精品解析：宁夏固原市弘文中学2025-2026学年上学期八年级数学期末考试卷

2025-2026学年度八年级上册数学期末考试卷 一、单选题 1. 下面有四幅交通警告图标，其中是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了轴对称图形的识别，根据轴对称图形的定义进行逐一判断即可：如果一个平面图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形，这条直线就叫做对称轴． 【详解】解：A、是轴对称图形，故此选项符合题意； B、不是轴对称图形，故此选项不符合题意； C、不是轴对称图形，故此选项不符合题意； D、不是轴对称图形，故此选项不符合题意； 故选A． 2. 下列计算式正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了幂的乘方运算，积的乘方运算，同底数幂的除法运算，运用完全平方公式进行运算，解题关键是掌握上述知识点并能运用来求解． 根据幂的乘方、同底数幂相除、积的乘方、完全平方公式，对四个选项逐一计算，再作出判断． 【详解】解： ， 故A错误． ， 故B错误． ， 故C正确． ， 故D错误． 故选：C． 3. 已知点，关于轴对称，则的值是( ) A. B. 2 C. D. 8 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了关于轴对称的点的坐标特征．根据关于轴对称的点，横坐标相同，纵坐标互为相反数，即可求解． 【详解】解：点与点关于轴对称， ，， ， ． 故选：A． 4. 如图，小明书上的三角形被墨迹污染了一部分，他根据全等三角形的知识很快就画出了一个书上完全一样的三角形，小明画图的依据是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据图形可知两角及夹边分别相等即可判断． 【详解】解：小明画图的依据是两角和它们的夹边分别相等的两个三角形全等，即． 5. 若把分式中m和n的值都扩大2倍，那么分式的值（ ） A. 缩小为原来的 B. 扩大为原来的2倍 C. 扩大为原来的4倍 D. 不变 【答案】B 【解析】 【分析】解：m和n都扩大为原来的2倍后，代入分式计算并化简，比较新分式与原分式的值即可解答． 【详解】解：∵m和n都扩大为原来的2倍， ∴ 新分式为， ∵原分式为， ∴分式的值扩大为原来的2倍， 故选B． 6. 如图，在中，与的平分线交于点M，过点M作交于点D，交于点E，那么下列结论：①和都是等腰三角形；②的周长等于；③；④．其中一定正确的结论有（ ） A. 4个 B. 3个 C. 2个 D. 1个 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了角平分线的定义、平行线的性质、等角对等边，由角平分线的定义和平行线的性质可得，，由等角对等边得出，，由此逐项分析即可得解，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． 【详解】解：∵在中，与的平分线交于点M， ∴，， ∵， ∴，， ∴，， ∴，， ∴和都是等腰三角形，故①正确； 的周长，故②正确； 和不一定相等，故不一定等于，故③错误； ，故④错误； 综上所述，正确的有①②，共个， 故选：C． 7. 若是完全平方式，则的值为（ ） A. 7或−1 B. 5 C. 7 D. −1 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了完全平方公式，解题的关键是熟练掌握完全平方公式的结构特征． 将原式变形为，再根据完全平方公式的结构特征得到，即可求解． 【详解】解：∵是完全平方式， ∴ ， ∴ 或， 故选：A． 8. 如图，在和中，，，，C，D，E三点在同一条直线上，连接，．以下四个结论：①；②；③；④．其中正确的为（ ） A. ① B. ①② C. ①②③ D. ①②③④ 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质、等腰直角三角形的性质，准确找到并证明图中的全等三角形是解决问题的关键，还需要能够合理利用全等三角形的性质． 由，，利用等式的性质得到夹角相等，利用得出与全等，由全等三角形的对应边相等得到，①结论正确；由与全等，得到，由等腰直角三角形的性质得到，等量代换得到，②结论正确；由②结论再加上等于，再利用两锐角互余的三角形为直角三角形，得到，③结论正确；④结论正确，利用周角减去两个直角可得答案． 【详解】解：①∵， ∴，即， 在和中， ， ∴， ∴， 故①正确． ②∵为等腰直角三角形， ∴， ∵， ∴， ∴， 故②正确． ③由②知，， ∴， ∴， 故③正确． ④∵， ∴， 故④正确． 故①②③④都正确． 故选：D． 二、填空题 9. 若分式有意义，则实数的取值范围是__________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查分式有意义的条件，分式有意义的条件是分母不为零，因此只需解分母不等于零的不等式即可． 【详解】要使分式有意义，则分母，解得． 故答案为：． 10. “宝剑锋从磨砺出，梅花香自苦寒来”．已知梅花花粉的直径约为米．数据“”用科学记数法表示为________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查用科学记数法表示较小的数，一般形式为，其中，为由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定． 【详解】解：， 故答案为：． 11. 如图，在中，，分别是边，的垂直平分线，，则的周长___________．     【答案】8 【解析】 【分析】本题考查了线段垂直平分线的性质的应用，熟练掌握线段垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等是解题的关键． 根据线段垂直平分线的性质，可得，即可求解． 【详解】解：∵，分别是边，的垂直平分线， ∴， ∴的周长为， ∵， ∴的周长为8． 故答案为：8 12. 已知 ，那么的值为____________ 【答案】9 【解析】 【分析】本题考查同底数幂的乘法，幂的乘方．将转化为 ，利用同底数幂相乘法则，结合已知条件求解． 【详解】解：， ， ． 故答案为：9． 13. 如图，把一张长方形纸片沿折叠后，点D，C分别落在点，的位置上，与交于点G．若，则的度数为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了折叠的性质、平行线的性质，熟练掌握折叠的性质是解题关键．先根据平行线的性质可得，再根据折叠的性质可得，然后根据求解即可得． 【详解】解：∵在长方形纸片中，， ∴， 由折叠的性质得：， ∴． 故答案为：． 14. 若分式的值为零，则x的值是______． 【答案】 【解析】 【分析】分式的值为零的条件是分子为零且分母不为零，据此求解即可． 【详解】解：∵分式的值为零， ∴且， 解得． 15. 已知，计算：，，． 观察以上各式并猜想，根据你的猜想，计算：____．（为正整数）． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了多项式乘法中的规律性问题，解题的关键是根据题目找出规律表示出一般形式．先观察给定的等式规律，猜想出一般形式，再令，求得的值，再将所求式子变形为，进而得解． 【详解】解：由给定的等式可知，对于任意正整数 ，有 ． 令，则有 ，即， ， ． 故答案为：． 16. 如图，在中，，，点D为的中点，点P在线段上以4厘米/秒的速度由B点向C点运动，同时，点Q在线段上由C点向A点运动．当点Q的运动速度为_______厘米/秒时，能够在某一时刻使与全等． 【答案】4或6 【解析】 【分析】本题考查了等腰三角形的性质，全等三角形的判定的应用；熟练掌握全等三角形的判定和性质，根据题意得出方程是解决问题的关键．首先求出的长，要使△与△全等，必须或，得出方程或，求出方程的解解答即可． 【详解】解：设经过秒后，使△与△全等， ，，点为的中点， 厘米， ， ， 要使△与△全等，必须或， 即或， 解得：或， 时，，故点的速度为：； 时，，故点的速度为：； 即点的运动速度是4或6， 故答案为：4或6． 三、解答题 17. 分式化简求值：，其中x为满足的整数 【答案】； 【解析】 【分析】本题主要考查了分式化简求值，熟练掌握分式混合运算法则，是解题的关键．根据分式混合运算法则进行化简，然后根据分式有意义的条件求出x的值，代入数据求值即可． 【详解】解： ， ∵，， ∴，， ∵x为满足的整数， ∴x只能取0， ∴把代入得：原式． 18. 计算： （1） （2） 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查有理数的混合运算、整式的混合运算，掌握乘方、零指数幂的运算法则，单项式乘除法则是解题关键． （1）先处理乘方、零指数幂、绝对值等特殊运算，再按乘除加减顺序计算． （2）先分别算整式的乘除，再合并同类项． 【小问1详解】 解：原式 ． 【小问2详解】 解：原式 ． 19. 如图，在平面直角坐标系中，的顶点的坐标分别为．与关于轴对称，点 的对称点分别为． （1）请在图中画出，并写出点的坐标； （2）若点是内的一点，其关于轴的对称点为，求的值． 【答案】（1） 如图所示.   点E，F，G的坐标分别为； （2） 【解析】 【分析】本题主要考查了画轴对称图形，坐标与图形变化—轴对称，解二元一次方程组，熟知关于x轴对称的点的坐标特征是解题的关键． （1）根据关于x轴对称的点的坐标特征先分别找出点A、B、C关于x轴对称的对应点E、F、G，然后顺次连接E、F、G即可得到答案； （2）根据关于x轴对称的点的坐标特征：横坐标相同，纵坐标互为相反数得到关于m、n的二元一次方程组，由此求解即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：由题意得，，即， 解得 ． 20. 如图，已知 （1）利用直尺和圆规在图①中作出的角平分线，标上适当字母，不写作法，保留作图痕迹； （2）根据（1）的作图，试说明； （3）运用你所学的数学知识，在图②中再设计一种方法，作出的平分线（上述（1）的方法除外，不必说明理由，只在图中保留作图痕迹） 【答案】（1） 如图①，射线即为所求； （2） 如图①中，连接，， 在和中， ， ， ， 平分 ； （3） 如图②中，射线即为所求． 【解析】 【分析】本题考查尺规作图，角平分线的定义，全等三角形的判定和性质，解题的关键是掌握相关知识解决问题． （1）根据角平分线尺规作图的要求作出图形即可； （2）根据证明三角形全等，利用全等三角形的性质证明即可； （3）以O为圆心，适当长为半径作弧交，于点E，F，过点F作，过点E作，直线交于点P，作射线即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【小问3详解】 略 21. 2025年湘超联赛火爆三湘大地，赛事带动关联消费突破200亿元，印有联赛专属Logo和热门球员剪影的潮流短袖T恤成为球迷追捧的爆款单品．某体育用品店紧抓“赛事经济”风口，先用6000元购进一批该款T恤；因线下观赛客流激增、订单火爆，店铺紧急追加采购，用15000元购入第二批，所购数量是第一批的2倍，且受货源紧张影响，每件进价较第一批贵10元． （1）该店铺购进第一批、第二批T恤每件的进价分别是多少元？ （2）如果两批T恤按相同标价销售，最后50件断码款按五折优惠清仓，要使两批T恤全部售完后（扣除450元快递及包装费用），利润率不低于，那么每件T恤的标价至少是多少元？ 【答案】（1）第一批进价40元，第二批进价50元 （2）元 【解析】 【分析】本题考查分式方程的实际应用及不等式的实际应用，解应用题时需要理清楚数量关系，找到合适的量设未知数，根据题意列出方程或不等式，注意分式方程求解需要检验． （1）设购进第一批T恤衫每件的进价是元，根据两次购买数量关系列分式方程求解即可； （2）设每件T恤衫的标价是y元，通过利润率不低于列不等式，求解范围即可． 【小问1详解】 设购进第一批T恤衫每件的进价是元，则第二批T恤衫每件的进价是元； 由题意得， 解得， 经检验为分式方程的解且符合题意， ， 答：购进第一批T恤衫每件的进价是40元，第二批T恤衫每件的进价是50元； 【小问2详解】 设每件T恤衫的标价是y元， 第一次购进件，第二次购进件， 利润为：， 利润率不低于， 则 解得， 答：每件T恤衫的标价至少是元． 22. 如图，点A，F，C，D在同一直线上，求证：． 【答案】 证明：∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 在和中， ， ∴． 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，先根据，得出，又因为，则，故，即可作答． 【详解】略 23. 如图，锐角中，点E是边上一点，，于点D，与交于点G． （1）求证为等腰三角形； （2）若，G为中点，求的长． 【答案】（1）见解析 （2） 【解析】 【分析】本题考查了等腰三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，熟练掌握等腰三角形三线合一的性质是关键． （1）利用等角的余角相等和对顶角相等可得，继而证明为等腰三角形即可； （2）作，垂足为点H，证明，结合等腰三角形三线合一的性质可得，继而得到长． 【小问1详解】 证明：∵于点D， ∴和都是直角三角形， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴为等腰三角形； 【小问2详解】 解：如图，作，垂足为点H， ∵G为中点， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴． 24. 【问题背景】 在四边形中，，，，、分别是、上的点，且，试探究图1中线段、、之间的数量关系． 【初步探索】 （1）小亮同学认为：延长到点，使，连接，先证明，再证明，则可得到、、之间的数量关系是______． 【探索延伸】 （2）在四边形中如图2，，，、分别是、上的点，，上述结论是否仍然成立？说明理由． ． 【答案】（1）；（2）结论仍然成立，理由见解析 【解析】 【分析】本题考查全等三角形的判定和性质，通过添加辅助线构造全等三角形是解题的关键． （1）先证明，推出，，再证明，推出，可得； （2）延长到点G使，连接，同（1），先证明推出，，再证明，推出，可得． 【详解】解：（1）， ， 在和中 ， ， ，， ∵，， ∴， ∴ ， 在和中 ， ， ， ， ； 故答案为：． （2）结论仍然成立； 理由：如图，延长到点，使，连接， ，， ， 在和中 ， ， ，， ， ， ， 在和中 ， ， ， ， ． 25. 现有长与宽分别为、的小长方形若干个，用两个这样的小长方形拼成如图1的图形，用四个相同的小长方形拼成图2的图形，请认真观察图形，解答下列问题： （1）根据图中条件，请写出图1和图2所验证的关于、的关系式：（用含、的代数式表示出来）； 图1表示： ； 图2表示： ； （2）根据上面的解题思路与方法，解决下列问题：若，求的值； （3）如图3，长方形中，，，，长方形的面积是200，四边形和都是正方形，四边形是长方形．延长至，使，延长至，使，过点、作、的垂线，两垂线相交于点，请直接写出四边形的面积．（结果为具体的数值） 【答案】（1）；； （2）22 （3）1744 【解析】 【分析】本题主要考查完全平方公式的几何背景、列代数式、代数式求值等知识点，掌握数形结合思想是解题的关键． （1）由图1可知，大正方形的面积等于两个小正方形的面积加上两个长方形的面积；由图2可知，大正方形的面积等于小正方形的面积加上4个长方形的面积，据此列出代数式即可解答； （2）根据将原式变形求解即可； （3）首先根据题意得到，然后利用长方形的面积是200，再结合完全平方公式代入求值即可． 【小问1详解】 解：图1中，由图可知，， 由题意得，，即； 图2中，由图可知，，， 由题图可知，，即． 故答案为：；； 【小问2详解】 解： 由图1可得： ∴， ∴， ∵， ∴． 【小问3详解】 解：∵， ∴， ∴， ∵长方形的面积是200， ∴， ∴， 令， ∴， ∴， ∴， ∴四边形的面积． 26. 如图，是等腰直角三角形，，直角顶点在轴上，一锐角顶点在轴上． （1）如图，若点的坐标是，点的坐标是，则点的坐标为 ． （2）如图，若轴恰好平分，与轴交于点，过点作轴于点，问与有怎样的数量关系？并说明理由． （3）如图，直角边的两个端点在两坐标轴上滑动，使点在第二象限内，过点作轴于点，在滑动的过程中，为定值，求出这个定值． 【答案】（1） （2）， 理由如下： 如图，延长交的延长线于点， 轴平分，， 是等腰三角形，， ，， 是等腰直角三角形，， ， ， ， ， 在和中， ， ， ， ， ； （3）或 【解析】 【分析】（1）过点作轴于点，证，得出，求出，即可得出答案； （2）延长交的延长线于点，先证是等腰三角形，得出，再证，得出，即可得出结论； （3）分两种情况：当B在x轴负半轴，C在y轴负半轴，A在第二象限时，当B在x轴负半轴，C在y正半轴，A在第二象限时，分别画出图形，求出结果即可． 【小问1详解】 解：如图，过点作轴于点， 则， ， 是等腰直角三角形，， ， ， 在和中， ， ， ， 点的坐标是，点的坐标是， ， ， 点的坐标为， 故答案为：； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：当B在x轴负半轴，C在y轴负半轴，A在第二象限时，如图，过点作于点， 则， 轴， 四边形是长方形， ， ，， ， 在和中， ， ， ， ， ， ． 当B在x轴负半轴，C在y正半轴，A在第二象限时，如图4，过点A作于点H， 则， ∵轴，， ∴四边形是长方形， ∴， ∵，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 综上，或． 【点睛】本题是三角形综合题，考查了等腰直角三角形的性质、坐标与图形的性质、同角的余角相等、全等三角形的性质与判定、等腰三角形的判定与性质、角平分线的定义等知识，正确作出辅助线构建全等三角形是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年度八年级上册数学期末考试卷 一、单选题 1. 下面有四幅交通警告图标，其中是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 2. 下列计算式正确的是（ ） A. B. C. D. 3. 已知点，关于轴对称，则的值是( ) A. B. 2 C. D. 8 4. 如图，小明书上的三角形被墨迹污染了一部分，他根据全等三角形的知识很快就画出了一个书上完全一样的三角形，小明画图的依据是（ ） A. B. C. D. 5. 若把分式中m和n的值都扩大2倍，那么分式的值（ ） A. 缩小为原来的 B. 扩大为原来的2倍 C. 扩大为原来的4倍 D. 不变 6. 如图，在中，与的平分线交于点M，过点M作交于点D，交于点E，那么下列结论：①和都是等腰三角形；②的周长等于；③；④．其中一定正确的结论有（ ） A. 4个 B. 3个 C. 2个 D. 1个 7. 若是完全平方式，则的值为（ ） A. 7或−1 B. 5 C. 7 D. −1 8. 如图，在和中，，，，C，D，E三点在同一条直线上，连接，．以下四个结论：①；②；③；④．其中正确的为（ ） A. ① B. ①② C. ①②③ D. ①②③④ 二、填空题 9. 若分式有意义，则实数的取值范围是__________． 10. “宝剑锋从磨砺出，梅花香自苦寒来”．已知梅花花粉的直径约为米．数据“”用科学记数法表示为________． 11. 如图，在中，，分别是边，的垂直平分线，，则的周长___________．     12. 已知 ，那么的值为____________ 13. 如图，把一张长方形纸片沿折叠后，点D，C分别落在点，的位置上，与交于点G．若，则的度数为______． 14. 若分式的值为零，则x的值是______． 15. 已知，计算：，，． 观察以上各式并猜想，根据你的猜想，计算：____．（为正整数）． 16. 如图，在中，，，点D为的中点，点P在线段上以4厘米/秒的速度由B点向C点运动，同时，点Q在线段上由C点向A点运动．当点Q的运动速度为_______厘米/秒时，能够在某一时刻使与全等． 三、解答题 17. 分式化简求值：，其中x为满足的整数 18. 计算： （1） （2） 19. 如图，在平面直角坐标系中，的顶点的坐标分别为．与关于轴对称，点 的对称点分别为． （1）请在图中画出，并写出点的坐标； （2）若点是内的一点，其关于轴的对称点为，求的值． 20. 如图，已知 （1）利用直尺和圆规在图①中作出的角平分线，标上适当字母，不写作法，保留作图痕迹； （2）根据（1）的作图，试说明； （3）运用你所学的数学知识，在图②中再设计一种方法，作出的平分线（上述（1）的方法除外，不必说明理由，只在图中保留作图痕迹） 21. 2025年湘超联赛火爆三湘大地，赛事带动关联消费突破200亿元，印有联赛专属Logo和热门球员剪影的潮流短袖T恤成为球迷追捧的爆款单品．某体育用品店紧抓“赛事经济”风口，先用6000元购进一批该款T恤；因线下观赛客流激增、订单火爆，店铺紧急追加采购，用15000元购入第二批，所购数量是第一批的2倍，且受货源紧张影响，每件进价较第一批贵10元． （1）该店铺购进第一批、第二批T恤每件的进价分别是多少元？ （2）如果两批T恤按相同标价销售，最后50件断码款按五折优惠清仓，要使两批T恤全部售完后（扣除450元快递及包装费用），利润率不低于，那么每件T恤的标价至少是多少元？ 22. 如图，点A，F，C，D在同一直线上，求证：． 23. 如图，锐角中，点E是边上一点，，于点D，与交于点G． （1）求证为等腰三角形； （2）若，G为中点，求的长． 24. 【问题背景】 在四边形中，，，，、分别是、上的点，且，试探究图1中线段、、之间的数量关系． 【初步探索】 （1）小亮同学认为：延长到点，使，连接，先证明，再证明，则可得到、、之间的数量关系是______． 【探索延伸】 （2）在四边形中如图2，，，、分别是、上的点，，上述结论是否仍然成立？说明理由． ． 25. 现有长与宽分别为、的小长方形若干个，用两个这样的小长方形拼成如图1的图形，用四个相同的小长方形拼成图2的图形，请认真观察图形，解答下列问题： （1）根据图中条件，请写出图1和图2所验证的关于、的关系式：（用含、的代数式表示出来）； 图1表示： ； 图2表示： ； （2）根据上面的解题思路与方法，解决下列问题：若，求的值； （3）如图3，长方形中，，，，长方形的面积是200，四边形和都是正方形，四边形是长方形．延长至，使，延长至，使，过点、作、的垂线，两垂线相交于点，请直接写出四边形的面积．（结果为具体的数值） 26. 如图，是等腰直角三角形，，直角顶点在轴上，一锐角顶点在轴上． （1）如图，若点的坐标是，点的坐标是，则点的坐标为 ． （2）如图，若轴恰好平分，与轴交于点，过点作轴于点，问与有怎样的数量关系？并说明理由． （3）如图，直角边的两个端点在两坐标轴上滑动，使点在第二象限内，过点作轴于点，在滑动的过程中，为定值，求出这个定值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $