第1章 2 任意角（教用Word）-【金榜题名】2025-2026学年高一数学必修第二册高中同步学案（北师大版）

本讲义聚焦高中数学“任意角”核心知识点，系统梳理角的概念推广（正角、负角、零角）、象限角的判断与集合表示、终边相同角的含义及表示方法。通过问题引导、知识填空和自主检验构建学习支架，衔接初中静止角到高中旋转角的概念过渡。 资料以现实情境（如体操转体动作）引发思考，结合例题解析与反思感悟，培养数学抽象（角的概念辨析）和直观想象（终边位置判断）核心素养。课中助力教师引导学生深化理解，课后学生可通过自主梳理与分层练习查漏补缺，提升知识应用能力。

§2　任意角 学习目标 素养要求 1．理解任意角的概念，能区分各类角． 2．掌握象限角的概念，会判断象限角，能用集合表示各类象限角． 3．掌握终边相同的角的含义及其表示方法，并能解决有关问题． 1．通过角的相关概念的学习，培养数学抽象的核心素养． 2．通过象限角、终边相同角的表示，提升直观想象的核心素养． [自主梳理] 知识点一　角的概念推广 [问题1]　 用旋转方式定义角时，角的构成要素有哪些？ 答：角的构成要素有始边、顶点、终边． [问题2]　在体操或跳水比赛中，运动员会做出“转体两周”“向前翻腾两周半”等动作，做上述动作时，运动员分别转体多少度？ 答：顺时针方向旋转了720°或逆时针方向旋转了720°，顺时针方向旋转了900°. [问题3]　如果一个角的始边与终边重合，那么这个角一定是零角吗？ 答：不一定，若角的终边未作旋转，则这个角是零角，若角的终边作了旋转，则这个角就不是零角． ►知识填空 1．角的概念 如图，平面内一条射线OA绕着它的__端点O按箭头所示方向旋转到终止位置OB__形成角α.其中点O是角α的__顶点__，射线OA是角α的__始边__，射线OB是角α的__终边__． 2．角的分类 按旋转方向不同将角分为三类 (1)正角：按__逆时针方向旋转__形成的角叫做正角． (2)负角：按__顺时针方向旋转__形成的角叫做负角． (3)零角：如果一条射线__没有作任何旋转__，我们称它形成了一个零角．这样，零角的始边与终边__重合__，如果α是零角，那么α＝__0°__． (4)如果一个角的终边沿逆时针或顺时针方向旋转360°的整数倍，那么所得新角的终边与原角的终边__重合__． 知识点二　象限角及其表示 [问题1]　 将角放在一个平面直角坐标系中，角的顶点在坐标原点，始边在x轴的非负半轴，旋转该角，则其终边(除端点外)可能落在什么位置？ 答：终边可能落在坐标轴上或四个象限内． [问题2]　在同一平面直角坐标系内作出30°，390°，－330°，750°角． (1)观察它们的终边有什么关系，这些角之间相差多少度？ 答：终边在相同的位置，它们之间相差360°的整数倍． (2)如何用30°的式子表示390°，－330°，750°？ 答：390°＝1×360°＋30°； －330°＝－1×360°＋30°； 750°＝2×360°＋30°. ►知识填空 1．象限角 将角放在一个平面直角坐标系中，角的顶点在__坐标原点__，始边在__x轴的非负半轴__．以角的终边(除端点外)在平面直角坐标系的位置对角分类：角的终边在第几象限，就说这个角是__第几象限角__；如果角的终边在坐标轴上，这个角就不属于__任何象限__． 2．终边相同角的表示 给定一个角α，所有与角α终边相同的角，连同角α在内，可构成一个集合S＝{β|β＝α＋k·360°，k∈Z}，即任何一个与角α终边相同的角，都可以表示成角α与__周角的整数倍__的和． [自主检验] 1．把一条射线绕着端点按顺时针方向旋转240°所形成的角的大小是(　　) A．120°　　　　　　　 B．－120° C．240° D．－240° 答案：D 2．如果α＝－21°，那么与α终边相同的角可以表示为(　　) A．{β|β＝k·360°＋21°，k∈Z} B．{β|β＝k·360°－21°，k∈Z} C．{β|β＝k·180°＋21°，k∈Z} D．{β|β＝k·180°－21°，k∈Z} 答案：B 3．795°角是(　　) A．第一象限角 B．第二象限角 C．第三象限角 D．第四象限角 答案：A 4．已知α＝30°，将其终边按逆时针方向旋转三周后的角度数为__________． 答案：1 110° 题型一　任意角的概念及其表示 [例1]　(1)给出下列说法： ①锐角都是第一象限角；②第一象限角一定不是负角；③第二象限角是钝角；④小于180°的角是钝角、直角或锐角． 其中正确命题的序号为________． (2)将时钟拨快20分钟，则分针转过的度数是__________． (3)射线OA绕端点O顺时针旋转80°到OB位置，接着逆时针旋转250°到OC位置，然后再顺时针旋转270°到OD位置，则∠AOD＝__________． 解析：(1)①锐角是大于0°且小于90°的角，终边落在第一象限，故是第一象限角，所以①正确； ②－330°角是第一象限角，但它是负角，所以②不正确； ③480°角是第二象限角，但它不是钝角，所以③不正确； ④0°角是小于180°的角，但它既不是钝角，也不是直角或锐角，故④不正确． (2)将时钟拨快20分钟，分针顺时针旋转120°，所以分针转过的度数为－120°. (3)如图． ∠AOD＝∠AOB＋∠BOC＋∠COD ＝(－80°)＋250°＋(－270°)＝－100°. 答案：(1)①　(2) －120°　(3) －100° [反思感悟] 理解与角的概念有关问题的关键 正确理解象限角与锐角、直角、钝角、平角、周角等概念，弄清角的始边与终边及旋转方向与大小．另外需要掌握判断结论正确与否的技巧，判断结论正确需要证明，而判断结论不正确只需举一个反例即可． 写出图1，2中的角α，β，γ的度数． 解析：题干图1中，α＝360°－30°＝330°； 题干图2中，β＝－360°＋60°＋150°＝－150°， γ＝360°＋60°＋(－β)＝360°＋60°＋150°＝570°. 题型二　象限角及其应用 [例2]　(1)分别判断角α＝－130°和β＝－940°是第几象限角； (2)若角α是第二象限角，试判断180°－α及2α是第几象限角． 解：(1)由于α＝－130°＝－360°＋230°，即α角与230°角终边相同，而230°角是第三象限角，故α是第三象限角． 由于β＝－940°＝－3×360°＋140°，即β角与140°角终边相同，而140°角是第二象限角，故β是第二象限角． (2)由α是第二象限角可得，90°＋k·360°<α<180°＋k·360°，k∈Z， 所以180°－(180°＋k·360°)<180°－α<180°－(90°＋k·360°)，k∈Z， 即－k·360°<180°－α<90°－k·360°，k∈Z. 所以180°－α是第一象限角． 同理，180°＋2k·360°<2α<360°＋2k·360°，k∈Z， 所以角2α可能是第三象限角或第四象限角或终边落在y轴的非正半轴上． [反思感悟] 象限角的判断方法 (1)根据图形判定，在平面直角坐标系中作出角，角的终边落在第几象限，此角就是第几象限角． (2)根据终边相同的角的概念，把角转化到0°～360°范围内，转化后的角在第几象限，此角就是第几象限角． (3)先根据已知条件得出角的范围，再在这个范围内判断角所在的象限． (1)给出下列四个结论：①－15°是第四象限角；②185°是第三象限角；③475°是第二象限角；④－350°是第一象限角．其中正确的个数为(　　) A．1　　　　　　　 B．2 C．3 D．4 (2)若角α满足α＝45°＋k·180°，k∈Z，则角α的终边落在(　　) A．第一或第三象限 B．第一或第二象限 C．第二或第四象限 D．第三或第四象限 答案：(1)D　(2)A 题型三　终边相同的角 [例3]　已知α＝－1 845°，在与α终边相同的角中，求满足下列条件的角． (1)最小的正角； (2)最大的负角； (3)－360°～720°之间的角． 解：因为－1 845°＝－45°＋(－5)×360°， 即－1 845°角与－45°角的终边相同， 所以与角α终边相同的角的集合是 {β|β＝－45°＋k·360°，k∈Z}， (1)最小的正角为315°. (2)最大的负角为－45°. (3)－360°～720°之间的角分别是－45°，315°，675°. [反思感悟] 与角α终边相同的角的表示方法 (1)所有与角α终边相同的角，连同角α在内(而且只有这样的角)可以用式子α＋k×360°，k∈Z表示． 在运用时，需注意以下几点： ①k是整数，这个条件不能漏掉； ②α是任意角； ③k×360°与α之间用“＋”号连接，如k×360°－30°应看成k×360°＋(－30°)，k∈Z. (2)要求在一定范围内与已知角终边相同的角，其方法是先求出与已知角终边相同的角，再变形构建含有参数k的不等式，然后在k的取值范围内取值即可． (1)若角2α与240°角的终边相同，则α等于(　　) A．120°＋k·360°，k∈Z B．120°＋k·180°，k∈Z C．240°＋k·360°，k∈Z D．240°＋k·180°，k∈Z (2)下列角的终边与37°角的终边在同一直线上的是(　　) A．－37° B．143° C．379° D．－143° 解析：(1)角2α与240°角的终边相同， 则2α＝240°＋k·360°，k∈Z， 则α＝120°＋k·180°，k∈Z. (2)与37°角的终边在同一直线上的角可表示为37°＋k·180°，k∈Z，当k＝－1时，37°－180°＝－143°. 答案：(1)B　(2)D [课堂小结] 1．对角的理解，初中阶段是以“静止”的眼光看，高中阶段应用“运动”的观点下定义，理解这一概念时，要注意“旋转方向”决定角的“正负”，“旋转幅度”决定角的“绝对值大小”． 2．关于终边相同的角的认识 一般地，所有与角α终边相同的角，连同角α在内，可构成一个集合S＝{β|β＝α＋k·360°，k∈Z}，即任一与角α终边相同的角，都可以表示成角α与整数个周角的和． (1)相等的角终边一定相同；终边相同的角不一定相等，终边相同的角有无数多个，它们相差360°的整数倍； (2)k∈Z这一条件不能少． 学科网（北京）股份有限公司 $