专题4.3 等比数列（高效培优讲义）数学苏教版2019高二选择性必修第一册

本高中数学讲义聚焦等比数列核心知识，从定义出发，依次梳理等比中项、通项公式及推导方法，结合单调性、与指数函数关系等性质，延伸至前n项和公式及片段和、奇偶项和等性质，构建层层递进的知识支架。 资料通过“即学即练+变式训练”设计，涵盖概念辨析、性质应用等10类题型，融入方程思想与函数思想，培养数学运算与逻辑推理素养。课中助力教师系统教学，课后学生可通过典型例题与练习巩固知识，查漏补缺。

专题4.3 等比数列 教学目标 1.掌握求等比数列通项公式的方法——叠(累)乘法，能够灵活运用等比数列的通项公式及其性质解决一些简单的问题； 2.探索并掌握等比数列的前n项和公式，理解等比数列的通项公式与前n项和公式的3.掌握等比数列前n项和的性质以及等比数列前n项和公式的函数特征； 4.在用等比数列的通项公式及性质解决问题的过程中体会方程思想，运用等比数列的性质解决问题，发展数学运算素养，在等比数列前n项和公式的运用过程中，领悟函数思想，培养用联系的观念思考问题的能力． 教学重难点 1.重点 等比数列通项公式及其性质的应用，等比数列前n项和公式及其性质的应用； 2.难点 等比数列通项公式和前n项和公式的推导方法的的推导等比数列前n项和公式的函数特征。 知识点01 等比数列的定义 等比数列的概念： 一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比都等于同一个常数，那么这个数列叫做等比数列，这个常数叫做等比数列的公比，公比通常用字母q表示(q≠0) 符号语言：在数列{an}中，如果（或）(q≠0)成立，则称数列{an}为等比数列，常数q称为等比数列的公比 递推关系：或 【即学即练】 1．已知数列满足且，则（  ） A． B． C． D．1 【答案】A 【分析】由条件得数列为等比数列，利用等比数列的通项公式列方程求解. 【解析】因为数列满足，所以数列是公比为2的等比数列， 因为，则，解得. 故选：A. 2．已知数列为等比数列，则 . 【答案】－3 【分析】利用等比数列的定义求解。 【解析】由题意，知a2＝9，且第2项与第4项符号一致，所以a＝－3. 故答案为：－3 知识点02 等比中项 等比中项： 如果在a与b中间插入一个数G(G≠0)，使a,G,b成等比数列，那么G叫做a与b的等比中项. 若G是a与b的等比中项，则，所以G2=ab，即G=. 【即学即练】 1．4与9的等比中项为（  ） A．6 B． C． D．6.5 【答案】C 【分析】根据等比中项的概念计算即可. 【解析】设4与9的等比中项为，则，所以或. 故选：C. 2．在等比数列中，各项均为正数，且，，则与的等比中项是（  ） A．2 B． C．1 D． 【答案】B 【分析】由已知结合等比数列的通项公式及性质即可求解. 【解析】等比数列中，各项均为正数，， 则， 所以与的等比中项为. 故选：B. 知识点03 等比数列的通项公式 等比数列的通项公式： 若等比数列{an}的首项为a1，公比为q，则这个等比数列的通项公式是(a1,q≠0). 注：证明数列是等比数列的主要方法： (1)定义法：（常数）为等比数列； (2)中项法：为等比数列； (3)通项公式法：（k，q为常数）为等比数列； 【即学即练】 1．等比数列中，若，则（  ） A．4 B．8 C． D． 【答案】A 【分析】根据等比数列的定义求出公比，结合等比数列的通项公式计算即可求解. 【解析】由题意知，设等比数列的公比为， 则， 所以. 故选：A 2．已知数列满足且，则（  ） A． B． C． D．1 【答案】A 【分析】由条件得数列为等比数列，利用等比数列的通项公式列方程求解. 【解析】因为数列满足，所以数列是公比为2的等比数列， 因为，则，解得. 故选：A. 知识点04 等比数列的性质 （1）等比数列的通项公式与指数函数的关系： 等比数列{an}的通项公式可以改写为，当q>0且q≠1时，等比数列{an}的图象是指数型函数的图象上一些孤立的点. （2）等比数列的单调性 已知等比数列{an}的首项为a1，公比为q，则 (1)当或时，等比数列{an}为递增数列； (2)当或时，等比数列{an}为递减数列； (3)当q=1时，等比数列{an}为常数列(这个常数列中各项均不等于0)； (4)当q<0时，等比数列{an}为摆动数列(它所有的奇数项同号，所有的偶数项也同号，但是奇数项与偶数项异号). （3）等比数列的性质 设{an}为等比数列，公比为q，则若m+n=p+q，m,n,p,q∈N*，则. 注：①若m,n,p(m,n,p∈N*)成等差数列，则成等比数列. ②数列{λan}(λ为不等于零的常数)仍是公比为q的等比数列； 数列{}是公比为的等比数列； 数列{}是公比为的等比数列； 若数列{bn}是公比为q'的等比数列，则数列{}是公比为q·q'的等比数列. ③在数列{an}中，每隔k(k∈N*)项取出一项，按原来的顺序排列，所得数列仍为等比数列，且公比为. ④在数列{an}中，连续相邻k项的和(或积)构成公比为qk(或)的等比数列. ⑤若数列{an}是各项都为正数的等比数列，则数列{}(c>0且c≠1)是公差为的等差数列. 【即学即练】 1．设等比数列公比为，则“”是“为递增数列”的（  ） A．充要条件 B．充分不必要条件 C．必要不充分条件 D．即不充分也不必要条件 【答案】D 【分析】要判断“”与“等比数列为递增数列”之间的条件关系.需要分别从充分性和必要性两方面进行分析，即看“”能否推出“等比数列为递增数列”，以及“等比数列为递增数列”能否推出“”. 【解析】假设.对于等比数列，其通项公式为. 当，时，根据通项公式可得. 此时，等比数列不是递增数列. 这说明仅仅不能保证等比数列一定是递增数列， 所以“”不是“等比数列为递增数列”的充分条件. 假设等比数列为递增数列，那么. 由通项公式可得，，所以. 当时，不等式两边同时除以（因为，，不等号方向改变）， 得到.例如当时，，解得. 这说明等比数列为递增数列时，不一定有， 所以“”不是“等比数列为递增数列”的必要条件. 则“”是“为递增数列”的既不充分又不必要条件. 故选：D. 2．设各项均为正数的等比数列满足，则等于（  ） A． B． C．11 D．9 【答案】C 【分析】由定比数列的项之间的性质求出的值，再用等比中项知道，从而计算出结果. 【解析】∵，∴，∴ ∴ 故选：C 知识点05 等比数列的前n项和公式 等比数列的前n项和公式： 若等比数列{an}的首项为a1，公比为q，则等比数列{an}的前n项和公式为 . 注：（1）等比数列前n项和公式与指数函数的关系： ①当q=1时，是关于n的正比例函数，点(n,Sn)是直线y=a1x上的一群孤立的点. ②当q≠1时，.记A=，则是一个指数式与一个常 数的和.当q>0且q≠1时，是指数函数，此时，点(n,Sn)是指数型函数图象上的一群孤立的点. （2）Sn与an的关系 当公比q≠1时，等比数列的前n项和公式是，它可以变形为,设，则上式可以写成的形式，则Sn是an的一次函数. 【即学即练】 1．已知数列满足，且，则数列的前四项和的值为（  ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由题意是首项为2、公比为的等比数列，利用等比数列前n项和公式求的值. 【解析】由题设是首项为2、公比为的等比数列，即， 所以. 故选：C 2．已知数列满足，数列的前项和为，则（  ） A．2022 B．2023 C．2024 D．2025 【答案】B 【分析】利用等比数列前项和公式，结合对数运算即可. 【解析】由可知：数列是首项为1，公比为2的等比数列， 即，代入得， 故选：B. 知识点06 等比数列的前n项和性质 等比数列前n项和的性质： 已知等比数列{an}的公比为q，前n项和为Sn，则有如下性质： (1). (2)若(k∈N*)均不为0，则成等比数列，且公比为qk. (3)若{an}共有2n(n∈N*)项，则=q；若{an}共有(2n+1)(n∈N*)项，则=q. 【即学即练】 1．等比数列的前项和，则（  ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据等比数列前项和公式特征求解即可. 【解析】若等比数列的公比为， 因为， 则，矛盾，故 设等比数列公比为，则， 即等比数列的前项和要满足， 又因为，所以. 故选：B 2．设是等比数列的前项和，若，则 . 【答案】60 【分析】由等比数列前项和的性质构成等比数列，建立等式求解可得. 【解析】由题意， 因为成等比数列， 故， 即，解得， 则， 所以，. 所以. 故答案为： 题型01 等比数列的概念及辨析 【典例1】（多选）下列数列是等比数列的是（  ） A．1，1，1，1，1 B．1，2，4，8，16 C．，，，， D．，，，0，1 【答案】ABC 【分析】根据等比数列的定义对四个选项一一判断，得到答案. 【解析】A选项，数列为公比为1的等比数列，A正确； B选项，数列为公比为2的等比数列，B正确； C选项，数列为公比为的等比数列，C正确； D选项，，不是等比数列，D错误. 故选：ABC 理解等比数列的定义，需要注意以下几个方面： （1）“从第2项起”是后续条件，有两层内涵：一是因为第1项没有前一项，所以没有办法与前一项作比比较； （2）“从第2项起”表明成立，则，公比可以是任意非零实数； （3）确保该数列中任何一项与前一项的比都是同一个常数. （4）每一项与它的前一项的比指出作比比较的顺序； 【变式1】若数列满足，，则（  ） A．704 B． C．88 D．66 【答案】C 【分析】化简已知条件，根据等比数列的知识求得正确答案. 【解析】由可知， 两边平方得， 而，所以数列是公比为的等比数列， 所以. 故选：C 【变式2】（多选）已知数列是等比数列，则（  ） A．数列是等比数列 B．数列是等比数列 C．数列是等比数列 D．数列是等比数列 【答案】AB 【分析】根据题意，设的公比为q，则 ，由等比数列的定义依次判断AB；举反例判断CD. 【解析】根据题意，数列是等比数列，设其公比为q，则 对于选项A：因为，所以数列是等比数列，故A正确； 对于选项B：因为 ，所以数列为等比数列，故B正确； 对于选项CD：例如，则，所以数列不是等比数列，故C错误； 则，所以数列不是等比数列，故D错误. 故选：AB. 【变式3】（多选）已知数列的首项为4，且满足，则（  ） A．为等差数列 B．为递增数列 C．为等比数列 D．的前项和 【答案】BCD 【分析】 根据递推关系可得为等比数列，进而可判断ACB，根据等差数列求和公式即可判断D. 【解析】由可得，所以数列为等比数列，且公比为2，故A错误，C正确， ，由于均为单调递增的数列，且各项均为正数，所以为递增数列，B正确， ，设的前项和为，则，D正确， 故选：BCD 题型02 等比中项及其应用 【典例1】设各项均为正数的等比数列满足，则等于（  ） A．211 B．210 C．11 D．9 【答案】C 【分析】设出等比数列的公比，利用等式求得，根据等比中项，可得答案. 【解析】设等比数列的公比为，由，得，即， 故. 故选：C. （1）由等比中项的定义可知，所以只有a，b同号时，a，b的等比中项有两个，异号时，没有等比中项． （2）在一个等比数列中，从第二项起，每一项（有穷数列的末项除外）都是它的前一项和后一项的等比中项． （3）a，G，b成等比数列等价于． 【变式1】已知实数，，，，成等比数列，则（  ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据题意结合等比数列的性质分析求解，注意各值的符号判断. 【解析】因为实数，，，，成等比数列， 由等比数列的性质可得，解得，或， 又因为，即，可得， 所以. 故选：A. 【变式2】等比数列中，，则与的等比中项为（  ） A．24 B． C． D． 【答案】C 【分析】直接由等比中项的性质计算即可. 【解析】与的等比中项，即48与12的等比中项， 则与的等比中项为 ． 故选：C． 【变式3】已知数列的各项均不为0，设甲：；乙：数列是等比数列，则甲是乙的（  ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【分析】先验证甲是否能推出乙，再验证乙是否能推出甲求解. 【解析】验证甲是否能推出乙，甲的意思是该数列隔项成等比数列， 甲可构造数列， 显然甲推不出乙，验证乙是否能推出甲， 因为数列是等比数列，所以，， 所以， 所以乙能推出甲，所以甲是乙的必要不充分条件. 故选：B. 【变式4】若依次成等差数列，依次成等比数列，则（  ） A．3 B． C．或3 D．或4 【答案】C 【分析】根据等比中项和等差数列的性质，可分别求得的值，进而得到答案. 【解析】由于成等差数列，所以， 依次成等比数列，所以，则或 当时，， 当时，. 故选：C 【变式5】已知三个实数成等比数列，且(为正常数)，则b的取值范围是 ． 【答案】 【分析】解法一设，，得到的表达式，再结合基本不等式求解；解法二由等比中项的性质结合一元二次方程根与系数的关系由判别式求解. 【解析】解法一:设，，则由，可得． 当时，；当时，，于是或． 又∵，∴或，故． 解法二:由a，b，c成等比数列，知，又．∴且， 从而a、c可视为关于x的方程的两个实根． 令，解得． 又，故． 故答案为：. 题型03 等比数列通项公式及其应用 【典例1】在等比数列中，，且，则公比 ． 【答案】2 【分析】根据等比数列的基本量计算求解得出公比. 【解析】依题意得， 两式相除得，所以， 即. 利用试根法分解因式得，解得． 故答案为：2. 等比数列的通项公式涉及4个量，，，，只要知道其中任意三个就能求出另外一个，在这四个量中，和是等比数列的基本量，只要求出这两个基本量，问题便迎刃而解． 【变式1】已知等比数列的首项，且满足，，则公比q为（  ） A． B．2 C．或2 D．3 【答案】B 【分析】根据列出公比的等式，求解方程后再确认是否满足即可． 【解析】因为公比，所以，化简得，解得或， 当时，， 当时，， 又，则． 故选：B． 【变式2】已知递增的等比数列中，前3项的和为13，前3项的积为27，则的值为（  ） A．1 B．3 C．5 D．7 【答案】A 【分析】根据等比数列的通项公式和等比中项的应用，结合题意建立方程组，解之即可求解. 【解析】设递增的等比数列的首项为，公比为， 由前3项的和为13，得， 由前3项的积为27，得，即，则， 代入，得， 即，解得或， 因为为递增的等比数列，所以，则. 故选：A. 【变式3】已知数列的首项，若数列为等差数列，且其公差为，则数列的通项公式为 ． 【答案】 【分析】根据条件列公差方程，解得结果， 即可. 【解析】依题意，即，则数列是首项为2，公比为2的等比数列，则． 故答案为： 【变式4】已知等比数列的前n项的积为，即，又已知，则的最大值为 ． 【答案】8 【分析】分析数列的单调性，确定时，的值，即可求的最大值. 【解析】因为为等比数列，且，所以， 由. 所以， 所以为的最大值，且. 故答案为：8 【变式5】在数列中，，若对于任意的恒成立，则实数k的最小值为 . 【答案】 【分析】利用构造法分析得数列是等比数列，进而求得，从而将问题转化为恒成立，令，分析数列的最值，从而得解. 【解析】由，得，又， 故数列为首项为，公比为的等比数列， 所以， 则不等式可化为，令， 当时，；当时，； 又， 则当时，，当时，， 所以，则，即实数的最小值为. 故答案为：. 题型04 等比数列性质的应用 【典例1】设各项均为正数的等比数列满足，则等于（  ） A． B． C．14 D．15 【答案】D 【分析】根据给定条件，利用等比数列性质，结合对数运算计算得解. 【解析】正项等比数列中，，解得， 因此， 所以. 故选：D. 等比数列的性质： 1.若数列，是项数相同的等比数列，则也是等比数列.特别地，若是等比数列，是不等于0的常数，则也是等比数列. 2.在等比数列中，若，则. 3.等比数列是有穷数列，则与首末两项距离相等的两项的积相等，且等于首末两项的积. 4.在等比数列中，每隔项取出一项，按原来的顺序排列，所得新数列仍为等比数列，公比为. 5.在等比数列中，当成等差数列时，成等比数列. 6.已知且，①如果数列是等差数列，那么数列是等比数列； ②如果数列是各项均为正的等比数列，那么数列是等差数列. 注：在应用等比数列的性质解题时，需时刻注意等比数列性质成立的前提条件. 【变式1】已知各项均为正数的等比数列中，，则数列的前项和为（  ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由等比数列的性质可得：，再利用指数与对数的运算性质即可得出． 【解析】由等比数列的性质可得：， ∴数列的前10项和， 故选C． 【变式2】若是无穷数列，则“为等比数列”是“满足”的（  ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【分析】运用等比数列的性质，结合特值法可解. 【解析】若为等比数列，， 则运用等比数列性质知道; 若，则可以为全部为0的常数列，不能说它是等比数列. 故“为等比数列”是“满足”的充分不必要条件. 故选：A. 【变式3】在等比数列中，，，则（  ） A． B． C．32 D．64 【答案】C 【分析】利用等比数列的性质求解即可. 【解析】设等比数列的公比为，则， 即，解得，所以． 故选：C． 【变式4】已知等比数列满足，则的最小值为__________ 【答案】32 【分析】根据等比数列的性质得到，，然后利用基本不等式即可得到结论． 【解析】由，得，解得， ， 当且仅当时等号成立. 故答案为：32. 题型05 等比数列单调性的判断及其应用 【典例1】数列中，，（） （1）设，求证：是等比数列； （2）设数列的前项积为，求取得最大值时的取值． 【答案】（1）证明见解析；（2）或. 【分析】（1）利用等比数列定义判别；（2）利用等比数列的单调性与判断单调性的方法求解即可. 【解析】（1）由，得，即， 整理得：，又， 所以，即， 又，故是首项为2，公比为2的等比数列． （2）由（1） ，设， 则， 当，2时，； 当时，，即， 又，，，，， 故，，当时，，， 综上，当或时，取得最大值． 等比数列的单调性： 已知等比数列{an}的首项为a1，公比为q，则 (1)当或时，等比数列{an}为递增数列； (2)当或时，等比数列{an}为递减数列； (3)当q=1时，等比数列{an}为常数列(这个常数列中各项均不等于0)； (4)当q<0时，等比数列{an}为摆动数列(它所有的奇数项同号，所有的偶数项也同号，但是奇数项与偶数项异号). 注意：涉及等比数列的单调性与最值的问题，一般要考虑公比与首项的符号对其的影响. 【变式1】数列是各项均为实数的等比数列，则“”是“数列为递增数列”的（  ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【分析】由，可得，可得数列为递增数列；举反例说明反之不成立，根据充分不必要条件的定义即可得答案. 【解析】设数列的公比为q（）， ， ，可得， 于是数列为递增数列； 反之不成立，例如数列是递增数列，但． “”是“数列为递增数列”的充分不必要条件． 故选：A． 【变式2】已知等比数列满足，公比，且，，则当最小时，（  ） A．1012 B．1013 C．2022 D．2023 【答案】A 【分析】根据题意结合等比数列的性质可推得以及，即可判断数列的的增减性以及项与1的大小关系，由此即可求得答案. 【解析】由题意知，故， 则，即， 结合等比数列满足，公比，可知， 由，得， 即得，故，即， 由此可得， 故当最小时，， 故选：A 【变式3】已知数列满足单调递增，则的取值范围为（  ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先通过得到数列为等比数列，求出其通项公式，再根据单调递增列不等式求解. 【解析】由得， 又单调递增，故， 所以数列是以为首项，为公比的等比数列， 所以，又单调递增， 所以对任意正整数恒成立， 所以，得， 故选：D. 【变式5】已知等比数列满足，． (1)求数列的通项公式； (2)若是递增数列，若，恒成立，求实数的取值范围； (3)若不是递增数列，，求的最小值． 【答案】(1)，，；(2)；(3)答案见解析 【分析】（1）利用等比数列基本量计算求解；（2）利用数列的单调性与判断单调性的方法求解即可；（3）对n分奇偶讨论求解。 【解析】（1）设的公比为，则， 若，则．若，则． 所以的公比为，，4， 所以的通项公式为：，，． （2）若是递增数列，则，则有，， 等价于，恒成立，令，即． 而． 时，，时，，时，， ，，， 实数的取值范围为． （3）若不是单调数列，则，或． （i）当时，， ①当为偶数时，；②当为奇数时，． 所以此时的最小值为． （ii）当时，． ①当为偶数时，，且为递增数列，； ②当为奇数时，，不可能为最小值． 所以此时的最小值为． 题型06 求等比数列中的最大（小）项 【典例1】已知等比数列，满足，. (1)求数列的通项公式； (2)若数列满足：对任意正整数n，均成立，求数列的最大项的值. 【答案】(1)；(2) 【分析】（1）通过等比数列的基本量列方程求解，求数列的通项公式. （2）通过仿写，两方程作差，求出的通项公式，然后通过作差判断其单调性，求出数列的最大项的值. 【解析】（1）设等比数列的公比为q， 则由题 ， 故数列的通项公式为. （2）令有， 当时有： ①， ②， 由①②得， ， 又满足上式，， ， 时，，时， 的最大项为 求等比数列中的最大(小)项的常见方法： 通过作差判断其单调性或者直接利用等比数列单调性的判别方法，求出数列的最大(小)项． 【变式1】已知数列为等比数列，首项，公比，则下列叙述不正确的是（  ） A．数列的最大项为 B．数列的最小项为 C．数列为严格递增数列 D．数列为严格递增数列 【答案】D 【分析】分别在为偶数和为奇数的情况下，根据项的正负和的正负得到最大项和最小项，知AB正误；利用和可知CD正误. 【解析】对于A，由题意知：当为偶数时，； 当为奇数时，，，最大； 综上所述：数列的最大项为，A正确； 对于B，当为偶数时，，，最小； 当为奇数时，； 综上所述：数列的最小项为，B正确； 对于C，，， ， ，，， 数列为递增数列，C正确； 对于D，，， ； ，，，又， ，数列为递减数列，D错误. 故选：D. 【变式2】已知数列满足，且，则 ；若，，则的最小值为 . 【答案】 【解析】可得是等比数列，即可求出通项公式，再作差判断出数列的单调性，即可求出最小值. 【解析】， 是首项为2，公比为2的等比数列， ， ， （）， 令（）， 可得在递增，且，， 时，，递减，当时，，递增， ，时，取得最小值为. 故答案为：；. 【变式3】数列满足，． (1)若，且数列为等比数列，求p的值； (2)若，且为数列的最小项，求q的取值范围． 【答案】(1);(2) 【分析】（1）由条件得出关于的方程组，由等比数列的定义得到公比，代入即可求出p的值. （2）利用累加法求出通项公式，由题意得出不等式组，从而求出q的取值范围. 【解析】（1）当时，则， ∵数列为等比数列，∴令， ∴，又∵， ∴，∴， ∴. （2）当时，， 由累加法可得：， 即， 即， 即， 由题意可知，即， ∴，即. 题型07 等比数列的判定与证明 【典例1】已知数列满足且. (1)求； (2)证明数列是等比数列，并求. 【答案】(1)；(2)证明见解析； 【分析】（1）已知的值，代入递推公式得出，再代入递推公式即可得到的值. （2）由两式消元得到，将变为得到等式，代入①式消元得到，构造出数列，得到等式，即可证明数列是等比数列，由等比数列的通项公式得出. 【解析】（1）当时，， 当时，， （2）∵， ∴得到，∴， 又满足上式，∴， 则代入①得：， 则 ∴，且， ∴数列是以1为首项，3为公比的等比数列， ∴， ∴. 证明数列是等比数列的主要方法：： 1、定义法：（常数）为等比数列； 2、中项法：（）为等比数列； 3、通项公式法：（，为常数）为等比数列． 证明一个数列为等比数列常用定义法与等比中项法，其他方法只用于选择题、填空题中的判定；若证明某数列不是等比数列，则只要证明存在连续三项不成等比数列即可.　 【变式1】设数列满足，且，则（  ） A．{}为等比数列 B．{}为等比数列 C．{}为等比数列 D．{}为等比数列 【答案】A 【分析】由，化简得的，结合等比数列的定义，即可求解. 【解析】由，可得，所以， 又由，所以， 所以是首项为，公比为的等比数列. 故选：A. 【变式2】（多选）已知数列的前项和为，数列的前项和为，则下列选项正确的是（  ） A．数列是等差数列 B．数列是等比数列 C．数列的通项公式为 D． 【答案】BCD 【分析】借助，结合等比数列定义可得A、B；由等比数列性质可得C；裂项求和后可得D. 【解析】对A、B：由，则， 故，又， 故数列是以为首项，为公比的等比数列，故A错误、B正确； 对C：，则，故C正确； 对D：， 则，故D正确. 故选：BCD. 【变式3】已知数列满足，若，则数列的通项公式为 . 【答案】 【分析】变形为，再利用等比数列的定义可得答案. 【解析】因为，，所以，， 所以，而，且， 所以数列是首项为1，公比为2的等比数列， . 故答案为：. 题型08 等比数列前n项和的基本量计算 【典例1】设正项等比数列的前项和为，，则的公比 . 【答案】4 【分析】根据条件建立方程，从而得，即可求解. 【解析】因为，则①，②， 将①代入②，得到，解得或（舍） 故答案为：4. 等比数列前n项和运算的技巧: （1）在等比数列的通项公式和前n项和公式中，共涉及五个量：、、、、，其中首项和公比为基本量，且“知三求二”，常常列方程组来解答． （2）对于基本量的计算，列方程组求解是基本方法，通常用约分或两式相除的方法进行消元，有时会用到整体代换，如，都可看作一个整体． （3）在解决与前项和有关的问题时，首先要对公比或进行判断，若两种情况都有可能，则要分类讨论． 【变式1】已知等比数列的前项和为，若，则公比（  ） A． B．2 C． D． 【答案】C 【分析】根据等比数列求和公式列方程求解即可. 【解析】由题知，所以. 故选：C. 【变式2】(多选)《尘劫记》是元代一部经典的古典数学著作，里面记载了一个有趣的数学问题：假设每对老鼠每月生子一次，每月生12只，且雌雄各半.1个月后，有一对老鼠生了12只小老鼠，一共14只；2个月后，每对老鼠各生12只小老鼠，一共98只，……，以此类推.记每个月新生的老鼠数量为，每个月老鼠的总数量为，数列，的前n项和分别为，可知，则下列说法正确的是（  ） A． B． C． D． 【答案】BC 【分析】根据题意得到，从而得到数列和数列为等比数列求解. 【解析】解：由题意可得：， 即，且， 所以数列是以首项，公比的等比数列，则， 可得， 当时，，且满足上式， 故， 可得，即数列是以首项，公比的等比数列， 可得， 综上可得：，，，. 故B、C正确，A、D错误. 故选：BC. 【变式3】(多选)已知是递增的等比数列，其前n项和为，若，则（  ） A． B． C． D．不是等比数列 【答案】AC 【分析】设的公比为，根据题意求出基本量，进而逐项验证即可求解. 【解析】设的公比为，则由，单调递增，得， 因为，所以，解得或（舍去）， 对于A，，故A正确； 对于B，，.故B错误； 对于C，，，故C正确； 对于D，，， 所以是首项为3，公比为的等比数列，故D错误. 故选：AC. 题型09 等比数列片段和性质及前n项和其他性质 【典例1】在正项等比数列中，为其前n项和，若，，则的值为（  ） A．10 B．20 C．30 D．40 【答案】C 【分析】由等比数列片段和依然成等比数列，结合等比中项的性质即可列式求解. 【解析】设正项等比数列的公比为， 则是首项为，公比为的等比数列， 若，，则， 所以，即， 解得或（舍去）. 故选：C. 等比数列片段和性质: 若等比数列的前n项和为，则，，…成等比数列（其中，，…均不为0）． 等比数列前n项和的函数关系: （1）已知，通过求通项，应特别注意时，. (2)若数列的前项和，其中且，则是等比数列. 【变式1】记等比数列的前项和为，若，则（  ） A．1 B．2 C．4 D．8 【答案】C 【分析】根据等比数列前项和公式的形式，可以得到。从而得到，当时，得. 【解析】显然，等比数列前项和公式为， 因为为等比数列的前项和，所以， 所以 所以. 故选：C. 【变式2】若是公比为的等比数列，其前项和为 ，，则“”是“单调递增”的（  ） A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【分析】结合等比数列性质判断“”和“单调递增”之间的逻辑关系，即可得答案. 【解析】由题意可知是公比为的等比数列， 当，时，则， 由于，，且随n的增大而减小，故单调递增， 当，时，也单调递增，推不出， 故“”是“单调递增”的充分而不必要条件， 故选：A 【变式3】设首项为正且大于1的无穷等比数列的公比为，前项和为，若，则（  ） A．数列无最大项 B．数列有最小项为 C．数列是递增数列， D．数列最大值为 【答案】B 【分析】设无穷等比数列的公比为，根据已知可得，得数列是摆动数列可判断C；由，；得数列的最小项、最大项可判断ABD． 【解析】设无穷等比数列的公比为，因为， 即，又，所以， 因为， 所以当时，数列是摆动数列，故单调性不确定，故C错误； 又，所以；， 此时数列的最小项为，最大项为，故B正确，AD错误． 故选：B. 【变式4】设是等比数列的前项和，若，则 . 【答案】60 【分析】由等比数列前项和的性质构成等比数列，建立等式求解可得. 【解析】由题意， 因为成等比数列， 故， 即，解得， 则， 所以，. 所以. 故答案为：. 【变式5】已知数列的前项和为，且 (1)证明：是等比数列； (2)求数列的通项公式 (3)求数列的通项公式，并求出为何值时，取得最小值，并说明理由． 【答案】(1)证明见解析；(2)；(3)，理由见解析. 【分析】(1)由前项和为与通项的关系，得出的递推公式，即可证明结论； (2)由(1)和等比数列的通项公式即可求出； (3)由(2)求出，通过研究的单调性，即可求解. 【解析】（1）当时，， 当时，， 整理得， ， 是以-15为首项，为公比的等比数列； （2）由(1)知，是以-15为首项，为公比的等比数列， 得，所以， （3）由(2)得， ， 当时，， 故， 当时，， 所以当时，，同理当时，； 故时，取得最小值，即为最小值. 题型10 等比数列的奇数项与偶数项和 【典例1】已知等比数列有项，，所有奇数项的和为85，所有偶数项的和为42，则（  ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】B 【分析】根据等比数列的性质得到奇数项为，偶数项为，得到等比数列的公比q的值，然后用等比数列的前n项和的公式求出n即可． 【解析】因为等比数列有项，则奇数项有项，偶数项有项，设公比为， 得到奇数项为， 偶数项为，整体代入得， 所以前项的和为，解得. 故选：B 对于首项为，公比为的等比数列，其奇数项的和记为，偶数项的和记为，则有以下结论：①前2n项和中；②前项和中，. 【变式1】已知等比数列共有项，其和为，且奇数项的和比偶数项的和大80，则公比（  ） A． B．2 C． D． 【答案】B 【分析】设奇数项和为,偶数项和为,再根据题意利用等比数列性质求解即可. 【解析】设等比数列的奇数项和为,偶数项和为,则，解得， 而奇数项与偶数项的项数相同，所以公比. 故选：B 【变式2】已知等比数列中共有项，公比，且其奇数项和比偶数项和小20，则 ． 【答案】 【分析】根据题意，利用，在由奇数项和比偶数项和小，求得，即可求解. 【解析】由题意，可得， 因为奇数项和比偶数项和小，可得，即， 解得，所以． 故答案为：． 【变式3】等比数列的首项为2，项数为奇数，其奇数项之和为，偶数项之和为，则这个等比数列的公比q＝ ，又令该数列的前n项的积为，则的最大值为 ． 【答案】 2 【分析】先设共有项，由题意写出奇数项之和以及偶数项之和，根据等比数列性质列出方程得到其公比，写出该数列的前n项的积的表达式，结合二次函数单调性即可求解的最大值. 【解析】设共有项，由题意奇数项之和，偶数项之和， 又因为，故. 所以，显然时函数递减，所以，有最大值2. 故答案为:;2 题型11 等比数列的综合应用 【典例1】已知等差数列的前n项和为，，，数列满足，． (1)证明：数列是等比数列； (2)证明：； (3)若，求数列的前n项和． 【答案】(1)证明见解析；(2)证明见解析；(3). 【分析】（1）由递推关系得，结合等比数列定义证明； （2）由等差数列前n项和求基本量，结合（1）结论，写出等差、等比数列通项公式、前n项和公式，再应用作差法比较大小即可； （3）应用错位相减、等比数列前n项和求结果. 【解析】（1）由题设，而， 所以是首项、公比均为2的等比数列，得证. （2）令数列的公差为，而， 所以，又， 则 恒成立， 所以，得证. （3）由上知，则， 则，即， 所以，即. 【变式1】某农村合作社引进先进技术提升某农产品的深加工技术，以此达到10年内每年此农产品的销售额（单位：万元）等于上一年的1.3倍再减去3.已知第一年（2024年）该公司该产品的销售额为100万元，则按照计划该公司从2024年到2033年该产品的销售总额约为（  ） （参考数据：） A．964万元 B．2980万元 C．3940万元 D．5170万元 【答案】C 【分析】该公司从2024年起的每年销售额依次排成一列可得数列，由求出通项，再结合数列求和即可得解. 【解析】该公司从2024年起的每年销售额依次排成一列可得数列， 依题意，当时，，即， 因此数列是首项为90，公比为1.3的等比数列，，即， 则， 所以从2024年到2033年该产品的销售总额约为3940万元. 故选：C. 【变式2】已知等比数列的前项和为，若关于的不等式恒成立，则实数的取值范围为（  ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据等比数列的通项公式与求和公式求出，，由题意可得恒成立，运用基本不等式求解即可. 【解析】设等比数列的公比为，则，即，解得， 所以，所以， 因为恒成立，即恒成立，即恒成立， 由基本不等式可得，当且仅当，即时等号成立， 所以，即实数的取值范围为． 故选：. 【变式3】（多选）设等比数列前项积为，公比为．若，，，则下列结论正确的是（  ） A． B． C．当时，取最大值 D．使成立的最大自然数是4046 【答案】ACD 【分析】AC选项，根据题目条件得到，AC正确；B选项，利用等比数列性质得到；D选项，根据等比数列的性质得到，，，从而D正确. 【解析】A选项，，，故或， 当时，由可知， 所以，但，互相矛盾，舍去， 当时，又，所以， 故满足要求，A正确； B选项，，B错误； C选项，因为，， 故当时，取最大值，C正确； D选项，由于，故当时， ， ， ， 使成立的最大自然数是4046，D正确. 故选：ACD 【变式4】已知数列的前n项和公式为． (1)求证：数列是等比数列； (2)令，求数列的前n项和； 【答案】(1)证明见解析；(2). 【分析】（1）利用之间的关系，求得的关系，根据等比数列的定义，即可证明； （2）根据（1）中所求，求得，对进行分类讨论，结合等比数列的前项和公式，即可求得结果. 【解析】（1）数列的前n项和，， 则当时，，即， 当时，，解得， 所以数列是以首项为2，公比为2的等比数列. （2）由（1）知，，，， 当n为偶数时，， 于是得， 当n为奇数时，， 所以. 1．已知数列是公比为的等比数列，且，则（  ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由等比数列通项公式即可求解. 【解析】由题意得，由，得. 故选：B. 2．已知数列是正项等比数列，且，又、、成等差数列，则的通项公式为（  ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据题意求出等比数列的公比的值，再由已知条件求出的值，结合等比数列的通项公式可求得数列的通项公式. 【解析】设等比数列的公比为，则，则，即，解得， 因为、、成等差数列，即，可得，解得， 因此，. 故选：D. 3．等比数列的公比为，则“”是“”的（  ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分又不必要条件 【答案】C 【分析】根据题意，利用等比数列的通项公式与不等式的性质，对两个条件进行正反推理论证，可得所求结论. 【解析】根据题意，成立时，有结合， 得，即， ①当时，可得，所以，即； ②当时，为偶数时，，可得，所以， 为奇数时，，可得，所以，因此不存在满足成立， 综上所述，若成立，则必定有， 若，结合，可知等比数列是递增数列，必定有成立 因此，若等比数列的首项，则“”是“”的充要条件. 故选：C 4．在正项等比数列中，为其前项和，，，则公比（  ） A． B． C．2 D．3 【答案】B 【分析】根据题意结合等比数列的求和公式列方程组求解即可. 【解析】由题意可知， 因为，， 所以，， 两式相除得，即， 因为，所以. 故选：B. 5．已知正项等比数列中，成等差数列.若数列中存在两项，使得为它们的等比中项，则的最小值为（  ） A．3 B．4 C．6 D．9 【答案】A 【分析】由已知条件求出等比数列的公比，得到，利用基本不等式求的最小值. 【解析】设正项等比数列的公比为，由，，成等差数列， 有，即，得，由，解得， 若数列中存在两项，，使得为它们的等比中项， 则，即，得，则， ， 当且仅当，即时等号成立， 所以的最小值为3. 故选：A 6．已知等比数列的前项和为，，则使得不等式成立的正整数的最大值为（  ） A．9 B．10 C．11 D．12 【答案】C 【分析】由表示数列的前3项，根据等比数列得出，进一步计算得出，再代入已知不等式，求解的取值范围得出结果. 【解析】已知， 当时，，则； 当时，，则； 因为数列是等比数列，所以，即， 整理得，解得，，公比， 所以. 由不等式得 ， 即，整理得，又， 所以，即，. 所以正整数的最大值为11. 故选：C. 7．（多选）已知数列是一个无穷等比数列，前项和为，公比为，则（  ） A．将数列中的前项去掉，剩余项按在原数列的顺序组成的新数列仍是等比数列 B．取出数列的偶数项，剩余项按在原数列的顺序组成的新数列仍是等比数列 C．从数列中每隔10项取出一项组成的新数列仍为等比数列 D．数列不是等比数列 【答案】ABC 【分析】直接利用等比数列的性质和等比数列的定义判断即可. 【解析】由于数列是一个无穷等比数列，前项和为，公比为， 对于A：将数列中的前项去掉，剩余项按在原数列的顺序组成的新数列仍是等比数列，故A正确； 对于B：取出数列的偶数项，剩余项按在原数列的顺序组成的新数列仍是等比数列且公比为，故B正确； 对于C：从数列中每隔10项取出一项组成的新数列仍为等比数列且公比为，故C正确； 对于D：数列是一个无穷等比数列，故数列仍是公比为的等比数列，故D错误． 故选：ABC． 8．（多选）在各项均为正数的等比数列中，，则（  ） A． B． C．有最大值25 D．有最大值 【答案】AD 【分析】利用等比数列的性质可得：，将其代入题干条件可得，再次利用等比数列的性质和基本不等式即可求解. 【解析】等比数列的各项都为正数，由等比数列的性质可得：， ， ， ，当且仅当时取等号， 的最大值是. 故选：AD. 9．（多选）已知正项等比数列的前项积为，且是互不相等的正整数，则（  ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】ACD 【分析】由通项公式可推出等比数列下标和的性质，选项A正确；当等比数列公比为1时选项B错误；根据条件和等比数列下标和性质得出，推出，选项C正确，反之也成立可得选项D正确. 【解析】设已知正项等比数列的公比为， A.∵， ∴， 选项A正确. B.当时，等比数列各项均相等，恒成立，故选项B错误. C. 由题意得，. 不妨设， ∵， ∴， ∴， ∴，即， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴. 选项C正确. D.由选项C的推导过程得反之也成立，选项D正确. 故选：ACD. 10．在等比数列中，若，，则当取得最大值时， ． 【答案】6 【分析】利用题意的等式得到数列的公比，继而求出首项，即可得到通项公式，判断数列的单调性和符号，即可求解 【解析】在等比数列中，，， 所以公比， 所以，解得，故， 易得单调递减，且， 因为，， 所以当时，，当时，， 所以当取得最大值时，． 故答案为：6. 11．已知数列为等比数列，为其前项积，若，则当取最小值时， ． 【答案】3或4 【分析】根据等比数列的性质，求得，，得到时，；当时，；时，，即可求解. 【解析】由等比数列的前之积为，且， 可得，则，即， 所以，可得，所以，， 当时，；当时，；时，， 故当取最小值时或4． 故答案为：或. 12．设数列的前项和为，且，记，数列的前n项和为，若不等式对任意的恒成立，则m的取值范围为_____________ 【答案】 【分析】由求得，再通过错位相减法得到，将不等式转化成，求出函数的最小值即可. 【解析】由， 可得：， 当时，符合， 所以， 所以， 两边同乘以，得 两式相减，得， 所以． 则由可得 即，对任意的恒成立， 令， 则，且， 当时，， 当，时，， 所以的最小值为， 所以. 故答案为： 13．已知数列的前n项和为且满足． (1)求，值； (2)证明数列为等比数列并求其通项公式． 【答案】(1)，；(2)证明见解析，. 【分析】（1）根据给定的递推公式，取求解. （2）利用，结合等比数列定义推理并求出通项. 【解析】（1）数列的前n项和为，由得，解得， ，解得， 所以，. （2）当时，，则当时，， 两式相减得，整理得，而， 所以数列是首项为1，公比为的等比数列，通项公式. 14．已知等比数列的前n项和为，，. (1)求的通项公式； (2)若求数列的前n项和； (3)若存在正整数n，使得成立，求m的取值范围. 【答案】(1)；(2)；(3). 【分析】（1）由已知及等比数列的性质求公比和首项，进而写出等比数列通项公式； （2）讨论n的奇偶性，结合数列通项公式及等差数列前n项和公式求； （3）等比数列前n项和得，且能成立，讨论n的奇偶性，结合的单调性求参数范围. 【解析】（1）设等比数列的公比为q，则， 由，解得， 所以. （2）由（1），得，则， 当n为偶数时，令，则， 当n为奇数时，. 所以. （3）由（1），知， 存在正整数n，使得成立. 当n为偶数时，，， 由，得. 因为单调递增，所以的最小值为， 因为单调递减，所以的最大值为， 所以. 当n为奇数时，，， 由，得. 因为单调递减，所以的最大值为， 因为单调递增，所以的最小值为， 所以. 综上，m的取值范围是. 2 / 37 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题4.3 等比数列 教学目标 1.掌握求等比数列通项公式的方法——叠(累)乘法，能够灵活运用等比数列的通项公式及其性质解决一些简单的问题； 2.探索并掌握等比数列的前n项和公式，理解等比数列的通项公式与前n项和公式的3.掌握等比数列前n项和的性质以及等比数列前n项和公式的函数特征； 4.在用等比数列的通项公式及性质解决问题的过程中体会方程思想，运用等比数列的性质解决问题，发展数学运算素养，在等比数列前n项和公式的运用过程中，领悟函数思想，培养用联系的观念思考问题的能力． 教学重难点 1.重点 等比数列通项公式及其性质的应用，等比数列前n项和公式及其性质的应用； 2.难点 等比数列通项公式和前n项和公式的推导方法的的推导等比数列前n项和公式的函数特征。 知识点01 等比数列的定义 等比数列的概念： 一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比都等于同一个常数，那么这个数列叫做等比数列，这个常数叫做等比数列的公比，公比通常用字母q表示(q≠0) 符号语言：在数列{an}中，如果（或）(q≠0)成立，则称数列{an}为等比数列，常数q称为等比数列的公比 递推关系：或 【即学即练】 1．已知数列满足且，则（  ） A． B． C． D．1 2．已知数列为等比数列，则 . 知识点02 等比中项 等比中项： 如果在a与b中间插入一个数G(G≠0)，使a,G,b成等比数列，那么G叫做a与b的等比中项. 若G是a与b的等比中项，则，所以G2=ab，即G=. 【即学即练】 1．4与9的等比中项为（  ） A．6 B． C． D．6.5 2．在等比数列中，各项均为正数，且，，则与的等比中项是（  ） A．2 B． C．1 D． 知识点03 等比数列的通项公式 等比数列的通项公式： 若等比数列{an}的首项为a1，公比为q，则这个等比数列的通项公式是(a1,q≠0). 注：证明数列是等比数列的主要方法： (1)定义法：（常数）为等比数列； (2)中项法：为等比数列； (3)通项公式法：（k，q为常数）为等比数列； 【即学即练】 1．等比数列中，若，则（  ） A．4 B．8 C． D． 2．已知数列满足且，则（  ） A． B． C． D．1 知识点04 等比数列的性质 （1）等比数列的通项公式与指数函数的关系： 等比数列{an}的通项公式可以改写为，当q>0且q≠1时，等比数列{an}的图象是指数型函数的图象上一些孤立的点. （2）等比数列的单调性 已知等比数列{an}的首项为a1，公比为q，则 (1)当或时，等比数列{an}为递增数列； (2)当或时，等比数列{an}为递减数列； (3)当q=1时，等比数列{an}为常数列(这个常数列中各项均不等于0)； (4)当q<0时，等比数列{an}为摆动数列(它所有的奇数项同号，所有的偶数项也同号，但是奇数项与偶数项异号). （3）等比数列的性质 设{an}为等比数列，公比为q，则若m+n=p+q，m,n,p,q∈N*，则. 注：①若m,n,p(m,n,p∈N*)成等差数列，则成等比数列. ②数列{λan}(λ为不等于零的常数)仍是公比为q的等比数列； 数列{}是公比为的等比数列； 数列{}是公比为的等比数列； 若数列{bn}是公比为q'的等比数列，则数列{}是公比为q·q'的等比数列. ③在数列{an}中，每隔k(k∈N*)项取出一项，按原来的顺序排列，所得数列仍为等比数列，且公比为. ④在数列{an}中，连续相邻k项的和(或积)构成公比为qk(或)的等比数列. ⑤若数列{an}是各项都为正数的等比数列，则数列{}(c>0且c≠1)是公差为的等差数列. 【即学即练】 1．设等比数列公比为，则“”是“为递增数列”的（  ） A．充要条件 B．充分不必要条件 C．必要不充分条件 D．即不充分也不必要条件 2．设各项均为正数的等比数列满足，则等于（  ） A． B． C．11 D．9 知识点05 等比数列的前n项和公式 等比数列的前n项和公式： 若等比数列{an}的首项为a1，公比为q，则等比数列{an}的前n项和公式为 . 注：（1）等比数列前n项和公式与指数函数的关系： ①当q=1时，是关于n的正比例函数，点(n,Sn)是直线y=a1x上的一群孤立的点. ②当q≠1时，.记A=，则是一个指数式与一个常 数的和.当q>0且q≠1时，是指数函数，此时，点(n,Sn)是指数型函数图象上的一群孤立的点. （2）Sn与an的关系 当公比q≠1时，等比数列的前n项和公式是，它可以变形为,设，则上式可以写成的形式，则Sn是an的一次函数. 【即学即练】 1．已知数列满足，且，则数列的前四项和的值为（  ） A． B． C． D． 2．已知数列满足，数列的前项和为，则（  ） A．2022 B．2023 C．2024 D．2025 知识点06 等比数列的前n项和性质 等比数列前n项和的性质： 已知等比数列{an}的公比为q，前n项和为Sn，则有如下性质： (1). (2)若(k∈N*)均不为0，则成等比数列，且公比为qk. (3)若{an}共有2n(n∈N*)项，则=q；若{an}共有(2n+1)(n∈N*)项，则=q. 【即学即练】 1．等比数列的前项和，则（  ） A． B． C． D． 2．设是等比数列的前项和，若，则 . 题型01 等比数列的概念及辨析 【典例1】（多选）下列数列是等比数列的是（  ） A．1，1，1，1，1 B．1，2，4，8，16 C．，，，， D．，，，0，1 理解等比数列的定义，需要注意以下几个方面： （1）“从第2项起”是后续条件，有两层内涵：一是因为第1项没有前一项，所以没有办法与前一项作比比较； （2）“从第2项起”表明成立，则，公比可以是任意非零实数； （3）确保该数列中任何一项与前一项的比都是同一个常数. （4）每一项与它的前一项的比指出作比比较的顺序； 【变式1】若数列满足，，则（  ） A．704 B． C．88 D．66 【变式2】（多选）已知数列是等比数列，则（  ） A．数列是等比数列 B．数列是等比数列 C．数列是等比数列 D．数列是等比数列 【变式3】（多选）已知数列的首项为4，且满足，则（  ） A．为等差数列 B．为递增数列 C．为等比数列 D．的前项和 题型02 等比中项及其应用 【典例1】设各项均为正数的等比数列满足，则等于（  ） A．211 B．210 C．11 D．9 【答案】C 【分析】设出等比数列的公比，利用等式求得，根据等比中项，可得答案. 【解析】设等比数列的公比为，由，得，即， 故. 故选：C. （1）由等比中项的定义可知，所以只有a，b同号时，a，b的等比中项有两个，异号时，没有等比中项． （2）在一个等比数列中，从第二项起，每一项（有穷数列的末项除外）都是它的前一项和后一项的等比中项． （3）a，G，b成等比数列等价于． 【变式1】已知实数，，，，成等比数列，则（  ） A． B． C． D． 【变式2】等比数列中，，则与的等比中项为（  ） A．24 B． C． D． 【变式3】已知数列的各项均不为0，设甲：；乙：数列是等比数列，则甲是乙的（  ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【变式4】若依次成等差数列，依次成等比数列，则（  ） A．3 B． C．或3 D．或4 【变式5】已知三个实数成等比数列，且(为正常数)，则b的取值范围是 ． 题型03 等比数列通项公式及其应用 【典例1】在等比数列中，，且，则公比 ． 等比数列的通项公式涉及4个量，，，，只要知道其中任意三个就能求出另外一个，在这四个量中，和是等比数列的基本量，只要求出这两个基本量，问题便迎刃而解． 【变式1】已知等比数列的首项，且满足，，则公比q为（  ） A． B．2 C．或2 D．3 【变式2】已知递增的等比数列中，前3项的和为13，前3项的积为27，则的值为（  ） A．1 B．3 C．5 D．7 【变式3】已知数列的首项，若数列为等差数列，且其公差为，则数列的通项公式为 ． 【变式4】已知等比数列的前n项的积为，即，又已知，则的最大值为 ． 【变式5】在数列中，，若对于任意的恒成立，则实数k的最小值为 . 题型04 等比数列性质的应用 【典例1】设各项均为正数的等比数列满足，则等于（  ） A． B． C．14 D．15 等比数列的性质： 1.若数列，是项数相同的等比数列，则也是等比数列.特别地，若是等比数列，是不等于0的常数，则也是等比数列. 2.在等比数列中，若，则. 3.等比数列是有穷数列，则与首末两项距离相等的两项的积相等，且等于首末两项的积. 4.在等比数列中，每隔项取出一项，按原来的顺序排列，所得新数列仍为等比数列，公比为. 5.在等比数列中，当成等差数列时，成等比数列. 6.已知且，①如果数列是等差数列，那么数列是等比数列； ②如果数列是各项均为正的等比数列，那么数列是等差数列. 注：在应用等比数列的性质解题时，需时刻注意等比数列性质成立的前提条件. 【变式1】已知各项均为正数的等比数列中，，则数列的前项和为（  ） A． B． C． D． 【变式2】若是无穷数列，则“为等比数列”是“满足”的（  ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【变式3】在等比数列中，，，则（  ） A． B． C．32 D．64 【变式4】已知等比数列满足，则的最小值为__________ 题型05 等比数列单调性的判断及其应用 【典例1】数列中，，（） （1）设，求证：是等比数列； （2）设数列的前项积为，求取得最大值时的取值． 等比数列的单调性： 已知等比数列{an}的首项为a1，公比为q，则 (1)当或时，等比数列{an}为递增数列； (2)当或时，等比数列{an}为递减数列； (3)当q=1时，等比数列{an}为常数列(这个常数列中各项均不等于0)； (4)当q<0时，等比数列{an}为摆动数列(它所有的奇数项同号，所有的偶数项也同号，但是奇数项与偶数项异号). 注意：涉及等比数列的单调性与最值的问题，一般要考虑公比与首项的符号对其的影响. 【变式1】数列是各项均为实数的等比数列，则“”是“数列为递增数列”的（  ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【变式2】已知等比数列满足，公比，且，，则当最小时，（  ） A．1012 B．1013 C．2022 D．2023 【变式3】已知数列满足单调递增，则的取值范围为（  ） A． B． C． D． 【变式5】已知等比数列满足，． (1)求数列的通项公式； (2)若是递增数列，若，恒成立，求实数的取值范围； (3)若不是递增数列，，求的最小值． 题型06 求等比数列中的最大（小）项 【典例1】已知等比数列，满足，. (1)求数列的通项公式； (2)若数列满足：对任意正整数n，均成立，求数列的最大项的值. 求等比数列中的最大(小)项的常见方法： 通过作差判断其单调性或者直接利用等比数列单调性的判别方法，求出数列的最大(小)项． 【变式1】已知数列为等比数列，首项，公比，则下列叙述不正确的是（  ） A．数列的最大项为 B．数列的最小项为 C．数列为严格递增数列 D．数列为严格递增数列 【变式2】已知数列满足，且，则 ；若，，则的最小值为 . 【变式3】数列满足，． (1)若，且数列为等比数列，求p的值； (2)若，且为数列的最小项，求q的取值范围． 题型07 等比数列的判定与证明 【典例1】已知数列满足且. (1)求； (2)证明数列是等比数列，并求. 证明数列是等比数列的主要方法：： 1、定义法：（常数）为等比数列； 2、中项法：（）为等比数列； 3、通项公式法：（，为常数）为等比数列． 证明一个数列为等比数列常用定义法与等比中项法，其他方法只用于选择题、填空题中的判定；若证明某数列不是等比数列，则只要证明存在连续三项不成等比数列即可.　 【变式1】设数列满足，且，则（  ） A．{}为等比数列 B．{}为等比数列 C．{}为等比数列 D．{}为等比数列 【变式2】（多选）已知数列的前项和为，数列的前项和为，则下列选项正确的是（  ） A．数列是等差数列 B．数列是等比数列 C．数列的通项公式为 D． 【变式3】已知数列满足，若，则数列的通项公式为 . 题型08 等比数列前n项和的基本量计算 【典例1】设正项等比数列的前项和为，，则的公比 . 等比数列前n项和运算的技巧: （1）在等比数列的通项公式和前n项和公式中，共涉及五个量：、、、、，其中首项和公比为基本量，且“知三求二”，常常列方程组来解答． （2）对于基本量的计算，列方程组求解是基本方法，通常用约分或两式相除的方法进行消元，有时会用到整体代换，如，都可看作一个整体． （3）在解决与前项和有关的问题时，首先要对公比或进行判断，若两种情况都有可能，则要分类讨论． 【变式1】已知等比数列的前项和为，若，则公比（  ） A． B．2 C． D． 【变式2】(多选)《尘劫记》是元代一部经典的古典数学著作，里面记载了一个有趣的数学问题：假设每对老鼠每月生子一次，每月生12只，且雌雄各半.1个月后，有一对老鼠生了12只小老鼠，一共14只；2个月后，每对老鼠各生12只小老鼠，一共98只，……，以此类推.记每个月新生的老鼠数量为，每个月老鼠的总数量为，数列，的前n项和分别为，可知，则下列说法正确的是（  ） A． B． C． D． 【变式3】(多选)已知是递增的等比数列，其前n项和为，若，则（  ） A． B． C． D．不是等比数列 题型09 等比数列片段和性质及前n项和其他性质 【典例1】在正项等比数列中，为其前n项和，若，，则的值为（  ） A．10 B．20 C．30 D．40 等比数列片段和性质: 若等比数列的前n项和为，则，，…成等比数列（其中，，…均不为0）． 等比数列前n项和的函数关系: （1）已知，通过求通项，应特别注意时，. (2)若数列的前项和，其中且，则是等比数列. 【变式1】记等比数列的前项和为，若，则（  ） A．1 B．2 C．4 D．8 【变式2】若是公比为的等比数列，其前项和为 ，，则“”是“单调递增”的（  ） A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 【变式3】设首项为正且大于1的无穷等比数列的公比为，前项和为，若，则（  ） A．数列无最大项 B．数列有最小项为 C．数列是递增数列， D．数列最大值为 【变式4】设是等比数列的前项和，若，则 . 【变式5】已知数列的前项和为，且 (1)证明：是等比数列； (2)求数列的通项公式 (3)求数列的通项公式，并求出为何值时，取得最小值，并说明理由． 题型10 等比数列的奇数项与偶数项和 【典例1】已知等比数列有项，，所有奇数项的和为85，所有偶数项的和为42，则（  ） A．2 B．3 C．4 D．5 对于首项为，公比为的等比数列，其奇数项的和记为，偶数项的和记为，则有以下结论：①前2n项和中；②前项和中，. 【变式1】已知等比数列共有项，其和为，且奇数项的和比偶数项的和大80，则公比（  ） A． B．2 C． D． 【变式2】已知等比数列中共有项，公比，且其奇数项和比偶数项和小20，则 ． 【变式3】等比数列的首项为2，项数为奇数，其奇数项之和为，偶数项之和为，则这个等比数列的公比q＝ ，又令该数列的前n项的积为，则的最大值为 ． 题型11 等比数列的综合应用 【典例1】已知等差数列的前n项和为，，，数列满足，． (1)证明：数列是等比数列； (2)证明：； (3)若，求数列的前n项和． 【变式1】某农村合作社引进先进技术提升某农产品的深加工技术，以此达到10年内每年此农产品的销售额（单位：万元）等于上一年的1.3倍再减去3.已知第一年（2024年）该公司该产品的销售额为100万元，则按照计划该公司从2024年到2033年该产品的销售总额约为（  ） （参考数据：） A．964万元 B．2980万元 C．3940万元 D．5170万元 【变式2】已知等比数列的前项和为，若关于的不等式恒成立，则实数的取值范围为（  ） A． B． C． D． 【变式3】（多选）设等比数列前项积为，公比为．若，，，则下列结论正确的是（  ） A． B． C．当时，取最大值 D．使成立的最大自然数是4046 【变式4】已知数列的前n项和公式为． (1)求证：数列是等比数列； (2)令，求数列的前n项和； 1．已知数列是公比为的等比数列，且，则（  ） A． B． C． D． 2．已知数列是正项等比数列，且，又、、成等差数列，则的通项公式为（  ） A． B． C． D． 3．等比数列的公比为，则“”是“”的（  ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分又不必要条件 4．在正项等比数列中，为其前项和，，，则公比（  ） A． B． C．2 D．3 5．已知正项等比数列中，成等差数列.若数列中存在两项，使得为它们的等比中项，则的最小值为（  ） A．3 B．4 C．6 D．9 6．已知等比数列的前项和为，，则使得不等式成立的正整数的最大值为（  ） A．9 B．10 C．11 D．12 7．（多选）已知数列是一个无穷等比数列，前项和为，公比为，则（  ） A．将数列中的前项去掉，剩余项按在原数列的顺序组成的新数列仍是等比数列 B．取出数列的偶数项，剩余项按在原数列的顺序组成的新数列仍是等比数列 C．从数列中每隔10项取出一项组成的新数列仍为等比数列 D．数列不是等比数列 8．（多选）在各项均为正数的等比数列中，，则（  ） A． B． C．有最大值25 D．有最大值 9．（多选）已知正项等比数列的前项积为，且是互不相等的正整数，则（  ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 10．在等比数列中，若，，则当取得最大值时， ． 11．已知数列为等比数列，为其前项积，若，则当取最小值时， ． 12．设数列的前项和为，且，记，数列的前n项和为，若不等式对任意的恒成立，则m的取值范围为_____________ 13．已知数列的前n项和为且满足． (1)求，值； (2)证明数列为等比数列并求其通项公式． 14．已知等比数列的前n项和为，，. (1)求的通项公式； (2)若求数列的前n项和； (3)若存在正整数n，使得成立，求m的取值范围. 2 / 37 学科网（北京）股份有限公司 $