精品解析：河南省濮阳市第一高级中学2025-2026学年高二上学期第三次质量检测数学试题

濮阳市一高高二年级（2024级）上学期第三次质量检测 数学试题 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 双曲线的渐近线方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据双曲线方程可得实轴长和虚轴长，由此可得渐近线方程. 【详解】由双曲线方程知：实轴长，虚轴长，渐近线方程为. 故选：B. 2. 已知数列中，，，则（   ） A. 1 B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】求出数列的前几项，根据规律总结数列是以3为周期的周期数列，即可根据周期求出答案． 【详解】，， 则， ， ， ， 即，， 故数列是以3为周期的周期数列， 则， 故选：A． 3. “”是“直线与直线平行的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】 【分析】求出当时实数的值，再利用集合的包含关系判断可得出结论. 【详解】当时，，即，解得或. 当时，直线的方程为，直线的方程为，此时； 当时，直线的方程为，直线的方程为，此时. 因为，因此，“”是“直线与直线平行”的充分不必要条件. 故选：A. 4. 我国古代数学名著《九章算术》中，将底面为矩形且一侧棱垂直于底面的四棱锥称为阳马.如图所示，已知四棱锥是阳马，平面，若，，，且，为的中点，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】结合空间向量线性运算，利用基底表示向量即可. 【详解】因为，所以， 因为， 所以 . 故选：A 5. 已知为圆上任意一点，，若点满足，则点的轨迹方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用向量关系找到相关点的坐标关系，再代入相关点坐标即可得动点轨迹方程. 【详解】设，，由，得： ，则有， 因为为圆上任意一点， 所以，代入可得： ，整理得：， 即方程就是动点的轨迹方程. 故选：A 6. 已知椭圆C：的左、右焦点分别为，，M为椭圆C上任意一点，N为圆E：上任意一点，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】首先根据椭圆的定义将的最小值转化为，再根据（当且仅当 M、 N、 E共线时取等号），结合，求得的最小值． 【详解】如图， 由M为椭圆C上任意一点，则， 又N为圆E：上任意一点，且, 则（当且仅当M、N、E共线且N在M、E之间时取等号）， 又因 ， 当且仅当M、N、E、共线且M、N在E、之间时等号成立． 因,，则， 故的最小值， 故选：B 7. 如图，在直四棱柱中，底面ABCD为平行四边形，，点E在棱上，且，则点C到平面的距离为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】建立空间直角坐标系，结合空间向量的坐标运算以及点到面的距离公式代入计算，即可得到结果. 【详解】以为坐标原点，以的正方向为轴正方向，建立如图所示的空间直角坐标系， 则，，，，， ∴，，． 设平面的法向量为，则． 令，则，，∴． ∴点到平面的距离． 故选：D 8. 已知为坐标原点，过抛物线（）的焦点作直线交抛物线于，两点，若，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据给定条件，设出直线方程并与抛物线方程联立求出，再利用抛物线定义，结合基本不等式求出最小值. 【详解】抛物线的焦点，设直线的方程为，， 由消去得，则，， 由，得，解得， 抛物线的准线方程为，，， 于是， ，因此 ，当且仅当，即时取等号， 所以当时，取得最小值. 故选：C 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知直线，圆，则下列说法正确的是（ ） A. 存在实数，使圆关于直线对称 B. 直线过定点 C. 对任意实数，直线与圆有两个不同的公共点 D. 当时，直线被圆所截弦长为2 【答案】BCD 【解析】 【分析】根据直线是否过圆心判断A的真假；把点代入方程判断B的真假；根据B的结论可判断C的真假；利用几何法求弦长可判断D的真假. 【详解】对A：因为圆的圆心为，因为，所以不存在，使得直线经过圆心，即不存在实数，使圆关于直线对称.故A错误； 对B：因为恒成立，所以直线过定点，故B正确； 对C：因为，所以点在圆：内部，又直线过定点，所以直线与圆必有两个不同的公共点，故C正确； 对D：当时，直线：即. 圆心到直线的距离为：，所以弦长为：，故D正确. 故选：BCD 10. 已知椭圆C：的左右焦点分别为，长轴长为4，点在椭圆内部，点Q在椭圆上，则以下说法正确的是（ ） A. 离心率的取值范围为 B. 当离心率为时，的最大值为 C. 不存在点Q，使得 D. 的最小值为 【答案】CD 【解析】 【分析】由题设，可得，， 对于A,由离心率公式可判断； 对于B，由即可判断； 对于C，由，即，即可判断； 对于D，由椭圆的定义有，然后利用基本不等式求解即可判断. 【详解】由题设，，则，又在椭圆内部，则，即， 对A：，故选项A错误； 对B：当时，有，则，故选项B错误； 对C：由，即，所以以原点为圆心，c为半径的圆与椭圆无交点， 所以椭圆上不存在点Q使得，故选项C正确； 对D：由椭圆的定义有， 所以，当且仅当时等号成立， 当时，,由于，则能取到，满足条件； 当时，,由于，则不能取到，此时, 综上选项D正确. 故选：CD. 11. 如图，若是棱长为2的正方体的表面上一个动点，则下列结论正确的是（ ） A. 当在平面内运动时，四棱锥的体积不变 B. 当在线段AC上运动时，与所成角的取值范围是 C. 若是棱的中点，当在底面ABCD内运动，且满足平面时，PF长度的最小值是 D. 使直线AP与平面ABCD所成的角为的点的轨迹长度为 【答案】AC 【解析】 【详解】对于A，直接根据四棱锥体积公式定性判断即可；对于B，以D为原点，为x，y，z轴正方向建系，通过空间向量法即可求解；对于C，设，则，同样通过空间向量法即可求解；对于D，对P点所在平面分类讨论，结合几何知识，判断各个面轨迹的形状，并求出各个面的轨迹长度，相加即可． 【分析】对于A，当在平面内运动时，P到平面的距离不变， 平面的面积不变，所以四棱锥的体积不变，故A正确； 对于B，以D为原点，为x，y，z轴正方向建系，如图所示， 则，设， 则， 设与所成角为，， 则 ， 因为，所以，则， 所以， 因为在上单调递减，所以，故B错误； 对于C，，设， 则， 设平面的法向量，则，即， 令，则，所以， 因为平面，所以，则， 所以， 即当时，PF长度的最小值是，故C正确； 对于D，已知直线AP与平面ABCD所成的角为， 若点P在平面和平面内， 因为，且为最大角，所以点P仅在点，处； 若点P在平面内，则点P的轨迹为； 若点P在平面内，则点P的轨迹为； 若点P在平面内，作平面ABCD，如图所示， 因为，所以，因为，所以，所以， 所以点P的轨迹是以为圆心，2为半径的圆的四分之一， 所以点P的轨迹长度为； 综上，点P的轨迹总长度为，故D错误． 故选：AC． 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 若分别为与上任一点，则的最小值为___________. 【答案】##1.5 【解析】 【分析】先判断两直线互相平行，再利用两平行直线间的距离公式计算即得. 【详解】因，则直线与互相平行， 而分别为与上任一点， 故当线段为两直线的公垂线段时，的值最小， 此时的最小值即这两平行直线之间的距离， 而即，故. 故答案为：. 13. 若圆上到直线（为实数）的距离为的点有且仅有2个，则的取值范围是___________． 【答案】 【解析】 【分析】由题可知，圆心到直线的距离，根据点到直线的距离公式列出不等式求解即可. 【详解】由题意得圆心为，半径为，圆心到直线的距离为， 因为圆上到直线的距离为的点有且仅有个，所以，即， 解得或， 故答案为：. 14. 如图，点，是椭圆C：（）的左、右焦点，A，B是C上两点，，且，则C的离心率为__________. 【答案】## 【解析】 【分析】延长交于另一点，连接，设，再根据椭圆定义得到其他长度，利用余弦定理得，最后再次使用余弦定理即可得到关于的齐次方程，解出即可. 【详解】如图，延长交于另一点，连接，由椭圆的对称性，得． 设，则． 在中，利用余弦定理得 ，即，解得， 所以． 在中，利用余弦定理得， 即，化简得， 所以的离心率． 故答案为：． 四、解答题：本题共5小题，共77分、解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知圆的圆心在直线上，且直线被圆截得的弦长为. （1）求圆的方程； （2）过点作圆的切线，求切线的方程. 【答案】（1） （2）或. 【解析】 【分析】（1）根据圆心坐标以及弦长公式计算可得结果； （2）分别讨论直线斜率是否存在，再由圆心到切线的距离等于半径可得结果. 【小问1详解】 圆的圆心为， 由圆心在直线上可得，即圆心； 易知圆心到直线的距离为， 由弦长公式可得，解得； 所以圆的方程为； 【小问2详解】 当切线斜率不存在时，过点的直线方程为， 显然到的距离等于3，符合题意； 当切线斜率存在时，可设过点的直线方程为， 则圆心到的距离为，解得； 此时切线方程为，即； 综上可知，切线的方程为或. 16. 如图，在四棱锥中，平面平面ABCD，为AD的中点，，，，，. （1）求二面角的余弦值； （2）在线段PE上是否存在点，使得平面PBC？存在，求出点的位置；若不存在，说明理由. 【答案】（1） （2）存在，点M即中点 【解析】 【分析】（1）作平面，以E为原点，以的方向分别为x轴，y轴的正方向，建立空间直角坐标系， 分别求出平面和平面的法向量，利用向量夹角的余弦公式求解即可； （2）设，利用线面平行的向量判定法求解即可. 【小问1详解】 因为平面平面ABCD，平面平面， ，平面，所以平面， 在平面内，过点作，以E为原点，以的方向分别为x轴，y轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系， 则点， 所以， 设平面的法向量为， 所以，令，解得， 设平面的法向量为， 所以，令，解得， ， 由图可知，二面角的余弦值为. 【小问2详解】 因为，设 则， 由（2）知平面的法向量为 若平面，则有，解得， 所以线段上存在点，使得平面，点即中点. 17. 已知双曲线的实轴长为2，右焦点到双曲线的渐近线距离为. （1）求双曲线的方程； （2）过点作直线交双曲线的右支于两点，连接并延长交双曲线左支于点（为坐标原点），求的面积的最小值. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据实轴长可求，根据焦点到渐近线的距离可求，故可得双曲线方程； （2）设：，，，联立直线方程和双曲线方程消去后结合韦达定理可得面积的解析式（用表示），再结合换元法可求其面积的最大值. 【小问1详解】 因为双曲线的实轴长为2，故， 而双曲线的渐近线为， 故右焦点到渐近线的距离为， 故双曲线的方程为：. 【小问2详解】 显然直线与轴不垂直，设：，，， 由双曲线的对称性知的中点为，故， 联立 故，， 由于A，均在双曲线右支，故，故， 而， 代入韦达定理得， 令，则， 易知在上为减函数，则当时，， 综上：的面积的最小值为12. 18. 图1是直角梯形ABCD，，，，，，，以BE为折痕将BCE折起，使点C到达的位置，且，如图2． （1）求证：平面平面ABED； （2）求直线与平面所成角的正弦值． （3）在棱上是否存在点P，使得二面角的平面角为？若存在，求出线段的长度，若不存在说明理由． 【答案】（1）在图1中，连结AE，由已知条件得， ∵且， ∴四边形ABCE为菱形，连结AC交BE于点F， ∴，又∵在中，， ∴， 在图2中，，∵，∴， 由题意知，且 ∴平面ABED，又平面， ∴平面平面ABED； （2）；（3）存在，. 【解析】 【分析】（1）在图1中，连结AE，连结AC交BE于点F，证明，即可； （2）以D为坐标原点，DA，分别为x，y轴，方向为z轴正方向建立空间直角坐标系，算出平面的法向量和的坐标，然后可算出答案； （3）设，然后算出平面PBE、平面的法向量，然后可建立方程求解. 【详解】（1）略 （2）如图，以D为坐标原点，DA，分别为x，y轴，方向为z轴正方向建立空间直角坐标系．由已知得各点坐标为 ，，，，，， 所以，，， 设平面的法向量为，则，， 所以，即， 令，解得，， 所以，，记直线与平面所成角为， 则． （3）假设存在，设， 所以，， ∵平面，易得平面的一个法向量， 设平面PBE的一个法向量， 由，可得，可取， 则， 解得，此时． 【点睛】关键点睛：用向量方法解决空间中的角的问题时，关键是建立适当的空间直角坐标系，准确地写出点的坐标和向量的坐标，然后准确地运算出答案. 19. 已知抛物线，斜率为的直线交于两点，且线段中点纵坐标为4． （1）求抛物线的方程； （2）若直线不过点，且直线交于另一点，记直线的斜率为， （i）求证：； （ii）求证：直线过定点． 【答案】（1） （2） （i）法一：由（1），且， 则 所以. 法二：设直线方程为， 抛物线的方程可表示为， 由， 得 ， ， ， 直线的斜率为， ， . （ii）法一：如图，作出符合题意的图形， 由已知得， 设直线的方程为， 联立，可得， ， ， ， 整理得， 即， 当时，直线与直线重合，舍去 ，直线的方程， 直线过定点. 法二：由已知得， ， ， （舍）或， 直线的方程是， 直线过定点. 【解析】 【分析】（1）联立方程组并利用韦达定理得到，再结合题意求解参数，得到抛物线方程即可. （2）（i）法一直接利用斜率公式结合韦达定理得到定值，法二利用齐次化结合直线系方程求解定值，（ii）法一结合已证定值，求出直线方程，进而求解定点，法二结合齐次化得到的定值求出直线方程，最后求出定点即可. 【小问1详解】 设直线的方程为， 代入得， 设点，则， 而线段中点纵坐标为4，则，解得， 故的方程为. 【小问2详解】 略 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 濮阳市一高高二年级（2024级）上学期第三次质量检测 数学试题 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 双曲线的渐近线方程为（ ） A. B. C. D. 2. 已知数列中，，，则（   ） A. 1 B. C. D. 3. “”是“直线与直线平行的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 4. 我国古代数学名著《九章算术》中，将底面为矩形且一侧棱垂直于底面的四棱锥称为阳马.如图所示，已知四棱锥是阳马，平面，若，，，且，为的中点，则（ ） A. B. C. D. 5. 已知为圆上任意一点，，若点满足，则点的轨迹方程为（ ） A. B. C. D. 6. 已知椭圆C：的左、右焦点分别为，，M为椭圆C上任意一点，N为圆E：上任意一点，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 7. 如图，在直四棱柱中，底面ABCD为平行四边形，，点E在棱上，且，则点C到平面的距离为（ ） A. B. C. D. 8. 已知为坐标原点，过抛物线（）的焦点作直线交抛物线于，两点，若，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知直线，圆，则下列说法正确的是（ ） A. 存在实数，使圆关于直线对称 B. 直线过定点 C. 对任意实数，直线与圆有两个不同的公共点 D. 当时，直线被圆所截弦长为2 10. 已知椭圆C：的左右焦点分别为，长轴长为4，点在椭圆内部，点Q在椭圆上，则以下说法正确的是（ ） A. 离心率的取值范围为 B. 当离心率为时，的最大值为 C. 不存在点Q，使得 D. 的最小值为 11. 如图，若是棱长为2的正方体的表面上一个动点，则下列结论正确的是（ ） A. 当在平面内运动时，四棱锥的体积不变 B. 当在线段AC上运动时，与所成角的取值范围是 C. 若是棱的中点，当在底面ABCD内运动，且满足平面时，PF长度的最小值是 D. 使直线AP与平面ABCD所成的角为的点的轨迹长度为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 若分别为与上任一点，则的最小值为___________. 13. 若圆上到直线（为实数）的距离为的点有且仅有2个，则的取值范围是___________． 14. 如图，点，是椭圆C：（）的左、右焦点，A，B是C上两点，，且，则C的离心率为__________. 四、解答题：本题共5小题，共77分、解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知圆的圆心在直线上，且直线被圆截得的弦长为. （1）求圆的方程； （2）过点作圆的切线，求切线的方程. 16. 如图，在四棱锥中，平面平面ABCD，为AD的中点，，，，，. （1）求二面角的余弦值； （2）在线段PE上是否存在点，使得平面PBC？存在，求出点的位置；若不存在，说明理由. 17. 已知双曲线的实轴长为2，右焦点到双曲线的渐近线距离为. （1）求双曲线的方程； （2）过点作直线交双曲线的右支于两点，连接并延长交双曲线左支于点（为坐标原点），求的面积的最小值. 18. 图1是直角梯形ABCD，，，，，，，以BE为折痕将BCE折起，使点C到达的位置，且，如图2． （1）求证：平面平面ABED； （2）求直线与平面所成角的正弦值． （3）在棱上是否存在点P，使得二面角的平面角为？若存在，求出线段的长度，若不存在说明理由． 19. 已知抛物线，斜率为的直线交于两点，且线段中点纵坐标为4． （1）求抛物线的方程； （2）若直线不过点，且直线交于另一点，记直线的斜率为， （i）求证：； （ii）求证：直线过定点． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $