第6章 5.2 平面与平面垂直（教用Word）-【金榜题名】2025-2026学年高一数学必修第二册高中同步学案（北师大版）

 

5．2　平面与平面垂直

 

[自主梳理]

知识点一　二面角、平面与平面垂直的定义

[问题1]　

观察教室内门与墙面，当门绕着门轴旋转时，门所在的平面与墙面所形成的角的大小和形状．数学上，用哪个概念来描述门所在的平面与墙面所在的平面所形成的角？

答：二面角．

[问题2]　平时，我们常说“把门开大一点”，在这里指的是哪个角大一点？

答：二面角的平面角．

►知识填空

1．定义：从一条直线出发的__两个半平面__所组成的图形．

2．相关概念：

(1)这条直线称为二面角的__棱__；

(2)这两个半平面称为二面角的__面__．

3．画法：

　　

4．记作：二面角__α－l－β__或二面角__α－AB－β__．

5．二面角的平面角：

(1)如图所示，若有①O∈l；②OA⊂α，OB⊂β；③OA⊥l，OB⊥l，则二面角α－l－β的平面角是__∠AOB__．

(2)二面角的平面角α的取值范围是0°≤α≤180°.平面角是直角的二面角称为直二面角．

知识点二　平面与平面垂直的定义

►知识填空

1．定义：两个平面相交，如果所成的二面角是__直二面角__，就说这两个平面互相垂直．

2．画法：

3．记作：__α⊥β__．

知识点三　平面与平面垂直的性质定理

►知识填空

知识点四　平面与平面垂直的判定定理

►知识填空

 

[自主检验]

1．判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)

(1)组成二面角的平面角的两边所在直线确定的平面与二面角的棱垂直．(　　)

(2)若平面α内的一条直线垂直于平面β内的任意一条直线，则α⊥β.(　　)

(3)若平面α⊥平面β，任取直线l⊂α，则必有l⊥β.(　　)

(4)若一条直线垂直于两个平行平面中的一个，则该直线也垂直于另一平面．(　　)

答案：(1)√　(2)√　(3)×　(4)√

2．平面α⊥平面β，α∩β＝l，m⊂α，m⊥l，则(　　)

A．m∥β B．m⊂β

C．m⊥β D．m与β相交但不一定垂直

答案：C

3．在正方体ABCD­A′B′C′D′中，二面角D′­AB­D的大小是(　　)

A．30°　　　　　　 B．45°

C．60°    D．90°

解析：选B　如图，由正方体的性质易知AB⊥平面ADD′A′，

则AB⊥AD，AB⊥AD′，

则∠D′AD为二面角D′­AB­D的平面角，

又因为四边形ADD′A′为正方形，

所以∠D′AD＝45°，

即二面角D′­AB­D的大小是45°，故选B.