专题1.1 三角形的内角和定理（举一反三讲义）数学新教材北师大版八年级下册

本讲义聚焦三角形内角和定理（180°）及外角性质（外角等于不相邻两内角和、外角和360°），从基础定义、证明到与平行线、角平分线、折叠等综合应用，构建递进式学习支架。 资料设计15类题型（含例题与变式），结合折叠、三角板、消防云梯等实例，培养几何直观与推理能力，课中辅助分层教学，课后助力查漏补缺，提升应用意识与创新思维。

专题1.1 三角形的内角和定理（举一反三讲义） 【新教材北师大版】 【题型1 利用三角形内角和直接求角】 2 【题型2 三角形内角和的证明】 4 【题型3 三角形内角和与平行线的综合】 8 【题型4 三角形内角和与角平分线的综合】 11 【题型5 利用三角形内角和解决折叠中的角度计算】 17 【题型6 利用三角形内角和解决三角板中的角度计算】 20 【题型7 三角形的外角定义】 26 【题型8 由三角形的外角性质求角的度数】 27 【题型9 由三角形的外角性质解决平行线中的问题】 29 【题型10 由三角形的外角性质解决翻折中的问题】 34 【题型11 由三角形的外角性质求三角板中角的度数】 37 【题型12 三角形的外角性质与角平分线的综合】 40 【题型13 与三角形的外角性质有关的新定义问题】 45 【题型14 与三角形的外角性质有关的探究问题】 53 【题型15 三角形外角的实际应用】 58 知识点1 三角形内角和定理 定义：三角形三个内角的和等于180°. 如图所示，在△ABC 中，∠A+∠B+∠C=180°. 图 (1) 图 (2) 【拓展】三角形内角和的倒角模型： 由三角形的内角和定理易得∠1+∠2=∠3+∠4. 由三角形的内角和定理易得∠A+∠B=∠C+∠D. 【题型1 利用三角形内角和直接求角】 【例1】（24-25七年级下·江西吉安·阶段练习）定义：当三角形中其中一个内角是另一个内角的两倍时，我们称此三角形为“倍角三角形”．若一个“倍角三角形”的其中一个内角为，则这个三角形中最大的内角度数为 ． 【答案】或或 【分析】本题考查三角形内角和定理．掌握三角形的内角和为，是解决问题的关键． 根据三角形内角和等于，如果一个“倍角三角形”有一个角为，可得另两个角的和为，根据由三角形中一个内角是另一个内角的2倍分类讨论，可以分别求得三角形的内角，由此比较得出答案即可． 【详解】解：当的角是另一个内角的2倍时， 三个角分别为：，，；　 当一个内角是的角的2倍时，三个角分别为：，，； 当另外两个角是两倍关系时， 设这两个角分别是，， 则， 解得， ∴， ∴三个角分别为：，， ； 因此，这个三角形中最大的内角度数为或或． 故答案为：或或． 【变式1-1】（24-25七年级下·上海·期中）在中，若，则此三角形按角分类是 三角形． 【答案】锐角 【分析】本题主要考查了三角形内角和定理，三角形的分类，根据已知条件和三角形内角和定理求出这个三角形三个内角的度数即可得到答案． 【详解】解：∵在中，，， ∴， ∴， ∴， ∴该三角形是锐角三角形， 故答案为：锐角． 【变式1-2】（24-25八年级下·山东济南·期中）加图．平移后得列，，，则的度数是 ．    【答案】/度 【分析】本题考查了平移的性质，三角形内角和定理的运用．根据三角形内角和定理得到，再根据平移得到，即可求解． 【详解】解：在中，，， ∴， ∵平移后得到， ∴， 故答案为：． 【变式1-3】（24-25七年级下·江西九江·期中）一个安全用电标识如图①所示，此标识可以抽象为图②中的几何图形，其中，，点E，F在线段上．若，，则的度数为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了平行线的性质，三角形内角和定理，由三角形内角和定理可得的度数，再由平行线的性质可得的度数，据此根据平角的定义可得答案． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 故答案为：． 【题型2 三角形内角和的证明】 【例2】（24-25七年级下·山东泰安·期中）在探究证明“三角形的内角和是”时，综合实践小组的同学作了如下四种辅助线，其中不能证明“三角形内角和是”的是（   ） A．如图①所示，过三角形一边上点D作 B．如图②所示，过三角形内部一点P作 C．如图③所示，过点C作于点D D．如图④所示，过三角形外部一点P作 【答案】C 【分析】本题主要考查了三角形内角和定理的证明，平行线的性质，由平行线的性质可得，，则，由平角的定义得到，则，据此可判断A；由平行线的性质可得，同理可得，据此可判断B；设交于O，根据平行线的性质可得，，，， ，再由，即可判断D；C中根据现有条件无法证明． 【详解】解：A、∵， ∴，， ∴， ∵， ∴，故A不符合题意； B、∵ ∴， ∵， ∴同A选项中的证明方法可得， ∴，故B不符合题意； C、根据现有条件无法证明，故C符合题意； D、设交于O， ∵， ∴， ∵， ∴，，， ∵， ∴， ∵， ∴，故D不符合题意； 故选；C． 【变式2-1】如图,将铅笔放置在三角形 ABC 的边 AB 上，笔尖方向为点 A 到点 B 的方向，把铅笔依次绕点 A、点 C、点 B 按逆时针方向旋转∠A、∠C、∠B 的度数，观察笔尖方向的变化，该操作说明了 ． 【答案】三角形内角和等于180° 【分析】根据旋转后反方向说明旋转度数等于180°解答． 【详解】解：笔尖方向发生了由点B到点A的方向， ∵铅笔依次绕点A、点C、点B按逆时针方向旋转∠A、∠C、∠B的度数， ∴旋转角度之和为∠A＋∠B＋∠C， ∵笔尖方向变为点B到点A的方向， ∴旋转角度之和为180°， ∴这种变化说明三角形内角和等于180°． 故答案为：三角形内角和等于180°． 【点睛】本题考查了平角的性质，三角形的内角和定理，理解旋转度数之和与三角形的内角和的关系是解题的关键． 【变式2-2】我们在小学就已经知道三角形内角和等于度，是通过度量或剪拼得出这一结论的，但是，由于测量和剪拼常常有误差，这种验证不是数学证明，不能完全让人信服．所以，需要通过推理的方法去证明：任意一个三角形的内角和一定等于．请完成下面证明过程． 已知：如图任意画一个． 求证：． 证明： 【答案】见解析 【分析】本题考查三角形内角和定理的证明，解题的关键是掌握平行线的性质定理、判定定理．过点作直线，由平行线的性质可得，，再由平角的定义，通过等量代换可得． 【详解】证明：如图，过点作直线， ， ，， ， ，即三角形内角和等于． 【变式2-3】（24-25八年级上·湖北宜昌·阶段练习）小明想探究三角形内角和的度数，下面是他的探究过程，请你帮他把探究过程补充完整． 在边上任取一点E，作 交于点D，作 交于点F． ， _______，_______． ， _______． ， _______， _______． ， _______． 【答案】；；；；； 【分析】本题主要考查了三角形内角和定理的证明，平行线的性质，根据平行线的性质和已给推理过程进行证明即可． 【详解】解； ， ，． ， ． ， ， ． ， ． 【题型3 三角形内角和与平行线的综合】 【例3】（24-25七年级下·吉林长春·期中）在直角三角形中，，平分交于点，平分交于点，、相交于点，过点作平行，过点作交于点．下列结论：①平分；②；③；④．正确结论的序号有 ． 【答案】②③④ 【分析】本题考查三角形内角和定理，平行线的性质，角平分线的定义及等角的余角相等．根据角平分线的定义及三角形内角和定理即可判断③正确；由平行线的性质及角平分线的定义即可判断②正确；根据等角的余角相等即可判断④正确；根据已知条件无法判断①，所以错误，综上所述即可得出答案． 【详解】解：在直角三角形中，， ∴， ∵平分，平分， ∴，， ∴， ∴， ∴③正确； ∵， ∴ ∵， ∴， ∴， ∴②正确； ∵的度数不确定， ∴根据已知条件无法证明平分， ∴①不正确； ∵，， ∴，， ∴， 又∵， ∴， ∴， 又∵， ∴， 又∵平分， ∴ ∴， 即， ∴④正确； 综上，正确的结论为②③④， 故答案为：②③④． 【变式3-1】（24-25七年级下·浙江杭州·期中）如图，中，分别是上的点，满足． (1)，是否平行？说明理由． (2)若平分，，求度数． 【答案】(1)平行 (2) 【分析】本题考查了三角形的内角和，平行线的判定等知识点． （1）由三角形内角和为，结合已知可得，由同位角相等两直线平行即可得出结论； （2）根据角平分线定义可得，结合可得． 【详解】（1）结论：平行， ∵， ， ∴， ∴． （2）∵平分， ∴， ∵， ∴． 【变式3-2】（24-25七年级下·山东济南·期中）如图，四边形中，点是上一点，过点作，若，则 °． 【答案】57 【分析】本题考查了平行线的性质，三角形内角和定理，解题的关键是掌握两直线平行同位角相等． 首先根据平行线的性质得到，，然后根据三角形内角和定理求解即可． 【详解】解：∵，， ∴，， ∵， ∴， ∴． 故答案为：57． 【变式3-3】如图，，，，则 ． 【答案】 【分析】本题主要考查平行线的以及角的和差计算，连接，设，，，，由平行线的性质得，进一步得出 ，从而可得结论 【详解】解：连接，如图， ， 设，，，， ∵ ∴， ∴， ∴， ∴， ∴ ； ， ∴ 故答案为： 【题型4 三角形内角和与角平分线的综合】 【例4】（24-25八年级上·广东广州·阶段练习）如图，在中，、分别平分和，连接，已知，，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了三角形内角和定理及三角形角平分线的性质，根据三角形的三条角平分线相交于同一点，得出平分是解题的关键．先由三角形的角平分线的定义得出，，根据三角形内角和定理得出，再由三角形的三条角平分线相交于同一点，可知平分，进而可求出答案． 【详解】解： 平分，， ， 平分，， ， ． 在中，、分别平分和， 平分， ， 故选：C． 【变式4-1】（24-25七年级下·河南驻马店·期中）如图，在中，是的角平分线，F是上一动点，于点D，，，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了三角形角平分线、三角形内角和定理等知识，理解并掌握三角形内角和定理是解题关键．首先根据三角形角平分线的定义可得，再利用三角形内角和定理确定，然后在中，由求解即可． 【详解】解：∵，是的角平分线， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴． 故选：C． 【变式4-2】（24-25七年级下·北京·期中）如图，，点是平面内一点，连接，，的平分线与的平分线交于点．若，则 （用含的代数式表示）． 【答案】 【分析】本题主要考查了平行线的性质，角平分线的性质，三角形的内角和定理，解题的关键是熟练掌握以上性质，并作辅助线构造三角形． 延长交于点，相交于点，利用角平分线的性质和平行线的性质得出，，得出，进行整理求解即可． 【详解】解：如图，延长交于点，相交于点， ∵平分，平分， ， ， ， ，， ， ， 故答案为：． 【变式4-3】如图，在中，点在上，过点作，交于点，平分，交的平分线于点，与相交于点，的平分线与相交于点． (1)若，，则______，______； (2)若，当的度数发生变化时，、的度数是否发生变化？并说明理由； (3)若中存在一个内角等于另一个内角的三倍，请直接写出所有符合条件的的度数______． 【答案】(1)115，25 (2)不会发生变化，理由见解析 (3)或或或 【分析】（1）由平行线的性质，角平分线的定义结合三角形内角和定理即可求解； （2）同理由平行线的性质，角平分线的定义结合三角形内角和定理即可求解； （3）设，则，再由不变，即可分类讨论：①当时，②当时，③当时，④当时，分别列出关于的等式，解出即可． 【详解】（1）解：，， ． 平分， ． ， ，． 平分， ． ； ， ． 平分，平分， ，． ， ，即， ． 故答案为：115，25； （2）解：不会发生变化，理由如下： ， ． ， ，． 平分，平分， ，． ． ， ， ， ． 当的度数发生变化时，、的度数不发生变化； （3）解：设， ． ， ，， 平分，平分， ，， ． ． 平分，平分， ，， ， ， 中存在一个内角等于另一个内角的三倍， ①当时，， 解得： ②当时，， 解得： ③当时，， 解得： ④当时，， 解得： 综上可知，或或或． 【点睛】本题考查平行线的性质，角平分线的定义，三角形内角和定理等知识．熟练运用数形结合和分类讨论的思想是解题关键． 【题型5 利用三角形内角和解决折叠中的角度计算】 【例5】（24-25七年级下·吉林长春·期中）如图，在中，、的角平分线交于点，将沿折叠使得点与点重合，若，则的度数是（    ） A．100° B．110° C．120° D．130° 【答案】B 【分析】本题考查三角形内角和定理及角平分线的定义，熟练掌握三角形的内角和是是解题关键．根据折叠得出，，再由三角形内角和和平角定义求出．根据三角形内角和定理可得，根据角平分线的定义可得由此即可得答案． 【详解】解：由折叠可知：，， ∴，． ∴， 又∵， ∴，即， ∵，，， ∴， ∴， ∴． 故选：B． 【变式5-1】（24-25八年级上·江苏南京·期中）如图，将一条两边沿互相平行的纸带折叠，若比大，则的度数为 ． 【答案】/68度 【分析】本题考查平行线的性质、折叠的性质，根据平行线的性质、折叠的性质，可以计算出的度数，然后即可计算出的度数． 【详解】解：如图所示， ． 由题意可得：， ∵， ∴， ∴， 由图可得，， ∵比大， ∴， 解得， ∴， 故答案为：． 【变式5-2】（24-25七年级下·云南昭通·期中）如图，将长方形沿折叠，使点落在边上的点，若．则 度． 【答案】71 【分析】本题考查了矩形折叠．熟练掌握矩形性质 折叠性质，平行线的性质，直角三角形角性质，是解决本题的重点． 首先根据平行线的性质得到的度数，再根据对折的性质求出的度数，即可求出的度数． 【详解】解：∵长方形中， ∴， 由折叠知，， ∵， ∴． 故答案为：71． 【变式5-3】（24-25七年级下·江苏无锡·期中）如图，在中，．第一步，将纸片折叠，使点A与点B重合，折痕与边的交点为点D；第二步，在边上找一点E，将纸片沿折叠，点A落在处；第三步，将纸片沿折叠，点E落在处，当点恰好在原直角三角形纸片的边上时，的度数为 °． 【答案】或 【分析】本题考查了折叠的性质，三角形的内角和定理，把握折叠的不变性是解题的关键． 分两种情况讨论，画出示意图，根据折叠的性质以及三角形内角和定理即可求解． 【详解】解：当点在上时， 由折叠得， ， 那么此时，记与交于点G， ∴， ∵， ∴； 当点在上时， 由折叠知， 当点在上时，则， ∴， ∴， 综上：当点恰好在原直角三角形纸片的边上时，的度数为或， 故答案为：或． 【题型6 利用三角形内角和解决三角板中的角度计算】 【例6】（24-25七年级下·江苏连云港·期中）如图，把一副三角板如图摆放，点E在边上，将图中的绕点A按每秒速度沿顺时针方向旋转一周，在旋转的过程中，在第 秒时，边恰好与边平行． 【答案】21或57 【分析】本题考查了旋转的性质、平行线的性质、三角形内角和定理等知识点，依据题意，正确分两种情况讨论是解题关键． 先根据旋转的定义画出图形，再根据平行线的性质和旋转的性质求出旋转角的度数，由此即可得出答案． 【详解】解：如图1所示：当时，         由题意可得：，，         则， 故， 则，         故边恰好与边平行时，旋转的时间为：（秒），         如图2，当时， 由（1）同理可得：，         则绕点顺时针旋转了，         在旋转的过程中：第（秒）时，边恰好与边平行． 综上所述：在第21或57秒时，边恰好与边平行．     故答案为：21或57． 【变式6-1】（24-25八年级上·广东东莞·期中）一副三角板，按如图所示叠放在一起，则图中的度数是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了通过三角板求角度，三角形的内角和定理，根据三角板中特殊角度，三角形内角内角和定理解答即可，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：如图，根据三角板角度的特殊性可知，， ∵， ∴， 故选：． 【变式6-2】（24-25七年级下·浙江·阶段练习）将一副三角板如图放置，边与边在同一条直线上，，．三角板保持不动，将三角板绕点逆时针旋转．当 时，． 【答案】 【分析】本题考查垂直的定义，三角形内角和，角的和差．当时，即，结合三角形内角和得，由旋转性质得，再根据角的和差关系进行列式计算，即可作答． 【详解】解：如图， ∵三角板保持不动，将三角板绕点逆时针旋转，且， ∴， ∵，． ∴，， 则， ∴三角板绕点顺时针旋转75度， 即， 故答案为：． 【变式6-3】（24-25七年级下·福建漳州·期中）已知一块三角板，将三角板如图所示放置，使顶点落在边上，经过点作直线交边于点，且点在点的左侧．若的平分线交边于点，以下结论中 ①当且时，； ②当时，； ③当时，．正确的有（   ） A．② B．①② C．①③ D．①②③ 【答案】B 【分析】本题主要查了平行线的判定和性质，三角形内角和定理，熟练掌握平行线的判定和性质，三角形内角和定理是解题的关键． 根据，可得，再由以及平分，可得，然后根据，可得，从而得到，可判断①；根据，可得，从而得到，再由以及平分，可得，然后根据三角形内角和定理可得，可判断②；根据，可得，再由以及平分，可得，然后根据三角形内角和定理可得，从而得到，无法得到与平行，可判断③． 【详解】解：如图， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵平分， ∴， 在中，， ∴， ∴， ∵， ∴，故①正确； ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴，故②正确； ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴无法得到与平行， ∵，即， ∴无法得到，故③错误． 故选：B 知识点2 三角形的外角 1.定义：三角形的一边与另一边的延长线组成的角，叫做三角形的外角. 2.性质：三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和. 3.三角形的外角和等于360°. 在 △ABC 中，∠ACD是△ABC 的一个外角，∠ACD=∠CAB+∠ABC, ∠ACD+∠CBF+∠BAE=360°. 【题型7 三角形的外角定义】 【例7】（24-25八年级上·福建厦门·期中）如图，下列角中是的外角的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查三角形的外角性质，关键是掌握三角形的外角定义．三角形的一边与另一边的延长线组成的角，叫做三角形的外角，由此即可得到答案． 【详解】解：图形中是的外角的是． 故选：B． 【变式7-1】如图，是 和 的外角；以为一边长的三角形有 个．    【答案】 4 【分析】本题考查了三角形的认识及三角形外角的定义，熟记三角形的定义：“三条线段首尾顺次相接组成的图形叫做三角形”及三角形外角的定义：“三角形的一边与另一边的反向延长线所组成的角叫做三角形的外角”是解题的关键． 【详解】解：根据图形可得：是和的外角； 以为一边长的三角形有：，，，，共4个； 故答案为：；；4． 【变式7-2】下图中∠1是三角形一个外角的是（    ） A．  B．  C．  D．   【答案】D 【分析】根据三角形的外角是三角形的一边与另一边的反向延长线组成的角，进行判断即可． 【详解】解：由三角形外角的定义，可知，D选项中的∠1是三角形一个外角，其他的都不符合题意； 故选D． 【变式7-3】我们都知道三角形有三个内角，其实三角形除了内角，还有外角，三角形的外角是三角形的一边与另一边的反向延长线组成的角．请同学们画出三角形的一个外角，并证明：三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角之和． 已知：__________________ 求证：__________________ 证明： 【答案】三角形的内角和是；三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角之和；证明过程见解析 【分析】根据三角形的内角和，结合平角的定义，利用等量代换即可求证． 【详解】解：    ∵ ∴ 【点睛】本题考查了三角形的外角的定义及性质证明．掌握三角形的内角和及平角的定义是解题关键． 【题型8 由三角形的外角性质求角的度数】 【例8】如果三角形的一个外角与它不相邻的两个内角的和为，那么这个三角形是（    ） A．直角三角形 B．钝角三角形 C．锐角三角形 D．无法确定 【答案】A 【分析】根据三角形的外角性质和已知条件判断即可. 【详解】解：∵三角形的外角等于与它不相邻的两个内角之和，三角形的一个外角与它不相邻的两个内角的和为 ∴2×此外角=180° 此外角=90° 故与此外角相邻的内角为：180°－90°=90° 故选：A． 【点睛】此题考查的是三角形外角的性质和直角三角形的判定，掌握三角形的外角等于与它不相邻的两个内角之和及直角三角形的定义是解决此题的关键. 【变式8-1】（24-25七年级上·江苏泰州·期末）如图，在中，，，则外角的度数为 ． 【答案】135 【分析】本题考查了三角形外角的性质，熟练掌握三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和是解题的关键．根据三角形外角的性质解答即可． 【详解】解：，，， ， 故答案为：135． 【变式8-2】（24-25八年级上·安徽安庆·期中）一个三角形中，三个内角的比为，则该三角形最大的外角为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了三角形内角和定理，根据三角形的内角和定理先求出各个内角，再求解外角即可． 【详解】解：设三角形的内角为别为，，， ， 解得， ∴，， ∴最小的内角为， 故这个三角形的最大的外角的度数是． 故选：C． 【变式8-3】已知等腰三角形的一个外角是，则这个三角形是（    ） A．锐角三角形 B．钝角三角形 C．直角三角形 D．钝角三角形或锐角三角形 【答案】C 【分析】根据外角求出它的内角，即可判断该三角形是什么三角形． 【详解】解：解：根据题意得：等腰三角形的一个外角是， 则该角相邻的内角为． 则该三角形一定是直角三角形． 故选：C． 【点睛】本题考查三角形内角、外角的关系及三角形的分类，理解三角形的外角与它相邻的内角互补是解题关键． 【题型9 由三角形的外角性质解决平行线中的问题】 【例9】如图，，，且．若，求的度数． 【答案】 【分析】本题考查了平行线的判定与性质、三角形外角的定义及性质，由三角形外角的定义及性质得出，根据平行线的判定与性质证明出，即可得解，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． 【详解】解：∵，， ∴，， ∵，， ∴， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴． 【变式9-1】（24-25七年级下·上海金山·期中）如图，已知，，，，求的度数． 【答案】 【分析】本题主要考查三角形外角性质、平行线性质、三角形内角和定理等知识点，弄清楚角之间的关系是解题的关键， 由三角形内角和定理以及已知条件可得，再根据平行线的性质可得，易得，最后根据三角形外角的性质即可解答． 【详解】证明：，，， ， ∵， （两直线平行，内错角相等） ， ， （三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和）， ． 【变式9-2】（24-25七年级下·黑龙江齐齐哈尔·期中）如图，与交于点，点在直线上，交于点，，，．则的度数是 ． 【答案】/180度 【分析】本题主要考查平行线的拐点模型，能识别出模型并作出辅助线是解题的关键． 证明，过点作，则，设，利用猪脚模型、锯齿模型表示出，即可分析出答案． 【详解】解：∵， ∴， 过点作， ∴， ， 设，则， ∵， ， ， ， 故答案为：． 【变式9-3】（24-25七年级下·江苏扬州·期中）已知：如图1，在三角形中，，将线段沿直线平移得到线段，连结． (1)当时，请说明． (2)如图2，当在上方时，且时，求与的度数． (3)当垂直三角形中的一边时，直接写出所有满足条件的的度数． 【答案】(1)证明过程见详解 (2) (3)当垂直三角形中的一边时的度数为或或 【分析】本题主要考查图形平移的性质，三角形内角和定理，外角和的性质，掌握以上知识，数形结合分析，分类讨论思想是解题的关键． （1）根据三角形的外角的性质得到，则，即可求解； （2）根据三角形的外加得到，可求出，则，由此即可求解； （3）根据直角三角形两锐角互余，三角形外角和的性质，分类计算即可． 【详解】（1）解：将线段沿直线平移得到线段， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； （2）解：将线段沿直线平移得到线段， ∴， ∴，， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴； （3）解：如图所示，时， ∵， ∴， ∴当时，，即； 如图所示，时， ∵将线段沿直线平移得到线段， ∴， ∴； 如图所示，时，垂足为点， ∵在三角形中，， ∴， ∴， ∵， ∴； 综上所述，当垂直三角形中的一边时的度数为或或． 【题型10 由三角形的外角性质解决翻折中的问题】 【例10】如图，将三角形纸片按如图方式折叠：折痕分别为和，点A与边上的点G重合，点B与延长线上的点F重合．若满足，则 ． 【答案】38 【分析】本题考查三角形折叠中的角度问题，三角形的外角，根据折叠的性质，求出，三角形的内角和与外角的性质，分别求出，进而求出的度数即可． 【详解】解：∵折叠， ∴，，， ∴，即：， ∴，， ∴， ∴； 故答案为：38． 【变式10-1】（24-25八年级下·山东青岛·阶段练习）等腰纸片（）可按图中所示方法折成一个四边形，点与点重合．点与点重合，请问原等腰中的（　　）度． A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了折叠的性质，等腰三角形的性质：两个底角相等，及三角形内角和定理．求得角之间的关系式正确解答本题的关键．把图展开后，可知，，可由三角形的内角和定理及三角形的外角与内角的关系求得的度数． 【详解】解：如图： 由题意知：， ∵， ∴，即， ∴． 故选：D． 【变式10-2】（24-25七年级下·广东深圳·期中）如图，在中，，点，分别是、边上的点，将沿所在直线对折，得到．若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了对折的性质，三角形的外角的定义，三角形的内角和定理，熟练掌握对折的性质是解题的关键． 先由题意易得，由对折的性质可得，，再由三角形的外角的定义可得，最后由三角形的内角和定理即可得解． 【详解】解：∵， ∴， ∵，沿所在直线对折得到， ∴，， ∴， ∴， 故选：B． 【变式10-3】（24-25八年级上·浙江台州·期末）如图，将沿折叠得到，再将沿折叠得到，连接，交于点，连接，与相交于点，若，则的度数为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了折叠的性质，三角形内角定理，三角形的外角性质，由折叠得，得出，利用外角性质求出结论． 【详解】解：由折叠的性质得， ∴， 由折叠的性质得，， ∵， ∴ ， 故答案为：C． 【题型11 由三角形的外角性质求三角板中角的度数】 【例11】（2025·福建·中考真题）某数学兴趣小组为探究平行线的有关性质，用一副三角尺按如图所示的方式摆放，其中点A，E，C，F在同一条直线上，．当时，的大小为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查平行线的性质，三角形的外角的性质，根据平行线的性质得到，再根据三角形的外角的性质，进行求解即可．熟练掌握相关性质，是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴； 故选：B． 【变式11-1】（24-25八年级上·吉林白城·期末）如图，一副分别含有和角的两个直角三角板，拼成如下图形，其中，，，则的度数是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了与三角板有关的计算以及三角形外角性质，先根据，，得出，结合是的外角，进行列式计算，即可作答． 【详解】解：∵，， ∴， ∵， ∴， 故选：A． 【变式11-2】将一副直角三角板如图放置，已知，，当时， ． 【答案】 【分析】根据三角形内角和定理、平行线的性质和判定及三角形外角的性质计算即可. 【详解】如图： ，， ，， ， 故答案为： 【点睛】此题考查了三角形内角和定理、平行线的性质和判定及三角形外角的性质掌握相应的定理和性质是解答此题的关键. 【变式11-3】（24-25七年级下·湖南长沙·阶段练习）将一副三角板按如图放置，直角顶点重合，其中，，，则下列结论正确的有（   ） ；如果，则有；如果，必有；如果，则． A． B． C． D． 【答案】A 【分析】此题考查了平行线的判定与性质，角的和差运算，三角形的外角的性质，熟记平行线的判定定理与性质定理是解题的关键．如图，点在的延长线上，证明，进一步可得①正确；证明，可得故②错误；证明，可得③正确；求解，可得，求解，可得④正确，从而可得答案． 【详解】解：如图，点在的延长线上，   ， ， 又， ， 又， ， 即， 故①正确，符合题意； ∵， ， ， ， 故②错误，不符合题意； ，，， ， ， ， ， ， ， ， ， 故③正确，符合题意． ∵，，， ， ∴， ∴； 故④正确，符合题意； 故选：A． 【题型12 三角形的外角性质与角平分线的综合】 【例12】（2025·陕西西安·模拟预测）如图，已知，点A、B分别在射线上移动，平分，交于点E，平分，的反向延长线与交于点C．关于结论Ⅰ、Ⅱ，下列判断正确的是（    ） 结论Ⅰ：若，则； 结论Ⅱ：无论点A、B在射线，射线（均不与点O重合）上怎样移动，的度数都不变 A．只有结论Ⅰ正确 B．只有结论Ⅱ正确 C．结论Ⅰ、Ⅱ都正确 D．结论Ⅰ、Ⅱ都不正确 【答案】C 【分析】本题考查角平分线的定义，三角形外角的性质的应用等知识，熟练掌握以上知识并会利用数形结合的思想是解题关键．根据题意可求出，再根据角平分线的定义和三角形外角性质即可求出；根据角平分线的定义和三角形外角性质求解的度数即可； 【详解】解：，为 的平分线， ， ， 为 的平分线， , 故结论Ⅰ正确； ， 又 为 的平分线， ， 为 的平分线， ， ， 故结论Ⅱ正确； 故选：C． 【变式12-1】（24-25七年级下·上海闵行·阶段练习）如图，在中，是边上的高，，平分交于点E，，则的度数为 ． 【答案】/58度 【分析】本题考查了三角形角平分线、中线和高，三角形内角和定理与三角形外角的性质，由三角形外角的性质，得到，进而得到，再根据三角形内角和定理求解即可． 【详解】解：∵是边上的高， ∴， ∵， ∴， ∵平分， ∴， ∵， ∴， 故答案为：． 【变式12-2】（2025七年级下·全国·专题练习）如图，点C、D分别在的边上运动（不与点O重合）．射线与射线分别在和内部，延长与交于点F． (1)若，分别是和的平分线，猜想：的度数是否随C，D的运动发生变化？请说明理由． (2)若，，，则 ．（用含α、n的代数式表示） 【答案】(1)的度数不变， (2) 【分析】本题考查了三角形的外角的性质，角平分线的定义． （1）依据是的外角，即可得到，再根据分别是和的平分线，可得，，再根据是的外角，即可得到，进而得到的度数不变； （2）利用（1）中的方法进行计算即可得到的度数． 【详解】（1）解：的度数不变． 是的外角， ， 分别是和的平分线， ，， 是的外角， ， 的度数不变． （2）如图，是的外角， ， ，，且是的外角， ； 故答案为：． 【变式12-3】（24-25七年级下·山西吕梁·期中）如图，，，E是边上的一点，连接并延长，交的延长线于点H，F是边上的一点，平分，作的平分线，交于点G．若，则的度数为 ． 【答案】/34度 【分析】本题主要考查了平行线的判定和性质，涉及三角形内角和定理、三角形外角定理． 根据以及，可得，从而得到，再结合平分，可得，设，根据三角形外角的性质可得，设，可得，在中， 根据三角形内角和定理可得，即可求解． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵平分， ∴， ∴， 设， ∴， ∵是的平分线， ∴可设， ∴， 在中， ，， ∴， ∴， ∴． 故答案为：． 【题型13 与三角形的外角性质有关的新定义问题】 【例13】【概念】如果两个角的度数之差为，我们称这两个角互为“好友角”，其中一个角叫做另一个角的“好友角”，例如，，，则和互为“好友角”，即是的“好友角”，也是的“好友角”． 【理解】（1）若，则的“好友角”的度数为 ； （2）已知和互为“好友角”，，且和互补，的度数为 ； （3）如图，将纸片沿折叠，使点落在四边形内部处，已知，，若和互为“好友角”，则的度数为 ； 【拓展】如图，在中，，是角平分线，过点作的垂线，垂足为，相交于点．若与互为“好友角”，求的度数． 【答案】【理解】（）或；（）；（）或； 【拓展】或． 【分析】【理解】（）根据“好友角”定义，分情况讨论即可； （）根据“好友角”定义和互补的性质求解即可； （）连接，由三角形内角和得出，由折叠性质可知，然后根据外角性质得出，由题意分情况讨论即可； 【拓展】由平分，，得，，从而可得，再根据与互为“好友角”进行分类讨论即可； 本题考查了新定义，角分线的定义，三角形的内角和，垂直的定义，熟练掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】【理解】（）根据“好友角”定义可得： 的“好友角”的度数为或， 故答案为：或； （）∵和互为“好友角”，， ∴， ∵和互补， ∴， 联立， 解得， 故答案为：； （）如图，连接， ∵，， ∴， ∴由折叠性质可知， ∵，， ∴， 即， ∵和互为“好友角”， ∴或， ∴或； 【拓展】∵平分，， ∴，， ∵，， ∴， ∵与互为“好友角”， ∴或， 则或， ∵， ∴或． 【变式13-1】（24-25八年级上·湖北宜昌·阶段练习）在中，定义的平分线所在直线与的外角平分线所在直线所夹的锐角为的伴随角． (1)如图①，在中，，则的伴随角的度数为_______； (2)小明试图探究任意中的伴随角与之间的数量关系，于是他动手画了分别为直角、锐角、钝角的三个图，先通过测量相关角度后猜想结论，然后再验证结论． 根据以上三个图，测量相关角度，得到如下表格： ② ③ ④ 的度数 的伴随角的度数 根据表格，小明得到了的伴随角与之间的数量关系的猜想_______； (3)请你选择是锐角或钝角的情况，画出图形，帮小明验证他的猜想． 【答案】(1) (2) (3)证明见解析 【分析】本题主要考查了三角形内角和定理，角平分线的定义： （1）根据三角形内角和定理得到，再由平角的定义和角平分线的定义得到，则，再由角平分线的定义得到，据此根据三角形内角和定理可得答案； （2）根据表格中的数据即可得到答案； （3）当是锐角时，先证明，再由角平分线的定义和平角的定义得到，则，再由角平分线的定义得到，据此根据三角形内角和定理可证明结论；当是钝角时，同理可证明结论． 【详解】（1）解：∵在中， ∴， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∵平分， ∴， ∴； （2）解：根据表格可猜想 （3）解：如图③所示，当是锐角时， ∵，， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴； 如图④所示，当是钝角时，同理可得． 【变式13-2】我们定义：在一个三角形中，若一个角的度数是另一个角度数的倍，则这样的三角形称之为“和谐三角形”如：三个内角分别为，，的三角形是“和谐三角形”． 【概念理解】 如图，，点在边上，过点作交于点，以为端点作射线，交线段于点（点不与，重合） （1）的度数为 ， （填“是”或“不是”）“和谐三角形”； （2）若，试说明：是“和谐三角形”． 【应用拓展】 （3）如图，点在的边上，连结，作的平分线交于点，在上取点，使，若是“和谐三角形”，请直接写出的度数． 【答案】（），不是；（）见解析；（3）或． 【分析】（）根据，得到，求得，得到，所以不是“和谐三角形”； （）因为是的一个外角，得到，求出，，所以，所以得到是“和谐三角形”； （）由，，得到，可以证明，得到，而，得到，由，得到，根据是“和谐三角形”，即可求解； 本题主要考查了三角形的内角和定理，三角形外角的性质，同角的补角相等，平行线的性质，理解和谐三角形的概念，用分类讨论的思想解决问题是解题的关键． 【详解】解：（）∵， ∴， ∴， ∴， ∴不是“和谐三角形”； 故答案为：， 不是； （）∵是的一个外角， ∴， 又∵，， ∴，， ∴， ∴是“和谐三角形”； （）∵，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∵是“和谐三角形”， ∴或， ∵， ∴或． 【变式13-3】（24-25八年级上·陕西西安·期末）定义：在一个三角形中，若一个内角的度数是另一个内角的度数的3倍，则这样的三角形称为“优美三角形”．例如：三个内角分别为的三角形是“优美三角形”． 【概念理解】 （1）如图1，，点在边上，过点作，交于点，以为端点作射线，交线段于点（点不与点重合）． ①______“优美三角形”（填“是”或“不是”）． ②若，求证：是“优美三角形”． 【应用拓展】 （2）如图2，点在的边上，连接，，作的平分线，交于点，在上取一点，使，．若是“优美三角形”，求的度数． 【答案】（1）①是；②见解析；（2） 【分析】本题考查三角形内角和定理，外角定理，平行线的判定与性质，“优美三角形”的定义等知识，解题的关键是理解题意． （1）①根据垂直的定义、三角形内角和定理求出的度数，根据“优美三角形”的概念判断； ②根据“优美三角形”的概念证明即可； （2）根据比较的性质得到，根据平行线的性质得到，推出，得到，根据角平分线的定义得到，求得，根据“优美三角形”的定义求解即可． 【详解】（1）①解：， ， ， ， 为“优美三角形”， 故答案为：是； ②证明：，， ， ， 为“优美三角形”； （2）解：，， ， ， ， ， ， ， ， 平分， ， ， 是“优美三角形”， ， ， ． 【题型14 与三角形的外角性质有关的探究问题】 【例14】（24-25八年级下·宁夏银川·开学考试）如图1所示的图形，像我们常见的学习用品——圆规．我们不妨把这样的图形叫做“规形图”，请发挥你的聪明才智，解决以下问题： (1)观察“规形图”，试探究与之间的关系，并说明理由； (2)请你直接利用以上结论，解决以下三个问题： ①如图2，把一块三角尺放置在上，使三角尺的两条直角边恰好经过点B、C，若，直接写出的结果； ②如图3，平分，平分，若，求 的度数； ③如图4，求图中五角星五个“角”的和． 【答案】(1)，见解析 (2)①；②；③ 【分析】此题主要考查了三角形的内角和定理，利用三角形的内角和定理和外角的性质是解答此题的关键． （1）作射线，根据三角形的外角的性质可得结论：； （2）①先根据三角尺可知：，根据（1）的结论可得：，从而得结论； ②先根据第1题的结论可得：的度数，由角平分线可得：，从而得结论； ③由（1）中“规形图”结论可知：，结合三角形的内角和即可得解 【详解】（1），理由如下： 过点A、D作射线， ， 即 （2）①， 由（1）可知： ② 平分，平分， ③如图：由（1）中“规形图”结论可知：， 又 即 【变式14-1】【感知】（1）如图①，在中，，是角平分线，是高，相交于点．若，则 °， °． 【探究】（2）如图①，在中，，是角平分线，是高，相交于点．求证：． 【拓展】（3）如图②，在中，，是边上的高，若的外角的平分线交的延长线于点，其反向延长线与边的延长线交于点，若，则的大小为 （用含的代数式表示）． 【答案】（1），；（2）见解析；（3） 【分析】（1）先求得，， ，再结合三角形的外角的性质可得结论； （2）先证明，，再结合三角形的外角的性质可得结论； （3）先求解，结合角平分线可得，再利用三角形的内角和定理可得答案． 【详解】解：（1），是高，， ，， 是角平分线， ， ，， 故答案为：，； （2）证明：，是高， ，， ， 是角平分线， ， ，， ； （3）∵， ， 为的角平分线， ， ∴， ， 故答案为：． 【点睛】本题考查的是三角形的高，角平分线的含义，三角形的内角和定理的应用，三角形的外角的性质，熟练的利用三角形的外角的性质解题是关键． 【变式14-2】在中，，点D、E分别是边、上的点，点P是一动点，设，，． (1)如图1，若点P在线段上，且，求的度数； (2)若点P在线段延长线上，请借助图2和图3，分别探究、与之间的关系，并说明理由． 【答案】(1) (2)由图2可得，由图3可得，理由见解析 【分析】本题考查了三角形内角和定理与三角形外角的性质： （1）根据三角形的外角的性质得出，，两式相加，即可求解． （2）根据三角形的外角的性质结合图形即可求解． 【详解】（1）解：根据图1可得：，， ∴， ∵， ∴，， 即； （2）解：由图2得，由图3得，理由如下： 如图2，设交于点， ∵，， ∴； 如图3，设交于点， ∵，， ∴； 【变式14-3】（24-25七年级下·黑龙江绥化·期中）【探究】如图①所示，和的平分线交于点 O，经过点O 且平行于，分别与、交于点 E、G． (1)若，，则 ， ； (2)若，求的度数． (3)如图②所示，和的平分线交于点 O，经过点O且平行于，分别与、 交于点 E、G．若，直接写出的度数．（用含的代数式表示） 【答案】(1)30，125 (2) (3) 【分析】本题考查了角平分线的定义、平行线的性质、三角形内角和定理、三角形外角的定义及性质，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． （1）由角平分线的定义可得，，再由三角形内角和定理和平行线的性质计算即可得解； （2）由角平分线的定义可得，，再由三角形内角和定理计算即可得解； （3）由角平分线的定义可得，，结合题意可得，再由三角形外角的定义及性质计算即可得解． 【详解】（1）解：∵和的平分线交于点 O， ∴，， ∴， ∵， ∴； （2）解：∵和的平分线交于点 O， ∴，， ∵ ； （3）解：∵和的平分线交于点 O， ∴，， ∵，， ∴由可得：， ∴． 【题型15 三角形外角的实际应用】 【例15】（24-25七年级下·山西运城·期中）如图1是消防云梯作业图，图2是小明绘制的示意图．示意图由救援台、延展臂（B在左侧）、伸展主臂、支撑臂构成．在作业过程中，救援台、车身及地面三者始终保持水平，图中所有的点在同一竖直平面内，已知延展臂与支撑臂所在直线互相垂直，且，则这时展角的度数为 ． 【答案】166 【分析】本题主要考查平行线的性质，三角形的外角的性质，解答的关键是作出正确的辅助线．延长，，相交于点，则可得，延长交的延长线于点，利用平行线的性质可求得，再利用三角形的外角等于与它不相邻的两个内角之和，从而求得的度数． 【详解】解：延长，，相交于点，则可得，延长交的延长线于点，如图： 平行，， ， 延展臂与支撑臂所在直线互相垂直， ， ． 故答案为：166． 【变式15-1】知识改变世界，科技改变生活，导航装备的不断更新极大方便了人们的出行．周末，小强一家到，两处景区游玩，他们从家处出发，向正北行驶到达处，若在处测得景区在北偏西方向上，且，则在处测得景区应位于（    ） A．北偏西 B．南偏西 C．北偏西 D．南偏西 【答案】C 【分析】依题意，，根据三角形的外角的性质以及已知条件得出，即可求解． 【详解】解：如图所示，    依题意， ∵， 即在处测得景区应位于北偏西 故选：C． 【点睛】本题考查了方位角的计算，三角形的外角的性质，熟练掌握三角形的外角的性质是解题的关键． 【变式15-2】（2025九年级下·广东·学业考试）汽车前灯是由灯泡、反光镜和配光镜三部分组成，光源位于焦点处，光线经反射后互相平行射出．如图为其侧面示意图，已知，，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了平行线的性质，根据两直线平行，同位角相等可得，然后利用三角形的外角性质即可得解． 【详解】解：由题意可得，如图， ∴， ∵， ∴， 故选：C． 【变式15-3】（24-25七年级下·重庆·期末）如图，起重机在工作时，起吊物体前机械臂与操作台的夹角，支撑臂为的平分线．物体被吊起后，机械臂的位置不变，支撑臂绕点B旋转一定的角度并缩短，此时，增大了，则的变化情况为    （    ） A．增大 B．减小 C．增大 D．减小 【答案】C 【分析】本题考查三角形三角形外角的性质及角平分线的定义，起吊物体前，设，根据题意可得，则，物体被吊起后，可得，增大了，由即可解答． 【详解】解：起吊物体前，设， ，支撑臂为的平分线， ， ； 物体被吊起后， 机械臂的位置不变，，， ， 增大了， ， ， ， 的变化情况为增大． 故选：C． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题1.1 三角形的内角和定理（举一反三讲义） 【新教材北师大版】 【题型1 利用三角形内角和直接求角】 2 【题型2 三角形内角和的证明】 2 【题型3 三角形内角和与平行线的综合】 4 【题型4 三角形内角和与角平分线的综合】 5 【题型5 利用三角形内角和解决折叠中的角度计算】 6 【题型6 利用三角形内角和解决三角板中的角度计算】 7 【题型7 三角形的外角定义】 8 【题型8 由三角形的外角性质求角的度数】 9 【题型9 由三角形的外角性质解决平行线中的问题】 10 【题型10 由三角形的外角性质解决翻折中的问题】 11 【题型11 由三角形的外角性质求三角板中角的度数】 12 【题型12 三角形的外角性质与角平分线的综合】 13 【题型13 与三角形的外角性质有关的新定义问题】 15 【题型14 与三角形的外角性质有关的探究问题】 17 【题型15 三角形外角的实际应用】 18 知识点1 三角形内角和定理 定义：三角形三个内角的和等于180°. 如图所示，在△ABC 中，∠A+∠B+∠C=180°. 图 (1) 图 (2) 【拓展】三角形内角和的倒角模型： 由三角形的内角和定理易得∠1+∠2=∠3+∠4. 由三角形的内角和定理易得∠A+∠B=∠C+∠D. 【题型1 利用三角形内角和直接求角】 【例1】（24-25七年级下·江西吉安·阶段练习）定义：当三角形中其中一个内角是另一个内角的两倍时，我们称此三角形为“倍角三角形”．若一个“倍角三角形”的其中一个内角为，则这个三角形中最大的内角度数为 ． 【变式1-1】（24-25七年级下·上海·期中）在中，若，则此三角形按角分类是 三角形． 【变式1-2】（24-25八年级下·山东济南·期中）加图．平移后得列，，，则的度数是 ．    【变式1-3】（24-25七年级下·江西九江·期中）一个安全用电标识如图①所示，此标识可以抽象为图②中的几何图形，其中，，点E，F在线段上．若，，则的度数为 ． 【题型2 三角形内角和的证明】 【例2】（24-25七年级下·山东泰安·期中）在探究证明“三角形的内角和是”时，综合实践小组的同学作了如下四种辅助线，其中不能证明“三角形内角和是”的是（   ） A．如图①所示，过三角形一边上点D作 B．如图②所示，过三角形内部一点P作 C．如图③所示，过点C作于点D D．如图④所示，过三角形外部一点P作 【变式2-1】如图,将铅笔放置在三角形 ABC 的边 AB 上，笔尖方向为点 A 到点 B 的方向，把铅笔依次绕点 A、点 C、点 B 按逆时针方向旋转∠A、∠C、∠B 的度数，观察笔尖方向的变化，该操作说明了 ． 【变式2-2】我们在小学就已经知道三角形内角和等于度，是通过度量或剪拼得出这一结论的，但是，由于测量和剪拼常常有误差，这种验证不是数学证明，不能完全让人信服．所以，需要通过推理的方法去证明：任意一个三角形的内角和一定等于．请完成下面证明过程． 已知：如图任意画一个． 求证：． 证明： 【变式2-3】（24-25八年级上·湖北宜昌·阶段练习）小明想探究三角形内角和的度数，下面是他的探究过程，请你帮他把探究过程补充完整． 在边上任取一点E，作 交于点D，作 交于点F． ， _______，_______． ， _______． ， _______， _______． ， _______． 【题型3 三角形内角和与平行线的综合】 【例3】（24-25七年级下·吉林长春·期中）在直角三角形中，，平分交于点，平分交于点，、相交于点，过点作平行，过点作交于点．下列结论：①平分；②；③；④．正确结论的序号有 ． 【变式3-1】（24-25七年级下·浙江杭州·期中）如图，中，分别是上的点，满足． (1)，是否平行？说明理由． (2)若平分，，求度数． 【变式3-2】（24-25七年级下·山东济南·期中）如图，四边形中，点是上一点，过点作，若，则 °． 【变式3-3】如图，，，，则 ． 【题型4 三角形内角和与角平分线的综合】 【例4】（24-25八年级上·广东广州·阶段练习）如图，在中，、分别平分和，连接，已知，，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【变式4-1】（24-25七年级下·河南驻马店·期中）如图，在中，是的角平分线，F是上一动点，于点D，，，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【变式4-2】（24-25七年级下·北京·期中）如图，，点是平面内一点，连接，，的平分线与的平分线交于点．若，则 （用含的代数式表示）． 【变式4-3】如图，在中，点在上，过点作，交于点，平分，交的平分线于点，与相交于点，的平分线与相交于点． (1)若，，则______，______； (2)若，当的度数发生变化时，、的度数是否发生变化？并说明理由； (3)若中存在一个内角等于另一个内角的三倍，请直接写出所有符合条件的的度数______． 【题型5 利用三角形内角和解决折叠中的角度计算】 【例5】（24-25七年级下·吉林长春·期中）如图，在中，、的角平分线交于点，将沿折叠使得点与点重合，若，则的度数是（    ） A．100° B．110° C．120° D．130° 【变式5-1】（24-25八年级上·江苏南京·期中）如图，将一条两边沿互相平行的纸带折叠，若比大，则的度数为 ． 【变式5-2】（24-25七年级下·云南昭通·期中）如图，将长方形沿折叠，使点落在边上的点，若．则 度． 【变式5-3】（24-25七年级下·江苏无锡·期中）如图，在中，．第一步，将纸片折叠，使点A与点B重合，折痕与边的交点为点D；第二步，在边上找一点E，将纸片沿折叠，点A落在处；第三步，将纸片沿折叠，点E落在处，当点恰好在原直角三角形纸片的边上时，的度数为 °． 【题型6 利用三角形内角和解决三角板中的角度计算】 【例6】（24-25七年级下·江苏连云港·期中）如图，把一副三角板如图摆放，点E在边上，将图中的绕点A按每秒速度沿顺时针方向旋转一周，在旋转的过程中，在第 秒时，边恰好与边平行． 【变式6-1】（24-25八年级上·广东东莞·期中）一副三角板，按如图所示叠放在一起，则图中的度数是（   ） A． B． C． D． 【变式6-2】（24-25七年级下·浙江·阶段练习）将一副三角板如图放置，边与边在同一条直线上，，．三角板保持不动，将三角板绕点逆时针旋转．当 时，． 【变式6-3】（24-25七年级下·福建漳州·期中）已知一块三角板，将三角板如图所示放置，使顶点落在边上，经过点作直线交边于点，且点在点的左侧．若的平分线交边于点，以下结论中 ①当且时，； ②当时，； ③当时，．正确的有（   ） A．② B．①② C．①③ D．①②③ 知识点2 三角形的外角 1.定义：三角形的一边与另一边的延长线组成的角，叫做三角形的外角. 2.性质：三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和. 3.三角形的外角和等于360°. 在 △ABC 中，∠ACD是△ABC 的一个外角，∠ACD=∠CAB+∠ABC, ∠ACD+∠CBF+∠BAE=360°. 【题型7 三角形的外角定义】 【例7】（24-25八年级上·福建厦门·期中）如图，下列角中是的外角的是（   ） A． B． C． D． 【变式7-1】如图，是 和 的外角；以为一边长的三角形有 个．    【变式7-2】下图中∠1是三角形一个外角的是（    ） A．  B．  C．  D．   【变式7-3】我们都知道三角形有三个内角，其实三角形除了内角，还有外角，三角形的外角是三角形的一边与另一边的反向延长线组成的角．请同学们画出三角形的一个外角，并证明：三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角之和． 已知：__________________ 求证：__________________ 证明： 【题型8 由三角形的外角性质求角的度数】 【例8】如果三角形的一个外角与它不相邻的两个内角的和为，那么这个三角形是（    ） A．直角三角形 B．钝角三角形 C．锐角三角形 D．无法确定 【变式8-1】（24-25七年级上·江苏泰州·期末）如图，在中，，，则外角的度数为 ． 【变式8-2】（24-25八年级上·安徽安庆·期中）一个三角形中，三个内角的比为，则该三角形最大的外角为（   ） A． B． C． D． 【变式8-3】已知等腰三角形的一个外角是，则这个三角形是（    ） A．锐角三角形 B．钝角三角形 C．直角三角形 D．钝角三角形或锐角三角形 【题型9 由三角形的外角性质解决平行线中的问题】 【例9】如图，，，且．若，求的度数． 【变式9-1】（24-25七年级下·上海金山·期中）如图，已知，，，，求的度数． 【变式9-2】（24-25七年级下·黑龙江齐齐哈尔·期中）如图，与交于点，点在直线上，交于点，，，．则的度数是 ． 【变式9-3】（24-25七年级下·江苏扬州·期中）已知：如图1，在三角形中，，将线段沿直线平移得到线段，连结． (1)当时，请说明． (2)如图2，当在上方时，且时，求与的度数． (3)当垂直三角形中的一边时，直接写出所有满足条件的的度数． 【题型10 由三角形的外角性质解决翻折中的问题】 【例10】如图，将三角形纸片按如图方式折叠：折痕分别为和，点A与边上的点G重合，点B与延长线上的点F重合．若满足，则 ． 【变式10-1】（24-25八年级下·山东青岛·阶段练习）等腰纸片（）可按图中所示方法折成一个四边形，点与点重合．点与点重合，请问原等腰中的（　　）度． A． B． C． D． 【变式10-2】（24-25七年级下·广东深圳·期中）如图，在中，，点，分别是、边上的点，将沿所在直线对折，得到．若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【变式10-3】（24-25八年级上·浙江台州·期末）如图，将沿折叠得到，再将沿折叠得到，连接，交于点，连接，与相交于点，若，则的度数为（　　） A． B． C． D． 【题型11 由三角形的外角性质求三角板中角的度数】 【例11】（2025·福建·中考真题）某数学兴趣小组为探究平行线的有关性质，用一副三角尺按如图所示的方式摆放，其中点A，E，C，F在同一条直线上，．当时，的大小为（    ） A． B． C． D． 【变式11-1】（24-25八年级上·吉林白城·期末）如图，一副分别含有和角的两个直角三角板，拼成如下图形，其中，，，则的度数是（   ） A． B． C． D． 【变式11-2】将一副直角三角板如图放置，已知，，当时， ． 【变式11-3】（24-25七年级下·湖南长沙·阶段练习）将一副三角板按如图放置，直角顶点重合，其中，，，则下列结论正确的有（   ） ；如果，则有；如果，必有；如果，则． A． B． C． D． 【题型12 三角形的外角性质与角平分线的综合】 【例12】（2025·陕西西安·模拟预测）如图，已知，点A、B分别在射线上移动，平分，交于点E，平分，的反向延长线与交于点C．关于结论Ⅰ、Ⅱ，下列判断正确的是（    ） 结论Ⅰ：若，则； 结论Ⅱ：无论点A、B在射线，射线（均不与点O重合）上怎样移动，的度数都不变 A．只有结论Ⅰ正确 B．只有结论Ⅱ正确 C．结论Ⅰ、Ⅱ都正确 D．结论Ⅰ、Ⅱ都不正确 【变式12-1】（24-25七年级下·上海闵行·阶段练习）如图，在中，是边上的高，，平分交于点E，，则的度数为 ． 【变式12-2】（2025七年级下·全国·专题练习）如图，点C、D分别在的边上运动（不与点O重合）．射线与射线分别在和内部，延长与交于点F． (1)若，分别是和的平分线，猜想：的度数是否随C，D的运动发生变化？请说明理由． (2)若，，，则 ．（用含α、n的代数式表示） 【变式12-3】（24-25七年级下·山西吕梁·期中）如图，，，E是边上的一点，连接并延长，交的延长线于点H，F是边上的一点，平分，作的平分线，交于点G．若，则的度数为 ． 【题型13 与三角形的外角性质有关的新定义问题】 【例13】【概念】如果两个角的度数之差为，我们称这两个角互为“好友角”，其中一个角叫做另一个角的“好友角”，例如，，，则和互为“好友角”，即是的“好友角”，也是的“好友角”． 【理解】（1）若，则的“好友角”的度数为 ； （2）已知和互为“好友角”，，且和互补，的度数为 ； （3）如图，将纸片沿折叠，使点落在四边形内部处，已知，，若和互为“好友角”，则的度数为 ； 【拓展】如图，在中，，是角平分线，过点作的垂线，垂足为，相交于点．若与互为“好友角”，求的度数． 【变式13-1】（24-25八年级上·湖北宜昌·阶段练习）在中，定义的平分线所在直线与的外角平分线所在直线所夹的锐角为的伴随角． (1)如图①，在中，，则的伴随角的度数为_______； (2)小明试图探究任意中的伴随角与之间的数量关系，于是他动手画了分别为直角、锐角、钝角的三个图，先通过测量相关角度后猜想结论，然后再验证结论． 根据以上三个图，测量相关角度，得到如下表格： ② ③ ④ 的度数 的伴随角的度数 根据表格，小明得到了的伴随角与之间的数量关系的猜想_______； (3)请你选择是锐角或钝角的情况，画出图形，帮小明验证他的猜想． 【变式13-2】我们定义：在一个三角形中，若一个角的度数是另一个角度数的倍，则这样的三角形称之为“和谐三角形”如：三个内角分别为，，的三角形是“和谐三角形”． 【概念理解】 如图，，点在边上，过点作交于点，以为端点作射线，交线段于点（点不与，重合） （1）的度数为 ， （填“是”或“不是”）“和谐三角形”； （2）若，试说明：是“和谐三角形”． 【应用拓展】 （3）如图，点在的边上，连结，作的平分线交于点，在上取点，使，若是“和谐三角形”，请直接写出的度数． 【变式13-3】（24-25八年级上·陕西西安·期末）定义：在一个三角形中，若一个内角的度数是另一个内角的度数的3倍，则这样的三角形称为“优美三角形”．例如：三个内角分别为的三角形是“优美三角形”． 【概念理解】 （1）如图1，，点在边上，过点作，交于点，以为端点作射线，交线段于点（点不与点重合）． ①______“优美三角形”（填“是”或“不是”）． ②若，求证：是“优美三角形”． 【应用拓展】 （2）如图2，点在的边上，连接，，作的平分线，交于点，在上取一点，使，．若是“优美三角形”，求的度数． 【题型14 与三角形的外角性质有关的探究问题】 【例14】（24-25八年级下·宁夏银川·开学考试）如图1所示的图形，像我们常见的学习用品——圆规．我们不妨把这样的图形叫做“规形图”，请发挥你的聪明才智，解决以下问题： (1)观察“规形图”，试探究与之间的关系，并说明理由； (2)请你直接利用以上结论，解决以下三个问题： ①如图2，把一块三角尺放置在上，使三角尺的两条直角边恰好经过点B、C，若，直接写出的结果； ②如图3，平分，平分，若，求 的度数； ③如图4，求图中五角星五个“角”的和． 【变式14-1】【感知】（1）如图①，在中，，是角平分线，是高，相交于点．若，则 °， °． 【探究】（2）如图①，在中，，是角平分线，是高，相交于点．求证：． 【拓展】（3）如图②，在中，，是边上的高，若的外角的平分线交的延长线于点，其反向延长线与边的延长线交于点，若，则的大小为 （用含的代数式表示）． 【变式14-2】在中，，点D、E分别是边、上的点，点P是一动点，设，，． (1)如图1，若点P在线段上，且，求的度数； (2)若点P在线段延长线上，请借助图2和图3，分别探究、与之间的关系，并说明理由． 【变式14-3】（24-25七年级下·黑龙江绥化·期中）【探究】如图①所示，和的平分线交于点 O，经过点O 且平行于，分别与、交于点 E、G． (1)若，，则 ， ； (2)若，求的度数． (3)如图②所示，和的平分线交于点 O，经过点O且平行于，分别与、 交于点 E、G．若，直接写出的度数．（用含的代数式表示） 【题型15 三角形外角的实际应用】 【例15】（24-25七年级下·山西运城·期中）如图1是消防云梯作业图，图2是小明绘制的示意图．示意图由救援台、延展臂（B在左侧）、伸展主臂、支撑臂构成．在作业过程中，救援台、车身及地面三者始终保持水平，图中所有的点在同一竖直平面内，已知延展臂与支撑臂所在直线互相垂直，且，则这时展角的度数为 ． 【变式15-1】知识改变世界，科技改变生活，导航装备的不断更新极大方便了人们的出行．周末，小强一家到，两处景区游玩，他们从家处出发，向正北行驶到达处，若在处测得景区在北偏西方向上，且，则在处测得景区应位于（    ） A．北偏西 B．南偏西 C．北偏西 D．南偏西 【变式15-2】（2025九年级下·广东·学业考试）汽车前灯是由灯泡、反光镜和配光镜三部分组成，光源位于焦点处，光线经反射后互相平行射出．如图为其侧面示意图，已知，，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【变式15-3】（24-25七年级下·重庆·期末）如图，起重机在工作时，起吊物体前机械臂与操作台的夹角，支撑臂为的平分线．物体被吊起后，机械臂的位置不变，支撑臂绕点B旋转一定的角度并缩短，此时，增大了，则的变化情况为    （    ） A．增大 B．减小 C．增大 D．减小 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 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