第1章 1 周期变化（教用Word）-【金榜题名】2025-2026学年高一数学必修第二册高中同步学案（北师大版）

本讲义聚焦三角函数中周期变化的核心知识点，系统梳理周期函数、周期及最小正周期的概念，通过钟表时针周期变化等生活实例引入，经问题驱动抽象出定义，再结合自主检验与题型示例实现从具体到抽象再到应用的学习支架构建。 该资料以问题链引导学习，如通过函数f(x+1)=f(x)的求值问题培养数学抽象，结合周期函数图象绘制分析性质提升直观想象。课中助力教师引导学生构建知识体系，课后自主检验与题型练习帮助学生巩固理解，有效查漏补缺。

第一章　三角函数 §1　周期变化 学习目标 素养要求 1．理解周期函数、周期、最小正周期的意义． 2．会用周期函数的定义，判断周期函数，并能求其周期． 1．通过周期定义的学习，培养数学抽象的核心素养． 2．通过周期定义的应用，提升直观想象的核心素养． [自主梳理] 知识点　周期函数与周期 [问题1]　 钟表的时针每12小时转一圈，它的变化是周期变化吗？ 答：是周期变化． [问题2]　已知函数f(x)的定义域为R且f(1＋x)＝f(x)，如果x∈(0，1)时，f(x)＝x. (1)计算f(2.5)的值； 答：f(2.5)＝f(1＋1.5)＝f(1.5)＝f(1＋0.5)＝f(0.5)＝0.5. (2)f(x)是周期函数吗？并求其最小正周期． 答：是周期函数，最小正周期为1. ►知识填空 1．周期函数、周期 一般地，对于函数y＝f(x)，x∈D，如果存在一个非零常数T，使得对任意的x∈D都有x＋T__∈__D且满足__f(x＋T)＝f(x)__，那么函数y＝f(x)称为周期函数，非零常数T称为这个函数的__周期__． 2．最小正周期 如果在周期函数y＝f(x)的所有周期中存在一个__最小的正数__，那么这个最小正数就称为函数y＝f(x)的最小正周期． [自主检验] 1．已知f(x)满足对∀x∈R，f(x＋2)＝f(x)，且x∈[1，3)时，f(x)＝log2x＋1，则f(2 024)的值为(　　) A．－1　　　　　　　 B．0 C．1 D．2 解析：选D　根据题意，f(x)满足对∀x∈R，f(x＋2)＝f(x)， 则f(x)是周期为2的周期函数， 则f(2 024)＝f(2＋2×1 011)＝f(2)＝log22＋1＝2. 2．若函数f(x)满足f(x＋3)－f(x)＝0，则函数f(x)是周期为__________的周期函数． 答案：3 3．设f(x)是定义在R上的周期为2的函数，当x∈[－1，0)时f(x)＝－4x2＋2，则f的值为 __________． 答案：1 4．“春去春又回”是周期变化吗？若是，说明其周期． 答案：每隔一年，春天就重复一次，因此“春去春又回”是周期变化，一年是它的周期． 题型一　周期函数的判断与求值问题 [例1]　定义在R上的函数f(x)满足f(x＋6)＝f(x).当x∈[－3，3)时，f(x)＝则f(1)＋f(2)＋f(3)＋…＋f(2 023)＋f(2 024)＝__________. 解析：f(x＋6)＝f(x)，故函数f(x)是T＝6的周期函数． f(1)＋f(2)＋f(3)＋f(4)＋f(5)＋f(6)＝1＋2－1＋0－1＋0＝1， 故f(1)＋f(2)＋f(3)＋…＋f(2 023)＋f(2 024)＝337×1＋1＋2＝340. 答案：340 [反思感悟] 1．函数周期性的判断 利用函数的周期性定义判断函数的周期只需证明f(x＋T)＝f(x)(T≠0)即可，有时也可画出f(x)的图象，直观判断f(x)的周期性． 2．周期函数的常见结论 周期函数y＝f(x)满足． (1)若f(x＋a)＝f(x－a)(a>0)，则函数的周期为2a． (2)若f(x＋a)＝－f(x)(a>0)，则函数的周期为2a． (3)若f(x＋a)＝－(a>0)，则函数的周期为2a． 已知f(x)的定义域为R，且f(x＋1)＝f(x－1)，当x∈[－1，1)时，f(x)＝则f的值为________． 答案：－1 题型二　周期函数的图象与性质 [例2]　定义在R上的函数f(x)满足f(1＋x)＝－f(x)，且当x∈[－1，1]时，f(x)＝1－x2. (1)画出函数f(x)在[－2，2]上的图象，并求其单调区间、零点、最大值； (2)求f(x)在区间[2n－1，2n＋1]上的解析式，其中n∈Z. 解：∵f(1＋x)＝－f(x)， ∴f(2＋x)＝－f(1＋x)＝f(x)， ∴f(x)是周期为2的周期函数． (1)当x∈[－1，1]时，f(x)＝1－x2，作出其图象， 又2是f(x)的周期， ∴当x∈[1，2]时，f(x)＝f(x－2)，作出其图象． 同理利用x∈[0，2]上的图象可得x∈[－2，0]上的图象． 由图象可知，当x∈[－2，2]时，单调递增区间为[－1，0]，[1，2]， 单调递减区间为[－2，－1]，[0，1]， 零点分别为－1，1，最大值为1. (2)当x∈[2n－1，2n＋1]时，即2n－1≤x≤2n＋1， ∴－1≤x－2n≤1，∴f(x－2n)＝1－(x－2n)2. 又2是f(x)的周期，∴f(x－2n)＝f(x)， 即当x∈[2n－1，2n＋1]时，f(x)＝1－(x－2n)2. [反思感悟] 根据函数的周期性，可以由函数局部的性质得到函数的整体性质，因此往往先研究函数一个周期上的性质． 已知函数y＝f(x)的图象如图所示，试回答下列问题． (1)求函数的周期； (2)画出函数y＝f(x＋1)的图象； (3)你能写出函数y＝f(x)的解析式吗？ 解：(1)可直接由函数y＝f(x)的图象得到其周期T＝2. (2)将函数y＝f(x)的图象向左平移1个单 位长度，就得到函数y＝f(x＋1)的图象，y＝f(x＋1)的图象如图所示． (3)可先求出定义域为一个周期的函数y＝f(x)，x∈[－1，1]的解析式，为y＝1－|x|，x∈[－1，1]，再根据函数y＝f(x)的图象和周期性，得到函数y＝f(x)的解析式y＝1－|x－2k|，x∈[2k－1，2k＋1]，k∈Z. [课堂小结] 1．周期函数与函数的周期． 2．周期性是继单调性、奇偶性之后的又一个函数基本性质，可由周期函数的局部性质得到函数的整体性质． 学科网（北京）股份有限公司 $