专题05 图形的运动（10重点+20题型+复习提升）（寒假复习讲义）七年级数学新教材沪教版五四制

专题05 图形的运动 内容导航 串讲知识：思维导图串讲知识点，有的放矢 重点速记：知识点和关键点梳理，查漏补缺 考点巩固：必考题型讲透练透，能力提升 复习提升：真题感知+提升专练，全面突破 知识点一 ：平移的概念 ◆1、平移的定义：在平面上，将图形上所有点都按照某个方向作相同距离的位置移动，叫做平移变换，简称平移． ◆2、平移的要素：一是平移的方向，二是平移的距离. ◆3、图形的平移是整个图形都在移动，即图形中所有点、线平移的方向和平移的距离都相同，所以确定一个图形平移的方向和距离，只需确定图形上一个点平移的方向和距离即可. 知识点二 ：平移的性质 （1）每组对应点之间的距离相等; （2）分别连接两组对应点，所成的线段平行(或在同一直线上)且相等； （3）对应角的大小相等，对应线段平行(或在同一直线上)且相等; （4）平移后得到的图形与原图形形状相同，大小相等. 图形平移前后对应点之间的距离叫作图形平移的距离 【注意】 1、图形的平移改变了图形的位置，但不改变图形的形状和大小； 2、图形的平移的方向不限于水平方向，可以是上下平移和左右平移，也可以是按任意指定方向平移，只要是按直线方向即可. 3、“连接各组对应点的线段”是原图形上的点与平移后的图形上的点连接而成的；而“对应线段”就存在于原来的图形与平移后的图形之中，是图形的一部分. 知识点三 ：平移作图 ◆1、平移作图是平移基本性质的应用，利用平移可以得到许多美丽的图案. ◆2、在具体作图时，应抓住作图的四步----定、找、移、连 （1）定：确定平移的方向和距离． （2）找：找到图形的关键点； （3）移：过关键点作平行且相等的线段，得到关键点的对应点； （4）连：按原图形顺次连接对应点． 知识点四 ：旋转的相关概念 ◆1、旋转：把一个平面图形绕平面内某一点 O 转动一个角度，叫做图形的旋转.这个点哦O称为旋转 中心.转动的角称为旋转角.如果图形上的点 P 经过旋转变为点 P'，那么这两个点叫做这个旋转的对应点. ◆2、旋转的三要素：旋转中心，旋转方向，旋转角度.在旋转过程中，始终保持不动的点是旋转中心，旋转中心可以在图形的内部，也可以在图形的外部，还可以是图形上的某点旋转.方向分为顺时针与逆时针. ★温馨提示：①旋转的范围是“平面内”，其中“旋转中心，旋转方向，旋转角度”称之为旋转的三要素； ②旋转变换同样属于全等变换. 知识点五 ：旋转的性质 ◆1、旋转的性质 （1）每组对成点到旋转中心的距离相等； （2）两组对应点分别与旋转中心连线，所成的角相等； （3）对应线段的长度相等，对应角的大小相等； （4）旋转后得到的图形与原图形形状相同，大小相等. ◆2、旋转中心的确定： 根据旋转的性质可知，对应点到旋转中心是距离相等，所以旋转中心位于对应点连线的垂直平分线上，即旋转中心是两对对应点所连线段的垂直平分线的交点. 知识点六 ：旋转作图 ◆图形旋转作图的步骤： （1）先确定三要素，即旋转中心、旋转角、旋转方向； （2）确定原图形的关键点； （3）将关键点分别与旋转中心连接后旋转，找到关键点的对应点； （4）顺次连接各对应点. 知识点七 ：轴对称图形 ◆1、轴对称图形的概念：若将一个图形沿着某一条直线翻折过来，直线两边的部分能够相互重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴，这时，我们也可以说这个图形关于这条直线（成轴）对称． ◆2、轴对称图形是针对一个图形而言的，是一种具有特殊性质图形，被一条直线分割成的两部分沿着对称轴折叠时，互相重合；轴对称图形的对称轴可以是一条，也可以是多条甚至无数条． ◆3、常见的轴对称图形：等腰三角形，矩形，正方形，等腰梯形，圆等等． 知识点八 ：轴对称 （1） 轴对称的相关概念 ◆1、轴对称：把一个图形沿着某一条直线翻折，如果它能够与另一个图形重合，那么就称这两个图形关于这条直线成对称，这条直线叫做对称轴．翻折后重合的点叫做对称点. 【注意】理解轴对称的定义应抓住三点：①有两个图形；②存在一条直线；③一个图形沿着这条直线折叠后能与另一个图形重合. ◆2、轴对称图形和轴对称的区别与联系 轴对称图形 轴对称 区别 对象 一个图形 两个图形 意义 一个图形具有的特殊形状 两个全等图形的特殊的位置关系 对称轴的条数 一条或多条 只有一条 对称轴的位置 一定经过这个图形 可能在两个图形的外部，也可以经过两个图形内部或它们的公共边（点）. 联系 1.都是沿着某条直线折叠后能重合. 2.若把成轴对称的两个图形看作一个整体，则这个整体就是轴对称图形；反过来，若把轴对称图形的对称轴两旁的部分看作两个图形，则这两个图形关于这条直线（原对称轴）对称． （二）轴对称的性质 ◆1、轴对称的性质： 两个图形关于一条直线成轴对称，具有下面的性质: (1)对应线段的长度相等，对应角的大小相等，这两个图形形状相同大小相等; (2)连接对称点的线段和对称轴垂直，并且被对称轴平分， ◆2、找对称轴：若两个图形成轴对称，其对称轴就是任何一对对应点所连线段的垂直平分线，因此只要找到一对对应点，再作出连接它们的线段的垂直平分线就可以得到这两个图形的对称轴．轴对称图形的对称轴作法相同． ◆3、、作一个图形关于某条直线成轴对称的方法： 先确定一些特殊的点，然后作这些特殊点的对称点，顺次连接即可． 知识点九 ：画已知图形的轴对称图形 画与已知图形成轴对称的图形的步骤： （1）找：观察已知图形，找出能代表已知图形的关键点（顶点或拐点）； （2）作：分别作出这些关键点关于对称轴对称的点； （3）连：按原图形的顺序依次连结相应的对称点. 知识点十 ：中心对称 ◆1、中心对称的定义：在平面上，一个图形绕着一个定点旋转180后，能与另一个图形重合这两个图形称为关于这个定点对称，也称这两个图形成中心对称，这个定点称为对称中心. ★★★两个图形成中心对称须具备三个条件： ① 能找到一个对称中心； ② 旋转角为 180°； ③ 这两个图形旋转后能完全重合. 【注意】 （1）中心对称是一种特殊的旋转，其旋转角是180°； （2）中心对称是两个图形之间一种特殊的位置关系； （3）成中心对称的两个图形只有一个对称中心，对称中心可能在图形的外部、内部或图形上，对称点一定 对称中心两侧或与对称中心重合. ◆2、中心对称图形：如果一个图形上的所有点绕着所在平面上的一个定点旋转180°后，能与原图形重合，那么这个图形叫作中心对称图形，这个定点叫作对称中心， 判断一个图形是否是中心对称图形，必须满足： ① 一个图形；② 绕一点旋转 180°；③ 与原图形完全重合(包括图案). ◆3、中心对称的性质 两个关于一点成中心对称的图形，具有下面的性质： （1）对应线段平行(或在同一直线上)且相等： （2）连接每组对称点的线段都经过对称中心，并且被对称中心平分， 【注意】 （1）成中心对称的两个图形，对称点所连线段都经过对称中心，而且被对称中心所平分. （2）成中心对称的两个图形，其对应线段互相平行（或在同一条直线上）且相等. ◆4、确定对称中心的方法： 方法一：连接任意一对对称点，取这条线段的中点，则该点就是对称中心. 方法二：连接任意两对对称点，这两条线段的交点就是对称中心. ◆5、作已知图形关于某一点对称的图形 ◆作图步骤： （1） 确定关键点:将各关键点（如多边形的各顶点）和对称中心连接并延长. （2） 确定对应点：在各延长线上取对应点，使对应点到对称中心的距离和关键点到对称中心的距离相等. （3） 连线：按照原图顺次连接对应点即可得到所求作的图形. ◆6、中心对称与中心对称图形的区别和联系： 中心对称 中心对称图形 区别 （1）是针对两个图形而言的. （1）是针对一个图形而言的. （2）是指两个图形的（位置）关系. （2）是指具有某种性质的一个图形. （3）对称点在两个图形上. （3）对称点在一个图形上. （4）对称中心可能在两个图形的外部， 也可能在图形的内部或图形边界上. （4）对称中心在图形的内部或图形边界上. 联系 （1） 都是根据把图形旋转180°后能重合定义的.(2)两者可以相互转化，若把中心对称的两个图形视为一个整体，则整个图形是中心对称图形；若把一个中心对称图形相 互对称的两部分看作两个图形，则这两个图形成中心对称. 【题型1生活中的平移】 高妙技法 利用平移的概念及性质来解决此类问题，一个图形经过平移后得到一个新图形，这个新图形能与原图形重合，只是位置发生了变化. 【典例1】（25-26七年级上·上海宝山·月考）下列生活现象中是平移的是（   ） A．钟摆的运动 B．汽车雨刷的运动 C．过安检时传送带上行李箱的运动 D．骑自行车时前后轮的转动 【变式1】（24-25七年级上·上海宝山·期末）中国的历史文化源远流长，我们的祖先创造了很多造型别致且实用美观的纹样．下面四个纹样中，属于四方连续纹样的是（   ） A． B． C． D． 【变式2】（25-26七年级上·上海宝山·月考）下列生活中的现象是旋转的是（   ） A．飞驰的汽车 B．匀速转动的摩天轮 C．运动员投掷标枪 D．乘坐升降电梯 【题型2 图形的平移】 高妙技法 利用平移的概念及性质来解决此类问题，一个图形经过平移后得到一个新图形，这个新图形能与原图形重合，只是位置发生了变化. 【典例1】（24-25七年级上·上海闵行·月考）在的方格纸中，将图①中的三角形甲平移到图②中所示的位置，与三角形乙拼成一个长方形，下面平移的方法中正确的是（   ） A．先向下平移2格，再向右平移1格 B．先向下平移2格，再向右平移2格 C．先向下平移2格，再向右平移3格 D．先向下平移3格，再向右平移2格 【变式1】（2024七年级上·上海·专题练习）下图中所给图形只用平移可以得到的是（　　） A． B． C． D． 【变式2】（2024七年级上·上海·专题练习）如图，为保持原图的模样，应选下图、、、的哪一块拼在图案的空白处（　　） A． B． C． D． 【题型3 用平移的性质计算】 高妙技法 本题考查了平移的性质，对应点连线的长度等于平移的距离，平移变化只改变图形的位置不改变图形的形状，一般的题型十求图形中阴影部分的面积或是求有关线段的长度等,计算图形面积时，可采用整体减去部分的方法. 【典例1】（2025七年级上·上海·专题练习）如图，将长方形平移到长方形的位置，则平移的距离是 ． 【变式1】（25-26七年级上·上海宝山·月考）如图，将三角形沿射线平移后得到三角形，如果，，那么的度数是 ． 【变式2】（25-26七年级上·上海宝山·月考）如图，在四边形中，，，将，分别平移到和的位置，如果，，那么 cm． 【题型4平移作图】 高妙技法 平移作图时，通常先平移关键点，再组合图形，平移作图的关键是找出平移的方向和距离. 【典例1】（2024七年级上·上海·专题练习）经过平移，小鱼上的点移到了点． (1)请画出平移后的小鱼； (2)该小鱼是怎样从点移到了点？（上下左右） 【变式1】（1）如图，平移三角形，使点A平移到点，画出平移后的三角形； （2）在（1）的条件下，指出点B的对应点，并指出的对应线段和的对应角． 【变式2】如图，已知在边长为1的方格纸中，点A，B，C，都在格点上． (1)将三角形经过平移后得到三角形，若点是点A的对应点，请在图中画出三角形． (2)将三角形先向上平移__________个单位，再向__________平移__________个单位得到三角形． 【题型5 旋转的相关概念】 高妙技法 把一个平面图形绕平面内某一点 O 转动一个角度，叫做图形的旋转.这个点哦O称为旋转中心.转动的角称为旋转角.如果图形上的点 P 经过旋转变为点 P'，那么这两个点叫做这个旋转的对应点. 【典例1】（24-25九年级下·上海·月考）下列选项中的运动，属于旋转变换的是（   ） A．升国旗的过程 B．摩天轮的转动 C．汽车刹车时的滑动 D．电梯的运行 【变式1】（23-24七年级上·上海·单元测试）以下生活用品中，不属于旋转图形的是（          ） A．大红“双喜字” B．三张叶片电风扇 C．四叶风车 D．红五星 【变式2】下列图案中，不能由其中一个图形通过旋转而构成的是（　　） A． B． C． D． 【题型6 旋转中心的确定】 高妙技法 根据旋转的性质可知，对应点到旋转中心是距离相等，所以旋转中心位于对应点连线的垂直平分线上，即旋转中心是两对对应点所连线段的垂直平分线的交点. 【典例1】如图，在的正方形网格中，由旋转得到，其旋转中心是（    ） A．点 B．点 C．点 D．点 【变式1】如图，正方形网格中，△PEF绕某一点逆时针旋转n度后得到△P′E′F′．在A、B、C、D等4个格点中，是旋转中心的为 　　 ． 【变式2】在如图所示的正方形网格中，四边形绕某一点旋转某一角度得到四边形（所有顶点都是网格线交点），在网格线交点中，可能是旋转中心的是（    ） A．点 B．点 C．点 D．点 【题型7 旋转的性质及辨析】 高妙技法 （1）每组对成点到旋转中心的距离相等； （2）两组对应点分别与旋转中心连线，所成的角相等； （3）对应线段的长度相等，对应角的大小相等； （4）旋转后得到的图形与原图形形状相同，大小相等. 【典例1】（24-25七年级上·上海普陀·期末）如图，将绕点逆时针旋转后得到，其中点分别与点、对应，与交于点，那么下列说法中错误的是（    ） A． B． C．阴影部分的面积与的面积相等 D．与的面积相等 【变式1】如图，顺时针旋转到的位置，则旋转中心及旋转角分别是（　　） A．点， B．点O， C．点， D．点O， 【变式2】如图所示，△ABC直角三角形，延长AB到D，使BD＝BC，在BC上取BE＝AB，连接DE．△ABC顺时针旋转后能与△EBD重合，那么： （1）旋转中心是哪一点？旋转角是多少度？ （2）AC与DE的关系怎样？请说明理由． 【题型8 求旋转图形中相关角度的大小】 高妙技法 ①旋转后得到的图形与原图形形状相同，大小相等． ②利用旋转角相等求解． 【典例1】（2024七年级上·上海·专题练习）如图，将含和的直角三角板，绕点顺时针旋转至处，，则旋转角的度数是（    ） A． B． C． D． 【变式1】（24-25七年级上·上海闵行·月考）如图，在长方形中，，，、分别是、的中点，如果将长方形绕点逆时针旋转，则旋转后的长方形与长方形重叠部分的面积是（   ）． A． B． C．5 D． 【变式2】（24-25八年级上·山东济南·期末）如图，将逆时针旋转一定角度（）后得到，点恰好为的中点． (1)若，指出旋转中心，并求出的值； (2)若，求的长． 【题型9 旋转作图】 高妙技法 图形旋转作图的步骤： （1）先确定三要素，即旋转中心、旋转角、旋转方向； （2）确定原图形的关键点； （3）将关键点分别与旋转中心连接后旋转，找到关键点的对应点； （4）顺次连接各对应点. 【典例1】（23-24七年级上·上海青浦·期末）如图，在边长为1的正方形网格中，三角形的顶点都在格点上． (1)画出三角形向右平移5个单位之后的三角形； (2)将三角形绕一点旋转，得到三角形，已知点A与点是对应点（如图所示），请画出三角形． (3)三角形与三角形的位置关系是______对称． 【变式1】（23-24七年级下·全国·课后作业）根据要求画出旋转后的三角形． (1)如图①，画出将绕点O逆时针旋转后的； (2)如图②，画出将绕点O旋转后的． 【变式2】（24-25七年级上·上海宝山·期末）在正方形网格中，每个小正方形的边长均为1个单位长度，三个顶点均在格点上，位置如图所示． (1)将先向右平移1个单位，再绕点按顺时针方向旋转后得到，试画出； (2)在（1）的基础上，连接、，四边形的面积是__________． 【题型10 轴对称图形的识别】 高妙技法 若将一个图形沿着某一条直线翻折过来，直线两边的部分能够相互重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴，这时，我们也可以说这个图形关于这条直线（成轴）对称． 【典例1】（25-26七年级上·上海·月考）下列四个图案中，是轴对称图形的是（    ） A． B． C． D． 【变式1】（24-25七年级上·上海闵行·期末）下列图形中，不是轴对称图形的是（    ） A． B． C． D． 【变式2】（24-25八年级上·上海·期中）在回收、不可回收、绿色食品、节能四个标志中，是轴对称图形的是（    ） A． B． C． D． 【题型11 轴对称的性质】 高妙技法 1、镜面实质上是无数对对应点的对称，连接对应点的线段与镜面垂直并且被镜面平分，即镜面上有每一对对应点的对称轴． 2、关于镜面问题动手实验是最好的办法，如手头没有镜面，可以写在透明纸上，从反面看到的结果就是镜面反射的结果． 【典例1】（24-25七年级上·上海闵行·期末）下列说法错误的是（    ） A．图形的平移后，每组对应点之间的距离相等 B．图形的旋转后，对应点到旋转中心的距离相等 C．两个图形如果关于一条直线成轴对称，那么由这两个图形所组成的图形是轴对称图形 D．两个图形关于一条直线成轴对称，连接对称点的线段和对称轴互相垂直平分 【变式1】（2025七年级上·上海·专题练习）如图，与关于直线对称，P为上任一点（P不与共线），下列结论中错误的是（   ） A．是等腰三角形 B．垂直平分 C．与的面积相等 D．直线的交点不一定在上 【变式2】（22-23七年级下·上海闵行·期末）已知：如图，，点P在的内部，，点与点P关于对称，点与点P关于对称，那么以、O、三点为顶点的三角形面积是（　　） A．4 B．8 C．16 D．无法确定 【题型12 轴对称在镜面对称中的应用】 高妙技法 1、镜面实质上是无数对对应点的对称，连接对应点的线段与镜面垂直并且被镜面平分，即镜面上有每一对对应点的对称轴． 2、关于镜面问题动手实验是最好的办法，如手头没有镜面，可以写在透明纸上，从反面看到的结果就是镜面反射的结果． 【典例1】（2024七年级下·全国·专题练习）小明在镜中看到身后墙上的时钟，实际时间最接近8时的是下图中的（ ） A． B． C．D． 【变式1】（25-26八年级上·河南许昌·期中）小明同学从镜子中看到的一组号码（如图），该号码表示的实际号码应该是（    ） A．2653 B．5623 C．3562 D．3265 【变式2】（25-26七年级上·上海·月考）东东放假去外地看爷爷，他买的是11点的火车．由于去的早，他在候车室睡着了，等醒来的时候，他从镜子中看到背面墙上的电子钟显示的时间如图所示，他吓了一身汗，以为自己错过了火车，则东东醒来时的正确时间是 ． 【题型13 折叠问题】 高妙技法 轴对称折叠的本质是图形关于折痕成轴对称，因此折叠前后的图形完全重合（即全等），这是所有解题方法的基础。掌握这一原则，就能抓住边、角、位置关系的变化规律。 【典例1】（24-25七年级上·上海杨浦·期末）“一把剪刀蕴神技，一方红纸酿年味”，剪纸是中国传统的民间艺术，是中国的非物质文化遗产，随着社会的发展形成了一定特征的数学文化．如图，小明在剪纸活动中，将一张长方形纸片对折三次后，沿着成线剪去一个角，再打开后的形状是（    ） A． B． C． D． 【变式1】（2024七年级上·上海·专题练习）如图，将长方形纸片先沿虚线向右对折，接着将对折后的纸片沿虚线向下对折，然后剪下一个小三角形，再将纸片打开，则打开后的图形是（   ） A． B． C． D． 【变式2】（25-26七年级上·上海·月考）如图，已知长方形纸片，，，．先将长方形纸片折叠，使点落在边上，记作点，折痕为，再将沿向右翻折，使点落在射线上，记作点．若翻折后的图形中，线段，则的值为 ． 【题型14 画轴对称图形】 高妙技法 作一个图形关于某条直线成轴对称的方法：先确定一些特殊的点，然后作这些特殊点的对称点，顺次连接即可． 【典例1】（24-25七年级上·上海静安·期末）如图是的正方形网格，格线的交点称为格点，以格点为顶点的三角形称为格点三角形 (1)在图中画出三角形关于直线l成轴对称的三角形； (2)在该网格中是否还存在与三角形成轴对称的其它格点三角形？如果存在，请在备用图中画出该三角形，并画出相应的对称轴．（对称三角形的顶点字母可省略不写） 【变式1】（25-26七年级上·上海·月考）已知点E是正方形的边的一点，且点E不与点B、C重合．在图1、图2、图3的正方形网格图中，点A、B、C、D、E都是格点，请按要求画图； (1)在图1中画出三角形平移后得到的三角形，其中点A、B、E的对应点分别是点F、D、G． (2)连接，在图2中画出与三角形关于直线成轴对称的图形． (3)点是正方形网格图中的一点，且点O不与点A、B、C、D、E重合．将三角形绕着点O旋转，使得线段与线段重合．请在图3中画出符合上述条件的点O以及三角形旋转后得到的三角形． 【变式2】（25-26七年级上·上海·期中）平移、旋转和轴对称是图形运动的基本形式．图中的三角形①、③、⑤的顶点都在边长为1个单位长度的正方形网格点上． (1)如图，三角形③可以看成由三角形①经过一次___________得到（填“平移”“旋转”或“翻折”）；也可以看作由三角形①先沿直线翻折得到三角形②，再由三角形②沿直线翻折得到三角形③，请在网格中作出三角形②和直线． (2)通过问题（1），我们可以发现：图形的一次平移可以通过___________来实现． (3)基于问题（2）的发现，于是聪明的你提出一个猜想：图形的一次平移能否通过两次旋转实现？例如：三角形⑤可以看成由三角形③经过一次平移得到；也可以看作三角形③先绕着点___________（填“顺”或“逆”）时针旋转___________．得到三角形④：再将三角形④绕着点___________（填“顺”或“逆”）时针旋转___________．得到三角形⑤．完成以上填空并在网格中作出三角形④． 【题型15 中心对称图形的识别】 高妙技法 判断一个图形是否是中心对称图形，必须满足： ① 一个图形；② 绕一点旋转 180°；③ 与原图形完全重合(包括图案). 【典例1】（25-26七年级上·上海·期末）下列图形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（    ） A． B． C． D． 【变式1】（2025七年级上·上海·专题练习）下列图形中，是中心对称图形，但不是轴对称图形的是（ ） A． B． C． D． 【变式2】（2025七年级上·上海·专题练习）下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ） A． B． C． D． 【题型16中心对称的概念和性质】 高妙技法 1、两个图形成中心对称须具备三个条件： ① 能找到一个对称中心；② 旋转角为 180°；③ 这两个图形旋转后能完全重合. 2、中心对称的性质 （1）中心对称的两个图形，对称点所连线段都经过对称中心，并且被对称中心所平分(即每组对称点与对称中心三点共线)； （2）中心对称的两个图形是全等图形. 【典例1】若两个图形成中心对称，则下列说法： ①对应点的连线必经过对称中心； ②这两个图形的形状和大小完全相同； ③这两个图形的对应线段一定相等； ④将一个图形绕对称中心旋转某个角度后必与另一个图形重合． 其中正确的有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【变式1】如图，△ABC与△A′B′C′关于点O成中心对称，则下列结论不成立的是（　　） A．点A与点A′是对称点 B．BO＝B′O C．∠AOB＝∠A′OB′ D．∠ACB＝∠C′A′B′ 【变式2】（23-24九年级上·全国·课后作业）如图，与关于点成中心对称，下列说法： ①；②；③；④与的面积相等，其中正确的有（    ） A．个 B．个 C．个 D．个 【题型17 中心对称的作图】 高妙技法 （1）确定关键点:将各关键点（如多边形的各顶点）和对称中心连接并延长. （2）确定对应点：在各延长线上取对应点，使对应点到对称中心的距离和关键点到对称中心的距离相等. （3）连线：按照原图顺次连接对应点即可得到所求作的图形. 【典例1】（23-24七年级上·上海浦东新·期末）作图题（保留作图痕迹，不必写出画法） (1)将点向右平移3个单位可到达点，再将点向上平移2个单位可到达点，标出点、点，并连接和． (2)在方格图中分别画出三角形和三角形，使三角形和三角形关于直线成轴对称：三角形和三角形关于点成中心对称． (3)三角形和三角形有没有对称关系？如果有，成怎样的对称关系？ 【变式1】（24-25七年级上·上海松江·期末）如图，已知三角形，按下列要求画出图形（不用写画法，保留作图痕迹，书写结论）； (1)在图（1）中画出三角形关于点成中心对称的三角形； (2)在图（2）中画出三角形关于直线成轴对称的三角形． 【变式2】（23-24七年级上·上海金山·期末）如图所示，在四边形中， (1)画出四边形，使四边形与四边形关于直线成轴对称； (2)画出四边形，使四边形与四边形关于点成中心对称； (3)四边形与四边形是否对称，若对称请在图中画出对称轴或对称中心． 【题型18 图形的运动综合题】 【典例1】（2024七年级上·上海·专题练习）探究证明图形的操作过程（本题中四个长方形的水平方向的边长均为，竖直方向的边长均为 在图①中，将线段向右平移1个单位长度到，得到封闭图形（即阴影部分） 在图②中，将折线向右平移1个单位长度到，得到封闭图形（即阴影部分）．请你分别写出上述两个图形中除去阴影部分后剩余部分的面积： ， ． 结论应用在图③中，请你类似的画一条有两个折点的线，同样向右平移1个单位长度，从而得到一个封闭图形，并用斜线画出阴影，则阴影部分的面积 ． 联系拓展如图④，在一块长方形草地上，有一条弯曲的柏油小路（小路任何地方的水平宽度都是1个单位长度），请你猜想空白部分表示的草地面积是多少，并证明你的猜想是正确的． 【变式1】（23-24七年级上·上海松江·期末）如图，在长方形中，连接，已知边，（） (1)画出三角形绕点C顺时针旋转后的三角形（点A、B的对应点分别为点E、F ），不写画法，写出结论； (2)用含a、b的代数式表示三角形的面积； (3)在（1）和（2）的条件下，连接交于点G，如果长方形的面积，，求的长． 【变式2】（24-25七年级上·上海杨浦·期末）如图，在中，，，，（），如果将绕点B顺时针旋转得到，将沿着射线方向平移得到． (1)画出． (2)若平移的距离为a． ①求四边形的面积．（用a，b的代数式表示）． ②若四边形的面积为20，的面积为6，求平移的距离． (3)若的面积和的面积相等，直接写出平移的距离．（用a，b的代数式表示） 1、 选择题 1．（23-24七年级上·上海闵行·期末）下列说法中正确的有（    ） （1）如果把一个图形绕着一定点旋转后和另一个图形重合，那么这两个图形成中心对称； （2）如果两个图形关于一点成中心对称，那么其对应点之间的距离相等； （3）如果一个旋转对称图形有一个旋转角为，那么它不是中心对称图形； （4）如果一个旋转对称图形有一个旋转角为，那么它是中心对称图形． A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 2．（25-26七年级上·上海·单元测试）下列图形中是轴对称图形的是（   ） A． B． C． D． 3．（2025七年级上·上海·专题练习）下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（   ） A． B． C． D． 4．（24-25九年级上·上海徐汇·月考）如图，在的方格纸中，画格点三角形（顶点均在格点上）与关于方格纸中的一个格点成中心对称，这样的三角形有（   ）个． A．1 B．2 C．3 D．4 5．（24-25七年级上·上海·期末）已知图形甲与图形乙，有如下三种说法： ①如果图形甲与图形乙成中心对称，那么它们不可能成轴对称； ②如果图形甲与图形乙成中心对称，那么图形甲不可能通过平移与图形乙重合； ③如果图形甲与图形乙成轴对称，那么图形甲不可能通过平移与图形乙重合； 上述说法中正确的是（   ） A．①② B．②③ C．①③ D．以上说法都不正确 6．（24-25七年级上·上海杨浦·期末）平行四边形、等边三角形、正方形、圆、矩形中，是轴对称图形但不是中心对称图形的个数有（   ） A．个 B．个 C．个 D．个 7．（25-26七年级上·上海·月考）如图，将三角形绕点按逆时针方向旋转一定的角度得到三角形，则旋转中心和旋转角是（   ） A．点B， B．点O， C．点B， D．点O， 8．（24-25七年级上·上海黄浦·期末）如图，地面上有不在同一直线上的A，B，C三点，一只青蛙位于地面异于A，B，C的P点，第一步青蛙从P跳到P关于A的对称点，第二步从跳到关于B的对称点，第三步从跳到关于C的对称点，第四步从跳到关于A的对称点…以下跳法类推，青蛙至少跳几步回到原处P．（　　） A．4 B．5 C．6 D．8 2、 填空题 9．（24-25七年级下·上海·月考）如图，旋转后到达的位置，，若，，，则的长度是 ． 10．（25-26七年级上·上海·月考）如果点与点关于直线对称，而且点到的距离是，那么线段的长是 ． 11．（24-25七年级上·上海闵行·期末）如图，点E是正方形的边AB上一点，将三角形沿所在的直线翻折，点B的对应点是点F，再将三角形沿所在的直线翻折，点E的对应点正好落在边的延长线上的点G，那么的度数为 ． 12．（24-25七年级上·上海杨浦·期末）如图，将沿所在的直线翻折后，使点B落在点D处，再将线段沿着射线向左平移若干单位长度得到，如果四边形的周长是10，那么 ． 13．（24-25七年级下·上海·期中）如图，中，，若沿过点的直线折叠此三角形，使点落在边上的点处，折痕为．则的周长是 ． 14．（25-26七年级上·上海·期中）如图，直线、垂直相交于点，曲线是关于点的中心对称图形，点的对称点是于点于点，若，则阴影部分的面积之和 ． 3、 解答题 15．（24-25七年级上·上海闵行·月考）已知和直线，点在直线上． (1)画出，使与关于直线成轴对称． (2)画出，使与关于点成中心对称． 16．（2024七年级上·上海·专题练习）在正方形网格中，每个小正方形的边长均为1个单位长度，三个顶点的均在格点上，位置如图所示． (1)请画出关于直线对称的； (2)连接、，并计算四边形的面积． 17．（24-25七年级上·上海·期末）在图中网格上按要求画出图形，并回答问题： (1)如果将三角形绕点向逆时针方向旋转，使得点、点、点的对应点分别为点、点、点，请画出三角形； (2)画出三角形关于点成中心对称的三角形； (3)三角形与三角形 （填“是”或“否”）关于某个点成中心对称？如果是，请在图中画出这个对称中心；如果不是，请描述通过怎样的运动可以使三角形与三角形重合． 18．（2024七年级上·上海·专题练习）和是两个形状、大小完全相同的直角三角形，如图①所示，三条边、、的长分别是、、，且、、、在同一条直线上． (1)如果朝着某个方向平移后得如图②所示，则平移的方向是什么？平移的距离是多少？ (2)平移至图③所示的位置，如果，则的面积是多少？ 19．（24-25七年级上·上海宝山·期末）已知中，，，，，点在边上，．    (1)如图①，绕着点顺时针方向旋转，点的对应点落在射线上，点的对应点落在边上，而点关于直线的对称点恰好是点，那么的长度为__________（结果用含的代数式表示）；旋转角的度数为__________； (2)如图②，绕着点顺时针方向旋转后得到，点和点的对应点分别是点和点．连接，用含的代数式表示． 20．（20-21七年级上·上海浦东新·期末）如图，在正方形中，点E是边上的一点（与A，B两点不重合），将绕着点C旋转，使与重合，这时点E落在点F处，联结．    (1)按照题目要求画出图形； (2)若正方形边长为3，，求的面积； (3)若正方形边长为m，，比较与的面积大小，并说明理由． 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题05 图形的运动 内容导航 串讲知识：思维导图串讲知识点，有的放矢 重点速记：知识点和关键点梳理，查漏补缺 考点巩固：必考题型讲透练透，能力提升 复习提升：真题感知+提升专练，全面突破 知识点一 ：平移的概念 ◆1、平移的定义：在平面上，将图形上所有点都按照某个方向作相同距离的位置移动，叫做平移变换，简称平移． ◆2、平移的要素：一是平移的方向，二是平移的距离. ◆3、图形的平移是整个图形都在移动，即图形中所有点、线平移的方向和平移的距离都相同，所以确定一个图形平移的方向和距离，只需确定图形上一个点平移的方向和距离即可. 知识点二 ：平移的性质 （1）每组对应点之间的距离相等; （2）分别连接两组对应点，所成的线段平行(或在同一直线上)且相等； （3）对应角的大小相等，对应线段平行(或在同一直线上)且相等; （4）平移后得到的图形与原图形形状相同，大小相等. 图形平移前后对应点之间的距离叫作图形平移的距离 【注意】 1、图形的平移改变了图形的位置，但不改变图形的形状和大小； 2、图形的平移的方向不限于水平方向，可以是上下平移和左右平移，也可以是按任意指定方向平移，只要是按直线方向即可. 3、“连接各组对应点的线段”是原图形上的点与平移后的图形上的点连接而成的；而“对应线段”就存在于原来的图形与平移后的图形之中，是图形的一部分. 知识点三 ：平移作图 ◆1、平移作图是平移基本性质的应用，利用平移可以得到许多美丽的图案. ◆2、在具体作图时，应抓住作图的四步----定、找、移、连 （1）定：确定平移的方向和距离． （2）找：找到图形的关键点； （3）移：过关键点作平行且相等的线段，得到关键点的对应点； （4）连：按原图形顺次连接对应点． 知识点四 ：旋转的相关概念 ◆1、旋转：把一个平面图形绕平面内某一点 O 转动一个角度，叫做图形的旋转.这个点哦O称为旋转 中心.转动的角称为旋转角.如果图形上的点 P 经过旋转变为点 P'，那么这两个点叫做这个旋转的对应点. ◆2、旋转的三要素：旋转中心，旋转方向，旋转角度.在旋转过程中，始终保持不动的点是旋转中心，旋转中心可以在图形的内部，也可以在图形的外部，还可以是图形上的某点旋转.方向分为顺时针与逆时针. ★温馨提示：①旋转的范围是“平面内”，其中“旋转中心，旋转方向，旋转角度”称之为旋转的三要素； ②旋转变换同样属于全等变换. 知识点五 ：旋转的性质 ◆1、旋转的性质 （1）每组对成点到旋转中心的距离相等； （2）两组对应点分别与旋转中心连线，所成的角相等； （3）对应线段的长度相等，对应角的大小相等； （4）旋转后得到的图形与原图形形状相同，大小相等. ◆2、旋转中心的确定： 根据旋转的性质可知，对应点到旋转中心是距离相等，所以旋转中心位于对应点连线的垂直平分线上，即旋转中心是两对对应点所连线段的垂直平分线的交点. 知识点六 ：旋转作图 ◆图形旋转作图的步骤： （1）先确定三要素，即旋转中心、旋转角、旋转方向； （2）确定原图形的关键点； （3）将关键点分别与旋转中心连接后旋转，找到关键点的对应点； （4）顺次连接各对应点. 知识点七 ：轴对称图形 ◆1、轴对称图形的概念：若将一个图形沿着某一条直线翻折过来，直线两边的部分能够相互重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴，这时，我们也可以说这个图形关于这条直线（成轴）对称． ◆2、轴对称图形是针对一个图形而言的，是一种具有特殊性质图形，被一条直线分割成的两部分沿着对称轴折叠时，互相重合；轴对称图形的对称轴可以是一条，也可以是多条甚至无数条． ◆3、常见的轴对称图形：等腰三角形，矩形，正方形，等腰梯形，圆等等． 知识点八 ：轴对称 （1） 轴对称的相关概念 ◆1、轴对称：把一个图形沿着某一条直线翻折，如果它能够与另一个图形重合，那么就称这两个图形关于这条直线成对称，这条直线叫做对称轴．翻折后重合的点叫做对称点. 【注意】理解轴对称的定义应抓住三点：①有两个图形；②存在一条直线；③一个图形沿着这条直线折叠后能与另一个图形重合. ◆2、轴对称图形和轴对称的区别与联系 轴对称图形 轴对称 区别 对象 一个图形 两个图形 意义 一个图形具有的特殊形状 两个全等图形的特殊的位置关系 对称轴的条数 一条或多条 只有一条 对称轴的位置 一定经过这个图形 可能在两个图形的外部，也可以经过两个图形内部或它们的公共边（点）. 联系 1.都是沿着某条直线折叠后能重合. 2.若把成轴对称的两个图形看作一个整体，则这个整体就是轴对称图形；反过来，若把轴对称图形的对称轴两旁的部分看作两个图形，则这两个图形关于这条直线（原对称轴）对称． （二）轴对称的性质 ◆1、轴对称的性质： 两个图形关于一条直线成轴对称，具有下面的性质: (1)对应线段的长度相等，对应角的大小相等，这两个图形形状相同大小相等; (2)连接对称点的线段和对称轴垂直，并且被对称轴平分， ◆2、找对称轴：若两个图形成轴对称，其对称轴就是任何一对对应点所连线段的垂直平分线，因此只要找到一对对应点，再作出连接它们的线段的垂直平分线就可以得到这两个图形的对称轴．轴对称图形的对称轴作法相同． ◆3、、作一个图形关于某条直线成轴对称的方法： 先确定一些特殊的点，然后作这些特殊点的对称点，顺次连接即可． 知识点九 ：画已知图形的轴对称图形 画与已知图形成轴对称的图形的步骤： （1）找：观察已知图形，找出能代表已知图形的关键点（顶点或拐点）； （2）作：分别作出这些关键点关于对称轴对称的点； （3）连：按原图形的顺序依次连结相应的对称点. 知识点十 ：中心对称 ◆1、中心对称的定义：在平面上，一个图形绕着一个定点旋转180后，能与另一个图形重合这两个图形称为关于这个定点对称，也称这两个图形成中心对称，这个定点称为对称中心. ★★★两个图形成中心对称须具备三个条件： ① 能找到一个对称中心； ② 旋转角为 180°； ③ 这两个图形旋转后能完全重合. 【注意】 （1）中心对称是一种特殊的旋转，其旋转角是180°； （2）中心对称是两个图形之间一种特殊的位置关系； （3）成中心对称的两个图形只有一个对称中心，对称中心可能在图形的外部、内部或图形上，对称点一定 对称中心两侧或与对称中心重合. ◆2、中心对称图形：如果一个图形上的所有点绕着所在平面上的一个定点旋转180°后，能与原图形重合，那么这个图形叫作中心对称图形，这个定点叫作对称中心， 判断一个图形是否是中心对称图形，必须满足： ① 一个图形；② 绕一点旋转 180°；③ 与原图形完全重合(包括图案). ◆3、中心对称的性质 两个关于一点成中心对称的图形，具有下面的性质： （1）对应线段平行(或在同一直线上)且相等： （2）连接每组对称点的线段都经过对称中心，并且被对称中心平分， 【注意】 （1）成中心对称的两个图形，对称点所连线段都经过对称中心，而且被对称中心所平分. （2）成中心对称的两个图形，其对应线段互相平行（或在同一条直线上）且相等. ◆4、确定对称中心的方法： 方法一：连接任意一对对称点，取这条线段的中点，则该点就是对称中心. 方法二：连接任意两对对称点，这两条线段的交点就是对称中心. ◆5、作已知图形关于某一点对称的图形 ◆作图步骤： （1） 确定关键点:将各关键点（如多边形的各顶点）和对称中心连接并延长. （2） 确定对应点：在各延长线上取对应点，使对应点到对称中心的距离和关键点到对称中心的距离相等. （3） 连线：按照原图顺次连接对应点即可得到所求作的图形. ◆6、中心对称与中心对称图形的区别和联系： 中心对称 中心对称图形 区别 （1）是针对两个图形而言的. （1）是针对一个图形而言的. （2）是指两个图形的（位置）关系. （2）是指具有某种性质的一个图形. （3）对称点在两个图形上. （3）对称点在一个图形上. （4）对称中心可能在两个图形的外部， 也可能在图形的内部或图形边界上. （4）对称中心在图形的内部或图形边界上. 联系 （1） 都是根据把图形旋转180°后能重合定义的.(2)两者可以相互转化，若把中心对称的两个图形视为一个整体，则整个图形是中心对称图形；若把一个中心对称图形相 互对称的两部分看作两个图形，则这两个图形成中心对称. 【题型1生活中的平移】 高妙技法 利用平移的概念及性质来解决此类问题，一个图形经过平移后得到一个新图形，这个新图形能与原图形重合，只是位置发生了变化. 【典例1】（25-26七年级上·上海宝山·月考）下列生活现象中是平移的是（   ） A．钟摆的运动 B．汽车雨刷的运动 C．过安检时传送带上行李箱的运动 D．骑自行车时前后轮的转动 【答案】C 【分析】本题主要考查了平移的定义， 平移是物体沿直线移动且方向不变的运动． 【详解】解：∵A钟摆运动是旋转，B汽车雨刷运动是旋转，D车轮转动是旋转，均不是平移；C传送带上行李箱运动是沿直线移动且方向不变，∴是平移. 故选：C． 【变式1】（24-25七年级上·上海宝山·期末）中国的历史文化源远流长，我们的祖先创造了很多造型别致且实用美观的纹样．下面四个纹样中，属于四方连续纹样的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了四方连续纹样，四方连续纹样是一种图案设计形式，由一个单位纹样向上下左右四个方向反复连续循环排列而成．据此分析即可． 【详解】解：属于四方连续纹样的是选项D， 故选：D． 【变式2】（25-26七年级上·上海宝山·月考）下列生活中的现象是旋转的是（   ） A．飞驰的汽车 B．匀速转动的摩天轮 C．运动员投掷标枪 D．乘坐升降电梯 【答案】B 【分析】本题主要考查了旋转的定义， 旋转是指物体围绕一个固定点或轴做圆周运动，而摩天轮的运动是围绕中心轴旋转，符合旋转的定义． 【详解】解：∵旋转的定义是物体绕一个固定点或轴转动， ∴选项B中摩天轮匀速转动是典型的旋转现象； 选项A中汽车飞驰主要是平移运动； 选项C中标枪投掷可能涉及旋转但整体以平移为主； 选项D中升降电梯是垂直平移运动． 故选：B． 【题型2 图形的平移】 高妙技法 利用平移的概念及性质来解决此类问题，一个图形经过平移后得到一个新图形，这个新图形能与原图形重合，只是位置发生了变化. 【典例1】（24-25七年级上·上海闵行·月考）在的方格纸中，将图①中的三角形甲平移到图②中所示的位置，与三角形乙拼成一个长方形，下面平移的方法中正确的是（   ） A．先向下平移2格，再向右平移1格 B．先向下平移2格，再向右平移2格 C．先向下平移2格，再向右平移3格 D．先向下平移3格，再向右平移2格 【答案】C 【分析】本题考查图形的平移，根据平移后图形的位置，进行判断即可． 【详解】解：由图可知，图①中的三角形甲先向下平移2个单位，再向右平移3个单位到图②中所示的位置，与三角形乙拼成一个长方形； 故选：C． 【变式1】（2024七年级上·上海·专题练习）下图中所给图形只用平移可以得到的是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查利用平移设计图案的问题．在平面内，将一个图形整体按照某个直线方向移动一定距离的图形变换叫做平移；在平面内，把一个图形绕点旋转一个角度的图形变换叫做旋转．根据平移和旋转的定义，结合图形，即可得到正确答案． 【详解】解：观察图形，A、B和C选项的图形需经旋转得到， D选项的图形可由平移得到． 故选：D． 【变式2】（2024七年级上·上海·专题练习）如图，为保持原图的模样，应选下图、、、的哪一块拼在图案的空白处（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查的是利用平移设计图案，先根据题意找出基础图形是解答此题的关键．根据题意找出平移的图形即可得出结论． 【详解】解：由图可知，此图案由如图的图形平移而成， ， 所以通过比较需要补充B图形，才能与空白处的上方图形组成如图， 故选：B． 【题型3 用平移的性质计算】 高妙技法 本题考查了平移的性质，对应点连线的长度等于平移的距离，平移变化只改变图形的位置不改变图形的形状，一般的题型十求图形中阴影部分的面积或是求有关线段的长度等,计算图形面积时，可采用整体减去部分的方法. 【典例1】（2025七年级上·上海·专题练习）如图，将长方形平移到长方形的位置，则平移的距离是 ． 【答案】3 【分析】本题考查数轴上两点之间的距离及平移的性质，根据数轴上平移前后对应点的位置即可得出结果，理解掌握平移的性质是解题关键． 【详解】解：∵长方形平移到长方形的位置，且对应点B到的距离为：， ∴平移的距离是3， 故答案为：3． 【变式1】（25-26七年级上·上海宝山·月考）如图，将三角形沿射线平移后得到三角形，如果，，那么的度数是 ． 【答案】 【分析】本题考查了平移的性质，平角的定义，熟练掌握以上知识点是解题的关键．根据题意，可得，然后结合平角，即可求得答案． 【详解】解：∵三角形沿射线平移后得到三角形，， ∴， ∵， ∴， 故答案为：． 【变式2】（25-26七年级上·上海宝山·月考）如图，在四边形中，，，将，分别平移到和的位置，如果，，那么 cm． 【答案】6 【分析】本题考查了平移，理解平移的性质是解题的关键．根据平移能够得到，求得即可求得 【详解】解：由平移，得， ， 可以看作向右平移得到，可以看作向左平移得到， ， ， ， 故答案为：． 【题型4平移作图】 高妙技法 平移作图时，通常先平移关键点，再组合图形，平移作图的关键是找出平移的方向和距离. 【典例1】（2024七年级上·上海·专题练习）经过平移，小鱼上的点移到了点． (1)请画出平移后的小鱼； (2)该小鱼是怎样从点移到了点？（上下左右） 【答案】(1)见解析 (2)先向右平移9个方格，再向下平移5个方格（或先向下平移5个方格，再向右平移9个方格） 【分析】本题考查了作图平移变换的知识，注意利用数学知识对图形的阅读以及理解，做题的关键是作各个关键点的对应点． （1）将所给图形的各个顶点按平移条件找出它的对应点，顺次连接，即得到平移后的图形； （2）观察图形即可数出． 【详解】（1）解：所画图形如下所示： （2）解：观察图形即可看出，先向右平移9个方格，再向下平移5个方格（或先向下平移5个方格，再向右平移9个方格）． 【变式1】（1）如图，平移三角形，使点A平移到点，画出平移后的三角形； （2）在（1）的条件下，指出点B的对应点，并指出的对应线段和的对应角． 【答案】（1）见解析；（2）；； 【分析】本题主要考查的是作图—平移变化，掌握平移的方向和距离是解题的关键． （1）依据点A到点移动的方向和距离，可确定出点B和点C平移后对应点的位置，从而可画出平移后的图形； （2）根据平移后的图形进行解答即可． 【详解】（1）解：如图所示，三角形为所求．    （2）根据作图可知：点B的对应点，的对应线段，的对应角． 【变式2】如图，已知在边长为1的方格纸中，点A，B，C，都在格点上． (1)将三角形经过平移后得到三角形，若点是点A的对应点，请在图中画出三角形． (2)将三角形先向上平移__________个单位，再向__________平移__________个单位得到三角形． 【答案】(1)见解析 (2)3，右，4 【分析】本题考查了作图—平移，平移的性质； （1）根据平移不改变图形的大小、形状和方向确定出点，的位置，然后顺次连接即可； （2）根据（1）中所作图形判断平移方式即可． 【详解】（1）解：如图所示： （2）由图可得：将三角形先向上平移3个单位，再向右平移4个单位得到三角形， 故答案为：3，右，4． 【题型5 旋转的相关概念】 高妙技法 把一个平面图形绕平面内某一点 O 转动一个角度，叫做图形的旋转.这个点哦O称为旋转中心.转动的角称为旋转角.如果图形上的点 P 经过旋转变为点 P'，那么这两个点叫做这个旋转的对应点. 【典例1】（24-25九年级下·上海·月考）下列选项中的运动，属于旋转变换的是（   ） A．升国旗的过程 B．摩天轮的转动 C．汽车刹车时的滑动 D．电梯的运行 【答案】B 【分析】本题考查了旋转的定义，熟记旋转的定义是解题的关键． 根据旋转的定义逐项判断即可． 【详解】解：A． 升旗的过程属于平移，不属于旋转，故该选项不符合题意； B． 摩天轮的转动属于旋转，故该选项符合题意； C． 汽车刹车时的滑动属于平移，不属于旋转，故该选项不符合题意； D．电梯的运行属于平移，不属于旋转，故该选项不符合题 故选：B ． 【变式1】（23-24七年级上·上海·单元测试）以下生活用品中，不属于旋转图形的是（          ） A．大红“双喜字” B．三张叶片电风扇 C．四叶风车 D．红五星 【答案】A 【分析】本题考查了平移和旋转的知识，熟练掌握以上知识是解题的关键． 根据平移和旋转的性质依次分析选项，即可得选出答案． 【详解】解：A.大红“双喜字”是平移，不是旋转图形，故选项符合题意； B. 三张叶片电风扇旋转可与原图形重合，是旋转图形，故选项不符合题意； C. 四叶风车旋转可与原图形重合，是旋转图形，故选项不符合题意； D. 红五星旋转可与原图形重合，是旋转图形，故选项不符合题意； 故选A． 【变式2】下列图案中，不能由其中一个图形通过旋转而构成的是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查旋转的性质和轴对称的定义：（1）旋转的性质：旋转变化前后，对应线段、对应角分别相等，图形的大小、形状都不改变．要注意旋转的三要素：①定点﹣旋转中心；②旋转方向；③旋转角度．（2）轴对称的定义：如果一个图形沿着一条直线对折后两部分完全重合，这样的图形叫做轴对称图形．能否构成旋转，关键是看有没有旋转中心、旋转方向和旋转角度． 【详解】解：选项A，B，D都是可以由一个基本图形旋转得到．选项C是轴对称图形，不能旋转得到． 故选：C 【题型6 旋转中心的确定】 高妙技法 根据旋转的性质可知，对应点到旋转中心是距离相等，所以旋转中心位于对应点连线的垂直平分线上，即旋转中心是两对对应点所连线段的垂直平分线的交点. 【典例1】如图，在的正方形网格中，由旋转得到，其旋转中心是（    ） A．点 B．点 C．点 D．点 【答案】A 【分析】本题主要考查了旋转的性质，熟练掌握旋转中心在对应点连线的垂直平分线上是解题的关键．根据旋转的性质可知：旋转中心在对应点连线的垂直平分线上，进而得出答案． 【详解】 解：根据旋转的性质可知：旋转中心在对应点连线的垂直平分线上， 由图形可知：点在的垂直平分线上，又在的垂直平分线上， ∴旋转中心是点， 故选：A． 【变式1】如图，正方形网格中，△PEF绕某一点逆时针旋转n度后得到△P′E′F′．在A、B、C、D等4个格点中，是旋转中心的为 　　 ． 【答案】B点． 【分析】根据旋转的性质可知：旋转中心在对应点连线的垂直平分线上，进而得出答案． 【详解】解：根据旋转的性质可知：旋转中心在对应点连线的垂直平分线上， ∴旋转中心为B点， 故答案为：B点． 【点睛】本题主要考查了旋转的性质，熟练掌握旋转中心在对应点连线的垂直平分线上是解题的关键． 【变式2】在如图所示的正方形网格中，四边形绕某一点旋转某一角度得到四边形（所有顶点都是网格线交点），在网格线交点中，可能是旋转中心的是（    ） A．点 B．点 C．点 D．点 【答案】A 【分析】本题考查了找旋转中心，熟练掌握旋转中心的确定方法是解题关键．确定旋转中心的方法：分别作两组对应点所连线段的垂直平分线，其交点就为旋转中心，由此即可得． 【详解】解：如图，连接，，分别作，的垂直平分线，其交点为点，则旋转中心是点． 故选：A． 【题型7 旋转的性质及辨析】 高妙技法 （1）每组对成点到旋转中心的距离相等； （2）两组对应点分别与旋转中心连线，所成的角相等； （3）对应线段的长度相等，对应角的大小相等； （4）旋转后得到的图形与原图形形状相同，大小相等. 【典例1】（24-25七年级上·上海普陀·期末）如图，将绕点逆时针旋转后得到，其中点分别与点、对应，与交于点，那么下列说法中错误的是（    ） A． B． C．阴影部分的面积与的面积相等 D．与的面积相等 【答案】D 【分析】本题考查三角形的面积、旋转的性质．根据旋转的性质即可判断A、B；设中阴影部分的面积为，求得，从而得即可判断C；由，，不一定成立，说明不一定成立． 【详解】解：根据旋转的性质，，， ∴A、B说法正确，不符合题意； 设中阴影部分的面积为， ∵， ∴， ∴， ∴C说法正确，不符合题意； ，， ∵不一定成立， ∴不一定成立， ∴D说法错误，符合题意． 故选：D． 【变式1】如图，顺时针旋转到的位置，则旋转中心及旋转角分别是（　　） A．点， B．点O， C．点， D．点O， 【答案】B 【分析】本题考查了旋转，根据旋转的定义和性质可知，两组对应点连线的交点是旋转中心，对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角，即可得出答案． 【详解】解：由题给图形得：绕着点O顺时针旋转到的位置，则旋转中心及旋转角分别是点O和． 故选：B． 【变式2】如图所示，△ABC直角三角形，延长AB到D，使BD＝BC，在BC上取BE＝AB，连接DE．△ABC顺时针旋转后能与△EBD重合，那么： （1）旋转中心是哪一点？旋转角是多少度？ （2）AC与DE的关系怎样？请说明理由． 【分析】（1）由条件易得BC和BD，BA和BE为对应边，而△ABC旋转后能与△EBD重合，于是可判断旋转中心为点B；根据旋转的性质得∠ABE等于旋转角，从而得到旋转角度； （2）根据旋转的性质即可判断AC＝DE，AC⊥DE． 【详解】解：（1）∵BC＝BD，BA＝BE， ∴BC和BD，BA和BE为对应边， ∵△ABC旋转后能与△EBD重合， ∴旋转中心为点B； ∵∠ABC＝90°， 而△ABC旋转后能与△EBD重合， ∴∠ABE等于旋转角， ∴旋转角是90度； （2）AC＝DE，AC⊥DE．理由如下： ∵△ABC绕点B顺时针旋转90°后能与△EBD重合， ∴DE＝AC，DE与AC成90°的角，即AC⊥DE． 【点睛】本题考查了旋转的性质：对应点到旋转中心的距离相等；对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角；旋转前、后的图形全等． 【题型8 求旋转图形中相关角度的大小】 高妙技法 ①旋转后得到的图形与原图形形状相同，大小相等． ②利用旋转角相等求解． 【典例1】（2024七年级上·上海·专题练习）如图，将含和的直角三角板，绕点顺时针旋转至处，，则旋转角的度数是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由旋转的性质可得旋转角为，即可求解．本题考查了旋转的性质，掌握旋转的性质是解题的关键． 【详解】解：由题意可知， ∵ ∴ 故选：A． 【变式1】（24-25七年级上·上海闵行·月考）如图，在长方形中，，，、分别是、的中点，如果将长方形绕点逆时针旋转，则旋转后的长方形与长方形重叠部分的面积是（   ）． A． B． C．5 D． 【答案】D 【分析】本题考查了图形的旋转、长方形的面积计算，掌握相关知识是解题关键． 根据题意画出旋转后的图形，得到两个长方形的重叠部分，再利用长方形的面积公式解题． 【详解】解：如图所示，将长方形绕点逆时针旋转得到长方形， ∵为中点， ∴， ∵长方形绕点逆时针旋转得到， ∴， ∴长方形与长方形的重叠部分是边长为的正方形， ∴其面积为， 故选：D． 【变式2】（24-25八年级上·山东济南·期末）如图，将逆时针旋转一定角度（）后得到，点恰好为的中点． (1)若，指出旋转中心，并求出的值； (2)若，求的长． 【答案】(1)旋转中心为点C，旋转角度为 (2) 【分析】本题主要考查了图形的旋转．熟练掌握旋转的定义和性质，是解题的关键． （1）根据旋转的性质，可知旋转中心为点C，旋转角为，再由周角的定义，即可求解； （2）根据旋转的性质，可得，由中点性质得，即得． 【详解】（1）解：∵由逆时针旋转得到， ∴，， ∵，， ∴， ∴旋转中心为点C，旋转角度为； （2）解：由旋转得，，， ∵点恰好为的中点， ∴， ∴． 【题型9 旋转作图】 高妙技法 图形旋转作图的步骤： （1）先确定三要素，即旋转中心、旋转角、旋转方向； （2）确定原图形的关键点； （3）将关键点分别与旋转中心连接后旋转，找到关键点的对应点； （4）顺次连接各对应点. 【典例1】（23-24七年级上·上海青浦·期末）如图，在边长为1的正方形网格中，三角形的顶点都在格点上． (1)画出三角形向右平移5个单位之后的三角形； (2)将三角形绕一点旋转，得到三角形，已知点A与点是对应点（如图所示），请画出三角形． (3)三角形与三角形的位置关系是______对称． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)中心 【分析】本题考查了平移、旋转作图，熟练掌握各作图方法是解题关键． （1）先根据平移的性质画出点，再顺次连接即可得； （2）先根据旋转的性质画出点，再顺次连接点即可得； （3）根据三角形的位置确定位置关系是中心对称． 【详解】（1）解：如图，即为所作； （2）如图，即为所作； （3）由和的位置可得，位置关系是中心对称． 故答案为：中心． 【变式1】（23-24七年级下·全国·课后作业）根据要求画出旋转后的三角形． (1)如图①，画出将绕点O逆时针旋转后的； (2)如图②，画出将绕点O旋转后的． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题考查了旋转作图，确定各顶点的对应点是作图关键． （1）确定各顶点绕点O逆时针旋转后的对应点即可； （2）确定各顶点绕点O逆时针旋转后的对应点即可； 【详解】（1）解：如答图①，即为所求． （2）解：如答图②，即为所求． 【变式2】（24-25七年级上·上海宝山·期末）在正方形网格中，每个小正方形的边长均为1个单位长度，三个顶点均在格点上，位置如图所示． (1)将先向右平移1个单位，再绕点按顺时针方向旋转后得到，试画出； (2)在（1）的基础上，连接、，四边形的面积是__________． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查作图-旋转变换、作图-平移变换，熟练掌握平移的性质、旋转的性质是解答本题的关键． （1）根据平移和旋转的性质作图即可； （2）根据矩形的面积公式计算即可． 【详解】（1）解：如图, 即为所求． （2）解：四边形的面积是 故答案为：． 【题型10 轴对称图形的识别】 高妙技法 若将一个图形沿着某一条直线翻折过来，直线两边的部分能够相互重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴，这时，我们也可以说这个图形关于这条直线（成轴）对称． 【典例1】（25-26七年级上·上海·月考）下列四个图案中，是轴对称图形的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查轴对称图形的定义，寻找每个图案的对称轴是解题关键． 如果一个图形沿一条直线折叠后，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就是轴对称图形．根据定义依次判断各选项即可． 【详解】解： 选项：无对称轴，沿任意直线折叠后两部分无法重合，不是轴对称图形； 选项：无对称轴，图形为中心对称但非轴对称，不是轴对称图形； 选项：无对称轴，折叠后两部分无法重合，不是轴对称图形； 选项：存在一条竖直的对称轴，沿对称轴折叠后，直线两旁的图形能完全重合，是轴对称图形． 故选：． 【变式1】（24-25七年级上·上海闵行·期末）下列图形中，不是轴对称图形的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了轴对称图形的定义，熟知如果一个平面图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴．根据轴对称图形的定义，逐项分析即可判断． 【详解】解：A、是轴对称图形，不符合题意； B、是轴对称图形，不符合题意； C、不是轴对称图形，符合题意； D、是轴对称图形，不符合题意； 故选：C． 【变式2】（24-25八年级上·上海·期中）在回收、不可回收、绿色食品、节能四个标志中，是轴对称图形的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了轴对称图形的识别，根据轴对称图形的定义进行逐一判断即可：如果一个平面图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形，这条直线就叫做对称轴． 【详解】解：A、不是轴对称图形，故此选项不符合题意； B、不是轴对称图形，故此选项不符合题意； C、是轴对称图形，故此选项符合题意； D、不是轴对称图形，故此选项不符合题意； 故选C． 【题型11 轴对称的性质】 高妙技法 1、镜面实质上是无数对对应点的对称，连接对应点的线段与镜面垂直并且被镜面平分，即镜面上有每一对对应点的对称轴． 2、关于镜面问题动手实验是最好的办法，如手头没有镜面，可以写在透明纸上，从反面看到的结果就是镜面反射的结果． 【典例1】（24-25七年级上·上海闵行·期末）下列说法错误的是（    ） A．图形的平移后，每组对应点之间的距离相等 B．图形的旋转后，对应点到旋转中心的距离相等 C．两个图形如果关于一条直线成轴对称，那么由这两个图形所组成的图形是轴对称图形 D．两个图形关于一条直线成轴对称，连接对称点的线段和对称轴互相垂直平分 【答案】D 【分析】本题考查了平移的性质，旋转的性质，轴对称图形的定义及性质，利用平移的性质，旋转的性质，轴对称图形的定义及性质逐一分析探讨得出答案即可． 【详解】解：A、图形的平移后，每组对应点之间的距离相等，故原说法正确，不符合题意； B、图形的旋转后，对应点到旋转中心的距离相等，故原说法正确，不符合题意； C、两个图形如果关于一条直线成轴对称，那么由这两个图形所组成的图形是轴对称图形，故原说法正确，不符合题意； D、两个图形关于一条直线成轴对称，连接对称点的线段被对称轴所在直线垂直平分，故原说法错误，符合题意； 故选：D． 【变式1】（2025七年级上·上海·专题练习）如图，与关于直线对称，P为上任一点（P不与共线），下列结论中错误的是（   ） A．是等腰三角形 B．垂直平分 C．与的面积相等 D．直线的交点不一定在上 【答案】D 【分析】该题主要考查了轴对称的性质，解题的关键是掌握轴对称的性质． 根据轴对称的性质解答即可． 【详解】解：∵与关于直线对称，P为上任意一点， ∴是等腰三角形，垂直平分，这两个三角形的面积相等，A、B、C选项正确； 直线关于直线对称，因此交点一定在上．D错误； 故选：D． 【变式2】（22-23七年级下·上海闵行·期末）已知：如图，，点P在的内部，，点与点P关于对称，点与点P关于对称，那么以、O、三点为顶点的三角形面积是（　　） A．4 B．8 C．16 D．无法确定 【答案】B 【分析】本题考查了轴对称的性质和三角形的面积，熟练掌握并运用轴对称的性质是解题的关键． 由对称的性质证明，再根据三角形面积计算即可． 【详解】解：如图， ，点与点关于对称，点与点关于对称， ，，， ， ， 即， ． 故选B． 【题型12 轴对称在镜面对称中的应用】 高妙技法 1、镜面实质上是无数对对应点的对称，连接对应点的线段与镜面垂直并且被镜面平分，即镜面上有每一对对应点的对称轴． 2、关于镜面问题动手实验是最好的办法，如手头没有镜面，可以写在透明纸上，从反面看到的结果就是镜面反射的结果． 【典例1】（2024七年级下·全国·专题练习）小明在镜中看到身后墙上的时钟，实际时间最接近8时的是下图中的（ ） A． B． C．D． 【答案】C 【分析】此题主要考查了镜面对称的性质的运用，解答此题的关键是要注意联系生活实际．镜面对称的性质：平面镜中的像与现实中的事物恰好左右或上下顺序颠倒，且关于镜面对称，据此判断即可． 【详解】解：实际时间最接近8时的时钟，在镜子里看起来应该是4点， 所以图C所示的时间最接近8时． 故选：C． 【变式1】（25-26八年级上·河南许昌·期中）小明同学从镜子中看到的一组号码（如图），该号码表示的实际号码应该是（    ） A．2653 B．5623 C．3562 D．3265 【答案】D 【分析】本题考查了镜面对称的性质，解题的关键是正确将镜像号码进行水平翻转并转换对应字符．把镜子中的号码水平翻转（左右镜像），同时转换每个字符的镜像对应，得到实际号码． 【详解】 解：镜面对称为水平翻转（左右镜像），将镜子里的号码进行水平翻转后，字符的镜像对应为，即组合得到实际号码为3265． 故选：D． 【变式2】（25-26七年级上·上海·月考）东东放假去外地看爷爷，他买的是11点的火车．由于去的早，他在候车室睡着了，等醒来的时候，他从镜子中看到背面墙上的电子钟显示的时间如图所示，他吓了一身汗，以为自己错过了火车，则东东醒来时的正确时间是 ． 【答案】 【分析】本题考查电子钟示数的镜面对称． 根据平面镜中的示数与实际时间左右对称，即可求解． 【详解】 解：∵平面镜中电子钟示数为“”，与左右对称， ∴东东醒来时的正确时间是“”， 故答案为：． 【题型13 折叠问题】 高妙技法 轴对称折叠的本质是图形关于折痕成轴对称，因此折叠前后的图形完全重合（即全等），这是所有解题方法的基础。掌握这一原则，就能抓住边、角、位置关系的变化规律。 【典例1】（24-25七年级上·上海杨浦·期末）“一把剪刀蕴神技，一方红纸酿年味”，剪纸是中国传统的民间艺术，是中国的非物质文化遗产，随着社会的发展形成了一定特征的数学文化．如图，小明在剪纸活动中，将一张长方形纸片对折三次后，沿着成线剪去一个角，再打开后的形状是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查剪纸问题，动手操作判断即可． 【详解】解：将一张长方形纸片对折三次后，沿着虚线剪去一个角，再打开后的形状是： ． 故选：B． 【变式1】（2024七年级上·上海·专题练习）如图，将长方形纸片先沿虚线向右对折，接着将对折后的纸片沿虚线向下对折，然后剪下一个小三角形，再将纸片打开，则打开后的图形是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查折叠的性质，利用对称性与排除法求解． 【详解】解：第三个图形是三角形， 将第三个图形展开，可得，即可排除答案，再展开可知两个短边正对着， 选择答案D，排除B与C． 故选：D． 【变式2】（25-26七年级上·上海·月考）如图，已知长方形纸片，，，．先将长方形纸片折叠，使点落在边上，记作点，折痕为，再将沿向右翻折，使点落在射线上，记作点．若翻折后的图形中，线段，则的值为 ． 【答案】或 【分析】本题考查了折叠的性质，分当点在延长线上时，当点在上时，两种情况用含的代数式表示出的长，再根据建立方程求解即可． 【详解】解：当点在延长线上时，    由折叠可知：， ∵， ∴，， ∵， ∴， 解得：； 当点在上时， 由折叠可知：， ∵， ∴，， ∵， ∴， 解得：；           故答案为：或． 【题型14 画轴对称图形】 高妙技法 作一个图形关于某条直线成轴对称的方法：先确定一些特殊的点，然后作这些特殊点的对称点，顺次连接即可． 【典例1】（24-25七年级上·上海静安·期末）如图是的正方形网格，格线的交点称为格点，以格点为顶点的三角形称为格点三角形 (1)在图中画出三角形关于直线l成轴对称的三角形； (2)在该网格中是否还存在与三角形成轴对称的其它格点三角形？如果存在，请在备用图中画出该三角形，并画出相应的对称轴．（对称三角形的顶点字母可省略不写） 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题考查作图—轴对称变换，掌握轴对称变换的性质是解题的关键． （1）根据轴对称的性质作出图形即可； （2）结合网格的特点，画出与三角形成轴对称的其它格点三角形和相应的对称轴即可． 【详解】（1）解：如图所示，三角形关于直线l成轴对称的三角形即为所求： （2）解：如图所示，格点三角形和对称轴即为所求： 或或或 （答案不唯一，言之成理即可） 【变式1】（25-26七年级上·上海·月考）已知点E是正方形的边的一点，且点E不与点B、C重合．在图1、图2、图3的正方形网格图中，点A、B、C、D、E都是格点，请按要求画图； (1)在图1中画出三角形平移后得到的三角形，其中点A、B、E的对应点分别是点F、D、G． (2)连接，在图2中画出与三角形关于直线成轴对称的图形． (3)点是正方形网格图中的一点，且点O不与点A、B、C、D、E重合．将三角形绕着点O旋转，使得线段与线段重合．请在图3中画出符合上述条件的点O以及三角形旋转后得到的三角形． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)见解析 【分析】本题主要考查了平移（作图），画轴对称图形，画旋转图形，按照要求正确作出图形是解题的关键． （1）利用平移作图的方法即可作图； （2）利用轴对称作图的方法即可作图； （3）利用旋转作图的方法即可作图． 【详解】（1）解：如图，即为所求作； （2）解：如图，即为所求作； （3）解：如图，点即为旋转中心，即为所求作； 【变式2】（25-26七年级上·上海·期中）平移、旋转和轴对称是图形运动的基本形式．图中的三角形①、③、⑤的顶点都在边长为1个单位长度的正方形网格点上． (1)如图，三角形③可以看成由三角形①经过一次___________得到（填“平移”“旋转”或“翻折”）；也可以看作由三角形①先沿直线翻折得到三角形②，再由三角形②沿直线翻折得到三角形③，请在网格中作出三角形②和直线． (2)通过问题（1），我们可以发现：图形的一次平移可以通过___________来实现． (3)基于问题（2）的发现，于是聪明的你提出一个猜想：图形的一次平移能否通过两次旋转实现？例如：三角形⑤可以看成由三角形③经过一次平移得到；也可以看作三角形③先绕着点___________（填“顺”或“逆”）时针旋转___________．得到三角形④：再将三角形④绕着点___________（填“顺”或“逆”）时针旋转___________．得到三角形⑤．完成以上填空并在网格中作出三角形④． 【答案】(1)平移，画图见解析 (2)两次轴对称 (3)顺，，逆，，画图见解析 【分析】本题考查的是平移，轴对称，旋转的性质与画图． （1）根据平移与轴对称的性质进行解答与画图． （2）根据轴对称的性质解答即可． （3）根据旋转的性质进行解答与画图即可． 【详解】（1）解：如图，三角形③可以看成由三角形①经过一次平移得到； 三角形①先沿直线翻折得到三角形②，再由三角形②沿直线翻折得到三角形③，画图如下： 故答案为：平移； （2）解：通过问题（1），我们可以发现：图形的一次平移可以通过两次轴对称来实现， 故答案为：两次轴对称； （3）解：如图，三角形⑤可以看成由三角形③经过一次平移得到；也可以看作三角形③先绕着点顺时针旋转．得到三角形④：再将三角形④绕着点逆时针旋转．得到三角形⑤．画图如下： 故答案为：顺，，逆，． 【题型15 中心对称图形的识别】 高妙技法 判断一个图形是否是中心对称图形，必须满足： ① 一个图形；② 绕一点旋转 180°；③ 与原图形完全重合(包括图案). 【典例1】（25-26七年级上·上海·期末）下列图形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查轴对称及中心对称的定义，掌握中心对称图形与轴对称图形的概念，要注意：轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合；中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后与原图重合，根据定义判断即可． 【详解】解：A、此图形是轴对称图形，但不是中心对称图形，故该选项不符合题意； B、此图形是轴对称图形，也是中心对称图形，故该选项符合题意； C、此图形不是轴对称图形，是中心对称图形，故该选项不符合题意； D、此图形是轴对称图形，但不是中心对称图形，故该选项不符合题意． 故选：B． 【变式1】（2025七年级上·上海·专题练习）下列图形中，是中心对称图形，但不是轴对称图形的是（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要理解轴对称和中心对称的定义并对常见的图形进行判断． 轴对称：在平面内，一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合；中心对称：把一个图形绕着某一个点旋转后能与原图形重合．根据轴对称和中心对称的定义即可求解． 【详解】解：根据定义可得： A选项：是轴对称但不是中心对称，不符合题意； B选项：是中心对称但不是轴对称，符合题意； C选项：既是轴对称又是中心对称，不符合题意； D选项：是轴对称但不是中心对称，不符合题意． 故选B． 【变式2】（2025七年级上·上海·专题练习）下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了中心对称图形与轴对称图形的识别，熟练掌握轴对称图形与中心对称图形的概念是解题的关键． 把一个图形绕某一点旋转后，能够与原图形完全重合的是中心对称图形；沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合的是轴对称图形，依据中心对称图形与轴对称图形定义逐项判断即可． 【详解】解：A、是中心对称图形，不是轴对称图形，故该选项不符合题意； B、既是中心对称图形，又是轴对称图形，故该选项符合题意； C、是中心对称图形，不是轴对称图形，故该选项不符合题意； D、不是中心对称图形，是轴对称图形，故该选项不符合题意． 故选：B． 【题型16中心对称的概念和性质】 高妙技法 1、两个图形成中心对称须具备三个条件： ① 能找到一个对称中心；② 旋转角为 180°；③ 这两个图形旋转后能完全重合. 2、中心对称的性质 （1）中心对称的两个图形，对称点所连线段都经过对称中心，并且被对称中心所平分(即每组对称点与对称中心三点共线)； （2）中心对称的两个图形是全等图形. 【典例1】若两个图形成中心对称，则下列说法： ①对应点的连线必经过对称中心； ②这两个图形的形状和大小完全相同； ③这两个图形的对应线段一定相等； ④将一个图形绕对称中心旋转某个角度后必与另一个图形重合． 其中正确的有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C． 【分析】根据中心对称的性质对各小题分析判断即可得解． 【详解】解：∵两个图形成中心对称， ∴①对应点的连线必经过对称中心，正确； ②这两个图形的形状和大小完全相同，正确； ③这两个图形的对应线段一定相等，正确； ④将一个图形绕对称中心旋转某个角度后必与另一个图形重合错误，必须旋转180°才能够重合． 综上所述，正确的由①②③共3个． 故选：C． 【点睛】本题考查了中心对称，熟记中心对称的性质和概念是解题的关键． 【变式1】如图，△ABC与△A′B′C′关于点O成中心对称，则下列结论不成立的是（　　） A．点A与点A′是对称点 B．BO＝B′O C．∠AOB＝∠A′OB′ D．∠ACB＝∠C′A′B′ 【答案】D 【分析】根据中心对称的性质判断即可． 【详解】解：∵△ABC与△A′B′C′关于点O成中心对称， ∴点A与A′是一组对称点，OB＝OB′，∠AOB＝∠A′OB′， ∴A，B，C都不合题意． ∵∠ACB与∠C′A′B′不是对应角， ∴∠ACB＝∠C′A′B′不成立． 故选：D． 【点睛】本题考查中心对称的性质，掌握中心对称的性质是求解本题的关键． 【变式2】（23-24九年级上·全国·课后作业）如图，与关于点成中心对称，下列说法： ①；②；③；④与的面积相等，其中正确的有（    ） A．个 B．个 C．个 D．个 【答案】D 【分析】本题考查中心对称，根据“成中心对称的两个图形全等，对称点到对称中心的距离相等”即可判断． 【详解】解： 与关于点成中心对称， ， ，，与的面积相等， 故①②④正确； 对称点到对称中心的距离相等， ， 故③正确； 综上可知，正确的有4个， 故选D． 【题型17 中心对称的作图】 高妙技法 （1）确定关键点:将各关键点（如多边形的各顶点）和对称中心连接并延长. （2）确定对应点：在各延长线上取对应点，使对应点到对称中心的距离和关键点到对称中心的距离相等. （3）连线：按照原图顺次连接对应点即可得到所求作的图形. 【典例1】（23-24七年级上·上海浦东新·期末）作图题（保留作图痕迹，不必写出画法） (1)将点向右平移3个单位可到达点，再将点向上平移2个单位可到达点，标出点、点，并连接和． (2)在方格图中分别画出三角形和三角形，使三角形和三角形关于直线成轴对称：三角形和三角形关于点成中心对称． (3)三角形和三角形有没有对称关系？如果有，成怎样的对称关系？ 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)三角形和三角形关于直线成轴对称 【分析】本题考查了作图—旋转变换：中心对称和轴对称，找到对应点，顺次连接得出旋转和轴对称后的图形． （1）利用网格特点和平移的性质画图； （2）利用网格特点和轴对称的性质、中心对称的性质画图； （3）根据轴对称的性质得到答案． 【详解】（1）解：如图所示． （2）解：如图所示． （3）解：三角形和三角形关于直线成轴对称． 【变式1】（24-25七年级上·上海松江·期末）如图，已知三角形，按下列要求画出图形（不用写画法，保留作图痕迹，书写结论）； (1)在图（1）中画出三角形关于点成中心对称的三角形； (2)在图（2）中画出三角形关于直线成轴对称的三角形． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题考查了作图旋转变换，熟练掌握中心对称的性质是解决问题的关键．也考查了轴对称变换． （1）延长，在其延长线上截取；延长，在其延长线上截取；延长，在其延长线上截取，然后、、，从而得到； （2）过点直线于点，再在的延长线上截取，同样方法作出点、，从而得到． 【详解】（1）解：如图1，三角形为所作； （2）解：如图2，三角形为所作． 【变式2】（23-24七年级上·上海金山·期末）如图所示，在四边形中， (1)画出四边形，使四边形与四边形关于直线成轴对称； (2)画出四边形，使四边形与四边形关于点成中心对称； (3)四边形与四边形是否对称，若对称请在图中画出对称轴或对称中心． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)见解析 【分析】本题是对轴对称，中心对称作图的考查，熟练掌握轴对称，中心对称知识是解决本题的关键， （1）分别作出A，B，C，D关于直线MN的对称点，然后依次连接即可； （2）分别作出A，B，C，D关于点O中心对称的对称点，然后依次连接即可； （3）连接，作的中垂线，即为所求； 【详解】（1）解：如下图所示：四边形即为所求； （2）解：如下图所示：四边形即为所求； （3）解：如图所示，四边形与四边形关于成轴对称，即为所求． 【题型18 图形的运动综合题】 【典例1】（2024七年级上·上海·专题练习）探究证明图形的操作过程（本题中四个长方形的水平方向的边长均为，竖直方向的边长均为 在图①中，将线段向右平移1个单位长度到，得到封闭图形（即阴影部分） 在图②中，将折线向右平移1个单位长度到，得到封闭图形（即阴影部分）．请你分别写出上述两个图形中除去阴影部分后剩余部分的面积： ， ． 结论应用在图③中，请你类似的画一条有两个折点的线，同样向右平移1个单位长度，从而得到一个封闭图形，并用斜线画出阴影，则阴影部分的面积 ． 联系拓展如图④，在一块长方形草地上，有一条弯曲的柏油小路（小路任何地方的水平宽度都是1个单位长度），请你猜想空白部分表示的草地面积是多少，并证明你的猜想是正确的． 【答案】探究证明， 结论应用 联系拓展，理由见解析 【分析】本题主要考查了平移的性质． 探究证明阴影部分的平行四边形的底是1，高是，即可得阴影面积，进而可答案； 结论应用可看成两个平行四边形，它们的底都是1，而两个平行四边形高的和为，故可得阴影面积，即得答案； 联系拓展考虑图形的拆分和拼凑，可利用平移把空白部分凑成长为，宽是的长方形，进而得到草地的面积． 【详解】解：探究证明平行四边形的面积底高， ，， 故答案为：，； 结论应用画图如下： ； 故答案为：； 联系拓展空白部分表示的草地面积是：，理由如下： 1、将“小路”沿着左右两个边界“剪去”； 2、将左侧的草地向右平移一个单位； 3、得到一个新的长方形． 在新得到的长方形中，其纵向宽仍然是．其水平方向的长变成了，所以草地的面积就是：． 【变式1】（23-24七年级上·上海松江·期末）如图，在长方形中，连接，已知边，（） (1)画出三角形绕点C顺时针旋转后的三角形（点A、B的对应点分别为点E、F ），不写画法，写出结论； (2)用含a、b的代数式表示三角形的面积； (3)在（1）和（2）的条件下，连接交于点G，如果长方形的面积，，求的长． 【答案】(1)见详解 (2) (3) 【分析】（1）根据旋转的性质作图，即可求解； （2）由旋转得，，由三角形的面积即可求解； （3）由题得从而可求，再由，即可求解． 【详解】（1）解：如图 为所求三角形； （2）解：由旋转得 ， ， ； （3）解：由题意得 ， 解得：， ， ， 由图得： ， 整理得： 解得：． 【点睛】本题考查作图-旋转变换，长方形的性质，面积法等，掌握、之间的转换运算利用面积法求线段的长是解题的关键． 【变式2】（24-25七年级上·上海杨浦·期末）如图，在中，，，，（），如果将绕点B顺时针旋转得到，将沿着射线方向平移得到． (1)画出． (2)若平移的距离为a． ①求四边形的面积．（用a，b的代数式表示）． ②若四边形的面积为20，的面积为6，求平移的距离． (3)若的面积和的面积相等，直接写出平移的距离．（用a，b的代数式表示） 【答案】(1) (2)①；②2 (3)或 【分析】本题主要考查了画旋转图形，平移的性质，完全平方公式的变形求值，解二元一次方程组： （1）根据画旋转图形的方法作图即可； （2）①证明点与点B重合，三点共线，再根据列式求解即可；②根据题意可得，，再根据完全平方公式的变形得到，，则，解方程组即可得到答案； （3）求出，则根据三角形面积计算公式可得到的距离为，据此可得答案． 【详解】（1）解：如图所示，即为所求； （2）解：①由平移的性质可得，，， ∴点与点B重合， 由旋转的性质可得， ∴三点共线， ∴， ∴ ； ②∵四边形的面积为20，的面积为6， ∴，， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴平移距离为2； （3）解：由平移的性质可得， 由旋转的性质可得， ∴， ∴， ∵的面积和的面积相等， ∴； 设到的距离为h， ∴， ∴， ∴平移的距离为或． 1、 选择题 1．（23-24七年级上·上海闵行·期末）下列说法中正确的有（    ） （1）如果把一个图形绕着一定点旋转后和另一个图形重合，那么这两个图形成中心对称； （2）如果两个图形关于一点成中心对称，那么其对应点之间的距离相等； （3）如果一个旋转对称图形有一个旋转角为，那么它不是中心对称图形； （4）如果一个旋转对称图形有一个旋转角为，那么它是中心对称图形． A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 【答案】B 【分析】根据中心对称图形定义及性质依次判断即可． 【详解】（1）只有旋转后重合才是中心对称，故此说法错误； （2）对应点的连线都经过对称中心，并且被对称中心平分，但是距离不一定相等，故此说法错误； （3）如果一个旋转对称图形，有一个旋转角为，那么它有可能是中心对称图形，此说法错误； （4）如果一个旋转对称图形有一个旋转角为，那么它是中心对称图形，故此说法正确； 说法正确的只有1个， 故选：B． 【点睛】此题考查中心对称图形，在平面内，把一个图形绕着某个点旋转，如果旋转后的图形能与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形． 2．（25-26七年级上·上海·单元测试）下列图形中是轴对称图形的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】此题考查了轴对称图形的概念，根据概念逐一判断即可，如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴，这时，我们也可以说这个图形关于这条直线（成轴对称）对称，熟练掌握知识点是解题的关键． 【详解】解：、不是轴对称图形，故本选项不符合题意； 、是轴对称图形，故本选项符合题意； 、不是轴对称图形，故本选项不符合题意； 、不是轴对称图形，故本选项不符合题意； 故选：． 3．（2025七年级上·上海·专题练习）下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了轴对称图形的定义、中心对称图形的定义；平面内，一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合的图形，就叫做轴对称图形；在平面内，把一个图形绕着某个点旋转，如果旋转后的图形能与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形．据此进行逐项分析，即可作答． 【详解】解：A选项：既不是中心对称图形，也不是轴对称图形，故A选项不合题意； B选项：既不是中心对称图形，也不是轴对称图形，故B选项不合题意； C选项：既是中心对称图形，也是轴对称图形，故C选项符合题意； D选项：不是中心对称图形，是轴对称图形，故D选项不合题意； 故选：C． 4．（24-25九年级上·上海徐汇·月考）如图，在的方格纸中，画格点三角形（顶点均在格点上）与关于方格纸中的一个格点成中心对称，这样的三角形有（   ）个． A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【分析】本题考查了中心对称的定义，在平面内，把一个图形绕着某个点旋转，如果旋转后的图形能与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形．据此进行作图，即可作答． 【详解】解：如图所示：即为所求，    则这样的有个． 故选：B． 5．（24-25七年级上·上海·期末）已知图形甲与图形乙，有如下三种说法： ①如果图形甲与图形乙成中心对称，那么它们不可能成轴对称； ②如果图形甲与图形乙成中心对称，那么图形甲不可能通过平移与图形乙重合； ③如果图形甲与图形乙成轴对称，那么图形甲不可能通过平移与图形乙重合； 上述说法中正确的是（   ） A．①② B．②③ C．①③ D．以上说法都不正确 【答案】D 【分析】本题考查图形的变换，理解成中心对称图形、成轴对称图形、平移图形的定义是解答的关键．根据相关定义逐项判断，最好的方法是举反例或画图判断． 【详解】解：设图形甲与图形乙是半径相等的圆，如图， ①如果图形甲与图形乙成中心对称，那么它们有可能成轴对称，原说法不正确； ②如果图形甲与图形乙成中心对称，那么图形甲有可能通过平移与图形乙重合，原说法不正确； ③如果图形甲与图形乙成轴对称，那么图形甲有可能通过平移与图形乙重合，原说法不正确； 故选：D． 6．（24-25七年级上·上海杨浦·期末）平行四边形、等边三角形、正方形、圆、矩形中，是轴对称图形但不是中心对称图形的个数有（   ） A．个 B．个 C．个 D．个 【答案】A 【分析】本题主要考查了轴对称图形和中心对称图形的识别，根据轴对称图形和中心对称图形的定义进行逐一判断即可：如果一个平面图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形；把一个图形绕着某一个点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形，这个点就是它的对称中心． 【详解】解：平行四边形是中心对称图形，不一定是轴对称图形， 等边三角形是轴对称图形，不是中心对称图形， 正方形，圆和矩形既是轴对称图形，也是中心对称图形， ∴是轴对称图形但不是中心对称图形的个数有1个， 故选：A． 7．（25-26七年级上·上海·月考）如图，将三角形绕点按逆时针方向旋转一定的角度得到三角形，则旋转中心和旋转角是（   ） A．点B， B．点O， C．点B， D．点O， 【答案】D 【分析】本题主要考查了旋转的概念，熟练掌握“旋转中心是旋转过程中不动的点，旋转角是对应点与旋转中心连线的夹角”是解题的关键．根据旋转的定义，确定旋转中心，再找出对应点与旋转中心连线的夹角作为旋转角． 【详解】解：∵三角形绕点旋转得到三角形， ∴旋转中心是点， ∵点的对应点是点， ∴旋转角是， 故选：D． 8．（24-25七年级上·上海黄浦·期末）如图，地面上有不在同一直线上的A，B，C三点，一只青蛙位于地面异于A，B，C的P点，第一步青蛙从P跳到P关于A的对称点，第二步从跳到关于B的对称点，第三步从跳到关于C的对称点，第四步从跳到关于A的对称点…以下跳法类推，青蛙至少跳几步回到原处P．（　　） A．4 B．5 C．6 D．8 【答案】C 【分析】本题考查点与点对称的定义与应用，由已知条件，根据轴对称的性质画图解答，理解A是P与的中点，则P与关于点A对称是正确解答本题的关键． 【详解】解：如图： 根据题意：A是P与的中点；B是与的中点；C是与的中点； 依此类推，跳至第5步时，所处位置与点P关于C对称； 故再有一步，可以回到原处P． 所以至少要跳6步回到原处P． 故选：C． 2、 填空题 9．（24-25七年级下·上海·月考）如图，旋转后到达的位置，，若，，，则的长度是 ． 【答案】2 【分析】本题考查了旋转的性质，根据旋转的性质得出，再由求出即可． 【详解】解：∵旋转后到达的位置，， ∴， ∴． 故答案为：2． 10．（25-26七年级上·上海·月考）如果点与点关于直线对称，而且点到的距离是，那么线段的长是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了轴对称的性质，熟练掌握“关于某直线对称的两点，到对称轴的距离相等，且对称轴是两点连线的垂直平分线”是解题的关键． 根据轴对称的性质，确定点、到对称轴的距离关系，进而计算线段的长度． 【详解】解：∵点与点关于直线对称， ∴直线是线段的垂直平分线， ∴点到的距离等于点到的距离，即， ∴． 故答案为：． 11．（24-25七年级上·上海闵行·期末）如图，点E是正方形的边AB上一点，将三角形沿所在的直线翻折，点B的对应点是点F，再将三角形沿所在的直线翻折，点E的对应点正好落在边的延长线上的点G，那么的度数为 ． 【答案】30°/30度 【分析】本题主要考查了折叠的性质，正方形的性质， 先根据折叠的性质得，再根据正方形的性质得，即可得出答案． 【详解】解：根据折叠的性质得． ∵四边形是正方形， ∴， ∴． 故答案为：． 12．（24-25七年级上·上海杨浦·期末）如图，将沿所在的直线翻折后，使点B落在点D处，再将线段沿着射线向左平移若干单位长度得到，如果四边形的周长是10，那么 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了平移的性质，折叠的性质，先由平移的性质得到，再由四边形周长计算公式推出，进一步由折叠的性质得到，据此根据线段的和差关系可得答案． 【详解】解：由平移的性质可得， ∵四边形的周长是10， ∴， ∴， 由折叠的性质可得， ∴， 故答案为：． 13．（24-25七年级下·上海·期中）如图，中，，若沿过点的直线折叠此三角形，使点落在边上的点处，折痕为．则的周长是 ． 【答案】10 【分析】本题考查了翻折变换的性质．根据翻折变换的性质可得，，然后求出，再根据三角形的周长列式求解即可． 【详解】解：∵沿折叠点A落在边上的点E处， ∴，， ∵， ∴， ∴的周长为， 故答案为：10． 14．（25-26七年级上·上海·期中）如图，直线、垂直相交于点，曲线是关于点的中心对称图形，点的对称点是于点于点，若，则阴影部分的面积之和 ． 【答案】60 【分析】本题考查了中心对称图形的概念，理解中心对称的概念是解题的关键．根据中心对称图形的概念，以及长方形的面积公式即可解答．中心对称图形：在平面内，把一个图形绕着某个点旋转，如果旋转后的图形能与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形． 【详解】解：∵直线a、b垂直相交于点O，曲线C关于点O成中心对称，点A的对称点是点，于点B，于点D，，， ∴， ∴图形①与图形②面积相等， ∴阴影部分的面积之和长方形的面积． 故答案为：60． 3、 解答题 15．（24-25七年级上·上海闵行·月考）已知和直线，点在直线上． (1)画出，使与关于直线成轴对称． (2)画出，使与关于点成中心对称． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题考查了中心对称作图及轴对称作图 （1）根据轴对称的性质找到各点的对称点，顺次连接即可得到； （2）根据中心对称的性质找到各点的对称点，顺次连接可得． 【详解】（1）解：如图所示，即为所求； （2）解：如图所示，即为所求； 16．（2024七年级上·上海·专题练习）在正方形网格中，每个小正方形的边长均为1个单位长度，三个顶点的均在格点上，位置如图所示． (1)请画出关于直线对称的； (2)连接、，并计算四边形的面积． 【答案】(1)见解析 (2)24 【分析】（1）根据对称点到对称轴的距离相等且与对称轴垂直，确定对称轴点，后依次连接得到图形即可． （2）利用梯形的面积公式计算即可． 本题考查了轴对称图形的基本作图，图形的面积计算，熟练掌握轴对称基本作图是解题的关键． 【详解】（1）解：根据轴对称的基本作图，画图如下： 则即为所求． （2）解：根据题意，得四边形的面积为． 17．（24-25七年级上·上海·期末）在图中网格上按要求画出图形，并回答问题： (1)如果将三角形绕点向逆时针方向旋转，使得点、点、点的对应点分别为点、点、点，请画出三角形； (2)画出三角形关于点成中心对称的三角形； (3)三角形与三角形 （填“是”或“否”）关于某个点成中心对称？如果是，请在图中画出这个对称中心；如果不是，请描述通过怎样的运动可以使三角形与三角形重合． 【答案】(1)作图见解析 (2)作图见解析 (3)否；可把三角形绕点逆时针旋转可与三角形重合 【分析】本题考查了旋转作图，作中心对称图形，掌握旋转和中心对称图形的性质是解题的关键． （）根据旋转的性质作图即可； （）根据中心对称图形的性质作图即可； （）根据中心对称图形的性质可判断三角形与三角形不是关于某个点成中心对称，再根据旋转性质即可求解； 【详解】（1）解：如图所示，三角形即为所求； （2）解：如图所示，三角形即为所求； （3）解：三角形与三角形不是关于某个点成中心对称，可把三角形绕点逆时针旋转可与三角形重合， 故答案为：否． 18．（2024七年级上·上海·专题练习）和是两个形状、大小完全相同的直角三角形，如图①所示，三条边、、的长分别是、、，且、、、在同一条直线上． (1)如果朝着某个方向平移后得如图②所示，则平移的方向是什么？平移的距离是多少？ (2)平移至图③所示的位置，如果，则的面积是多少？ 【答案】(1)平移的方向沿方向，平移距离是； (2) 【分析】本题考查了平移的性质； （1）根据平移的性质结合图形即可确定平移方向为沿方向，对应点之间的距离为平移距离； （2）由面积法求出的长度，然后根据三角形的面积公式列式进行计算即可得解． 【详解】（1）解：由图可知，平移的方向沿方向，平移距离是长， ， 平移距离是； （2）解：∵， ∴， ∵， ， 的面积． 19．（24-25七年级上·上海宝山·期末）已知中，，，，，点在边上，．    (1)如图①，绕着点顺时针方向旋转，点的对应点落在射线上，点的对应点落在边上，而点关于直线的对称点恰好是点，那么的长度为__________（结果用含的代数式表示）；旋转角的度数为__________； (2)如图②，绕着点顺时针方向旋转后得到，点和点的对应点分别是点和点．连接，用含的代数式表示． 【答案】(1)，； (2) 【分析】本题考查的是轴对称的性质，旋转的性质，整式的乘法运算； （1）根据旋转与轴对称的性质先判断，可得旋转角，再证明是轴对称图形，是轴对称图形，进一步可得的长度； （2）由旋转可得：，，，，证明，求解，再进一步求解三角形的面积即可． 【详解】（1）解：∵绕着点顺时针方向旋转，点的对应点落在射线上，点的对应点落在边上，而点关于直线的对称点恰好是点， ∴， ∵， ∴， ∴旋转角是， ∵，， ∴是轴对称图形， 由旋转可得：， ∴是轴对称图形， ∴， ∵， ∴； （2）解：由旋转可得： ，，，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴． 20．（20-21七年级上·上海浦东新·期末）如图，在正方形中，点E是边上的一点（与A，B两点不重合），将绕着点C旋转，使与重合，这时点E落在点F处，联结．    (1)按照题目要求画出图形； (2)若正方形边长为3，，求的面积； (3)若正方形边长为m，，比较与的面积大小，并说明理由． 【答案】(1)见解析 (2)4 (3)，理由见解析 【分析】（1）按照题目要求根据旋转的性质即可画出图形； （2）根据旋转的性质得出，然后求出和，进而可求的面积； （3）首先求出，然后证明，根据求出，即可比较与的面积大小． 【详解】（1）解：如图所示；      （2）根据旋转的性质可知：， ∵正方形的边长为3， ∴，， ∴； （3）； 理由：根据旋转的性质可知：， ∵正方形的边长为m， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴ ∵， ∴， ∴． 【点睛】本题考查了作图—旋转变换，旋转的性质，整式混合运算的实际应用，解决本题的关键是掌握旋转的性质，正确求出和． 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $