第八单元 数学百花园（知识清单）数学北京版四年级下册

该小学数学第八单元知识清单系统梳理了“数学百花园”内容，涵盖鸽巢问题初步与和差问题两大核心知识范畴，搭建了从概念原理、解题关键到应用场景、题型示例的递进式学习支架。 清单通过思维导图构建知识框架，分模块呈现核心原理如“鸽巢问题至少数计算法”“和差问题公式推导”，培养学生抽象能力与运算能力。设计基础例题与变式练习，如“摸球保证同色”“钢珠数量求解”，标注解题步骤与验证方法，助力学生高效掌握，教师可据此精准教学，提升课堂实效。

第八单元 数学百花园 知识清单 知识一、鸽巢问题初步 1. 基本概念 鸽巢问题（抽屉原理）：把若干个物体放进若干个“抽屉”中，无论怎样放，总有一个抽屉里至少放进一定数量的物体。 2. 核心原理 (1)原理1：把 个物体放进 个抽屉里，至少有一个抽屉里放进了2个或2个以上的物体。 (2)关键理解：“至少”表示最少的情况，即保证存在一个抽屉满足条件，不考虑其他抽屉的具体数量。 3. 解题关键 (1)确定“物体”和“抽屉”的对应关系：明确待分的物体数量和抽屉数量。 (2)理解“至少数”的计算：当物体数比抽屉数多时，至少数为“商+1”（有余数时）或“商”（无余数时）。 4. 应用场景：用于解决存在性问题，如物品分配、颜色搭配、生日问题等，判断“至少有一个”的情况是否存在。 知识二、和差问题 1. 基本概念：已知两个数的和与这两个数的差，求这两个数各是多少的问题。 2. 数量关系 (1)基本公式： ①大数 =（和 + 差）÷ 2 ②小数 =（和 - 差）÷ 2 (2)关系推导：大数 + 小数 = 和；大数 - 小数 = 差。 3. 解题步骤 (1)明确题目中的“和”与“差”（若差不直接给出，需先通过条件计算差）。 (2)代入公式计算大数或小数。 (3)根据和与差验证结果的正确性。 4. 解题关键 (1)准确区分“和”与“差”的实际含义，确保数据对应正确。 (2)当题目中涉及多个量时，先确定核心的两个数及其和差关系，再逐步求解。 题型一、鸽巢问题初步 【例1】（24-25四年级下·山西临汾·期末）把红色、黑色、白色的球各3个放在同一个口袋里，至少要摸出（    ）个球才能保证一定有两个球是同样颜色的。 A．6 B．5 C．4 【练1】（21-22四年级下·北京房山·期末）把4个乒乓球放入三个盒子里，一定有一个盒子里至少放进( )个球。 题型二、和差问题 【例2】（21-22四年级下·北京大兴·期末）盒子里有大、小两种钢珠共30颗，大钢珠比小钢珠少6颗。大钢珠有( )颗，小钢珠有( )颗。 【练2】（24-25四年级下·北京通州·期末）明明家六月、七月共用电费268元，七月比六月多用电费82元，这两个月分别用去电费多少元？ 1．（23-24四年级下·北京顺义·期末）欣悦小学四年级组有18位老师。他们中至少有（    ）人是同一个生肖。 A．2 B．4 C．6 D．7 2．（21-22四年级下·贵州贵阳·期末）小明和小春共有邮票86枚，小春比小明少12枚，小明有邮票（    ）。 A．49枚 B．37枚 C．24枚 3．（2022四年级上·全国·专题练习）全班共有学生45人，男生比女生多3人，问男生有（    ）人。 A．42 B．21 C．24 D．48 4．（21-22四年级下·江苏南通·期末）张阿姨买一套衣服用了88元，上衣比裤子贵12元，上衣（    ）元。 A．50 B．38 C．76 D．100 5．（20-21四年级下·江苏宿迁·期中）一辆卡车要运260吨货物，已经运了8趟，每趟运输的货物同样多，已经运的比没有运的少20吨，这辆卡车每趟运输货物（    ）吨。 A．10 B．15 C．20 6．（22-23四年级下·北京丰台·期末）把4枝花放到三个花瓶中，一定有一个花瓶里放进了( )枝或( )枝以上的花。 7．（21-22四年级下·北京丰台·期末）把4个乒乓球放到三个盒子中，一定有一个盒子里放进了( )个或( )个以上的乒乓球。 8．（22-23四年级下·北京昌平·期末）停车场有小轿车和面包车共54辆，其中面包车比小轿车少14辆，停车场有小轿车( )辆，面包车( )辆。 9．（24-25四年级下·山东济宁·期末）我的语文和数学两门课的平均成绩是94分，数学比语文多2分，语文得( )分，数学得( )分。 10．（24-25四年级上·江苏南京·期中）一个不透明的口袋里有大小和质地完全相同的红、黄两种颜色的球各10个。一次最少摸出多少个球，才能保证有5个颜色相同的球？ 11．（21-22四年级下·海南省直辖县级单位·期末）四年级共有60人参加学校体操队，其中男生比女生少12人。体操队的男生和女生分别有多少人？（先根据题意把线段图补充完整，再解答。） 12．（24-25四年级下·山西大同·期末）实验小学四年级“科技小发明”比赛中，四（1）班和四（2）班共制作作品128件。四（2）班比四（1）班多16件，两个班各制作多少件？（先根据题意把线段图补充完整，再解答） 13．（24-25四年级下·安徽芜湖·期末）小明和小红一共有140枚邮票，如果小明给小红20枚，两人的邮票就同样多，小明和小红原来各有多少枚邮票？ 14．（22-23四年级下·北京顺义·期末）社区物业工人在小区广场围了一个周长是32米的长方形花坛。如果这个长方形花坛的宽比长短2米，这个长方形花坛的面积是多少平方米？ 15．（23-24四年级下·北京顺义·期末）选两个相关信息，提出一个数学问题，并解答。 ①学校图书室有连环画836本    ②学校图书室有故事书和科技书共364本 ③连环画的本数比故事书的3倍少4本    ④故事书的本数比科技书多196本 所选信息：________________（只填序号） 提出问题：________________？ 试卷第1页，共3页 第 1 页 共 9 页 学科网（北京）股份有限公司 $ 第八单元 数学百花园 知识清单 知识一、鸽巢问题初步 1. 基本概念 鸽巢问题（抽屉原理）：把若干个物体放进若干个“抽屉”中，无论怎样放，总有一个抽屉里至少放进一定数量的物体。 2. 核心原理 (1)原理1：把 个物体放进 个抽屉里，至少有一个抽屉里放进了2个或2个以上的物体。 (2)关键理解：“至少”表示最少的情况，即保证存在一个抽屉满足条件，不考虑其他抽屉的具体数量。 3. 解题关键 (1)确定“物体”和“抽屉”的对应关系：明确待分的物体数量和抽屉数量。 (2)理解“至少数”的计算：当物体数比抽屉数多时，至少数为“商+1”（有余数时）或“商”（无余数时）。 4. 应用场景：用于解决存在性问题，如物品分配、颜色搭配、生日问题等，判断“至少有一个”的情况是否存在。 知识二、和差问题 1. 基本概念：已知两个数的和与这两个数的差，求这两个数各是多少的问题。 2. 数量关系 (1)基本公式： ①大数 =（和 + 差）÷ 2 ②小数 =（和 - 差）÷ 2 (2)关系推导：大数 + 小数 = 和；大数 - 小数 = 差。 3. 解题步骤 (1)明确题目中的“和”与“差”（若差不直接给出，需先通过条件计算差）。 (2)代入公式计算大数或小数。 (3)根据和与差验证结果的正确性。 4. 解题关键 (1)准确区分“和”与“差”的实际含义，确保数据对应正确。 (2)当题目中涉及多个量时，先确定核心的两个数及其和差关系，再逐步求解。 题型一、鸽巢问题初步 【例1】（24-25四年级下·山西临汾·期末）把红色、黑色、白色的球各3个放在同一个口袋里，至少要摸出（    ）个球才能保证一定有两个球是同样颜色的。 A．6 B．5 C．4 【答案】C 【分析】首先考虑最不利情况，如果摸三次且每次都是不同颜色，也就是摸三次后，摸出的是红黑白三色；摸第四次时，总会回到三种颜色中的一个，这时就一定会有两个球是同样颜色。 【详解】把红色、黑色、白色的球各3个放在同一个口袋里，至少要摸出4个球才能保证一定有两个球是同样颜色的。 故答案为：C 【练1】（21-22四年级下·北京房山·期末）把4个乒乓球放入三个盒子里，一定有一个盒子里至少放进( )个球。 【答案】2 【分析】把4个乒乓球放进三个盒子里，即将3个盒子当作三个抽屉，每个盒子放一个还剩一个，也就是说一定有一个盒子里至少放进2个球，据此解答。 【详解】4÷3＝1……1，即无论怎么放，至少有1个盒子里面放1＋1＝2个球。 【点睛】本题考查抽屉原理，理解概念是关键。 题型二、和差问题 【例2】（21-22四年级下·北京大兴·期末）盒子里有大、小两种钢珠共30颗，大钢珠比小钢珠少6颗。大钢珠有( )颗，小钢珠有( )颗。 【答案】 12 18 【分析】假设小钢珠少6颗则一样多，则共有30－6＝24（颗），由此用“24÷2”求出大钢珠的颗数，进而求出小钢珠的颗数。 【详解】大钢珠：（30－6）÷2 ＝24÷2 ＝12（颗） 小钢珠：30－12＝18（颗） 【点睛】此题主要考查了和差公式的应用，即：（和＋差）÷2＝较大数，（和－差）÷2＝较小数，或和－较大数＝较小数。 【练2】（24-25四年级下·北京通州·期末）明明家六月、七月共用电费268元，七月比六月多用电费82元，这两个月分别用去电费多少元？ 【答案】六月93元；七月175元 【分析】根据题意，先用两个月共用电费的钱数减去七月比六月多用的电费钱数，即可求出六月用的电费钱数的2倍是多少，除以2即可求出六月用了多少元电费，用两个月的电费和减去六月用的电费即可求出七月用了多少元电费，据此解答即可。 【详解】六月：（268－82）÷2 ＝186÷2 ＝93（元） 七月：268－93＝175（元） 答：六月用去电费93元，七月用去电费175元。 1．（23-24四年级下·北京顺义·期末）欣悦小学四年级组有18位老师。他们中至少有（    ）人是同一个生肖。 A．2 B．4 C．6 D．7 【答案】A 【分析】在此类抽屉问题中，至少数等于被分配的物体数除以抽屉数的商，再加上1（有余的情况下）。在本题中，被分配的物体数是18，抽屉数是12（生肖一共有12种），据此解答。 【详解】根据分析：18÷12＝1（人）……6（人），1＋1＝2（人），所以他们中至少有2人是同一个生肖。 故答案为：A 2．（21-22四年级下·贵州贵阳·期末）小明和小春共有邮票86枚，小春比小明少12枚，小明有邮票（    ）。 A．49枚 B．37枚 C．24枚 【答案】A 【分析】已知大小两个数的和与它们的差，求大、小两个数的问题； 解答方法： 小数＝（和－差）÷2，大数＝和－小数。 【详解】（86－12）÷2 ＝74÷2 ＝37（枚） 86－37＝49（枚） 所以小明有邮票49枚。 故答案为：A 【点睛】本题考查的是和差问题，熟练掌握分析中的方法是解答此题的关键。 3．（2022四年级上·全国·专题练习）全班共有学生45人，男生比女生多3人，问男生有（    ）人。 A．42 B．21 C．24 D．48 【答案】C 【分析】男生的人数＋女生的人数＝45人，男生的人数－女生的人数＝3人，则女生人数＝男生人数－3人，男生人数＋男生人数－3人＝45人，因此用45人加3人后，再除以2即可得到男生人数，依此计算。 【详解】45＋3＝48（人） 48÷2＝24（人） 即男生有24人 故答案为：C 【点睛】熟练掌握和差问题的计算是解答此题的关键。 4．（21-22四年级下·江苏南通·期末）张阿姨买一套衣服用了88元，上衣比裤子贵12元，上衣（    ）元。 A．50 B．38 C．76 D．100 【答案】A 【分析】可用和差问题公式“（和＋差）÷2＝大数，（和－差）÷2＝小数”解答。 【详解】上衣：（88＋12）÷2 ＝100÷2 ＝50（元） 故答案为：A 【点睛】分析题中数量之间的关系，根据数量之间的关系解决问题。 5．（20-21四年级下·江苏宿迁·期中）一辆卡车要运260吨货物，已经运了8趟，每趟运输的货物同样多，已经运的比没有运的少20吨，这辆卡车每趟运输货物（    ）吨。 A．10 B．15 C．20 【答案】B 【分析】根据（和－差）÷2＝小数，用运输货物总吨数减去已经运的比没有运的少的吨数再除以2即可算出已经运的吨数，用已经运的吨数除以运的趟数即可算出这辆卡车每趟运输货物吨数。 【详解】（260－20）÷2 ＝240÷2 ＝120（吨） 120÷8＝15（吨） 故答案为：B 【点睛】熟练掌握和差问题的计算是解答此题的关键。 6．（22-23四年级下·北京丰台·期末）把4枝花放到三个花瓶中，一定有一个花瓶里放进了( )枝或( )枝以上的花。 【答案】 2 2 【分析】把4枝花放到三个花瓶中，有以下四种情况，在每种情况下，都总有一个花瓶里至少有2枝花，据此解答。 【详解】把4枝花放到三个花瓶中，一定有一个花瓶里放进了2枝或2枝以上的花。 【点睛】本题考查抽屉问题，可以列举出所有可能的情况，再进行解答。 7．（21-22四年级下·北京丰台·期末）把4个乒乓球放到三个盒子中，一定有一个盒子里放进了( )个或( )个以上的乒乓球。 【答案】 2 2 【分析】根据题意可知，把4个乒乓球放到三个盒子中，有4种放法： （1） 4  0  0 （2） 3  1  0 （3） 2  2  0 （4） 2  1  1 由此得出不管哪种放法，都至少有一个盒子里放进了2个或2个以上的乒乓球，据此解答即可。 【详解】据分析可得： 把4个乒乓球放到三个盒子中，一定有一个盒子里放进了2个或 2个以上的乒乓球。 【点睛】本题是一道有关抽屉原理的题目，关键是掌握抽屉原理的基本内容。 8．（22-23四年级下·北京昌平·期末）停车场有小轿车和面包车共54辆，其中面包车比小轿车少14辆，停车场有小轿车( )辆，面包车( )辆。 【答案】 34 20 【分析】小轿车和面包车的数量和是54辆，二者的数量差是14辆，较少数量的面包车有（54－14）÷2辆。用两种车的数量和减去面包车的数量，求出小轿车的数量。 【详解】（54－14）÷2 ＝40÷2 ＝20（辆） 54－20＝34（辆） 停车场有小轿车34辆，面包车20辆。 【点睛】本题考查和差问题，小数＝（和－差）÷2，大数＝和－小数。 9．（24-25四年级下·山东济宁·期末）我的语文和数学两门课的平均成绩是94分，数学比语文多2分，语文得( )分，数学得( )分。 【答案】 93 95 【分析】语文和数学两门课的平均成绩是94分，先用平均成绩乘2求得语文和数学两门课的总成绩，数学成绩＝语文成绩＋2，所以语文成绩＝（总成绩－2）÷2，据此解答。 【详解】94×2＝188（分） （188－2）÷2 ＝186÷2 ＝93（分） 93＋2＝95（分） 因此，语文93分，数学95分。 10．（24-25四年级上·江苏南京·期中）一个不透明的口袋里有大小和质地完全相同的红、黄两种颜色的球各10个。一次最少摸出多少个球，才能保证有5个颜色相同的球？ 【答案】9个 【分析】此题属于抽屉问题，关键是找出“最坏情况”，然后进行分析，继而解答得出结论。最坏的结果是每种球都摸出4个，那么摸了4＋4＝8（个），再摸一个，就能得到5个颜色相同的球，从而得出问题的答案。 【详解】4＋4＋1＝9（个） 答：一次最少摸出9个球，才能保证有5个颜色相同的球。 11．（21-22四年级下·海南省直辖县级单位·期末）四年级共有60人参加学校体操队，其中男生比女生少12人。体操队的男生和女生分别有多少人？（先根据题意把线段图补充完整，再解答。） 【答案】图见详解；男生24人；女生36人 【分析】先根据已知条件把线段图补充完整，因为男生比女生少12人，所以虚线部分表示少12人，若给男生增加12人，则此时男生与女生人数相同，所以60加12求出和，再用所得和除以2即可求出女生的人数，最后用总人数减女生人数即可求出男生人数。据此解答。 【详解】 （60＋12）÷2 ＝72÷2 ＝36（人） 男生：60－36＝24（人） 答：体操队的男生有24人，女生36人。 【点睛】较大的数＝（和＋差）÷2，较小数＝和－较大数，根据和差问题公式直接计算。 12．（24-25四年级下·山西大同·期末）实验小学四年级“科技小发明”比赛中，四（1）班和四（2）班共制作作品128件。四（2）班比四（1）班多16件，两个班各制作多少件？（先根据题意把线段图补充完整，再解答） 【答案】图见详解； 四（1）班56件；四（2）班72件。 【分析】先画一条线段表示四（1）班的作品数量，即为所求的问题，在括号里填写“？件”，再画一条比它长的线段表示四（2）班的作品数量，即为所求的问题，在括号里填写“？件”，长的部分就是16件，两条线段的总长度就是128件。 用制作的总件数减去四（2）班比四（1）班多的16件，再除以2，即可求出四（1）班制作的件数，用四（1）班制作的件数加上16件，即可求出四（2）班制作的件数。 【详解】如图： （128－16）÷2 ＝112÷2 ＝56（件） 56＋16＝72（件） 答：四（1）班制作56件，四（2）班制作72件。 13．（24-25四年级下·安徽芜湖·期末）小明和小红一共有140枚邮票，如果小明给小红20枚，两人的邮票就同样多，小明和小红原来各有多少枚邮票？ 【答案】小明：90枚； 小红：50枚； 【分析】小明给小红20枚后两人邮票同样多，这说明小明原来比小红多的邮票数为：20×2＝40（枚）；两人邮票总数是140枚，小明比小红多40枚。如果把总数加上多出来的40枚，那么此时的数量就相当于小明邮票数的2倍。所以小明原有的邮票数为：（140＋40）÷2＝90（枚）；已知两人邮票总数是140枚，小明有90枚，那么小红原有的邮票数为：140－90＝50（枚）。据此解答。 【详解】（140＋20×2）÷2 ＝（140＋40）÷2 ＝180÷2 ＝90（枚） 140－90＝50（枚） 小明原来有90枚邮票，小红原来有50枚邮票。 14．（22-23四年级下·北京顺义·期末）社区物业工人在小区广场围了一个周长是32米的长方形花坛。如果这个长方形花坛的宽比长短2米，这个长方形花坛的面积是多少平方米？ 【答案】63平方米 【分析】花坛的周长除以2等于花坛长与宽的和，再根据（和＋差）÷2＝较大数，求出花坛的长，长减2等于花坛的宽，花坛的长乘宽即等于花坛的面积。 【详解】32÷2＝16（米） （16＋2）÷2 ＝18÷2 ＝9（米） 9×（9－2） ＝9×7 ＝63（平方米） 答：这个长方形花坛的面积是63平方米。 【点睛】本题是和差问题的实际应用，先求出花坛的长和宽是多少是解答本题的关键。 15．（23-24四年级下·北京顺义·期末）选两个相关信息，提出一个数学问题，并解答。 ①学校图书室有连环画836本    ②学校图书室有故事书和科技书共364本 ③连环画的本数比故事书的3倍少4本    ④故事书的本数比科技书多196本 所选信息：________________（只填序号） 提出问题：________________？ 【答案】②④； 故事书和科技书各有多少本； 故事书280本，科技书84本（选择的条件、提问答案不唯一） 【分析】可以选②学校图书室有故事书和科技书共364本，④故事书的本数比科技书多196本，可以提问：故事书和科技书各有多少本？由“故事书的本数比科技书多196本，以及故事书和科技书共364本”可知，用364减去多出的196本，剩下的本数可以看作是2个科技书的本数，那么先用364减去196计算出2个科技书的本数，再除以2计算出科技书的本数，最后加上196计算出故事书的本数；选择的条件、提问和回答合理即可，据此解答。 【详解】所选信息：②④ 提出问题：故事书和科技书各有多少本？ 科技书： （364－196）÷2 ＝168÷2 ＝84（本） 故事书：84＋196＝280（本） 答：故事书有280本，科技书有84本。（选择的条件、提问答案不唯一） 试卷第1页，共3页 第 1 页 共 9 页 学科网（北京）股份有限公司 $