【青桐鸣大联考】2025-2026学年高一上学期12月联考数学（人教B卷）试题

2028届普通高等学校招生全国统一考试 青桐鸣大联考（高一） 数学（人教B卷）参考答案 1.A【解析】由x2-6x+9=0得x=3,于是A= {3},其非空子集的个数为21一1=1. -g2+)=gx,于是g292）=g(4×169 故选A. 子)=g(-号)=g(号)=f(号)-1=2-4× 2.B【解析】由3>3解得x>1或x<-1,由(x+ 3)(x-4)>0解得x>4或x<-3,故甲是乙的必 号-3-1=-号故r(22)=22）+1= 要不充分条件 故选B. 3.B【解析】注意到f(-2026)=f(-2025)=…= 故选A. f(0)-f(1)=a,由a2-a-2=0得a--1或 9.ABC 【解析】对于A,由2<3<4可知3∈A,故A a=2,由a>0得a=2. 正确； 故选B. 对于B,由x-2<2得0<x<4,于是B={x10< 4.D【解析】由条件知m-1=1,得m=2,于是 x<4}={t0<t<4},故B正确； f(x)=x2,故f(2)=4. 对于C,由A∩B={x|2<x<4}=A,得A二B, 故选D. 故C正确； 5.B【解析】不妨设t>0,由奇函数的性质可知f(t)+ 对于D,CRB={x|x≤0或x≥4}，AUCRB= f(-t)=0,即a(-t)+2026+2026t+b=0,于 {x|x≤0或x>2}≠R,故D错误. 6 易知a十b=0. 故选ABC. 10.BC【解析】对于A,8=2a+4b>2a+3b,故A 故选B. 错误； 6.C【解析】x>0时，f(x)=f(-x)=x2十 对于B,由基本不等式得4≥2w2ab,可得ab≤2， 21n2z-9,显然其在(0，十∞)上单调递增.注意 当且仅当a=2b=2时，取等号.而4=a十2b> 到f(1)=1+2ln2-9=21n2-8<0,f(2)=4+ 2b,b<2,于是ab2<4,故B正确； 2h4-号=2n4-号>0，可得了(x)其中的一个 1小 对于c,a2+6=公+4g0=a-++沿 零点所在的区间为(1,2). a-)+船8-日于是8a+86>15,放C 故选C. 7B【解析I注意到c=bg6-号（o3+1og,2) 正确； 对于D,取a=3,6=2,则6=3·（）广=6 合1e3+}<号3+ 1 21og23=6,而c- ()】广>4()‘=46，放D错误 og3+>2lg2+-c>882= 256 故选BC. a4,即c>a,故a<c<b. 11.ABD 【解析】对于A,∫(-log23)=213- 故选B. 3a·2le3十a= 8.A【解析】设g(x)=f(x)一1，显然g(x)= 9,故A正确； g(-x),由g（x+1)是奇函数，知g(2十x)十 对于B,此时y=4:十a是增函数，y=一3a·2 g(-x)-0,于是g(2+x)=-g(x),g(4十x)= 是增函数，故f(x)是增函数，故B正确； ·数学（人教B卷）答案（第1页，共3页）· f(1)=f(一1)， 当a=-1时，(x+a)(x-1)>0,可得解集为 对于C,若f(x)是偶函数，则 可 f(2)=f(-2), {x|0<x<1或x>1} (11分) 4-5a= 1 a 5 当a<-1时，(x+a)(x-1)>0,可得解集为 42 a 6 得 解得 显然二者不 {x|0<x<1或x>-a}. (13分) 17 16-11a= 1a a=12' 16.解：(1)此时A-{x|2<x<5}, (2分) 164 B={x|4<x<8}, (4分) 能同时满足，故C错误； 可得AUB={x|2<x<8. (6分) 对于D,设t=2,当a∈(o,号)时，f(x)=2 (2)证明：当2m-3<2,即m≤8时，A=②，An 3au+a=-g)+a-a2≥a- 9 9 a2 B=⑦. (9分) a(传-a)小>0，放D正确， 当m≥8时，B=☑，A∩B=☑， (12分) 2m-3≤m,即？<m≤3时，A∩B 故选ABD 12.(0,0)【解析】由ax=0得x=0,而f(0)=0,故 成立， (15分) 所过定点的坐标为(0,0). 综合所述，原命题得证 13.-2【解析】注意到7十4√5=(2+√3)2= 17.解：(1)由勾股定理得DN=√MN2-DM= (2+3)2(2-√3)2_1 √4-x2, (2分) (2-√3)2 (2-3),故10ge-6(7+ 于是AM=2-x, (3分) 4V3)=loga-m(2-√3)2=-2. CN=2-√4-x2, (4分) 14.1【解析】易知e=e十lnx十1ny十y-】 故S(x)=4-(2-x)-(2-√4-x2)- 1 2v4-2=x+4-7-xv4-2(0< =e十 y x≤2). (6分) n}-士，显然函数f)-e-1e一是增函 (2)设t=x十√4-x2,注意到t2=4十 2 2-,做g--八， (8分) 故sx)=t-4 -++1=--2)+ t2-4_t2 15.解：(1)由条件可知x2+ax-a>0恒成立， 2≤2，当t=2,即x=0或2时，等号成立. (2分) 故S(x)的最大值为2. (11分) 于是△=a2+4a<0, (4分) 解得-4<a<0, (3)由(2)知t2=4+2x√4-x2≤4+x2+4- 故a的取值范围为(-4,0). (5分) x2=8, (13分) (2)由y=lnx是增函数，可得x2十ax-a>x> 知t≤2√2，当且仅当x=√2时，等号成立. 0. (6分) 于是DM十DN=t≤2√2，知DM+DN的最大 即x2+(a-1)x-a>0, 值为2√2. (15分) 得(x+a)(x-1)>0, (7分) 18.解：(1)(i)f(x)=ax2-ax+1,a=1时，f(x)= 当a≥0时，x十a>0,此时解集为{x|x>1}. x2-x+1, (2分) (8分) f(2)=4-2+1=3. (3分) 当a∈(-1,0)时，(x十a)(x-1)>0的解集为 (i)记g(x)=f(x)-x=ax2-(a+1)x+1≥ {x|x<-a或x>l},可得解集为{xl0<x<-a 0, (5分) 或x>1}. (10分) 当a-0时，取x=2可得-2+1<0，矛盾.(6分) ·数学（人教B卷）答案（第2页，共3页）· 故由二次函数恒成立得 a>0, [)+(--)× 解得a=1,经 l△=(a+1)2-4a=(a-1)2≤0， (8分) 验证知其成立.故a=l. (9分) (2)证明：由f(x)≥x+1得a.x2十(b-1)x≥0， 因为x1,x2∈(0，+∞)，所以x1十x2>0,则 a>0, a>0, 由 得 (11分) 4+>1,即0<1 +9<1,故1-1 (6-1)2-0≤0，b=1, 4+g>0. (9分) 于是f(x)=ax2十x十1，其对称轴为x=一2a' 1 又因为x1<x2,所以41-4<0，故g(x1)- 面1(“）=1(02a=(-六+ g(x2)<0,即g(x1)<g(x2). (10分) 故g(x)在(0，十∞)上单调递增 (11分) 2a), (13分) 3)证明：f2)=2,f)g) 424-4-2x 易知f()在(-2石，+)上单调递墙，故2a≤ )×）=44 4 a2+1<a2+1+a, 1 (14分) 42x-42x 4 即-a+2a<a+1+22a2a+1, a 2a 2a 则/2)-2.=2eR,放存在 (16分) 实数k=2满足题意. (13分) 结合单调性可得f(法-f+2) 将f(2x)=2f(x)g(x)代入不等式，有2· f2a3+2a+1 [2f(x)g(x)]>3g(x),即g(x)[4f(x)-3]>0. 2a (17分) 因为对于任意实数x,4>0且4>0，所以 19.解：(1)由于在R上的奇函数f(x)与偶函数 g(x)= 42十4 g(x)满足f(x)十g(x)=4,将x替换为-x可 2 ->0. 得f(-x)+g(-x)=4,又f(-x)= 不等式两边同时除以g(x),得4f(x)一3>0，故 一f(x),g(-x)=g(x),代入得-f(x)十g(x)= 原不等式等价于✉八即” 4 4-*. (3分) (15分) 联立方程组 f(x)+g(x)=4, 解得g(x)= -f(x)+g(x)=4, 令t=4>0,则4：= ,不等式等价于1一> 2,f(x)=4-4 4+4x 3 2· ,且21>0，故等价于22-2>3，即(21+1)(1 综上，f(x)=4-4 2)>0, (16分) 2 (4分) 易知2t+1>0,则只需t一2>0， 8(x)=+4 2 (5分) 即>2，也即4>2,22>2，解得x> 2 (2)证明：不妨设x1,x2∈(0，十∞)，且x1<x2: ga)ga）)-2[4n-4)+41-4]- 所以不等式的解集为>》。 (17分) ·数学（人教B卷）答案（第3页，共3页）·秘密★启用前 2028届普通高等学校招生全国统一考试 青桐鸣大联考（高一） 数学（人教B卷） 本 试 注意事项： 卷 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、班级、考场号、座位号、考生号填写在答题卡上 由 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑， 各 如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答聚写在答题卡 市 上。写在本试卷上无效. 装 地 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回， 县 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项 区 是符合题目要求的。 参 1.集合A={x|x2一6x十9=0}的非空子集的个数为 考 A.1 B.2 C.3 D.4 学 2.已知x为实数，设甲：3>3：乙：(x+3)(x一4)>0，则 校 A.甲是乙的充分不必要条件 留 B.甲是乙的必要不充分条件 存 C.甲是乙的充要条件 准考证号 D.甲是乙的既不充分也不必要条件 3.已知函数f(x)= f(x+1),x≤0， 若∫(-2026)=a-2,a>0,则a= ax+In I.>0, 姓 名 A.1 B.2 C.3 D.4 4.已知幂函数∫(x)=(m一1)x-2,m为实数，则∫(2)= A.2 B.16 C.8 D.4 ax+2026,x<0, 5.已知函数f(x)= 是奇函数，a,b均为实数，则a十b= 2026x+b,x>0 A.-2026 B.0 C.2026 D.4052 数学（人数B卷）试题第1页（共4页） 6.已知例函数/：)在<0时的解析式为了飞x)=x+2(-2x)+2则了(：)其中的 一个零点所在的区间为 A.(3,4) B.(2,3) C.(1,2) D.(0,1) 7.设a=25,b=1og:3,c=1og,6,则 A.a<b<c B.a<c<6 C.c<b<a D.c<a<b 8.已知偶函数∫(x)满足∫(x+1)一1是奇函数，且当0<x<1时，f(x)=2一4x一3， 则2到 A- B号 c-号 n号 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题 目要求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。 9.已知集合A={x12<x<4},B=《x||x一2|<2}，则下列正确的有 A.3∈A B.B=(tI0<t<4) C.A≤B D.AUCB=R 10.已知正数a,b满足a十2b=4,则下列正确的有 A.2a+3b>8 B.abi<4 C.8a2+8b>15 D.ab*<46 11.已知函数∫(x)=4一3a·2十a,a为实数，则下列正确的有 Af-18,3)=号 B.当a<0时，f(x)是增函数 C.存在a,使得f(x)是偶函数 D.当a∈o.)时，x)>0 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12.设函数f(x)=4一ax一1，a为实数，曲线y=∫(x)的图象所过定点的坐标 为」 13.loga-(7+43)= 1对于正数xy若[e+n()+门子则y= 数学（人散B卷）试题第2页（共4页） 四、解答题：本题共5小题，共T7分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15.(13分) 已知函数f(x)=ln(x2+ax-a),a∈R (1)若∫(x)的定义域为R,求a的取值范围： (2)解不等式：f(x)>lnx. 16.(15分) 已知m为实数，集合A=(x|2<x<2m-3》,B=(x|m<x<8). (1)当m=4时，求AUB: (2)证明：当m∈(-∞，3]U[8,+∞)时，A∩B=☑. 17.(15分) 如图，在一块边长为2的正方形木块ABCD中，分别在线段AD,CD上设置动滑轮 M,N,MN=2.记DM=x,△BMN的面积为S(x). (1)求S(x)的解析式： (2)求S(x)的最大值： (3)求DM+DN的最大值 数学（人数B卷）试题第3页（共4页） 18.(17分) 已知函数∫(x)=ax十br十1，a,b均为实数. (1)当b=一a时， (1)若a=1,求f(2)的值： (1)若∫(x)≥x恒成立，求a的值 ②若a*0,且x≥+1恒度立，证明-a士/e2a+ 装 订 19.(17分) 已知均定义在R上的奇函数f(x)与偶函数g(x)满足f(x)十g(x)=4'. (1)求∫(x)与g(x)的解析式， (2)用定义法证明：g(x)在(0，十∞)上单调递增： (3)证明：存在实数k,使得∫(2x)=kf(x)g(x),并解不等式：2f(2x)>3g(x). 考生注意清点试卷有无漏印或缺页，若有要及时更换，否则责任自负 线 数学（人教B卷）试题第4页（共4页）秘密★启用前 2028届普通高等学校招生全国统一考试 青桐鸣大联考（高一） 数学（人教B卷） 本 试 注意事项： 卷 Q 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、班级、考场号、座位号、考生号填写在答题卡上。 由 2.回答选择题时，选出每小题答素后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。 各 如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡 市 上。写在本试卷上无效。 装 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 地 县 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项 区 是符合题目要求的。 1.集合A={x|x2一6x十9=0}的非空子集的个数为 考 A.1 B.2 C.3 D.4 学 2.已知x为实数，设甲：3>3：乙：(x+3)(x一4)>0，则 校 A.甲是乙的充分不必要条件 O 留 B.甲是乙的必要不充分条件 存 C.甲是乙的充要条件 准考证号 D.甲是乙的既不充分也不必要条件 [f(x+1),x≤0， 3.已知函数f(x)= 若f(-2026)=a-2,a>0,则a= ax+In>0, 姓 名 A.1 B.2 C.3 D.4 4.已知幂函数∫(x)=(m一1)x-2,m为实数，则f(2)= A.2 B.16 C.8 D.4 ax+2026,x<0, 5.已知函数f(x)= 是奇函数，a,b均为实数，则a十b= 2026x+b,x>0 A.-2026 B.0 C.2026 D.4052 数学（人教B卷）试题第1页（共4页） 6.巳知闯函数了x在<0时的解折式为了x)=x+2(-2x)十2则了：)其中的 一个零点所在的区间为 A.(3,4) B.(2,3) C.（1,2) D.(0,1) 7.设a=2.5,b=log3,c=log,6,则 A.a<b<c B.a<c<6 C.c<b<a D.c<a<6 8.已知偶函数∫(x)满足∫(x+1)一1是奇函数，且当0<x<1时，f(x)=2一4x一3， 则/2）= A-号 B号 c-号 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题 目要求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。 9.已知集合A=(x|2<x<4},B=(x||x一2<2}，则下列正确的有 A.3∈A B.B={t10<t<4) C.A三B D.AU CB=R 10.已知正数a,b满足a十2b=4,则下列正确的有 A.2a+3b>8 B.abi<4 C.8a2+8b>15 D.ab<46 11.已知函数f(x)=4一3a·2十a,a为实数，则下列正确的有 Af-lo:3)=日 B.当a<0时，f(x)是增函数 C.存在a,使得f(x)是偶函数 D.当a∈6，)时，f(x)>0 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12.设函数f(x)=4一ax一1，a为实数，曲线y=∫(x)的图象所过定点的坐标 为 13.log2-,(7+43)= 14.对于正数xy若[e+n(xy)+y]-号则xy= 数学（人数B卷）试题第2页（共4页） 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15.(13分) 已知函数∫(x)=ln(x2+ax-a),a∈R (1)若∫(x)的定义域为R,求a的取值范围； (2)解不等式：f(x)>lnx. 16.(15分) 已知m为实数，集合A=(x|2<x<2m-3},B={x|m<x<8). (1)当m=4时，求AUB: (2)证明：当m∈(-∞，3]U[8,+∞)时，A∩B=☑. 17.(15分) 如图，在一块边长为2的正方形木块ABCD中，分别在线段AD,CD上设置动滑轮 M,N,MN=2.记DM=x,△BMN的面积为S(x). (1)求S(x)的解析式： (2)求S(x)的最大值； (3)求DM+DN的最大值， 数学（人救B卷）试题第3页（共4页） 18.(17分) 已知函数∫(x)=ax十bx十1，a,b均为实数. (1)当b=-a时， (1)若a=1,求∫(2)的值： (1)若∫(x)≥x恒成立，求a的值. 2若a*0,且x≥+1恒成立，证明：(-如法ka2a+ 装 订 19.(17分) 已知均定义在R上的奇函数f(x)与偶函数g(x)满足f(x)十g(x)=4. (1)求f(x)与g(x)的解析式； (2)用定义法证明：g(x)在(0，十∞)上单调递增： 考生注意清点试卷有无漏印或缺页，若有要及时更换， (3)证明：存在实数k,使得∫(2x)=kf(x)g(x),并解不等式：2f(2x)>3g(x). 线 否则资任自负。 数学（人散B卷）试题第4页（共4页）2028届普通高等学校招生全国统一考试 青桐鸣大联考（高一） 数学（人教B卷）评分细则 12.(0,0) 故S(x)=4-(2-x)-(2-√4-x2)- 13.-2 14.1 合xv-7=x+v7-名xV4-(0< 15.解：(1)由条件可知x2+ax-a>0恒成立， x≤2) (6分) (2分) (2)设t=x十√/4-x2,注意到t2=4+ 于是△=a2+4a<0, (4分) 1 解得-4<a<0, 2x4-2,故分x4-7-4 4， (8分) 故a的取值范围为（一4,0）. (5分) 故S(x)=t- 4一4十t+1=1 4 41-2)2+ (2)由y=lnx是增函数，可得x2十ax-a>x> 2≤2，当t=2,即x=0或2时，等号成立. 0. (6分) 故S(x)的最大值为2. (11分) 即x2+(a-1)x-a>0,， 得(x+a)(x-1)>0, (7分) (3)由(2)知t2=4+2x√4-x≤4+x2+4 当a≥0时，x十a>0,此时解集为{x|x>1. x2=8, (13分) (8分) 知t≤2√2，当且仅当x=√2时，等号成立 当a∈(-1,0)时，(x+a)(x-1)>0的解集为 于是DM+DN=t≤2√2，知DM+DN的最大 {xlx<-a或x>l},可得解集为{x0<x<-a 值为2√2， (15分) 或x>1}. (10分) 18.解：(1)(i)f(x)=a.x2-ax+1,a=1时，f(x)= 当a=-1时，(x十a)(x-1)>0,可得解集为 x2-x+1, (2分) {x0<x<1或x>1}. (11分) f(2)=4-2+1=3. (3分) 当a<-1时，(x十a)(x-1)>0,可得解集为 (ii)记g(x)=f(x)-x=ax2-(a+1)x+1≥ {x|0<x<1或x>-a}. (13分) 0, (5分) 16.解：(1)此时A={x|2<x<5}, (2分) 当a=0时，取x=2可得-2+1<0，矛盾.(6分) B={x|4<x<8}, (4分) 故由 二次函数恒成立得 可得AUB={x|2<x<8}. (6分) a>0, (2)证明：当2m-3≤2，即m≤号时，A=乙，An 解得a=1,经 4=(a十1)2-4a=(a-1)2≤0， 验证知其成立.故a=l. (9分) B=0. (9分) (2)证明：由f(x)≥x十1得ax2+(b-1)x≥0， 当m≥8时，B=☑，A∩B=⑦， (12分) a>0, a>0, 当2<8m-3≤m,即号<m<3时，AnB=⑦ 由 得 (11分) (b-1)2-0≤0，b=1, 成立， 于是f(x)=ax2+x十1，其对称轴为x=一2a； 综合所述，原命题得证， (15分) 17.解：(1)由勾股定理得DN=√MN-DM= 面f(如)=f(品-2)=f(-品+ √4-x2, (2分) 2a), (13分) 于是AM=2-x, (3分) CN=2-√4-x2, (4分) 易知f(x)在（一a十∞）上单调递增，放2a≤ ·数学（人教B卷）评分细则 (第1页，共2页)· 。2+1<a+1+日 (14分) 又因为x1<x2,所以41-4<0，故g(x1) g(x2)<0,即g(x1)<g(x2). (10分) +2a<a3+1+122a+2a+1, 即一2a 故g(x)在(0，十∞)上单调递增 (11分) a 2a 2a (16分) (3)证明：f(2x)=4-42 2—,f(x)g(x)= 结合单调性可得(“法）=+2a水 )×)-4 4 a (17分) 42x-4-2红 4 19.解：(1)由于在R上的奇函数f(x)与偶函数 g(x)满足f(x)十g(x)=4,将x替换为-x可 则f2x)=2·14一=2f(z)g(x),故存在 得f(-x)十g(-x)=4,又f(-x)= 实数k=2满足题意. (13分) 一f(x),g(-x)=g(x),代入得-f(x)+g(x)= 将f(2x)=2f(x)g(x)代人不等式，有2· 42. (3分) [2f(x)g(x)]>3g(x),即g(x)[4f(x)-3]>0. f(x)+g(x)=4, 因为对于任意实数x,4>0且4>0，所以 联立方程组 -f(x)+g(x)=4x, 解得g(x)= g(x)=45+4 2,fx)=45-4 4+4x 2>0. 2· 不等式两边同时除以g(x),得4f(x)一3>0，故 综上，f(x)=4-4 2， (4分) 原不等式等价于)>可“一是 8(x)=4十4* (15分) 2· (5分) (2)证明：不妨设x1,x2∈(0，十∞)，且x1<x2: 令4=>0，则=}，不等式等价于1-> gx,)g(x)=2[4-)+(45-4门 ,且2>0，故等价于22-2>3t,即(21+1)(1 3 [-)+哈]--)× 2)>0, (16分) 易知2t+1>0,则只需t-2>0, 1), (8分) 即>2，也即4>2,2*>2，解得> 因为x1,x2∈(0，+∞)，所以x1十x2>0,则 所以不等式的解袋为女>》 (17分) 1故10 4+>1,即0<1 (9分) ·数学（人教B卷）评分细则（第2页，共2页）·秘密★启用前 2028届普通高等学校招生全国统一考试 青桐鸣大联考（高一） 数学（人教B卷） 本 试 注意事项： 卷 Q 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、班级、考场号、座位号、考生号填写在答题卡上。 由 2.回答选择题时，选出每小题答素后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。 各 如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡 市 上。写在本试卷上无效。 装 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 地 县 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项 区 是符合题目要求的。 1.集合A={x|x2一6x十9=0}的非空子集的个数为 考 A.1 B.2 C.3 D.4 学 2.已知x为实数，设甲：3>3：乙：(x+3)(x一4)>0，则 校 A.甲是乙的充分不必要条件 O 留 B.甲是乙的必要不充分条件 存 C.甲是乙的充要条件 准考证号 D.甲是乙的既不充分也不必要条件 [f(x+1),x≤0， 3.已知函数f(x)= 若f(-2026)=a-2,a>0,则a= ax+In>0, 姓 名 A.1 B.2 C.3 D.4 4.已知幂函数∫(x)=(m一1)x-2,m为实数，则f(2)= A.2 B.16 C.8 D.4 ax+2026,x<0, 5.已知函数f(x)= 是奇函数，a,b均为实数，则a十b= 2026x+b,x>0 A.-2026 B.0 C.2026 D.4052 数学（人教B卷）试题第1页（共4页） 6.巳知闯函数了x在<0时的解折式为了x)=x+2(-2x)十2则了：)其中的 一个零点所在的区间为 A.(3,4) B.(2,3) C.（1,2) D.(0,1) 7.设a=2.5,b=log3,c=log,6,则 A.a<b<c B.a<c<6 C.c<b<a D.c<a<6 8.已知偶函数∫(x)满足∫(x+1)一1是奇函数，且当0<x<1时，f(x)=2一4x一3， 则/2）= A-号 B号 c-号 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题 目要求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。 9.已知集合A=(x|2<x<4},B=(x||x一2<2}，则下列正确的有 A.3∈A B.B={t10<t<4) C.A三B D.AU CB=R 10.已知正数a,b满足a十2b=4,则下列正确的有 A.2a+3b>8 B.abi<4 C.8a2+8b>15 D.ab<46 11.已知函数f(x)=4一3a·2十a,a为实数，则下列正确的有 Af-lo:3)=日 B.当a<0时，f(x)是增函数 C.存在a,使得f(x)是偶函数 D.当a∈6，)时，f(x)>0 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12.设函数f(x)=4一ax一1，a为实数，曲线y=∫(x)的图象所过定点的坐标 为 13.log2-,(7+43)= 14.对于正数xy若[e+n(xy)+y]-号则xy= 数学（人数B卷）试题第2页（共4页） 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15.(13分) 已知函数∫(x)=ln(x2+ax-a),a∈R (1)若∫(x)的定义域为R,求a的取值范围； (2)解不等式：f(x)>lnx. 16.(15分) 已知m为实数，集合A=(x|2<x<2m-3},B={x|m<x<8). (1)当m=4时，求AUB: (2)证明：当m∈(-∞，3]U[8,+∞)时，A∩B=☑. 17.(15分) 如图，在一块边长为2的正方形木块ABCD中，分别在线段AD,CD上设置动滑轮 M,N,MN=2.记DM=x,△BMN的面积为S(x). (1)求S(x)的解析式： (2)求S(x)的最大值； (3)求DM+DN的最大值， 数学（人救B卷）试题第3页（共4页） 18.(17分) 已知函数∫(x)=ax十bx十1，a,b均为实数. (1)当b=-a时， (1)若a=1,求∫(2)的值： (1)若∫(x)≥x恒成立，求a的值. 2若a*0,且x≥+1恒成立，证明：(-如法ka2a+ 装 订 19.(17分) 已知均定义在R上的奇函数f(x)与偶函数g(x)满足f(x)十g(x)=4. (1)求f(x)与g(x)的解析式； (2)用定义法证明：g(x)在(0，十∞)上单调递增： 考生注意清点试卷有无漏印或缺页，若有要及时更换， (3)证明：存在实数k,使得∫(2x)=kf(x)g(x),并解不等式：2f(2x)>3g(x). 线 否则资任自负。 数学（人散B卷）试题第4页（共4页） 2028届普通高等学校招生全国统一考试 青桐鸣大联考（高一） 数学（人教B卷）参考答案 1.A【解析】由x2-6x+9=0得x=3,于是A= {3},其非空子集的个数为21一1=1. -g2+)=gx,于是g292）=g(4×169 故选A. 子)=g(-号)=g(号)=f(号)-1=2-4× 2.B【解析】由3>3解得x>1或x<-1,由(x+ 3)(x-4)>0解得x>4或x<-3,故甲是乙的必 号-3-1=-号故r(22)=22）+1= 要不充分条件 故选B. 3.B【解析】注意到f(-2026)=f(-2025)=…= 故选A. f(0)-f(1)=a,由a2-a-2=0得a--1或 9.ABC 【解析】对于A,由2<3<4可知3∈A,故A a=2,由a>0得a=2. 正确； 故选B. 对于B,由x-2<2得0<x<4,于是B={x10< 4.D【解析】由条件知m-1=1,得m=2,于是 x<4}={t0<t<4},故B正确； f(x)=x2,故f(2)=4. 对于C,由A∩B={x|2<x<4}=A,得A二B, 故选D. 故C正确； 5.B【解析】不妨设t>0,由奇函数的性质可知f(t)+ 对于D,CRB={x|x≤0或x≥4}，AUCRB= f(-t)=0,即a(-t)+2026+2026t+b=0,于 {x|x≤0或x>2}≠R,故D错误. 6 易知a十b=0. 故选ABC. 10.BC【解析】对于A,8=2a+4b>2a+3b,故A 故选B. 错误； 6.C【解析】x>0时，f(x)=f(-x)=x2十 对于B,由基本不等式得4≥2w2ab,可得ab≤2， 21n2z-9,显然其在(0，十∞)上单调递增.注意 当且仅当a=2b=2时，取等号.而4=a十2b> 到f(1)=1+2ln2-9=21n2-8<0,f(2)=4+ 2b,b<2,于是ab2<4,故B正确； 2h4-号=2n4-号>0，可得了(x)其中的一个 1小 对于c,a2+6=公+4g0=a-++沿 零点所在的区间为(1,2). a-)+船8-日于是8a+86>15,放C 故选C. 7B【解析I注意到c=bg6-号（o3+1og,2) 正确； 对于D,取a=3,6=2,则6=3·（）广=6 合1e3+}<号3+ 1 21og23=6,而c- ()】广>4()‘=46，放D错误 og3+>2lg2+-c>882= 256 故选BC. a4,即c>a,故a<c<b. 11.ABD 【解析】对于A,∫(-log23)=213- 故选B. 3a·2le3十a= 8.A【解析】设g(x)=f(x)一1，显然g(x)= 9,故A正确； g(-x),由g（x+1)是奇函数，知g(2十x)十 对于B,此时y=4:十a是增函数，y=一3a·2 g(-x)-0,于是g(2+x)=-g(x),g(4十x)= 是增函数，故f(x)是增函数，故B正确； ·数学（人教B卷）答案（第1页，共3页）· f(1)=f(一1)， 当a=-1时，(x+a)(x-1)>0,可得解集为 对于C,若f(x)是偶函数，则 可 f(2)=f(-2), {x|0<x<1或x>1} (11分) 4-5a= 1 a 5 当a<-1时，(x+a)(x-1)>0,可得解集为 42 a 6 得 解得 显然二者不 {x|0<x<1或x>-a}. (13分) 17 16-11a= 1a a=12' 16.解：(1)此时A-{x|2<x<5}, (2分) 164 B={x|4<x<8}, (4分) 能同时满足，故C错误； 可得AUB={x|2<x<8. (6分) 对于D,设t=2,当a∈(o,号)时，f(x)=2 (2)证明：当2m-3<2,即m≤8时，A=②，An 3au+a=-g)+a-a2≥a- 9 9 a2 B=⑦. (9分) a(传-a)小>0，放D正确， 当m≥8时，B=☑，A∩B=☑， (12分) 2m-3≤m,即？<m≤3时，A∩B 故选ABD 12.(0,0)【解析】由ax=0得x=0,而f(0)=0,故 成立， (15分) 所过定点的坐标为(0,0). 综合所述，原命题得证 13.-2【解析】注意到7十4√5=(2+√3)2= 17.解：(1)由勾股定理得DN=√MN2-DM= (2+3)2(2-√3)2_1 √4-x2, (2分) (2-√3)2 (2-3),故10ge-6(7+ 于是AM=2-x, (3分) 4V3)=loga-m(2-√3)2=-2. CN=2-√4-x2, (4分) 14.1【解析】易知e=e十lnx十1ny十y-】 故S(x)=4-(2-x)-(2-√4-x2)- 1 2v4-2=x+4-7-xv4-2(0< =e十 y x≤2). (6分) n}-士，显然函数f)-e-1e一是增函 (2)设t=x十√4-x2,注意到t2=4十 2 2-,做g--八， (8分) 故sx)=t-4 -++1=--2)+ t2-4_t2 15.解：(1)由条件可知x2+ax-a>0恒成立， 2≤2，当t=2,即x=0或2时，等号成立. (2分) 故S(x)的最大值为2. (11分) 于是△=a2+4a<0, (4分) 解得-4<a<0, (3)由(2)知t2=4+2x√4-x2≤4+x2+4- 故a的取值范围为(-4,0). (5分) x2=8, (13分) (2)由y=lnx是增函数，可得x2十ax-a>x> 知t≤2√2，当且仅当x=√2时，等号成立. 0. (6分) 于是DM十DN=t≤2√2，知DM+DN的最大 即x2+(a-1)x-a>0, 值为2√2. (15分) 得(x+a)(x-1)>0, (7分) 18.解：(1)(i)f(x)=ax2-ax+1,a=1时，f(x)= 当a≥0时，x十a>0,此时解集为{x|x>1}. x2-x+1, (2分) (8分) f(2)=4-2+1=3. (3分) 当a∈(-1,0)时，(x十a)(x-1)>0的解集为 (i)记g(x)=f(x)-x=ax2-(a+1)x+1≥ {x|x<-a或x>l},可得解集为{xl0<x<-a 0, (5分) 或x>1}. (10分) 当a-0时，取x=2可得-2+1<0，矛盾.(6分) ·数学（人教B卷）答案（第2页，共3页）· 故由二次函数恒成立得 a>0, [)+(--)× 解得a=1,经 l△=(a+1)2-4a=(a-1)2≤0， (8分) 验证知其成立.故a=l. (9分) (2)证明：由f(x)≥x+1得a.x2十(b-1)x≥0， 因为x1,x2∈(0，+∞)，所以x1十x2>0,则 a>0, a>0, 由 得 (11分) 4+>1,即0<1 +9<1,故1-1 (6-1)2-0≤0，b=1, 4+g>0. (9分) 于是f(x)=ax2十x十1，其对称轴为x=一2a' 1 又因为x1<x2,所以41-4<0，故g(x1)- 面1(“）=1(02a=(-六+ g(x2)<0,即g(x1)<g(x2). (10分) 故g(x)在(0，十∞)上单调递增 (11分) 2a), (13分) 3)证明：f2)=2,f)g) 424-4-2x 易知f()在(-2石，+)上单调递墙，故2a≤ )×）=44 4 a2+1<a2+1+a, 1 (14分) 42x-42x 4 即-a+2a<a+1+22a2a+1, a 2a 2a 则/2)-2.=2eR,放存在 (16分) 实数k=2满足题意. (13分) 结合单调性可得f(法-f+2) 将f(2x)=2f(x)g(x)代入不等式，有2· f2a3+2a+1 [2f(x)g(x)]>3g(x),即g(x)[4f(x)-3]>0. 2a (17分) 因为对于任意实数x,4>0且4>0，所以 19.解：(1)由于在R上的奇函数f(x)与偶函数 g(x)= 42十4 g(x)满足f(x)十g(x)=4,将x替换为-x可 2 ->0. 得f(-x)+g(-x)=4,又f(-x)= 不等式两边同时除以g(x),得4f(x)一3>0，故 一f(x),g(-x)=g(x),代入得-f(x)十g(x)= 原不等式等价于✉八即” 4 4-*. (3分) (15分) 联立方程组 f(x)+g(x)=4, 解得g(x)= -f(x)+g(x)=4, 令t=4>0,则4：= ,不等式等价于1一> 2,f(x)=4-4 4+4x 3 2· ,且21>0，故等价于22-2>3，即(21+1)(1 综上，f(x)=4-4 2)>0, (16分) 2 (4分) 易知2t+1>0,则只需t一2>0， 8(x)=+4 2 (5分) 即>2，也即4>2,22>2，解得x> 2 (2)证明：不妨设x1,x2∈(0，十∞)，且x1<x2: ga)ga）)-2[4n-4)+41-4]- 所以不等式的解集为>》。 (17分) ·数学（人教B卷）答案（第3页，共3页）· 2028届普通高等学校招生全国统一考试 青桐鸣大联考（高一） 数学（人教B卷）评分细则 12.(0,0) 故S(x)=4-(2-x)-(2-√4-x2)- 13.-2 14.1 合xv-7=x+v7-名xV4-(0< 15.解：(1)由条件可知x2+ax-a>0恒成立， x≤2) (6分) (2分) (2)设t=x十√/4-x2,注意到t2=4+ 于是△=a2+4a<0, (4分) 1 解得-4<a<0, 2x4-2,故分x4-7-4 4， (8分) 故a的取值范围为（一4,0）. (5分) 故S(x)=t- 4一4十t+1=1 4 41-2)2+ (2)由y=lnx是增函数，可得x2十ax-a>x> 2≤2，当t=2,即x=0或2时，等号成立. 0. (6分) 故S(x)的最大值为2. (11分) 即x2+(a-1)x-a>0,， 得(x+a)(x-1)>0, (7分) (3)由(2)知t2=4+2x√4-x≤4+x2+4 当a≥0时，x十a>0,此时解集为{x|x>1. x2=8, (13分) (8分) 知t≤2√2，当且仅当x=√2时，等号成立 当a∈(-1,0)时，(x+a)(x-1)>0的解集为 于是DM+DN=t≤2√2，知DM+DN的最大 {xlx<-a或x>l},可得解集为{x0<x<-a 值为2√2， (15分) 或x>1}. (10分) 18.解：(1)(i)f(x)=a.x2-ax+1,a=1时，f(x)= 当a=-1时，(x十a)(x-1)>0,可得解集为 x2-x+1, (2分) {x0<x<1或x>1}. (11分) f(2)=4-2+1=3. (3分) 当a<-1时，(x十a)(x-1)>0,可得解集为 (ii)记g(x)=f(x)-x=ax2-(a+1)x+1≥ {x|0<x<1或x>-a}. (13分) 0, (5分) 16.解：(1)此时A={x|2<x<5}, (2分) 当a=0时，取x=2可得-2+1<0，矛盾.(6分) B={x|4<x<8}, (4分) 故由 二次函数恒成立得 可得AUB={x|2<x<8}. (6分) a>0, (2)证明：当2m-3≤2，即m≤号时，A=乙，An 解得a=1,经 4=(a十1)2-4a=(a-1)2≤0， 验证知其成立.故a=l. (9分) B=0. (9分) (2)证明：由f(x)≥x十1得ax2+(b-1)x≥0， 当m≥8时，B=☑，A∩B=⑦， (12分) a>0, a>0, 当2<8m-3≤m,即号<m<3时，AnB=⑦ 由 得 (11分) (b-1)2-0≤0，b=1, 成立， 于是f(x)=ax2+x十1，其对称轴为x=一2a； 综合所述，原命题得证， (15分) 17.解：(1)由勾股定理得DN=√MN-DM= 面f(如)=f(品-2)=f(-品+ √4-x2, (2分) 2a), (13分) 于是AM=2-x, (3分) CN=2-√4-x2, (4分) 易知f(x)在（一a十∞）上单调递增，放2a≤ ·数学（人教B卷）评分细则 (第1页，共2页)· 。2+1<a+1+日 (14分) 又因为x1<x2,所以41-4<0，故g(x1) g(x2)<0,即g(x1)<g(x2). (10分) +2a<a3+1+122a+2a+1, 即一2a 故g(x)在(0，十∞)上单调递增 (11分) a 2a 2a (16分) (3)证明：f(2x)=4-42 2—,f(x)g(x)= 结合单调性可得(“法）=+2a水 )×)-4 4 a (17分) 42x-4-2红 4 19.解：(1)由于在R上的奇函数f(x)与偶函数 g(x)满足f(x)十g(x)=4,将x替换为-x可 则f2x)=2·14一=2f(z)g(x),故存在 得f(-x)十g(-x)=4,又f(-x)= 实数k=2满足题意. (13分) 一f(x),g(-x)=g(x),代入得-f(x)+g(x)= 将f(2x)=2f(x)g(x)代人不等式，有2· 42. (3分) [2f(x)g(x)]>3g(x),即g(x)[4f(x)-3]>0. f(x)+g(x)=4, 因为对于任意实数x,4>0且4>0，所以 联立方程组 -f(x)+g(x)=4x, 解得g(x)= g(x)=45+4 2,fx)=45-4 4+4x 2>0. 2· 不等式两边同时除以g(x),得4f(x)一3>0，故 综上，f(x)=4-4 2， (4分) 原不等式等价于)>可“一是 8(x)=4十4* (15分) 2· (5分) (2)证明：不妨设x1,x2∈(0，十∞)，且x1<x2: 令4=>0，则=}，不等式等价于1-> gx,)g(x)=2[4-)+(45-4门 ,且2>0，故等价于22-2>3t,即(21+1)(1 3 [-)+哈]--)× 2)>0, (16分) 易知2t+1>0,则只需t-2>0, 1), (8分) 即>2，也即4>2,2*>2，解得> 因为x1,x2∈(0，+∞)，所以x1十x2>0,则 所以不等式的解袋为女>》 (17分) 1故10 4+>1,即0<1 (9分) ·数学（人教B卷）评分细则（第2页，共2页）·