1.2二次函数的图像与性质同步练习2025-2026学年湘教版数学九年级下册

二次函数的图像与性质 一、单选题 1．已知点，，都在二次函数的图象上，则，，的大小关系为（   ） A． B． C． D． 2．点 是抛物线 上的点，且 ，则与的大小关系为（    ） A． B． C． D．无法确定 3．在一次函数中，y随x的增大而减小，则二次函数的图像大致是（　　） A． B． C． D． 4．已知点，都在二次函数的图象上，则与的大小关系为（    ） A． B． C． D．无法确定 5．关于抛物线，下列说法正确的是（    ） A．开口向上 B．对称轴是直线 C．顶点坐标是 D．时，y随x增大而增大 6．关于二次函数，下列说法正确的是（   ） A．函数图象的开口向下 B．函数图象的顶点坐标是 C．该函数的最大值是5 D．当时，y随x 的增大而增大 7．如图是二次函数的图象，则下列说法正确的是（　　） A． B． C． D． 8．如图是二次函数的大致图象，则一次函数的图象大致是（   ） A． B． C． D． 9．已知二次函数的图象如图所示，则图象与x轴正半轴交点M的横坐标是（   ） A．4 B．2 C．3 D． 10．二次函数图象如图，下列结论：；；③当时，；④．其中正确的有（    ） A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 二、填空题 11．抛物线和的形状相同，而开口方向相反，则a的值是 ． 12．请写出一个顶点在x轴上开口向下的抛物线的函数表达式： ． 13．二次函数图像的顶点坐标是 ． 14．已知二次函数的图象如图所示，那么点在第 象限． 15．将抛物线向左平移个单位长度，再向下平移个单位长度，所得到的抛物线解析式为 ． 16．如图，抛物线y=-x2+2x+1交x轴于A，B两点，交y轴于点C，点D为抛物线的顶点，点C关于抛物线的对称轴的对称点为点E，点G，F分别在x轴和y轴上，则四边形EDFG周长的最小值为 ． 三、解答题 17．已知函数． (1)指出它的图像的开口方向、对称轴和顶点坐标以及函数的最大值或最小值． (2)当x取何值时，y随x的增大而减小？ 18．已知二次函数（是常数） (1)若， ①该函数的顶点坐标为___________； ②当时，该函数的最大值___________； ③当时，该函数的最大值为___________； (2)当时，该函数的最大值为4，则常数的值为___________． 19．五点法画出函数的图象． (1)根据给出的自变量求其对应函数值，填入表格中； x 0 1 2 3 y (2)在直角坐标系中，画出上表中各对数值所对应的点，然后用平滑曲线连接这些点，画出函数图像． 20．已知二次函数，解决以下问题： (1)将其化成的形式：______； (2)用“五点法”画函数图象，先填表再画图； 0 1 2 3 6 (3)增减性：当______时，随增大而增大；当______时，随增大而减小． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 D C B C C D A D C C 1．D 【分析】本题考查了二次函数的图象与性质．利用抛物线的对称性及增减性即可求解，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键． 【详解】解：二次函数的图象关于轴对称， 关于轴的对称点为， ，且时，函数值随自变量的增大而减小， ； 故选：D． 2．C 【分析】本题考查的图象和性质，先判断出抛物线开口方向及对称轴，再根据点到对称轴的距离判断函数值的大小． 【详解】解：中 抛物线开口向下，对称轴为y轴，抛物线上离对称轴越远的点，函数值越小， ， ， 故选：C． 3．B 【分析】本题主要考查了一次函数图象的性质，二次函数图象的性质， 先根据一次函数图象的性质可知，可知抛物线的开口向下，再根据二次函数图象的性质可知其对称轴是，可得答案 【详解】解：∵一次函数中，y随着x的增大而减小， ∴， ∴抛物线的开口向下. ∵二次函数的对称轴是， ∴B符合题意. 故选：B 4．C 【分析】本题主要考查了二次函数的性质，解题的关键是掌握二次函数的性质． 根据二次函数解析式可知当时，y随x的增大而减小，进而求解即可． 【详解】解：∵二次函数解析式为， ∴二次函数开口向上，对称轴为直线， ∴当时，y随x的增大而减小， ∵， ∴． 故选：C． 5．C 【分析】本题考查二次函数的图象和性质．由二次函数解析式可得抛物线开口方向及顶点坐标，进而求解． 【详解】解：抛物线， ∵， ∴抛物线开口向下，对称轴，顶点坐标为， ∴当时，y随x的增大而减小，即时，y随x增大而减小， ∴只有C选项正确． 故选：C． 6．D 【分析】本题考查了二次函数的图象和性质．通过分析二次函数顶点式判断函数图象开口方向、顶点坐标、最值以及增减性即可求解． 【详解】解：∵二次函数，， ∴函数图象的开口向上，故A选项错误，不符合题意； ∵， ∴函数图象的顶点坐标是，该函数有最小值，最小值是，故B、C选项错误，不符合题意； ∴函数图象的对称轴为直线， ∴当时，y随x 的增大而增大，故D选项正确，符合题意； 故选：D 7．A 【分析】根据对称轴是直线，可得，即，即可判断A；根据抛物线开口判断，然后根据对称轴判断，抛物线交y轴于正半轴，，可判断B；由图象知：当时，，可判断C；由图可知时，可判断D． 本题考查了二次函数的图象与系数的关系，理解题意，熟练掌握二次函数的图像和性质是解题关键． 【详解】解：∵抛物线开口向下， ∴； ∵抛物线的对称轴为直线， ∴， ∴，故选项A正确； ∵， ∴， ∵抛物线交y轴于正半轴得：； ∴，故选项B错误； 由图象知：当时，， ∴， ∴，故选项C错误； 由图可知，时， ∴，故选项D错误． 故选：A． 8．D 【分析】本题考查了二次函数的性质、一次函数的性质，解答本题的关键是根据已知二次函数的图象判断系数、的符号．根据二次函数的图象开口方向、对称轴可以判断、的正负情况，从而可以判断一次函数的图象． 【详解】解：由二次函数的图象可知， ，， ， ， 一次函数的图象在第一、二、四象限． 故选：D． 9．C 【分析】本题考查抛物线与x轴的交点，由图象可知，抛物线的对称轴为直线，与x轴负半轴的交点横坐标是，根据抛物线的对称性可得图象与x轴正半轴交点M的横坐标是． 【详解】解：由图象可知，抛物线的对称轴为直线，与x轴负半轴的交点横坐标是， 图象与x轴正半轴交点M的横坐标是． 故选：C． 10．C 【分析】本题考查了二次函数的图象和性质，正确理解二次函数的性质是解题的关键．根据开口方向确定,根据抛物线的对称轴位置确定，与y轴的交点确定，根据对称轴方程推出，由图象可知，当时，，从而确定，当时，，即，以此确定本题答案． 【详解】解：抛物线开口向下， ， 抛物线的对称轴在y轴的右侧， ， ， 抛物线与y轴的交点在x轴的上方， ， ，故①错误； 抛物线的对称轴为直线， ，，故②正确； 抛物线的开口向下,对称轴为直线， 当时的函数值是最大值， ， ，故③正确； 由题图可知 时，， ，故④错误． 故选：C． 11．3 【分析】本题主要考查了二次函数的性质，抛物线的形状与有关，开口方向与a的正负有关． 【详解】解：∵抛物线和的形状相同， ∴二次项系数的绝对值相等，都为3； ∵开口方向相反， ∴二次项系数互为相反数， 即中，． 故答案为：3． 12．（答案不唯一） 【分析】本题考查了二次函数图象的性质，解题关键是熟记二次函数的性质，准确写出解析式． 根据题意，抛物线是形式，值为负即可． 【详解】解：根据题意，抛物线是形式，值为负， ∴符合条件的抛物线解析式可以为． 故答案为：（答案不唯一）． 13． 【分析】本题考查二次函数的顶点坐标，通过配方法将一般式化为顶点式即可求解． 【详解】解： ， 所以顶点坐标为 ， 故答案为 ：． 14．二 【分析】本题考查了二次函数的图象与性质、判断坐标点的象限，熟练掌握二次函数的图象与性质是解题的关键．根据二次函数的图象开口方向、与轴交点的位置得出，，再结合对称轴的位置得出，即可得出答案． 【详解】解：由图象知，二次函数的图象开口向下，与轴交于正半轴， ，， ， 由图象知，二次函数图象的对称轴， ， 点在第二象限． 故答案为：二． 15． 【分析】本题主要考查了二次函数图象的平移，掌握平移方法是解题的关键．根据左加右减，上加下减的方法计算即可． 【详解】解：由题意可得， 平移后得到的抛物线解析式为， 故答案为：． 16． 【分析】根据抛物线解析式求得点D（1，2）、点E（2，1），作点D关于y轴的对称点D′（-1，2）、作点E关于x轴的对称点E′（2，-1），从而得四边形EDFG的周长=DE+DF+FG+GE=DE+D′F+FG+GE′，当点D′、F、G、E′四点共线时，周长最短，据此根据两点间的距离公式可得答案． 【详解】解：如图， 在y=-x2+2x+1中，当x=0时，y=1，即点C（0，1）， ∵y=-x2+2x+1=-（x-1）2+2， ∴对称轴为x=1，顶点D（1，2）， 则点C关于对称轴的对称点E的坐标为（2，1）， 作点D关于y轴的对称点D′（-1，2），作点E关于x轴的对称点E′（2，-1）， 连接D′、E′，D′E′与x轴的交点G、与y轴的交点F即为使四边形EDFG的周长最小的点， 四边形EDFG的周长=DE+DF+FG+GE =DE+D′F+FG+GE′ =DE+D′E′ =， ∴四边形EDFG的周长的最小值为：． 故答案是：． 【点睛】本题主要考查抛物线与x轴的交点、轴对称-最短路线问题，根据轴对称的性质得出点F、G的位置是解题的关键． 17．(1)抛物线开口向下，对称轴是直线，顶点坐标为，当时，y有最大值2，无最小值 (2)当时，y随x的增大而减小 【分析】本题考查了二次函数的性质，根据顶点式可得抛物线的开口方向、对称轴和顶点坐标；根据，在对称轴右侧，y随x的增大而减少可得答案． 【详解】（1）解：在函数中，， 所以抛物线开口向下，对称轴是直线，顶点坐标为， 当时，y有最大值2，无最小值． （2）当时，y随x的增大而减小． 18．(1)①；②2；③ (2)2或． 【分析】本题主要考查二次函数的图象及性质，掌握二次函数的图象及性质并灵活应用是解题的关键． （1）根据函数表达式求最值，判断二次函数图象的增减区间，即可求解； （2）分析抛物线对称轴的不同位置判断最值并求解即可； 【详解】（1）解：当时，则二次函数 ①二次函数图像的顶点坐标为：； ②该抛物线的对称轴为， ∵， ∴当时，y随x的增大而减小；当时，y随x的增大而增大，当时，函数取得最大值为2； ∴当时，该二次函数的最大值为2； ③当时，该二次函数的最大值为． 故答案为：①；②2；③ （2）二次函数的对称轴为：，开口向下， 当时，，解得：（舍去）； 当时，，解得：（舍去）； 当时，，解得：； 综上，常数m的值为或． 故答案为：或． 19．(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题考查了求函数值，画二次函数的图象，解题的关键是数形结合． （1）把自变量的值代入函数式中，可以求得对应的函数值； （2）描点、连线得到二次函数的图象 【详解】（1）解：填表如下： x 0 1 2 3 y 9 4 1 0 1 4 9 （2）解：画出抛物线如下： 20．(1) (2)填表见解析；画图见解析 (3)； 【分析】本题主要考查了二次函数的性质，画二次函数图象，解题的关键是熟练掌握二次函数的性质． （1）用配方法将二次函数解析式化为顶点式即可； （2）将x对应的值代入函数解析式求出y的值，然后描点，画出函数图象即可； （3）根据函数的增减性，得出答案即可． 【详解】（1）解：； （2）解：填表如下： 0 1 2 3 6 3 2 3 6 描点，连线，画出函数图象，如图所示： （3）解：∵抛物线的开口向上，对称轴为直线， ∴当时，随增大而增大；当时，随增大而减小． 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $