第2章 2 从位移的合成到向量的加减法（教用Word）-【金榜题名】2025-2026学年高一数学必修第二册高中同步学案（北师大版）

本讲义聚焦向量加减法这一核心知识点，从位移合成的实际情境引入向量加法，通过三角形法则、平行四边形法则明确加法定义及运算律，再以加法逆运算定义向量减法，构建从具体到抽象的向量运算学习支架。 该资料以问题驱动结合直观操作，通过位移合成情境与几何法则培养直观想象，向量化简及图形应用提升数学运算。课中教师可依托题型示例互动教学，课后学生通过自主检验与小结巩固，有效查漏补缺。

§2　从位移的合成到向量的加减法 学习目标 素养要求 1．理解向量加(减)法的定义，会用向量加(减)法的三角形法则和平行四边形法则求两个向量的和(或差). 2．会用向量加法的运算律进行向量的加(减)运算． 1．通过向量加(减)法的定义，三角形法则、平行四边形法则的应用，培养直观想象的核心素养． 2．通过向量加(减)法的运算提升数学运算的核心素养． [自主梳理] 知识点一　向量的加法 [问题1]　 某对象从A地经B地到C地，两次位移，的结果，与从A地直接到C地的位移的关系如何？ 答：结果相同，即＋＝. [问题2]　实数的加法满足哪些运算律？向量加法是否也满足这些运算律？ 答：实数的加法满足交换律和结合律，向量加法也满足． ►知识填空 1．向量加法的定义 求两个向量__和__的运算称为向量的加法． 2．向量加法的平行四边形法则、三角形法则 图示 作图方法 平行四边形法则 已知两个不共线的向量a，b，如图，在平面内任取一点A，作有向线段＝a，＝b，以有向线段和为邻边作▱ABCD，则有向线段____表示的向量即为向量a与b的和，记作__a＋b__． 三角形法则 作有向线段＝a，以有向线段的终点为__起点__，作有向线段＝b，连接AC得到有向线段，也可以表示向量a与b的__和__． 3．两个共线向量的和 若两个共线向量方向相同，则它们的和向量方向与原方向__一致__，大小为两个向量大小__之和__；若两个共线向量方向相反且大小不相等，则它们的和向量方向与__较大__向量的方向一致，大小是两个向量大小差的__绝对值__． 其中互为相反向量的两个向量的和为__零向量__，即a＋(－a)＝(－a)＋a＝__0__． 4．向量加法的运算律 (1)交换律：a＋b＝__b＋a__． (2)结合律：(a＋b)＋c＝a＋__(b＋c)__． 知识点二　向量的减法 [问题]　 在数的运算中，减法可以看作加法的逆运算，那么向量的减法与向量的加法的关系怎样？ 答：向量的减法是向量的加法的逆运算，即a－b＝a＋(－b). ►知识填空 1．向量减法的定义 向量a减向量b等于向量a加上向量b的__相反向量__，即a－b＝__a＋(－b)__． 2．几何意义 如果把向量a与b的起点放在点O，那么从向量b的终点B指向被减向量a的终点A，得到的向量就是__a－b__．(如图) [自主检验] 1．在△ABC中，若＝a，＝b，则等于(　　) A．a　　　　　　　 B．a＋b C．b－a D．a－b 解析：选D　＝－＝a－b. 2．化简－＋＋等于(　　) A． B． C． D． 解析：选B　原式＝(＋)＋(＋)＝＋0＝. 3．下列四式中不能化简为的是(　　) A．(＋)＋ B．(＋)＋(＋) C．－＋ D．＋－ 答案：D 4．若a，b为相反向量，且|a|＝1，则|a＋b|＝________，|a－b|＝________． 答案：0　2 题型一　向量加、减法几何作图及应用 [例1]　如图，已知向量a，b，c不共线，求作向量a＋b－c. 解：法一：如图(1)所示，在平面内任取一点O， 作＝a，＝b，则＝a＋b， 再作＝c，则＝a＋b－c. 法二：如图(2)所示，在平面内任取一点O， 作＝a，＝b，则＝a＋b，再作＝c， 连接，则＝a＋b－c. [反思感悟] 求作几个已知向量的和或差的方法 (1)作两向量的和向量 ①将两个向量的起点平移到同一点O，作平行四边形，利用平行四边形法则得到和向量． ②利用三角形法则，依次平移两个向量，并让它们首尾相接． (2)作两向量的差向量 将两个向量的起点平移到同一点O，连接两向量终点，指向被减向量． (3)作多个向量的和或差时，应先确定作图顺序，再依次完成． 如图，在四边形ABCD中，根据图示填空： a＋b＝__________， b＋c＝__________， c－d＝__________． a＋b＋c－d＝__________． 答案：－f　－e　f　0 题型二　向量加、减法的运算 [例2]　化简： (1)＋－－； (2)(＋＋)－(－－). 解：(1)＋－－＝(－)＋(－) ＝＋＝. (2)(＋＋)－(－－) ＝＋－＋ ＝＋＋＋ ＝＋＝0. [反思感悟] 1．向量加减法化简的两种形式 (1)首尾相连且为和． (2)起点相同且为差． 解题时要注意观察是否有这两种形式，同时注意逆向应用． 2．与图形相关的向量运算化简 首先要利用向量加减的运算法则、运算律，其次要分析图形的性质，通过图形中向量的相等、平行等关系辅助化简运算． 1．如图，P，Q是△ABC的边BC上的两点，且＝，则化简＋－－的结果为(　　) A．0　　　　　　　 B． C． D． 解析：＋－－ ＝－＋－＝＋ ＝－＋＝0.故选A． 答案：A 2．化简：(－)＋(－)＝________． 解析：原式＝＋＋－＝＋－＝. 答案： 题型三　向量加、减法的综合应用 [例3]　 如图，ABCD是平行四边形，设＝a，＝b. (1)试用a，b表示，； (2)当向量a，b满足什么条件时，ABCD是矩形？ (3)当向量a，b满足什么条件时，ABCD是菱形？ 解：(1)由运算法则可得＝＋＝a＋b， ＝－＝b－a． (2)因为对角线相等的平行四边形是矩形，所以要使ABCD是矩形，应满足||＝||，即|a＋b|＝|b－a|. (3)因为邻边相等的平行四边形是菱形，所以要使ABCD是菱形，应满足||＝||，即|a|＝|b|. [反思感悟] 要熟练掌握在三角形、平行四边形等常见图形中，各边对应向量以及对角线对应向量之间的关系，能够运用向量的加法与减法进行正确的表示，同时还要熟悉常见平面图形的几何性质，能够从向量的角度，运用向量语言进行表示． 已知a与b不共线，且|a＋b|＝|a－b|，则向量a与b的夹角为________． 答案： [课堂小结] 1．向量的减法是加法的逆运算，向量的加法满足交换律和结合律． 2．三角形法则和平行四边形法则都是求向量和的基本方法，两个法则是统一的，当两个向量首尾相连时常选用三角形法则，当两个向量共起点时(不共线时)，常选用平行四边形法则． 3．在用三角形法则作向量减法时，要注意“差向量连接两向量的终点，箭头指向被减向量”．解题时要结合图形，准确判断，防止混淆． 4．||a|－|b||≤|a±b|≤|a|＋|b|. 学科网（北京）股份有限公司 $