概率解答题专练-2026届高三数学二轮复习

概率 一、条件概率、全概率公式 1. 某市为推广新能源汽车，对购买不同品牌新能源汽车的消费者实施差异化补贴政策.根据市场调研，品牌A和品牌B在该市新能源汽车市场中占据主导地位，购买品牌A，B的新能源汽车均有补贴.假设该市选择品牌A的消费者占60%，选择品牌B的消费者占40%.通过研究发现选择品牌A的消费者中，80%因补贴而购车；选择品牌B的消费者中，60%因补贴而购车. (1)从该市随机选取一位购买新能源汽车的消费者，求其因补贴而购车的概率. (2)已知某位消费者因补贴而购车，求其购买的车是品牌A的概率. (3)该市通过对购买新能源汽车的消费者进行二次调研发现，若消费者因补贴购买品牌A的新能源汽车，那么其推荐他人购买新能源汽车的概率为0.6；若消费者因补贴购买品牌B的新能源汽车，那么其推荐他人购买新能源汽车的概率为0.4；若消费者不是因补贴购车，无论购买哪个品牌，推荐他人购买新能源汽车的概率均为0.2.现随机选取一位购买新能源汽车的消费者，求该消费者推荐他人购买新能源汽车的概率. 【答案】(1) (2) (3) 【知识点】利用全概率公式求概率、利用贝叶斯公式求概率 【分析】（1）设事件表示“选择品牌A”，事件表示“选择品牌B”，事件表示“因补贴而购车”，利用全概率公式即可求解； （2）利用贝叶斯公式即可求解 （3）设事件表示“推荐他人购买新能源汽车”，利用全概率公式即可求解. 【详解】（1）设事件表示“选择品牌A”，事件表示“选择品牌B”，事件表示“因补贴而购车”， 则， 所以． （2）结合（1）由贝叶斯公式得 （3）设事件表示“推荐他人购买新能源汽车”， 因补贴买品牌A的概率，； 因补贴买品牌B的概率，； 非补贴买品牌A的概率，； 非补贴买品牌B的概率，； 则由全概率公式得 ． 2. 人工智能是研究用于模拟和延伸人类智能的技术科学，被认为是21世纪最重要的尖端科技之一，其理论和技术正在日益成熟，应用领域也在不断扩大．人工智能背后的一个基本原理：首先确定先验概率，然后通过计算得到后验概率，使先验概率得到修正和校对，再根据后验概率做出推理和决策．基于这一基本原理，我们可以设计如下试验模型；有完全相同的甲、乙两个袋子，袋子中有形状和大小完全相同的小球，其中甲袋中有9个红球和1个白球，乙袋中有2个红球和8个白球．从这两个袋子中选择一个袋子，再从该袋子中等可能摸出一个球，称为一次试验．若多次试验直到摸出红球，则试验结束．假设首次试验选到甲袋或乙袋的概率均为（先验概率）． (1)求首次试验结束的概率； (2)在首次试验摸出白球的条件下，我们对选到甲袋或乙袋的概率（先验概率）进行调整． ①求选到的袋子为甲袋的概率， ②将首次试验摸出的白球放回原来袋子，继续进行第二次试验时有如下两种方案；方案一，从原来袋子中摸球；方案二，从另外一个袋子中摸球．请通过计算，说明选择哪个方案第二次试验结束的概率更大． 【答案】(1) (2)①；②方案二 【知识点】计算条件概率、利用全概率公式求概率 【分析】（1）根据全概率公式，解决抽签问题； （2）利用条件概率公式计算，根据数据下结论． 【详解】（1）设试验一次，“取到甲袋”为事件，“取到乙袋”为事件，“试验结 果为红球”为事件，“试验结果为白球”为事件， ． 所以试验一次结果为红球的概率为． （2）①因为是对立事件，， 所以，所以选到的袋子为甲袋的概率为． ②由①得，所以方案一中取到红球的概率为： 方案二中取到红球的概率为： 因为，所以方案二中取到红球的概率更大． 3. 甲、乙两人进行投篮比赛，甲先投2次，然后乙投2次，投进次数多者为胜，结束比赛，若甲、乙投进的次数相同，则甲、乙需要再各投1次(称为第3次投篮)，结束比赛，规定3次投篮投进次数多者为胜，若3次投篮甲、乙投进的次数相同，则判定甲、乙平局．已知甲每次投进的概率为，乙每次投进的概率为，各次投进与否相互独立． (1)若每次投篮投进得1分，否则得0分，求甲得3分的概率； (2)求甲、乙需要进行第3次投篮的概率； (3)求甲、乙不需要进行第3次投篮且甲取胜的概率． 【答案】(1) (2) (3) 【知识点】互斥事件的概率加法公式、独立事件的乘法公式 【分析】（1）根据独立事件的乘法概率公式求解即可； （2）根据互斥事件的加法概率公式和独立事件的乘法概率公式求解即可； （3）根据互斥事件的加法概率公式和独立事件的乘法概率公式求解即可. 【详解】（1）甲得3分的情况为：前两次投进2次，乙前两次投进2次（次数相同进入第三次），且甲第三次投进． 甲前两次投进2次的概率：；乙前两次投进2次的概率：； 甲第三次投进的概率：； 因此甲得3分的概率为：． （2）需要进行第3次投篮的条件是前两轮甲、乙投进次数相同，分三种互斥情况： 甲、乙都投进0次：概率为； 甲、乙都投进1次：概率为； 甲、乙都投进2次：概率为； 因此需要进行第3次投篮的概率为：. （3）不需要进行第3次投篮且甲取胜的情况是前两轮甲投进次数乙投进次数，分三种互斥情况： 甲1次、乙0次：概率为； 甲2次、乙0次：概率为； 甲2次、乙1次：概率为； 因此概率为：． 4. 某社区实施垃圾分类投放，居民主要在早、中、晚三个时间段投放垃圾，且早、中、晚三个时间段垃圾投放量占比分别为、、.环保部门监测发现，各时段因监管力度不同，出现垃圾混投情况：在已知垃圾是早上投放的条件下，违规混投的概率为是中午投放的条件下，违规混投的概率为是晚上投放的条件下，违规混投的概率为现随机抽查一袋垃圾，求： (1)这袋垃圾来自中午时段且违规混投的概率; (2)这袋垃圾存在违规混投的概率; (3)若已知该垃圾违规混投，求它来自晚上时段投放的概率. 【答案】(1) (2) (3) 【知识点】计算条件概率、利用全概率公式求概率 【分析】（1）设相应事件，结合计算求解即可； （2）根据全概率公式可得，代入计算即可； （3）根据条件概率公式，结合计算即可. 【详解】（1）设垃圾来自早、中、晚时段分别为事件 A， B，；垃圾违规混投为事件V ， 由题意可知：，， 可得， 所以这袋垃圾来自中午时段且违规混投的概率为. （2）由题意可得： ， 所以这袋垃圾存在违规混投的概率为. （3）由题意可得：， 所以已知该垃圾违规混投，它来自晚上时段投放的概率为 5. 在数字通信中，信号是由数字0和1组成的序列，信号的传输相互独立.由于随机因素的干扰，发送的信号0或1有可能被错误地接收为1或0.发送0时，收到1的概率为，收到0的概率为；发送1时，收到0的概率为，收到1的概率为.假设发送信号0和1是等可能的. (1)若，，求接收的信号为0的概率； (2)现有两种传输方案：单次传输和三次传输，单次传输是指每个信号只发送1次，三次传输是指每个信号重复发送3次.收到的信号需要译码，译码规则如下：单次传输时，收到的信号即为译码；三次传输时，收到的信号中出现次数多的即为译码（例如，若依次收到1，0，1，则译码为1）. （i）若采用三次传输方案，若发送1，求依次收到1，0，1的概率； （ii）若发送的信号为1，译码为1，则选用单次传输和三次传输哪种传输方案更好，请说明理由. 【答案】(1) (2)（i）；（ii）答案见解析 【知识点】利用全概率公式求概率、独立事件的乘法公式 【分析】（1）先求条件概率，结合全概率公式可得答案； （2）（i）利用独立事件的概率公式可得答案；（ii）分别表示出两种方式的概率，作差比较，分情况讨论可得答案. 【详解】（1）设“发送的信号为0”，“接收的信号为0”， 则“发送的信号为1”，“接收的信号为1”. 由题意可得. （2）（i）三次传输，发送1，相当于依次发送1，1，1， 此时依次收到1，0，1的概率为 （ii）记三次传输，发送1，依次收到0，1，1为，依次收到1，0，1为， 依次收到1，1，0为，依次收到1，1，1为，且事件相互互斥. 对于三次传输，记发送1，译码为1为事件， 记单次传输发送1，译码为1为事件，则. 因为，所以. 当时，有，即，此时选用三次传输方案. 当时，有，即，选用哪种传输方案都可以. 当时，有，即，此时选用单次传输方案. 二、二项分布 6. 某大学为提升学生就业竞争力，免费提供数据分析与新媒体运营两项技能培训.每位学生可选择参加其中一项､两项或不参加.已知参加过数据分析培训的有，参加过新媒体运营培训的有，假设每位学生对培训项目的选择相互独立，且彼此选择互不影响. (1)任选1名学生，求该人参加过培训的概率； (2)任选3名学生，记为3人中参加过培训的人数，求的分布列和期望. 【答案】(1)0.8 (2)分布列见解析，2.4 【知识点】利用二项分布求分布列、二项分布的均值、独立事件的乘法公式 【分析】（1）由独立事件乘法公式和对立事件概率计算公式即可求解； （2）由题意确定服从二项分布，进而可求解. 【详解】（1）任选1名学生，记“该人参加过数据分析”为事件，“该人参加过新媒体运营”为事件， 由题意可知，事件与相互独立，，则， 任选1名学生，该人没有参加过培训的概率， 故任选1名学生，该人参加过培训的概率. （2）由题意结合（1）可知，3人中参加过培训的人数服从二项分布，则， ， ， ， ， 所以的分布列为 0 1 2 3 0.008 0.096 0.384 0.512 的期望. 7. 甲、乙两位学生进行答题比赛，每局只有1道题目，比赛时甲、乙同时回答这一个问题，若一人答对且另一人答错，则答对者获得10分，答错者得分；若两人都答对或都答错，则两人均得0分．根据以往答题经验，每道题甲答对的概率为，乙答对的概率为，且甲、乙答对与否互不影响，每次答题的结果也互不影响． (1)求在一局比赛中，甲得10分的概率； (2)设这次比赛共有4局，设为甲得0分的次数，求的分布列和数学期望； (3)设这次比赛共有3局，若比赛结束时，累计得分为正者最终获胜，求甲最终获胜的概率． 【答案】(1) (2)分布列见解析，2 (3) 【知识点】写出简单离散型随机变量分布列、独立事件的乘法公式、独立重复试验的概率问题、利用二项分布求分布列 【分析】（1）借助独立事件概率乘法公式计算即可得； （2）利用互斥事件的概率加法公式可得一局比赛中甲得0分的概率，再求出的所有可能取值及其对应概率，即可得其分布列，利用二项分布期望公式即可得其期望； （3）列出甲最终获胜的所有可能情况及其对应概率即可得. 【详解】（1）设表示在一局比赛中甲得分，则“”表示甲答对且乙答错的情况， 根据独立事件概率乘法公式，可得； （2）包含两种情况：甲、乙都答对或甲、乙都答错， 甲、乙都答对的概率为， 甲、乙都答错的概率为， 根据互斥事件的概率加法公式，可得， 因为每局比赛甲得分的概率为，且每次答题的结果互不影响，所以. 则， ， ， ， ， 则的分布列为： 0 1 2 3 4 则的数学期望； （3）甲最终获胜有以下四种情况： ① 三局都得10分，其概率为， ② 两局得10分，一局得分，其概率为， ③ 两局得10分，一局得分，其概率为， ④ 一局得10分，两局得分，其概率为， 综上可得，甲最终获胜的概率为. 8. 某中学在举行的国庆文艺会演中穿插有奖答题活动，该活动设置，两个题箱，参与者可以任意选择从题箱或题箱中不放回地抽题作答，选择从其中一个题箱抽题作答后，不得再从另一个题箱中抽题作答．具体规则如下： ①若从题箱中抽题作答，每位参与者均可抽取3道题作答，每答对1道题均可获得200元奖学金． ②若从题箱中抽题作答，每位参与者每次只能抽取1道题作答，最多有两次抽题作答机会．若第一次抽取1道题没有答对，则有奖答题结束，不能获奖；若第一次抽取1道题并答对，则再由该参与者与主持人各掷一枚质地均匀的硬币，决定是否继续进行第二次抽题作答，并规定：若两枚硬币都正面朝上，该参与者获得400元奖学金，不再进行第二次抽题作答，有奖答题结束，否则，该同学进行第二次抽题作答，如果答对，该参与者获得800元奖学金，有奖答题结束，如果没答对，该参与者不能获奖，有奖答题结束． 假设参加有奖答题活动的甲同学答对题箱中每道题的概率均为，答对题箱中每道题的概率均为，且任意两题间的抽取、作答等环节都相互独立． (1)若甲同学选择从题箱中抽题作答，求甲同学获得的奖学金不少于400元的概率； (2)若甲同学通过掷一次一枚质地均匀的硬币的方式，事先确定是从题箱还是从题箱中抽题作答，如果硬币正面向上，则从题箱中抽题作答，否则，从题箱中抽题作答，试求甲同学获得的奖学金数额（单位：元）的数学期望． 【答案】(1) (2)412 【知识点】独立重复试验的概率问题、求离散型随机变量的均值 【分析】（1）由题意可得要使甲同学获得的奖学金不少于400元，则甲同学需要答对2道题或3道题，进而求解即可； （2）由题意得的所有可能取值为，进而求出对应的概率，再根据数学期望的公式求解即可. 【详解】（1）由题意，要使甲同学获得的奖学金不少于400元， 则甲同学需要答对2道题或3道题， 则甲同学获得的奖学金不少于400元的概率为. （2）由题意，的所有可能取值为， 当时，甲同学从题箱中抽3题作答全答错或从题箱中抽题作答第一次答错、第一次答对第二次答错， 则， 当时，甲同学从题箱中抽3题作答且只答对1道题， 则， 当时，甲同学从题箱中抽3题作答且只答对2道题或从题箱中抽题作答第一次答对且没有进行第二次作答， 则， 当时，甲同学从题箱中抽3题作答且只答对3道题， 则， 当时，从题箱抽题，第一次答对，掷硬币未直接获奖，且第二次答对， 则， 所以. 9. 玉溪青花瓷起源于元末明初，与江西景德镇、浙江江山并称“中国三大青花瓷产地”．其采用玉溪本地特有的红土和天然釉矿为原料烧制而成，工艺难度大，成功率低．假设青花瓷烧制开窑后经检验分为成品和废品两类，现有青花瓷6个，其中3个由工匠甲烧制，3个由工匠乙烧制，甲、乙两人烧制青花瓷的成品率分别为，． (1)求甲烧制的3个青花瓷中至多有2个成品的概率； (2)设乙烧制的这3个青花瓷中成品的个数为，求的分布列及期望． 【答案】(1) (2)分布列见解析，. 【知识点】利用对立事件的概率公式求概率、独立重复试验的概率问题、利用二项分布求分布列、二项分布的均值 【分析】（1）利用独立事件概率乘法公式和对立事件概率求解； （2）由题意得出，利用二项分布概率公式求出相应概率，进而得到分布列和期望． 【详解】（1）设甲烧制的3个青花瓷中成品的个数为，则的对立事件为， ， ． （2）乙烧制的这3个青花瓷中成品的个数为，乙烧制青花瓷的成品率， ， 的可能取值为， ， ， ， ， 的分布列为： X 0 1 2 3 P 的期望． 10. 在2025年春晚《秧BOT》机器人节目中，有16个机器人参与表演.该人工智能机器人团队将传统艺术与现代科技完美融合，表演非物质文化遗产“转手绢”并完成复杂队形变换.这一创新表演不仅展示了我国人工智能技术的飞速发展，也体现了科技赋能传统文化的实践创新.某项研究表明，每个机器人独立完成转手绢动作成功的概率为0.8.在队形变换环节，机器人的表现存在差异：每个机器人若转手绢成功，则其队形变换成功的概率为0.9；若转手绢失败，则队形变换成功的概率为0.6. (1)若从该团队中随机抽取3个机器人调查研究，记X为成功完成转手绢动作的机器人个数，求X的分布列及数学期望； (2)若随机抽取一个机器人，已知其队形变换成功，求它转手绢成功的概率. 【答案】(1)分布列见解析，2.4 (2) 【知识点】计算条件概率、利用二项分布求分布列、二项分布的均值、利用全概率公式求概率 【分析】（1）根据二项分布的知识求得分布列并求得数学期望. （2）根据全概率公式、条件概率公式计算求得机器人转手绢成功的概率. 【详解】（1）由题意得，，其分布列为：，，1，2，3. X的分布列为： X 0 1 2 3 P 0.008 0.096 0.384 0.512 数学期望为. （2）设事件A为“一个机器人转手绢成功”，事件B为“一个机器人队形变换成功”. 根据题意，， . 三、超几何分布 11. 某商场为了促进消费，推出购物优惠活动、消费者购物每满300元可参加一次抽奖，抽奖活动如下：抽奖箱设置3个红球和2个白球，每次抽取2个球.若抽中2个白球，返现金50元；若抽中1个红球和1个白球，返现金30元；若抽中2个红球，返现金20元. (1)顾客恰好消费了300元，设他所获得返现金额为随机变量.求的分布列与数学期望； (2)顾客消费了1000元： ①顾客获得返现金额为100元的概率是多少？ ②若该商场同时还推出购物享九折优惠活动（减免总金额的），则顾客应选择哪种方案更优惠？（备注：不能同时参加抽奖和打折活动） 【答案】(1)答案见解析 (2)①0.108；②打折更划算 【知识点】均值的实际应用、超几何分布的分布列 【分析】（1）根据超几何分布结合对应的奖金，列出相应的概率即可； （2）消费1000元可知抽奖3次，而抽到100元的可能恰好是抽到20元，30元，50元这种组合；对于打折和抽奖，分别算出每种情况的优惠，然后对比即可. 【详解】（1）设某顾客参加一次抽奖获得返现金额，可能取值为20，30，50， 则，， 则的分布列如下表： 20 30 50 （2）①由题意刚好可以抽三次，分别为50元、30元、20元各一次，则概率为0.108. ②若打九折，需支付金额为：（元）. 由（1）知每次抽中的均值为元，则抽取三次总的均值为：（元）. 因为，故打折更划算. 12. 甲、乙两工厂共同生产一种零件， 经过抽样调查， 质检人员发现: 甲工厂生产的一批零件的合格品率为 85%；乙工厂生产的另一批零件的合格品率为 95%；若将这两批零件混合放在一起，则合格品率为 89%. (1)设甲工厂生产的这批零件有 件，乙工厂生产的这批零件有 件. 求证: ； (2)按照分层随机抽样的方法从两个工厂生产的零件中随机抽取 5 个，再从这 5 个零件中抽取 3 个，记这 3 个零件中来自乙工厂的个数为 ，求 的分布列和数学期望. 【答案】(1)证明见解析； (2)分布列见解析，数学期望为. 【知识点】其他问题中的概率解释、超几何分布的均值、超几何分布的分布列 【分析】（1）求出甲、乙合格件数以及混合后合格件数，从而得到方程，即可证明； （2）写出的可能取值，再利用超几何分布求出对应概率值即可，最后得到期望值. 【详解】（1）依题意，甲工厂生产的件零件的合格件数为， 乙工厂试生产的件的合格件数为， 又混合后，总零件数为，合格品率为， 则混合后合格零件数为， 解得，即（证毕）． （2）设甲工厂生产的这批零件有件，乙工厂试生产的这批零件有件， 由（1）可知，故抽出的5件产品中有3件来自甲工厂，2件来自乙工厂， 可能取值为0,1,2， 所以， 所以 的分布列为： 0 1 2 . 13. 巴东一中组织庆五一教职工篮球活动，我们年级有10名教职工参加，其中有6名理科教师、4名文科教师，为活动的需要，要从这10名教师中随机抽取3名教职工去买比赛服装. (1)已知10名教师中有2名班主任，求抽取的3名中至少有1名班主任的概率； (2)设表示抽取的3名教师中文科教师的人数，求的分布列及数学期望. 【答案】(1) (2)分布列见解析，期望为 【知识点】计算古典概型问题的概率、写出简单离散型随机变量分布列、求离散型随机变量的均值、超几何分布的分布列 【分析】（1）根据排列组合求解个数，结合古典概型以及对立事件的概率公式即可求解， （2）利用超几何分布的概率公式求解概率，即可得分布列，由期望公式计算期望. 【详解】（1）由于10名教师中有2名班主任，则10名教师中有8名不是班主任， 若抽取的3名中没有班主任，则有种抽法，从10名教师中随机抽取3名教职工的方法有种， 故抽取的3名中至少有1名班主任的概率为 （2）的所有可能取值有：0，1，2，3， 故的分布列为： 0 1 2 3 故期望为： 14. 某校为了提高教师身心健康号召教师利用空余时间参加阳光体育活动.现有4名男教师，2名女教师报名，本周随机选取2人参加. (1)记参加活动的女教师人数为X，求X的分布列及期望； (2)若本次活动有慢跑、游泳、瑜伽三个可选项目，每名女教师至多从中选择参加2项活动，且选择参加1项或2项的可能性均为，每名男教师至少从中选择参加2项活动，且选择参加2项或3项的可能性也均为，每人每参加1项活动可获得“体育明星”积分3分，选择参加几项活动彼此互不影响，记随机选取的两人得分之和为Y，求Y的期望. 【答案】(1)分布列见解析， (2) 【知识点】超几何分布的分布列、均值的性质、求离散型随机变量的均值 【分析】（1）参加活动的女教师人数为X，则X服从超几何分布，即可写出X的分布列及期望. （2）根据一名女教师和一名男教师参加活动获得分数的期望，由结合期望的性质求得. 【详解】（1）依题意，X的可能值为0，1，2，服从超几何分布，， ，，， 所以X的分布列为： X 0 1 2 P （2）设一名女教师参加活动可获得分数为，一名男教师参加活动可获得分数为， 则的所有可能取值为3，6，的所有可能取值为6，9， ，， ，， 有X名女教师参加活动，则男教师有名参加活动，， 所以. 即两个教师得分之和的期望为13分. 15. 2025年6月14日，我国成功发射了电磁监测卫星“张衡一号”02星，此举标志着我国在地球物理场空间观测领域的探测能力实现了重大突破.为培育学生的航天精神，某校特地组织了航天知识竞赛活动.竞赛共有、两类试题，每类试题各有5道题，其中每答对1道类试题得5分，每答对1道类试题得10分，答错都不得分.每位参加竞赛的同学从这两类试题中共抽取3道作答（每道试题抽后不放回）.已知某同学类试题中有3道能答对类试题中每道题答对的概率均为. (1)若该同学只在类试题中抽取3道作答，设表示该同学作答这3道试题的总得分，求的分布列和数学期望； (2)若该同学在类试题中抽取1道，在类试题中抽取2道作答，当时，求他在这次竞赛中仅答对1道试题的概率； (3)若该同学在类试题中只抽取2道比抽取3道作答的总得分的期望值高，求的取值范围. 【答案】(1)分布列见解析，期望为9 (2) (3) 【知识点】求超几何分布的概率、超几何分布的分布列、二项分布的均值、写出简单离散型随机变量分布列 【分析】（1） 根据超几何分布计算概率及分布列进而得出数学期望； （2）应用独立重复实验概率公式计算求解； （3）应用独立事件概率乘积公式计算结合二项分布数学期望计算求解. 【详解】（1）由题知，的可能取值为，，， 则，，， 所以的分布列为： 所以； （2）记“该同学仅答对道题”为事件， 则， 所以该同学在这次竞赛中仅答对道题的概率为； （3）设为该同学在类试题中只抽取道作答的总得分， 则的可能取值为，，，，，， 则， ， ， ， ， ， 所以， 设为该同学在类试题中抽取道作答答对的题数，为总得分， 则， 所以，， 因为，所以，解得， 所以的取值范围是. 四、成对数据相关统计 16. 粮食是一个国家发展的基石，保障粮食安全是维护社会稳定的重要因素.小麦是我国两大口粮作物之一，其自身的稳定供应保障了数亿人口的食物需求，并通过产业链延伸带动了相关产业发展，促进了我国北方地区的经济发展.将2020~2024年记为年份代码1~5，我国小麦产量如下表所示. 年份代码 1 2 3 4 5 产量/千万吨 13.4 13.6 13.8 13.7 14.0 现规定表示年份代码，表示年份代码为的产量，经计算得，， (1)求样本的相关系数；（精确到0.01） (2)现从这5年中随机抽取2年，记这2年中小麦产量不低于13.7千万吨的年数为，求的分布列与期望. 附：相关系数，. 【答案】(1) (2)分布列见解析， 【知识点】相关系数的计算、写出简单离散型随机变量分布列、求离散型随机变量的均值 【分析】（1）先求出平均值，再应用已知数据结合相关系数公式计算求解； （2）根据超几何分布求出概率，再写出分布列应用数学期望公式计算即可. 【详解】（1），， 故样本相关系数 . （2）X的取值可以为0，1，2， 则， ， ， 于是X的分布列为 X 0 1 2 P 故. 17. 粮食是一个国家发展的基石，保障粮食安全是维护社会稳定的重要因素.小麦是我国两大口粮作物之一，其自身的稳定供应保障了数亿人口的食物需求，并通过产业链延伸带动了相关产业发展，促进了我国北方地区的经济发展.我国于2020年打赢了脱贫攻坚战，其中小麦发挥了重大作用.以2020年为第1年，我国连续5年小麦产量如下： 年份 1 2 3 4 5 产量/千万吨 13.4 13.7 13.8 13.6 14.0 现规定表示第i年的年份，表示第i年的产量，经计算得，，. (1)求样本（，2，…，5）的相关系数（精确到0.01）； (2)现从这5年中随机抽取2年，记这2年中共有X年的小麦产量不低于13.7千万吨，求X的分布列与期望. 附：样本相关系数，. 【答案】(1) (2)分布列见解析， 【知识点】超几何分布的分布列、求离散型随机变量的均值、写出简单离散型随机变量分布列、相关系数的计算 【分析】（1）先求出平均值，再应用已知数据结合相关系数公式计算求解； （2）根据超几何分布求出概率，再写出分布列应用数学期望公式计算即可. 【详解】（1），， 故样本相关系数. （2）X的取值可以为0，1，2， 则， ， ， 于是X的分布列为 X 0 1 2 P 故. 18. 近年来某用户保持连续增长，李明收集了年的年份代码与该在线用户数y（单位：万）的数据，具体如下表所示： 年份代码x 1 2 3 4 5 在线用户数y（单位：万） 80 150 210 260 300 (1)求样本相关系数r（精确到小数点后第二位，采用四舍五入法），并判断变量x与y之间的线性相关关系的强弱； (2)从年中随机抽取三个不同年份所对应的在线用户数据，记最小的数据为，求的分布列及数学期望． 注：样本相关系数．当越接近1时，成对样本数据的线性相关程度越强；当越接近0时，成对样本数据的线性相关程度越弱．其中，． 【答案】(1)，变量与之间有很强的线性正相关关系 (2)分布列见解析， 【知识点】求离散型随机变量的均值、写出简单离散型随机变量分布列、相关系数的计算、相关系数的意义及辨析 【分析】（1）利用所给相关系数公式计算即可得； （2）得到的所有可能取值并计算对应概率后，结合分布列定义与期望定义计算即可得. 【详解】（1），， 则， 由， 同理， 则， 则， 由接近且为正，故变量与之间有很强的线性正相关关系； （2）的可能取值为、、， ， ， ， 故的分布列为： 则. 19. 2025年渝超联赛正如火如荼地进行，联赛分两个阶段，第一阶段为各赛区比赛，第二阶段为总决赛.联赛积分规则为：胜一场得3分，平一场得1分，负一场得0分.九龙坡区队属于中心城区赛区，该赛区共有11支球队进行单循环比赛(每支参赛队伍均与其他所有队伍恰好比赛一次).已知九龙坡区队在与赛区中任何一个对手比赛时，获胜的概率均为，平局的概率均为，失利的概率均为，且各场比赛结果相互独立. (1)九龙坡区队教练组为研究观众人数对球队成绩的影响，用模拟了该球队在5种不同观众人数(单位：千人)下的比赛表现(每场均模拟完整的小组赛).模拟数据如下： 场均观众人数 (千人) 8 12 6 15 9 小组赛积分 10 16 8 18 13 请计算场均观众人数 (千人)与小组赛积分的样本相关系数 (精确到0.01)，并说明两者之间的线性相关程度； (2)九龙坡区队在9月13日的揭幕赛中以失利于渝中区队，积0分.根据赛事规则推算，在中心城区赛区，球队至少需要获得23分才有晋级总决赛的可能.求九龙坡区队在第一阶段未来赛事中至少获得23分的概率. 附：相关系数， 【答案】(1)，具有很强的正线性相关关系； (2). 【知识点】独立事件的乘法公式、利用互斥事件的概率公式求概率、相关系数的计算、相关系数的意义及辨析 【分析】（1）借助相关系数的计算公式计算即可得； （2）分析所有可能情况并计算对应概率即可得. 【详解】（1），， 则， ，， 则， 因为，且接近于， 故说明场均观众人数与小组赛积分之间具有很强的正线性相关关系； （2）九龙坡区队在第一阶段未来赛事中至少获得23分， 则设剩余场比赛中九龙坡区队比赛情况有以下几种： 一：场比赛全胜，概率为：； 二：胜场，平或负场，概率为：； 三：胜场，平场，概率为：； 故九龙坡区队在第一阶段未来赛事中至少获得23分的概率为： . 20. 随着科技的发展，人工智能生成的虚拟角色正逐步取代传统的真人直播带货.某公司使用虚拟角色直播带货后销售金额逐步提升，根据该公司使用虚拟角色直播带货后20个月的销售金额的情况统计，得到一组样本数据，其中和分别表示月份编号和销售金额（单位：万元），并计算得，，. (1)求样本的相关系数（精确到），并推断销售金额（单位：万元）和月份编号的相关程度； (2)已知这20个月中有8个月的销售金额低于平均数，从这20个月中随机抽取2个月的销售金额，记抽到销售金额低于平均数的月份数为，求随机变量的分布列. 附：相关系数. 【答案】(1)，相关性强 (2)分布列见解析 【知识点】超几何分布的分布列、写出简单离散型随机变量分布列、相关系数的计算、相关系数的意义及辨析 【分析】（1）由条件结合相关系数公式求出相关系数，根据相关系数性质判断结论； （2）由条件确定的可能取值，再求取各值的概率，由此可得其分布列. 【详解】（1）样本的相关系数为 . 由于相关系数，则相关性很强，的值越大，相关性越强. 故，故销售金额和月份编号成很强的正相关性. （2）由题意得：的可能取值为0，1，2， 20个月中有8个月的销售金额低于平均数，有12个月的销售金额不低于平均数， 所以， 所以的分布列为： 0 1 2 五、一元线性回归 21. 某种机械设备随着使用年限的增加，它的使用功能逐渐减退，使用价值逐年减少，通常把它使用价值逐年减少的“量”换算成费用，称之为“失效费”．某种机械设备的使用年限（单位：年）与失效费（单位：万元）的统计数据如下表所示： 使用年限（单位：年） 2 4 5 6 8 失效费（单位：万元） 3 4 5 6 7 (1)根据上表数据，计算与的相关系数，并说明与的线性相关性的强弱． （已知：，则认为与线性相关性很强；，则认为与线性相关性一般；，则认为与线性相关性较弱）（的结果精确到0.0001） (2)求关于的线性回归方程，并估算该种机械设备使用10年的失效费． 附：样本的相关系数，经验回归方程的斜率和截距的最小二乘估计分别为，． 【答案】(1)，线性相关性很强 (2)，8.5万元 【知识点】求回归直线方程、相关系数的计算、根据回归方程进行数据估计 【分析】（1）根据相关系数公式，分别求出变量的均值及和值，代入公式求得相关系数，并判断相关性强弱即可； （2）根据第一问求得的值，结合线性回归方程求解公式求得参数，写出回归方程，并预测10年的失效费即可. 【详解】（1）由表知，，， ， ，， ， 故，认为与线性相关性很强； （2）由（1）知，， 又，， 故关于的线性回归方程为， 当时，，即估算10年的失效费为8.5万元． 22. 为响应“智慧农业”政策，某企业通过田间试验研究了一种针对于番茄的新型无污染肥料.研究过程中，对其进行经济大致评估，该肥料成本约为10000元／升，其他固定成本约为220000元／公顷，番茄市场批发价约为8000元／吨，在实际生产过程中，该肥料的施用量（，单位：升／公顷）与番茄最终收获量（，单位：吨／公顷）之间的关系满足下表，其中表格数据已经过部分筛选与简化处理： 肥料施用量（升／公顷） 10 15 20 25 30 番茄收获量（吨／公顷） 55 60 75 80 90 参考数据：利用最小二乘法计算回归直线，截距和斜率的估计公式为计算得. (1)利用最小二乘法及已知数据，求番茄收获量随肥料施用量变化的线性回归方程； (2)某农户根据试验结果提出了以下两种增产方案，试基于（1）中的回归模型的合理性及农业科学常识分别对这两种方案进行经济与效益评估：方案：施用28升／公顷的肥料；方案：施用45升／公顷的肥料. 【答案】(1) (2)答案见解析 【知识点】求回归直线方程 【分析】（1）利用最小二乘法及已知数据求出线性回归方程即可； （2）使用回归模型求出方案的预期总产量，进而求得预期净利润；根据回归模型的合理性及农业科学常识分析方案，即可得解. 【详解】（1）由题意，，        又 故1.. 则番茄收获量随肥料施用量变化的线性回归方程为. （2）方案：施用28升／公顷的肥料：施用量在试验数据范围［10,30］之内， 故可使用回归模型进行评估，将代入回归方程得， 即预期总产量为86.4吨／公顷， 此时预期总收入为86.4吨/公顷元/吨元/公顷， 预期总成本为：总成本升／公顷元／升）+220000元/公顷500000元／公顷，则预期净利润为191200元／公顷， 综上，方案的预测相对可靠，且预期实现191200元／公顷的利润，可以采用. 方案：施用45升／公顷的肥料：此时施用量超出了试验数据范围［10,30］， 故直接使用（1）中的线性回归模型进行预测是不可靠的，存在预测风险， 当肥料施用超过作物所需的最优水平后，可能产量提升效果会越来越差， 且过量的肥料可能导致作物根系受损导致产量下降， 即使产量不再增加，每公顷也要比方案多投入170000元的肥料成本. 若因减产而导致总收入下降，农户将面临经济亏损. 综上，方案是一个基于不可靠预测的高风险方案，不建议采用. 23. 为了提高利润，某果园每年投入一定的资金，对种植、采摘、包装、宣传等环节进行改进．如图，这是2016年至2025年该果园每年的投资金额（单位：万元）与年利润增量（单位：万元）的散点图． 模型①由最小二乘法可求得与的经验回归方程为； 模型②由图中样本点的分布，可以认为样本点集中在曲线的附近，令，则，且有． (1)根据所给的统计量，求模型②中关于的经验回归方程； (2)已知2025年的投资金额为20万，年利润增量为40万，分析这两种模型在2025年时哪个模型的预报效果更好． 参考公式与数据：． 【答案】(1)； (2)模型②. 【知识点】求回归直线方程、非线性回归、根据回归方程进行数据估计 【分析】（1）根据给定的数据，利用最小二乘法公式求出经验回归方程. （2）分别求出模型①、模型②中年利润增量，再比较它们与40差的绝对值大小即可. 【详解】（1）由，得， 则，， 所以模型②中关于的经验回归方程为. （2）模型①，，当时，年利润增量， 模型②，，当时，， 因此年利润增量，而， 所以模型②的预报效果更好. 24. 某电器公司的市场研究人员为了解公司的经营状况，对该公司最近六个月内的市场占有率进行了统计，结果如表所示： 年份 2020年 2021年 月份 9月 10月 11月 12月 1月 2月 月份代码x 1 2 3 4 5 6 市场占有率y（%） 11 13 16 15 20 21 (1)用相关系数说明月度市场占有率y与月份代码x之间的关系是否可用线性回归模型拟合？ (2)求y关于x的线性回归方程，并预测何时该种产品的市场占有率超过30%? (3)根据市场供需情况统计，得到该公司产品2020年的月产量X（单位：万件）的分布列为 X 1 1.2 P 0.6 0.4 2020年的该公司产品的市场价格Y（单位：万元/件）对应的概率分布为．假设每月固定成本为200万元，求该产品平均每月利润的分布列和数学期望． 参考数据：，，． 参考公式：相关系数， 回归直线方程为，其中：，． 【答案】(1)可以用线性回归模型拟合两变量y与x之间的关系； (2)，2021年7月； (3)分布列见解析，3148万元． 【知识点】根据回归方程进行数据估计、求回归直线方程、相关系数的计算、求离散型随机变量的均值 【分析】（1）应用相关系数公式求值判断即可； （2）应用最小二乘法求回归直线，进而估计对应时间； （3）确定随机变量的可能值并求出对应概率，写出分布列，进而求期望. 【详解】（1）因，， 则， 即两变量y与x之间具有较强的线性相关关系， 故可以用线性回归模型拟合两变量y与x之间的关系； （2）由题意得，而， 于是得，所以y关于x的线性回归方程为， 令，即，解得，又，所以， 故从2021年7月开始，该种产品的市场占有率超过； （3）设该产品平均每月利润为Z万元，则，，，， 所以Z的可能取值为2800，3300，3400，4000， 故，， ，， 所以的分布列为： 2800 3300 3400 4000 0.48 0.12 0.32 0.08 故万元． 25. 台州是全国三大电动车生产基地之一，拥有完整的产业链和突出的设计优势某电动车公司为了抢占更多的市场份额，计划加大广告投入、该公司近5年的年广告费（单位：百万元）和年销售量（单位：百万辆）关系如图所示： 令，数据经过初步处理得：，，，，，，.现有①和②两种方案作为年销售量y关于年广告费x的回归分析模型，其中a，b，m，n均为常数. (1)请从相关系数的角度，分析哪一个模型拟合程度更好? (2)根据（1）的分析选取拟合程度更好的回归分析模型及表中数据，求出y关于x的回归方程，并预测年广告费为6（百万元）时，产品的年销售量是多少? 附：①相关系数，回归直线中公式分别为，； ②参考数据：，，， 【答案】(1)模型②的拟合程度更好 (2)13（百万辆） 【知识点】求回归直线方程、非线性回归、相关系数的意义及辨析、相关系数的计算 【分析】（1）利用公式分别求出模型①和②的相关系数，结合相关系数的意义即可判断哪一个模型拟合程度更好； （2）先利用最小二乘法求出关于的回归方程，再令，即可得解.. 【详解】（1）设模型①和②的相关系数分别为， 由题意可得：， ， 所以，由相关系数的意义可得，模型②的拟合程度更好. （2）因为， 又由，， 得， 所以，即回归方程为， 当时，， 因此当年广告费为6（百万元）时，产品的销售量大概是13（百万辆）. 六、独立性检验 26. 某市为了研究学生身体素质与课外体育锻炼时间的关系，在某个区随机调查了1000名学生，得到如下列联表： 课外体育锻炼时间组别 达标 不达标 合计 身体素质强 860 40 900 身体素质弱 40 60 100 合计 900 100 1000 (1)根据小概率值的独立性检验，分析课外体育锻炼时间与身体素质是否有关； (2)如果用该区学生达标成绩的情况来估计全市学生的达标情况，现从全市学生中随机抽取3名，求恰有1人课外体育锻炼时间达标的概率. 附 0.050 0.010 0.001 3.841 6.635 10.828 【答案】(1)有关 (2) 【知识点】卡方的计算、独立性检验解决实际问题、计算古典概型问题的概率 【分析】（1）根据列联表的数据，计算，比较临界值可得结论． （2）利用频率估计概率可知该区任抽一名学生，这名学生课外体育锻炼时间达标的概率为，利用二项分布概率公式计算可求结论. 【详解】（1）课外体育锻炼时间与身体素质无关， ， 根据小概率值的独立性检验，推断不成立， 所以有的把握认为课外体育锻炼时间与身体素质有关； （2）由题意在某个区随机调查了1000名学生，有900人达标，达标率为， 利用频率估计概率可知该区任抽一名学生，这名学生课外体育锻炼时间达标的概率为. 记“恰有1人课外体育锻炼时间达标”为事件， 则， 所以恰有1人课外体育锻炼时间达标的概率. 27. 为了解某养殖产品在某段时间内的生长情况，在该批产品中随机抽取了120件样本，测量其增长长度（单位：），经统计其增长长度均在区间内，将其按分成6组，制成频率分布直方图，如图所示其中增长长度为及以上的产品为优质产品. (1)已知这120件产品来自两个试验区，部分数据如下列联表： 试验区 试验区 合计 优质产品 20 非优质产品 60 合计 将此列联表补充完整，并判断是否有的把握认为优质产品与两个试验区有关系，并说明理由； 参考公式，其中. 临界值表： 0.15 0.10 0.05 0.025 0.010 0.005 0.001 2.072 2.706 3.841 5.024 6.635 7.879 10.828 (2)以样本的频率代表产品的概率，从这批产品中随机抽取4件进行分析研究，计算抽取的这4件产品中含优质产品的件数的分布列和数学期望. 【答案】(1)列联表见解析，没有的把握认为优质产品与两个试验区有关系； (2)分布列见解析，数学期望为1. 【知识点】由频率分布直方图计算频率、频数、样本容量、总体容量、卡方的计算、利用二项分布求分布列、二项分布的均值 【分析】（1）根据面积之和为1，列出关系式，解出的值，根据频率分布直方图中的数据计算这两个试验区优质产品、非优质产品的总和，然后根据表格填入数据，再根据公式计算即可； （2）利用二项分布的概率公式计算分布列和数学期望即可. 【详解】（1）易知，解得， 此时样本中优质产品有. 列联表如下所示： 试验区 试验区 合计 优质产品 10 20 30 非优质产品 60 30 90 合计 70 50 120 所以， 即没有的把握认为优质产品与两个试验区有关系. （2）由题意，易知从这批产品中随机抽取一件为优质产品的概率为， 则随机抽取4件中含有优质产品的件数的可能取值为，且， 则， ， 则的分布列为： 0 1 2 3 4 故. 28. 为研究甲、乙两种治疗方案的疗效，从选择甲、乙方案进行治疗的患者中随机抽取2000名得到如下列联表： 效果明显 效果不明显 合计 甲方案 1000 200 1200 乙方案 600 200 800 合计 1600 400 2000 (1)根据小概率值的独立性检验，分析治疗效果与选择甲、乙方案是否有关联； (2)在800名选择乙方案的患者中按效果是否明显用分层随机抽样的方法抽取8人，再从这8名患者中随机抽取4人，设表示4名患者中效果不明显的人数，求的分布列和数学期望． 附：． 0.1 0.01 0.001 2.706 6.635 10.828 【答案】(1)治疗效果与选择甲、乙方案有关联． (2)分布列见解析，1 【知识点】独立性检验解决实际问题、求离散型随机变量的均值 【分析】（1）根据题意，由列联表代入的计算公式计算，再根据独立性检验内容即可得到结果； （2）根据题意，由分层抽样的公式可得效果明显的患者中抽取名，从效果不明显的患者中抽取名，再由超几何分布的概率公式代入计算，即可得到分布列，从而得到期望. 【详解】（1）零假设为：治疗效果与选择甲、乙方案无关联， ， 根据小概率值的独立性检验，我们推断不成立，故治疗效果与选择甲、乙方案有关联． （2）根据分层随机抽样方法可知，从效果明显的患者中抽取名，从效果不明显的患者中抽取名， 的取值分别为0，1，2， 则， 所以的分布列为 0 1 2 ． 29. 利用错题去学习是比较高效的学习方法.为了研究学生每天整理数学错题的情况，某校数学建模兴趣小组的同学在本校高三年级学生中采用随机抽样的方法抽取了60名学生，调查他们的数学成绩和整理数学错题的情况，统计数据如下： 数学成绩总评优秀人数 数学成绩总评非优秀人数 合计 每天都整理数学错题人数 20 10 不是每天都整理数学错题人数 22 合计 60 (1)完成上述列联表，并估计本校高三年级学生中不是每天都整理数学错题且数学成绩总评优秀的概率； (2)根据小概率值的独立性检验，分析数学成绩总评优秀与每天都整理数学错题是否有关联? (3)从样本中每天都整理数学错题的学生中随机抽取3名学生做进一步访谈，设抽取到数学成绩总评优秀的人数为，求的分布列和数学期望. 附：，其中； 0.10 0.01 0.001 2.706 6.635 10.828 【答案】(1)表格见解析， (2)数学成绩总评优秀与每天都整理数学错题有关联. (3)分布列见解析，2 【知识点】完善列联表、独立性检验解决实际问题、超几何分布的均值、超几何分布的分布列 【分析】（1）根据题目数据完善列联表，然后利用频率估计概率即可求解； （2）利用列联表的数据求出的观测值，与临界值比较即可求解； （3）求出的可能值及对应的概率，列出分布列并求出期望即可. 【详解】（1）完善列联表，如下： 数学成绩总评优秀人数 数学成绩总评非优秀人数 合计 每天都整理数学错题人数 20 10 30 不是每天都整理数学错题人数 8 22 30 合计 28 32 60 估计不是每天都整理数学错题且数学成绩总评优秀的概率约为. （2）零假设：数学成绩总评优秀与每天都整理数学错题无关联， 利用（1）中数据，得， 根据小概率值的独立性检验，可以判断不成立，所以数学成绩总评优秀与每天都整理数学错题有关联. （3）由题意知的所有可能值为0，1，2，3， ，， ，， 所以的分布列为 0 1 2 3 . 30. 为了解观看某场“苏超”联赛与性别是否有关系，某机构随机抽取了部分市民，调查他们对赛事的关注情况，得到如下表格： 性别 不关注赛事 关注赛事 合计 男性 25 150 175 女性 50 75 125 合计 75 225 300 (1)对照列联表，能否有99.9%的把握认为关注“苏超”赛事与性别有关？ (2)现从被调查的关注赛事的市民中，按照性别比例采用分层抽样的方法随机抽取6名市民参加“苏超”赛事知识问答，再从这6名市民中抽取3人参加抽奖活动，记这3人中女性人数为X，求X的分布列和期望. 附：，. 0.01 0.005 0.001 6.635 7.879 10.828 【答案】(1)有 (2)分布列见解析，期望为1 【知识点】卡方的计算、独立性检验解决实际问题、写出简单离散型随机变量分布列、二项分布的均值 【分析】(1)运用独立性检验判断赛事与性别的关系即可； (2)先进行分层抽样，求概率后列出分布列，利用期望公式计算期望即可. 【详解】（1）提出假设：关注“苏超”赛事与性别无关， ，则假设不成立， 所以有的把握认为关注“苏超”赛事与性别有关. （2）关注赛事的市民中，男性150人，女性75人， 由分层抽样知，抽取男性市民人，女性市民人， 的取值为， ， ， ， X 0 1 2 P 所以. 七、概率与数列（马尔科夫链） 31. 某学校有C、D两个图书馆，某学生每天都会在这两个图书馆中选择一个去学习，已知该学生第一天选择C图书馆的概率是，若在前一天选择C图书馆的条件下，后一天继续选择C图书馆的概率为，而在前一天选择D图书馆的条件下，后一天继续选择D图书馆的概率为，如此往复. (1)求该学生第一天和第二天都选择C图书馆的概率； (2)求该学生第二天选择C图书馆的概率； (3)记该学生第n天选择C图书馆的概率为，求数列的通项公式. 【答案】(1) (2) (3) 【分析】 【详解】（1）由题意，第一天和第二天都选择C图书馆的概率为 （2）第一天选C图书馆，第二天选C图书馆的概率为， 第一天选D图书馆，第二天选C图书馆的概率为， 故第二天选C图书馆的概率为. （3）由题意，当时，，则， 即， 故是以为首项，为公比的等比数列， 故，解得 32. 某电信部门推出办卡优惠活动，有A套餐和B套餐，经过顾客喜好数据分析：每位顾客选择A套餐的概率为，选择B套餐的概率为. (1)假设顾客选择A、B套餐，领取优惠券的概率分别为0.7、0.2，求顾客领取优惠券的概率； (2)假设A套餐包含一张话费优惠券，B套餐包含两张话费优惠券，截至某一时刻，设该商场恰好发出了n张话费优惠券的概率为. （ⅰ）证明（）为等比数列，并求的通项公式； （ⅱ）求数列的最值. 【答案】(1)； (2)（ⅰ）证明见解析，；（ⅱ）最小值为，最大值为. 【分析】 【详解】（1）记选择A套餐的事件为，顾客领取优惠券的事件为， 则， 因此. （2）（ⅰ）商场恰好发出了n张话费优惠券的事件，是发放张后选择A套餐的事件， 与发放张后选择B套餐的事件的和， 则，， ，而， 因此（）是以为首项，为公比的等比数列， 当2时，， ，而满足上式， 所以. （ⅱ）当（ⅰ）知，， 当为偶数时，，数列是递减数列，， 当为奇数时，，数列是递增数列，， 所以数列的最小值为，最大值为. 33. 某学校有，两家餐厅，据统计发现，该校学生如果第1天去餐厅，那么第2天去餐厅的概率为；如果第1天去餐厅，那么第2天去餐厅的概率为.假设某同学第1天午餐时随机地选择一家餐厅用餐，且第天去餐厅用餐的概率是. (1)求，，的值； (2)求证：数列是等比数列，并求； (3)若当，有，则称为该同学“习惯去餐厅的概率”.若甲乙丙三人“习惯去餐厅的概率”相同，设某天甲乙丙三人独立去餐厅，表示三人去餐厅的人数，求. 【答案】(1)，， (2)证明见解析， (3) 【分析】 【详解】（1）依题意可得，， . （2）由（1）可知， 当时，， 所以， 又，所以是以为首项，为公比的等比数列， 所以，则； （3）当时，，所以，即， 依题意，所以. 34. 某答题挑战赛规则如下：比赛按轮依次进行，只有答完一轮才能进入下一轮，若连续两轮均答错，则挑战终止；每一轮系统随机地派出一道通识题或专识题，派出通识题的概率为，派出专识题的概率为.已知某选手答对通识题与专识题的概率分别为，且各轮答题正确与否相互独立. (1)求该选手在一轮答题中答对题目的概率； (2)记该选手在第轮答题结束时挑战依然未终止的概率为， （i）求； （ii）证明：存在实数，使得数列为等比数列. 【答案】(1)； (2)（i）；（ii）证明见解析. 【分析】 【详解】（1）设事件“一轮答题中系统派出通识题”，事件“该选手在一轮答题中答对”， 依题意，，， 因此， 所以该选手在一轮答题中答对题目的概率为. （2）（i）设事件“该选手在第轮答对题目”，各轮答题正确与否相互独立， 由（1）知，， 当时，挑战显然不会终止，即， 当时，则第1、2轮至少答对一轮，， 由概率加法公式得； 同理. （ii）设事件“第轮答题结束时挑战未终止”， 当时，第轮答题结束时挑战未终止的情况有两种： ①第轮答对，且第轮结束时挑战未终止； ②第轮答错，且第轮答对，且第轮结束时挑战未终止， 因此第轮答题结束时挑战未终止的事件可表示为， 则，而各轮答题正确与否相互独立， 因此， 当时，，设存在实数，使得数列为等比数列， 当时，，整理得， 而，则，解得或， 当时， 因此当时，数列是首项为，公比为的等比数列； 当时，数列是首项为，公比为的等比数列， 所以存在实数或，使得数列为等比数列 35. 某商场拟在年末进行促销活动，为吸引消费者，特别推出“玩游戏，送礼券”的活动，游戏规则如下：每轮游戏都抛掷一枚质地均匀的骰子（形状为正方体，六个面的点数分别为1，2，3，4，5，6），若向上点数不超过2点，获得1分，否则获得2分，进行若干轮游戏，若累计得分为19分，则游戏结束，可得礼券，若累计得分为20分，则游戏结束，可得到礼券，最多进行19轮游戏. (1)当进行完3轮游戏时，总分为，求的期望； (2)若累计得分为的概率为，（初始得分为0分，）. ①证明数列，，，，是等比数列； ②求活动参与者得到礼券的概率. 【答案】(1) (2)①证明见解析，② 【分析】 【详解】（1）由题意可知每轮游戏获得分的概率为，获得分的概率为，设进行完轮游戏时，得分的次数为，所以，所以，，，，，而，所以随机变量的可能取值为，，，，所以 ， ， ， ， 所以的分布列为： 所以. （2）①证明：，即累计得分为分，是第一次掷骰子，向上点数不超过点，，则，累计得分为分的情况有两种： （i），即累计得分，又掷骰子点数超过点，其概率为， （ii）累计得分为分，又掷骰子点数没超过点，得分，其概率为， 所以，所以，，，，， 所以，，，，是首项为，公比为的等比数列. ②因为数列，，，，是首项为，公比为的等比数列， 所以，所以 ， ， ， 各式相加，得， 所以，，，，， 所以活动参与者得到礼券的概率为：. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 概率 一、条件概率、全概率公式 1. 某市为推广新能源汽车，对购买不同品牌新能源汽车的消费者实施差异化补贴政策.根据市场调研，品牌A和品牌B在该市新能源汽车市场中占据主导地位，购买品牌A，B的新能源汽车均有补贴.假设该市选择品牌A的消费者占60%，选择品牌B的消费者占40%.通过研究发现选择品牌A的消费者中，80%因补贴而购车；选择品牌B的消费者中，60%因补贴而购车. (1)从该市随机选取一位购买新能源汽车的消费者，求其因补贴而购车的概率. (2)已知某位消费者因补贴而购车，求其购买的车是品牌A的概率. (3)该市通过对购买新能源汽车的消费者进行二次调研发现，若消费者因补贴购买品牌A的新能源汽车，那么其推荐他人购买新能源汽车的概率为0.6；若消费者因补贴购买品牌B的新能源汽车，那么其推荐他人购买新能源汽车的概率为0.4；若消费者不是因补贴购车，无论购买哪个品牌，推荐他人购买新能源汽车的概率均为0.2.现随机选取一位购买新能源汽车的消费者，求该消费者推荐他人购买新能源汽车的概率. 2. 人工智能是研究用于模拟和延伸人类智能的技术科学，被认为是21世纪最重要的尖端科技之一，其理论和技术正在日益成熟，应用领域也在不断扩大．人工智能背后的一个基本原理：首先确定先验概率，然后通过计算得到后验概率，使先验概率得到修正和校对，再根据后验概率做出推理和决策．基于这一基本原理，我们可以设计如下试验模型；有完全相同的甲、乙两个袋子，袋子中有形状和大小完全相同的小球，其中甲袋中有9个红球和1个白球，乙袋中有2个红球和8个白球．从这两个袋子中选择一个袋子，再从该袋子中等可能摸出一个球，称为一次试验．若多次试验直到摸出红球，则试验结束．假设首次试验选到甲袋或乙袋的概率均为（先验概率）． (1)求首次试验结束的概率； (2)在首次试验摸出白球的条件下，我们对选到甲袋或乙袋的概率（先验概率）进行调整． ①求选到的袋子为甲袋的概率， ②将首次试验摸出的白球放回原来袋子，继续进行第二次试验时有如下两种方案；方案一，从原来袋子中摸球；方案二，从另外一个袋子中摸球．请通过计算，说明选择哪个方案第二次试验结束的概率更大． 3. 甲、乙两人进行投篮比赛，甲先投2次，然后乙投2次，投进次数多者为胜，结束比赛，若甲、乙投进的次数相同，则甲、乙需要再各投1次(称为第3次投篮)，结束比赛，规定3次投篮投进次数多者为胜，若3次投篮甲、乙投进的次数相同，则判定甲、乙平局．已知甲每次投进的概率为，乙每次投进的概率为，各次投进与否相互独立． (1)若每次投篮投进得1分，否则得0分，求甲得3分的概率； (2)求甲、乙需要进行第3次投篮的概率； (3)求甲、乙不需要进行第3次投篮且甲取胜的概率． 4. 某社区实施垃圾分类投放，居民主要在早、中、晚三个时间段投放垃圾，且早、中、晚三个时间段垃圾投放量占比分别为、、.环保部门监测发现，各时段因监管力度不同，出现垃圾混投情况：在已知垃圾是早上投放的条件下，违规混投的概率为是中午投放的条件下，违规混投的概率为是晚上投放的条件下，违规混投的概率为现随机抽查一袋垃圾，求： (1)这袋垃圾来自中午时段且违规混投的概率; (2)这袋垃圾存在违规混投的概率; (3)若已知该垃圾违规混投，求它来自晚上时段投放的概率. 5. 在数字通信中，信号是由数字0和1组成的序列，信号的传输相互独立.由于随机因素的干扰，发送的信号0或1有可能被错误地接收为1或0.发送0时，收到1的概率为，收到0的概率为；发送1时，收到0的概率为，收到1的概率为.假设发送信号0和1是等可能的. (1)若，，求接收的信号为0的概率； (2)现有两种传输方案：单次传输和三次传输，单次传输是指每个信号只发送1次，三次传输是指每个信号重复发送3次.收到的信号需要译码，译码规则如下：单次传输时，收到的信号即为译码；三次传输时，收到的信号中出现次数多的即为译码（例如，若依次收到1，0，1，则译码为1）. （i）若采用三次传输方案，若发送1，求依次收到1，0，1的概率； （ii）若发送的信号为1，译码为1，则选用单次传输和三次传输哪种传输方案更好，请说明理由. 二、二项分布 6. 某大学为提升学生就业竞争力，免费提供数据分析与新媒体运营两项技能培训.每位学生可选择参加其中一项､两项或不参加.已知参加过数据分析培训的有，参加过新媒体运营培训的有，假设每位学生对培训项目的选择相互独立，且彼此选择互不影响. (1)任选1名学生，求该人参加过培训的概率； (2)任选3名学生，记为3人中参加过培训的人数，求的分布列和期望. 7. 甲、乙两位学生进行答题比赛，每局只有1道题目，比赛时甲、乙同时回答这一个问题，若一人答对且另一人答错，则答对者获得10分，答错者得分；若两人都答对或都答错，则两人均得0分．根据以往答题经验，每道题甲答对的概率为，乙答对的概率为，且甲、乙答对与否互不影响，每次答题的结果也互不影响． (1)求在一局比赛中，甲得10分的概率； (2)设这次比赛共有4局，设为甲得0分的次数，求的分布列和数学期望； (3)设这次比赛共有3局，若比赛结束时，累计得分为正者最终获胜，求甲最终获胜的概率． 8. 某中学在举行的国庆文艺会演中穿插有奖答题活动，该活动设置，两个题箱，参与者可以任意选择从题箱或题箱中不放回地抽题作答，选择从其中一个题箱抽题作答后，不得再从另一个题箱中抽题作答．具体规则如下： ①若从题箱中抽题作答，每位参与者均可抽取3道题作答，每答对1道题均可获得200元奖学金． ②若从题箱中抽题作答，每位参与者每次只能抽取1道题作答，最多有两次抽题作答机会．若第一次抽取1道题没有答对，则有奖答题结束，不能获奖；若第一次抽取1道题并答对，则再由该参与者与主持人各掷一枚质地均匀的硬币，决定是否继续进行第二次抽题作答，并规定：若两枚硬币都正面朝上，该参与者获得400元奖学金，不再进行第二次抽题作答，有奖答题结束，否则，该同学进行第二次抽题作答，如果答对，该参与者获得800元奖学金，有奖答题结束，如果没答对，该参与者不能获奖，有奖答题结束． 假设参加有奖答题活动的甲同学答对题箱中每道题的概率均为，答对题箱中每道题的概率均为，且任意两题间的抽取、作答等环节都相互独立． (1)若甲同学选择从题箱中抽题作答，求甲同学获得的奖学金不少于400元的概率； (2)若甲同学通过掷一次一枚质地均匀的硬币的方式，事先确定是从题箱还是从题箱中抽题作答，如果硬币正面向上，则从题箱中抽题作答，否则，从题箱中抽题作答，试求甲同学获得的奖学金数额（单位：元）的数学期望． 9. 玉溪青花瓷起源于元末明初，与江西景德镇、浙江江山并称“中国三大青花瓷产地”．其采用玉溪本地特有的红土和天然釉矿为原料烧制而成，工艺难度大，成功率低．假设青花瓷烧制开窑后经检验分为成品和废品两类，现有青花瓷6个，其中3个由工匠甲烧制，3个由工匠乙烧制，甲、乙两人烧制青花瓷的成品率分别为，． (1)求甲烧制的3个青花瓷中至多有2个成品的概率； (2)设乙烧制的这3个青花瓷中成品的个数为，求的分布列及期望． 10. 在2025年春晚《秧BOT》机器人节目中，有16个机器人参与表演.该人工智能机器人团队将传统艺术与现代科技完美融合，表演非物质文化遗产“转手绢”并完成复杂队形变换.这一创新表演不仅展示了我国人工智能技术的飞速发展，也体现了科技赋能传统文化的实践创新.某项研究表明，每个机器人独立完成转手绢动作成功的概率为0.8.在队形变换环节，机器人的表现存在差异：每个机器人若转手绢成功，则其队形变换成功的概率为0.9；若转手绢失败，则队形变换成功的概率为0.6. (1)若从该团队中随机抽取3个机器人调查研究，记X为成功完成转手绢动作的机器人个数，求X的分布列及数学期望； (2)若随机抽取一个机器人，已知其队形变换成功，求它转手绢成功的概率. 三、超几何分布 11. 某商场为了促进消费，推出购物优惠活动、消费者购物每满300元可参加一次抽奖，抽奖活动如下：抽奖箱设置3个红球和2个白球，每次抽取2个球.若抽中2个白球，返现金50元；若抽中1个红球和1个白球，返现金30元；若抽中2个红球，返现金20元. (1)顾客恰好消费了300元，设他所获得返现金额为随机变量.求的分布列与数学期望； (2)顾客消费了1000元： ①顾客获得返现金额为100元的概率是多少？ ②若该商场同时还推出购物享九折优惠活动（减免总金额的），则顾客应选择哪种方案更优惠？（备注：不能同时参加抽奖和打折活动） 12. 甲、乙两工厂共同生产一种零件， 经过抽样调查， 质检人员发现: 甲工厂生产的一批零件的合格品率为 85%；乙工厂生产的另一批零件的合格品率为 95%；若将这两批零件混合放在一起，则合格品率为 89%. (1)设甲工厂生产的这批零件有 件，乙工厂生产的这批零件有 件. 求证: ； (2)按照分层随机抽样的方法从两个工厂生产的零件中随机抽取 5 个，再从这 5 个零件中抽取 3 个，记这 3 个零件中来自乙工厂的个数为 ，求 的分布列和数学期望. 13. 巴东一中组织庆五一教职工篮球活动，我们年级有10名教职工参加，其中有6名理科教师、4名文科教师，为活动的需要，要从这10名教师中随机抽取3名教职工去买比赛服装. (1)已知10名教师中有2名班主任，求抽取的3名中至少有1名班主任的概率； (2)设表示抽取的3名教师中文科教师的人数，求的分布列及数学期望. 14. 某校为了提高教师身心健康号召教师利用空余时间参加阳光体育活动.现有4名男教师，2名女教师报名，本周随机选取2人参加. (1)记参加活动的女教师人数为X，求X的分布列及期望； (2)若本次活动有慢跑、游泳、瑜伽三个可选项目，每名女教师至多从中选择参加2项活动，且选择参加1项或2项的可能性均为，每名男教师至少从中选择参加2项活动，且选择参加2项或3项的可能性也均为，每人每参加1项活动可获得“体育明星”积分3分，选择参加几项活动彼此互不影响，记随机选取的两人得分之和为Y，求Y的期望. 15. 2025年6月14日，我国成功发射了电磁监测卫星“张衡一号”02星，此举标志着我国在地球物理场空间观测领域的探测能力实现了重大突破.为培育学生的航天精神，某校特地组织了航天知识竞赛活动.竞赛共有、两类试题，每类试题各有5道题，其中每答对1道类试题得5分，每答对1道类试题得10分，答错都不得分.每位参加竞赛的同学从这两类试题中共抽取3道作答（每道试题抽后不放回）.已知某同学类试题中有3道能答对类试题中每道题答对的概率均为. (1)若该同学只在类试题中抽取3道作答，设表示该同学作答这3道试题的总得分，求的分布列和数学期望； (2)若该同学在类试题中抽取1道，在类试题中抽取2道作答，当时，求他在这次竞赛中仅答对1道试题的概率； (3)若该同学在类试题中只抽取2道比抽取3道作答的总得分的期望值高，求的取值范围. 四、成对数据相关统计 16. 粮食是一个国家发展的基石，保障粮食安全是维护社会稳定的重要因素.小麦是我国两大口粮作物之一，其自身的稳定供应保障了数亿人口的食物需求，并通过产业链延伸带动了相关产业发展，促进了我国北方地区的经济发展.将2020~2024年记为年份代码1~5，我国小麦产量如下表所示. 年份代码 1 2 3 4 5 产量/千万吨 13.4 13.6 13.8 13.7 14.0 现规定表示年份代码，表示年份代码为的产量，经计算得，， (1)求样本的相关系数；（精确到0.01） (2)现从这5年中随机抽取2年，记这2年中小麦产量不低于13.7千万吨的年数为，求的分布列与期望. 附：相关系数，. 17. 粮食是一个国家发展的基石，保障粮食安全是维护社会稳定的重要因素.小麦是我国两大口粮作物之一，其自身的稳定供应保障了数亿人口的食物需求，并通过产业链延伸带动了相关产业发展，促进了我国北方地区的经济发展.我国于2020年打赢了脱贫攻坚战，其中小麦发挥了重大作用.以2020年为第1年，我国连续5年小麦产量如下： 年份 1 2 3 4 5 产量/千万吨 13.4 13.7 13.8 13.6 14.0 现规定表示第i年的年份，表示第i年的产量，经计算得，，. (1)求样本（，2，…，5）的相关系数（精确到0.01）； (2)现从这5年中随机抽取2年，记这2年中共有X年的小麦产量不低于13.7千万吨，求X的分布列与期望. 附：样本相关系数，. 18. 近年来某用户保持连续增长，李明收集了年的年份代码与该在线用户数y（单位：万）的数据，具体如下表所示： 年份代码x 1 2 3 4 5 在线用户数y（单位：万） 80 150 210 260 300 (1)求样本相关系数r（精确到小数点后第二位，采用四舍五入法），并判断变量x与y之间的线性相关关系的强弱； (2)从年中随机抽取三个不同年份所对应的在线用户数据，记最小的数据为，求的分布列及数学期望． 注：样本相关系数．当越接近1时，成对样本数据的线性相关程度越强；当越接近0时，成对样本数据的线性相关程度越弱．其中，． 19. 2025年渝超联赛正如火如荼地进行，联赛分两个阶段，第一阶段为各赛区比赛，第二阶段为总决赛.联赛积分规则为：胜一场得3分，平一场得1分，负一场得0分.九龙坡区队属于中心城区赛区，该赛区共有11支球队进行单循环比赛(每支参赛队伍均与其他所有队伍恰好比赛一次).已知九龙坡区队在与赛区中任何一个对手比赛时，获胜的概率均为，平局的概率均为，失利的概率均为，且各场比赛结果相互独立. (1)九龙坡区队教练组为研究观众人数对球队成绩的影响，用模拟了该球队在5种不同观众人数(单位：千人)下的比赛表现(每场均模拟完整的小组赛).模拟数据如下： 场均观众人数 (千人) 8 12 6 15 9 小组赛积分 10 16 8 18 13 请计算场均观众人数 (千人)与小组赛积分的样本相关系数 (精确到0.01)，并说明两者之间的线性相关程度； (2)九龙坡区队在9月13日的揭幕赛中以失利于渝中区队，积0分.根据赛事规则推算，在中心城区赛区，球队至少需要获得23分才有晋级总决赛的可能.求九龙坡区队在第一阶段未来赛事中至少获得23分的概率. 附：相关系数， 20. 随着科技的发展，人工智能生成的虚拟角色正逐步取代传统的真人直播带货.某公司使用虚拟角色直播带货后销售金额逐步提升，根据该公司使用虚拟角色直播带货后20个月的销售金额的情况统计，得到一组样本数据，其中和分别表示月份编号和销售金额（单位：万元），并计算得，，. (1)求样本的相关系数（精确到），并推断销售金额（单位：万元）和月份编号的相关程度； (2)已知这20个月中有8个月的销售金额低于平均数，从这20个月中随机抽取2个月的销售金额，记抽到销售金额低于平均数的月份数为，求随机变量的分布列. 附：相关系数. 五、一元线性回归 21. 某种机械设备随着使用年限的增加，它的使用功能逐渐减退，使用价值逐年减少，通常把它使用价值逐年减少的“量”换算成费用，称之为“失效费”．某种机械设备的使用年限（单位：年）与失效费（单位：万元）的统计数据如下表所示： 使用年限（单位：年） 2 4 5 6 8 失效费（单位：万元） 3 4 5 6 7 (1)根据上表数据，计算与的相关系数，并说明与的线性相关性的强弱． （已知：，则认为与线性相关性很强；，则认为与线性相关性一般；，则认为与线性相关性较弱）（的结果精确到0.0001） (2)求关于的线性回归方程，并估算该种机械设备使用10年的失效费． 附：样本的相关系数，经验回归方程的斜率和截距的最小二乘估计分别为，． 22. 为响应“智慧农业”政策，某企业通过田间试验研究了一种针对于番茄的新型无污染肥料.研究过程中，对其进行经济大致评估，该肥料成本约为10000元／升，其他固定成本约为220000元／公顷，番茄市场批发价约为8000元／吨，在实际生产过程中，该肥料的施用量（，单位：升／公顷）与番茄最终收获量（，单位：吨／公顷）之间的关系满足下表，其中表格数据已经过部分筛选与简化处理： 肥料施用量（升／公顷） 10 15 20 25 30 番茄收获量（吨／公顷） 55 60 75 80 90 参考数据：利用最小二乘法计算回归直线，截距和斜率的估计公式为计算得. (1)利用最小二乘法及已知数据，求番茄收获量随肥料施用量变化的线性回归方程； (2)某农户根据试验结果提出了以下两种增产方案，试基于（1）中的回归模型的合理性及农业科学常识分别对这两种方案进行经济与效益评估：方案：施用28升／公顷的肥料；方案：施用45升／公顷的肥料. 23. 为了提高利润，某果园每年投入一定的资金，对种植、采摘、包装、宣传等环节进行改进．如图，这是2016年至2025年该果园每年的投资金额（单位：万元）与年利润增量（单位：万元）的散点图． 模型①由最小二乘法可求得与的经验回归方程为； 模型②由图中样本点的分布，可以认为样本点集中在曲线的附近，令，则，且有． (1)根据所给的统计量，求模型②中关于的经验回归方程； (2)已知2025年的投资金额为20万，年利润增量为40万，分析这两种模型在2025年时哪个模型的预报效果更好． 参考公式与数据：． 24. 某电器公司的市场研究人员为了解公司的经营状况，对该公司最近六个月内的市场占有率进行了统计，结果如表所示： 年份 2020年 2021年 月份 9月 10月 11月 12月 1月 2月 月份代码x 1 2 3 4 5 6 市场占有率y（%） 11 13 16 15 20 21 (1)用相关系数说明月度市场占有率y与月份代码x之间的关系是否可用线性回归模型拟合？ (2)求y关于x的线性回归方程，并预测何时该种产品的市场占有率超过30%? (3)根据市场供需情况统计，得到该公司产品2020年的月产量X（单位：万件）的分布列为 X 1 1.2 P 0.6 0.4 2020年的该公司产品的市场价格Y（单位：万元/件）对应的概率分布为．假设每月固定成本为200万元，求该产品平均每月利润的分布列和数学期望． 参考数据：，，． 参考公式：相关系数， 回归直线方程为，其中：，． 25. 台州是全国三大电动车生产基地之一，拥有完整的产业链和突出的设计优势某电动车公司为了抢占更多的市场份额，计划加大广告投入、该公司近5年的年广告费（单位：百万元）和年销售量（单位：百万辆）关系如图所示： 令，数据经过初步处理得：，，，，，，.现有①和②两种方案作为年销售量y关于年广告费x的回归分析模型，其中a，b，m，n均为常数. (1)请从相关系数的角度，分析哪一个模型拟合程度更好? (2)根据（1）的分析选取拟合程度更好的回归分析模型及表中数据，求出y关于x的回归方程，并预测年广告费为6（百万元）时，产品的年销售量是多少? 附：①相关系数，回归直线中公式分别为，； ②参考数据：，，， 六、独立性检验 26. 某市为了研究学生身体素质与课外体育锻炼时间的关系，在某个区随机调查了1000名学生，得到如下列联表： 课外体育锻炼时间组别 达标 不达标 合计 身体素质强 860 40 900 身体素质弱 40 60 100 合计 900 100 1000 (1)根据小概率值的独立性检验，分析课外体育锻炼时间与身体素质是否有关； (2)如果用该区学生达标成绩的情况来估计全市学生的达标情况，现从全市学生中随机抽取3名，求恰有1人课外体育锻炼时间达标的概率. 附 0.050 0.010 0.001 3.841 6.635 10.828 27. 为了解某养殖产品在某段时间内的生长情况，在该批产品中随机抽取了120件样本，测量其增长长度（单位：），经统计其增长长度均在区间内，将其按分成6组，制成频率分布直方图，如图所示其中增长长度为及以上的产品为优质产品. (1)已知这120件产品来自两个试验区，部分数据如下列联表： 试验区 试验区 合计 优质产品 20 非优质产品 60 合计 将此列联表补充完整，并判断是否有的把握认为优质产品与两个试验区有关系，并说明理由； 参考公式，其中. 临界值表： 0.15 0.10 0.05 0.025 0.010 0.005 0.001 2.072 2.706 3.841 5.024 6.635 7.879 10.828 (2)以样本的频率代表产品的概率，从这批产品中随机抽取4件进行分析研究，计算抽取的这4件产品中含优质产品的件数的分布列和数学期望. 28. 为研究甲、乙两种治疗方案的疗效，从选择甲、乙方案进行治疗的患者中随机抽取2000名得到如下列联表： 效果明显 效果不明显 合计 甲方案 1000 200 1200 乙方案 600 200 800 合计 1600 400 2000 (1)根据小概率值的独立性检验，分析治疗效果与选择甲、乙方案是否有关联； (2)在800名选择乙方案的患者中按效果是否明显用分层随机抽样的方法抽取8人，再从这8名患者中随机抽取4人，设表示4名患者中效果不明显的人数，求的分布列和数学期望． 附：． 0.1 0.01 0.001 2.706 6.635 10.828 29. 利用错题去学习是比较高效的学习方法.为了研究学生每天整理数学错题的情况，某校数学建模兴趣小组的同学在本校高三年级学生中采用随机抽样的方法抽取了60名学生，调查他们的数学成绩和整理数学错题的情况，统计数据如下： 数学成绩总评优秀人数 数学成绩总评非优秀人数 合计 每天都整理数学错题人数 20 10 不是每天都整理数学错题人数 22 合计 60 (1)完成上述列联表，并估计本校高三年级学生中不是每天都整理数学错题且数学成绩总评优秀的概率； (2)根据小概率值的独立性检验，分析数学成绩总评优秀与每天都整理数学错题是否有关联? (3)从样本中每天都整理数学错题的学生中随机抽取3名学生做进一步访谈，设抽取到数学成绩总评优秀的人数为，求的分布列和数学期望. 附：，其中； 0.10 0.01 0.001 2.706 6.635 10.828 30. 为了解观看某场“苏超”联赛与性别是否有关系，某机构随机抽取了部分市民，调查他们对赛事的关注情况，得到如下表格： 性别 不关注赛事 关注赛事 合计 男性 25 150 175 女性 50 75 125 合计 75 225 300 (1)对照列联表，能否有99.9%的把握认为关注“苏超”赛事与性别有关？ (2)现从被调查的关注赛事的市民中，按照性别比例采用分层抽样的方法随机抽取6名市民参加“苏超”赛事知识问答，再从这6名市民中抽取3人参加抽奖活动，记这3人中女性人数为X，求X的分布列和期望. 附：，. 0.01 0.005 0.001 6.635 7.879 10.828 七、概率与数列（马尔科夫链） 31. 某学校有C、D两个图书馆，某学生每天都会在这两个图书馆中选择一个去学习，已知该学生第一天选择C图书馆的概率是，若在前一天选择C图书馆的条件下，后一天继续选择C图书馆的概率为，而在前一天选择D图书馆的条件下，后一天继续选择D图书馆的概率为，如此往复. (1)求该学生第一天和第二天都选择C图书馆的概率； (2)求该学生第二天选择C图书馆的概率； (3)记该学生第n天选择C图书馆的概率为，求数列的通项公式. 32. 某电信部门推出办卡优惠活动，有A套餐和B套餐，经过顾客喜好数据分析：每位顾客选择A套餐的概率为，选择B套餐的概率为. (1)假设顾客选择A、B套餐，领取优惠券的概率分别为0.7、0.2，求顾客领取优惠券的概率； (2)假设A套餐包含一张话费优惠券，B套餐包含两张话费优惠券，截至某一时刻，设该商场恰好发出了n张话费优惠券的概率为. （ⅰ）证明（）为等比数列，并求的通项公式； （ⅱ）求数列的最值. 33. 某学校有，两家餐厅，据统计发现，该校学生如果第1天去餐厅，那么第2天去餐厅的概率为；如果第1天去餐厅，那么第2天去餐厅的概率为.假设某同学第1天午餐时随机地选择一家餐厅用餐，且第天去餐厅用餐的概率是. (1)求，，的值； (2)求证：数列是等比数列，并求； (3)若当，有，则称为该同学“习惯去餐厅的概率”.若甲乙丙三人“习惯去餐厅的概率”相同，设某天甲乙丙三人独立去餐厅，表示三人去餐厅的人数，求. 34. 某答题挑战赛规则如下：比赛按轮依次进行，只有答完一轮才能进入下一轮，若连续两轮均答错，则挑战终止；每一轮系统随机地派出一道通识题或专识题，派出通识题的概率为，派出专识题的概率为.已知某选手答对通识题与专识题的概率分别为，且各轮答题正确与否相互独立. (1)求该选手在一轮答题中答对题目的概率； (2)记该选手在第轮答题结束时挑战依然未终止的概率为， （i）求； （ii）证明：存在实数，使得数列为等比数列. 35. 某商场拟在年末进行促销活动，为吸引消费者，特别推出“玩游戏，送礼券”的活动，游戏规则如下：每轮游戏都抛掷一枚质地均匀的骰子（形状为正方体，六个面的点数分别为1，2，3，4，5，6），若向上点数不超过2点，获得1分，否则获得2分，进行若干轮游戏，若累计得分为19分，则游戏结束，可得礼券，若累计得分为20分，则游戏结束，可得到礼券，最多进行19轮游戏. (1)当进行完3轮游戏时，总分为，求的期望； (2)若累计得分为的概率为，（初始得分为0分，）. ①证明数列，，，，是等比数列； ②求活动参与者得到礼券的概率. 试卷第1页，共3页 1 学科网（北京）股份有限公司 $