，连接AC， 由，得. 因为为半圆上的点，所以， 所以． 故选：A. 【变式3-2】（24-25高一下·广西南宁·开学考试）某人从点A出发向东走了5米到达点B，然后改变方向按东北方向走了米到达点.    (1)在图中作出向量；（正方形小方格的边长是1米） (2)求向量的模. 【答案】(1)作图见解析； (2)米. 【解题思路】（1）根据给定条件，作出图形. （2）借助几何图形，利用勾股定理求出模长. 【解答过程】（1）作出向量，如图：    （2）依题意，，向量相当于从点A出发向东走15米，再向正北走10米， 所以（米）. 【变式3-3】（24-25高一下·全国·课后作业）在方格纸（每个小方格的边长为1）中，画出下列向量． (1)，点在点的正东方向； (2)，点在点的北偏东方向； (3)求出的值． 【答案】(1)答案见解析 (2)答案见解析 (3)． 【解题思路】（1）根据要求画出点的位置即可； （2）根据要求画出点的位置即可； （3）向量由点指向点，画出图形即可求出． 【解答过程】（1）所求向量如图所示： （2）所求向量如图所示： （3）由图知，是等腰直角三角形，所以． 知识点2 相等向量与共线向量 1．向量的共线或平行 方向相同或相反的非零向量，叫共线向量(共线向量又称为平行向量).规定:与任一向量共线. 【注】：①零向量的方向是任意的，注意与0的含义与书写区别. ②平行向量可以在同一直线上，要区别于两平行线的位置关系；共线向量可以相互平行，要区别于在同一直线上的线段的位置关系. ③共线向量与相等向量的关系：相等向量一定是共线向量，但共线向量不一定是相等的向量． 2．用共线（平行）向量或相等向量刻画几何关系 (1)利用向量的模相等可以证明线段相等，利用向量相等可以证明线段平行且相等. (2)利用向量共线可以证明直线与直线平行，但需说明向量所在的直线无公共点. (3)利用向量可以判断图形的形状(如平行四边形、等腰三角形等)、证明多点共线等. 3．平行向量有关概念的三个关注点 (1)相等向量具有传递性，非零向量的平行也具有传递性. (2)共线向量即为平行向量，它们均与起点无关. (3)向量可以平移，平移后的向量与原向量是相等向量，解题时，不要把它与函数图象的平移混淆. 【题型4 相等向量】 【例4】（24-25高一下·安徽马鞍山·月考）如图，O是正六边形ABCDEF的中心，下列向量中，与相等的向量为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【解题思路】根据正六边形的性质，分别分析每个选项中的向量与的模和方向是否都相同，从而找出与相等的向量. 【解答过程】对于选项A，虽然，但方向不同不满足向量相等的条件，所以与不相等. 对于选项B，与方向相同，并且由于， 所以. 对于选项C：与方向不同，所以与不相等. 对于选项D：与方向不同，所以与不相等. 与相等的向量为. 故选：B. 【变式4-1】（2025高二下·黑龙江·学业考试）如图，在平行四边形中，与相等的向量是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解题思路】根据条件，利用向量相等的定义，即可求解. 【解答过程】因为四边形是平行四边形，所以与相等的向量是， 故选：D. 【变式4-2】（24-25高一下·全国·课前预习）如图，在矩形中，，B，E分别为边AC，DF的中点，在以A，B，C，D，E，F为起点和终点的所有有向线段表示的向量中：    (1)分别找出与，相反的向量； (2)分别找出与，相等的向量. 【答案】(1)与相反的向量有，，；与相反的向量有， (2)相等的向量为，，相等的向量为 【解题思路】运用相等向量，相反向量概念可解. 【解答过程】（1）方向相反，大小相等的向量互为相反向量. 与相反的向量有，，；与相反的向量有，. （2）方向相同，大小相等的向量是相等向量. 则，与方向相同，且长度相等， 故与相等的向量为，. 同理，与相等的向量为. 【变式4-3】（24-25高一上·上海·课堂例题）设O是正六边形的中心，写出满足条件的向量.    (1)与相等的向量； (2)与相等的向量； (3)与的模相等且平行的向量（除外）. 【答案】(1) (2) (3)、 、、、、. 【解题思路】根据向量相等的定义直接求解即可. 【解答过程】（1）相等向量为大小相等方向相同的向量，所以； （2）相等向量为大小相等方向相同的向量，所以 （3）相等向量为大小相等方向相同的向量，所以、 、、、、. 【题型5 平行向量（共线向量）】 【例5】（24-25高一·全国·课前预习）在中，，、分别是、的中点，则（   ） A．与共线 B．与共线 C．与相等 D．与相等 【答案】B 【解题思路】利用共线向量、相等向量的概念逐项判断即可. 【解答过程】由题意可知，与不共线，A错； 因为、分别是、的中点，所以，，故与共线，B对； 因为与不平行，所以与不相等，C错； 因为，D错． 故选：B. 【变式5-1】（2025高二下·湖南娄底·学业考试）在正六边形ABCDEF中，设，则下列向量中与不共线的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【解题思路】根据共线向量的定义即可. 【解答过程】因为共线向量是指向量所在直线共线或平行的向量，O为正六边形的中心， 所以与所在直线平行，所以是共线向量，故A错误； 与所在直线平行，所以是共线向量，故B错误； 与所在直线既不共线也不平行，所以不是共线向量，故C正确； 与所在直线共线，所以是共线向量，故D错误. 故选：C. 【变式5-2】（24-25高一下·安徽六安·期末）如图，四边形ABCD是平行四边形，四边形ABDE是矩形. (1)找出与相等的向量； (2)找出与共线的向量. 【答案】(1) (2) 【解题思路】（1）根据相等向量的定义写出即可； （2）根据共线向量的定义直接写出. 【解答过程】（1）由四边形ABCD是平行四边形，四边形ABDE是矩形知， 与的长度相等且方向相同，所以与相等的向量为. （2）由题干图可知，与方向相同，与方向相反， 所以与共线的向量有. 【变式5-3】（24-25高一下·全国·课后作业）如图所示，在平行四边形中，，分别是，的中点. (1)写出与向量共线的向量； (2)求证：. 【答案】(1)，，； (2)证明见解析. 【解题思路】根据条件，可得四边形为平行四边形，即可写出与向量共线的向量； 根据题意可得出四边形是平行四边形，从而得出，，进而得出结论. 【解答过程】（1）解：因为在平行四边形中，，分别是，的中点，，， 所以四边形为平行四边形，所以. 所以与向量共线的向量为：，，； （2）证明：在平行四边形中，，. 因为，分别是，的中点， 所以且， 所以四边形是平行四边形， 所以，， 故. 【题型6 利用向量关系研究几何图形的性质】 【例6】（24-25高一下·湖南娄底·月考）已知四边形满足条件，且，其形状是（    ） A．梯形 B．矩形 C．菱形 D．正方形 【答案】B 【解题思路】由，分析出四边形一组对边平行且相等，又由，分析出四边形对角线相等，即可得到结果. 【解答过程】由，可知且 ， 则四边形为平行四边形， 又由，可知四边形为矩形， 故选:B. 【变式6-1】（2025·云南昆明·模拟预测）下列有关四边形的形状判断错误的是（    ） A．若，则四边形为平行四边形 B．若，则四边形为梯形 C．若，且，则四边形为菱形 D．若，且，则四边形为正方形 【答案】D 【解题思路】根据向量共线、相等的知识确定正确答案. 【解答过程】A选项，，则，所以四边形为平行四边形，A正确. B选项，，则，所以四边形为梯形，B正确. C选项，，则，四边形是平行四边形；由于，所以四边形是菱形，C正确. D选项，，则，所以四边形为平行四边形；由于，所以四边形为菱形，D选项错误. 故选：D. 【变式6-2】（24-25高一·全国·课后作业）如图，四边形ABCD的对角线AC与BD交于点O，且，．求证：四边形ABCD是平行四边形．    【答案】答案见解析 【解题思路】由，可得AC、BD互相平分，利用平行四边形的判定定理即可证明. 【解答过程】因为四边形ABCD的对角线AC与BD交于点O，且，． 所以四边形ABCD的对角线AC、BD互相平分， 所以四边形ABCD是平行四边形． 即证. 【变式6-3】（24-25高一·全国·课后作业）已知四边形中，且，，试判断四边形的形状，并说明理由. 【答案】菱形，理由见解析 【解题思路】根据向量相等及特殊角的三角函数值即可证明； 【解答过程】解：四边形是菱形·理由如下： ∵在四边形中，， ∴四边形是平行四边形. ∵，∴. 又，∴是等边三角形， ∴，∴四边形是菱形. 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题6.1 平面向量的概念（举一反三讲义） 【人教A版】 【题型1 平面向量的概念与表示】 2 【题型2 零向量与单位向量】 2 【题型3 向量的几何表示与向量的模】 3 【题型4 相等向量】 4 【题型5 平行向量（共线向量）】 6 【题型6 利用向量关系研究几何图形的性质】 7 知识点1 向量的概念 1．向量的概念 (1)向量：既有大小又有方向的量叫做向量. (2)数量：只有大小，没有方向的量（如年龄、身高、长度、面积、体积和质量等），称为数量． 【注】：①本书所学向量是自由向量，即只有大小和方向，而无特定的位置，这样的向量可以作任意平移． ②看一个量是否为向量，就要看它是否具备了大小和方向两个要素． ③向量与数量的区别：数量与数量之间可以比较大小，而向量与向量之间不能比较大小． 2．向量的表示法 (1)有向线段：具有方向的线段叫做有向线段，有向线段包含三个要素：起点、方向、长度． (2)向量的表示方法： ①字母表示法：如等. ②几何表示法：以A为始点，B为终点作有向线段（注意始点一定要写在终点的前面）．如果用一条有向线段表示向量，通常我们就说向量. 3．向量的有关概念 (1)向量的模：向量的大小叫向量的模(就是用来表示向量的有向线段的长度). (2)零向量：长度为零的向量叫零向量.记作，它的方向是任意的． (3)单位向量：长度等于1个单位的向量. (4)相等向量：长度相等且方向相同的向量. (5)相反向量：长度相等且方向相反的向量. 【注】：①在画单位向量时，长度1可以根据需要任意设定. ②在平面内，相等的向量有无数多个，它们的方向相同且长度相等． ③非零向量与的关系：是与同方向的单位向量. 【题型1 平面向量的概念与表示】 【例1】（24-25高一下·河南·月考）下列量中是向量的为（    ） A．课桌的高度 B．一段路程的公里数 C．上课时老师敲击黑板的频率 D．小汽车受到路面的弹力 【变式1-1】（24-25高一下·河南开封·月考）下列物理量：①质量；②速度；③力；④加速度；⑤位移；⑥密度；⑦功．其中是向量的有（   ） A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 【变式1-2】（24-25高一上·北京·月考）下列关于向量的说法正确的是（   ） A．物理学中的摩擦力、重力都是向量 B．平面直角坐标系上的轴、轴都是向量 C．温度含零上和零下温度，所以温度是向量 D．身高是一个向量 【变式1-3】（24-25高一下·新疆·期末）下列说法正确的是（    ） A．身高是一个向量 B．温度有零上温度和零下温度之分，故温度是向量 C．有向线段由方向和长度两个要素确定 D．有向线段和有向线段的长度相等 【题型2 零向量与单位向量】 【例2】（24-25高二上·广东湛江·开学考试）下列命题正确的个数是（    ） （1）向量就是有向线段；（2）零向量是没有方向的向量； （3）零向量的方向是任意的；（4）零向量的长度为0． A．1 B．2 C．3 D．4 【变式2-1】（24-25高一下·甘肃·月考）关于非零向量方向上的单位向量，下列说法正确的是（    ） A．有无数个 B．与可能反向 C． D． 【变式2-2】（24-25高一下·新疆·期中）下列说法正确的是（    ） A．向量的模是一个正实数 B．零向量没有方向 C．单位向量的模等于1个单位长度 D．零向量就是实数0 【变式2-3】（24-25高一下·新疆巴音郭楞·月考）下列说法正确的是（    ） A．单位向量均相等 B．单位向量 C．零向量与任意向量平行 D．若向量，满足，则 【题型3 向量的几何表示与向量的模】 【例3】（24-25高一下·山东菏泽·月考）如果一架飞机向西飞行，再向南飞行，记飞机飞行的路程为，位移为，则（    ） A． B． C． D．与不能比较大小 【变式3-1】（24-25高一下·安徽合肥·月考）在如图所示的半圆中，AB为直径，点O为圆心，C为半圆上一点，且，，则等于（    ） A．1 B． C． D．2 【变式3-2】（24-25高一下·广西南宁·开学考试）某人从点A出发向东走了5米到达点B，然后改变方向按东北方向走了米到达点.    (1)在图中作出向量；（正方形小方格的边长是1米） (2)求向量的模. 【变式3-3】（24-25高一下·全国·课后作业）在方格纸（每个小方格的边长为1）中，画出下列向量． (1)，点在点的正东方向； (2)，点在点的北偏东方向； (3)求出的值． 知识点2 相等向量与共线向量 1．向量的共线或平行 方向相同或相反的非零向量，叫共线向量(共线向量又称为平行向量).规定:与任一向量共线. 【注】：①零向量的方向是任意的，注意与0的含义与书写区别. ②平行向量可以在同一直线上，要区别于两平行线的位置关系；共线向量可以相互平行，要区别于在同一直线上的线段的位置关系. ③共线向量与相等向量的关系：相等向量一定是共线向量，但共线向量不一定是相等的向量． 2．用共线（平行）向量或相等向量刻画几何关系 (1)利用向量的模相等可以证明线段相等，利用向量相等可以证明线段平行且相等. (2)利用向量共线可以证明直线与直线平行，但需说明向量所在的直线无公共点. (3)利用向量可以判断图形的形状(如平行四边形、等腰三角形等)、证明多点共线等. 3．平行向量有关概念的三个关注点 (1)相等向量具有传递性，非零向量的平行也具有传递性. (2)共线向量即为平行向量，它们均与起点无关. (3)向量可以平移，平移后的向量与原向量是相等向量，解题时，不要把它与函数图象的平移混淆. 【题型4 相等向量】 【例4】（24-25高一下·安徽马鞍山·月考）如图，O是正六边形ABCDEF的中心，下列向量中，与相等的向量为（   ） A． B． C． D． 【变式4-1】（2025高二下·黑龙江·学业考试）如图，在平行四边形中，与相等的向量是（    ） A． B． C． D． 【变式4-2】（24-25高一下·全国·课前预习）如图，在矩形中，，B，E分别为边AC，DF的中点，在以A，B，C，D，E，F为起点和终点的所有有向线段表示的向量中：    (1)分别找出与，相反的向量； (2)分别找出与，相等的向量. 【变式4-3】（24-25高一上·上海·课堂例题）设O是正六边形的中心，写出满足条件的向量.    (1)与相等的向量； (2)与相等的向量； (3)与的模相等且平行的向量（除外）. 【题型5 平行向量（共线向量）】 【例5】（24-25高一·全国·课前预习）在中，，、分别是、的中点，则（   ） A．与共线 B．与共线 C．与相等 D．与相等 【变式5-1】（2025高二下·湖南娄底·学业考试）在正六边形ABCDEF中，设，则下列向量中与不共线的是（   ） A． B． C． D． 【变式5-2】（24-25高一下·安徽六安·期末）如图，四边形ABCD是平行四边形，四边形ABDE是矩形. (1)找出与相等的向量； (2)找出与共线的向量. 【变式5-3】（24-25高一下·全国·课后作业）如图所示，在平行四边形中，，分别是，的中点. (1)写出与向量共线的向量； (2)求证：. 【题型6 利用向量关系研究几何图形的性质】 【例6】（24-25高一下·湖南娄底·月考）已知四边形满足条件，且，其形状是（    ） A．梯形 B．矩形 C．菱形 D．正方形 【变式6-1】（2025·云南昆明·模拟预测）下列有关四边形的形状判断错误的是（    ） A．若，则四边形为平行四边形 B．若，则四边形为梯形 C．若，且，则四边形为菱形 D．若，且，则四边形为正方形 【变式6-2】（24-25高一·全国·课后作业）如图，四边形ABCD的对角线AC与BD交于点O，且，．求证：四边形ABCD是平行四边形．    【变式6-3】（24-25高一·全国·课后作业）已知四边形中，且，，试判断四边形的形状，并说明理由. 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 $