第2章 3.1 向量的数乘运算（教用Word）-【金榜题名】2025-2026学年高一数学必修第二册高中同步学案（北师大版）

本讲义聚焦高中数学向量的数乘运算核心知识点，系统梳理其定义（实数与向量乘积的方向和模的规定）、几何意义（向量的伸长或缩短）及运算律（分配律、结合律等），构建向量线性运算的学习支架，衔接向量加减运算，为后续学习奠定基础。 该资料通过“甲、乙、丙位移关系”问题情境引入，培养直观想象素养，结合题型示例（如向量化简、用已知向量表示未知向量）提升数学运算能力。自主检验与反思感悟环节，课中辅助教师引导学生理解，课后助力学生巩固知识、查漏补缺。

§3　从速度的倍数到向量的数乘 3．1　向量的数乘运算 学习目标 素养要求 1．掌握向量的数乘运算的定义，并理解其几何意义． 2．掌握数乘运算的运算律，并能进行向量的线性运算． 1．通过向量数乘的定义、几何意义的学习，主要培养直观想象的核心素养． 2．通过向量的线性运算，提升数学运算的核心素养． [自主梳理] 知识点一　向量的数乘运算的定义 [问题]　 甲、乙、丙三人都从点M出发，甲向正南方向运动了5 km，乙向正南方向运动了15 km，丙向正北方向走了20 km，请问他们的位移是什么关系？ 答：甲、乙位移方向相同，乙的位移的大小是甲的3倍，甲、乙与丙的位移方向相反，丙的位移大小是甲的4倍，是乙的倍． ►知识填空 1．数乘运算的定义及几何意义 定义：实数λ与向量a的乘积是一个向量，记作λa，满足以下条件： (1)当λ>0时，向量λa与向量a的方向__相同__； 当λ<0时，向量λa与向量a的方向__相反__； 当λ＝0时，0a＝0. (2)|λa|＝__|λ||a|__． 这种运算称为向量的数乘． 几何意义： 当λ>0时，表示向量a的有向线段在__原方向__伸长或缩短为原来的__|λ|__倍； 当λ<0时，表示向量a的有向线段在__反方向__伸长或缩短为原来的__|λ|__倍． 2．向量的单位化 一个非零向量除以__它的模(乘它的模的倒数)__的结果是一个与原向量同方向的单位向量，即，这一过程称为向量的单位化． 知识点二　数乘运算的运算律 ►知识填空 设λ，μ为实数，a，b为向量，数乘运算的运算律为 (1)(λ＋μ)a＝__λa＋μa__： (2)λ(μa)＝__(λμ)a__． (3)λ(a＋b)＝__λa＋λb__． [自主检验] 1．4(a－b)－3(a＋b)－b等于(　　) A．a－2b　　　　　　　 B．a C．a－6b D．a－8b 答案：D 2．如图，已知AM是△ABC的边BC上的中线，若＝a，＝b，则等于(　　) A．(a－b) B．－(a－b) C．(a＋b) D．－(a＋b) 解析：选C　因为M是BC的中点， 所以＝(a＋b). 3．已知|a|＝4，|b|＝8，若两向量方向同向，则向量a与向量b的关系为b＝________a． 答案：2 4．点C在线段AB上，且＝，则＝____________，＝________. 答案：　－ 题型一　向量的数乘运算的理解 [例1]　已知λ，μ∈R，则在以下各命题中，正确的命题共有(　　) ①当λ<0，a≠0时，λa与a的方向一定相反； ②当λ>0，a≠0时，λa与a的方向一定相同； ③当λ≠0，a≠0时，λa与a是共线向量； ④当λμ>0，a≠0时，λa与μa的方向一定相同； ⑤当λμ<0，a≠0时，λa与μa的方向一定相反． A．2个　　　　　　　 B．3个 C．4个 D．5个 解析：根据实数λ与向量a的积λa的方向，易知①②③都是正确的；对于④.由λμ>0可得λ，μ同为正或同为负，所以λa和μa或者都与a同向，或者都与a反向，所以λa与μa是同向的，故④正确；对于⑤，由λμ<0可得λ，μ异号，所以在λa和μa中，一个与a同向，另一个与a反向，所以λa与μa是反向的，故⑤正确． 答案：D [反思感悟] (1)实数与向量可以进行数乘运算，但不能进行加减运算，如λ＋a，λ－a均无法运算． (2)λa的结果为向量，所以当λ＝0或a＝0，均有λa＝0而不是0. (3)由3a＝5b可变形为a＝b，但不能3＝. λ，μ∈R，下列关系正确的是(　　) A．若λ＝0，则λa＝0 B．若a＝0，则λa＝0 C．|λa| ＝|λ|a D．λ(μ＋a)＝λμ＋λa 答案：B 题型二　向量的线性运算 [例2]　(1)化简下列各向量表达式： ①3(6a＋b)－9； ②(5a－4b＋c)－2(3a－2b＋c). (2)解关于x，y的方程组 解：(1)①原式＝18a＋3b－9a－3b＝9a． ②原式＝5a－4b＋c－6a＋4b－2c＝－a－c. (2)由x－4y＝2b，可得x＝4y＋2b，代入2x＋3y＝a，可得2(4y＋2b)＋3y＝a， 于是8y＋4b＋3y＝a，解得y＝a－b， 再代入x＝4y＋2b中可得x＝a＋b. 故方程组的解是 [反思感悟] 向量的线性运算类似于代数多项式的运算，主要是“合并同类项”“提取公因式”，但这里的“同类项”“公因式”指向量，实数看作是向量的系数．向量也可以通过列方程来解，把所求向量当作未知量，利用解代数方程的方法求解． (1)化简：(a＋b)－3(a－b)－8a＝________． (2)若2－(c＋b－3y)＋b＝0，其中a，b，c为已知向量，则未知向量y＝________． 解析：(1)(a＋b)－3(a－b)－8a ＝(a－3a－8a)＋(b＋3b) ＝－10a＋4b. (2)因为2－(c＋b－3y)＋b＝0， 3y－a＋b－c＝0， 所以y＝a－b＋c. 答案：(1)－10a＋4b　(2)a－b＋c 题型三　用已知向量表示其他向量 [例3]　如图，在▱ABCD中，E是BC的中点，若＝a，＝b，则等于(　　) A．a－b B．a＋b C．a＋b D．a－b 解析：因为E是BC的中点， 所以＝＝－＝－b， 所以＝＋＝＋＝a－b. 答案：D [反思感悟] 用已知向量表示其他向量的方法 在△ABC中，若点D满足2＝，则等于(　　) A．＋ B．－ C．－ D．＋ 解析：如图所示， 由题意可得＝＋＝＋ ＝＋(－) ＝＋. 答案：A [课堂小结] 1．实数与向量可以进行数乘运算，但不能进行加减运算． 2．λa的几何意义就是把向量a沿着a的方向或反方向扩大或缩小为原来的|λ|倍．向量表示与向量a同向的单位向量． 3．向量的加法、减法和数乘的综合运算，称为向量的线性运算． 学科网（北京）股份有限公司 $