寒假作业07 指数与指数函数（巩固培优）高一数学人教A版

西学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 限时练习：40min 完成时间：月日 天气： 作业07指数与指数函数 积累运用 1.根式 (1)概念：式子a叫做根式，其中n叫做根指数，a叫做被开方数. (2)性质：(a)n=a(a使√a有意义)；当n为奇数时，√a”=a,当n为偶数时，a”=|a= a,a≥0， -a,a<0 2.分数指数幂 (①)规定：正数的正分数指数幂的意义是a”=((aO,,n∈，且心D,正数的负分数指数幂的意 义是am= 1 (a>0,m,n∈N*,且n>1);0的正分数指数幂等于0：0的负分数指数幂没有意义， a" (2)有理指数幂的运算性质：aras=ars;(ar)s=ars;(ab)r=ab,其中a>0,b>0,r,s∈Q. 3.指数函数及其性质 (1)概念：函数y=ax(a>0且a≠1)叫做指数函数，其中指数x是自变量，函数的定义域是R,a是底数. (2)指数函数的图象与性质 a>1 0<a<1 y y=a' y=ar 图象 (0,1) --3=1 定义域 P 值域 (0,+∞】 过定点0,1)，即x=0时，y=1 当x>0时，>1： 当x<0时，y>1; 性质 当x<0时， 0Ky<1 当x>0时，0<y<1 在（一∞，十∞）上是增函数 在（一∞，十∞）上是减函数 4.常用结论 (1)画指数函数y=ax(a>0,且a≠1)的图象，应抓住三个关键点：(1，a),(0, 1), (2)在第一象限内，指数函数y=ax(a>0且a≠1)的图象越高，底数越大. 1/9 命学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 培优训练 三层必刷：巩固提升+能力培优+创新题型 1巩固提升练 题型一指数 一、单选题 1.下列各式正确的是() A.-VF=(←x)月 B.V3-π)2=3-π C.a=la(n>l,neN） D.(a)”=an>l,neN) 二、解答题 2.计第：(5x-2019+i7-125+8 -2(sin45)）2 3.(1)计算：2cos30°+|1-V2|-tan60+ 1-V (2)若实数a满足V(2023-a)2+√a-2024=a,求a-2023的值 题型二指数函数的概念 一、多选题 1.下列说法正确的是() A.y=(5)是指数函数 B.f=和8)=x表示同一个函数 C.已知fF+1=x+2+1,则f(x)=x2 D.2与{}不是同一个集合 二、填空题 2.若函数f(x=2a2-3a+2)a是指数函数，则实数a= 三、解答题 3.已知函数f(x)=a2-2a-2a'(a>0且a≠1)过点(0,1. (I)求a的值，并写出f(x)的解析式： ②判断F(=)可的奇偶性，并用定义证明： 2/9 命学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 (3)若f(x)=h(x+x,且hx为奇函数，(x)为偶函数，写出hx的解析式 题型三指数函数的图象及应用 一、单选题 l.已知函数f(x)=（x-a(x-b)(a<b)的图象如图所示，则函数gx=a-b的图象可能是() 2.函数f)=+1的图象大致为（) e*-1 3.己知函数f(x=a-b(a>0,且a≠1)的图象如图所示，则下列选项正确的是() y=f(x) A.a>1 B.0<b<1 3/9 命学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 C.2-a<1 D.gx=b-a的图象不经过第四象限 4.已知函数f(x)=a +b的图象过原点，且无限接近直线y=2但又不与该直线相交则的值为() 2 A. 4 B. C.2 D.4 二、多选题 5.在如图所示的图象中，二次函数y=ax2+bx+c与函数y= 在同一平面直角坐标系内的图象不可能是 三、填空题 6.已知直线y=ar+b(a>0,b>0)过函数f升x)=m+1(m>0,m≠1)图象的定点，则2+0最小值 a 4b 为 题型四指数（型）函数求最值 一、单选题 x2-2ax,x<0 1.设函数f(x)= 若不等式f(x)≥a对HxeR恒成立，则实数a的值为() 1 -1,x≥0 4 A.-1 B.1 C. 3 D.2 二、多选题 2已别函数到=品1，则（) A.f(x)的定义域为(-0,0)U(0,+o0)B.f(x)为奇函数 4/9 函学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 C.f(x)为R上的减函数 D.f(x)无最值 三、填空题 3.函数f(x)=0.1-2x的最大值为】 四、解答题 4.设函数fx)=a-a(a>0,a≠1)， ()若a=2求使不等式/(：-+f1-刘<0恒成立的：的取值范围： ②若f刊=多，8=a+a-时，且g到在+上的最小值为-2，求m的催 题型五指数（型）函数求不等式 一、单选题 -x2-2a.x-a,x<0 1.已知函数f(x)= 在R上单调递增，则a的取值范围是() e,x20 A.（-0,0 B.[0,+o C.-1, D.[-1,0 2.已知a=32,b=0.32,c=0.2.3,则a,b,c的大小关系为() A.a>b>c B.axc>b C.c>axb D.cxbxa 二、解答题 2 3。对于函数f=a2+aeR. (1)判断函数f(x)的单调性，并证明； (②)是否存在实数a使函数f(x)为奇函数？ 8若a1,且2+-小：++号+小0对任意的：R恒成立，求实数的取值宿围. 4.已知定义域为R的函数f)=2+也是奇函数。 2+1 (1)求b的值 (2)判断函数f(x)的单调性，并用定义证明. (3)当x∈[1,3]时，f(kx2)+f(2x-1)>0恒成立，求实数k的取值范围. 2 能力培优练 一、 单选题 1.自然界中，大多数生物存在着世代重叠现象，它们在生活史中会持续不断地繁殖后代，且有时不同的世 代能在同一时间进行繁殖.假定某类生物的生长发育不受密度制约时，其增长符合模型：N(t)=N”,其 5/9 命学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 中N。为种群起始个体数量，"为增长系数，N()为t时刻的种群个体数量.当t=3时，种群个体数量是起 始个体数量的2倍.若N(4)=200,则N(10)=() A.1000 B.800 C.600 D.400 2.已知函数f(对=2026-2026，若m>0,n>0,且f2m-1+f1-2=0,则，1+的最小值为 2m+1'n () A.2 B.1 D.3 3.已知定义在R上的奇函数f=a2-2+x,则不等式fx2-x+刂小>的解集为() A.（-1,2 B.(0,1 C.-0,-1U(2,+0）D.-0,0)U(1,+0】 二、填空题 4.化简a2a÷Vaa5÷aVa的结果为 5.已知a=m(m>0且m≠1，则0”-a” ax-ax 6.已知a+ar3 a+0(a>0,且a≠1，则2= 2 7.已知函数f(x)=e+e,若bf(x≤f(2x)+11恒成立，则b的最大值为 三、解答题 8.已知定义域都为R的函数f(x)与g(x)满足：f(x)是奇函数，g(x)是偶函数，g(x)-f(x)=e. (1)求函数f(x)与8(x)的解析式； (2)若关于x的不等式f(x)+k[g(2x)+]≤0在[0，+o)上恒成立，求实数k的取值范围. 9.己知函数f(x)为偶函数，g(x)为奇函数，且满足∫(x+g(x=2. (1)求f(x,8x; 2当a≥0时，判断afx+1-a和到的大小关系 f(x) 10.已知函数f(x)=4-(m+12-1. (1)若m=0,求f(x)在区间-2,1的值域； (2)若方程∫x+2=0有两个不等实根，求实数m的取值范围； -2x2+4x-1 ⊙设数g时- ，若对任意的x∈1,2]，总存在x2∈[0,3]，使得fx)≥gx,，求实数m的范 围 6/9 品学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 11.已知定义域为R的函数fx=a-2是奇函数 1+2 (1)求a的值； (2)判断并用定义证明f(x)的单调性： (3)若对任意t∈[3，+o),不等式ft2-2t+3+f21-kt)<0恒成立，求k的取值范围. 3 创新题型练 一、 单选题 1.高斯是德国著名的数学家，近代数学奠基者之一，享有“数学王子的美誉，用其名字命名的“高斯函数”： 设x∈R,用[x]表示不超过x的最大整数，则y=[x称为高斯函数，也称取整函数，例如：「-3.7=-4， [2.=2.已知f=3,则函数y=[fx]的值域为() 3+12 A.{0 B.{-1,0 C.{-1,0,1 D.{-2,-1,0 2.中文“函数”一词，最早是由近代数学家李善兰翻译出来的，之所以这么翻译，他给出的原因是“凡此变数 中函彼变数者，则此为彼之函数”.已知集合M={-1,0,1,2,N={1,2,3,4,给出下列四个对应法则，请由函 数定义判断，其中能构成从集合M到集合N的函数的是() A.y=x B.y=x2 C.y=2 D.y=x3+1 3。对数螺线广泛应用于科技领域.某种对数螺线可以用p=a心：表达，其中α为正实数，p是极角，P是 极径.若p每增加兀个单位，则P变为原来的() A.e倍 B.e倍 C.c倍 D.e倍 4.16世纪，随着航海和天文学的发展，人们需要面对越来越繁难的计算，那时数学家制造了很多数表用于 计算，比如德国数学斯蒂弗尔在《综合算术》中阐述了一种对应关系： 0 2 3 6 7 8 9 10 2 4 16 32 64 128 256 512 1024 11 12 13 14 15 16 17 18 o 20 2048 4096 8192 16384 32768 65536 131072 262144 524288 1048576 已知光在真空中的传播速度为300000千米/秒，一年按365天计算，利用上表，估算1光年的距离大约为 2千米(k∈N),则k的值为() A.40 B.41 C.42 D.43 7/9 命学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 二、多选题 5.我国著名数学家华罗庚先生曾说：“数缺形时少直观，形少数时难入微数形结合百般好，割裂分家万事休” 在数学的学习和研究中，常用两数的图像来研究函数的性质，也常用函数的解析式琢磨函数图象的特征， 如函数y= xa （a>0且a1)的图像的大致形状可能是() 三、解答题 6.若函数f(x)满足：对任意正数s,t,都有f(s)+f()<f(s+),则称函数f(x)为“H函数" (I)试判断函数(x=x2与∫x)=lnx是否为“H函数”，并说明理由： (2)若函数y=2+2x+m是“H函数”，求实数m的取值范围 3)若函数f)为H函数”，f1=1,且对任意正数x,都有f(x>0,证明：对任意x∈2,2)(k∈N), 都有> 7.欧拉对函数的发展做出了巨大贡献，除特殊符号，概念名称的界定外，欧拉还基于初等函数研究了抽象 函数的性质例如，欧拉引入倒函数的定义：对于函数y=f(x),如果对于其定义域D中任意给定的实数x, 都有-x∈D,并且f(x小·f(-x)=1,就称函数y=f(x)为倒函数 0已知=2,8}，断=f和y=g国是否为御影， 1 ②若函数()是定义在R上的倒函数，且当x≤0时，=3十，求函数()的解析式 (③)老定义线为R的倒函数8)的图象是一条连续不断的曲线，且8在R上单调递塔，若g-2引=}，函 数h(x)=[g(x)]+[g(-x)]2-g(x)-g(-x),求h(x)在[-2,2上的值域 名的“悬链线拱桥何题与数学中的双曲函数相关函数儿心。，。叫做双曲正弦函数，函多 8/9 函学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 g=。+e叫做双曲余弦函数，其中心2.71828…是自然对数的底数已知函数 2 f(x)=e'- 2’8(x=e+e 2 ()对任意实数[g(x]-[f(x]是否为定值？若是，请求出该定值，若不是，请说明理由： (2)求不等式f(3x-2)+f(x+1)>0的解集： (3)当x∈[0，ln3]时，求h(x)=4mf(x)-2g2x)的最大值p(m 9.若函数y=f(x)对任意的x∈R均有f(x-1)+f(x+1)>2f(x),则称函数具有性质P. (1)判断下面函数①y=3；②y=x是否具有性质P,并说明理由； xx-1),x为有理数 (2)全集为R,函数gx)= x2,x为无理数 ,试判断并证明函数y=g(x)是否具有性质P: (3)若函数y=f(x具有性质P,且f(0)=fn=0(n>2,neN),求证：对任意1≤k≤n-1,k∈N, 均有f(k)≤0. 10.函数snhx=e-e)与函数cohx=e+e)分别称为双曲正弦函数与双曲余弦函数，它们在悬鞋 线问题，相对论，复数分析，电路分析，热传导与波动方程中有广泛的应用. )判断函数f)=tanh x(其中anhx=sinh)的奇偶性，并加以证明， coshx (②)我们知道三角函数有非常多的恒等式，类似的，双曲函数也有很多恒等式，如 cosh2 x sinh'x =1 sinh 2x=2sinh x.coshx cosh 2x=cosh2x+sinh2x=2 cosh2x+1=1+2 sinh2x ①请你用cosh x,coshy,sinhx与sinhy表示cosh(x-y)和sinh(x-y)(不要求证明). ②若cohx=cosh.,求证：coth(x+) 1+coth x coth y sinhx cothx+coth y 9/9 限时练习：40min 完成时间： 月 日 天气： 作业07 指数与指数函数 1.根式 (1)概念：式子叫做根式，其中n叫做根指数，a叫做被开方数. (2)性质：()n＝a(a使有意义)；当n为奇数时，＝a，当n为偶数时，＝|a|＝ 2.分数指数幂 (1)规定：正数的正分数指数幂的意义是＝ (a>0，m，n∈N*，且n>1)；正数的负分数指数幂的意义是＝ (a>0，m，n∈N*，且n>1)；0的正分数指数幂等于0；0的负分数指数幂没有意义. (2)有理指数幂的运算性质：aras＝ar+s；(ar)s＝ars；(ab)r＝arbr，其中a>0，b>0，r，s∈Q. 3.指数函数及其性质 (1)概念：函数y＝ax(a>0且a≠1)叫做指数函数，其中指数x是自变量，函数的定义域是R，a是底数. (2)指数函数的图象与性质 a>1 0<a<1 图象 定义域 R 值域 (0，＋∞) 性质 过定点(0，1)，即x＝0时，y＝1 当x>0时，y>1； 当x<0时，0<y<1 当x<0时，y>1； 当x>0时，0<y<1 在(－∞，＋∞)上是增函数 在(－∞，＋∞)上是减函数 4.常用结论 （1）画指数函数y＝ax(a>0，且a≠1)的图象，应抓住三个关键点：(1，a)，(0，1)，. （2）在第一象限内，指数函数y＝ax(a>0且a≠1)的图象越高，底数越大. 三层必刷：巩固提升+能力培优+创新题型 题型一 指数 一、单选题 1．下列各式正确的是（） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据根式的运算性质逐一判断即可. 【详解】A选项：左边的定义域为，右边的定义域为， 定义域不同，故不恒等，A错误； B选项：，因，故，B错误； C选项：仅在为偶数时成立；当为奇数时，，C错误； D选项：由根式性质，当有意义时，总有，故D正确. 故选： D 二、解答题 2．计算：. 【答案】 【分析】根据根式、指数、特殊角的三角函数值等知识进行化简，从而确定正确答案. 【详解】 . 3．（1）计算：； （2）若实数满足，求的值. 【答案】（1）（2）2024 【分析】（1）由特殊角的三角函数值、绝对值的定义及分式分母有理化化简求值； （2）由根式、指数幂的运算法则化简求值. 【详解】（1） =； （2）因为，所以， 所以， 即，即， 所以， 所以. 题型二 指数函数的概念 一、多选题 1．下列说法正确的是（    ） A．是指数函数 B．和表示同一个函数 C．已知，则 D．与不是同一个集合 【答案】AD 【分析】对于A，符合指数函数的定义；对于B，求出两个函数的定义域，根据定义域不同即可判断；对于C，利用换元法求函数的解析式即可判断；对于D，根据空集的概念即可判断. 【详解】对于A，，所以是指数函数，故A正确； 对于B，函数的定义域为，函数的定义域为， 所以和不能表示同一个函数，故B错误； 对于C，令，所以， 所以，故C错误； 对于D，不包含任何一个元素，而中包含一个元素，所以与不是同一个集合，故D正确. 故选：AD. 二、填空题 2．若函数是指数函数，则实数 ． 【答案】/0.5 【分析】根据指数函数定义即可得到方程，解出即可. 【详解】由题意得，解得或1（舍去）. 故答案为：. 三、解答题 3．已知函数 且过点． (1)求的值，并写出的解析式； (2)判断 的奇偶性，并用定义证明； (3)若 ，且为奇函数，为偶函数，写出的解析式． 【答案】(1)， (2)奇函数，证明见解析 (3) 【分析】（1）由函数过点求解即可； （2）由题意可得，根据函数奇偶性的定义判断并证明即可； （3）由题意可得，且，求解即可. 【详解】（1）依题意，，解得或， 而，，故，则； （2）为奇函数，证明如下： 由（1）知，，定义域为，关于原点对称， 可得，故函数是奇函数； （3）因为，即，①，所以， 又因为为奇函数，为偶函数，所以，② 由①②可得，，故. 题型三 指数函数的图象及应用 一、单选题 1．已知函数的图象如图所示，则函数的图象可能是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由二次函数图象得到，再结合指数函数图象与平移即可解题. 【详解】由题意得，所以在定义域上单调递减． ，，故B符合题意． 故选：B． 2．函数的图象大致为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据排除C，判断函数的奇偶性可排除D；再根据时，可排除A. 【详解】由，可得，排除C， 则， 所以函数为奇函数，其图象关于原点对称，排除D； 当时，，则，排除A，则B符合题意. 故选：B 3．已知函数（，且）的图象如图所示，则下列选项正确的是（    ） A． B． C． D．的图象不经过第四象限 【答案】D 【分析】根据指数函数图象性质可知，对选项逐一判断可得出结论. 【详解】对于A，根据图象为单调递减的，可知，即A错误； 对于B，由函数图象与轴交点在负半轴上，即可得，可得，因此B错误； 对于C，根据已有分析可知，所以，即C错误； 对于D，由可知函数的图象单调递增，且与轴交点在正半轴上， 因此可知函数的图象不经过第四象限. 故选：D 4．已知函数的图象过原点，且无限接近直线但又不与该直线相交.则的值为（   ） A． B． C．2 D．4 【答案】D 【分析】根据已知得，且函数为偶函数，再由指数函数图象性质可求出的值即可. 【详解】由函数过原点可知，即可得，即； 又函数定义域为，且满足，可知函数为偶函数， 当时，趋近于0，所以函数趋近于, 因此可得，所以； 即. 故选：D 二、多选题 5．在如图所示的图象中，二次函数与函数在同一平面直角坐标系内的图象不可能是（   ） A． B． C． D． 【答案】BD 【分析】根据题意结合二次函数与指数函数的图象性质逐项分析即可． 【详解】A：由图可得二次函数的对称轴为且，结合图可得，即得， 由图知为减函数，则有，符合，故A不合题意； B：由图可得且，此时、异号，则与函数为减函数相矛盾，故B符合题意； C：由图可得且，即得，由图知为减函数，则，符合，故C不合题意； D：由图可得且，此时、异号，则与函数为减函数相矛盾，故D符合题意； 故选：BD. 三、填空题 6．已知直线过函数图象的定点，则最小值为 ． 【答案】 【分析】先确定函数定点得到，将待求式变形后，利用基本不等式求出最小值. 【详解】函数的定点为， 故直线满足（）. 将化为，则 . 由基本不等式，，当且仅当即时取等号. 结合，解得，，此时. 所以最小值为 故答案为： 题型四 指数（型）函数求最值 一、单选题 1．设函数，若不等式对恒成立，则实数的值为（    ） A． B．1 C． D．2 【答案】A 【分析】求出时的范围，根据不等式对恒成立得到a的一个范围；求出时的范围，再次求出a的范围，取交集即可求出a的值． 【详解】当，， 若不等式，恒成立，则①； 当，，对称轴为， 当时，单调递减，单调递增， ∴， 则，解得②； 综合①②得． 故选：A． 二、多选题 2．已知函数，则（    ） A．的定义域为 B．为奇函数 C．为上的减函数 D．无最值 【答案】ABD 【分析】根据指数函数的单调性、奇函数的性质，结合指数型函数的最值性质逐一判断即可. 【详解】由，所以，故A正确； ， 因为， 所以为奇函数，故B正确； 因为的定义域为， 所以选项C不正确； 当时，，所以，即， 当时，， 即，所以无最值， 故选：ABD 三、填空题 3．函数的最大值为 ． 【答案】10 【分析】应用换元法结合指数函数的性质计算求解. 【详解】令，， 即当时，的最大值. 故答案为：10. 四、解答题 4．设函数（，）， (1)若，求使不等式恒成立的的取值范围； (2)若，，且在上的最小值为，求m的值. 【答案】(1) (2)4 【分析】（1）先得函数是上的奇函数，且函数是减函数，进而转化问题为不等式恒成立，进而结合求解即可； （2）先由求得，再令，则根据其单调性可得，，进而根据二次函数的性质讨论即可求解． 【详解】（1）当时，，， 则，所以是奇函数， 因为为减函数，为增函数， 所以是减函数， 由不等式，可得， 则，即恒成立， 所以，即，解得， 故的取值范围是. （2）由，得，解得或（舍）， 所以， 令，当时，， 所以，开口向上，对称轴为， ①当即时，，解得（舍去） ②当即时，，解得，符合题意. 综上所述，. 题型五 指数（型）函数求不等式 一、单选题 1．已知函数在上单调递增，则的取值范围是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据二次函数以及指数函数的单调性，利用分段函数的单调性，建立不等式组，可得答案. 【详解】由二次函数的图像开口向下，对称轴为直线， 则函数在上单调递增，在上单调递减. 由指数函数易知在上单调递增. 由题意可得，即，解得. 故选：D. 2．已知，，，则a，b，c的大小关系为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据指数函数，幂函数的单调性比较大小. 【详解】因为在R上单调递增，所以，， 又在R上单调递减，所以， 而在上单调递增，所以，所以，即， 所以. 故选：A. 二、解答题 3．对于函数． (1)判断函数的单调性，并证明； (2)是否存在实数使函数为奇函数？ (3)若，且对任意的恒成立，求实数的取值范围． 【答案】(1)为上的增函数，证明见解析 (2) (3) 【分析】（1）利用单调性的定义判断并证明； （2）利用奇偶性的概念求解； （3）利用单调性与奇偶性将问题转化为不等式对任意的恒成立，按照和分类讨论，利用判别式法列不等式组求解即可. 【详解】（1）为上的增函数，证明如下： 定义域为，设， ， 由，可得，即有，故， 则为上的增函数，. （2）若为奇函数，即有，即，解得， ，，则为奇函数， 故存在，使函数为奇函数. （3）由（2）为上的奇函数，也为增函数， 不等式，即为， 即有，即对任意的恒成立， 当时，不等式对任意的恒成立，符合题意； 当时，要使对任意的恒成立， 则，解得； 综上，即实数的取值范围是. 4．已知定义域为的函数是奇函数． (1)求的值． (2)判断函数的单调性，并用定义证明． (3)当时，恒成立，求实数的取值范围． 【答案】(1) (2)减函数，证明见解析 (3) 【分析】（1）根据奇函数的性质，由，建立方程，结合奇函数定义，可得答案； （2）根据单调性的定义，利用作差法进行证明，结合指数函数的单调性，可得答案； （3）利用函数奇偶性与单调性，化简不等式，根据参变分离，利用函数求最值，可得答案. 【详解】（1）因为在定义域为R上是奇函数，所以，即， ∴， 则，由， 则当时，原函数为奇函数． （2）由（1）知， 任取，设，则， 因为函数在R上是增函数，，∴．又， ∴，即，∴在上为减函数． （3）因是奇函数，从而不等式：， 等价于， 因为减函数，由上式推得：． 即对一切有：恒成立，设， 令，则有， ∴， ∴，即k的取值范围为． 一、单选题 1．自然界中，大多数生物存在着世代重叠现象，它们在生活史中会持续不断地繁殖后代，且有时不同的世代能在同一时间进行繁殖．假定某类生物的生长发育不受密度制约时，其增长符合模型：，其中为种群起始个体数量，为增长系数，为时刻的种群个体数量．当时，种群个体数量是起始个体数量的2倍．若，则（   ） A．1000 B．800 C．600 D．400 【答案】B 【分析】根据题目所给模型，通过指数的计算得到结果. 【详解】由题意可知，即，∴， 又∵，即，∴， . 故选：B. 2．已知函数，若，，且，则的最小值为（   ） A．2 B．1 C． D． 【答案】B 【分析】由函数奇偶性的定义可知为奇函数，又根据单调性可知，然后结合基本不等式即可求解. 【详解】函数的定义域为R， 且， 所以为奇函数，又函数和在R上都单调递增， 所以在R上单调递增， 所以由，即，即 所以，即，即， 故 当且仅当，结合，即得时，等号成立， 所以的最小值为1. 故答案为：B. 3．已知定义在上的奇函数，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先利用奇函数的性质求得参数，再根据的函数解析式直接判断的单调性，再根据函数单调性将不等式转化为自变量的大小关系，最后解一元二次不等式即可. 【详解】易知定义在上的奇函数，，即，解得. 故，易在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增，故在上单调递增. 注意到，，故等价于， 又因为在上单调递增，故，整理得， 解得或， 故选：D. 二、填空题 4．化简的结果为 【答案】1 【分析】由根式与指数幂的关系及指数幂的运算性质化简求值. 【详解】由 . 故答案为：1 5．已知（且），则 【答案】 【分析】利用立方差公式将因式分解，再化简求值即可. 【详解】； 故答案为： 6．已知 且，则 【答案】或 【分析】先利用立方和公式对分子进行因式分解，然后化简等式，最后通过解方程求出的值. 【详解】因为， 所以， 所以， 设，则可化为， 即，解得或. 因为，所以或. 故答案为：或 7．已知函数，若恒成立，则的最大值为 ． 【答案】 【分析】通过基本不等式求解即可. 【详解】当且仅当，即时取等号， 所以 不等式可化为， 所以恒成立，而， 当且仅当，即时取等号，因此，所以的最大值为. 故答案为：. 三、解答题 8．已知定义域都为的函数与满足：是奇函数，是偶函数，． (1)求函数与的解析式； (2)若关于的不等式在上恒成立，求实数的取值范围． 【答案】(1)，，， (2) 【分析】（1）由函数奇偶性得到，联立即可求解； （2）令，得到，通过分参求最值即可求解. 【详解】（1）由，① 可得，又是奇函数，是偶函数， 得，②， ①+②得，，则，； （2）， 由（1）得：， 令，又 在单调递增，所以， 则， 得：在恒成立， 分参可得：，当时，， 当时， ， 因为，当且仅当时取等号， 的最小值为， 综上当时，的最小值为， 所以. 9．已知函数为偶函数，为奇函数，且满足. (1)求； (2)当时，判断和的大小关系. 【答案】(1)； (2) 【分析】（1）根据函数的奇偶性构造方程组，解方程组可得函数解析式； （2）直接用作差比较法比较大小，并结合基本不等式及指数函数性质判断可得大小关系. 【详解】（1）由题设可知，由于为偶函数，为奇函数， 则，联立，解得； （2）因为， 由，当且仅当时取等号，且 所以，即． 10．已知函数． (1)若，求在区间的值域； (2)若方程有两个不等实根，求实数m的取值范围； (3)设函数，若对任意的，总存在，使得，求实数m的范围． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）利用换元法令，，再结合二次函数的性质即可求解； （2）由（1）知利用换元法可得，，，方程有两个不等实根即等价于有两个不等实根且实根均大于零，从而可得，据此可求解； （3）若对任意的，总存在，使得，可得，由复合函数知识可得函数在时单调递减，时单调递增，从而求出，则只需令在上恒成立即可，分离参数可求解． 【详解】（1）当时，， 令，因为，所以， 所以可得一个二次函数，开口向上，对称轴为， 又，所以时，有最小值， 而离对称轴更远，所以时，有最大值， 所以，所以时，在区间上的值域为． （2）由（1）知当令，，， 则，即， 又指数函数单调递增，所以有两个不等实根，且此时实根大于零， 所以可得，解得，实数m的取值范围为． （3）由题意得， 若对任意的，总存在，使得，可得， 由函数可得当时单调递减，当时单调递增， 函数为增函数，所以由复合函数定义可得函数在时单调递减，时单调递增， 所以当时，有最小值， 由（2）知当令，，， 所以在上恒成立， 即在上恒成立， 因为函数，在时均单调递增， 所以函数在时单调递增，所以， 所以，即，则实数m的取值范围为． 11．已知定义域为的函数是奇函数. (1)求a的值； (2)判断并用定义证明的单调性； (3)若对任意，不等式恒成立，求k的取值范围. 【答案】(1)； (2)减函数，证明见解析； (3). 【分析】（1）根据求得值，再验证即可；（2）根据单调性的定义证明即可，关键是对的变形；（3）结合奇偶性与单调性，将不等式恒成立问题合理转化，分离参数，构造函数，求函数的最小值即可. 【详解】（1）∵为定义域内的奇函数， ∴，即，解得， ∴， ∵，为奇函数，符合题意， ∴. （2）由（1）知：，是上的减函数.下面进行证明： 任取，且， 则 ， ∵为增函数，， ∴，，， ∴， ∴， ∴是上的减函数. （3）∵为奇函数， 对任意，不等式恒成立可化为： ，即对任意恒成立. 又是上的减函数， ∴对任意恒成立，可化为： 对任意恒成立， 即对任意恒成立. 记，，只需， 由对勾函数的性质知在上单调递增， ∴， ∴，即k的取值范围是. 一、单选题 1．高斯是德国著名的数学家，近代数学奠基者之一，享有“数学王子”的美誉，用其名字命名的“高斯函数”:设，用表示不超过x的最大整数，则称为高斯函数，也称取整函数，例如：，.已知，则函数的值域为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由题意知,由此即可得出的取值范围，再由高斯函数的定义选出答案. 【详解】由题意知， 因为， 所以函数的值域为. 故选：D. 2．中文“函数”一词，最早是由近代数学家李善兰翻译出来的，之所以这么翻译，他给出的原因是“凡此变数中函彼变数者，则此为彼之函数”.已知集合，给出下列四个对应法则，请由函数定义判断，其中能构成从集合到集合的函数的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由函数的定义逐个判断即可； 【详解】A选项，当时，，故A错误； B选项，当时，，故B错误； C选项，当时，，当时，，当时，，故满足要求， 正确；D选项，当时，错误， 故选：C. 3．对数螺线广泛应用于科技领域．某种对数螺线可以用表达，其中为正实数，是极角，是极径．若每增加个单位，则变为原来的（    ） A．倍 B．倍 C．倍 D．倍 【答案】B 【分析】设所对应的极径为，所对应的极径为，根据所给表达式及指数幂的运算法则计算可得. 【详解】设所对应的极径为，则， 则所对应的极径为，所以， 故每增加个单位，则变为原来的倍. 故选：B 4．16世纪，随着航海和天文学的发展，人们需要面对越来越繁难的计算，那时数学家制造了很多数表用于计算，比如德国数学斯蒂弗尔在《综合算术》中阐述了一种对应关系: 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 2 4 8 16 32 64 128 256 512 1024 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 2048 4096 8192 16384 32768 65536 131072 262144 524288 1048576 已知光在真空中的传播速度为300000千米/秒，一年按365天计算，利用上表，估算1光年的距离大约为千米（），则的值为（    ） A．40 B．41 C．42 D．43 【答案】D 【解析】根据，代入数据计算得到答案. 【详解】根据题意：. 1光年为：千米. 故选：. 【点睛】本题考查了数值的计算，意在考查学生的应用能力和计算能力. 二、多选题 5．我国著名数学家华罗庚先生曾说：“数缺形时少直观，形少数时难入微.数形结合百般好，割裂分家万事休.”在数学的学习和研究中，常用两数的图像来研究函数的性质，也常用函数的解析式琢磨函数图象的特征，如函数（且）的图像的大致形状可能是（    ） A．     B．   C．   D．   【答案】BD 【分析】按和分类，结合指数函数图象判断即得. 【详解】当时，函数在上单调递减，当时，在上递增，， 当时，在上递减，，A不满足，D符合题意； 当时，函数在上单调递增，当时，在上递减，， 当时，在上递增，，C不满足，B符合题意. 故选：BD 三、解答题 6．若函数满足：对任意正数s，t，都有，则称函数为“H函数". (1)试判断函数与是否为“H函数”，并说明理由： (2)若函数是“H函数”，求实数m的取值范围. (3)若函数f(x)为“H函数”，，且对任意正数x，都有，证明：对任意，都有． 【答案】(1)是“H函数”；不是“H函数”，理由见详解 (2) (3)证明见详解 【分析】（1）根据“H函数”的定义并结合举反例的方法进行判断即可； （2）根据函数是“H函数”列出不等式，转化为求最值问题即可； （3）由题意令，得到，进而得到，即可得证. 【详解】（1）对于任意，，， 所以， 即成立， 故是“H函数”； 对于， 取，则，． 因为，不满足， 故不是“H函数”. （2）因为函数是“H函数”， 所以对于任意的，有恒成立， 即恒成立， 所以恒成立， 又，故，则， 则，即， 所以实数m的取值范围为. （3）由函数为“H函数”，可知对于任意正数， 都有，，且， 令，可知，即， 故对于自然数k与正数s， 都有， 对任意，且， 所以. 7．欧拉对函数的发展做出了巨大贡献，除特殊符号，概念名称的界定外，欧拉还基于初等函数研究了抽象函数的性质.例如，欧拉引入倒函数的定义：对于函数，如果对于其定义域中任意给定的实数，都有，并且，就称函数为倒函数. (1)已知，判断和是否为倒函数； (2)若函数是定义在上的倒函数，且当时，，求函数的解析式. (3)若定义域为的倒函数的图象是一条连续不断的曲线，且在上单调递增，若，函数，求在上的值域. 【答案】(1)是倒函数，不是倒函数 (2) (3) 【分析】（1）判断函数是否为倒函数，先检验定义域对称性，再验证函数乘积恒为； （2）已知是上的倒函数，且已知时的表达式，利用倒函数的性质，将未知区间转化为已知区间求解； （3）已知是单调递增的倒函数，且，利用，结合单调性确定在区间上的取值范围，通过换元将复杂表达式转化为二次函数，利用单调性确定变量范围，进而求值域. 【详解】（1）对于，定义域为，显然定义域中任意实数有成立， 又，故是倒函数， 对于，定义域为，当时， 不符合倒函数的定义，故不是倒函数； （2）令，则，由倒函数的定义，可得， 即，故； （3）由题可得是倒函数，且在上单调递增，， ，， 设，，则 ，， 设， 令，，则， 代入得， 即， 对称轴，在区间上单调递增， 时，，时，， 故，即在上的值域为. 8．著名的“悬链线拱桥问题”与数学中的双曲函数相关.函数叫做双曲正弦函数，函数叫做双曲余弦函数，其中是自然对数的底数.已知函数. (1)对任意实数是否为定值？若是，请求出该定值，若不是，请说明理由； (2)求不等式的解集； (3)当时，求的最大值. 【答案】(1)是，定值1 (2) (3) 【分析】（1）将两函数式代入计算即得； （2）利用函数的奇偶性和单调性转化求解抽象不等式即得； （3）令，求得，将函数换元化成，利用二次函数的图象性质结合区间即可分段求得的解析式，再合并表示即可. 【详解】（1）由， 可得 ， 即 是定值，定值为1. （2）易知的定义域为， 又，所以为奇函数， 由不等式可得， 又易得是上的增函数，所以，所以， 所以不等式的解集为. （3）令，因在上单调递增，故得， 又因为，， 则，， ① 当时，函数在上单调递增， 故当时，取得最大值为； ② 当时，函数在上单调递减， 故当时，取得最大值为； ③当时，函数在上单调递增，在上单调递减， 所以时取最大值； 综上可得：. 9．若函数对任意的均有，则称函数具有性质． (1)判断下面函数①；②是否具有性质，并说明理由； (2)全集为，函数，试判断并证明函数是否具有性质； (3)若函数具有性质，且（，），求证：对任意，，均有． 【答案】(1)①具有性质，②不具有性质，理由见解析 (2)函数具有性质，证明见解析 (3)证明见解析 【分析】（1）将函数代入验证，从而证明出函数具有性质，举反例证明不具有性质； （2）分别从为有理数，为无理数两方面来证明函数具有性质； （3）根据反证法来证明，假设为，，…，中第一个大于0的值，结果与（，）矛盾，从而来证明对任意，，均有． 【详解】（1）函数①，且， 则， 所以， 故， 所以函数①具有性质； ②不具有性质，比如当时， ， 不满足定义， 故函数②不具有性质； （2）函数具有性质，理由如下： 当为有理数时， ， 所以此时函数具有性质； 当为无理数时， ， 所以此时函数具有性质， 综上所述，函数具有性质； （3）证明：假设为，，…，中第一个大于0的值， 则， 因为具有性质，则， 所以， 则， 这与（，）矛盾， 故假设不成立，则原命题成立， 所以对任意，均有． 10．函数与函数分别称为双曲正弦函数与双曲余弦函数，它们在悬链线问题，相对论，复数分析，电路分析，热传导与波动方程中有广泛的应用． (1)判断函数（其中）的奇偶性，并加以证明； (2)我们知道三角函数有非常多的恒等式，类似的，双曲函数也有很多恒等式，如 …… ①请你用，，与表示和（不要求证明）． ②若，求证：． 【答案】(1)奇函数，证明见解析 (2)① ，；②证明见解析 【分析】（1）根据函数奇偶性的定义即可求解， （2）根据，，即可求解①；先用，，与表示，再结合，即证得②. 【详解】（1）由于，定义域为，且， 因此为奇函散， ，定义域为， 且， 因此为偶函数， 故奇函数， （2）①， ， ②∵， ∴，， 又， ， 故， ， 由于， 故． 1 / 30 学科网（北京）股份有限公司 $