精品解析：江苏省泗阳中学2026届高三上学期数学期末模拟（一）

高三数学上学期期末模拟（一） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知复数满足，其中为虚数单位，则的虚部为（ ） A. B. C. 1 D. 2. 已知，，若，则（ ） A. B. C. D. 3. 某正四棱锥的底面边长为2，侧棱与底面的夹角为60°，则该正四棱锥的体积为（ ） A. B. C. D. 4. 在某个时期，某湖泊中的蓝藻每天以的增长率呈指数增长.若增长为原来的倍经过了4天，则增长为原来的2倍需要经过的天数约为（ ） （参考数据：） A. 6 B. 12 C. 16 D. 20 5. 若，，，则（ ） A. B. C. D. 6. “，为正数”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 7. 若对任意实数，函数在上至少有五个不同的零点，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 8. 函数为偶函数，且满足对均有，对满足，则实数的取值范围为（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知表示向量，表示向量，向量，，O为坐标原点，则下列结论正确的是（ ） A. 若向量与垂直，则实数t值为－1 B. 已知点，若三点共线，则实数值为－2 C. 在方向上的投影向量的模为 D. 若，与的夹角为钝角，则实数m的取值范围是 10. 如图，函数（，，）在一个周期内的图象，则下列说法正确的是（ ） A. 函数的值域为 B. 函数的对称轴方程为 C. 是函数图象的一个对称中心 D. 函数的减区间是 11. 在正六棱锥中，已知底面边长为1，侧棱长为2，则（ ） A B. 共有4条棱所在的直线与AB是异面直线 C. 该正六棱锥的内切球的半径为 D. 该正六棱锥的外接球的表面积为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知点C在以为直径的圆上，点D为的中点，若，，则的值为______. 13. 已知函数，若的值域为，则实数的最小值为______. 14. 已知点为的外心，且向量，，若向量在向量上的投影向量为，则的值为______. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 在平行四边形中，，分别为的中点，点在线段上运动 （1）当为中点时，设，求的值； （2）若，求的取值范围. 16. 已知复数，，其中为虚数单位，. （1）若是实数，求的值； （2）设复数，对应的向量分别是，，若，求的值. 17. 如图，三棱柱的底面是边长为2的等边三角形，D为AC的中点，，侧面底面 （1）证明：； （2）当时，求平面与平面的夹角的余弦值. 18. 在中，，，，点D在边上，为的平分线. （1）求的长； （2）若点P为线段上一点，且为等腰三角形，求的值. 19. 已知函数，. （1）若函数过点，求函数在点的切线方程； （2）若函数在上为单调递增函数，求取值范围； （3）设，求证：. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 高三数学上学期期末模拟（一） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知复数满足，其中为虚数单位，则的虚部为（ ） A. B. C. 1 D. 【答案】C 【解析】 【分析】先由复数的模长公式计算出，再根据复数的除法运算，化简即可得出答案. 【详解】因为， 所以， 所以， 所以的虚部为， 故选：C. 2. 已知，，若，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用向量线性运算的坐标表示求出和，再由向量共线的坐标表示列方程求解. 【详解】由，，得，， 若，则，解得. 故选：B. 3. 某正四棱锥的底面边长为2，侧棱与底面的夹角为60°，则该正四棱锥的体积为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用线面角求出正四棱锥的高，再利用其体积. 【详解】在正四棱锥中，令，连接，平面， 则，由，得， 所以该正四棱锥的体积为. 故选：A. 4. 在某个时期，某湖泊中的蓝藻每天以的增长率呈指数增长.若增长为原来的倍经过了4天，则增长为原来的2倍需要经过的天数约为（ ） （参考数据：） A. 6 B. 12 C. 16 D. 20 【答案】B 【解析】 【分析】根据已知可得，进而可得，利用指对数关系、对数的运算性质、换底公式求n即可. 【详解】若原来蓝藻数量为，则，可得， 令经过天后蓝藻增长为原来的2倍，则，即， 可得天. 故选：B 5. 若，，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】将两个等式平方相加，结合同角三角函数的平方关系式和和差角公式可得，然后结合角的范围可得答案. 【详解】由两边平方可得①， 由两边平方可得②， ①+②得：， 整理得，即， 又因为，所以. 故选：A 6. “，为正数”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】D 【解析】 【分析】 通过举反例可得答案. 【详解】当时，，故“，为正数”是“”的不充分条件 当时，满足，但不满足，为正数，故“，为正数”是“”的不必要条件 综上：“，为正数”是“”的既不充分也不必要条件 故选：D 【点睛】本题考查的是充分条件和必要条件的判断，较简单. 7. 若对任意实数，函数在上至少有五个不同的零点，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】确定函数最小正周期，根据题意列出相应不等式，即可求得答案. 【详解】函数的最小正周期为， 由于函数在上至少有五个不同的零点， 故需满足，即， 即的最小值为， 故选：B 8. 函数为偶函数，且满足对均有，对满足，则实数的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】先分析函数的单调性，根据函数单调性把函数不等式转化为代数不等式，再根据分离参数求最值，即可得出实数的取值范围. 【详解】因为函数满足：对均有，所以在上单调递增， 又函数为偶函数，所以在上单调递减， 所以不等式可化为，恒成立， 所以，，即，， 由，，， 由，，， 综上，. 故选：A 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知表示向量，表示向量，向量，，O为坐标原点，则下列结论正确的是（ ） A. 若向量与垂直，则实数t的值为－1 B. 已知点，若三点共线，则实数的值为－2 C. 在方向上的投影向量的模为 D. 若，与的夹角为钝角，则实数m的取值范围是 【答案】AC 【解析】 【分析】对于选项A，利用向量垂直的坐标运算，即可求出，从而判断出选项A正确；对于选项B，三点共线转化成共线，再利用向量共线的坐标运算可求出，从而判断出选项的正误；对于选项C，利用投影向量的定义，直接求出在方向上的投影向量，从而求出模长，判断出结果的正误；对于选项D，利用数量积的定义和条件，得到，求出，再去掉共线反向时的取值，得出的范围，从而判断出选项的正误. 【详解】选项A，因为，，所以，又向量与垂直，所以，得到，所以选项A正确； 选项B，因为，，所以，又因为三点共线，所以，得到，所以选项B错误； 选项C，因为在方向上的投影向量为，模长为，所以选项C正确； 选项D，因为，，由，得到，即， 又由，得到，此时，与共线反向， 故，与的夹角为，所以与的夹角为钝角，则实数m的取值范围是， 选项D错误. 故选：AC. 10. 如图，函数（，，）在一个周期内的图象，则下列说法正确的是（ ） A. 函数的值域为 B. 函数的对称轴方程为 C. 是函数图象的一个对称中心 D. 函数的减区间是 【答案】ABD 【解析】 【分析】由图易知,,可得，再将点代入可得，再由正弦曲线的值域、对称轴、对称中心、单调递减区间，求出的值域、对称轴、对称中心、单调递减区间即可. 【详解】由图可知,, 所以， 所以， 将点代入得：， 所以， 又， 所以， 所以， 所以函数的值域为，故A正确； 因为的对称轴为, 令 所以函数的对称轴方程为，故B正确； 因为的对称中心为, 令 所以不是函数图象的一个对称中心，故C错误； 因为的单调递减区间为, 令 函数的减区间是，故D正确. 故选：ABD. 11. 在正六棱锥中，已知底面边长为1，侧棱长为2，则（ ） A. B. 共有4条棱所在的直线与AB是异面直线 C. 该正六棱锥的内切球的半径为 D. 该正六棱锥的外接球的表面积为 【答案】BCD 【解析】 【分析】设底面中心为，则平面，假设，则推出判断A；根据异面直线的定义判断B；根据等体积法求解内切圆半径判断C；直接计算外接圆的半径求解判断D. 【详解】解：设底面中心为，则在正六棱锥中，平面， 对于A选项，若，则平面，则，即矛盾，错误. 对于B选项，与异面，B正确. 对于C， 设内切圆半径为，取中点，. 故在中，， ∴由等体积法得，解得故C正确； 对于D选项，设外接球半径为，则， 所以，D正确. 故选：BCD. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知点C在以为直径的圆上，点D为的中点，若，，则的值为______. 【答案】 【解析】 【分析】利用数量积的运算律及向量间的线性关系得，结合已知求值即可. 【详解】由， 由题意且，则. 故答案为： 13. 已知函数，若的值域为，则实数的最小值为______. 【答案】 【解析】 【分析】根据给定条件，利用对数函数的图象性质，可得二次函数值域包含正实数集，进而列式求解. 【详解】由函数的值域为，得的值域包含， 当时，显然不满足题意，故， 则函数，图象开口向上，且与轴有公共点， 于是，解得，所以实数的最小值为. 故答案为： 14. 已知点为的外心，且向量，，若向量在向量上的投影向量为，则的值为______. 【答案】 【解析】 【分析】由题可得，从而得到为直角三角形，由投影向量的概念求解. 【详解】因为， 所以，即， 所以在上， 又因为点为的外心， 所以的外接圆以为圆心，为直径， 所以为直角三角形，且，为中点， 因为向量在向量上的投影向量为， 所以，即， 又，所以 由于为锐角，所以 故答案为： 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 在平行四边形中，，分别为的中点，点在线段上运动 （1）当为中点时，设，求的值； （2）若，求的取值范围. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据平面向量基本定理得到，求出，得到答案； （2）表达出，设，， 表达出，并求出，从而求出，结合，求出取值范围. 【小问1详解】 当为中点时，， 又分别为的中点，所以， 所以， 故，； 【小问2详解】 为的中点，故， 点在线段上运动，设，， 故，即 ， 因为，，所以， 则 ， 因为，所以. 16. 已知复数，，其中为虚数单位，. （1）若是实数，求的值； （2）设复数，对应的向量分别是，，若，求的值. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）利用复数的乘法运算结合三角恒等变换计算即可； （2）利用复数与向量的对应关系结合向量的数量积公式、同角三角函数的基本关系计算即可. 【小问1详解】 因实数， 则，即，又，，则，即， 此时； 【小问2详解】 由题意可知， 则，， 因为， 所以 ， 即， 又因为，所以，故则， 所以 17. 如图，三棱柱底面是边长为2的等边三角形，D为AC的中点，，侧面底面 （1）证明：； （2）当时，求平面与平面的夹角的余弦值. 【答案】（1）证明见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）由面面垂直的性质可得平面，从而可判断； （2）建立坐标系，求出平面的一个法向量和平面的一个法向量，即可得出答案. 【小问1详解】 等边三角形中，D为AC中点，所以， 因为侧面底面，侧面底面， 平面，所以平面， 又因为平面，所以 【小问2详解】 在中，，， 所以， 所以， 所以是等腰三角形，又D为AC中点，所以， 由知，，平面， 又平面，所以， 所以两两垂直 以为正交基底建立空间直角坐标系 则，，，，， 所以，，设平面的法向量为， 则 ，不妨取，则，， 所以平面的一个法向量为，  易知平面的一个法向量为，  记平面与平面的夹角为， 所以， 所以平面与平面的夹角的余弦值为 18. 在中，，，，点D在边上，为的平分线. （1）求的长； （2）若点P为线段上一点，且为等腰三角形，求的值. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）由，结合面积公式即可得出答案； （2）由余弦定理和角平分线定理可得，即可求出，为等边三角形，再由余弦定理和同角三角函数的基本关系即可得答案. 【小问1详解】 因为为的平分线，所以， 所以， 所以， 所以，即， 可得：. 【小问2详解】 由余弦定理可得：， 所以，所以， 由角平分线定理可得：，又因为， 所以，又因为，， 所以，所以， 又因为为等腰三角形，，所以为等边三角形， 所以，则为的中点，在中， 由余弦定理可得 ，所以， 所以，在中， 由余弦定理可得， 因为，所以， 所以. 19. 已知函数，. （1）若函数过点，求函数在点的切线方程； （2）若函数在上为单调递增函数，求的取值范围； （3）设，求证：. 【答案】（1） （2） （3）证明见解析 【解析】 【分析】（1）先根据函数过点求出的值，确定函数的解析式，利用导数的几何意义，可求函数在点的切线方程. （2）先把问题转化成在上恒成立，再分离参数，利用基本不等式求参数取值范围. （3）构造函数，利用（2）的结论，比较函数值的大小即可. 【小问1详解】 由，得. 所以，. 所以，. 所以函数在点的切线方程为即. 【小问2详解】 因为，. 所以，. 因为函数在上为单调递增函数，所以在上恒成立， 所以，. 又因为，当且仅当时取等号，所以. 所以实数的取值范围为. 【小问3详解】 设，则不等式可化为，. 两边取对数得，则，. 由（2）可知：当时，在上为单调递增函数，且. 所以当时，即成立. 所以原不等式成立. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $