专题5.3 导数在研究函数中的应用（高效培优讲义）数学苏教版2019高二选择性必修第一册

本讲义聚焦导数在函数单调性、极值、最值中的应用，从导数与单调性关系、极值及最值定义的基础认知，到不含参/含参函数单调性判断、极值最值求解的递进，构建完整学习支架。 资料通过分层题型设计与数学思想渗透，“即学即练”与典例变式结合培养数学思维（如含参讨论的逻辑推理），图象分析发展数学眼光（几何直观），课中助力分层教学，课后便于学生查漏补缺强化应用。

专题5.3 导数在研究函数中的应用 教学目标 1. 体会导数与函数单调性之间的关系，会利用导数研究函数的单调性。 2. 能够运用导数方法求函数的极值；会解决含字母参数的函数极值的有关问题。 3. 掌握利用导数求函数最值的方法． 4.在通过图象直观体会极值与最值的区别与联系的过程中，感受数形结合思想；在解决含参函数的单调性、极值、最值问题的过程中，感受分类讨论思想；在把函数最值(极值)问题转化为研究函数单调性问题的过程中，感受转化与化归思想． 教学重难点 1.重点 掌握求可导函数极值的方法，利用导数的正负研究一个函数在给定区间内的单调性，初等函数图象问题以及含字母参数的函数极值问题，函数最值的求法。 2.难点 运用导数判断函数的单调性，含字母参数的函数极值、最值问题。 知识点01 函数的单调性 1．函数单调性和导数的关系 (1)函数的单调性与导函数f'(x)的正负之间的关系 ①单调递增：在某个区间(a,b)上，如果f'(x)>0，那么函数y=f(x)在区间(a, b) 上单调递增； ②单调递减：在某个区间(a,b)上，如果f'(x)<0，那么函数y=f(x)在区间(a,b)上单调递减. ③如果在某个区间(a,b)内恒有f'(x)=0，那么函数y=f(x)在这个区间上是一个常数函数. (2)函数值变化快慢与导数的关系 一般地，如果一个函数在某一范围内导数的绝对值较大，那么在这个范围内函数值变化得快，这时，函数的图象就比较“陡峭”(向上或向下)；如果一个函数在某一范围内导数的绝对值较小，那么在这个范围内函数值变化得慢，函数的图象就“平缓”一些. 常见的对应情况如下表所示. 图象 f'(x)变化规律 f'(x)>0 且越来越大 f'(x)>0 且越来越小 f'(x)<0 且越来越小 f'(x)<0 且越来越大 函数值变化规律 函数值增加 得越来越快 函数值增加 得越来越慢 函数值减小 得越来越快 函数值减小 得越来越慢 【即学即练】 1．下列函数在区间上单调递减的是（  ） A． B． C． D． 2．函数的单调递增区间是（  ） A． B． C． D． 知识点02 函数的极值 1．极值的相关概念 (1)极小值点与极小值： 如图，函数y=f(x)在点x=a处的函数值f(a)比它在点x=a附近其他点的函数值都小，f'(a)=0，而且在点x=a附近的左侧f'(x)<0，右侧f'(x)>0，则把点a叫做函数y=f(x)的极小值点，f(a)叫做函数y=f(x)的极小值. (2)极大值点与极大值： 如图，函数y=f(x)在点x=b处的函数值f(b)比它在点x=b附近其他点的函数值都大，f'(b)=0，而且在点x=b 附近的左侧f'(x)>0，右侧f'(x)<0，则把点b叫做函数y=f(x)的极大值点，f(b)叫做函数y=f(x)的极大值. (3)极小值点、极大值点统称为极值点，极小值和极大值统称为极值. 【即学即练】 1．函数的极小值是（  ） A． B． C． D． 2．已知函数既有极大值也有极小值，则实数的取值范围为（  ） A．[0，1] B． C． D． 知识点03 函数的最值 1．函数的最大值与最小值 (1)一般地，如果在区间[a,b]上函数y=f(x)的图象是一条连续不断的曲线，那么它必有最大值与最小值，并且函数的最值必在极值点或区间端点处取得.当f(x)的图象连续不断且在[a,b]上单调时，其最大值和最小值分别在两个端点处取得. (2)函数的极值与最值的区别 ①极值是对某一点附近(即局部) 而言的，最值是对函数的整个定义区间而言的. ②在函数的定义区间内，极大(小)值可能有多个(或者没有)，但最大(小)值最多有一个. ③函数f(x)的极值点不能是区间的端点，而最值点可以是区间的端点. 【即学即练】 1．函数在上的最小值为（  ） A． B． C． D． 2．已知函数在内有最小值，则实数的取值可以是（  ） A． B． C． D． 题型01 不含参函数的单调性判断 【典例1】函数在上是（  ） A．增函数 B．减函数 C．先增后减 D．不确定 判断函数的单调性的步骤： 第1步，确定函数的定义域； 第2步，求出导数的零点； 第3步，用的零点将的定义域划分为若干个区间，列表给出在各自区间上的正负，由此得出函数在定义域内的单调性． 【变式1】函数（  ） A．在上是增函数 B．在上是减函数 C．在上是减函数，在上是增函数 D．在上是增函数，在上是减函数 【变式2】下列函数中，在上为增函数的是（  ） A． B． C． D． 【变式3】（多选）若定义在R上的函数，对任意两个不相等的实数，，都有，则称函数为“H函数”，则下列函数是“H函数”的有（  ） A． B． C． D． 题型02 利用导数求函数的单调区间 【典例1】函数的单调增区间为（  ） A． B． C． D． 确定函数单调区间的步骤： (1)确定函数f(x)的定义域； (2)求f'(x)； (3)解不等式f'(x)>0，解集在定义域内的部分为单调递增区间； (4)解不等式f'(x)<0，解集在定义域内的部分为单调递减区间. 【变式1】函数的单调递减区间为（  ） A． B． C． D． 【变式2】若函数在区间D上是增函数，且函数在区间D上也是增函数(其中是函数的导函数)，那么称函数是区间D上“快增函数”，区间D叫做“快增区间”.则函数在区间上的“快增区间”为（  ） A． B． C． D． 【变式3】已知函数，写出一个满足“在区间上单调递增，且”的区间为 ． 【变式4】求下列函数的单调区间． （1）； （2）． 题型03 利用函数的单调性求参数 【典例1】（1）已知函数 在区间上单调递增，则a的取值范围为（  ） A． B． C． D． （2）若函数在区间内存在单调递减区间，则实数a的取值范围是（  ） A． B． C． D． 根据函数单调性求参数的一般思路： (1)利用集合间的包含关系处理：y=f(x)在(a,b)上单调，则区间(a,b)是相应单调区间的子集. (2)f(x)为增(减)函数的充要条件是对任意的x∈(a,b)都有f'(x)≥0(f'(x)≤0)，且在(a,b)内的任一非空子区间上，f'(x)不恒为零，应注意此时式子中的等号不能省略，否则会漏解. (3)函数在某个区间上存在单调区间可转化为不等式有解问题. 【变式1】已知函数在上单调递增，则的取值范围为 A． B． C． D． 【变式2】如果函数在定义域内的一个子区间上不是单调函数，那么实数的取值范围是 A． B． C． D． 【变式3】已知，若对任意两个不等的正实数，，都有恒成立，则a的取值范围是（  ） A． B． C． D． 【变式4】若函数的单调递减区间是，则其单调递增区间为 ．实数的值为 ． 【变式5】已知函数，，． (1)若函数在上单调递减，求实数a的取值范围； (2)若函数存在单调递减区间，求实数a的取值范围． 题型04 含参函数的单调性的讨论 【典例1】已知，讨论的单调性. 含有参数的函数单调性的解题技巧： (1)研究含参数的函数的单调性，要依据参数对不等式解集的影响进行分类讨论． (2)划分函数的单调区间时，要在函数的定义域内讨论，还要确定导数为0的点和函数的间断点． (3)含参数的二次不等式问题，一般从最高次项的系数、判别式及根的大小关系等方面进行讨论. 【变式1】已知． （1）当时，求的单调递增区间； （2）讨论的单调性． 【变式2】已知函数，讨论的单调性． 【变式3】已知函数． (1)当时，求的单调区间； (2)讨论的单调性． 题型05 利用单调性研究函数与导函数图象之间的关系 【典例1】已知函数的导函数的图象如图所示，则该函数的图象可能是（  ）    A．   B．   C．   D．   由导函数图象画原函数图象的依据： 根据，则单调递增，，则单调递减； 由原函数图象画导函数图象的依据： 若单调递增，则的图象一定在轴的上方； 若单调递减，则的图象一定在轴的下方； 若是常函数，则. 函数图象的单调性可以通过导数的正负来分析判断，即符号为正，图象上升；符号为负，图象下降.看导函数图象时，主要是看图象在x轴上方还是下方，即关心导数值的正负，而不是其单调性.解决问题时，一定要分清是函数图象还是其导函数图象. 【变式1】设函数的导函数为，若的图象如图所示，则的单调递减区间为（  ）    A．和 B． C．和 D．和 【变式2】已知函数在定义域内可导，其图象如图所示.记的导函数为，则不等式的解集为（  ） A． B． C． D． 【变式3】已知函数在定义域内可导，其图象如图所示.记的导函数为，则不等式的解集为（  ） A． B． C． D． 【变式4】已知函数与的图象如图所示，则函数的单调递减区间为 ． 题型06 函数单调性的应用 【典例1】（1）定义在上的函数的导函数为，若，则的解集为（  ） A． B． C． D． （2）已知，，，则a，b，c的大小关系为（  ） A． B． C． D． 利用函数单调性比较大小规律方法： （1）是常见的题型，构造恰当的函数是比较大小的关键.结合所给条件的形式，依据函数和差积商的求导法则确定和哪个函数进行怎样的运算，有时还可以结合选项确定所构造函数 （2）用函数单调性比较大小或解不等式时常构造函数，常见的有： ①对于，构造. ②对于，构造. ③对于，构造. ④对于，构造. ⑤对于，构造. ⑥对于，构造. 利用函数单调性解不等式规律方法： 一般可以通过所求解的不等式构造函数，然后根据所给条件研究该函数的单调性及奇偶性等，将不等式化为.依据构造函数的单调性，得到或. 【变式1】已知定义在上的函数的导函数，且，则实数m的取值范围为（  ） A． B． C． D． 【变式2】若，且，则下列不等式一定成立的是 A． B． C． D． 【变式3】已知，（为自然对数的底数），，则，，的大小关系为（ ） A． B． C． D． 【变式4】已知函数，若正实数满足，则的最小值为 . 【变式5】奇函数和偶函数的定义域均为，当时，，则不等式的解集为______________ 题型07 求已知函数的极值（点） 【典例1】(1)已知函数 ，则的极值点为（  ） A． B．1 C．－1 D． (2)已知函数，则（  ） A．极大值为，无极小值 B．极小值为，无极大值 C．极大值为，无极小值 D．极小值为，无极大值 运用导数求函数f(x)极值的一般步骤： (1)确定函数f(x)的定义域； (2)求导数f'(x)； (3)解方程f'(x)=0，求出函数定义域内的所有根； (4)列表检验f'(x)在f'(x)=0的根x0左右两侧值的符号； (5)求出极值. 【变式1】设，则函数（  ） A．有且仅有一个极小值 B．有且仅有一个极大值 C．有无数个极值 D．没有极值 【变式2】已知函数在处有极值2，则的极小值点为（  ） A． B． C． D． 【变式3】已知是函数的极值点，则函数的极小值为（  ） A． B． C．0 D． 题型08 利用极值（点）求参数 【典例1】若函数（）的极小值点为2，则的取值范围是（  ） A． B． C． D． 根据函数极值求参数的一般思路： (1)已知函数极值，确定函数解析式中的参数时，要注意：根据极值点的导数为0和极值这两个条件列方程组，利用待定系数法求解. (2)导数值为0不是此点为极值点的充要条件，所以用待定系数法求解后必须检验. (2)列出含有a, b, c的齐次方程(或不等式)，借助于消去b，转化为含有e的方程(或不等式)求解. 【变式1】设函数，若的极小值为，则（  ） A． B． C． D．2 【变式2】判断下列命题正确的是（  ） A．函数的极小值一定比极大值小． B．对于可导函数，若，则为函数的一个极值点． C．函数在内单调，则函数在内一定没有极值． D．三次函数在R上可能不存在极值． 【变式3】已知在区间内存在2个极值点，则实数a的取值范围为__________ 【变式4】已知函数（）. (1)当时，求的单调区间； (2)若有两个极值点，，求实数a的取值范围. 题型09 函数（导函数）图象与极值（点）的关系 【典例1】函数的导函数的图象如图所示，则下列说法正确的是（  ）    A．是的极小值 B．的极值点有3个 C．在区间上单调递减 D．曲线在处的切线斜率小于零 解答此类问题要先搞清楚所给的图象是原函数还是导函数的，对于导函数的图象，重点考查在哪个区间上为正，哪个区间上为负，在哪个点处与x轴相交，在该点附近的导数值是如何变化的，若是由正值变为负值，则在该点处取得极大值；若是由负值变为正值，则在该点处取得极小值．对于函数的图象，重点考查函 【变式1】设函数在上可导，导函数为图象如图所示，则（  ） A．有极大值，极小值 B．有极大值，极小值 C．有极大值，极小值 D．有极大值，极小值 【变式2】如图所示是的导数的图象，下列结论中不正确的有（  ） A．的单调递增区间是， B．是的极小值点 C．在区间上是减函数，在区间上是增函数 D．是的极小值点 【变式3】已知定义在上的函数，其导函数的大致图象如图所示，则下列叙述正确的是（  ） A． B．函数的极值点为c，e C．函数的极大值为 D．函数在上递增，在上递减 题型10 利用导数求不含参函数的最值 【典例1】设函数，，则的最小值和最大值分别为（  ） A．，0 B．， C．， D．0， 利用导数求函数最值的解题策略： (1)利用导数求函数f(x)在[a,b]上的最值的一般步骤： ①求函数在(a,b)内的极值； ②求函数在区间端点处的函数值f(a)，f(b)； ③将函数f(x)的各极值与f(a)，f(b)比较，其中最大的一个为最大值，最小的一个为最小值. (2)求函数在无穷区间(或开区间)上的最值的一般步骤： 求函数在无穷区间(或开区间)上的最值，不仅要研究其极值情况，还要研究其单调性，并通过单调性和极值情况，画出函数的大致图象，然后借助图象观察得到函数的最值. 【变式1】函数 的最大值为（  ） A．1 B． C． D． 【变式2】函数在区间上的最大值为（  ） A．1 B． C． D． 【变式3】已知一个边长为6的正方形铁片，铁片的四角截去四个边长均为x的小正方形，然后做一个无盖方盒，当无盖方盒的容积V最大时，x的值应为（  ） A．6 B．3 C．1 D． 【变式4】已知函数. (1)求函数的单调区间； (2)求函数在区间上的最值. 题型11 利用函数最值求参数 【典例1】若函数在区间内有最小值，则实数的取值范围为（  ） A． B． C． D． 求含有参数的函数的最值的解题策略： 求含有参数的函数的最值，需先求函数的定义域、导函数，通过对参数分类讨论，判断函数的单调性，从而得到函数f(x)的最值. 【变式1】当时，函数取得最大值，则（  ） A． B． C．2 D．4 【变式2】函数在区间上存在最值，则实数a的取值范围为（  ）． A． B． C． D． 【变式3】函数在区间上有最小值，则的取值范围是（  ） A． B． C． D． 【变式4】若函数在区间上存在最大值，则实数的取值范围是 ． 题型12 函数单调性、极值与最值的综合应用 【典例1】已知函数. (1)讨论的单调性； (2)若有极大值，且极大值大于，求的取值范围. 【变式1】若函数在处取得极值，则在内的最小值为（  ） A．2 B．3 C．4 D．6 【变式2】利用所学数学知识解决新问题是我们学习数学的一个重要目的，同学们利用我们所学数学知识，探究函数，下列说法正确的是（  ） A．有且只有一个极大值点 B．在上单调递增 C．存在实数，使得 D．有最小值，最小值为 【变式3】已知，函数． (1)当时，求曲线在点处的切线方程； (2)讨论函数的单调性； (3)当时，求函数在区间上的最小值． 【变式4】已知函数 (其中为常数)． (1)当时，求函数的单调区间； (2)求函数在上的最小值． 【变式5】已知函数． (1)求函数的单调区间； (2)求函数的极值； (3)若为函数的极值点，则称为函数的“靓点”．证明：上任意一点都有可能成为的“靓点”． 1．已知函数，则（  ） A．在内单调递增 B．在内单调递减 C．在内单调递增 D．在内单调递减 2．函数的单调递减区间是(　　) A． B． C． D． 3．若定义在上的函数的图象如图所示，则函数的增区间为（  ） A． B． C． D． 4．已知函数满足，且的导函数，则的解集为（  ） A． B． C． D． 5．函数在处取得极值，则（  ） A．，且为极大值点 B．，且为极小值点 C．，且为极大值点 D．，且为极小值点 6．函数，若恒有，则的取值范围是（  ） A． B． C． D． 7．（多选）素数分布问题是研究素数性质的重要课题，德国数学家高斯提出了一个猜想：，其中表示不大于x的素数的个数，即随着x的增大，的值近似接近的值．从猜想出发，下列推断正确的是（  ） A．当x很大时，随着x的增大，的增长速度变慢 B．当x很大时，随着x的增大，减小 C．当x很大时，在区间（n是一个较大常数）内，素数的个数随x的增大而减少 D．因为，所以 8．（多选）已知函数，其导函数为，设，则（  ） A．的图象关于原点对称 B．在R上单调递增 C．是的一个周期 D．在上的最小值为 9．（多选）已知函数，则下列说法一定正确的是（  ） A．有两个极值点 B．存在正数，使得在上单调递增 C．存在正数，使得在上单调递减 D．直线是曲线的一条切线 10．若函数有极值点，则实数c的取值范围为 ． 11．已知函数在区间内单调递减，则的最大值为 ． 12．已知函数的最小值为1，则________ 13．已知函数． (1)当时，求的单调区间； (2)若对任意，都有，求的取值范围． 14．已知函数，. (1)求的零点； (2)若有极小值，且极小值小于0，求的取值范围. 2 / 37 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题5.3 导数在研究函数中的应用 教学目标 1. 体会导数与函数单调性之间的关系，会利用导数研究函数的单调性。 2. 能够运用导数方法求函数的极值；会解决含字母参数的函数极值的有关问题。 3. 掌握利用导数求函数最值的方法． 4.在通过图象直观体会极值与最值的区别与联系的过程中，感受数形结合思想；在解决含参函数的单调性、极值、最值问题的过程中，感受分类讨论思想；在把函数最值(极值)问题转化为研究函数单调性问题的过程中，感受转化与化归思想． 教学重难点 1.重点 掌握求可导函数极值的方法，利用导数的正负研究一个函数在给定区间内的单调性，初等函数图象问题以及含字母参数的函数极值问题，函数最值的求法。 2.难点 运用导数判断函数的单调性，含字母参数的函数极值、最值问题。 知识点01 函数的单调性 1．函数单调性和导数的关系 (1)函数的单调性与导函数f'(x)的正负之间的关系 ①单调递增：在某个区间(a,b)上，如果f'(x)>0，那么函数y=f(x)在区间(a, b) 上单调递增； ②单调递减：在某个区间(a,b)上，如果f'(x)<0，那么函数y=f(x)在区间(a,b)上单调递减. ③如果在某个区间(a,b)内恒有f'(x)=0，那么函数y=f(x)在这个区间上是一个常数函数. (2)函数值变化快慢与导数的关系 一般地，如果一个函数在某一范围内导数的绝对值较大，那么在这个范围内函数值变化得快，这时，函数的图象就比较“陡峭”(向上或向下)；如果一个函数在某一范围内导数的绝对值较小，那么在这个范围内函数值变化得慢，函数的图象就“平缓”一些. 常见的对应情况如下表所示. 图象 f'(x)变化规律 f'(x)>0 且越来越大 f'(x)>0 且越来越小 f'(x)<0 且越来越小 f'(x)<0 且越来越大 函数值变化规律 函数值增加 得越来越快 函数值增加 得越来越慢 函数值减小 得越来越快 函数值减小 得越来越慢 【即学即练】 1．下列函数在区间上单调递减的是（  ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先求出导函数，在给定的区间判断导数的正负，从而判断函数的单调性，逐项排除可得答案. 【解析】A选项：，时， 所以恒成立，则在区间上单调递增，A错误； B选项：，时， 所以恒成立，则在区间上单调递增，B错误； C选项，， 当时，，所以，是单调递增函数，C错误； D选项，， 时，则恒成立， 所以在区间上单调递减，D正确. 故选：D. 2．函数的单调递增区间是（  ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】求出导函数，在定义域内解不等式可得单调递增区间. 【解析】因为，，所以对函数求导得：， 令，即，，， 解得， 因此函数的单调递增区间为． 故选：B. 知识点02 函数的极值 1．极值的相关概念 (1)极小值点与极小值： 如图，函数y=f(x)在点x=a处的函数值f(a)比它在点x=a附近其他点的函数值都小，f'(a)=0，而且在点x=a附近的左侧f'(x)<0，右侧f'(x)>0，则把点a叫做函数y=f(x)的极小值点，f(a)叫做函数y=f(x)的极小值. (2)极大值点与极大值： 如图，函数y=f(x)在点x=b处的函数值f(b)比它在点x=b附近其他点的函数值都大，f'(b)=0，而且在点x=b 附近的左侧f'(x)>0，右侧f'(x)<0，则把点b叫做函数y=f(x)的极大值点，f(b)叫做函数y=f(x)的极大值. (3)极小值点、极大值点统称为极值点，极小值和极大值统称为极值. 【即学即练】 1．函数的极小值是（  ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用导数求出的单调性，再结合极值即可求解. 【解析】由题意可得， 令，得或， 当时，，则单调递增； 当时，，则单调递减； 当时，，则单调递增； 所以当时，取到极小值，故C正确. 故选：C. 2．已知函数既有极大值也有极小值，则实数的取值范围为（  ） A．[0，1] B． C． D． 【答案】D 【分析】通过求导得，设，求得，就参数分类讨论函数的单调性，即得函数的极值情况，从而求得参数的范围. 【解析】由可知函数的定义域为，则， 设，则，当时，，当时，， 故在上单调递减，在上单调递增，则. ① 当即时，，则在上单调递增，故函数无极大极小值，不合题意； ② 当时，由解得， 因函数既有极大值也有极小值，故，解得. 由可得或；由可得， 即函数在和上单调递增，在上单调递减， 故函数在时取得极大值，在时取得极小值，符合题意. 综上可知，实数的取值范围为. 故选：D. 知识点03 函数的最值 1．函数的最大值与最小值 (1)一般地，如果在区间[a,b]上函数y=f(x)的图象是一条连续不断的曲线，那么它必有最大值与最小值，并且函数的最值必在极值点或区间端点处取得.当f(x)的图象连续不断且在[a,b]上单调时，其最大值和最小值分别在两个端点处取得. (2)函数的极值与最值的区别 ①极值是对某一点附近(即局部) 而言的，最值是对函数的整个定义区间而言的. ②在函数的定义区间内，极大(小)值可能有多个(或者没有)，但最大(小)值最多有一个. ③函数f(x)的极值点不能是区间的端点，而最值点可以是区间的端点. 【即学即练】 1．函数在上的最小值为（  ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】求导，得到函数单调性，故. 【解析】，令，得；令，得， 所以在上单调递减，在上单调递增， 则. 故选：A. 2．已知函数在内有最小值，则实数的取值可以是（  ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】求出函数的导函数，即可得到函数的单调区间，求出函数的极小值点，进而求出的范围即可. 【解析】函数定义域为，求导得， 当时，，当时，， 函数在上单调递减，在上单调递增，函数在处取得极小值，即最小值， 又函数在内有最小值，则，解得， 所以实数的取值可以是. 故选：D. 题型01 不含参函数的单调性判断 【典例1】函数在上是（  ） A．增函数 B．减函数 C．先增后减 D．不确定 【答案】A 【分析】利用导数直接判断函数的单调性. 【解析】∵，∴在上恒成立， ∴在上是增函数． 故选：A 判断函数的单调性的步骤： 第1步，确定函数的定义域； 第2步，求出导数的零点； 第3步，用的零点将的定义域划分为若干个区间，列表给出在各自区间上的正负，由此得出函数在定义域内的单调性． 【变式1】函数（  ） A．在上是增函数 B．在上是减函数 C．在上是减函数，在上是增函数 D．在上是增函数，在上是减函数 【答案】A 【分析】求出，然后可判断出答案. 【解析】， 当时，， ∴在上是增函数． 故选：A 【变式2】下列函数中，在上为增函数的是（  ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】需对每个选项中的函数求导，根据导函数在上的正负来判断函数的单调性，或者直接根据已知函数的单调区间来判断即可. 【解析】对于A选项，对于二次函数，对称轴为. 二次函数开口向上时，对称轴右侧为增区间，所以的增区间为. 因为不完全等同于其增区间，所以在上不是单调递增的，故A不满足题意. 对于B选项，对于函数，求导可得. 当时，，所以，即. 根据函数单调性和导数的关系，所以在上单调递减，故B不满足题意.   对于C选项，对于函数，这是对勾函数的形式，其增区间为和. 因为并不完全包含在其增区间内，所以在上不是单调递增的，故C不满足题意.   对于D选项，对于函数，对其求导可得. 当时，，所以，进而，即. 根据函数单调性和导数的关系，当导函数大于时，函数单调递增.所以在上单调递增，故D满足题意.   故选：D. 【变式3】（多选）若定义在R上的函数，对任意两个不相等的实数，，都有，则称函数为“H函数”，则下列函数是“H函数”的有（  ） A． B． C． D． 【答案】BC 【分析】由题意可知是R上的增函数，进而结合导数判断函数的单调性即可得出结果. 【解析】由题意可知是R上的增函数. 对于A，由，得，所以在区间上为增函数，故A中函数不是“H函数”； 对于B， ，又，所以恒成立，故B中函数是“H函数”； 对于C，恒成立，故C中函数是“H函数”； 对于D，易知为偶函数，所以它不可能为R上的增函数，故D中函数不是“H函数”. 故选：BC. 题型02 利用导数求函数的单调区间 【典例1】函数的单调增区间为（  ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据题意，求得，结合的解集，即可求得函数的递增区间. 【解析】由函数，可得其定义域为， 且， 令，解得，所以函数的单调增区间为． 故选：C. 确定函数单调区间的步骤： (1)确定函数f(x)的定义域； (2)求f'(x)； (3)解不等式f'(x)>0，解集在定义域内的部分为单调递增区间； (4)解不等式f'(x)<0，解集在定义域内的部分为单调递减区间. 【变式1】函数的单调递减区间为（  ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】求导，即可求解. 【解析】由，得， 令，解得， 所以函数的单调递减区间为. 故选：B. 【变式2】若函数在区间D上是增函数，且函数在区间D上也是增函数(其中是函数的导函数)，那么称函数是区间D上“快增函数”，区间D叫做“快增区间”.则函数在区间上的“快增区间”为（  ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】求出的导函数，即可得到的单调递增区间，令，利用导数求出的单调区间，再根据所给定义得到函数的快增区间； 【解析】解：，，所以，因为恒成立， 当时，所以，所以为增函数， 当时，所以，所以为减函数， 令，， 则，令，则 ，所以是，即时，单调递增，所以函数在区间上的“快增区间”为 故选：A 【变式3】已知函数，写出一个满足“在区间上单调递增，且”的区间为 ． 【答案】（答案不唯一，满足即可） 【分析】求导，利用导数求的单调递增区间，进而可得结果. 【解析】由题意可知：函数的定义域为， 且， 令，解得， 可知的单调增区间为， 若满足“在区间上单调递增，且”，则， 例如，则符合条件的区间可以为． 故答案为：（答案不唯一，满足即可）. 【变式4】求下列函数的单调区间． （1）； （2）． 【答案】（1）函数的单调递减区间为，，单调递增区间为；（2）单调递增区间为（），单调递减区间（）. 【分析】（1）求出，解不等式和即得解； （2），解不等式和即得解. 【解析】（1）由题得函数的定义域为. ， 令，即，解得； 令，即，解得或， 故所求函数的单调递减区间为，，单调递增区间为． （2）由题得函数的定义域为. 令，得，即（）， 令，得，即（）， 故的单调递增区间为（），单调递减区间（）． 题型03 利用函数的单调性求参数 【典例1】（1）已知函数 在区间上单调递增，则a的取值范围为（  ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由题可得在上恒成立，据此可得答案. 【解析】，由题，恒成立， 即在上恒成立， 则. 对于函数， 其在上单调递减，在上单调递增，所以， 则. 故选：B. （2）若函数在区间内存在单调递减区间，则实数a的取值范围是（  ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】可知在区间上有解，,等价于在区间上有解，结合存在性问题分析求解即可. 【解析】由，得， 若在区间上存在单调递减区间， 则在区间上有解， 可得在区间上有解， 又因为在区间上单调递增，则， 可得，所以实数的取值范围是. 故选：D． 根据函数单调性求参数的一般思路： (1)利用集合间的包含关系处理：y=f(x)在(a,b)上单调，则区间(a,b)是相应单调区间的子集. (2)f(x)为增(减)函数的充要条件是对任意的x∈(a,b)都有f'(x)≥0(f'(x)≤0)，且在(a,b)内的任一非空子区间上，f'(x)不恒为零，应注意此时式子中的等号不能省略，否则会漏解. (3)函数在某个区间上存在单调区间可转化为不等式有解问题. 【变式1】已知函数在上单调递增，则的取值范围为 A． B． C． D． 【答案】C 【解析】根据题意，在上恒成立，，分离常数得 在上恒成立，只需，利用三角函数值域，即可求解. 【解析】因为在上单调递增， 所以恒成立， 即.令， 又， 即，所以. 故选:C. 【变式2】如果函数在定义域内的一个子区间上不是单调函数，那么实数的取值范围是 A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题可直接求出函数的单调区间，再根据题目中所告诉的区间内不单调，则极值点在该区间内，从而得出k的值． 【解析】由题意得，函数定义域为 ，令，解得在定义域内， 当时，，单调递减， 当时，，单调递增， 函数在区间内不单调，所以， 解得，又因为，得， 综上， 故选：C． 【变式3】已知，若对任意两个不等的正实数，，都有恒成立，则a的取值范围是（  ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】根据条件可变形为，构造函数，利用其为增函数即可求解. 【解析】根据可知， 令 由知为增函数， 所以恒成立， 分离参数得， 而当时，在时有最大值为， 故. 故选：D 【变式4】若函数的单调递减区间是，则其单调递增区间为 ．实数的值为 ． 【答案】 ， 【分析】由函数的单调递减区间得到的两个根，可得的值，再利用导函数正负与原函数单调性的关系求解单调递增区间. 【解析】因为， 又因为的单调递减区间是，所以的两个根为，， 即，解得． 且的解集为，所以的解集为 所以的单调递增区间是，， 故答案为：，    【变式5】已知函数，，． (1)若函数在上单调递减，求实数a的取值范围； (2)若函数存在单调递减区间，求实数a的取值范围． 【答案】(1)；(2) 【分析】（1）由在上单调递减，得到恒成立，用分离参数法求出实数a的取值范围； （2）由在上存在单调递减区间，得到有解，用分离参数法求出实数a的取值范围． 【解析】（1）因为在上单调递减，所以当时，恒成立， 即恒成立，令， 则，而． 因为，所以．所以（此时），所以． 当时，． 因为，所以，即在上为减函数， 又，所以实数a的取值范围是． （2）因为，，所以． 因为在上存在单调递减区间， 所以当时，有解，即有解． 设，所以只要即可，而，， 所以，此时，所以． 又，所以或． 所以实数a的取值范围为． 题型04 含参函数的单调性的讨论 【典例1】已知，讨论的单调性. 【答案】答案见解析 【分析】对求导并进行因式分解，根据的取值分类讨论，利用导数符号进行判断即可. 【解析】的定义域为， . 当时，且，可得： 时，，单调递增， 时，，单调递减. 当时，. ①当时，且， 当或时，，单调递增， 当时，，单调递减. ②当时，，在内，，单调递增. ③当时，且， 当或时，，单调递增， 当时，，单调递减. 综上所述，当时，在上单调递增，在上单调递减； 当时，在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增； 当时，在上单调递增； 当时，在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增. 含有参数的函数单调性的解题技巧： (1)研究含参数的函数的单调性，要依据参数对不等式解集的影响进行分类讨论． (2)划分函数的单调区间时，要在函数的定义域内讨论，还要确定导数为0的点和函数的间断点． (3)含参数的二次不等式问题，一般从最高次项的系数、判别式及根的大小关系等方面进行讨论. 【变式1】已知． （1）当时，求的单调递增区间； （2）讨论的单调性． 【答案】（1）；（2）答案见解析. 【解析】（1）代入，求可得答案； （2）求出，对a进行讨论可得答案. 【解析】（1）当时，，． 令，，．∴的增区间为． （2），令，． 则①当时，无解，且在上恒成立，在上单调递增． ②当时，，解为， 当时，；当时，． 则在上单调递减，在上单调递增． 综上所述，当时，在上单调递增； 时，则在上单调递减，在上单调递增. 【变式2】已知函数，讨论的单调性． 【答案】答案见解析 【分析】求导，分和两种情况，利用导数判断的单调性. 【解析】由题意知：函数的定义域为，且， 令，解得或2， 当时，令，解得或；令，解得； 可知在区间和上单调递减，在区间上单调递增； 当时，令，解得；令，解得或； 可知在区间和上单调递增，在区间上单调递减， 综上所述： 当时，在区间和上单调递减，在区间上单调递增； 当时，在区间和上单调递增，在区间上单调递减． 【变式3】已知函数． (1)当时，求的单调区间； (2)讨论的单调性． 【答案】(1)函数单调递减区间为，单调递增区间为；(2)答案见解析 【分析】（1）利用求导并因式分解，再结合定义域，即可由导数的正负确定函数的单调区间； （2）利用求导，再通过对参数的分类讨论，来决定导数的正负，从而确定函数的单调区间. 【解析】（1）由，可得， 因为定义域，所以由，解得， ，解得， 即在上单调递减，在上单调递增． （2）由函数的定义域为，且， 若，令，解得， 当时，，当时，， 所以函数的单调递减区间为，单调递增区间为． 若，令，解得或， ①若，即时， 当时，，当时，， 所以函数的单调递减区间为，单调递增区间为． ②若，即时， 当时，，当时，，当时，， 所以函数的单调递减区间为，单调递增区间为． ③若，即时，可得且等号不恒成立， 所以函数的单调递增区间为． ④若，即时，当时，，当时，，当时，， 所以函数的单调递减区间为，单调递增区间为． 综上，当时，的单调递减区间为，单调递增区间为； 当时，的单调递减区间为，单调递增区间为； 当时，的单调递增区间为； 当时，的单调递减区间为，单调递增区间为． 题型05 利用单调性研究函数与导函数图象之间的关系 【典例1】已知函数的导函数的图象如图所示，则该函数的图象可能是（  ）    A．   B．   C．   D．   【答案】B 【分析】根据导函数的正负确定原函数的单调性，即可结合图形求解. 【解析】由的图象可知：当和时，，故在单调递减， 当和时，，故在，单调递增， 故B正确， 故选：B. 由导函数图象画原函数图象的依据： 根据，则单调递增，，则单调递减； 由原函数图象画导函数图象的依据： 若单调递增，则的图象一定在轴的上方； 若单调递减，则的图象一定在轴的下方； 若是常函数，则. 函数图象的单调性可以通过导数的正负来分析判断，即符号为正，图象上升；符号为负，图象下降.看导函数图象时，主要是看图象在x轴上方还是下方，即关心导数值的正负，而不是其单调性.解决问题时，一定要分清是函数图象还是其导函数图象. 【变式1】设函数的导函数为，若的图象如图所示，则的单调递减区间为（  ）    A．和 B． C．和 D．和 【答案】A 【分析】根据导数正负与单调性关系，结合图像逐个判断. 【解析】根据的图象可知，当时，， 当时，， 所以在内单调递减，在内单调递增， 故BCD错误，A正确. 故选：A. 【变式2】已知函数在定义域内可导，其图象如图所示.记的导函数为，则不等式的解集为（  ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据原函数图象与导函数的关系，即可得到结果. 【解析】对于不等式对， 当时，，则结合图象，知原不等式的解集为； 当时，，则结合图象，知原不等式的解集为． 综上，原不等式的解集为． 故选：A 【变式3】已知函数在定义域内可导，其图象如图所示.记的导函数为，则不等式的解集为（  ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据原函数图象与导函数的关系，即可得到结果. 【解析】对于不等式对， 当时，，则结合图象，知原不等式的解集为； 当时，，则结合图象，知原不等式的解集为． 综上，原不等式的解集为． 故选：A 【变式4】已知函数与的图象如图所示，则函数的单调递减区间为 ． 【答案】、 【解析】利用图象得出不等式的解集，再利用导数可求得函数的单调递减区间. 【解析】由图象可知，不等式的解集为， ，， 由，可得，解得. 因此，函数的单调递减区间为、． 故答案为：、. 题型06 函数单调性的应用 【典例1】（1）定义在上的函数的导函数为，若，则的解集为（  ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据给定条件，构造函数并利用导数确定单调性，再求解不等式即得. 【解析】令函数，求导得，而， 则，函数在上单调递增，又，则， 不等式，解得， 所以所求解集为. 故选：D. （2）已知，，，则a，b，c的大小关系为（  ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据实数的结构形式，构造函数，利用导数判断单调性，最后进行比较大小即可． 【解析】设， 当时，单调递减，，，，因为，所以，即， 故选：A． 利用函数单调性比较大小规律方法： （1）是常见的题型，构造恰当的函数是比较大小的关键.结合所给条件的形式，依据函数和差积商的求导法则确定和哪个函数进行怎样的运算，有时还可以结合选项确定所构造函数 （2）用函数单调性比较大小或解不等式时常构造函数，常见的有： ①对于，构造. ②对于，构造. ③对于，构造. ④对于，构造. ⑤对于，构造. ⑥对于，构造. 利用函数单调性解不等式规律方法： 一般可以通过所求解的不等式构造函数，然后根据所给条件研究该函数的单调性及奇偶性等，将不等式化为.依据构造函数的单调性，得到或. 【变式1】已知定义在上的函数的导函数，且，则实数m的取值范围为（  ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据为增函数，结合的定义域求解即可. 【解析】因为，所以函数在上单调递增. 又， 所以解得. 故选：C 【变式2】若，且，则下列不等式一定成立的是 A． B． C． D． 【答案】D 【解析】设函数，函数为偶函数，求导得到函数的单调区间，变换得到，得到答案. 【解析】设函数，函数为偶函数，则在上恒成立. 即函数在上单调递增，在上单调递减. ，即，根据单调性知. 故选：. 【变式3】已知，（为自然对数的底数），，则，，的大小关系为（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】令，利用导函数求出的单调性进而比较大小即可. 【解析】令，则， 令解得，所以当时，，单调递增，当时，，单调递减， 因为，，， 而，所以，即， 故选：B. 【变式4】已知函数，若正实数满足，则的最小值为 . 【答案】1 【分析】由知为奇函数,求导分析为增函数,故利用 可以算得的关系,再利用基本不等式的方法求的最小值即可. 【解析】,故为奇函数,又,所以为增函数.又, 故,所以 ,当且仅当时取得最小值1. 故答案为：1 【变式5】奇函数和偶函数的定义域均为，当时，，则不等式的解集为______________ 【答案】 【分析】构造函数，根据函数的奇偶性和导数情况得出该函数的单调性，再结合即可分析求解. 【解析】令，则， 所以为奇函数，故， 因为， 所以时单调递增，则时单调递增， 又， 所以当时，时， 所以不等式的解集为. 故答案为： 题型07 求已知函数的极值（点） 【典例1】(1)已知函数 ，则的极值点为（  ） A． B．1 C．－1 D． 【答案】B 【分析】先求出导函数，再根据导函数正负得出函数单调性，进而得出极值点. 【解析】因为，所以． 令，得；令，得．所以在上单调递减，在上单调递增． 可知在处取得唯一极小值，所以的极值点为1． 故选：B. (2)已知函数，则（  ） A．极大值为，无极小值 B．极小值为，无极大值 C．极大值为，无极小值 D．极小值为，无极大值 【答案】A 【分析】对求导，令，，求出的单调性，即可求出的极值. 【解析】，令，解得， ，，单调递增；，，单调递减， 因此，在处取得极大值，极大值为，无极小值. 故选：A. 运用导数求函数f(x)极值的一般步骤： (1)确定函数f(x)的定义域； (2)求导数f'(x)； (3)解方程f'(x)=0，求出函数定义域内的所有根； (4)列表检验f'(x)在f'(x)=0的根x0左右两侧值的符号； (5)求出极值. 【变式1】设，则函数（  ） A．有且仅有一个极小值 B．有且仅有一个极大值 C．有无数个极值 D．没有极值 【答案】A 【分析】求出，二次求导可得单调递增且，从而判断出函数的单调性，进而得到极值点. 【解析】，， ∴单调递增且， ∴当时，，函数单调递减， 当时，，函数单调递增， 故有唯一的极小值点. 故选：A. 【变式2】已知函数在处有极值2，则的极小值点为（  ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由题意得，从而可求得，所以，，令求出极值点，再判断出极小值点即可 【解析】解：由，得， 因为函数在处有极值2， 所以，即，解得， 所以，则， 由，得，解得或， 因为当或时，，当时，， 所以的极小值点为， 故选：B 【变式3】已知是函数的极值点，则函数的极小值为（  ） A． B． C．0 D． 【答案】A 【分析】求出函数的导数，利用给定极值点求出，进而求出极小值. 【解析】函数的定义域为R，求导得， 由是函数的极值点，得，解得， 函数，， 当或时，；当时，， 所以函数的极小值. 故选：A. 题型08 利用极值（点）求参数 【典例1】若函数（）的极小值点为2，则的取值范围是（  ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】求导，利用求得的值，从而得到，分和两种情况讨论，当时，结合二次函数图象判断函数单调性，从而求得的取值范围. 【解析】求导得， 因为极小值点为2，所以，解得， 所以， （1）当时，，令得，令得， 所以在上单调递减，在上单调递增，极小值点为2符合题意； （2）当时，令得， ①当时，，令得，令得或， 所以在上单调递减，在 上单调递增，所以极小值点为2符合题意； ②当时，要使得极小值点为2，结合二次函数图象，则要求，解得； 综上，的取值范围为， 故选：A. 根据函数极值求参数的一般思路： (1)已知函数极值，确定函数解析式中的参数时，要注意：根据极值点的导数为0和极值这两个条件列方程组，利用待定系数法求解. (2)导数值为0不是此点为极值点的充要条件，所以用待定系数法求解后必须检验. (2)列出含有a, b, c的齐次方程(或不等式)，借助于消去b，转化为含有e的方程(或不等式)求解. 【变式1】设函数，若的极小值为，则（  ） A． B． C． D．2 【答案】B 【知识点】根据极值求参数 【分析】由函数的导数求极值点，将极值点代入可得方程，进而求得值. 【解析】由已知得：，令，有，且上递减，上递增， ∴的极小值为，即，得. 故选：B. 【变式2】判断下列命题正确的是（  ） A．函数的极小值一定比极大值小． B．对于可导函数，若，则为函数的一个极值点． C．函数在内单调，则函数在内一定没有极值． D．三次函数在R上可能不存在极值． 【答案】CD 【分析】根据导数与极值的关系依次判定即可. 【解析】对于A选项，根据极值定义，函数的极小值不一定比极大值小，则A选项错误； 对于B选项，若或恒成立，则无极值点，此时导函数的零点为函数拐点，则B选项错误； 对于C选项，在内单调，因为区间为开区间，所以取不到极值，则C选项正确； 对于D选项，三次函数求导以后为二次函数，若或恒成立，则无极值点，故D选项正确； 故选：CD. 【变式3】已知在区间内存在2个极值点，则实数a的取值范围为__________ 【答案】 【分析】令，根据极值点可得与在内有2个交点，利用导数判断的单调性和最值，结合图象分析求解. 【解析】因为，可知在内有2个变号零点， 由可得，可知：与在内有2个交点， 又因为， 令，解得；令，解得； 可知在内单调递增，在内单调递减，则， 且，， 结合图象可得，所以实数a的取值范围为. 故答案为： 【变式4】已知函数（）. (1)当时，求的单调区间； (2)若有两个极值点，，求实数a的取值范围. 【答案】(1)的单调递增区间是，无单调递减区间;(2) 【分析】（1）对函数求导，构研究导函数符号确定的单调区间； （2）构造函数，将原问题进行等价转化，利用导数求最值，根据题意求出的取值范围. 【解析】（1）当时，，， 则. 令，则. 当时，，则在上单调递减， 当时，，则在上单调递增， 所以， 所以，当且仅当时等号成立， 所以在上单调递增. 故的单调递增区间是，无单调递减区间. （2）因为（），定义域为， 所以. 若有两个极值点，，则方程有两个根，， 所以方程有两个根，， 即函数的图象与直线有两个交点. 故， 当时，，则在上单调递增， 当时，，则在上单调递减， 所以. 又因为当时，，， 所以当时，，当时，. 要使函数的图象与直线有两个交点，则，解得， 即实数a的取值范围是. 题型09 函数（导函数）图象与极值（点）的关系 【典例1】函数的导函数的图象如图所示，则下列说法正确的是（  ）    A．是的极小值 B．的极值点有3个 C．在区间上单调递减 D．曲线在处的切线斜率小于零 【答案】D 【分析】根据导数的几何意义与极值、极值点的定义分别判断各选项. 【解析】A选项：由导函数图象可知是函数的极小值点， 的极小值为，A选项错误； B选项： 的极值点有两个，极大值点-3，极小值点3，B选项错误； C选项：由导函数图象可知，当时，，函数单调递增， 当时，，函数单调递减，C选项错误； D选项：由图象可知，即函数在处切线斜率小于零，D选项正确. 故选：D. 解答此类问题要先搞清楚所给的图象是原函数还是导函数的，对于导函数的图象，重点考查在哪个区间上为正，哪个区间上为负，在哪个点处与x轴相交，在该点附近的导数值是如何变化的，若是由正值变为负值，则在该点处取得极大值；若是由负值变为正值，则在该点处取得极小值．对于函数的图象，重点考查函 【变式1】设函数在上可导，导函数为图象如图所示，则（  ） A．有极大值，极小值 B．有极大值，极小值 C．有极大值，极小值 D．有极大值，极小值 【答案】C 【分析】根据的单调性与正负的关系，由函数图象分别判断函数导数的符号，结合函数单调性和极值的关系进行判断即可． 【解析】解：由图象知，当时，，则， 当时，，则， 当时，，则， 当时，，则， 即当时，，当时，， 当时，， 即当时，函数取得极大值， 当时，函数取得极小值. 故选：C. 【变式2】如图所示是的导数的图象，下列结论中不正确的有（  ） A．的单调递增区间是， B．是的极小值点 C．在区间上是减函数，在区间上是增函数 D．是的极小值点 【答案】D 【分析】A.利用函数的单调性与导数的正负的关系判断；B.利用极小值点的定义判断；C. 利用函数的单调性与导数的正负的关系判断；D.利用极小值点的定义判断； 【解析】根据图象知当时，，函数在上单调递增，A选项正确； 当时，，函数在上单调递减，故C正确； 函数在上单调递减，在上单调递增，所以当时，取得极小值，是的极小值点，故B正确； 函数在上单调递增，在上单调递减，当时，取得极大值，不是的极小值点，故D错误. 【变式3】已知定义在上的函数，其导函数的大致图象如图所示，则下列叙述正确的是（  ） A． B．函数的极值点为c，e C．函数的极大值为 D．函数在上递增，在上递减 【答案】B 【分析】对A，D由导数与函数单调性的关系，即可判断的大小以及的单调性，对B，C由极值的定义即可判断. 【解析】由题图知可，当时，， 当时，，当时，， 所以在上递增， 在上递减，在上递增， 对A，，故A错误； 对B，函数的极值点为，，故B正确； 对C，函数的极大值为，故C错误； 对D，函数)在上递增，在上递增，在上递减，故D错误. 故选：B. 题型10 利用导数求不含参函数的最值 【典例1】设函数，，则的最小值和最大值分别为（  ） A．，0 B．， C．， D．0， 【答案】C 【分析】利用导数可求得函数的单调区间，利用单调性找到最值即可. 【解析】,, 时，，此时函数单调递增， 时，，此时函数单调递减. ，， 的最小值和最大值分别为，， 故选：C. 利用导数求函数最值的解题策略： (1)利用导数求函数f(x)在[a,b]上的最值的一般步骤： ①求函数在(a,b)内的极值； ②求函数在区间端点处的函数值f(a)，f(b)； ③将函数f(x)的各极值与f(a)，f(b)比较，其中最大的一个为最大值，最小的一个为最小值. (2)求函数在无穷区间(或开区间)上的最值的一般步骤： 求函数在无穷区间(或开区间)上的最值，不仅要研究其极值情况，还要研究其单调性，并通过单调性和极值情况，画出函数的大致图象，然后借助图象观察得到函数的最值. 【变式1】函数 的最大值为（  ） A．1 B． C． D． 【答案】C 【分析】利用导数直接求出函数的最大值即可. 【详解】因为，所以． 令可得；令可得， 所以在上单调道增，在上单调递减， 所以函数在处取得极大值，即最大值， 所以． 故选：C 【变式2】函数在区间上的最大值为（  ） A．1 B． C． D． 【答案】C 【分析】通过导函数在给定区间上的正负判断原函数的单调性，计算即得函数最大值. 【详解】由，求导得， 当时，，当时， 即在上单调递增， 在上单调递减， 故． 故选：C. 【变式3】已知一个边长为6的正方形铁片，铁片的四角截去四个边长均为x的小正方形，然后做一个无盖方盒，当无盖方盒的容积V最大时，x的值应为（  ） A．6 B．3 C．1 D． 【答案】C 【分析】根据棱柱的体积公式，结合导数的性质进行求解即可. 【解析】由题意可知这个无盖方盒的共顶点的三条棱长分别为：， 显然， 因此无盖方盒的容积， 所以， 当时，，函数单调递增， 当时，，函数单调递减，所以当时，函数有最大值， 故选：C 【变式4】已知函数. (1)求函数的单调区间； (2)求函数在区间上的最值. 【答案】(1)单调递减区间为，单调递增区间为；(2)最大值为，最小值为 【分析】（1）先求得函数的定义域，求导，令和，分别求解可得增区间与减区间； （2）利用（1）的单调性可得函数在的变化情况，进而可求量值. 【解析】（1）函数的定义域为， 求导得， 令，得，解得， 令，得，解得， 所以函数的单调递减区间为，单调递增区间为； （2）由（1）可知在上单调递减，在上单调递增， 又， ， ，易知， 所以函数在区间上的最大值为，最小值为. 题型11 利用函数最值求参数 【典例1】若函数在区间内有最小值，则实数的取值范围为（  ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】在区间内有最小值，可转化为的导函数在区间有变号零点，再根据二次函数的零点分布，即可求解. 【解析】由，若函数在区间内有最小值.此时函数必定存在极值点，由，设，为一元二次方程的两根，有不妨设，故只需要即可，令，有，解得. 故选：C. 求含有参数的函数的最值的解题策略： 求含有参数的函数的最值，需先求函数的定义域、导函数，通过对参数分类讨论，判断函数的单调性，从而得到函数f(x)的最值. 【变式1】当时，函数取得最大值，则（  ） A． B． C．2 D．4 【答案】A 【分析】由得，再由在处取得最大值，分析得，得. 【解析】当时，函数取得最大值-2， 所以，即，，定义域为， 又因为在处取得最大值，所以在上单调递增，在上单调递减，， 则，所以. 故选：A. 【变式2】函数在区间上存在最值，则实数a的取值范围为（  ）． A． B． C． D． 【答案】D 【分析】对函数求导，结合题中条件得即，解不等式即得答案 【解析】因为， 因为函数，在上单调递增， 所以题中问题等价于即解得， 故选：D. 【变式3】函数在区间上有最小值，则的取值范围是（  ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据的导数求的单调性和极值，作出简图，数形结合即可求m的范围. 【解析】因为， 所以当或时，当时， 所以在，单调递增，在单调递减， 又，，，， 故的图象如图： 函数在区间上有最小值，则由图可知， 即的取值范围是. 故选：D. 【变式4】若函数在区间上存在最大值，则实数的取值范围是 ． 【答案】 【分析】求导，根据单调性求出函数极值点，根据极值点的位置列不等式求解. 【解析】由已知， 令，得，在上单调递增， 令，得，在上单调递减， 所以在时取最大值，所以 解得. 故答案为： 题型12 函数单调性、极值与最值的综合应用 【典例1】已知函数. (1)讨论的单调性； (2)若有极大值，且极大值大于，求的取值范围. 【答案】(1)答案见解析;(2) 【分析】（1）对函数求导并分类讨论参数，即可得出的单调性； （2）根据（1）中的结论得出极大值的表达式，解不等式即可得的取值范围． 【解析】（1）， ①当时，在上单调递增，无递减区间， ②当时，，可得，， 所以在上单调递增，在上单调递减， 综上当时，在上单调递增，无递减区间， 当时，在上单调递增，在上单调递减． （2）因为有极大值，且极大值大于， 故，且在处取极大值， ，即， 令， 恒成立，在上单调递增， 又，当且仅当时成立， 故，当且仅当时成立， 因此的取值范围是． 【变式1】若函数在处取得极值，则在内的最小值为（  ） A．2 B．3 C．4 D．6 【答案】A 【分析】求出函数的导数，根据题意列式求出的值，结合函数的单调性，即可求得答案. 【解析】由，则， 因为在处取得极值，所以，解得， 故， 当或时，，当时，， 即在和上单调递减，在上单调递增， 所以在处取得极大值，符合题意，故符合题意， 所以在上单调递增，在上单调递减，又，， ，故在上的最小值为2. 故选：A. 【变式2】利用所学数学知识解决新问题是我们学习数学的一个重要目的，同学们利用我们所学数学知识，探究函数，下列说法正确的是（  ） A．有且只有一个极大值点 B．在上单调递增 C．存在实数，使得 D．有最小值，最小值为 【答案】D 【分析】根据对数恒等式将函数变形转化为，利用导函数研究的单调性，再由复合函数单调性得单调性、极值与最值，再分别判断选项即可. 【解析】由，则， 令，则，令，解得， 当时，，在上单调递减； 当时，，在上单调递增； 由函数与复合而成，而在上单调递增； 故在上单调递减，在上单调递增； 所以在处取极小值，且无极大值， 又，故不存在实数，使得. 故ABC错误，D正确. 故选：D. 【变式3】已知，函数． (1)当时，求曲线在点处的切线方程； (2)讨论函数的单调性； (3)当时，求函数在区间上的最小值． 【答案】(1);(2)答案见解析;(3)答案见解析 【分析】（1）求导，可得，，结合导数的几何意义，点斜式求切线方程； （2）求导可得，分和两种情况，利用导数分析的单调性； （3）分类讨论与区间的关系，根据单调性求函数最小值即可. 【解析】（1）当时，则，， 可得，， 即切点坐标为，切线斜率， 所以在处的切线方程为：． 即切线方程为. （2）由题意可得：， 注意到， ①若，，则在上单调递减， ②若，令时，解得， 当，；当，； 所以在上单调递增，在上单调递减． 综上，时，在上单调递减； 时，在上单调递增，在上单调递减． （3）由（2）知时，在上单调递增，在上单调递减， ①当时，即时，函数在区间上单调递增， 所以； ②当时，即时，函数在区间上单调递减， 在上单调递增，所以； ③当，即时，函数在区间上单调递减， 所以. 综上，时，，时，， 时，. 【变式4】已知函数 (其中为常数)． (1)当时，求函数的单调区间； (2)求函数在上的最小值． 【答案】(1)单调递增区间为；单调递减区间为;(2)答案见解析 【分析】（1）根据的正负确定单调区间； （2）分类讨论，根据单调的单调性确定的最小值. 【解析】（1） 令解得，所以的单调递增区间为 令解得，所以的单调递减区间为 （2） ①当时，在上单调递增，； ②当时，在上单调递增，； ③当时，令和分别解得和， 则在上单调递减，单调递增，所以； ④当时，在上单调递减. 综上所述：当时，； 当时，； 当时，. 【变式5】已知函数． (1)求函数的单调区间； (2)求函数的极值； (3)若为函数的极值点，则称为函数的“靓点”．证明：上任意一点都有可能成为的“靓点”． 【答案】(1)当时，的单调递增区间为，无单调递减区间； 当时，的单调递减区间为，单调递增区间为 (2)当时，无极值；当时，，无极大值． (3)证明见解析 【分析】（1）求出函数的导函数，分别谈论和，然后由得到函数的增减区间； （2）由（1）中的单调性分别求出对应情况的极值； （3）由（2）得到函数的“靓点”，分析函数的“靓点”的坐标满足解析式即可证明. 【解析】（1）， 当时，恒成立，在上单调递增； 当时，由，得， 当时，在上单调递减； 当时，在上单调递增； 综上，当时，的单调递增区间为，无单调递减区间； 当时，的单调递减区间为，单调递增区间为 （2）由（1）知当时，恒成立，此时无极值． 当时，由（1）知， ，无极大值． 综上，当时，无极值； 当时，，无极大值． （3）由（2）知， 故的“靓点”为， 令，则，所以的“靓点”为，在曲线上， 因为，故上任意一点都有可能成为的“靓点”． 1．已知函数，则（  ） A．在内单调递增 B．在内单调递减 C．在内单调递增 D．在内单调递减 【答案】B 【分析】求得，求得函数的单调区间，结合选项，逐项判定，即可求解. 【解析】由函数，可得的定义域为， 且， 令，可得；令，可得或， 所以在区间内单调递减，在和内单调递增， 由，所以A错误；由，所以B正确； 由，所以C错误；由，所以D错误． 故选：B. 2．函数的单调递减区间是(　　) A． B． C． D． 【答案】B 【分析】求出函数的导数，解关于导函数的不等式，求出函数的递减区间即可． 【解析】函数的定义域是（0，+∞）， y′=1﹣+= ， 令y′（x）＜0，解得：0＜x＜1， 故函数在（0，1）递减， 故选B． 3．若定义在上的函数的图象如图所示，则函数的增区间为（  ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由的图象，分类讨论，求得的符号，得到函数的递增区间，即可求解. 【解析】由函数的图象，可得： 当时，可得，所以，单调递减； 当时，可得，所以，单调递增； 当时，可得，所以，单调递减， 所以函数的单调递增区间为. 故选：B. 4．已知函数满足，且的导函数，则的解集为（  ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】根据函数满足，，构造函数，利用其单调性求解. 【解析】令， 则， 所以在R上单调递减. 又，所以. 由，得， 解得. 故选：B. 5．函数在处取得极值，则（  ） A．，且为极大值点 B．，且为极小值点 C．，且为极大值点 D．，且为极小值点 【答案】B 【分析】先求导，再根据题意得，由此求得，再根据导数研究函数的极值． 【解析】解：∵， ∴， 又在处取得极值， ∴，得， ∴， 由得，，即， ∴，即， 同理，由得，， ∴在处附近的左侧为负，右侧为正， ∴函数在处取得极小值， 故选：B． 6．函数，若恒有，则的取值范围是（  ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】恒成立，即有的最小值大于等于0. 【解析】， 当时，，单调递减， 当时，，单调递增， ∴， ∴. 故选：C. 7．（多选）素数分布问题是研究素数性质的重要课题，德国数学家高斯提出了一个猜想：，其中表示不大于x的素数的个数，即随着x的增大，的值近似接近的值．从猜想出发，下列推断正确的是（  ） A．当x很大时，随着x的增大，的增长速度变慢 B．当x很大时，随着x的增大，减小 C．当x很大时，在区间（n是一个较大常数）内，素数的个数随x的增大而减少 D．因为，所以 【答案】AC 【分析】令函数且，用导数法逐项判断. 【解析】设函数且， 则且， 且， 当时，， 所以当x很大时，随着x的增大，的增长速度变慢，故A正确； 函数的图象如图所示： 由图象可得随着x的增大，并不减小，故B错误； 当x很大时，在区间（n是一个较大常数）内，函数增长得慢，素数的个数随x的增大而减少，故C正确； ，故D错误． 故选：AC． 8．（多选）已知函数，其导函数为，设，则（  ） A．的图象关于原点对称 B．在R上单调递增 C．是的一个周期 D．在上的最小值为 【答案】AC 【分析】对A：求出的定义域，再利用奇偶性的定义判断即可； 对B：利用的导数可判断； 对C：计算，看是否等于即可； 对D：设，根据对勾函数的单调性可得最值. 【解析】的定义域是，其定义域关于坐标原点对称， 且， 所以是奇函数，所以的图象关于原点对称，故A项正确； 由，得，则． 恒成立，所以在上单调递增，并不是在R上单调递增，故B项错误； 由，得函数的定义域是，故C项正确； 设，当时，， 此时，，根据对勾函数的单调性，在上单调递减， ，故D项错误. 故选：AC． 9．（多选）已知函数，则下列说法一定正确的是（  ） A．有两个极值点 B．存在正数，使得在上单调递增 C．存在正数，使得在上单调递减 D．直线是曲线的一条切线 【答案】ACD 【分析】函数求导，分析导函数的零点，求函数的单调区间，可判断ABC的真假，根据导数的几何意义，可判断D的真假. 【解析】，令，则，所以有两个极值点，A正确； 设，为的两个极值点，则，所以， 所以在和上单调递增，在上单调递减，B错误，C正确； 因为，，所以曲线在处的切线方程为，D正确． 故选：ACD 10．若函数有极值点，则实数c的取值范围为 ． 【答案】 【分析】依题意，有两个不同的实数根，利用求解实数c的取值范围. 【解析】，则， 函数有极值点，则有有两个不同的实数根， 可得，解得或. 实数c的取值范围为. 故答案为： 11．已知函数在区间内单调递减，则的最大值为 ． 【答案】 【分析】求导，利用导数求的单调递减区间，结合题意可得的最值，即可得结果. 【解析】由题意可知：的定义域为，且， 令，可得，解得， 可知的单调递减区间为， 因为在区间单调递减，则， 可知，所以的最大值为． 故答案为：. 12．已知函数的最小值为1，则________ 【答案】1 【分析】求出函数的导数，分类讨论，从而求出的单调区间，即可求解函数的最值求解. 【解析】函数的定义域为，， 当时，在内恒成立，所以函数在内为增函数,此时无最小值， 当时，由，得，由得 函数在内为减函数，在内为增函数，故当时，取最小值， 即，故， 故答案为：1 13．已知函数． (1)当时，求的单调区间； (2)若对任意，都有，求的取值范围． 【答案】(1)单调增区间为，无单调减区间；(2) 【分析】（1）求导，根据导数符号判断的单调区间； （2）构建，分析可知在单调递增，求导整理可得，利用基本不等式运算求解. 【解析】（1）当时，， 可知的定义域为，且， 所以的单调增区间为，无单调减区间． （2）因为， 则，即， 设函数，可知在单调递增． 且， 则在恒成立．即，可得， 又因为，当且仅当时等号成立， 可得，即． 所以的取值范围是． 14．已知函数，. (1)求的零点； (2)若有极小值，且极小值小于0，求的取值范围. 【答案】(1)1；(2). 【分析】（1）确定函数的单调性，再求出其零点. （2）利用导数求出的极小值并建立不等式，再利用（1）的信息求出的取值范围即可. 【解析】（1）函数的定义域为，求导得， 函数在上单调递增，而， 所以的零点是1. （2）函数的定义域为，求导得， 当时，，函数在上单调递增，无极值； 当时，由，得；由，得， 函数在上单调递减，在上单调递增，     当时，取得极小值， 依题意，，即， 由（1）知，在上单调递增，且， 因此不等式的解集为， 所以a的取值范围为. 2 / 37 学科网（北京）股份有限公司 $