第04讲 勾股定理及其应用（3个知识点+8个题型+思维导图+过关测）（寒假预习讲义）八年级数学新教材人教版

第04讲 勾股定理及其应用 内容导航——预习三步曲 第一步 学 析教材·学知识：教材精讲精析、全方位预习 练题型·强知识：8大核心题型精准练 第二步 记 串知识·识框架：思维导图助力掌握知识框架、学习目标复核内容掌握 第三步 测 过关测·稳提升：小试牛刀检测预习效果、查漏补缺快速提升 【知识点1 勾股定理】 勾股定理的内容：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方.对任意的直角三角形，如果它的两条直角边长分别为a，b，斜边长为c，那么一定有a2+b2=c2，这种关系我们称为勾股定理. 勾股定理的验证： 证法1 赵爽弦图验证基本思路：如图（1），把边长分别为a，b的两个正方形连在一起，它的面积是a2+b2，这两个正方形还可以分割成四个全等的直角三角形（红色）和一个正方形（黄色），把图（1）中左、右两个三角形移到图（2）中所示的位置，就会形成一个以c为边长的正方形（图（3）），它的面积是c2.因为图（1）与图（3）都由四个全等的直角三角形（红色）和一个正方形（黄色）组成，所以它们的面积相等，即a2+b2=c2. 【知识点2 勾股定理的实际应用】 利用勾股定理解决实际问题的一般步骤： （1）读懂题意，分析已知、未知间的关系； （2）构造直角三角形； （3）利用勾股定理等列方程； （4）解决实际问题. 【知识点3 利用勾股定理作图】 利用勾股定理表示无理数的方法: （1）利用勾股定理把一个无理数表示成直角边是两个正整数的直角三角形的斜边. （2）以原点为圆心，以无理数斜边长为半径画弧与数轴存在交点，在原点左边的点表示是负无理数，在原点右边的点表示是正无理数. 以下是在数轴上表示出的点的作图过程. （1）在数轴上找到点A,使OA=3; （2）作直线l⊥OA,在l上取一点B，使AB=2; （3）以原点O为圆心，以OB为半径作弧，弧与数轴交于C点，则点C即为表示______的点. 【题型1 勾股定理解直角三角形】 【例1】如图，在中，，a，b，c是的三边长． (1)已知，求c的值； (2)已知，求b的值； (3)已知，求a，b的值． 【答案】(1)13 (2)24 (3)， 【分析】本题主要考查勾股定理解三角形，熟练掌握勾股定理是解题关键． （1）根据题意，直接理由勾股定理求解即可； （2）根据题意，直接理由勾股定理求解即可； （3）根据题意设，则，直接理由勾股定理求解即可． 【详解】（1）解：在中，， ∵， ∴ ． （2）在中，， ∵， ∴ ； （3）在中，， 设，则，根据勾股定理得： ， ∴， ∴， ∴，． 【变式1-1】在中，，、、的边分别为、、， (1)若，，求，的值． (2)若，，求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查的是勾股定理，熟知在任何一个直角三角形中，两条直角边长的平方之和一定等于斜边长的平方是解答此题的关键． （1）设，则，再根据勾股定理求出x的值，进而可得出结论． （2）根据勾股定理可得a，b，c的数量关系，再把已知条件代入即可求出a的值． 【详解】（1）解：中，，、、的对边分别为、、，且， 设，则． ，即， 解得， ，； （2）解：中，，、、的对边分别为、、， ， ， ∴， ∵， ， 解得：． 【变式1-2】在直角三角形中，a，b为直角边，c为斜边． (1)若，，求直角三角形斜边上的高h； (2)若，a比c小，求b的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了勾股定理的应用，解题的关键是熟练掌握勾股定理，在一个直角三角形中，两条直角边分别为a、b，斜边为c，那么． （1）先求出斜边c，然后根据三角形面积求出斜边上的高即可； （2）先求出，然后根据勾股定理求出b的值即可． 【详解】（1）解：∵，，c为斜边， ∴， ∵， ∴； （2）解：∵，a比c小， ∴， ∴． 【变式1-3】如图，在中，，，． (1)求的值； (2)过点A作，垂足为，求的值． 【答案】(1)25 (2)9 【分析】本题考查了勾股定理及三角形的面积公式，熟练掌握勾股定理的性质是解题的关键． （1）直接根据勾股定理即可得出答案； （2）根据三角形面积公式得出，再利用勾股定理即可得出答案． 【详解】（1）解：在中，，，． ∴； （2）解：如图， ∵， ∴， ∴， ∴． 【题型2 勾股定理解勾股树问题】 【例2】如图是一株美丽的勾股树，其中所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形．若正方形A、B、C、D的边长分别为3、5、2、3，则最大正方形E的面积是（    ）    A．13 B．29 C．47 D．94 【答案】C 【分析】本题考查的是勾股定理，掌握以直角三角形斜边为边长的正方形的面积等于两个以直角边为边长的正方形面积之和是解决此题的关键．根据勾股定理的几何意义，可得正方形的面积与正方形的面积之和等于正方形，正方形的面积与正方形的面积之和等于正方形，正方形与正方形之和等于正方形的面积，即可求得正方形的面积． 【详解】解：如图    根据勾股定理的几何意义，可得、的面积和为，、的面积和为，， ． 故选：C． 【变式2-1】如图，四边形中，，分别以四边形的四条边向外作正方形，这四个正方形的面积分别是为、、、，若，则的值是（  ） A．5 B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查勾股定理，由得到，是直角三角形，根据勾股定理得到，，即可求解． 【详解】解：∵， ∴， ∴在中，， 在中，， ∴， ∴． 故选：A． 【变式2-2】如图，在中，，分别以，，的长为直径作半圆，面积分别记为，，，若，则的值为 ． 【答案】4 【分析】本题主要考查了勾股定理和圆的面积公式，熟练掌握勾股定理是解题的关键． 先根据勾股定理得出，然后利用圆的面积公式表示出，，，得出即可． 【详解】解：∵在中，， ∴． ∵， ， ， ∴． ∴． 故答案是：4． 【变式2-3】如图，在四边形中，，分别以四边形的四条边为边向外作四个正方形，面积分别为，，，．若，，则 ． 【答案】 【分析】本题主要考查的是勾股定理的灵活运用，解答的关键是利用两个直角三角形公共的斜边．利用勾股定理的几何意义解答． 【详解】解：如图，连接， 由题意可知：，，，． 在直角和中，， 即， ，， ． 故答案为：． 【题型3 已知两点坐标求两点距离】 【例3】如图，在中，已知点A的坐标为，点B的坐标为，是边上的中线，求： (1)点C的坐标； (2)的长． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了中点坐标，用勾股定理解三角形，已知两点坐标求两点距离等知识，解题关键是掌握上述知识点并能熟练运用求解． （1）利用线段中点求出点C的坐标； （2）利用勾股定理求得的长． 【详解】（1）解：∵在中，点B的坐标为，是边上的中线， ∴点C的坐标为； （2）解：∵点A的坐标为，点C的坐标为， ∴． 【变式3-1】已知等边，点在坐标原点，点的坐标为，且点在第二象限，则点的坐标是 ． 【答案】 【分析】本题考查了等边三角形的性质，两点间距离公式． 根据等边三角形的性质，所有边长相等，点A在原点，点B坐标为，因此，点C在第二象限，设其坐标为，利用两点间距离公式，由和列出求解即可． 【详解】解：∵点A在原点，点B坐标为， ∴， ∵等边， ∴ 设点C坐标为， 根据两点间距离公式可知，， 即， 解得：， ∴， 解得：， ∵点C在第二象限， ∴， 即点的坐标是． 故答案为：． 【变式3-2】在平面直角坐标系中，点A，B的坐标分别为．以点A为圆心，以长为半径画弧交x轴于点C，则点C的坐标为 ． 【答案】或 【分析】本题考查了勾股定理，平面直角坐标系． 根据勾股定理求出，再结合A，C均在x轴作答即可． 【详解】因为点A，B的坐标分别为， 所以， 所以， 所以， 因为， 所以或． 故答案为：或 【变式3-3】如图，在平面直角坐标系中，点A，C，B的坐标分别为，，，， 连接，．若， 则m的值为 ． 【答案】4 【分析】本题考查平面直角坐标系中两点间距离公式与勾股定理的应用，解题的关键是根据坐标求出线段长度． 先根据点的坐标，用含m的式子表示出的长度，再在中利用勾股定理表示出的长度，然后根据列方程求解． 【详解】∵， ∴； ∵由， ∴，， 在中 ． ∵， ∴， 两边平方得， 解得． 故答案为：4． 【题型4 勾股定理的验证】 【例4】你认为以下四种图形能用来证明勾股定理的图形有 ．（填序号） 【答案】 【分析】本题考查勾股定理的证明，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．根据图①可以得到，然后化简即可；根据图②，无法确定、、的关系．由图可得，，然后化简即可；由图可得，，然后化简即可． 【详解】解：由图①可得， ， 化简，得：， 故图①可以证明勾股定理； 根据图②中的条件，无法证明勾股定理； 由图可得，， 化简，得：， 故图可以证明勾股定理； 由图可得，， 化简，得：， 故图可以证明勾股定理； 故答案为：． 【变式4-1】勾股定理是几何学中的明珠，充满着魅力，千百年来，人们对勾股定理的证明颇感兴趣，其中有著名的数学家，也有数学爱好者． (1)如图1，这是美国第20任总统詹姆斯·加菲尔德的“总统证法”图形，，请推导勾股定理． (2)如图2，在中，，垂足为H，求的长． 【答案】(1)见解析； (2)8 【分析】本题主要考查勾股定理及梯形、三角形面积公式的应用，解题的关键是熟练掌握勾股定理； （1）用两种方法表示出梯形的面积，再根据它们相等整理即可证明结论； （2）设，分别在和中，表示出，列出方程，求出x，再利用勾股定理即可求出的值. 【详解】（1）解：∵ ， 整理得： （2）解：设 ∵ ∴ ∴和都是直角三角形 在中， 在中， ∴ ∵，， 则 解得，即 在中，由勾股定理，得. 【变式4-2】【问题背景】勾股定理是数学中最重要的定理之一，其证明方法非常丰富． 【初步感知】如图1，四个全等的直角三角形（阴影部分）围成一个大正方形，中间空白部分是一个小正方形．设直角三角形的两条直角边长分别为a，b（），斜边长为c． （1）请用两种不同的方法表示图中大正方形的面积，并由此推导出勾股定理 【拓展延伸】（2）如图2，将两个全等的直角三角形（）按如图所示的方式放置，使点A，D，E在同一直线上．请利用此图推导出勾股定理 【答案】（1）方法一：；方法二：；推理见解析；（2）见解析 【分析】本题主要考查勾股定理的证明，全等三角形的性质，完全平方公式等，用两种不同的方法表示同一个图形的面积是解决问题的关键． （1）用整体法和分割法分别表示，进而得到等式即可； （2）利用全等三角形的性质，得出是直角三角形，再用两种不同的方法表示梯形的面积，计算化简后，即可得出． 【详解】解：（1）方法一：； 方法二：； 整理得：，即． （2）证明：由已知可得，， ， ， ， ， 是直角三角形， ， ， ， ． 【变式4-3】如图，在中，于，，交与点，垂足为，连接，且． (1)求证：； (2)在中，，，，利用图中阴影部分面积的不同计算方法证明：． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定和性质、勾股定理的证明等知识，熟练掌握全等三角形的判定和性质、掌握利用面积法证明勾股定理是解题的关键． （1）由、，得到、，进而得到，根据即可证明结论． （2）利用和列关于a、b、c的等式即可证明结论． 【详解】（1）证明：， ， ， ， ， ， ， 在与中， ， ． （2）证明：； ， ， ． 【题型5 勾股定理的实际应用】 【例5】每年的11月9日是我国的消防日，为了增强全民的消防安全意识，某校师生举行了消防演练，如图，云梯长为25米，云梯顶端C靠在教学楼外墙上（墙与地面垂直），云梯底端A与墙角O的距离为7米． (1)求云梯顶端C与墙角O的距离的长； (2)现云梯顶端C下方4米D处发生火灾，需将云梯顶端C下滑到着火点D处，则云梯底端在水平方向上滑动的距离为多少米． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了勾股定理的应用，熟练掌握勾股定理是解题的关键． （1）根据勾股定理即可得出结论； （2）根据勾股定理即可得出结论． 【详解】（1）解：∵在中，，， ∴由勾股定理得， 即， 解得：， 即云梯顶端C与墙角O的距离的长为． （2）解：∵，， ∴， 在中，，， 由勾股定理得， 即， 解得：， ∵， ∴． 即云梯底端在水平方向上滑动的距离为． 【变式5-1】“儿童散学归来早，忙趁东风放纸鸢．”某校八（1）班的小明和小亮学习了“勾股定理”之后，为了测得风筝的垂直高度（如图），他们进行了如下操作： ①测得水平距离的长为8米； ②根据手中剩余线的长度计算出风筝线的长为17米； ③牵线放风筝的小明的身高为米． (1)求风筝的垂直高度． (2)如果小明想让风筝沿方向下降5米，那么他应该往回收线多少米？ 【答案】(1)风筝的垂直高度为米 (2)如果小明想让风筝沿方向下降5米，那么他应该往回收线米 【分析】本题考查了勾股定理的应用，熟练掌握此知识点并灵活运用是解此题的关键． （1）由题意可得，米，，，米，米，则，再由勾股定理求出的长即可得解； （2）在上取点，使得米，连接，则米，在中，由勾股定理得出的长，即可得解． 【详解】（1）解：由题意可得：，米，，，米，米， ∴， ∴米， ∴米， 即风筝的垂直高度为米； （2）解：如图：在上取点，使得米，连接， ， 则米， 在中，由勾股定理可得米， ∴（米）， 故如果小明想让风筝沿方向下降5米，那么他应该往回收线米． 【变式5-2】《九章算术》卷九“勾股”中记载：今有池，方一丈，葭生其中央，出水一尺．引葭赴岸，适与岸齐，问水深、葭长各几何．大意是：如图，水池底面的宽丈，芦苇生长在的中点O处，高出水面的部分尺．将芦苇向池岸牵引，尖端达到岸边时恰好与水面平齐，即， 求水池的深度和芦苇的长度(1丈等于10尺)． (1)求水池的深度和芦苇的长度； (2)中国古代数学家刘徽在为《九章算术》作注解时，更进一步给出了这类问题的一般解法．他的解法用现代符号语言可以表示为：若已知水池宽，芦苇高出水面的部分，则水池的深度 可以通过公式计算得到．请证明刘徽解法的正确性． 【答案】(1)水池的深度为12尺，芦苇的长度为13尺； (2)见解析 【分析】本题考查了勾股定理的应用； （1）设水池深度为x尺，则得芦苇高度为尺，在中，利用勾股定理建立方程即可求解； （2）由水池深度，则得芦苇高度为，则；由勾股定理即可得证． 【详解】（1）解：设水池深度为x尺，则芦苇高度为尺， 由题意有：尺； 为中点，且丈尺， (尺)； 在中，由勾股定理得：， 即， 解得：； ； 即尺，尺； 答：水池的深度为12尺，芦苇的长度为13尺； （2）证明：水池深度，则芦苇高度为， 由题意有：； 为中点，且， ； 在中，由勾股定理得：， 即， 整理得：； 表明刘徽解法是正确的． 【变式5-3】如图，在离水面高度为米的岸上，有人用绳子拉船靠岸，开始时绳子的长为17米，此人以每秒1米的速度收绳．（假设绳子一直是绷直的状态） (1)若，4秒后，船移动到点的位置，问船向岸边移动了多少米？（结果保留根号） (2)若7秒后船移动到点的位置，船向岸边移动了9米，求的值． 【答案】(1)船向岸边移动了米 (2)的值是8 【分析】本题考查了勾股定理的应用，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）先算出（米），结合速度和时间，得出米，运用（米），故米，即可作答． （2）结合题意得米，结合勾股定理得，，整理得，解得，最后运用勾股定理列式计算（米），即可作答． 【详解】（1）解：在中，（米）． ∵此人以每秒1米的速度收绳，4秒后船移动到点的位置， ∴（米）， 在中，（米）， ∴米， 答：船向岸边移动了米； （2）解：∵此人以每秒1米的速度收绳，7秒后船移动到点的位置， ∴（米）. 在中，， ∴， 在中，， ∴， ∴， 即， 解得（米）， ∴（米）， ∴的值是8． 【变式5-4】今年，第13号台风“贝碧嘉”9月16日登陆后的影响还在持续，第14号台风“普拉桑”和第15号台风“苏力”又于19日登陆．A市接到台风警报时，台风中心位于距离A市的B处（即），正以的速度沿直线方向移动． (1)已知A市到的距离，那么台风中心从B点移到D点经过多长时间？ (2)如果在距台风中心的圆形区域内都将受到台风影响，那么A市受到台风影响的时间是多长？ 【答案】(1)台风中心从B点移到D点需要6小时 (2)A市受台风影响的时间为小时 【分析】此题主要考查了勾股定理的应用，等腰三角形三线合一性质，根据题意熟练应用勾股定理是解题关键． （1）在中，根据勾股定理求出，台风的速度已知，即可得出台风中心从点移到点所经过长时间； （2）假设市从点开始受到台风的影响，到点结束，根据题意在图中画出图形，可知，市在台风从点到点均受影响，即得出两点的距离，便可求出市受台风影响的时间． 【详解】（1）解：由题意得，在中， ， ， （小时）， 即台风中心从点移到点需要6小时； （2）解：以为圆心，以为半径画弧，交于、， 则市在点开始受到影响，离开点恰好不受影响（如图）， 由题意，，在中， ， ，， ， ， （小时） 市受台风影响的时间为小时． 【题型6 勾股定理与无理数】 【例6】如图所示，已知，，以点O为圆心，长为半径画弧交数轴于点A． (1)数轴上点A所表示的数为______； (2)比较大小：点A所表示的数_____；（填“>”或“<”） (3)在数轴上找出对应的点，并说明理由．（保留作图痕迹） 【答案】(1) (2)< (3)作图见详解，理由见详解 【分析】本题考查了勾股定理，数轴与实数的对应关系，实数的大小比较及无理数在数轴上的几何作图． （1）先求的长度，再利用“圆的半径相等”确定的长度，最后结合数轴位置确定数； （2）利用“负数比较大小，绝对值大的反而小”，把两个数转化为“负的平方根”形式，再比较被开方数； （3）构造直角边平方和为10的直角三角形，利用勾股定理得到斜边为，再以原点为圆心，斜边为半径画弧，交数轴正半轴的点即为对应的点． 【详解】（1）解：∵，， ∴数轴上点A所表示的数为， 故答案为：． （2）解：∵，，， ∴， 故答案为：<． （3）解：如图所示为所求： 理由：在数轴的正半轴3位置处取点E，过点E作，使， 在中，， 以点O为圆心，长为半径画弧，交数轴于点F，此时， ∴点F即为对应的点． 【变式6-1】如图，在数轴上画一个边长为1的正方形，然后以原点O为圆心，对角线长为半径画弧交数轴于点D． (1)点D表示的数是________，这个数是________（填“有理数”或“无理数”）； (2)通过画图说明了无理数________（填“能”或“不能”）用数轴上的点表示； (3)请你画出数轴，并在数轴上画出表示的点M，说出你的画法． 【答案】(1)，无理数 (2)能 (3)详见解析 【分析】本题考查了勾股定理，用数轴上的数表示无理数，尺规作图． （1）根据及勾股定理求出，根据无理数的定义作答即可； （2）根据（1）即可得到结论； （3）根据画出表示的点，进而可画出表示的点M． 【详解】（1）由图可知，是无理数 ∴点D表示的数是，这个数是无理数 故答案为：，无理数 （2）由（1）可知，无理数能用数轴上的点表示 故答案为：能 （3）因为， 所以画法如下： ①在数轴上画长方形，使在数轴上且点在原点右侧，点在数轴的上方； ②以原点为圆心，对角线长为半径画弧交数轴于点； ③以点为圆心，长为半径画弧交数轴于点，则点表示的数是，如答图所示． 证明：∵ ∴ ∴ ∴ 【变式6-2】如图所示，已知，，以点为圆心，为半径画弧交左侧数轴于点． (1)写出数轴上点所表示的数为______； (2)比较大小：点所表示的数______（填写“”或“”） (3)在数轴上找出对应的点．（保留作图迹） 【答案】(1) (2) (3)见解析 【分析】本题主要考查了实数和数轴，勾股定理，实数大小比较，解题的关键是熟练掌握勾股定理． （1）根据勾股定理求出，然后得出点A表示的数即可； （2）先求出，，根据，得出即可； （3）过点D作，且，连接，以点O为圆心，为半径画弧，交数轴于点，则点即为所求作的点． 【详解】（1）解：在中，根据勾股定理得：， ∴， ∴点所表示的数为， 故答案为：； （2）解：∵，， 又∵， ∴， 故答案为：； （3）解：如图，点表示的数为． ∵，，， ∴， ∴． 【变式6-3】阅读与思考 下面是莉莉同学的学习笔记．请仔细阅读，并完成相应的任务． 在数轴上确定表示无理数的点今天我们借助勾股定理，在数轴上找到了一些特殊的无理数对应的点，认识了“数轴上的点与实数一一对应”这一事实． 要在数轴上分别找到表示和的点，关键是在数轴上构造线段． 如图1，点与数轴的原点重合，点表示的数为1，过点作的垂线段，使得，连接，则（依据）． 以原点为圆心，斜边的长为半径画弧，与数轴分别交于点，则，点对应的数为，点对应的数为． …… 任务： (1)学习笔记中的“依据”是指____________． (2)如图2，利用尺规在数轴上分别画出表示的点和表示的点．（保留作图痕迹，标明字母，不写作法） (3)拓展：在材料的基础上，莉莉同学经过探索，知道了如何在数轴上画出表示数的点，请你在图3的数轴上，利用尺规作图帮助莉莉同学画出点．（保留作图痕迹，标明字母，不写作法） 【答案】(1)勾股定理 (2)见解析 (3)见解析 【分析】本题考查的是实数与数轴，勾股定理的应用． （1）根据勾股定理可得答案． （2）利用数轴作一个直角边长为，的直角三角形，再进一步画图即可． （3）利用数轴作一个直角边长为，的直角三角形，再进一步画图即可． 【详解】（1）解：学习笔记中的“依据”是：勾股定理． （2）解：如图，点P，Q即为所求． （3）解：如图，点即为所求， 【题型7 勾股定理与网格】 【例7】如图，正方形网格中的每个小正方形的边长都是1，每个小格的顶点叫做格点． (1)在图1中以格点为顶点画一个面积为5的正方形， (2)在图2中以格点为顶点画一个三角形，使三角形三边长分别为、2、 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】（1）直接利用勾股定理结合网格得出符合题意的图形， （2）直接利用勾股定理结合网格得出符合题意的图形， 本题考查了利用勾股定理求直角三角形的边长，熟练掌握定理即可求解． 【详解】（1）解：如图1所示：正方形即为所求； （2）解：如图2所示：三角形即为所求． 【变式7-1】如图，正方形网格中的每个小正方形边长都是1，每个小格的顶点叫做格点，以格点为顶点分别按下列要求画三角形． (1)在图1中，画一个三角形，使它的三边长都是有理数； (2)在图2中，画一个三角形，使它的三边长都是无理数． 【答案】(1)图见解析（答案不唯一） (2)图见解析（答案不唯一） 【分析】（1）利用勾股定理：，画一个三边分别为：的三角形； （2）画出一个三边分别为：的三角形． 【详解】（1）解：如图，即为所求；（答案不唯一） 此时：； （2）解：如图，即为所求；（答案不唯一） 此时：． 【变式7-2】利用网格作图，要求：只能用无刻度的直尺，保留作图痕迹． (1)在图①中，的顶点均在正方形网格格点上，在边上找一点，使点到和的距离相等； (2)在图②中，的顶点均在正方形网格格点上，作出的角平分线． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题考查作图-应用与设计作图，角平分线的性质，线段的垂直平分线，等腰三角形的三线合一的性质等知识，解题的关键是学会利用数形结合的思想解决问题． （1）根据网格作的角平分线与线段的交点即为所求； （2）取格点，连接，取的中点，作射线交于点，线段即为所求． 【详解】（1）解：如图所示，找到网格点M、N， 连接交于点P即为所求； ∵正方形， ∴为的角平分线， ∴到和的距离相等； （2）解：如图②中，取格点，连接，取的中点，作射线交于点， 在网格图中，， ∴， ∴是等腰三角形， 又∵， ∴是的中线，也是的角平分线， ∴即为所求． 【变式7-3】在中，三边的长分别为，求这个三角形的面积． 小宝同学在解答这道题时，先建立一个正方形网格（每个小正方形的边长为1），再在网格中画出格点（即三个顶点都在小正方形的顶点处），如图1所示．这样不需求的高，而借用网格就能计算出它的面积．    (1)请你将的面积直接填写在横线上______； (2)我们把上述求面积的方法叫做构图法．若三边的长分别为，请利用图2的正方形网格（每个小正方形的边长为1）画出相应的，并求出它的面积填写在横线上______； (3)若中有两边的长分别为，且的面积为2，试运用构图法在图3的正方形网格（每个小正方形的边长为1）中画出所有符合题意的（全等的三角形视为同一种情况），并求出它的第三条边长填写在横线上______． 【答案】(1)； (2)图见解析；； (3)图见解析；4或； 【分析】本题考查了勾股定理及作图的知识，解答本题关键是仔细理解问题背景，熟练掌握勾股定理，关键是结合网格用矩形及容易求得面积的直角三角形表示出所求三角形的面积进行解答． （1）利用割补法，即可求解； （2）在网格中利用勾股定理分别作出边长为的首尾相接的三条线段，再利用割补法求解可得； （3）在网格中构建长为和的两边，然后根据三角形面积，构建出第三条边求解即可． 【详解】（1）解：如图所示，    ， ． （2）解：如图所示，    ，，， 三边的长分别为，符合要求． ， ． （3）解：① 如图所示，    ，，， ，符合要求． ② 如图所示，    ，，， ， 为直角三角形， ，符合要求． 【题型8 勾股定理求最短路径问题】 【例8】如图所示，已知圆柱的一个底面周长为36，高，点在圆柱上底面的圆周上，点距点在上底面圆周上的曲线长度为上底面圆周长的，为下底面圆的直径，小虫在圆柱外侧面爬行，从点处爬到点处，然后再从点处爬到点处，则小虫爬行的最短路程为 ． 【答案】/ 【分析】本题考查了勾股定理的应用，理解题意，化曲面为平面，正确画出图形是解题关键﹒根据题意画出图形，得到，，先求出，，根据勾股定理即可求出小虫爬行的最短路程为﹒ 【详解】解：如图，由题意得，， ∵点距点在上底面圆周上的曲线长度为上底面圆周长的， ∴，， ∴小虫爬行的最短路程为﹒ 故答案为： 【变式8-1】如图所示，地面上铺了一块长方形地毯，因使用时间而变形，中间形成一个半圆柱的凸起，半圆柱的底面半径为，已知，，一只蚂蚁从点爬到点，且必须翻过半圆柱凸起，则它至少要走 的路程．（取） 【答案】 【分析】本题考查了勾股定理的应用最短路径问题，将中间半圆展开，连接，则线段的长度即为蚂蚁爬行的最短路程，先求出的长，再利用勾股定理解答即可求解，找出蚂蚁爬行的最短路径是解题的关键． 【详解】解：如图，将中间半圆展开，连接，则线段的长度即为蚂蚁爬行的最短路程， 由题意可得，， ∴， ∵， ∴， ∴它至少要走的路程， 故答案为：． 【变式8-2】如图，长方体的长为，宽为，高为，点离点 ，一只蚂蚁如果要沿着长方体的表面从点爬到点，需要爬行的最短距离是 ． 【答案】 【分析】分情况讨论：①把长方体的右侧表面剪开与前面这个侧面所在的平面形成一个长方形；②把长方体的右侧表面剪开与上面这个侧面所在的平面形成一个长方形；③把长方体的上表面剪开与后面这个侧面所在的平面形成一个长方形；画出长方体的侧面展开图，根据勾股定理求出的长即可． 【详解】解：①如图1，把长方体的右侧表面剪开与前面这个侧面所在的平面形成一个长方形，连接， ∵长方体的宽为，高为，点离点 ， ∴，， 在中，由勾股定理得，； ②如图2，把长方体的右侧表面剪开与上面这个侧面所在的平面形成一个长方形，连接， ∵长方体的宽为，高为，点离点 ， ∴，， 在中，由勾股定理得，； ③如图3，把长方体的上表面剪开与后面这个侧面所在的平面形成一个长方形， ∵长方体的宽为，高为，点离点 ， ∴， 在中，由勾股定理得，； ∵， ∴蚂蚁爬行的最短距离是， 故答案为：． 【变式8-3】【问题情境】如图①，已知圆柱底面的周长为，圆柱的高为，在圆柱的侧面上，过上底面的点和下底面上与点相对的点嵌有一圈长度最短的金属丝，下底面的点在点的正下方． (1)【操作发现】现将圆柱侧面沿剪开，所得的圆柱侧面展开图是______（填字母） A．    B． C．    D． (2)【拓展应用】如图②，现有一个长、宽、高分别为，，（即，，）的无盖长方体木箱，为底面．现在箱外的点处有一只蚂蚁，箱内的点处有一滴蜂蜜．请你为蚂蚁设计一条路线，使其能以最短的路程吃到蜂蜜，画出示意图，并求出此最短路程的长度．（木板的厚度忽略不计，只画出路程最短的一种情况即可） 【答案】(1) (2)示意图见解析， 【分析】本题主要考查了立体图形展开、平面几何基本原理以及勾股定理的应用，解题的关键在于将立体表面转化为平面，利用平面几何知识解决最短路径问题． （1）根据圆柱的侧面展开图为长方形，再结合过上底面的点和下底面上与点相对的点嵌有一圈长度最短的金属丝，即可得出结论； （2）先将长方体的侧面和侧面展开，再作点关于的对称点，连接交于点，则，把立体表面的折线路径转化为平面内的线段，最后根据勾股定理即可解答． 【详解】（1）解：由题知，过上底面的点和下底面上与点相对的点嵌有一圈长度最短的金属丝， 根据两点之间线段最短可知，将圆柱侧面沿剪开，所得的圆柱侧面展开图是， 故选：； （2）如图，先将长方体的侧面和侧面展开，再作点关于的对称点，连接交于点，则， 所以， 根据两点之间线段最短可知，当，，三点共线时，的值最小，即的值最小， 此时就是蚂蚁爬行的路线，线段的长即为最短路程， 在中，，根据勾股定理，得， 所以最短路程为． 1．如图，等腰中，于D，且，则（　　） A．24 B． C．48 D． 【答案】B 【分析】此题考查了勾股定理以及三角形面积，解题的关键是根据勾股定理求出的长．先根据勾股定理得出的长，再根据勾股定理得出方程求出的长，即可解决问题． 【详解】解：， 设，则， 在中，， 故选：B． 2．如图，的顶点A，B，C在边长为1的正方形网格的格点上， 于点D，则线段的长为（    ） A．4 B． C． D．5 【答案】C 【分析】本题考查了网格与勾股定理以及三角形面积，由勾股定理求出，再由三角形面积求出即可． 【详解】解：由勾股定理可得， ， ，即， ， 故选：C． 3．点在轴上，且点到点的距离是它到点距离的倍，则点的坐标是 ． 【答案】 【分析】本题考查用点的坐标表示线段长度，解题的关键是熟练掌握坐标系中两点之间的距离公式． 设，根据坐标系中两点之间的距离公式，可得，，根据题意列方程求解即可． 【详解】解：∵点在轴上， ∴设， ∵点到点的距离是它到点距离的倍， ∴ ∴， ∴， 故答案为：． 4．如图，已知在中，于，，，．    (1)求的值； (2)求的面积． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）在中，根据勾股定理求出的长，即可求出结果； （2）在中根据勾股定理求出的长，故可得出的长，根据三角形面积公式就能计算出面积． 【详解】（1）解： ， 是直角三角形， ，， ， ， ． （2）解： ， 是直角三角形， ， 即． 5．（1）如图（1），分别以三边为直径向外作三个正方形，其面积分别用，，表示，写出，，之间关系．（不必证明） （2）如图（2），分别以三边为边向外作三个半圆，其面积分别用，，表示，确定它们的关系证明； （3）如图（3），分别以三边为边向外作正三角形，其面积分别用，，表示，确定它们的关系并证明． 【答案】（1）；（2）；（3） 【分析】（1）运用勾股定理，正方形的面积计算方法即可求解； （2）运用勾股定理，圆面积的计算方法即可求解； （3）运用勾股定理，等边三角形的面积的计算方法即可求解． 【详解】解：（1）根据题意，是直角三角形， ∴， ∵，，， ∴； （2）根据题意可得，， ∵，，， ∴； （3）根据题意可得，， ∵以三边为边向外作正三角形， ∴如图所示，过点作于点， ∴，在中，， ∴， ∴， 同理，，， ∴． 6．图①是由四个边长为1的小正方形组成的网格，容易发现格点正方形ABCD的面积为2，则这个格点正方形的边长为． (1)图②是由9个小正方形网格组成的图形．那么格点正方形的边___________． (2)在由16个小正方形网格组成的图③中，画出边长为的格点正方形． (3)在由25个小正方形网格组成的图④中，画出边长为的格点正方形． (4)根据（3）的结论，在数轴上画出对应的点 【答案】(1) (2)见解析 (3)见解析 (4)见解析 【分析】本题主要考查了勾股定理与网格、勾股定理与实数等知识点，掌握勾股定理是解题的关键． （1）直接运用勾股定理计算即可； （2）根据勾股定理画图即可； （3）根据勾股定理画图即可； （4）如图：过原点作，以数轴上的3为圆心A，以为半径画弧，与x轴交点C即为所求． 【详解】（1）解：如图：． 故答案为：． （2）解：∵， ∴画出边长为的格点正方形如下： （3）解：∵， ∴画出边长为的格点正方形如下： （4）解：如图：点C即为所求． 7．如图，数学兴趣小组要测量旗杆的高度，同学们发现系在旗杆顶端A的绳子垂到地面多出一段的长度为3米，小明同学将绳子拉直，绳子末端落在点C处，到旗杆底部B的距离为9米． (1)求旗杆的高度； (2)小明在C处，用手拉住绳子的末端，后退至观赛台的2米高的台阶上，此时绳子刚好拉直，绳子末端落在点E处，问小明需要后退几米（即的长）？ 【答案】(1)旗杆的高度为 (2)小明需后退 【分析】本题考查了勾股定理的应用，熟练掌握勾股定理，添加适当的辅助线构造直角三角形是解此题的关键． （1）设旗杆的高度为，则，再由勾股定理计算即可得解； （2）过E作重为M，证明四边形为长方形，得出，，由勾股定理得，即可得解． 【详解】（1）解：设旗杆的高度为，则， 在中，，由勾股定理得：， ∴， 解得：， 答：旗杆的高度为． （2）解：过E作重为M， 则， ∴四边形为长方形， ∴，， ， ，， 在中，， 由勾股定理得：， 答：小明需后退． 8．勾股定理神奇而美妙，它的证法多种多样，聪聪在学习了教材中介绍的拼图证法以后，突发灵感，给出了如下拼图：两个全等的直角三角板和直角三角板，顶点D在边上，顶点B、F重合，连接．设交于点G，若，，，．请你回答以下问题： (1)填空：　　　，　　　； (2)请用两种方法计算四边形的面积，并以此为基础证明勾股定理． 【答案】(1)， (2)，，证明见解析 【分析】本题考查了图形的面积计算以及勾股定理的证明 （1）根据全等的性质得到，然后利用互余的性质证明即可； （2）结合（1）小问的结论用两种面积算法证明即可； 熟知数形结合思想的运用是关键 【详解】（1）解：， ， ， ， ， ； ， ， 故答案为：90，； （2）方法一∶ 方法二： 根据上面的方法可得出 9．上午8时，一条渔船从港口A出发，以每小时15海里的速度向正北方向航行，上午10时到达海岛B处．从望海岛C，测得（如图所示）． (1)求海岛B到海岛C的距离； (2)这条船继续向正北航行，问什么时间小船与灯塔C的距离最短？ (3)渔船从海岛B按原来的方向继续航行30海里（记为点D处）出现了故障，它向海岛B和海岛C都发出了求救信号．接到求救信号后，海岛B派出的救援队立即以每小时20海里的速度前往，海岛C派出的救援队晚出发10分钟，速度为每小时25海里，通过计算说明两支救援队谁先到达渔船处？ 【答案】(1)海岛B到海岛C的距离为30海里 (2)上午11时，小船与灯塔C的距离最短 (3)救援队先到 【分析】本题考查三角形的外角，等腰三角形和等边三角形的判定： （1）根据三角形的外角的性质求出，进而得到即可； （2）过C作于H，先求出，根据含的直角三角形的性质求出，进而即可解答； （3）证明为等边三角形，进而得到的长，根据时间等于路程除以速度，进行求解即可得出结论． 【详解】（1）解：由题意，得：海里； ∵， ∴， ∴ ∴海里； 答：海岛B到海岛C的距离为30海里； （2）解：过C作于点H， 又， ∴， ∴（海里）， ∴从B处到H处需要小时， ∴答：小船与灯塔C的距离最短时，此时为上午时； （3）解∶ 由题意：海里， 由（1）知：海里， ∴， ∵， ∴为等边三角形， ∴海里， ∴救援队所用时间为（小时）， 救援队所用时间为（小时）， ∵， ∴救援队先到． 10．综合与实践 【问题情境】 数学综合与实践活动课上，老师提出如下问题：如图1是一个三级台阶，它的每一级的长、宽、高分别为，，，和是这个三级台阶两个相对的端点，若点有一只蚂蚁，想到点去吃可口的食物，则蚂蚁沿着台阶面爬行到点的最短路程是多少？ （1）同学们经过思考得到如下解题方法：如图2，将三级台阶展开成平面图形，连接，经过计算得到长度即为最短路程，则　 　 ． 【变式探究】 （2）如图3，一个圆柱形玻璃杯，若该玻璃杯的底面周长是48厘米，高是7厘米，一只蚂蚁从点出发沿着玻璃杯的侧面到与点相对的点处，则该蚂蚁爬行的最短路程是多少厘米？ 【拓展应用】 （3）如图4，圆柱形玻璃杯高为，底面周长为，在杯内壁离杯底的点处有一滴蜂蜜，此时一只蚂蚁正好在杯外壁，离杯上沿与蜂蜜相对的点处，则蚂蚁从外壁处到内壁处的最短路程是多少厘米？（杯壁厚度不计） 【答案】（1）25；（2）该蚂蚁爬行的最短路程25厘米；（3）蚂蚁从外壁A处到内壁B处的最短路程为． 【分析】本题考查了平面展开——最短路径问题，勾股定理，轴对称的性质，将图形展开，利用轴对称的性质和勾股定理进行计算是解题的关键． （1）先将图形平面展开，再用勾股定理根据两点之间线段最短进行解答； （2）将圆柱体展开，利用勾股定理求解即可； （3）将杯平面展开，作点纵向的对称点，点与对称点的连线，即为蚂蚁从外壁处到内壁处的最短路程，再根据勾股定理计算长度即可． 【详解】解：（1）三级台阶平面展开图为长方形，长为，宽为， 则蚂蚁沿台阶面爬行到点最短路程是此长方形的对角线长． 可设蚂蚁沿台阶面爬行到点最短路程为， 由勾股定理得：， 解得：． 答：蚂蚁沿着台阶面爬到点的最短路程是． 故答案为：25； （2）将圆柱体侧面展开，如图： 由题意得：，， ， 该蚂蚁爬行的最短路程25厘米； （3）如图，将杯平面展开，作点纵向的对称点， 连接，即为蚂蚁从外壁处到内壁处的最短路程， ，，，， 根据勾股定理有： ， 蚂蚁从外壁处到内壁处的最短路程为． 11 / 11 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 第04讲 勾股定理及其应用 内容导航——预习三步曲 第一步 学 析教材·学知识：教材精讲精析、全方位预习 练题型·强知识：8大核心题型精准练 第二步 记 串知识·识框架：思维导图助力掌握知识框架、学习目标复核内容掌握 第三步 测 过关测·稳提升：小试牛刀检测预习效果、查漏补缺快速提升 【知识点1 勾股定理】 勾股定理的内容：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方.对任意的直角三角形，如果它的两条直角边长分别为a，b，斜边长为c，那么一定有a2+b2=c2，这种关系我们称为勾股定理. 勾股定理的验证： 证法1 赵爽弦图验证基本思路：如图（1），把边长分别为a，b的两个正方形连在一起，它的面积是a2+b2，这两个正方形还可以分割成四个全等的直角三角形（红色）和一个正方形（黄色），把图（1）中左、右两个三角形移到图（2）中所示的位置，就会形成一个以c为边长的正方形（图（3）），它的面积是c2.因为图（1）与图（3）都由四个全等的直角三角形（红色）和一个正方形（黄色）组成，所以它们的面积相等，即a2+b2=c2. 【知识点2 勾股定理的实际应用】 利用勾股定理解决实际问题的一般步骤： （1）读懂题意，分析已知、未知间的关系； （2）构造直角三角形； （3）利用勾股定理等列方程； （4）解决实际问题. 【知识点3 利用勾股定理作图】 利用勾股定理表示无理数的方法: （1）利用勾股定理把一个无理数表示成直角边是两个正整数的直角三角形的斜边. （2）以原点为圆心，以无理数斜边长为半径画弧与数轴存在交点，在原点左边的点表示是负无理数，在原点右边的点表示是正无理数. 以下是在数轴上表示出的点的作图过程. （1）在数轴上找到点A,使OA=3; （2）作直线l⊥OA,在l上取一点B，使AB=2; （3）以原点O为圆心，以OB为半径作弧，弧与数轴交于C点，则点C即为表示______的点. 【题型1 勾股定理解直角三角形】 【例1】如图，在中，，a，b，c是的三边长． (1)已知，求c的值； (2)已知，求b的值； (3)已知，求a，b的值． 【变式1-1】在中，，、、的边分别为、、， (1)若，，求，的值． (2)若，，求的值． 【变式1-2】在直角三角形中，a，b为直角边，c为斜边． (1)若，，求直角三角形斜边上的高h； (2)若，a比c小，求b的值． 【变式1-3】如图，在中，，，． (1)求的值； (2)过点A作，垂足为，求的值． 【题型2 勾股定理解勾股树问题】 【例2】如图是一株美丽的勾股树，其中所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形．若正方形A、B、C、D的边长分别为3、5、2、3，则最大正方形E的面积是（    ）    A．13 B．29 C．47 D．94 【变式2-1】如图，四边形中，，分别以四边形的四条边向外作正方形，这四个正方形的面积分别是为、、、，若，则的值是（  ） A．5 B． C． D． 【变式2-2】如图，在中，，分别以，，的长为直径作半圆，面积分别记为，，，若，则的值为 ． 【变式2-3】如图，在四边形中，，分别以四边形的四条边为边向外作四个正方形，面积分别为，，，．若，，则 ． 【题型3 已知两点坐标求两点距离】 【例3】如图，在中，已知点A的坐标为，点B的坐标为，是边上的中线，求： (1)点C的坐标； (2)的长． 【变式3-1】已知等边，点在坐标原点，点的坐标为，且点在第二象限，则点的坐标是 ． 【变式3-2】在平面直角坐标系中，点A，B的坐标分别为．以点A为圆心，以长为半径画弧交x轴于点C，则点C的坐标为 ． 【变式3-3】如图，在平面直角坐标系中，点A，C，B的坐标分别为，，，， 连接，．若， 则m的值为 ． 【题型4 勾股定理的验证】 【例4】你认为以下四种图形能用来证明勾股定理的图形有 ．（填序号） 【变式4-1】勾股定理是几何学中的明珠，充满着魅力，千百年来，人们对勾股定理的证明颇感兴趣，其中有著名的数学家，也有数学爱好者． (1)如图1，这是美国第20任总统詹姆斯·加菲尔德的“总统证法”图形，，请推导勾股定理． (2)如图2，在中，，垂足为H，求的长． 【变式4-2】【问题背景】勾股定理是数学中最重要的定理之一，其证明方法非常丰富． 【初步感知】如图1，四个全等的直角三角形（阴影部分）围成一个大正方形，中间空白部分是一个小正方形．设直角三角形的两条直角边长分别为a，b（），斜边长为c． （1）请用两种不同的方法表示图中大正方形的面积，并由此推导出勾股定理 【拓展延伸】（2）如图2，将两个全等的直角三角形（）按如图所示的方式放置，使点A，D，E在同一直线上．请利用此图推导出勾股定理 【变式4-3】如图，在中，于，，交与点，垂足为，连接，且． (1)求证：； (2)在中，，，，利用图中阴影部分面积的不同计算方法证明：． 【题型5 勾股定理的实际应用】 【例5】每年的11月9日是我国的消防日，为了增强全民的消防安全意识，某校师生举行了消防演练，如图，云梯长为25米，云梯顶端C靠在教学楼外墙上（墙与地面垂直），云梯底端A与墙角O的距离为7米． (1)求云梯顶端C与墙角O的距离的长； (2)现云梯顶端C下方4米D处发生火灾，需将云梯顶端C下滑到着火点D处，则云梯底端在水平方向上滑动的距离为多少米． 【变式5-1】“儿童散学归来早，忙趁东风放纸鸢．”某校八（1）班的小明和小亮学习了“勾股定理”之后，为了测得风筝的垂直高度（如图），他们进行了如下操作： ①测得水平距离的长为8米； ②根据手中剩余线的长度计算出风筝线的长为17米； ③牵线放风筝的小明的身高为米． (1)求风筝的垂直高度． (2)如果小明想让风筝沿方向下降5米，那么他应该往回收线多少米？ 【变式5-2】《九章算术》卷九“勾股”中记载：今有池，方一丈，葭生其中央，出水一尺．引葭赴岸，适与岸齐，问水深、葭长各几何．大意是：如图，水池底面的宽丈，芦苇生长在的中点O处，高出水面的部分尺．将芦苇向池岸牵引，尖端达到岸边时恰好与水面平齐，即， 求水池的深度和芦苇的长度(1丈等于10尺)． (1)求水池的深度和芦苇的长度； (2)中国古代数学家刘徽在为《九章算术》作注解时，更进一步给出了这类问题的一般解法．他的解法用现代符号语言可以表示为：若已知水池宽，芦苇高出水面的部分，则水池的深度 可以通过公式计算得到．请证明刘徽解法的正确性． 【变式5-3】如图，在离水面高度为米的岸上，有人用绳子拉船靠岸，开始时绳子的长为17米，此人以每秒1米的速度收绳．（假设绳子一直是绷直的状态） (1)若，4秒后，船移动到点的位置，问船向岸边移动了多少米？（结果保留根号） (2)若7秒后船移动到点的位置，船向岸边移动了9米，求的值． 【变式5-4】今年，第13号台风“贝碧嘉”9月16日登陆后的影响还在持续，第14号台风“普拉桑”和第15号台风“苏力”又于19日登陆．A市接到台风警报时，台风中心位于距离A市的B处（即），正以的速度沿直线方向移动． (1)已知A市到的距离，那么台风中心从B点移到D点经过多长时间？ (2)如果在距台风中心的圆形区域内都将受到台风影响，那么A市受到台风影响的时间是多长？ 【题型6 勾股定理与无理数】 【例6】如图所示，已知，，以点O为圆心，长为半径画弧交数轴于点A． (1)数轴上点A所表示的数为______； (2)比较大小：点A所表示的数_____；（填“>”或“<”） (3)在数轴上找出对应的点，并说明理由．（保留作图痕迹） 【变式6-1】如图，在数轴上画一个边长为1的正方形，然后以原点O为圆心，对角线长为半径画弧交数轴于点D． (1)点D表示的数是________，这个数是________（填“有理数”或“无理数”）； (2)通过画图说明了无理数________（填“能”或“不能”）用数轴上的点表示； (3)请你画出数轴，并在数轴上画出表示的点M，说出你的画法． 【变式6-2】如图所示，已知，，以点为圆心，为半径画弧交左侧数轴于点． (1)写出数轴上点所表示的数为______； (2)比较大小：点所表示的数______（填写“”或“”） (3)在数轴上找出对应的点．（保留作图迹） 【变式6-3】阅读与思考 下面是莉莉同学的学习笔记．请仔细阅读，并完成相应的任务． 在数轴上确定表示无理数的点今天我们借助勾股定理，在数轴上找到了一些特殊的无理数对应的点，认识了“数轴上的点与实数一一对应”这一事实． 要在数轴上分别找到表示和的点，关键是在数轴上构造线段． 如图1，点与数轴的原点重合，点表示的数为1，过点作的垂线段，使得，连接，则（依据）． 以原点为圆心，斜边的长为半径画弧，与数轴分别交于点，则，点对应的数为，点对应的数为． …… 任务： (1)学习笔记中的“依据”是指____________． (2)如图2，利用尺规在数轴上分别画出表示的点和表示的点．（保留作图痕迹，标明字母，不写作法） (3)拓展：在材料的基础上，莉莉同学经过探索，知道了如何在数轴上画出表示数的点，请你在图3的数轴上，利用尺规作图帮助莉莉同学画出点．（保留作图痕迹，标明字母，不写作法） 【题型7 勾股定理与网格】 【例7】如图，正方形网格中的每个小正方形的边长都是1，每个小格的顶点叫做格点． (1)在图1中以格点为顶点画一个面积为5的正方形， (2)在图2中以格点为顶点画一个三角形，使三角形三边长分别为、2、 【变式7-1】如图，正方形网格中的每个小正方形边长都是1，每个小格的顶点叫做格点，以格点为顶点分别按下列要求画三角形． (1)在图1中，画一个三角形，使它的三边长都是有理数； (2)在图2中，画一个三角形，使它的三边长都是无理数． 【变式7-2】利用网格作图，要求：只能用无刻度的直尺，保留作图痕迹． (1)在图①中，的顶点均在正方形网格格点上，在边上找一点，使点到和的距离相等； (2)在图②中，的顶点均在正方形网格格点上，作出的角平分线． 【变式7-3】在中，三边的长分别为，求这个三角形的面积． 小宝同学在解答这道题时，先建立一个正方形网格（每个小正方形的边长为1），再在网格中画出格点（即三个顶点都在小正方形的顶点处），如图1所示．这样不需求的高，而借用网格就能计算出它的面积．    (1)请你将的面积直接填写在横线上______； (2)我们把上述求面积的方法叫做构图法．若三边的长分别为，请利用图2的正方形网格（每个小正方形的边长为1）画出相应的，并求出它的面积填写在横线上______； (3)若中有两边的长分别为，且的面积为2，试运用构图法在图3的正方形网格（每个小正方形的边长为1）中画出所有符合题意的（全等的三角形视为同一种情况），并求出它的第三条边长填写在横线上______． 【题型8 勾股定理求最短路径问题】 【例8】如图所示，已知圆柱的一个底面周长为36，高，点在圆柱上底面的圆周上，点距点在上底面圆周上的曲线长度为上底面圆周长的，为下底面圆的直径，小虫在圆柱外侧面爬行，从点处爬到点处，然后再从点处爬到点处，则小虫爬行的最短路程为 ． 【变式8-1】如图所示，地面上铺了一块长方形地毯，因使用时间而变形，中间形成一个半圆柱的凸起，半圆柱的底面半径为，已知，，一只蚂蚁从点爬到点，且必须翻过半圆柱凸起，则它至少要走 的路程．（取） 【变式8-2】如图，长方体的长为，宽为，高为，点离点 ，一只蚂蚁如果要沿着长方体的表面从点爬到点，需要爬行的最短距离是 ． 【变式8-3】【问题情境】如图①，已知圆柱底面的周长为，圆柱的高为，在圆柱的侧面上，过上底面的点和下底面上与点相对的点嵌有一圈长度最短的金属丝，下底面的点在点的正下方． (1)【操作发现】现将圆柱侧面沿剪开，所得的圆柱侧面展开图是______（填字母） A．    B． C．    D． (2)【拓展应用】如图②，现有一个长、宽、高分别为，，（即，，）的无盖长方体木箱，为底面．现在箱外的点处有一只蚂蚁，箱内的点处有一滴蜂蜜．请你为蚂蚁设计一条路线，使其能以最短的路程吃到蜂蜜，画出示意图，并求出此最短路程的长度．（木板的厚度忽略不计，只画出路程最短的一种情况即可） 1．如图，等腰中，于D，且，则（　　） A．24 B． C．48 D． 2．如图，的顶点A，B，C在边长为1的正方形网格的格点上， 于点D，则线段的长为（    ） A．4 B． C． D．5 3．点在轴上，且点到点的距离是它到点距离的倍，则点的坐标是 ． 4．如图，已知在中，于，，，．    (1)求的值； (2)求的面积． 5．（1）如图（1），分别以三边为直径向外作三个正方形，其面积分别用，，表示，写出，，之间关系．（不必证明） （2）如图（2），分别以三边为边向外作三个半圆，其面积分别用，，表示，确定它们的关系证明； （3）如图（3），分别以三边为边向外作正三角形，其面积分别用，，表示，确定它们的关系并证明． 6．图①是由四个边长为1的小正方形组成的网格，容易发现格点正方形ABCD的面积为2，则这个格点正方形的边长为． (1)图②是由9个小正方形网格组成的图形．那么格点正方形的边___________． (2)在由16个小正方形网格组成的图③中，画出边长为的格点正方形． (3)在由25个小正方形网格组成的图④中，画出边长为的格点正方形． (4)根据（3）的结论，在数轴上画出对应的点 7．如图，数学兴趣小组要测量旗杆的高度，同学们发现系在旗杆顶端A的绳子垂到地面多出一段的长度为3米，小明同学将绳子拉直，绳子末端落在点C处，到旗杆底部B的距离为9米． (1)求旗杆的高度； (2)小明在C处，用手拉住绳子的末端，后退至观赛台的2米高的台阶上，此时绳子刚好拉直，绳子末端落在点E处，问小明需要后退几米（即的长）？ 8．勾股定理神奇而美妙，它的证法多种多样，聪聪在学习了教材中介绍的拼图证法以后，突发灵感，给出了如下拼图：两个全等的直角三角板和直角三角板，顶点D在边上，顶点B、F重合，连接．设交于点G，若，，，．请你回答以下问题： (1)填空：　　　，　　　； (2)请用两种方法计算四边形的面积，并以此为基础证明勾股定理． 9．上午8时，一条渔船从港口A出发，以每小时15海里的速度向正北方向航行，上午10时到达海岛B处．从望海岛C，测得（如图所示）． (1)求海岛B到海岛C的距离； (2)这条船继续向正北航行，问什么时间小船与灯塔C的距离最短？ (3)渔船从海岛B按原来的方向继续航行30海里（记为点D处）出现了故障，它向海岛B和海岛C都发出了求救信号．接到求救信号后，海岛B派出的救援队立即以每小时20海里的速度前往，海岛C派出的救援队晚出发10分钟，速度为每小时25海里，通过计算说明两支救援队谁先到达渔船处？ 10．综合与实践 【问题情境】 数学综合与实践活动课上，老师提出如下问题：如图1是一个三级台阶，它的每一级的长、宽、高分别为，，，和是这个三级台阶两个相对的端点，若点有一只蚂蚁，想到点去吃可口的食物，则蚂蚁沿着台阶面爬行到点的最短路程是多少？ （1）同学们经过思考得到如下解题方法：如图2，将三级台阶展开成平面图形，连接，经过计算得到长度即为最短路程，则　 　 ． 【变式探究】 （2）如图3，一个圆柱形玻璃杯，若该玻璃杯的底面周长是48厘米，高是7厘米，一只蚂蚁从点出发沿着玻璃杯的侧面到与点相对的点处，则该蚂蚁爬行的最短路程是多少厘米？ 【拓展应用】 （3）如图4，圆柱形玻璃杯高为，底面周长为，在杯内壁离杯底的点处有一滴蜂蜜，此时一只蚂蚁正好在杯外壁，离杯上沿与蜂蜜相对的点处，则蚂蚁从外壁处到内壁处的最短路程是多少厘米？（杯壁厚度不计） 11 / 11 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $