5.2.1 复数的加法与减法（教学课件）数学北师大版必修第二册

复数的加法与减法 第五章 复 数 北师大版必修第二册·高一 学 习 目 标 1 2 3 学会复数代数形式的加减运算法则，能够运用法则求两个复数的和与差. 了解复数的加法运算的交换律、结合律. 能够利用复数代数形式的加法、减法运算法则及几何意义解决问题. 读教材 阅读课本P181-P183，5分钟后完成下列问题： 我们一起来探究“复数的加法与减法”吧！ 1.复数加法法则是怎样的？两个复数的和是一个什么样的数？其结果唯一确定吗？ 2.实数中减法是加法的逆运算，在复数中成立吗？复数的减法法则是怎样的？ 3.如何理解复数加、减法的几何意义？ 单击此处添加备注 3 情境导入 乘飞机从上海到香港约2.5小时,从香港到台北约4小时,因此从上海经香港转航到台北约6.5小时.在两岸同胞的共同努力下,现在实现两岸直航,上海到台北只需约90分钟,比直航前节省约5小时.有关航行节时的多少,体现了实数集内的代数运算. 复数集内可进行复数的四则运算吗? 学习过程 01 03 02 目录 1 复数的加法与减法 3 复数加、减法的几何意义 2 复数加法的运算律 单击此处添加备注 5 问题提出 我们为了解决类似 在实数范围无解的问题，引入了虚数单位 i，从而把数集范围从实数集扩大到复数集.因此学习到一类新的数——复数. 还记得复数的概念吗？ i 叫做虚数单位 虚部 实部 一般地，研究完一类新数的概念后，就要开始研究数的运算问题.我们知道实数有加减法，那么复数是否也有加减法呢？ 新知探究 问题1：对任意两个复数和 c＋di(a，b，c，d∈R) ，我们希望它们的和仍然是一个复数，并且保持实数的运算律. 想一想复数如何进行加法运算？ 分析：a＋bi＋c＋di 期望加法结合律成立，故 由于期望乘法对加法满足分配律，故 新知探究 设是任意两个复数，那么它们的和 复数的加法法则 思考以下问题： (1)两个复数的和是个什么数,它的值唯一确定吗? (2)当b=0,d=0时,与实数加法法则一致吗? (3)它的实质是什么?类似于实数的哪种运算方法? 新知探究 追问1：两个复数的和是复数吗，它的值唯一确定吗？ 两个复数的和仍然是个复数，且是一个确定的复数，它可以推广到多个复数相加. 追问2：当b=0，d =0时，与实数加法法则一致吗？ 当b=0，d =0时，复数的加法与实数加法法则一致. 追问3：它的实质是什么？类似于实数的哪种运算方法？ 两个复数的和的实部是它们的实部的和，两个复数的和的虚部是它们的虚部的和，类似于实数运算中的合并同类项. 典例分析 解： 例1.计算：. 新知探究 问题2 ：实数的减法是通过引入实数的相反数得到的，类似地，能否通过引入复数的相反数来定义复数的减法呢？ 我们通过引入相反数来定义复数的减法． 设 的相反数是 ， 则，解得，，即. 如何表示一个复数的相反数？ 给定复数，若存在复数，使得则称是的相反数，记作. 复数的相反数 新知探究 设是任意两个复数，那么它们的和 复数的减法法则 【释义】:1.两个复数的差仍然是一个确定的复数; 2.两个复数的差的实部是它们的实部的差，两个复数的差的虚部是它们的虚部的差，类似于两个多项式相减（合并同类项） 典例分析 例2.设，求，． 解：因为 ， ． 分析：互为共轭复数，它们的实部相等，虚部互为相反数. 新知探究 练习：已知复数z满足i,求z. 解：(方法一)设 因为,所以 即且, 解得所以 (方法二)因为, 所以 反思感悟 (1)可把复数运算类比实数运算.若有括号,先计算括号里面的;若没有括号,可以从左到右依次进行. (2)当利用交换律、结合律抵消掉某些项的实部或虚部时,可以利用运算律简化运算,注意正负号法则与实数相同,不能弄错. 反 思 感 悟 复数加、减运算的解题思路 学习过程 01 03 02 目录 1 复数的加法与减法 3 复数加、减法的几何意义 2 复数加法的运算律 单击此处添加备注 16 新知探究 问题3：实数的加法有交换律、结合律，复数的加法满足这些运算律吗？ 对任意的，，有 证明：设， 则. . 因为，， 所以 . 复数的加法满足交换律 新知探究 对任意的，有 证明：设， =， = 所以. 复数的加法满足结合律 问题3：实数的加法有交换律、结合律，复数的加法满足这些运算律吗？ 归纳小结 对于任意,有 , 即，复数的加法满足交换律、结合律 复数加法运算律 学习过程 01 03 02 目录 1 复数的加法与减法 3 复数加、减法的几何意义 2 复数加法的运算律 单击此处添加备注 20 新知探究 一一对应 一一对应 一一对应 复数 直角坐标系中的点 平面向量 复数的几何意义 新知探究 问题4：复数与复平面内的向量一一对应，向量加法有几何意义，由此能讨论复数加法的几何意义吗？ 复数，分别与向量 ，一一对应. 由平面向量的坐标运算法则，得 这说明两个向量与的和就是与 复数 对应的向量. 因此，复数的加法可以按照向量的加法来进行， 这就是复数加法的几何意义. 复数的加法，符合向量加法的平行四边形法则 新知探究 问题5：类比复数加法的几何意义，复数减法的几何意义是怎样的？ 复数，分别与向量 ，一一对应. 由平面向量的坐标运算法则，得 这说明两个向量与的差就是与复数 对应的向量. 因此，复数的减法可以按照向量的减法来进行，这就是复数减法的几何意义. 复数的加法，符合向量减法的三角形法则 新知探究 例4.已知向量 ，请计算 的结果，并给出几何解释． x O 6 5 4 3 2 1 1 2 3 4 y 1 解：因为 ． 如图，这两个复数的和与相应的两个向量的和相对应． 反思感悟 反 思 感 悟 (1)复数是与以原点为起点，为终点的向量一一对应的. (2)一个向量可以平移，其对应的复数不变，但是其起点与终点所对应的复数发生改变. 复数与向量的对应关系的两个关注点 新知探究 练习：已知复平面内平行四边形OABC的三个顶点O,A,C对应的复数分别为0,3+2i,-2+4i.(1)求表示的复数; (2)求表示的复数. 课堂小结 感谢聆听! 解：(1)因为=,所以表示的复数为(3+2i),即32i. (2)因为=,所以表示的复数为(3+2i)(2+4i)=52i. $