第十三章三角形期末复习（7天冲刺计划）2025-2026学年人教版数学八年级上册

八上数学 第13章三角形 每日一练 限时训练：50min 完成时间 月 日 每天六道题期末复习（7天冲刺计划-第1天） 1．如图，在中，点在边上． （1）若，求的度数； （2）若为的中线，的周长比的周长大，求的长． 2．如图， 某公交公司规划一条由西向东的公交线路． 从 至 后为了方便村民乘车， 改为沿北偏东 的 方向行驶， 到达 处后改变方向沿 行驶，在 处再次改变方向，沿与出发时相同的方向行驶． （1） 当 时，解决下列问题： ①若 分别是 线路上的两个公交站点， 且 ， 请判断 与 的位置关系，并说明理由； ②测得 ， 求 的度数． （2） 若 ， 请直接用 的代数式表示 的度数． 3．如图，在中，，，AD是的角平分线，求的度数. 4．如图，，，平分，求的度数. 5．已知一个三角形最长边的长为10，另外两边的长分别为和4，周长为，求和的取值范围. 6．已知，AB∥CD，点F 在 AB上，过点F 引射线FM，交 CD 于点G，E 为射线 FG 上一点，连结DE，AE. （1）如图 1，若∠EAF=30°，∠EDG=40°，求∠AED的度数. （2）如图2，当点E在射线GM 上时，CD与AE 相交于点 H，则∠AED，∠EAF，∠EDG 之间满足怎样的关系？ 请说明理由. （3）如图3，在（2）的条件下，I是∠EDC平分线上一点，连结 DI 交 AE 于点 K，连结 AI，若∠EAI：∠BAI= 1 ： 2，∠AED=22°，∠I =20°，求∠EKD的度数 每天六道题期末复习（7天冲刺计划-第2天） 1．如图1，AB，BC被直线AC所截，点是线段AC上的点，过点作，连接． （1）请说明的理由． （2）将线段AE沿着直线AC平移得到线段PQ，连接DQ. ①如图2，当DE⊥DQ时，求的度数； ②在整个运动中，当时，求的度数． ③在整个运动中，之间的等量关系为： ▲．（直接写出答案） 2．如图，在中，，，的外角的平分线交的延长线于点E． （1）______°； （2）延长到点F，以为边向右侧作，交的延长线于点D，求证：； （3）在（2）的条件下，若把直线绕点F旋转，直线和直线相交于点M，当和的一边平行时，请直接写出的度数． 3．如图1，已知AB//CD，P是直线AB，CD外的一点，PF⊥CD于点F，PE交AB于点E，满足∠FPE＝60°． （1）求∠AEP的度数； （2）如图2，射线PN从PE出发，以每秒10°的速度绕P点按逆时针方向匀速旋转，当PN到达PF时立刻返回至PE，然后继续按上述方式旋转；射线EM从EA出发，以每秒9°的速度绕E点按顺时针方向旋转至EP后停止运动，此时射线PN也停止运动．若射线PN、射线EM同时开始运动，设运动时间为t秒． ①当射线PN平分∠EPF时，求∠AEM的度数； ②当直线EM与直线PN平行时，求t的值． 4．已知直线MN∥PQ，点A在直线MN上，点B、C为平面内两点，AC⊥BC于点C． （1）如图1，当点B在直线MN上，点C在直线MN上方时，延长CB交直线PQ于点D，则∠CAB和∠CDP之间的数量关系是____． （1）如图2，当点C在直线MN上且在点A左侧，点B在直线MN与PQ之间时，过点B作BD⊥AB交直线PQ于点D．为探究∠ABC与∠BDP之间的数量关系，小明过点B作BF∥MN．请根据他的思路，写出∠ABC与∠BDP的关系，并说明理由； （2）如图3，在（2）的条件下，作∠ABD的平分线交直线MN于点E，当∠AEB＝2∠ABC时，直接写出∠ABC的度数． （3）如图4，当点C在直线MN上且在点A左侧，点B在直线PQ下方时，过点B作BD⊥AB交直线PQ于点D．作∠ABD的平分线交直线MN于点E，当∠BDP＝2∠BEN时，请补充图形并直接写出∠ABC的度数． 5．阅读下面材料： “百年器象——清华大学科学博物馆筹备展”上展出了一件清华校友捐赠的历史文物“Husun型六分仪”（图①），它见证了中国人民解放军海军的发展历程，六分仪是测量天体高度的手提式光学仪器，它的主要原理是几何光学中的反射定律。观测者手持六分仪（图②）按照一定的观测步骤（图③显示的是其中第6步）读出六分仪圆弧标尺上的刻度，再经过一定计算得出观测点的地理坐标。 请大家证明在使用六分仪测量时用到的一个重要结论（两次反射原理）。 已知：在图④所示的“六分仪原理图”中，所观测星体记为S，两个反射镜面位于A，B两处，B处的镜面所在直线FBC自动与O°刻度线AE保持平行（即BC∥AE)，并与A处的镜面所在直线NA交于点C，SA所在直线与水平线MB交于点D，六分仪上刻度线AC与0°刻度线的夹角∠EAC=ω，观测角为∠SDM.(请注意小贴士中的信息) （1）猜想∠SDM与ω的数量关系。 （2）请证明你的猜想。 6．（1）阅读并回答： 科学实验证明，平面镜反射光线的规律是：射到平面镜上的光线和被反射出的光线与平面镜所夹的角相等．如图1，一束平行光线与射向一个水平镜面后被反射，此时． ①由条件可知：，依据是___________；，依据是___________； ②反射光线与平行，依据是___________． （2）解决问题： 如图2，一束光线射到平面镜上，被反射到平面镜上，又被镜反射，若反射出的光线平行于，且，则___________；___________． 每天六道题期末复习（7天冲刺计划-第3天） 1．阅读下列材料并解答问题： 在一个三角形中，如果一个内角的度数是另一个内角度数的3倍，那么这样的三角形我们称为“3倍角三角形”. 例如：一个三角形三个内角的度数分别是，这个三角形就是一个“3倍角三角形”. 反之，若一个三角形是“3倍角三角形”，那么这个三角形的三个内角中一定有一个内角的度数是另一个内角度数的3倍. （1）如图①，已知，在射线上取一点，过点作交于点，判断是不是“3倍角三角形”，为什么？ （2）在（1）的条件下，以为端点画射线，交线段于点（点不与点、点重合），若是“3倍角三角形”，求的度数； （3）如图②，点在的边上，连接，作的平分线交于点，在上取一点，使得，若是“3倍角三角形”，求的度数. 2．请解答下列各题： （1）阅读并回答：科学实验证明，平面镜反射光线的规律是：射到平面镜上的光线和被反射出的光线与平面镜所夹的角相等．如图1，一束平行光线与射向一个水平镜面后被反射，此时，． ①由条件可知：，依据是 ，，依据是 ． ②反射光线与平行，依据是 ． （2）解决问题：如图2，一束光线射到平面镜上，被反射到平面镜上，又被镜反射，若射出的光线平行于，且，则 ； ． 3．阅读下面材料，并完成相应的任务． 三等分角是古希腊三大几何问题之一．如图，任意可被看作是矩形的对角线与边的夹角，以点B为端点的射线交于点E，交的延长线于点F．若，则是的一个三等分角． 证明：如图，取的中点G，连接． ∵四边形是矩形，∴，．∴． 在中，∵点G是的中点，∴，，． …… （1）任务一：上而证明过程中得出“”的依据是　 　； （2）任务二：完成材料证明中的剩余部分． 4．如图为7×9的网格，每一小格均为正方形，已知△ABC． ⑴画出△ABC中BC边上的中线AD； ⑵画出△ABC中AB边上的高CE； ⑶直接写出△ABC的面积为 ▲ ． 5．阅读下列材料并解答问题：在一个三角形中，如果一个内角的度数是另一个内角度数的3倍，那么这样的三角形我们称为“梦想三角形”例如：一个三角形三个内角的度数分别是120°，40°，20°，这个三角形就是一个“梦想三角形”.反之，若一个三角形是“梦想三角形”，那么这个三角形的三个内角中一定有一个内角的度数是另一个内角度数的3倍. （1）如果一个“梦想三角形”有一个角为108°，那么这个“梦想三角形”的最小内角的度数为　 　 （2）如图1，已知∠MON＝60°，在射线OM上取一点A，过点A作AB⊥OM交ON于点B，以A为端点作射线AD，交线段OB于点C（点C不与O、B重合），若∠ACB=80°.判定△AOB、△AOC是否是“梦想三角形”，为什么？ （3）如图2，点D在△ABC的边上，连接DC，作∠ADC的平分线交AC于点E，在DC上取一点F，使得∠EFC+∠BDC＝180°，∠DEF＝∠B.若△BCD是“梦想三角形”，求∠B的度数. 6．[课题学习]： 平行线的“等角转化”功能. （1）[阅读理解]： 如图1，已知点是外一点，连接，，求的度数. 阅读并补充下面推理过程. 解：过点作，所以　 　，　 　 又因为 所以 （2）[方法运用]： 如图2，已知，求的度数. （3）[深化拓展]： 已知，点在的右侧，，平分，平分，，所在的直线交于点，点在与两条平行线之间. ①如图3，若，则　 　° ②如图4，点在点的右侧，若，则　 　°（用含的代数式表示） 每天六道题期末复习（7天冲刺计划-第4天） 1．在直角坐标系中，我们把横、纵坐标都为整数的点称为整点，记顶点都是整点的三角形为整点三角形．如图，，请在所给网格区域（含边界）上按要求画整点三角形． （1）在图1中画一个等腰三角形，使得点C的横、纵坐标之和为偶数； （2）在图2中画一个，使得点P在坐标轴上． 2．如图，在△ABC中，∠A＝62°，∠B＝74°，CD是∠ACB的角平分线． （1）尺规作图：以点D为顶点，射线DA为一边，在∠ABC的内部作∠ADE=∠ABC，DE交AC于点E；（保留作图痕迹，不写作法） （2）在（1）的条件下，求∠EDC的度数． 3．已知△ABC(如图). （1）用量角器作∠BAC的平分线AD. （2）作AB边上的高线CH. （3）设DA的延长线与CH的延长线交于点O.测得∠O=30°，∠ODC=80°，则∠ACB的度数为　 　. 4．某学校自主研制了一种椅子（实物如图所示），可适应上课、课间休息、午睡三种状态，该椅子的凳面始终与地面保持平行，小明作出了椅子在不同状态下的主视图．上课时椅背与凳面垂直，腿托与凳面成夹角（如图1），有利于学生坐直听课．按下开关1，轴1（安装在点B处）可以控制椅背以顺时针旋转，按下开关2，轴2（安装在点A处）可以控制腿托以顺时针旋转． （1）课间可将椅背稍微调整一定的角度（如图2）作短时休息，此时腿托与椅背平行舒适度更佳，请作出此时腿托所在的直线；（要求：尺规作图，保留作图痕迹） （2）如图3，按下开关1，使椅背从与発面垂直时的状态顺时针旋转，此时测得，求的度数； 5．在中，，点D，E分别是边上的点（不与A，B，C重合），点P是平面内一动点（P与D，E不在同一直线上），设． （1）若点P在边上运动（不与点B和点C重合），如图（1）所示，则___________（用含∠α的代数式表示）； （2）若点P在的外部，如图（2）所示，则之间有何关系？写出你的结论，并说明理由． （3）当点P在边的延长线上运动时，试画出相应图形，标注有关字母与数字，并写出对应的之间的关系式．（不需要证明） 6．【问题呈现】 小明在学习中遇到这样一个问题： 如图1，在中，，平分，于D，猜想、、的数量关系． （1）小明阅读题目后，没有发现数量关系与解题思路．于是尝试代入、的值求值，得到下面几组对应值： /度 10 30 30 20 20 /度 70 70 60 60 80 /度 30 a 15 20 30 上表中 ▲ ，于是得到与、的数量关系为 ▲ ． 【变式应用】 （2）小明继续研究，在图2中，，，其他条件不变，若把“于D”改为“F是线段上一点，于D”，求的度数，并写出与、的数量关系： 【思维发散】 （3）小明突发奇想，交换B、C两个字母位置，在图3中，若把（2）中的“点F在线段上”改为“点F是延长线上一点”，其余条件不变，当，时，∠F度数为 ▲ °． 【能力提升】 （4）在图4中，若点F在 的延长线上，于D，，，其余条件不变，从别作出 和的角平分线，交于点P，试用 x、y表示 ▲ ． 每天六道题期末复习（7天冲刺计划-第5天） 1．如图，已知格线相互平行，小明在格线中作∠AOB、∠CPD、∠EOF，探究角的两边与格线形成的锐角所满足的数量关系. （1）如图1，∠AOB=60°，点O在一条格线上，当∠1=20°时，求∠2的度数； （2）如图2，∠CPD=60°，点Р在两条格线之间，用等式表示∠3与∠4的数量关系，并证明； （3）如图3，∠EOF=60°，小明在图3中作射线QG，使得∠GOF=45°.记QG与图中一条格线形成的锐角为α，QE与图中另一条格线形成的锐角为β，探究α与β的数量关系，并用等式表示α与β的数量关系. 2．（2024八上·拱墅月考）如图，在△ABC中，AD⊥BC，AE平分∠BAC，∠B=72°，∠C=30°． （1）求∠BAE的度数； （2）求∠DAE的度数。 3．△ABC中，AD是∠BAC的角平分线，AE是△ABC的高． （1）如图1，若∠B＝40°，∠C＝60°，请说明∠DAE的度数； （2）如图2（∠B＜∠C），试说明∠DAE、∠B、∠C的数量关系； （3）如图3，延长AC到点F，∠CAE和∠BCF的角平分线交于点G，请直接写出∠G的度数　 　． 4．如图，过点作直线分别与直线相交于E、F两点，的角平分线交直线于点，射线交直线于点．设，，其中满足． （1）____________，____________． （2）求证：． （3）过点作直线分别交直线于点，交直线于点，且不与重合，不与重合，作的角平分线交线段于点，探究与的数量关系． 5．已知中，，，D为边延长线上一点，平分，E为射线上一点． （1）如图，连接． ①若，求的度数； ②若平分，求的度数． （2）若直线垂直于的一边，请直接写出的度数． 6．如图，CD⊥AB于D，FE⊥AB于E，∠ACD+∠F＝180°. （1）求证：AC∥FG； （2）若∠A＝45°，∠BCD：∠ACD＝2：3，求∠BCD的度数. 每天六道题期末复习（7天冲刺计划-第6天） 1．已知直线，点在上，射线与交于点．点在射线上（不与点，重合），点在射线上（不与点重合），连接． （1）如图1，若点在线段上，，，求的度数． （2）如图2，点在线段上，平分，且与的角平分线交于点，若，，求的度数． （3）当时，交直线于点，交直线于点，若，请直接写出的度数．（用含的代数式表示） 2．如图，在中，于点，于点，于点，为线段上一点，于点． （1）试探究和的数量关系，并说明理由； （2）若，求的度数． 3．我们将内角互为对顶角的两个三角形称为“对顶二角形”．例如，在图1中，的内角与的内角为对顶角，则与为“对顶三角形”，根据三角形三个内角和是，“对顶三角形”有如下性质：． （1）性质理解： 如图1，在“对顶三角形”与中，则，则　 　． （2）性质应用： 如图2，在中，分别平分和，若，比大8°，求的度数． （3）拓展提高： 如图3，是的角平分线，且和的平分线和相交于点P，设，请尝试求出的度数（用含的式了表示）． 4．【发现问题】如图①，小明同学在做光的折射实验时发现：平行于主光轴MN的光线AB和CD经过凹透镜的折射后，折射光线BE、DF的反向延长线交于主光轴MN上一点P． 【提出问题】小明提出：∠BPD、∠ABP和∠CDP三个角之间存在着什么样的数量关系？ 【分析问题】我们学习过平行线的性质，利用平行线的性质可以把∠BPD分成两部分进行研究． （1）【解决问题】请你帮小明解决这个问题，并说明理由． （2）【举一反三】①如图①，若∠ABE＝150°，∠CDF＝170°，则∠EPF＝　 　度． ②如图②，已知AB∥CD，点E、F分别是AB、CD上的点，点P位于AB上方，∠PEB＝α，∠PFD＝β．用含α和β的代数式表示下列各角． ∠P的大小为　 　．如图③，在图②的基础上，若EQ和FQ分别平分∠PEB和∠PFD，则∠Q的大小为　 　． 5．如图1，自行车尾灯是由塑料罩片包裹的若干个小平面镜组成，利用平面镜反射光线，以提醒后方车辆注意．小亮所在学习小组对其工作原理进行探究，发现以下规律：如图2，为平面镜，分别为入射光线和反射光线，则．请继续以下探究： （1）探究反射规律 ①如图3，，则 ▲ (用含的代数式表示)． ②若光线，判断与的位置关系，并说明理由． （2）模拟应用研究 在行驶过程中，后车驾驶员平视前方，且视点会高于反射点(如图4)，因此小亮认为反射光线应与水平视线成一定角度．学习小组设计了如图5所示的模拟实验装置，使入射光线，当与所成夹角为时，求的度数． 6．（1）【课本再现】如图1，在中，线经过点且．求证：； （2）【变式演练】如图2，在中，，点在边上，交于点．若，求的度数； （3）【方法应用】如图3，直线与直线相交于点，夹角的锐角为，点在直线上且在点右侧，点在直线上且在直线上方，点在直线上且在点左侧运动，点在射线上运动（不与点重合）．当时，平分平分交直线于点，求的度数． 每天六道题期末复习（7天冲刺计划-第7天） 1．如图1，已知AM∥CN(点M，N在CA的右侧)，点B在AM上，点D在CN上，点E在线段CA上(点E不与点A重合)，且满足∠BAC+∠BED=180°. （1）①若∠BED=60°，∠ABE=20°，求∠CDE的度数. ②探究∠CDE与∠AEB的数量关系，并说明理由. （2） 如图2，设与∠EDN的平分线相交于点P，请用含α的代数式表示∠EPD的度数. 2．如图，已知，DE平分. （1）求证：． （2）若CE⊥DE，且，求的度数． 3． 已知：如图，AD是△ABC的高线，E是AB上一点，CE交AD于点F，∠AFE=∠B。求证：CE⊥AB。 4．【课本再现】我们知道：三角形三个内角的和等于，利用它我们可以推出结论： 三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和． 【定理证明】 （1）为证明此定理，小红同学画好了图形（如图1），写好了“已知”和“求证”，请你完成证明过程经， 已知：如图1，是的一个外角． 求证：． 【知识应用】 （2）如图2，在中，，点D在BC边上，交AC于点F，，求的度数． （3）如图3，直线与直线相交于点O，夹角为锐角，点B在直线上且在点O右侧，点C在直线上且在直线上方，点A在直线上且在点O左侧运动，点E在射线CO上运动（不与点C、O重合）．当时，平分，平分交直线于点G，求的度数． 5．（2024八上·长春高新技术产业开发开学考）如图①，在△ABC中，，，、均是的外角．射线从射线出发．绕点A以每秒的速度逆时针旋转．交射线于点E．设射线的旋转时间为秒． （1）______度(用含t的代数式表示)，当点E与点C重合时，______． （2）当点E在点C右侧时，t的取值范围是_______． （3）如图②，、的角平分线交于点P，请判断与的数量关系并说明理由． （4）如图③、的角平分线交的反向延长线于点Q，当的三个内角中，有一个角等于另一个角的3倍时，直接写出t的值． 6．如图，点E在平行线AB，CD之间，且在线段AC的左侧. （1）求证：∠BAE+∠ECD+∠AEC=360°. （2）若点E向右移动到线段AC的右侧，此时∠BAE，∠AEC，∠ECD之间的关系仍然满足(1)中的结论吗?若满足，给出证明；若不满足，请你写出正确的结论并证明.(要求：画出相应的图形) （3）继续移动点E的位置，还能得到哪些新论断?写出你的论断. 答案解析部分 第1天答案解析 1．【答案】（1）解：∵， ∴， ∴， ∴； （2）解：∵为的中线， ∴， ∵的周长比的周长大， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴． 【解析】【分析】(1)由三角形外角的性质得：∠3=∠4=∠1+∠2=70°，接着再根据三角形内角和定理即可求解； (2)由三角形中线的定义得BD=CD，根据的周长比的周长大，再结合三角形周长公式推出AB-AC=3，再由AB=9，从而可得答案. 2．【答案】（1）解：①MN∥AB，理由如下： 如图，延长AB，在AB的延长线上取点G， ∵∠FBC=35°， ∴∠CBG=90°-∠FBC=55°， ∵∠CMN=55°， ∴∠CMN=∠CBG=55°， ∴MN∥AB； ②如图，反向延长DE，在其延长线上取点H， ∵∠BCD=59°，∠CMN=55°， ∴∠CNM=180°-∠BCD-∠CMN=66°， ∵DE∥AB，AB∥MN， ∴MN∥DE， ∴∠CNM=∠CDH=66°， ∴∠CDE=180°-∠CDH=114°； （2）解： 【解析】【解答】（2）如图，延长AB交CD于点P， ∵∠FBC=， ∴∠CBP=90°-， ∵∠BCD=， ∴∠DPQ=∠BCD+∠CBP=， ∵AB∥DE， ∴∠CDE=∠CPQ=. 【分析】（1）①MN∥AB，理由如下：如图，延长AB，在AB的延长线上取点G，由∠CBG=90°-∠FBC算出∠CBG=55°，从而可得∠CMN=∠CBG=55°，然后根据同位角相等，两直线平行，可得MN∥AB； ②如图，反向延长DE，在其延长线上取点H，先由三角形的内角和定理算出∠CNM=66°，然后根据平行于同一直线的两条直线互相平行，得MN∥DE，由二直线平行，同位角相等，得∠CNM=∠CDH=66°，最后根据邻补角可算出∠CDE的度数； （2）如图，延长AB交CD于点P，由∠CBG=90°-∠FBC算出∠CBP=90°-，然后根据三角形外角性质得∠DPQ=∠BCD+∠CBP=，最后根据二直线平行，同位角相等可得∠CDE=∠CPQ=. 3．【答案】解：在中，（三角形内角和定理）. ∵，（已知）， ∴（等式的性质）. ∵AD平分（已知）， ∴（角平分线的定义）. 在中，（三角形内角和定理）. ∵（已知），（已证）， ∴（等式的性质）. 【解析】【分析】根据三角形的内角和定理算出∠BAC的度数，由角平分线定义算出∠BAD的度数，再由三角形内角和定理算出∠ADB的度数. 4．【答案】解：，平分， ， ， ， . 【解析】【分析】根据角平分线的概念可得∠EAC=2∠CAD=130°，由邻补角的性质可得∠BAC=180°-∠EAC=50°，根据外角的性质可得∠ACD=∠B+∠CAB，据此计算. 5．【答案】解：， . 由于最长边为10，故，即的取值范围为， ， 即. 综上所述，的取值范围为的取值范围为. 【解析】【分析】根据三角形三边关系最长边的长为10 可得，进而可得，即可得解. 6．【答案】（1）解：如图： 延长DE交AB于H， ∵AB∥CD，∠EDG=40°， ∴∠D=∠AHE=40°， ∴∠AED=∠A+∠AHE=30°+40°=70°. （2）解：∠EAF=∠AED+∠EDG.理由如下： ∵AB∥CD， ∴∠EAF=∠EHC， 又∵∠EHC=∠AED+∠D， ∴∠EAF=∠AED+∠EDG． （3）解：∵∠EAI：∠BAI=1：2， 设∠EAI=x，则∠BAE=3x， ∵∠EDK+∠DKE+∠DEK=180°，∠KAI+∠KIA+∠AKI=180°， 且∠DKE=∠AKI， ∴∠EDK+∠DEK=∠KAI+∠KIA； ∴∠EDK=∠KAI+∠KIA-∠DEK=x+20°-22°=x-2°， ∵DI平分∠EDC， ∴∠CDE=2∠EDK=2x-4°， ∵AB∥CD， ∴∠EHC=∠EAB； 又∵∠EHC=∠AED+∠EDG， 即3x=22°+2x-4°， 解得：x=18°， ∴∠EDK=18°-2°=16°， ∴∠EKD=180°-16°-22°=142°. 【解析】【分析】（1）延长DE交AB于点H，根据两直线平行，内错角相等可得∠D=∠AHE=40°；根据三角形的外角等于与它不相邻的两个内角之和即可求解. （2）根据两直线平行，同位角相等可得∠EAF=∠EHC；根据三角形的外角等于与它不相邻的两个内角之和可得∠EHG=∠AED+∠D，即可求解. （3）设∠EAI=x，则∠BAE=3x，根据三角形内角和是180°和对顶角相等可得∠EDK=x-2°，根据一般地，从一个角的顶点出发，把这个角分成两个相等的角的射线，叫做这个角的平分线可求得∠CDE=2x-4°；根据两直线平行，同位角相等可得∠EHC=∠EAB；结合三角形的外角等于与它不相邻的两个内角之和即可列出方程式，求解即可得出x的值；根据三角形的内角和是180°即可求解. 第2天答案解析 1．【答案】（1）解：， （2）解：①如图2，过D作交AB于， 线段AE沿着直线AC平移得到线段PQ， ， ， ， ②当P点在AD之间，如图3，过作交AB于， 由 ； 当点在DA的延长线上，如图4，过作交AB于， ， ， ， ， ， ， ， 由 ， ， 综上所述，或， ③∠EDQ与∠E和∠Q的关系为∠EDQ=∠E+∠Q或∠EDQ=∠E-∠Q或∠EDQ=∠Q-∠E． 【解析】【解答】解：（2）③如图2， ∵AE∥FD∥PQ ∴∠EDQ=∠E+∠Q 如图3，∵AE∥PQ∥DF ∴∠E=∠EDG，∠Q=∠QDG ∴∠EDQ=∠E-∠Q 如图4，∵AE∥PQ∥DF ∴∠Q=∠EDQ+∠E，即∠EDQ=∠Q-∠E； 综上所述，∠EDQ与∠E和∠Q的关系为∠EDQ=∠E+∠Q或∠EDQ=∠E-∠Q或∠EDQ=∠Q-∠E. 故答案为：∠EDQ与∠E和∠Q的关系为∠EDQ=∠E+∠Q或∠EDQ=∠E-∠Q或∠EDQ=∠Q-∠E. 【分析】（1）根据两直线平行同旁内角互补以及等量代换原则，可得∠B=∠E，∠BAE+∠B=180°；根据同旁内角互补，两直线平行，可得AE∥BC； （2）①根据平移的性质和平行线的性质，可得∠DPQ=∠FDP；根据同旁内角互补，可得∠DF的度数；根据垂线的性质和圆周角的性质，可得∠Q的度数； ②根据点P的位置，分类讨论；根据平行线的性质，可得∠QDF的表达式；根据角的关系和角的运算，可得∠EDQ=∠Q；根据同旁内角互补，可得∠EDF的度数；根据角的运算，列一元一次方程即可求出∠Q的度数； ③根据平行线的性质和三角形的外角性质，可直接写出答案. 2．【答案】（1）65 （2）证明：∵， ∴， ∴， ∴； （3）或 【解析】【解答】解：（1）∵中，， ∴， ∵是的角平分线， ∴． 故答案为：65． （3）①当与平行时，如图所示， ∴； ②当与平行时，如图所示， ∴， ③∵F在上， ∴与平行不存在， 综上所述：或． 故答案为：或 【分析】 （1）根据外角的性质得到，再由角平分线的定义计算即可解答； （2）根据是三角形内角和得出，再根据同位角相等，两直线平行即可得证； （3）分两种情况讨论①当与平行时②当与平行时，再利用平行线的性质计算即可． 3．【答案】（1）解：∠AEP＝150°； （2）解：①当PN平分∠EPF时，求得运动时间t的值为3秒，9秒，15秒. ∠AEM＝3×9°＝27° 或∠AEM＝9×9°＝81° 或∠AEM＝15×9°＝135° ② 【解析】【解答】解：（1）∵ PF⊥CD，∠FPE=60°， ∴ ∠PEB=30°， ∴ ∠AEP=150°； （2）②当EM∥PN，则∠MEP=∠EPN，又∵0≤∠EPN≤60°， ∴ ∠MEP=150°-9t，且， 当150°-9t=10°（12-t），无解； 当，150°-9t=10（t-12），解得，t=； 故t=. 【分析】（1）根据垂线的定义和三角形的内角和定理即可求得； （2）①根据角平分线的定义，先求出t的值，再计算∠AEM即可； ②根据平行线的性质可得∠MEP=∠EPN，再根据∠EPN的取值范围求得t的取值范围，再分两种情况：当时和当时，根据∠MEP=∠EPN列出关于t的方程，即可求得. 4．【答案】（1）解：结论：∠ABC＝∠PDB． 理由：如图2中， ∵MN∥PQ，BF∥MN， ∴BF∥PQ， ∴∠PDB＝∠DBF， ∵AC⊥BC，AB⊥BD， ∴∠ACB＝∠ABD＝90°， ∵∠CBF+∠ACB＝180°， ∴∠CBF＝∠ABD＝90°， ∴∠ABC＝∠DBF， ∴∠ABC＝∠PDB． （2）∠ABC＝15° （3）如图4中，图形如图所示，设BE交PQ于J． ∵∠BDP＝2∠BEN， ∴可以假设∠BEN＝x，则∠BDP＝2x， ∵MN∥PQ， ∴∠BEN＝∠PJE＝x， ∵∠ABD＝90°，BE平分∠ABD， ∴∠ABE＝∠EBD＝45°， ∵∠BDJ+∠BJD+∠DBJ＝180°， ∴180°﹣2x+180°﹣x+45°＝180°， ∴x＝75°， ∵∠BCE＝90°， ∴∠EBC＝90°﹣75°＝15°， ∴∠ABC＝∠ABE﹣∠EBC＝45°﹣15°＝30°． 【解析】【解答】解：（1）如图1中， ∵AC⊥CD， ∴∠C=90°， ∴∠CAB+∠ABC=90°， ∵MN∥PQ， ∴∠PDB=∠ABC， ∴∠CAB+∠PDC=90°． 故答案为：∠CAB+∠PDC=90°． 【分析】（1）利用平行线的性质条件三角形的内角和定理求解即可； （2）结论：∠ABC=∠PDB．构造平行线，利用平行线的性质求解即可； （3）设∠ABC=x，则∠AEB=2x，根据∠CBE+∠AEB=90°，构建方程求解即可； （4）设BE交PQ于J．设∠BEN=x，则∠BDP=2x，利用三角形内角和定理，构建方程求解即可。 5．【答案】（1）解：∠SDM=2ω （2）理由如下： ∵BC∥AE， ∴∠C=∠EAC(两直线平行内错角相等) ∵ ∠EAC = ω， ∴ ∠C = ω (等量代换) ∵∠SAN = ∠CAD (对顶角相等) 又 ∵∠BAC=∠SAN = α （小贴士已知） ∴∠BAD=∠BAC+∠CAD= 2α ∵∠FBA是△ABC的外角， ∴∠FBA=∠BAC+∠C(三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和) 即β= α+ω， ∴∠SDM = 180° - ∠DAB-∠ABD = 180° - 2α- (180°- 2β) = 2（β-a) = 2ω. 【解析】【分析】（1）利用角的运算方法求解即可； （2）利用平行线的性质及角的运算和等量代换求解即可. 6．【答案】（1）①两直线平行，同位角相等；等量代换；②同位角相等，两直线平行；（2）80°；90° 【解析】【解答】解：（1）①由条件可知：，依据是两直线平行，同位角相等；，依据是等量代换； 故答案为两直线平行，同位角相等；等量代换； ②由①可得：，所以反射光线与平行，依据是同位角相等，两直线平行； 故答案为同位角相等，两直线平行； （2）如图所示： 由题意得：∠1=∠4，∠5=∠6， ∵， ∴∠4=40°， ∵∠1+∠7+∠4=180°， ∴∠7=100°， ∵m∥n， ∴∠2+∠7=180°， ∴∠2=80°， ∵∠2+∠5+∠6=180°， ∴∠5=∠6=50°， ∵∠3+∠4+∠5=180°， ∴∠3=90°， 故答案为80°，90°． 【分析】（1）①由题意及图形所给信息即可求出答案. ②根据直线平行判定定理即可求出答案. （2）根据题中所给定义，直线平行性质及三角形内角和定理即可求出答案. 第3天答案解析 1．【答案】（1）解：是. 理由：， ， ， 为“3倍角三角形”； （2）解：， ∴当时， 是“3倍角三角形”， ， 当，即时， 是“3倍角三角形”， ， 综上，的度数为或； （3）解：， ， ， ， 平分， ， 是“3倍角三角形”， 或， ， 或. 【解析】【分析】(1)根据垂直的定义、三角形内角和和定理求∠ ABO的度数，根据"3倍角三角形”判断即可. （2）根据"3倍角三角形"的概念解答即可. （3）根据比较的性质得∠EFC=∠ADC，根据平行线的性质得到∠DEF=∠ADE，推出DE∥BC，得到∠CDE=∠BCD，根据角平分线的定义得到∠ADE=∠CDE，求得∠B=∠BCD，最后根据"3倍角三角形”的定义求解即可. 2．【答案】（1）①两直线平行，同位角相等；等量代换．②同位角相等，两直线平行．（2）84°；90°； 【解析】【解答】解：（1）①由条件可知：∠1=∠3，依据是：两直线平行，同位角相等； ∠2=∠4，依据是：等量代换； ②反射光线BC与EF平行，依据是：同位角相等，两直线平行； 故答案为：①两直线平行，同位角相等；等量代换．②同位角相等，两直线平行． （2）如图， ∵∠1=42°， ∴∠4=∠1=42°， ∴∠6=180°42°42°=96°， ∵m∥n， ∴∠2+∠6=180°， ∴∠2=84°， ∴∠5=∠7=， ∴∠3=180°48°42°=90°． 故答案为：84°；90°； 【分析】 （1）根据平行线的判定与性质，同位角相等，两直线平行；内错角相等，两直线平行；同旁内角互补，两直线平行，反之亦称，逐一求解，即可得到答案； （2）根据入射角等于反射角，得出∠1=∠4，∠5=∠7，求出∠6的度数，由 m∥n， 求得∠2的度数，进而求得∠5，结合三角形内角和，求出∠3的度数，即可得到答案． 3．【答案】（1）直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半 （2）解：如图，取 的中点G，连接 ． ∵四边形 是矩形， ∴ ， ． ∴ ． 在 中，∵点G是 的中点， ∴ ， ， ． ∵ ， ∴ ． ∴ ， ∴ ， ∵ ， ∴ ， ∴ ， ∴ ， ∴射线 是 的一条三等分线； 【解析】【解答】（1）直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半。 （2） 取 的中点G，连接 ． ∵四边形 是矩形， ∴ ， ． ∴ ． 在 中，∵点G是 的中点， ∴ ， ， ． ∵ ， ∴ ． ∴ ， ∴ ， ∵ ， ∴ ， ∴ ， ∴ ， ∴射线 是 的一条三等分线； 【分析】直角三角形写边上的中线等于斜边的一半；如果三角形一边上的中线等于这条边的一半，那么这个三角形是直角三角形，可以用来判断一个三角形是否为直角三角形；直角三角形斜边的中线把直角三角形分成两个等腰三角形，这两个等腰三角形的面积相等。 4．【答案】解：⑴AD即为所求； ⑵CE即为所求； ⑶7 【解析】【分析】（1）根据中线的意义以及网格线的特征作图即可； （2）根据高线的意义以及网格线的特征作图即可； （3）根据三角形的面积公式作图即可. 5．【答案】（1）36°或18° （2）解：△AOB、△AOC都是“梦想三角形” 证明：∵AB⊥OM， ∴∠OAB＝90°， ∴∠ABO＝90°﹣∠MON＝30°， ∴∠OAB＝3∠ABO， ∴△AOB为“梦想三角形”， ∵∠MON＝60°，∠ACB＝80°，∠ACB＝∠OAC＋∠MON， ∴∠OAC＝80°﹣60°＝20°， ∴∠AOB＝3∠OAC， ∴△AOC是“梦想三角形”. （3）解：∵∠EFC＋∠BDC＝180°，∠ADC＋∠BDC＝180°， ∴∠EFC＝∠ADC， ∴AD∥EF， ∴∠DEF＝∠ADE， ∵∠DEF＝∠B， ∴∠B＝∠ADE， ∴DE∥BC， ∴∠CDE＝∠BCD， ∵AE平分∠ADC， ∴∠ADE＝∠CDE， ∴∠B＝∠BCD， ∵△BCD是“梦想三角形”， ∴∠BDC＝3∠B，或∠B＝3∠BDC， ∵∠BDC＋∠BCD＋∠B＝180°， ∴∠B＝36°或∠B＝ . 【解析】【解答】解：当108°的角是另一个内角的3倍时， 最小角为180°﹣108°﹣108÷3°＝36°， 当180°﹣108°＝72°的角是另一个内角的3倍时， 最小角为72°÷（1＋3）＝18°， 因此，这个“梦想三角形”的最小内角的度数为36°或18°. 故答案为：18°或36°. 【分析】（1）根据三角形内角和等于180°，如果一个“梦想三角形”有一个角为108°，可得另两个角的和为72°，由三角形中一个内角是另一个内角的3倍时，可以分别求得最小角为180°﹣108°﹣108÷3°＝36°，72°÷（1＋3）＝18°，由此比较得出答案即可；（2）根据垂直的定义、三角形内角和定理求出∠ABO、∠OAC的度数，根据“梦想三角形”的定义判断即可；（3）根据同角的补角相等得到∠EFC＝∠ADC，根据平行线的性质得到∠DEF＝∠ADE，推出DE∥BC，得到∠CDE＝∠BCD，根据角平分线的定义得到∠ADE＝∠CDE，求得∠B＝∠BCD，根据“梦想三角形”的定义求解即可. 6．【答案】（1）∠BAE；∠DAC[解题反思]：从上面的推理过程中，我们发现平行线具有“等角转化”的功能，将，，“凑”在一起，得到角的关系，使问题得到解决. （2）证明：过C作CM∥AB ∴∠B＝∠BCM 又∵AB∥ED ∴ED∥CM ∴∠D＝∠DCM 又知：∠BCM＋∠DCM＋∠BCD＝360° ∴∠B＋∠BCD＋∠D＝360° （3）65°；35°＋180°－=215°－ 【解析】【解答】解：（1） 过点作 ， ∴∠B=∠BAE，∠C=∠DAC， ∵ ， ∴ ； 故答案为：∠BAE，∠DAC， （3）①如图3，过点E作EH∥AB， ∵AB∥CD， ∴AB∥CD∥EH， ∴∠ABE=∠HBE，∠CDE=∠HED， ∵ ， ，平分，平分， ∴∠ABE=30°，∠EDC=35°， ∴∠ABE=∠HBE=30°，∠CDE=∠HED=35°， ∴∠BED=∠BEH+∠HED=65°； 故答案为：65°. ②如图4，延长BE交CD于点F， ∵ ， ，平分，平分， ∴∠ABF=∠ABC=n°，∠EDF=∠ABC=35°， ∵AB∥CD， ∴∠BFC=∠ABF=n°， ∴∠DFE=180°-n°， ∴∠BED=∠EDF+∠DFE=35°+180°-n°=215°-n°； 故答案为：215°-n°； 【分析】（1）由平行线的性质解答即可； （2）过C作CM∥AB，则ED∥CM∥AB，利用平行线的性质可得∠B＝∠BCM，∠D＝∠DCM，由周角的定义可得∠BCM＋∠DCM＋∠BCD＝360°，继而得解； （3）①过点E作EH∥AB，则AB∥CD∥EH，利用平行线的性质及角平分线的定义可得∠ABE=∠HBE=30°，∠CDE=∠HED=35°，根据∠BED=∠BEH+∠HED即可求解； ②延长BE交CD于点F，由角平分线的定义可得∠ABF=∠ABC=n°，∠EDF=∠ABC=35°，利用平行线的性质可得∠BFC=∠ABF=n°，由邻补角的定义可得∠DFE=180°-n°，根据三角形外角的性质即可求解. 第4天答案解析 1．【答案】（1）解：如图1，，，，均满足题意． （2）解：如图2，，均满足题意． 【解析】【分析】（1）根据等腰三角形的性质且C点的横纵坐标之和为偶数，按要求画图即可； （2）根据直角三角形的判定按要求画图即可． 2．【答案】（1）解：（1）过点D作DE∥BC交AC于点E，DE即为所求，如下图： （2）解： 又 是的角平分线 答：的度数是 【解析】【分析】（1）根据两直线平行同位角相等即可作图解题； （2）根据三角形内角和定理，可得∠ACB的度数；根据平行线的性质，可得∠EDC=∠DCB；根据角平分线的性质，可得∠DCB的度数，进而可得∠EDC的度数. 3．【答案】（1）解：测得∠BAC=120°，故∠BAD=60°，利用量角器作角平分线AD如图： （2）解：作AB边上的高CH，如图所示： （3）40° 【解析】【解答】解：（3）若点D为角平分线于BC边的交点，如图： ∵CH⊥AB， ∴∠BHO=90°， ∠BAD=∠OAH=180°－90°－∠COD=90°－30°=60°. ∵AD平分∠BAC， ∴∠BAC=2∠BAD=120°. ∵∠B+∠BAD+∠ADB=180°，∠ADB+∠ODC=180°， ∴∠B+∠BAD=∠ODC=80°， ∴∠B=20°， ∴∠ACB=180°－∠BAC－∠B=40°. 【分析】利用垂直的定义和三角形内角和定理以及对顶角定理可求得∠BAD=60°，进而可得∠BAC=120°.再次利用三角形内角和定理和邻补角的性质求得∠B，即可得∠ACB的度数. 4．【答案】（1）解：（1）如图所示，直线即为所求； ， ， 直线即为所求． （2）解：延长，交于点，如图： 当时，． 又， ； ， ． 【解析】【分析】（1）以点A为顶点，作，结合内错角相等，两直线平行，得到，即可得到所在的直线； （2）延长，交于点，当时，求得，利用三角形外角的性质，得到，再由，结合，即可得到答案. 5．【答案】（1） （2）解：结论：，证明如下： 如图， ∵，， ∵， ∴， ∴． （3）解：或 【解析】【解答】（1）解：∵，， ∴（四边形内角和定理）， ∴； 故答案为：； （3）解：如图（3）， ∵，， ∵， ∴， ∴． 如图（4）， ∵，， ∵， ∴， ∴． 综上所述，或． 【分析】（1）根据邻补角可得，，再根据四边形的内角和为（可以把四边形分成两个三角形），即可表示出和之间的关系； （2）根据三角形外角的性质，，再结合对顶角相等即可得到结论； （3）分图（3）和图（4）两种情况，分别利用三角形外角的性质及对顶角相等即可得到结论. 6．【答案】解：(1) 20，； (2)如图，过点A作于G， ∵，， ∴， ∴， ∵，， 由（1）同理可得：，， ∴， 由（1）同理可得： ∴． (3) 32； (4)． 【解析】【解答】（1）解：∵，， ∴， ∴中，， ∵平分， ∴， ∴， ∴； ∵，，， ∴， ， ∴ （3）如图，过作于，而， ∴， ∴， 由（1）同理可得：， ∴， ∵，， ∴． （4）如图，记，的交点为， ∵， ∴， ∵，平分， ∴， ∵，，平分， ∴， ∴， ∵， ∴， 由可得： ， 整理得：． 【分析】（1）根据三角形内角和定理可得，，再根据角平分线可得，求得；利用和表示出和，再根据，即可求解， （2）过点A作于G，得到从而，按照（1）中的思路步骤求解即可； （3）过作于，得到从而，按照（1）中的思路步骤求解即可； （4）根据题意可得，根据三角形内角和定理，利用，表示出，，求解即可． 第5天答案解析 1．【答案】（1）解：对图形进行角标注： ∵ 点O在一条格线上， ∴∠1=∠3，∠2=∠4. ∵∠AOB=∠3+∠4=∠1+∠2=60°，∠1=20°， ∴∠2=40°. （2）解：过点P作PA∥格线，则∠3=∠CPA，∠4=∠APD. ∵∠CPD=∠CPA+∠APD=60°， ∴∠3+∠4=60°. （3）解：当OG在∠EOF内部时， ∵∠GOF=45°，∠EOF=60°， ∴∠AOG=15°. ∵∠AED为△OED的外角， ∴∠AED=∠AOG+∠EDO. ∵格线互相平行， ∴∠EDO=α， ∴α+15°=β. 当OG在∠EOF外部时， ∵∠GOF=45°，∠EOF=60°， ∴∠EOG=105°. ∵∠EOG为△OMN的外角， ∴∠EOG=∠OMN+∠ONM. ∵格线互相平行， ∴∠OMN=β， ∴β+α=105°. 【解析】【分析】 （1）对图形进行角标注，根据平行线的性质可得∠1=∠3，∠2=∠4，则∠AOB=∠3+∠4=∠1+∠2=60°，然后结合∠1的度数就可求出∠2的度数； （2）过点P作PA∥格线，则∠3=∠CPA，∠4=∠APD，然后根据∠CPD=∠CPA+∠APD=60°进行解答； （3）当OG在∠EOF内部时，∠AOG=∠EOF-∠GOF=15°，由外角的性质可得∠AED=∠AOG+∠EDO，根据平行线的性质可得∠EDO=α，据此解答；当OG在∠EOF外部时，同理进行解答. 2．【答案】（1）解：∵∠B+∠C+∠BAC=180°，∴∠BAC=78° ∵AE平分∠BAC，∴∠BAE= ∠BAC=39°； （2）解：∵AD⊥BC，∴∠ADB=90°，∴∠BAD=90°－∠B=18°， ∴∠DAE=∠BAE－∠BAD=21°． 【解析】【分析】（1）在三角形ABC中，根据三角形的内角和定理即可得到∠BAC的度数，根据AE为∠BAC的平分线，即可得到∠BAE的数值； （2）在直角三角形ABD中，根据三角形的内角和定理得到∠BAD的度数，根据∠BAE的数值即可得到∠DAE。 3．【答案】（1）解： 是的高， 是的角平分线， ， ． （2）解： 是的高， 是的角平分线， ， 即； （3）45° 【解析】【解答】解：（3）如图3所示，∵AE⊥BC，∴∠AEC=90°，∴∠CAE=90°-∠ACB，∵AG平分∠CAE，∴，∴∠CAG=，又∵∠BCF是△ACE的一个外角，∴∠BCF=180°-∠ACB，∵CG平分∠BCF，∴，∴，∴。 故答案为：45°。 【分析】（1）根据三角形内角和定理先求出∠BAC的度数，再根据角分线和高线的定义求出∠CAD和∠CAE，再把两角相减即可得出∠DAE的度数； （2）思路同（1），在这里需要把（1）中的已知角度换成∠B、∠C即可； （3）首先把∠CAG和∠GCF都用含∠C的式子表示出来，然后再根据三角形外角的性质，列式求∠G即可得出答案。 4．【答案】（1） （2）证明：如图，过作， ，， ， ， ， ， ， ． ，， ． （3）解：设，，分别平分， ， 同理可得，， 当点在线段上时，如图所示： 过点S作，，， ∵， ∴， ∴， ， ∴， ∴； 当点在点的左侧时，过点作，如图所示： 同理可得，， ， ， 当点在点的右侧时，过点作，，如图所示： 同理可得，，， ． 【解析】【解答】解：（1）∵， ， 解得：； 【分析】（1）利用偶次式和根式的非负性，得出方程组，求得方程组的解，即可得到答案； （2）过作，利用平行线的性质，结合，求得的度数，再由求得，得到，证得，进而证得，得到答案； （3）设，，根据角平分线的性质，求得，以及，分当点在点与点之间，点在点的左侧和点在点的右侧，三种情况讨论，分别解答，即可得到答案． 5．【答案】（1）解：①解：∵ ， ， ∴ ， ∵ 平分 ， ∴ ， ∵ ， ∴ ； ②解：∵ ， ∴ ， ∵ 平分 ， ∴ ， ∴ ， ∴ ； （2）解： 的度数为： 或 或120°； 【解析】【解答】解：（2）①若CE⊥BC，∠BCE=90°， ∵∠EBC=30°， ∴∠BEC=180°-90°-30°=60°. ②若CE⊥AC，∠ACE=90°， 则∠BEC=180°-∠EBC-∠ACB-∠ACE=180°-30°-50°-90°=10°. ③若CE⊥AB，延长CE交AB于F，则∠CFB=90°. ∵∠FCB=180°-∠CFB-∠ABC=180°-90°-60°=30°， ∴∠BEC=180°-∠EBC-∠FCB=180°-30°-30°=120°. 综上所述：∠BEC=10°或60°或120°. 故∠BEC的度数为10°或60°或120°. 【分析】（1）①根据三角形内角和等于180°，可以得出∠ABC的度数，由角平分线的性质可以得出∠ABE=∠CBE=30°，再利用平行线的性质即可求出∠BEC的度数. ②由领补角互补课求出∠ACD的度数，由角平分线的性质可得出∠DCE的度数，再利用三角形外角的性质即可求出∠BEC的度数. （2）分CE⊥BC、CE⊥AC、CE⊥AB三种情况进行讨论，根据三角形内角为180°，即可分别求出∠BEC的度数. 6．【答案】（1）证明：∵CD⊥AB，FE⊥AB， ∴∠AFH＝∠ADC＝90°， ∴EF//DC， ∴∠AHE＝∠ACD， ∵∠ACD+∠F＝180°. ∴∠AHE+∠F＝180°， ∵∠AHE+∠EHC＝180°， ∴∠EHC＝∠F， ∴AC//FG； （2）解：∵∠BCD：∠ACD＝2：3， ∴设∠BCD＝2x，∠ACD＝3x， ∵CD⊥AB， ∴∠ADC＝90°， ∴∠A+∠ACD＝90°， 45°+3x＝90°， 解得x＝15°， ∴∠BCD＝2x＝30°. 答：∠BCD的度数为30°. 【解析】【分析】（1）根据CD⊥AB，FE⊥AB，可得EF∥DC，由平行线的性质得∠AHE＝∠ACD，结合已知可得∠EHC＝∠F，然后根据同位角相等两直线平行可求解； （2）根据∠BCD：∠ACD＝2：3，可以设∠BCD＝2x，∠ACD＝3x，根据CD⊥AB，可得45°＋3x＝90°，求出x的值，则∠BCD的度数可求解. 第6天答案解析 1．【答案】（1）解：∵ ∴∠EQP=180°-115°=65° ∵， ∴∠QEP=∠PFD=75° （2）解：设∵ ∵ ∵平分 ∵ ∵， ∵是的角平分线， 又∵，即 解得： ∴ （3） 【解析】解：（3）如图所示 ∵， ∴ ∠QPF=∠EQP+∠QEP=3 ∠GPF=∠QPF-∠QPG ∵ ∴ ∴∠GPF=3-90° ∵ ∴， 【分析】（1）根据补角定义，求出∠EQP，根据AB∥CD，内错角相等求出∠QBP，再根据三角形外角等于不相邻的两个内角和求出∠QPF. （2）设，根据平行线的性质得出，结合平角的定义，即可求解； （3）根据三角形外角定理∠QPF=∠EQP+∠QEP=3，PG⊥PQ，继而求出求出∠GPF=3-90°，根据平行线的性质得出 2．【答案】（1）解：，理由如下： ， . ， ， . （2），CD⊥AB， . ， ∴∠ACB=90°， ​​​​​. 【解析】【分析】（1）先证明得，再证明得，等量代换即可得和的数量关系； （2）先求出，再根据即可得出的度数． 3．【答案】（1）95 （2）解：在中，， ∴． ∵、分别平分和， ∴， ∴． 又∵， ∴， （3）解：． 理由：在中，， ∴． ∵、分别平分和， ∴，， ∴． ∵和的平分线和相交于点P， ∴， ． ∵， ∴ ． 即． 【解析】【解答】解：（1）由对顶三角形可得：∠A+∠B=∠C+∠D， 在中，∠A+∠B=180°-∠AOB=95° ∴∠C+∠D=95°， 故答案为：95. 【分析】（1）由对顶三角形可得：∠A+∠B=∠C+∠D，再根据三角形内角和定理，即可求解； （2）由对顶三角形的性质以及三角形内角和定理得到：，再根据已知条件，即可求解； （3）利用三角形内角和定理求得：，再利用角平分线的定义求得：最后根据对顶三角形的性质，即可求解. 4．【答案】（1）解：∠BPD、∠ABP和∠CDP三个角之间存在的数量关系是：∠BPD＝∠ABP+∠CDP，理由如下： 依题意得：AB∥MN∥CD， ∴∠BPN＝∠ABP，∠DPN＝∠CDP， ∴∠BPN+∠DPN＝∠ABP+∠CDP， 即∠BPD＝∠ABP+∠CDP （2）40；β﹣α；（β﹣α） 【解析】【解答】 解： ① 已知 ∠ABE＝150°，∠CDF＝170° 故第1空填：40 ② 如图所示：延长PE且与CD的交角为1， ∠PEB＝α，∠PFD＝β 故第2空填： ③EQ和FQ分别平分∠PEB和∠PFD 故第3空填： 【分析】（1）从问题入手思考，三个角不在一个三角形内或在一个角内，尝试想办法等量移动，寻找它们之间的关系；已知平行线，根据平行线性质可以做到角的等量移动，故由内错角相等进行等量代换，整理思考即可； （2） ①通过邻补角的计算，问题就变成和（1）相同了，同理可求；② 仍然从问题入手尝试想办法等量移动；根据两直线平行同位角相等的性质，延长PE与CD相交，根据三角形内角和定理或者外角定理都可推导出； ③思路与②相同，根据角平分线找到已知角的半角，这次根据平行移动到，根据三角形内角和定理或者外角定理都可推导出。 5.【答案】（1）解：①75°-α ②EF⊥FG，理由如下： ∵∠ABE+∠ABC+∠CBF=180°，∠ABE=∠CBF， ∴∠ABC=180°-2∠CBF， 同理，∠DCB=180°-2∠BCF， ∵AB∥CD， ∴∠ABC+∠DCB=180°， 即180°-2∠CBF+180°-2∠BCF=180°， ∴∠CBF+∠BCF=90°， ∴∠BFC=180°-90°=90°， ∴EF⊥FG. （2）解： 延长BC交DH于点M，如图： ∵∠MDC+∠M+∠MCD=180°， ∴∠M+∠MCD=180°-∠MDC=165°， ∵MD∥AB， ∴∠M+∠MBA=180°， ∵∠MCD+∠DCB=180°， ∴∠DCB+∠CBA=180°-∠MCD+180°-∠M=360°-165°=195°， ∴， ∴∠BFC=180°-∠FCB-∠CBF=97.5°． 【解析】【解答】解：（1）①∵ㄥABE=∠CBF=α，∠BFC=105°， ∴∠DCG=∠BCF=180°-105°-α=75°-α， 故答案为：75°-α； 【分析】（1）①根据∠DCG=∠BCF=180°-∠EFC-∠CBF，即可得出结果； ②先求出∠ABC=180°-2∠CBF，∠DCB=180°-2∠BCF，根据两直线平行，同旁内角互补可得∠ABC+∠DCB=180°，求出∠CBF+∠BCF=90°，根据三角形内角和是180°即可求解； （2）延长BC交DH于点M，根据三角形内角和是180°可得∠M+∠MCD=165°，根据两直线平行，同旁内角互补可得∠M+∠MBA=180°，求得∠DCB+∠CBA=195°，∠FCB+∠CBF=82.5°，根据三角形内角和是180°即可求解. 6．【答案】（1）证明：∵， ∴，， ∵， ∴． （2）解：如图2中， ∵， ∴， ∵， ∴； （3）解：①当点E在点O的上方时，如图3-1： ∵， ∴， ∵平分，平分， ∴，， 由三角形外角的性质可得：，， ∴， ∴， 即． ②当点E在点O的下方时，如图3-2： 由题意知，，，， ∴， ∴ ， 综上所述，或． 【解析】【分析】（1）根据平行线的性质可证； （2）根据三角形外角性质先求出∠FDC=75°，再根据平行线的性质即可得出答案； （3）分两种情况，①当点E在点O上方时，根据角平分线和三角形的外角性质可得出答案；②当点E在点O下方时，由三角形内角和定理可得∠OAE+∠OEA=110°，∠AGE=180°-（∠GAE+∠GEA），再根据三角形角平分线的性质即可求出答案. 第7天答案解析 1．【答案】（1）解：①如图，过点E作EF∥AM， ∵AM∥CN，EF∥AM， ∴AM∥EF∥CN， ∴∠BEF=∠ABE=20°，∠CDE=∠DEF=∠BED-∠BEF=60°-20°=40°； ②∠AEB=∠CDE，理由如下： ∵AM∥EF， ∴∠BAC+∠AEF=180°，即∠BAC+∠AEB+∠BEF=180°， ∵ ∠BAC+∠BED=180° ，即 ∠BAC+∠BEF+∠DEF=180° ， ∴∠AEB=∠DEF， 由①知∠CDE=∠DEF， ∴∠CDE=∠AEB； （2）解：由②知∠AEB=∠CDE，设∠CDE=x，则∠AEB=x， ∴∠EDN=180°-x， ∵PE与PD分别平分∠AEB与∠EDN， ∴∠PEB=∠AEB=x，∠EDP=（180°-x）=90°-x， 在△PED中，∠EPD=180°-∠PEB-∠BED-∠PDE=180°-x- α -（90°-x）=90°- α. 【解析】【分析】（1）①如图，过点E作EF∥AM，由平行于同一直线的两条直线互相平行得AM∥EF∥CN，进而根据二直线平行，内错角相等得∠BEF=∠ABE=20°，∠CDE=∠DEF，最后根据角的和差算出答案； ②∠AEB=∠CDE，理由如下：由二直线平行，同旁内角互补得∠BAC+∠AEB+∠BEF=180°，由已知得∠BAC+∠BEF+∠DEF=180° ，则推出∠AEB=∠DEF，由①知∠CDE=∠DEF，从而由等量代还可得结论； （2）由②知∠AEB=∠CDE，设∠CDE=x，则∠AEB=x，由平角定义得∠EDN=180°-x，由角平分线定义得∠PEB=∠AEB=x，∠EDP=（180°-x）=90°-x，最后在△PED中，由三角形的内角和定理，根据∠EPD=180°-∠PEB-∠BED-∠PDE可得出答案. 2．【答案】证明：∵DE平分，∴= ， ∵，∴，∠ADC=∠B，∴ AB//CD，∴+，∴+，∴AD//BC；若CE⊥DE，且，求的度数．解：∵ CE⊥DE，∴ ∠CED=90°，设∠AED=∠ADE=x，则∠DAE=180°-2x，∠CEA=90°+x，∵，∴ 180°-2x=90°+x，∴ x=30°，∴∠B=2x=60°， ∠BEC=60°，∴ ∠ECB=60°. （1）证明：∵DE平分，∴= ， ∵， ∴，∠ADC=∠B， ∴ AB//CD， ∴+， ∴+， ∴AD//BC； （2）解：∵ CE⊥DE， ∴ ∠CED=90°， 设∠AED=∠ADE=x，则∠DAE=180°-2x，∠CEA=90°+x， ∵， ∴ 180°-2x=90°+x， ∴ x=30°， ∴∠B=2x=60°， ∠BEC=60°， ∴ ∠ECB=60°. 【解析】【分析】（1）根据角平分线的定义可推出AB∥CD，根据同旁内角互补，两直线平行即可证明； （2）根据垂直的定义可得∠CED=90°，设∠AED=∠ADE=x，根据列出方程，再求出∠B和∠BEC，根据三角形内角和即可求得∠ECB. 3．【答案】证明： 即 【解析】【分析】根据垂直可得∠BAD+∠B=90°，即可得到∠AFE+∠BAD=90°，再根据三角形内角和定理证明即可. 4．【答案】（1）证明：如图1中，∵，， ∴． （2）解：如图2中，∵，∴， ∵， ∴； （3）解：①当点E在点O的上方时，如图3-1： ∵， ∴， ∵平分，平分， ∴，， 由三角形外角的性质可得：，， ∴， ∴， 即． ②当点E在点O的下方时，如图3-2： 由题意知，，，， ， ， 综上所述，或． 【解析】【分析】（1）利用三角形内角和为180度，平角为180度，等量代换即可证明； （2）利用三角形外角的性质先求出，再根据平行线的性质可得 （3）分点E在点O的上方和下方两种情况，画出图形，利用三角形内角和定理、外角的性质、角平分线的定义，分别求解即可． 5．【答案】【分析】 （1）根据运动可以得到 ，然后三角形得内角和为180得出， 当点E与点C重合时， 列方程求出值即可解答； （2）根据动线的位置确定，且不超过时的。列不等式组 解题即可解答； （3）由角平分线的定义得到，，然后利用三角形外角的性质计算即可解答； （4）先求出、、的度数，分为、、和四种情况分别解题即可解答． （1）解：∵射线从射线出发．绕点A以每秒的速度逆时针旋转， ∴； ∵，， ∴， 当点E与点C重合时， ∴，解得； 故答案为：，； （2）若要与射线相交， 则， 当点E在点C右侧时， ，解得， 故答案为：； （3）解：，理由为： ∵是的外角， ∴， ∵、的角平分线交于点P， ∴，， ∴； （4）解：∵， ∴， 又∵和时和的平分线， ∴，， ∴， ∴， 当时，则，解得； 当时，则，解得； 当时，则，解得(舍去)； 当时，则，解得； 综上所述，t的值为，或． 6．【答案】（1）证明：∵AB∥CD， ∴∠BAC+∠DCA=180°. ∵∠EAC+∠AEC+∠ECA=180°， ∴∠BAE+∠ECD+∠AEC=∠BAC+∠EAC+∠ECA+∠ACD+∠AEC=(∠BAC+∠ACD)+(∠EAC+∠ECA+∠AEC)=360°. （2）解：不满足原结论，正确的结论是∠BAE+∠ECD=∠AEC，证明如下： 如图，连接AE， ∵AB∥CD， ∴∠BAC+∠DCA=180°. ∵∠EAC+∠AEC+∠ECA=180°， ∴∠BAE+∠ECD=∠BAC－∠EAC+∠DCA－∠ECA=(∠BAC+∠DCA)－(180°－∠AEC)=∠AEC. 即∠BAE+∠ECD=∠AEC.​​​​​​ （3）解：当点E移动到直线AB上方时，如图： 有∠BAE+∠AEC=∠ECD， 当点E移动到直线CD下方时，如图： 有∠BAE=∠AEC+∠ECD. 【解析】【分析】（1）由AB∥CD，得∠BAC+∠DCA=180°.而∠EAC+∠AEC+∠ECA=180°，即可得∠BAE+∠ECD+∠AEC=360°. （2）由AB∥CD，得∠BAC+∠DCA=180°.而∠EAC+∠AEC+∠ECA=180°，即可得∠BAE+∠ECD=∠AEC. （3）分别移动点E的位置到直线AB上方和直线CB下方，观察结论即可. 1 / 1 学科网（北京）股份有限公司 $