立体几何解答题中档题专练-2026届高三数学二轮复习

立体几何 一、直线与平面夹角 1. 如图，在四棱锥中，平面，底面为直角梯形，其中． (1)证明：平面平面． (2)若点，，，在同一球面上，设该球面的球心为． （i）求球的表面积； （ii）求直线与平面所成角的大小． 2. 如图，在三棱锥中，平面，，平面平面，棱的中点为O．    (1)求证：平面； (2)若，到平面的距离为，求直线与平面所成角的正弦值． 3. 如图，平行四边形 中， 中点为 ，现以 为折痕把 折起，使点 到达点 的位置. (1)若 中点为 ，证明：平面 ； (2)若 ，求 与平面 所成角的正弦值. 4. 如图，在三棱锥中，底面是等腰直角三角形，底面是的中点，是的中点，且． (1)证明：平面； (2)求直线与平面所成角的正弦值． 5. 如图，在四棱锥中，底面为正方形，平面为中点． (1)求证：平面； (2)若，求直线与平面所成角的正弦值． 二、已知线面角求其他量 6. 如图，三棱台中，侧面四边形为等腰梯形，底面三角形为正三角形，且.设为棱上的点. (1)若为棱的中点，求证； (2)若三棱台的体积为7，且侧面底面，试探究是否存在点，使直线与平面所成角的正弦值为？若存在，确定点的位置；若不存在，说明理由. 7. 如图，在四棱锥中， 与均为等腰直角三角形，为的中点．平面 (1)求平面与平面的夹角的余弦值； (2)问在线段上，是否存在点，使直线与平面所成角的正弦值为，若存在，求点Q的位置；若不存在，说明理由． 8. 如图1，在边长为4的菱形中，，点分别是边的中点，与交于点与交于点.沿将翻折到的位置，连接，得到如图2所示的五棱锥. (1)证明：平面； (2)若平面平面，线段上是否存在一点，使得直线与平面所成角的正弦值为？若存在，试确定点的位置；若不存在，请说明理由. 9. 如图，在四棱锥中，底面为直角梯形，，，且平面平面，在平面内过，交于，连接． (1)求证：平面； (2)求二面角的余弦值： (3)在线段上存在一点，使直线与平面所成的角的正弦值为，求的长． 10. 如图，在四棱锥中，与均为等腰直角三角形，，为的中点．平面，.    (1)若分别为的中点，求证：平面； (2)求平面与平面所成角的余弦值. (3)问在线段上，是否存在点，使直线与平面所成角的正弦值为，若存在，求点的位置；若不存在，说明理由； 三、平面与平面所成角 11. 如图，在斜三棱柱中，，O是BC的中点． (1)求证：平面平面； (2)若底面ABC，且直线与底面ABC所成角为，D是棱的中点，求平面与平面ABC夹角的余弦值． 12. 如图，在三棱锥中，是边长2的等边三角形， . (1)证明：平面平面； (2)求点到平面的距离； (3)求二面角的正弦值. 13. 四棱锥中， 是的中点. (1)为的中点，为上一点，面，证明:为中点； (2)若面面，面面，求:平面与面夹角的余弦值. 14. 在四棱锥中，底面是边长为2的正方形，，分别是中点，与平面交于点，. (1)证明：是的中点； (2)求平面与平面夹角的大小； (3)求点到平面的距离. 15. 如图，点为正方形所在平面外一点，为中点，. (1)求证：平面； (2)若平面平面，，. ①若点到平面的距离为，求的值. ②当时，求平面与平面夹角的余弦值. 四、已知面面角求其他量 16. 如图，在四棱锥中，四边形为矩形，，．平面平面为的中点，点为线段上的动点（点不与点重合）． (1)求证：平面． (2)当时，求证：平面． (3)是否存在点，使得平面和平面夹角的余弦值为？若存在，求的值；若不存在，说明理由． 17. 如图，在四棱锥中，底面，底面为菱形，且，，点为棱的中点. (1)在棱上是否存在一点，使得平面？如果存在，确定点N的位置，如果不存在，请说明理由； (2)若二面角的余弦值为时，求棱的长度. 18. 如图，在四棱锥中，，底面ABCD是边长为2的菱形且.设为AD的中点且，点到平面ABCD的距离为. (1)求证：. (2)在线段PC上是否存在一点，使得锐二面角的余弦值为，若存在，说明点的位置；若不存在，请说明理由. 19. 如图，已知圆台，AB，CD，EF均为母线，四边形为圆台的轴截面，且，． (1)证明：； (2)求异面直线EF与BC所成角； (3)已知二面角的余弦值为，求圆台的高的长． 20. 如图①，在菱形中，且为的中点，将沿折起使，得到如图②所示的四棱锥，在四棱锥中，求解下列问题： (1)求证：； (2)在线段上是否存在一点，使得平面与平面夹角为？若存在，请求出的值；若不存在，请说明理由. 五、距离问题 21. 如图，在多面体中，平面平面，底面为直角梯形，，，，，． (1)证明：； (2)在线段上是否存在点，使得点到平面的距离为？若存在，求出的值；若不存在，说明理由． 22. 四棱锥，面，，，，，，M是PD中点. (1)求证：平面； (2)若， ①求平面PAB与平面PCD夹角的正弦值； ②在线段BD上是否存在点Q，使得点D到平面PAQ的距离为？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由. 23. 如图，在四棱锥中，侧面底面，侧棱，底面为直角梯形，其中为的中点. (1)求证：平面； (2)求平面与平面夹角的余弦值； (3)线段上是否存在，使得它到平面的距离为？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由. 24. 如图，在多面体中，四边形为直角梯形，且满足， ，，，平面. (1)证明：平面； (2)求平面与平面夹角的余弦值； (3)求点到平面的距离. 25. 如图，在四棱锥中，平面，，，，，为棱的中点． (1)求异面直线与成角的余弦值； (2)求点到平面的距离． 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 立体几何 一、直线与平面夹角 1. 如图，在四棱锥中，平面，底面为直角梯形，其中． (1)证明：平面平面． (2)若点，，，在同一球面上，设该球面的球心为． （i）求球的表面积； （ii）求直线与平面所成角的大小． 【答案】(1)证明见解析 (2)（i）；（ii） 【知识点】多面体与球体内切外接问题、证明面面垂直、线面角的向量求法 【分析】（1）由线面垂直可得，又，从而得平面，结合面面垂直判定定理即可得结论； （2）（i）建立空间直角坐标系，设球心的坐标为，从而可得球心坐标，从而得球的半径，即可得球的表面积；（ii）利用空间向量的坐标运算求解平面的一个法向量，结合线面夹角公式即可得直线与平面所成角的大小． 【详解】（1）因为平面平面， 所以， 又因为， 所以， 又平面， 所以平面， 又因为平面， 所以平面平面. （2）由（1）可得两两垂直，建立空间直角坐标系，如图所示． 则． 若在同一个球面上，则，设球心的坐标为， 有， 解得， 所以半径， 即球的表面积. （ii）由， 设平面的一个法向量为， 则， 取，则，所以， 设直线与平面所成角为， 则， 所以直线与平面所成角的大小为. 2. 如图，在三棱锥中，平面，，平面平面，棱的中点为O．    (1)求证：平面； (2)若，到平面的距离为，求直线与平面所成角的正弦值． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【知识点】证明线面垂直、面面垂直证线面垂直、线面角的向量求法 【分析】（1）根据三棱锥的几何性质，结合已知条件，利用线面垂直定理证明结论； （2）根据三棱锥的几何性质，结合已知条件，建立空间直角坐标系，得出相关点坐标，进而得出相关向量，并求出法向量，最后利用向量夹角的余弦公式计算求解． 【详解】（1）证明：平面，平面， ， ，， 为中点，， 平面平面平面，平面平面，平面， 平面，， 又平面，平面． （2）作，垂足为D， 平面平面，， 又平面，平面，， ，， ，，， 取中点E，连接为的中位线， ，平面， 以所在直线分别为x轴，y轴、z轴建立下图所示的空间直角坐标系，    则， ， 设平面的一个法向量为，则 即， 令，得，， ， 设直线与平面所成角为， ， 直线与平面所成角的正弦值为． 3. 如图，平行四边形 中， 中点为 ，现以 为折痕把 折起，使点 到达点 的位置. (1)若 中点为 ，证明：平面 ； (2)若 ，求 与平面 所成角的正弦值. 【答案】(1)证明见解析； (2). 【知识点】证明线面平行、线面角的向量求法 【分析】（1）取中点，证明四边形是平行四边形，则由线面平行的判定定理可证； （2）根据给定条件，建立空间直角坐标系，再由线面角的向量求法求解. 【详解】（1）取中点，连接，因为分别为中点，所以，且， 又四边形是平行四边形，且为中点，所以，且， 所以，且，所以四边形是平行四边形， 所以，又平面，平面， 所以平面. （2）在中，， 所以，所以， 因为，所以. 在中，， 所以，即，解得. 因为，所以，又，平面， 所以平面ABCD. 以为原点，分别以所在直线为轴建立空间直角坐标系， 则，所以， 设平面的法向量为，则，即，令，则， 所以是平面的一个法向量， 设直线与平面所成角为，则， 即直线与平面所成角的正弦值是. 4. 如图，在三棱锥中，底面是等腰直角三角形，底面是的中点，是的中点，且． (1)证明：平面； (2)求直线与平面所成角的正弦值． 【答案】(1)证明见解析 (2)． 【知识点】证明线面平行、线面角的向量求法 【分析】（1）在平面内，过点作，以为坐标原点，分别以所在直线为轴､轴､轴建立空间直角坐标系，利用直线方向向量与平面法向量垂直即可证明结论； （2）求出以及平面的法向量，再利用空间向量夹角公式求解即可． 【详解】（1）在平面内，过点作，由题知，， 所以，所以．因为底面，且在平面内， 所以，所以两两垂直， 以为坐标原点，分别以所在直线为轴､轴､轴建立空间直角坐标系如图所示， 则，， 设，因为，所以 所以，所以， 易知平面的一个法向量为， 所以，所以，又因为平面． 所以平面． （2）由（1）知，， 设平面的法向量为， 则 令，得，所以， 设直线与平面所成角为， 又，所以， 所以直线与平面所成角的正弦值为． 5. 如图，在四棱锥中，底面为正方形，平面为中点． (1)求证：平面； (2)若，求直线与平面所成角的正弦值． 【答案】(1)见解析 (2) 【知识点】证明线面平行、线面角的向量求法 【分析】（1）连接，交于点，连接，由已知可得，然后根据线面平行的判定定理得出证明； （2）建立空间直角坐标系，求出以及平面的法向量的坐标，根据向量法求解即可得出答案. 【详解】（1）连接，交于点，则是的中点，连接. 因为分别是的中点，所以. 又因平面，平面， 所以平面. （2）因平面，底面为正方形，即两两垂直， 故可以点为原点，所在直线分别为轴建立空间直角坐标系， 则，，，，，， 所以，，. 易得即为平面的一个法向量. 设直线与平面所成角为， 因为， 所以， 所以直线与平面所成角的正弦值为． 二、已知线面角求其他量 6. 如图，三棱台中，侧面四边形为等腰梯形，底面三角形为正三角形，且.设为棱上的点. (1)若为棱的中点，求证； (2)若三棱台的体积为7，且侧面底面，试探究是否存在点，使直线与平面所成角的正弦值为？若存在，确定点的位置；若不存在，说明理由. 【答案】(1)证明见解析 (2)存在，当与点重合时，直线与平面所成角的正弦值为. 【知识点】台体体积的有关计算、证明线面垂直、面面垂直证线面垂直、已知线面角求其他量 【分析】（1）取中点，先证平面，再通过线面垂直得到线线垂直. （2）先根据台体的体积公式求台体的高，再建立空间直角坐标系，利用空间向量和线面角的正弦值求点的坐标，确定点位置. 【详解】（1）如图： 取中点，连接，， 因为四边形为等腰梯形，且为中点，所以. 又为正三角形，所以. 平面，，所以平面. 又平面，所以. （2）设中点为，连接，则. 又侧面底面，侧面底面，侧面， 所以底面. 又底面，所以，， 又，所以两两垂直. 故可以为原点，所在的射线分别为轴建立如图空间直角坐标系. 又，所以，. 所以， 由. 所以，，， 设（）. 则，，. 设平面的法向量为， 则，可取. 设直线与平面所成的角为， 则. 由， 所以或（因为，故舍去）. 此时与点重合. 所以当与点重合时，直线与平面所成角的正弦值为. 7. 如图，在四棱锥中， 与均为等腰直角三角形，为的中点．平面 (1)求平面与平面的夹角的余弦值； (2)问在线段上，是否存在点，使直线与平面所成角的正弦值为，若存在，求点Q的位置；若不存在，说明理由． 【答案】(1) (2)存在，理由见解析 【知识点】求平面的法向量、已知线面角求其他量、面面角的向量求法、空间线段点的存在性问题 【分析】（1）设，根据等腰三角形的性质及条件，可求得各个长度和夹角，进而可证四边形ADCE为正方形，根据线面垂直的性质定理，可证两两垂直，如图建系，求得各点坐标和所需向量坐标，进而可求得平面和平面的法向量，根据二面角的向量求法，即可求得答案. （2）假设存在点Q，设，即可得的坐标，求出平面的法向量，根据线面角的向量求法，计算分析，即可得答案. 【详解】（1）因为与均为等腰直角三角形，， 所以，即， 所以， 设，则，则 所以，即， 连接AE，因为E为BC中点，， 所以四边形ADCE为正方形，则， 因为平面，平面， 所以，即两两垂直， 以A为原点，为x，y，z轴正方向建系，如图所示， 则， 所以， 因为平面在面内，所以即为平面的法向量， 设平面的法向量， 则，即， 令，则，则， 所以，而平面与平面的夹角为锐二面角或直角， 所以平面与平面的夹角的余弦值. （2）由（1）得 假设存在点，设， 所以， 设平面的法向量， 则，即， 令，则，则， 设直线与平面所成角为， 则， 整理得，解得或1， 故存在点Q为端点P或端点B时，使直线与平面所成角的正弦值为 8. 如图1，在边长为4的菱形中，，点分别是边的中点，与交于点与交于点.沿将翻折到的位置，连接，得到如图2所示的五棱锥. (1)证明：平面； (2)若平面平面，线段上是否存在一点，使得直线与平面所成角的正弦值为？若存在，试确定点的位置；若不存在，请说明理由. 【答案】(1)证明见解析 (2)存在，为上靠近的三等分点 【知识点】已知线面角求其他量、证明线面垂直 【分析】（1）根据题设先得到，进而求证即可； （2）建立空间直角坐标系，利用空间向量求解即可. 【详解】（1）证明：折叠前，四边形是菱形，所以，.. 由于分别是边的中点，所以，故，. 折叠过程中，平面. 所以平面. （2）当平面平面时，由平面平面，平面，， 所以平面，又平面，故， 建立如下图空间直角坐标系， 则. 所以，设则. ，， 设平面的法向量为， 则， 取，则，而， 设直线与平面的夹角为， 则，解得， 所以为上靠近的三等分点，满足题设要求. 9. 如图，在四棱锥中，底面为直角梯形，，，且平面平面，在平面内过，交于，连接． (1)求证：平面； (2)求二面角的余弦值： (3)在线段上存在一点，使直线与平面所成的角的正弦值为，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) (3) 【知识点】面面角的向量求法、已知线面角求其他量、面面垂直证线面垂直、证明线面垂直 【分析】（1）由线面垂直的判定定理可证； （2）建立恰当的空间直角坐标系，由二面角的向量求法求解； （3）设，根据线面角的向量求法，求得参数的值，从而求得的长． 【详解】（1）因为平面平面，平面平面，平面， 所以平面. 因为平面，所以. 直角梯形中，， 所以四边形为矩形，所以. ，，所以. 由正弦定理，得，所以. 中，. 所以，所以. 因为平面，所以平面. （2）由（1）知两两垂直，以为坐标原点，分别以所在直线为轴建立空间直角坐标系. 则. 所以. 设平面的法向量为， 则，所以。 令，则.所以面的一个法向量为； 设平面的法向量为， ，所以. 令，则.所以面的一个法向量为. 所以. 由图可知二面角是钝角，所以二面角的余弦值为. （3）设，则. 由（1）知平面，所以平面的一个法向量为. 所以 直线与平面所成的角的正弦值为，所以， 化简得，解得. 所以. 10. 如图，在四棱锥中，与均为等腰直角三角形，，为的中点．平面，.    (1)若分别为的中点，求证：平面； (2)求平面与平面所成角的余弦值. (3)问在线段上，是否存在点，使直线与平面所成角的正弦值为，若存在，求点的位置；若不存在，说明理由； 【答案】(1)证明见解析 (2) (3)存在，点与点P重合或点与点重合 【知识点】证明线面平行、已知线面角求其他量、面面角的向量求法、空间线段点的存在性问题 【分析】（1）取的中点，的中点，连接，证明四边形为平行四边形进而得到，再根据线面平行的判定定理即可证明； （2）根据题意，建立空间直角坐标系，利用坐标法求解即可； （3）假设存在，利用向量方法求解即可. 【详解】（1）取的中点，的中点，连接，   与为等腰直角三角形且， 不妨设，，. 分别为的中点， ，且. ，， ，，∴四边形为平行四边形， ， 平面PAB，平面PAB， 平面PAB； （2）平面， 以为原点，所在直线分别为轴建立如图所示的空间直角坐标系，    设，， 则， ， 设平面的一个法向量为 ，即，得 设平面得一个法向量， ∴，即，得 ∴ ∴平面与平面所成角的余弦值为 （3）设平面的一个法向量为， ，由（2）得， 取，，. 假设存在一点，使直线与平面所成角的正弦值为， 设， ∴， 设直线与平面所成角为， 则 ， 整理得，解得或，此时点与点重合或与点重合， 所以，当点与点P重合时或点与点重合时， 直线与平面所成角的正弦值为. 三、平面与平面所成角 11. 如图，在斜三棱柱中，，O是BC的中点． (1)求证：平面平面； (2)若底面ABC，且直线与底面ABC所成角为，D是棱的中点，求平面与平面ABC夹角的余弦值． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【知识点】证明面面垂直、面面角的向量求法 【分析】（1）利用条件得出三角形全等，进而得到线线垂直，结合面面垂直的判定定理可证结论； （2）根据线面角得出长度关系，建立坐标系，求解平面的法向量，结合向量夹角可得答案. 【详解】（1）证明:连接, 因为，O是BC的中点，因此， 又因为,所以与全等， 因此,又O是BC的中点，因此， 又，平面, 因此平面，又平面,所以平面平面. （2）不妨设，由题意可得，因此, 因为底面ABC，所以AO是直线在平面ABC内的射影， 因此为直线与底面ABC所成的角，所以， 由可得； 以为坐标原点，所在直线分别为轴，建立空间直角坐标系，则 ，， ,,; ,; 设平面的一个法向量为，则， 令，则，即； 因为底面ABC，所以平面ABC的一个法向量为， 设平面与平面ABC夹角为，则， 即平面与平面ABC夹角的余弦值为. 12. 如图，在三棱锥中，是边长2的等边三角形， . (1)证明：平面平面； (2)求点到平面的距离； (3)求二面角的正弦值. 【答案】(1)证明见解析 (2) (3) 【知识点】证明线面垂直、证明面面垂直、面面角的向量求法、点到平面距离的向量求法 【分析】（1）取AB中点O，连接PO，CO，根据等边及等腰三角形的性质，可证，，根据勾股定理，可求得PO，CO的长，根据AC的长，结合勾股定理，可证，根据线面垂直的判定定理，可证平面，根据面面垂直的判定定理，即可得证. （2）如图建系，求得各点坐标和各个所需向量坐标，可求得平面的法向量，根据点到平面距离的向量求法，代入数据，即可得答案. （3）求出平面PBC的法向量，根据二面角的向量求法，可求得二面角的余弦值，根据同角三角函数的关系，即可得答案. 【详解】（1）证明：取AB中点O，连接PO，CO，如图所示， 因为是边长为2 的等边三角形，O为AB中点， 所以，且， 因为，O为AB中点， 所以，且， 因为，所以，所以， 因为，平面， 所以平面， 所以平面，所以平面平面. （2）由（1）得两两垂直，则以O为原点，所在直线为x，y，z轴建系，如图所示， 则， 所以， 设平面的法向量， 则，即， 令，则，即， 所以点到平面的距离 （3）设平面PBC的法向量， 所以，即， 令，则，即， 由（2）得平面的法向量， 所以， 所以，即二面角的正弦值 13. 四棱锥中， 是的中点. (1)为的中点，为上一点，面，证明:为中点； (2)若面面，面面，求:平面与面夹角的余弦值. 【答案】(1)证明见解析； (2) 【知识点】证明线面平行、面面垂直证线面垂直、面面角的向量求法、线面平行的性质 【分析】(1)利用线面平行证明线线平行，再利用线线平行证明线面平行，最后证明四边形是平行四边形，从而可得是的中位线，即问题可得证； (2)利用空间向量法来求两平面夹角余弦值即可. 【详解】（1） 取的中点为由三点确定一个平面，交于点， 由面，平面，平面平面， 可得， 又因为为的中点，所以， 又因为，所以， 由平面，平面，所以平面， 又因为平面，平面平面，所以， 又因为，所以， 则四边形是平行四边形，故， 又因为， 是的中点.， 所以，结合， 可得是的中位线，即为中点; （2）由可得， 连接，可得四边形是正方形，即可得，所以， 所以，即， 因为面面，面面，面， 所以面，又因为面，所以， 又因为面面面面，面， 所以面， 如图建立空间直角坐标系，令，则， 即， 所以 设平面的法向量为， 则， 令，得，所以， 由于面，所以平面的法向量可以取， 设平面与面的夹角为， 则， 故平面与面的夹角余弦值为. 14. 在四棱锥中，底面是边长为2的正方形，，分别是中点，与平面交于点，. (1)证明：是的中点； (2)求平面与平面夹角的大小； (3)求点到平面的距离. 【答案】(1)证明见解析 (2) (3) 【知识点】面面角的向量求法、点到平面距离的向量求法、由线面平行的性质判断线段比例或点所在的位置 【分析】（1）根据线面平行的判定定理证明平面，再根据线面平行的性质定理推出，即可证明结论； （2）说明两两垂直，即可建立空间直角坐标系，求出平面的法向量，根据空间角的向量求法，即可求得答案； （3）根据空间距离的向量求法，即可求得答案. 【详解】（1）在四棱锥中，底面是边长为2的正方形，故， 则，而平面，平面，故平面， 又平面平面，平面，故， 是中点，故是的中点； （2）取的中点为O，连接， 因为，故，且, 而，则，即得, 则两两垂直， 以O为原点，为x轴，为y轴，为z轴，建立空间直角坐标系， 则， 则， 设平面的一个法向量为 ， 则 ， ，令，则，则， 平面的一个法向量可取为， 平面与平面的夹角为， 故， 平面与平面夹角的大小为； （3）由（2）可知，则, 故点到平面的距离为. 15. 如图，点为正方形所在平面外一点，为中点，. (1)求证：平面； (2)若平面平面，，. ①若点到平面的距离为，求的值. ②当时，求平面与平面夹角的余弦值. 【答案】(1)证明见解析 (2)①；② 【知识点】证明线面平行、面面角的向量求法、点到平面距离的向量求法 【分析】（1）连接交于点，连接，即可得到，从而得证； （2）①由面面垂直的性质得到平面，即可建立空间直角坐标系，求出平面的法向量，利用空间向量法得到方程，求出的值；②求出平面的法向量，利用空间向量法计算可得. 【详解】（1）连接交于点，连接， 因为四边形是正方形，所以为中点，又因为为中点， 所以在中，有，因为平面，平面， 所以平面； （2）①在正方形中，有， 因为平面平面，平面平面，平面， 所以平面，因为平面，所以，又， 故为坐标原点，分别以，，方向为轴，轴，轴的正方向，建立空间直角坐标系，如图所示， 则有，，，，， 则，，，， 设为平面的法向量，则有，即， 取，得，，则， 点到平面的距离为，解得； （ii）当时，，， 设为平面的法向量，则有， 即，取，得，，则， 由①可知是平面的一个法向量， 设平面与平面夹角为，所以， 所以平面与平面夹角的余弦值为. 四、已知面面角求其他量 16. 如图，在四棱锥中，四边形为矩形，，．平面平面为的中点，点为线段上的动点（点不与点重合）． (1)求证：平面． (2)当时，求证：平面． (3)是否存在点，使得平面和平面夹角的余弦值为？若存在，求的值；若不存在，说明理由． 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 (3)存在，或. 【知识点】证明线面平行、证明线面垂直、已知面面角求其他量 【分析】（1）连接交于点，连接，可证，再由线面平行的判定证明平面即可； （2）根据题意先证平面，进而得到两两垂直，再以为坐标原点建立空间直角坐标系，利用向量证明，再由线面垂直的判定证明即可； （3）设，平面的一个法向量为，求得，结合平面和平面夹角的余弦值为进行求解即可． 【详解】（1）证明：如图，连接交于点，连接. 因为四边形是矩形，所以为的中点． 又因为为的中点，所以在中，. 因为平面平面，所以平面. （2）证明：因为，所以． 又因为平面平面，平面平面平面， 所以平面. 因为平面，所以． 因为，所以两两垂直． 以点为坐标原点，分别以的方向为轴、轴、轴的正方向， 建立如图所示的空间直角坐标系， 则， 所以. 因为，所以． 因为 ， 所以，即. 又因为平面平面， 所以平面. （3）解：设， 则． 设平面的法向量为， 则 即 令，则， 所以， 取平面的法向量， 则 ， 化简得，解得或． 所以或． 17. 如图，在四棱锥中，底面，底面为菱形，且，，点为棱的中点. (1)在棱上是否存在一点，使得平面？如果存在，确定点N的位置，如果不存在，请说明理由； (2)若二面角的余弦值为时，求棱的长度. 【答案】(1)存在，点N为的中点 (2) 【知识点】证明线面平行、证明面面平行、面面角的向量求法、已知面面角求其他量 【分析】（1）取的中点，可得平面平面，根据面面平行的性质可得，进而可得结果； （2）建系标点，设，分别求平面、平面的法向量，利用空间向量的夹角公式求得，从而得到的长度. 【详解】（1）取的中点，连接，， 因为分别为的中点，则， 且平面，平面，可得平面， 又因为平面，，平面， 可得平面平面， 且平面平面，平面平面，可得， 由题意可知：，则四边形为平行四边形， 可得，即点为的中点， 所以棱上是存在一点，使得平面，此时点为的中点. （2）取的中点，连接， 由题意可知：为等边三角形，则， 且，可得， 又因为底面，则可以为坐标原点，所在直线分别为轴，建立空间直角坐标系， 设，则，，，，， 可得，，， 设平面的法向量，则， 令，则，，可得， 且平面的法向量， 由题意可得：， 解得（舍去负值），所以. 18. 如图，在四棱锥中，，底面ABCD是边长为2的菱形且.设为AD的中点且，点到平面ABCD的距离为. (1)求证：. (2)在线段PC上是否存在一点，使得锐二面角的余弦值为，若存在，说明点的位置；若不存在，请说明理由. 【答案】(1)证明见解析 (2)存在，点为线段PC上靠近的三等分点处 【知识点】已知面面角求其他量 【分析】（1）由线面垂直的判定定理证明平面，再证明线线垂直即可； （2）建立空间直角坐标系，根据向量法求锐二面角的余弦，即可确定点的位置. 【详解】（1）因为，且为AD的中点，所以. 又因为四边形是边长为2的菱形且， 所以，因为，平面 所以平面，因为平面， 所以，又因为， 所以. （2）由（1）知，平面，且平面. 所以平面平面，且平面平面. 过点作平面的垂线，垂足为，则. 因为，所以. 因为，所以. 以点为坐标原点，为轴，为轴，建立如图所示的空间直角坐标系， 则，. 所以. 设为上一点，则. 所以. 设平面的法向量为， 由，得，令， 则，即， 又平面的一个法向量为. 由题意，得，解得. 即当点为线段PC上靠近的三等分点处时，锐二面角的余弦值为. 19. 如图，已知圆台，AB，CD，EF均为母线，四边形为圆台的轴截面，且，． (1)证明：； (2)求异面直线EF与BC所成角； (3)已知二面角的余弦值为，求圆台的高的长． 【答案】(1)证明见解析； (2)； (3)1. 【知识点】圆台的结构特征辨析、面面平行证明线线平行、异面直线夹角的向量求法、已知面面角求其他量 【分析】（1）利用圆台的结构特征，结合面面平行的性质推理得证. （2）根据给定条件证得，再以为原点建立空间直角坐标系，利用空间向量数量积求得异面直线夹角. （3）求出平面与平面的法向量，利用面面角的向量法列式求解. 【详解】（1）在圆台中，由为该圆台的母线，得延长线交于一点， 而平面平面，平面平面，平面平面， 所以. （2）连接，由直线为圆台的轴，得延长线交于一点， 由（1）同理得，由，得， 则，而，因此，直线两两垂直， 以为原点，直线分别为轴建立空间直角坐标系， 设， 则， ，则，即， 所以异面直线EF与BC所成角为. （3）由（2）得， 设平面与平面的法向量分别为， 则，取，得， ，取，得， 由二面角的余弦值为， 得， 解得，所以圆台的高的长为1. 20. 如图①，在菱形中，且为的中点，将沿折起使，得到如图②所示的四棱锥，在四棱锥中，求解下列问题： (1)求证：； (2)在线段上是否存在一点，使得平面与平面夹角为？若存在，请求出的值；若不存在，请说明理由. 【答案】(1)证明见解析 (2)存在， 【知识点】线面垂直证明线线垂直、已知面面角求其他量 【分析】（1）连接，结合等边三角形性质和勾股定理，利用线面垂直的判定定理证得平面，再利用线面垂直的性质定理证明即可； （2）建立空间直角坐标系，设，求出平面与平面的法向量，利用空间向量平面夹角公式列方程求得，即可得解. 【详解】（1）在图（1）中，连接，如图所示： 因为四边形为菱形，，所以是等边三角形. 因为为的中点，所以. 又，所以. 在图（2）中，，所以，即. 因为，所以. 又平面.所以平面. 因为平面，所以. （2）由（1）知，. 因为，平面.所以平面. 故以为原点，所在直线分别为轴，轴，轴，建立空间直角坐标系： 则， 所以， ， 所以. 设平面的一个法向量为， 由，得， 令得. 平面的一个法向量可取. 令，解得， 所以存在点，使得平面与平面夹角为，此时. 五、距离问题 21. 如图，在多面体中，平面平面，底面为直角梯形，，，，，． (1)证明：； (2)在线段上是否存在点，使得点到平面的距离为？若存在，求出的值；若不存在，说明理由． 【答案】(1)证明见解析 (2)存在，． 【知识点】线面垂直证明线线垂直、面面垂直证线面垂直、点到平面距离的向量求法 【分析】（1）根据勾股定理可证得，再根据平面平面得到平面，进而求证即可； （2）建立空间直角坐标系，利用点到平面距离的空间向量公式求解即可. 【详解】（1）因为，，， 所以，则． 因为平面平面，平面平面，平面， 所以平面， 又因为平面，所以． （2）存在，由（1）知，平面且， 以为坐标原点，，，的方向分别为轴，轴，轴的正方向建立空间直角坐标系， 则，，，，，， 所以，， 设， 则． 设平面的一个法向量为， 则，故可取． 设点到平面的距离为， 则，解得或（舍）． 所以在线段上存在点，且． 22. 四棱锥，面，，，，，，M是PD中点. (1)求证：平面； (2)若， ①求平面PAB与平面PCD夹角的正弦值； ②在线段BD上是否存在点Q，使得点D到平面PAQ的距离为？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由. 【答案】(1)证明见解析 (2)①②存在， 【知识点】证明线面平行、面面角的向量求法、点到平面距离的向量求法 【分析】（1）取中点，连接，根据线线平行证明线面平行； （2）①建立空间直角坐标系，利用坐标法可求得平面的法向量，利用向量法可得面面角余弦值，再由同角三角函数的基本关系求正弦值；②设，利用向量法表示点到平面的距离，列方程，解方程即可. 【详解】（1） 取中点，为中点， ，且， 又，， ，且， 四边形为平行四边形，即， 平面，平面， 平面； （2） ①平面，且， 则以点为坐标原点，，，方向为轴，轴，轴建立空间直角坐标系， 得，，，，， ，，，， 易知平面的一个法向量为， 设平面的法向量为， 则，令，则， ， 平面与平面所成角的正弦值为； ②存在点满足题意， 易知，， 假设存在点满足题意，设，， ，， 设平面的法向量为， 则，令，则， 所以点到平面的距离， 化简可得，解得或（舍去），即. 23. 如图，在四棱锥中，侧面底面，侧棱，底面为直角梯形，其中为的中点. (1)求证：平面； (2)求平面与平面夹角的余弦值； (3)线段上是否存在，使得它到平面的距离为？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由. 【答案】(1)证明见解析 (2) (3)存在， 【知识点】面面垂直证线面垂直、面面角的向量求法、点到平面距离的向量求法、空间线段点的存在性问题 【分析】（1）已知侧面底面，应用面面垂直性质定理证明线面垂直； （2）建立空间向量求出平面PAD的法向量和平面的法向量，再应用二面角余弦公式计算求解； （3）设点，再应用点到平面距离公式计算求参即可. 【详解】（1）为的中点， 侧面底面. 侧面底面平面， 平面. （2）∵底面为直角梯形， 其中， ，又平面， ∴以为原点，所在直线为轴，所在直线为轴，所在直线为轴，建立 如图所示的空间直角坐标系. 则， ， 设平面PAD的法向量. 设平面的法向量， 则，取，得. 设平面与平面夹角为， 则， 故平面与平面夹角的余弦值为. （3）设线段上存在， 使得它到平面的距离为， 到平面的距离， 解得或（舍去）， 则，则 24. 如图，在多面体中，四边形为直角梯形，且满足， ，，，平面. (1)证明：平面； (2)求平面与平面夹角的余弦值； (3)求点到平面的距离. 【答案】(1)证明过程详见解析. (2) (3) 【知识点】证明线面垂直、面面角的向量求法、点到平面距离的向量求法 【分析】（1）根据线面垂直的判定定理证明即可. （2）建立空间直角坐标系，求出相关点坐标和向量，进而求出平面法向量，最后根据向量夹角公式求出二面角的余弦值. （3）根据点到平面的距离公式，利用（2）中求出的平面法向量和相关向量计算即可. 【详解】（1）因为平面，平面，所以. 又，，，平面，所以平面. 又平面，所以. 由已知条件可知，四边形是正方形，所以. 又，，平面，所以平面. （2）以点为原点，以、、所在直线为轴、轴、轴建立空间直角坐标系， 因为，可得，，，，，. 则，. 设平面的一个法向量为，则 ，即，所以，令，则， 所以平面的一个法向量为. 由（1）知，平面，所以为平面的一个法向量. 设平面与平面的夹角为， 则. 所以平面与平面夹角的余弦值为. （3），平面的法向量为. 又，， 点到平面的距离为. 25. 如图，在四棱锥中，平面，，，，，为棱的中点． (1)求异面直线与成角的余弦值； (2)求点到平面的距离． 【答案】(1) (2) 【知识点】异面直线夹角的向量求法、点到平面距离的向量求法 【分析】（1）利用已知条件及四棱锥的几何性质，求出相应的边长，建立空间直角坐标系，求出相关点坐标及向量坐标，利用向量夹角余弦公式计算求解； （2）先求出平面的法向量，再利用点到平面的距离公式计算求解． 【详解】（1）平面，，平面， 互相垂直， 以为坐标原点，建立下图所示空间直角坐标系， ，为棱的中点， ， ， ， ． （2）设平面的法向量为， ， ，令，则， ， 点到平面的距离． 1 学科网（北京）股份有限公司 $