第6章 1.3 简单旋转体——球、圆柱、圆锥和圆台（教用Word）-【金榜题名】2025-2026学年高一数学必修第二册高中同步学案（北师大版）

本讲义聚焦高中数学中简单旋转体的核心知识点，从旋转体的基本概念出发，系统梳理球、圆柱、圆锥、圆台的定义、结构特征及性质，构建“概念-性质-应用”的学习支架，衔接从基础定义到组合体分析及相关计算的知识脉络。 该资料以核心素养为导向，通过自主梳理与检验结合夯实基础，题型示例注重反思感悟，如旋转体判断中强调旋转轴与平面图形的关系，培养直观想象；计算问题中利用轴截面转化空间问题，提升数学运算与逻辑推理能力。课中辅助教师系统授课，课后助力学生通过例题解析与练习查漏补缺，强化知识应用。

1．3　简单旋转体——球、圆柱、圆锥和圆台 学习目标 素养要求 1．理解球、圆柱、圆锥和圆台的定义，掌握它们的结构特征，并能够识别和区分这些几何体． 2．会用球、圆柱、圆锥和圆台的结构特征描述旋转体并进行有关计算． 1．通过球、圆柱、圆锥和圆台的定义、结构特征的学习，提升直观想象的核心素养． 2．通过球、圆柱、圆锥和圆台性质的应用，提高数学运算的核心素养． [自主梳理] 知识点一　简单旋转体——球 ►知识填空 1．旋转体 一条平面曲线绕着它所在平面内的一条__定直线旋转一周__所形成的曲面称为旋转面，__封闭__的旋转面围成的几何体称为旋转体． 2．球的结构特征 定义 以__半圆的直径__所在直线为旋转轴，将半圆旋转一周所形成的面称为球面，球面所围成的几何体叫做球体，简称球． 图示 及相 关概念 球心：半圆的__圆心__． 半径：连接球心和球面上任一点的__线段__． 直径：连接球面上两点并且过__球心__的线段． 性质 (1)球面上所有点到球心的距离等于__球的半径__． (2)用任意一个平面去截球面，得到的截面都是圆，其中过球心的平面截球面得到的圆的半径最大，等于__球的半径__． 知识点二　圆柱、圆锥、圆台 ►知识填空 圆柱、圆锥、圆台的定义与性质 圆柱 圆锥 圆台 定　义 以__矩形的一边__所在直线为旋转轴，其余三边旋转一周而形成的面围成的几何体叫做圆柱． 以__直角三角形的一条直角边__所在直线为旋转轴，其余两边旋转一周而形成的面所围成的几何体叫做圆锥． 以__直角梯形垂直于底边的腰__所在直线为旋转轴，其余三边旋转一周而形成的面所围成的几何体叫做圆台． 图形相关概念 表 示 圆柱O1O 圆锥__SO__ 圆台__O1O__ 性质 (1)平行于圆柱、圆锥、圆台的底面的截面都是圆； (2)过圆柱、圆锥、圆台旋转轴的截面分别是全等的__矩形__、__等腰三角形__、__等腰梯形__． [自主检验] 1．判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)直角三角形绕一边所在直线旋转得到的旋转体是圆锥．(　　) (2)经过圆柱任意两条母线的截面都是一个矩形面．(　　) (3)半圆绕其直径所在直线旋转一周形成球．(　　) 答案：(1)×　(2)√　(3)× 2．下列几何体中不是旋转体的是(　　) 答案：D 3．用一个平面去截一个几何体，得到的截面是圆面，这个几何体不可能是(　　) A．圆锥　　　　　　　 B．圆柱 C．球 D．棱柱 答案：D 4．如图所示立体图形是由哪个平面图形旋转得到的(　　) 答案：D 题型一　简单旋转体的结构特征 [例1]　判断下列各说法是否正确： (1)用一个平面去截圆锥，得到一个圆锥和圆台； (2)一直角梯形绕下底所在直线旋转一周，所形成的曲面围成的几何体是圆台； (3)圆锥、圆台中过轴的截面是轴截面，圆锥的轴截面是等腰三角形，圆台的轴截面是等腰梯形； (4)到定点的距离等于定长的点的集合是球． 解析： (1)错误．只有在平面平行于圆锥底面时，才能将圆锥截为一个圆锥和一个圆台． (2)错误．直角梯形绕下底所在直线旋转一周所形成的几何体是由一个圆柱与一个圆锥组成的简单组合体，如图所示． (3)正确． (4)错误．应为球面． [反思感悟] 简单旋转体判断问题的解题策略 (1)准确掌握圆柱、圆锥、圆台和球的生成过程及其特征性质是解决此类概念问题的关键． (2)解题时要明确两点： ①明确由哪个平面图形旋转而成； ②明确旋转轴是哪条直线． 下列四种说法： ①在圆柱的上、下两底面的圆周上各取一点，则这两点的连线是圆柱的母线； ②圆锥的顶点与底面圆周上任意一点的连线是圆锥的母线； ③在圆台上、下两底面的圆周上各取一点，则这两点的连线是圆台的母线． 其中正确说法的序号为________． 答案：② 题型二　组合体的结构特征 [例2]　(1)如图所示的几何体是由下面哪一个平面图形旋转而形成的(　　) (2)如图所示的图形绕虚线旋转一周后形成的几何体是由哪些简单几何体组成的． 解析：(1)选A　此几何体自上向下是由一个圆锥、两个圆台和一个圆柱构成，是由A中的平面图形旋转而形成的． (2)如图1所示，①是矩形，旋转后形成圆柱，②③是梯形，旋转后形成圆台．所以旋转后形成的几何体如图2所示，通过观察可知，该组合体是由一个圆柱、两个圆台拼接而成的． [反思感悟] 旋转体形状的判断方法 (1)判断旋转体形状的关键是轴的确定，看是由平面图形绕哪条直线旋转所得，同一个平面图形绕不同的轴旋转，所得的旋转体一般是不同的． (2)在旋转过程中观察平面图形的各边所形成的轨迹，应利用空间想象能力，或亲自动手做出平面图形的模型来分析旋转体的形状. 描述下列几何体的结构特征． 解析：图①所示的几何体是由两个圆台拼接而成的组合体；图②所示的几何体是由一个圆台挖去一个圆锥得到的组合体；图③所示的几何体是在一个圆柱中间挖去一个三棱柱后得到的组合体． 题型三　旋转体中的计算问题 [例3]　如图所示，用一个平行于圆锥SO底面的平面截这个圆锥，截得圆台上、下底面的面积之比为1∶16，截去的圆锥的母线长是3 cm，求圆台O′O的母线长． 解： 设圆台的母线长为l cm，由截得的圆台，上、下底面面积之比为1：16，可设截得的圆台的上、下底面的半径分别为r cm，4r cm，过轴SO作截面，如图所示． 则△SO′A ∽△SOA，SA′＝3 cm. 所以＝. 所以＝＝. 解得l＝9，即圆台的母线长为9 cm. [反思感悟] 简单旋转体的轴截面及其应用 (1)简单旋转体的轴截面中有底面半径、母线、高等体现简单旋转体结构特征的关键量． (2)在轴截面中解决简单旋转体问题体现了化空间图形为平面图形的转化思想． 已知球的半径为10 cm，若它的一个截面圆的面积为36π cm2，则球心与截面圆圆心的距离是__________cm. 解析：如图，设截面圆的半径为r，球心与截面圆圆心之间的距离为d，球半径为R.由示意图易构造出一个直角三角形，解该直角三角形即可. 由已知，R＝10 cm，由πr2＝36π，得r＝6 cm，所以d＝＝＝8(cm). 答案：8 [课堂小结] 1．圆柱、圆锥、圆台的关系如图所示． 2．球面、球体的区别和联系． 区别 联系 球面 球的表面是球面，球面是旋转形成的曲面． 球面是球体的表面 球体 球体是几何体，包括球面及所围的空间部分． 3．处理台体问题常采用还台为锥的补体思想． 4．重视圆柱、圆锥、圆台的轴截面在解决几何量中的特殊作用，切实体会空间几何平面化的思想． 学科网（北京）股份有限公司 $