导数解答题专练-2026届高三数学二轮复习

导数 一、求函数单调区间（含参） 1. 已知函数. (1)若在点处的切线与直线平行，求在点处的切线方程； (2)求函数的单调区间. 2. 已知函数. (1)当时，求曲线在点处的切线方程; (2)讨论函数的单调性. 3. 已知函数. (1)当时，求的单调区间 (2)讨论的单调性； 4. 已知函数. (1)当时，求曲线在点处的切线方程； (2)求函数的单调递增区间. 5. 已知函数，其中． (1)当时，若直线是曲线的一条切线，求的值； (2)讨论的单调性； 二、求函数极值 6. 已知函数 . (1)求证：曲线在点 处的切线总与直线平行； (2)函数在区间上存在极值点， （i）求的取值范围； （ii）求在区间上的零点个数. 7. 已知函数． (1)当时，求曲线在点处的切线方程； (2)求的单调性和极值． 8. 已知函数． (1)若，求的图象在处的切线方程； (2)若恰有两个极值点，求的取值范围. 9. 已知函数. (1)求曲线在点处的切线方程； (2)求在上的极值. 10. 已知函数，曲线在处的切线方程平行于轴. (1)求的值； (2)求函数的极值. 三、求函数最值 11. 已知函数 (1)当时，求的单调区间与极值； (2)当时，求的最小值. 12. 已知函数， (1)若是奇函数，求实数的值，并求在此条件下满足的实数的取值范围； (2)若的定义域是. （i）求的单调递增区间； （ii）记在定义域上的最小值是，求的解析式. 13. 已知，函数． (1)当时，求曲线在点处的切线方程； (2)讨论函数的单调性； (3)当时，求函数在区间上的最小值． 14. 已知函数； (1)若，求函数的单调区间； (2)当时，求函数在上的最大值． 四、利用导数证明不等式 15. 已知函数， (1)当时，求曲线在点处的切线方程； (2)若有最大值，求证：． 16. 已知函数. (1)若，求函数的单调区间； (2)若恒成立，求a的取值范围； (3)证明：，. 17. 设函数，. (1)若存在大于0的零点，求a的取值范围； (2)设点在曲线的任意一点的切线上，证明：. 18. 已知函数，设. (1)求证：是上的单调递减函数； (2)求证：当时，. 19. 已知函数，. (1)讨论的单调性； (2)证明：若，则存在唯一的极小值，且. 20. 已知. (1)令，求的最小值； (2)求证：当时，. 五、导数中的恒成立问题 21. 已知，，. (1)讨论函数的单调性； (2)求证：当时，； (3)若在时恒成立，求实数的取值范围. 22. 已知函数． (1)求函数在处的切线方程； (2)若恒成立，求实数的取值范围． 23. 已知函数. (1)讨论的单调区间和极值. (2)若，不等式的解集为，求的取值范围. 24. 已知函数． (1)若，求曲线在处的切线方程； (2)讨论的单调性； (3)若，恒成立，求的取值范围． 25. 已知函数． (1)讨论的单调性； (2)若在内的最大值为2，求的值； (3)若，求的取值范围． 六、导数中的能成问题 26. 已知函数. (1)求的单调区间； (2)若对于任意，总存在，使得，求的取值范围. 27. 已知函数，，. (1)求函数在区间上的最小值； (2)若存在，使得成立，求实数的取值范围； (3)对于任意的，总存在，使得成立，求实数的取值范围. 28. 已知函数. (1)若时，求曲线在处切线的斜率； (2)求的单调区间； (3)设，若对任意，均存在，使得，求的取值范围. 29. 已知函数． (1)当时，求曲线在点处的切线方程； (2)讨论的单调性； (3)设，函数，对于，，使得，求实数的取值范围． 30. 已知函数，其中． (1)求在处的切线方程； (2)求函数的极值； (3)若关于的不等式在上有解，求实数的取值范围． 七、利用导数研究函数零点 31. 已知函数. (1)若曲线在处的切线与在处的切线的倾斜角互补，求的值； (2)已知有三个不同的零点.求的取值范围． 32. 已知函数. (1)判断在区间的单调性； (2)证明：当时，； (3)证明：在上有且只有一个零点. 33. 已知函数. (1)若，证明：当时，； (2)若，求的最小值； (3)讨论的零点个数. 34. 已知函数. (1)当时，求曲线在点处的切线方程； (2)讨论函数的单调性； (3)若函数有三个零点，求的取值范围. 35. 已知函数. (1)求曲线在点处的切线方程； (2)求证：存在极大值点； (3)求的零点个数. 八、利用导数研究双变量问题 36. 已知函数． (1)求函数在上的最值及其零点个数； (2)若对于任意的，均有，求的取值范围． 37. 已知函数， (1)若在定义域内单调递增，求实数的取值范围； (2)当时，若对任意，不等式恒成立，求实数的最小值； (3)若存在两个不同的极值点，，且，求实数的取值范围． 38. 设函数 (1)分析的单调性和极值； (2)设，若对任意的，都有成立，求实数m的取值范围； (3)若，且满足时，证明：. 39. 已知函数，其中参数． (1)求函数的单调区间； (2)设函数，存在实数，使得不等式成立，求a的取值范围． 40. 设函数. (1)当时，求函数的单调区间； (2)若函数有两个极值点，且，求的最小值. 九、导数中的极值点偏移问题 41. 已知函数，. (1)若对于任意，都有，求实数的取值范围； (2)若函数有两个零点，求证：. 42. 已知函数. (1)当时，求函数的零点个数. (2)若关于的方程有两个不同实根，求实数的取值范围并证明. 43. 已知函数. (1)当时，求曲线在点处的切线方程； (2)若函数有两个不同零点，求的取值范围，并证明. 44. 已知函数. (1)若函数有两个零点，求的取值范围； (2)设是函数的两个极值点，证明：. 45. 已知函数，直线与曲线相切． (1)求实数的值； (2)若曲线与直线有两个公共点，其横坐标分别为． ①求实数的取值范围； ②证明：． 学科网（北京）股份有限公司 $ 导数 一、求函数单调区间（含参） 1. 已知函数. (1)若在点处的切线与直线平行，求在点处的切线方程； (2)求函数的单调区间. 【答案】(1) (2)答案见解析 【知识点】求在曲线上一点处的切线方程（斜率）、利用导数求函数（含参）的单调区间 【分析】（1）由在点处的切线与直线平行，求出，再求出点处的斜率和坐标，利用点斜式得到切线方程. （2）求出导函数，对参数进行分类讨论即可得到函数的单调区间. 【详解】（1） 由题意，，即， 所以，所以处的切点为 所以在点处的切线方程为， （2）函数的定义域为， 当时，恒成立， 所以单调递增区间为，无单调减区间； 当时，令，解得，令，解得， 所以单调递增区间为，单调减区间为. 2. 已知函数. (1)当时，求曲线在点处的切线方程; (2)讨论函数的单调性. 【答案】(1)； (2)答案见解析. 【知识点】求在曲线上一点处的切线方程（斜率）、利用导数求函数（含参）的单调区间 【分析】（1）求出及，根据导数的几何意义即可求解； （2），令,得或，对与的大小分类讨论，即可判断的单调性. 【详解】（1）时，， 则. 又，则, 故曲线在点处的切线方程为. （2）函数的定义域为， ， 令,得或， 当，即时，， 故在上单调递增. 当，即时， 当时，，单调递增； 当时，，单调递减； 当时，，单调递增. 当，即时， 当时，，单调递增； 当时，，单调递减； 当时，，单调递增. 综上所述，当时，在上单调递增; 当，在和上单调递增，在上单调递减; 当时，在和上单调递增，在上单调递减. 3. 已知函数. (1)当时，求的单调区间 (2)讨论的单调性； 【答案】(1)在单调递增，在单调递减； (2)答案见解析. 【知识点】利用导数求函数的单调区间（不含参）、利用导数求函数（含参）的单调区间 【分析】（1）把代入，利用导数求出函数的单调区间. （2）求出函数导数，再按分类讨论求解函数的单调性. 【详解】（1）当时，函数的定义域为， 求导得， 当时，；当时，， 所以函数在上单调递增，在上单调递减. （2）函数的定义域为，求导得， 当时，，函数在上单调递增； 当时，由，得；由，得， 函数在上单调递增，在上单调递减， 所以当时，函数在上单调递增； 当时，函数在上单调递增，在上单调递减. 4. 已知函数. (1)当时，求曲线在点处的切线方程； (2)求函数的单调递增区间. 【答案】(1) (2)答案见解析 【知识点】求在曲线上一点处的切线方程（斜率）、利用导数求函数（含参）的单调区间 【分析】（1）求导得切线斜率，求得切点纵坐标，再根据点斜式得切线方程； （2）求导得，讨论与的大小，解在定义域内的解集从而得函数单调增区间. 【详解】（1）当时，函数， 所以， 所以， 所以所求切线方程为，即； （2）因为，其定义域为， 所以， 当时，由，解得或； 当时，恒成立且在时取等号； 当时，由，解得或. 综上，当时，函数的单调递增区间为； 当时，函数的单调递增区间为； 当时，函数的单调递增区间为. 5. 已知函数，其中． (1)当时，若直线是曲线的一条切线，求的值； (2)讨论的单调性； 【答案】(1) (2)答案详见解析 【知识点】已知切线（斜率）求参数、利用导数求函数（含参）的单调区间 【分析】（1）利用导数的几何意义可得答案； （2）利用导数含参讨论函数的单调性即可. 【详解】（1）当时，， 则， 当时，解得或（舍）， 则，可得切点， 代入切线方程得， 解得． （2）已知， 得； 当时，定义域为， ， 二次函数图象开口向上，且 令，在必有解， 当时，在上单调递减， 当时，在上单调递增； 时，定义域为，则恒成立，在上单调递减， 综上所述：当时，在上单调递减，在上单调递增； 当时，在上单调递减． 二、求函数极值 6. 已知函数 . (1)求证：曲线在点 处的切线总与直线平行； (2)函数在区间上存在极值点， （i）求的取值范围； （ii）求在区间上的零点个数. 【答案】(1)见解析 (2)（i）；（ii）1个零点 【知识点】求在曲线上一点处的切线方程（斜率）、根据极值求参数、函数单调性、极值与最值的综合应用、利用导数研究函数的零点 【分析】（1）先对函数求导，再求出和的值，根据导数的几何意义得到切线方程，进而证明切线与直线平行. （2）（i）对函数求导，根据函数在区间上存在极值点，分析导数在该区间上的正负变化，确定的取值范围. （ii）结合（i）问中的取值范围，分析函数在区间上的单调性，判断零点个数. 【详解】（1）由，得， ， ， 所以曲线在点处的切线的斜率为0，切线方程为， 所以曲线在点处的切线总与直线平行. （2）（i）由（1）知，因为， 所以，令， 当时，，在区间上单调递增，且， 所以在区间上恒成立，即在区间上恒成立， 在区间上单调递增，无极值点. 当时，在区间上递减，令，得. 若，即时，在区间上恒成立， 即在区间上恒成立，在区间上单调递减，无极值点. 若，即时， 当时，，则，单调递增； 当时，，则，单调递减， 所以在处取得极大值，满足函数在区间上存在极值点. 综上，的取值范围是. （ii）由（i）知当时， 在区间上单调递增，在区间上单调递减，且， 当时，函数的趋势由起决定作用的项决定， 因为，所以， 因此在区间上有且仅有1个零点. 7. 已知函数． (1)当时，求曲线在点处的切线方程； (2)求的单调性和极值． 【答案】(1)； (2)答案见解析. 【知识点】求在曲线上一点处的切线方程（斜率）、求已知函数的极值、利用导数求函数（含参）的单调区间 【分析】（1）把代入，求出导数，再利用导数的几何意义求出切线方程. （2）求出函数的导数，按分类探讨函数的单调区间及极值. 【详解】（1）当时，则，求导得，则，而， 所以曲线在点处的切线方程为，即. （2）函数的定义域为，求导得，显然， 当时，，函数在上单调递增，无极值； 当时，由，得；由，得， 因此函数在上单调递增，在上单调递减， 在处取得极大值，无极小值， 所以当时，函数在上单调递增，无极值； 当时，函数在上单调递增，在上单调递减，极大值为，无极小值. 8. 已知函数． (1)若，求的图象在处的切线方程； (2)若恰有两个极值点，求的取值范围. 【答案】(1) (2) 【知识点】求在曲线上一点处的切线方程（斜率）、根据极值点求参数 【分析】（1）根据导数的几何意义求出得到切线斜率，再由点斜式写出直线方程； （2）由题知有两个不相等的正实根，结合二次方程根的分布问题处理. 【详解】（1）当时， ， 则 则的图象在处的切线方程为， 即 （2） 令，由恰有两个极值点， 则有两个不同实数根，且 则有 解得 9. 已知函数. (1)求曲线在点处的切线方程； (2)求在上的极值. 【答案】(1) (2)极大值，有极小值1 【知识点】求在曲线上一点处的切线方程（斜率）、求已知函数的极值 【分析】（1）由函数解析式求导数，从而求得切点坐标和切线斜率，由点斜式写出切线方程； （2）令导数解得，然后通过列表即可求得函数的极大值与极小值. 【详解】（1）， 所以，，， 所以曲线在点处的切线方程为； （2）， 令，则或. 如下表， 1 0 0 单调递增 极大值 单调递减 极小值 单调递增 所以，函数有极大值，有极小值1. 10. 已知函数，曲线在处的切线方程平行于轴. (1)求的值； (2)求函数的极值. 【答案】(1) (2)极小值为，无极大值 【知识点】求在曲线上一点处的切线方程（斜率）、已知切线（斜率）求参数、求已知函数的极值 【分析】（1）求导，得到函数在处的斜率，列方程求出的值； （2）利用导数研究函数的单调性，进而求出极值. 【详解】（1）因为， 所以， 所以， 又因为曲线在处的切线方程平行于轴， 所以，即，解得； （2）由（1）可知，所以， 要使该函数有意义，则，所以且， 所以函数定义域为 又，因为， 令，解得或（负值舍去）， 所以， 所以当时，，，单调递减， 当时，，，单调递减， 当时，，，单调递增， 所以函数在处取得极小值，极小值为， 又极值点不能在区间端点处取得，所以该函数无极大值. 三、求函数最值 11. 已知函数 (1)当时，求的单调区间与极值； (2)当时，求的最小值. 【答案】(1)单调递增区间为，单调递减区间为，，无极大值； (2)答案见解析. 【知识点】利用导数求函数的单调区间（不含参）、求已知函数的极值、函数单调性、极值与最值的综合应用、由导数求函数的最值（含参） 【分析】（1）研究导函数正负情况即可求解； （2）利用导数工具分当、、、四种情况研究函数的单调性即可求解. 【详解】（1）当时，，定义域为，， 令，即，解得，可得，，的变化如下表所示， 0 － 0 ＋ ↘ 极小值 ↗ 所以的单调递增区间为，单调递减区间为， 所以，无极大值 （2）为增函数， ①当时，在上，函数单调递增， 此时； ②当时，令解得 若，即，在上，函数单调递增， 此时； 若，即，在上，，的变化如下表所示， － 0 ＋ ↘ 极小值 ↗ 此时； 若，即，在上，函数单调递减， 此时； 综上所述，当时取得最小值， 当时，取得最小值， 当时取得最小值. 12. 已知函数， (1)若是奇函数，求实数的值，并求在此条件下满足的实数的取值范围； (2)若的定义域是. （i）求的单调递增区间； （ii）记在定义域上的最小值是，求的解析式. 【答案】(1) (2)（i）和； （ii） 【知识点】由导数求函数的最值（含参）、利用导数求函数（含参）的单调区间、根据函数的单调性解不等式 【分析】（1）根据奇函数的定义求得，求导可得函数的单调性，列不等式可得结果. （2）（i）通过导数可求的单调递增区间. （ii）分析函数的极小值，与作比较可得结果. 【详解】（1）由题意得，定义域为，关于原点对称. 因为是奇函数， 所以恒成立， 所以，解得， 所以， 由得，或，由得，， 所以在上单调递增，在上单调递减. 因为，， 所以，即，解得或， 所以实数的取值范围为. （2）（i）由题意得，， 由得或. 因为，所以由得，或，由得，， 所以的单调递增区间为和. （ii）由（i）得，在，上单调递增，在上单调递减， 所以当时，的极小值为，且. 当，即时，，， 当，即时，，， 综上得，. 13. 已知，函数． (1)当时，求曲线在点处的切线方程； (2)讨论函数的单调性； (3)当时，求函数在区间上的最小值． 【答案】(1) (2)答案见解析 (3)答案见解析 【知识点】由导数求函数的最值（含参）、利用导数求函数（含参）的单调区间、求在曲线上一点处的切线方程（斜率） 【分析】（1）求导，可得，，结合导数的几何意义，点斜式求切线方程； （2）求导可得，分和两种情况，利用导数分析的单调性； （3）分类讨论与区间的关系，根据单调性求函数最小值即可. 【详解】（1）当时，则，， 可得，， 即切点坐标为，切线斜率， 所以在处的切线方程为：． 即切线方程为. （2）由题意可得：， 注意到， ①若，，则在上单调递减， ②若，令时，解得， 当，；当，； 所以在上单调递增，在上单调递减． 综上，时，在上单调递减； 时，在上单调递增，在上单调递减． （3）由（2）知时，在上单调递增，在上单调递减， ①当时，即时，函数在区间上单调递增， 所以； ②当时，即时，函数在区间上单调递减， 在上单调递增，所以； ③当，即时，函数在区间上单调递减， 所以. 综上，时，，时，， 时，. 14. 已知函数； (1)若，求函数的单调区间； (2)当时，求函数在上的最大值． 【答案】(1)单调增区间为，单调减区间为. (2)答案见解析. 【知识点】由导数求函数的最值（含参）、利用导数求函数的单调区间（不含参） 【分析】（1）代入得，求导得，分析其单调性即可； （2）求导得，分和讨论即可. 【详解】（1）函数定义域为， 当时，， 则， 令， 令， 所以的单调增区间为，单调减区间为. （2）， 令解得 ①当时， 当时，在区间上单调递增， 当时，在区间上单调递减． . ②当时， 当时，，在区间单调递增． . 综上所述，当时，， 当时，. 四、利用导数证明不等式 15. 已知函数， (1)当时，求曲线在点处的切线方程； (2)若有最大值，求证：． 【答案】(1) (2)证明见解析 【知识点】由导数求函数的最值（含参）、利用导数证明不等式、求在曲线上一点处的切线方程（斜率） 【分析】（1）求出函数的导函数，根据导数的几何意义求出切线方程； （2）求出函数导函数，分，两种情况讨论函数的单调性，即可得到函数的最大值，依题意即证，构造函数，利用导数说明函数的单调性，即可证明. 【详解】（1）当时，．， 则，， 故曲线在点处的切线方程是． （2）函数的定义域为， 又， 当时，，故在上单调递增，无最大值； 当时，令，则， 所以时，，时，， 所以在上单调递增，在上单调递减． 故的最大值是， 要证， 令，，则， 所以当时，当时， 所以在上单调递增，在上单调递减， 又，则．即，得证． 16. 已知函数. (1)若，求函数的单调区间； (2)若恒成立，求a的取值范围； (3)证明：，. 【答案】(1)函数的递增区间为，递减区间为； (2)； (3)证明见解析. 【知识点】利用导数求函数的单调区间（不含参）、利用导数证明不等式、利用导数研究不等式恒成立问题 【分析】（1）直接利用函数的导数判断函数的单调区间； （2）将不等式转化为恒成立，进而再构造函数，故只需求出的最大值，即可得所求值的范围； （3）先证明不等式，再根据不等式进行放缩并累加求和即可证明不等式. 【详解】（1）因为函数，函数的定义域为，. 当时，，因为，所以，. 故函数在上单调递减，在上单调递增. 故函数的递增区间为，递减区间为. （2）由，即，得在上恒成立； 令，. 由得，即，所以当，. 所以在上单调递增，在单调递减，所以. 所以，故a的取值范围为 （3）先证明不等式，令，. 所以在单调递减，所以，即不等式成立. 令，即，所以. 所以，，，. 上述n个式子相加得 . 故，成立. 17. 设函数，. (1)若存在大于0的零点，求a的取值范围； (2)设点在曲线的任意一点的切线上，证明：. 【答案】(1) (2)证明见解析 【知识点】利用导数证明不等式、利用导数研究函数的零点 【分析】（1）由的单调性结合零点存在性定理确定，再构造函数，根据其单调性确定参数范围即可； （2）设切点坐标，根据导数的几何意义得出切线方程，将问题化为证明，构造函数，求导判定其单调性与最值证明即可. 【详解】（1）易知函数在R上单调递增，且时，， 若存在大于0的零点，则，即. 令，易知函数在R上单调递增， 因为，所以要使，只需， 即的取值范围为. （2）易知，设切点为， 则切线为， 由于是切线上一点，故， 要证，即证， 等价于证明， 设，则. 当时，，单调递减，当时，，单调递增. 又，故， 也即得证. 18. 已知函数，设. (1)求证：是上的单调递减函数； (2)求证：当时，. 【答案】(1)证明过程见解析 (2)证明过程见解析 【知识点】用导数判断或证明已知函数的单调性、利用导数证明不等式 【分析】（1）二次求导，得到在上单调递减，结合特殊点函数值，得到在上恒成立，故是上的单调递减函数； （2）令，求导，分和两种情况，结合（1）中所求及三角函数有界性，放缩得到，综上，当时，. 【详解】（1）， ， 令， 则在上恒成立， 所以在上单调递减，其中， 故在上恒成立， 故是上的单调递减函数； （2）当时，令， 则， 由（1）可知是上的单调递减函数，故， 故在上恒成立， 故在上单调递减， 故，故， 当时，， 故，， 所以， 所以，， 综上，当时，. 19. 已知函数，. (1)讨论的单调性； (2)证明：若，则存在唯一的极小值，且. 【答案】(1)答案见解析 (2)证明见解析 【知识点】求已知函数的极值、函数单调性、极值与最值的综合应用、利用导数证明不等式、利用导数求函数（含参）的单调区间 【分析】（1）利用导数分和两种情况讨论导数正负得出函数的单调区间； （2）由题设，，并用导数研究的单调性和极值，即可证. 【详解】（1）因为，其中，. ①当时，恒成立，的增区间为，无减区间； ②当时，令，得， 由可得；由可得. 此时，函数的减区间为，增区间为. 综上所述：当时，的增区间为，无减区间； 当时，函数的减区间为，增区间为. （2）当时，，， 令，，则在上恒成立， ∴在上单调递增， 又∵，，则方程只有一解，设为， ∴存在唯一的，使得，即， 当时，，当时，， ∴在上单调递减，在上单调递增， ∴， ∵，∴， ∴， 即. 20. 已知. (1)令，求的最小值； (2)求证：当时，. 【答案】(1) (2)证明见解析 【知识点】由导数求函数的最值（不含参）、利用导数证明不等式 【分析】（1）根据条件得，利用导数直接求出的单调区间，即可求解； （2）利用（1）中结果得在区间上单调递增，从而当时，，即可求解. 【详解】（1）因为，则， 所以，易知，， 当时，，当时，， 即在区间上单调递减，在区间上单调递增， 所以的最小值为. （2）因为，则， 由（1）可知在恒成立， 所以在恒成立， 即在区间上单调递增， 所以当时，， 即，命题得证. 五、导数中的恒成立问题 21. 已知，，. (1)讨论函数的单调性； (2)求证：当时，； (3)若在时恒成立，求实数的取值范围. 【答案】(1)答案见解析； (2)证明见解析； (3) 【知识点】利用导数证明不等式、利用导数研究不等式恒成立问题、利用导数求函数（含参）的单调区间 【分析】（1）通过导数，结合分类讨论，即可判断单调性； （2）通过不等式变形，构造函数，再求导即可判断单调性来进行证明； （3）通过不等式变形，构造函数，再利用求导，结合端点值效应，必要性先行，再证明充分性，即可求解. 【详解】（1）由， 当时，，则在上单调递增； 当时，由可解得：， 由可解得：或， 则在区间上单调递增，在区间，上单调递减； （2）当时，要证明，即证明， 即证明：，令，， 则 ， 所以在上单调递增， 即， 所以原不等式得证； （3）由可得： ， 因为，所以，即原不等式， 令，，， 又令，则， 又令，则， 先判断必要性： 因为，，， 要证明当，， 则必满足在及附近单调递减，则必有， 当时， 此时必存在区间，使得，即在上单调递增， 则，即在上单调递增， 则，即在上单调递增， 则，从而可判断原不等式不成立， 即是原不等式成立的必要条件； 再证明充分性： 当时，， 令，则， 所以在上单调递减，即， 即可得， 从而可得，即可证明原不等式成立. 所以实数的取值范围是. 22. 已知函数． (1)求函数在处的切线方程； (2)若恒成立，求实数的取值范围． 【答案】(1) (2) 【知识点】求在曲线上一点处的切线方程（斜率）、利用导数研究不等式恒成立问题 【分析】（1）求导，根据导数的几何意义求解即可； （2）令，根据导数求得最小值，结合题意即可求解. 【详解】（1）函数的导函数为，所以， 又，所以在处的切线方程为，即； （2）函数的定义域为， 由恒成立，得恒成立， 设，则， 当时，，所以函数在区间上单调递减； 当时，，所以函数在区间上单调递增， 所以，所以， 故实数的取值范围是． 23. 已知函数. (1)讨论的单调区间和极值. (2)若，不等式的解集为，求的取值范围. 【答案】(1)答案见解析 (2) 【知识点】求已知函数的极值、利用导数研究不等式恒成立问题、利用导数求函数（含参）的单调区间 【分析】（1）先求，根据导数的正负确定函数单调性，进而可得单调区间和极值. （2）将不等式恒成立问题转化为结合函数单调性，即可求解. 【详解】（1）函数的定义域为， ， （ⅰ）当时，，所以在上单调递增，无极值. （ⅱ）当时，令，得， 令，得. 在上单调递减，在上单调递增， 在处取得极小值， ， 综上，当时，在上单调递增，无极值； 当时，在上单调递减，在上单调递增， 极小值为，无极大值. （2）的定义域为， 在恒成立， ，由（1）知在单调递减，在单调递增， ，所以即. ①当时，不等式不成立，不符合题意； ②当时，设，则，所以在单调递减， 又， 等价于， ； 综上，的取值范围是. 24. 已知函数． (1)若，求曲线在处的切线方程； (2)讨论的单调性； (3)若，恒成立，求的取值范围． 【答案】(1) (2)答案详见解析 (3) 【知识点】求在曲线上一点处的切线方程（斜率）、利用导数研究不等式恒成立问题、利用导数求函数（含参）的单调区间 【分析】（1）由题可得切线方程斜率与切线所过点，据此可得答案； （2）分类讨论，两种情况下，的正负性可得单调区间； （3）由题可得，结合单调性，可得，最后由单调性可得答案. 【详解】（1）若，则，． 又，所以， 故曲线在处的切线方程为，即； （2）的定义域为，． 当时，，故在上单调递增； 当时，令，解得， 故在上单调递增，在上单调递减； （3）由，可得， 即， 令，易知单调递增， 由，可得， 则，即． 设，则，当时，，单调递减， 当时，，单调递增，所以， 所以，因此的取值范围为． 25. 已知函数． (1)讨论的单调性； (2)若在内的最大值为2，求的值； (3)若，求的取值范围． 【答案】(1)答案见解析 (2)； (3)． 【知识点】利用导数求函数（含参）的单调区间、利用导数研究不等式恒成立问题、已知函数最值求参数 【分析】（1）求导，分、、、四种情况讨论； （2）结合第1问的单调性求出最值即可； （3）利用参变分离求最值即可. 【详解】（1）求导得， 当时，，则，得，，得， 所以在上单调递增，在上单调递减； 当时，令，解得或， 当时，，则，得或，，得， 则在内单调递减，在和上单调递增； 当时，，，则在区间上单调递增； 当时，，则，得或，，得， 则在区间内单调递减，在和上单调递增， 综上，时，在上单调递增，在上单调递减； 时，在内单调递减，在和上单调递增； 时，在区间上单调递增； 时，在区间内单调递减，在和上单调递增. （2）由（1）知，当时，在内单调递增， 则，解得与矛盾； 当时，在上单调递增，在上单调递减， 所以，即， 令则， 则在上单调递减， 又，故； 综上，. （3）由可得， 即， 令，则， 则得；得， 则在上单调递减，在上单调递增， 则，则， 故，令， 则，令，解得， 则当时，，当时，， 则在上单调递增，在上单调递减， 则，所以， 故的取值范围为． 六、导数中的能成问题 26. 已知函数. (1)求的单调区间； (2)若对于任意，总存在，使得，求的取值范围. 【答案】(1)答案见解析 (2) 【知识点】利用导数求函数的单调区间（不含参）、利用导数研究能成立问题 【分析】（1）先求解出，然后根据的正负可求解出的单调区间； （2）根据的单调性将问题转化为“在上有解” ，然后通过分离参数、构造函数以及换元法求解出与新函数最值的关系，由此可求的取值范围. 【详解】（1）函数的定义域为, 则， 令，可得或，令，可得或， 则的单调递增区间为和，单调递减区间为和 （2）由（1）知：在上单调递增，在上单调递减， 故当时，， 由已知：在上有解， 在上有解，在上有解， ，； 令，则， 在上单调递增，， 令，，则在上单调递增， 则，故. 的取值范围为. 27. 已知函数，，. (1)求函数在区间上的最小值； (2)若存在，使得成立，求实数的取值范围； (3)对于任意的，总存在，使得成立，求实数的取值范围. 【答案】(1) (2) (3) 【知识点】利用函数单调性求最值或值域、利用导数研究不等式恒成立问题、利用导数研究能成立问题 【分析】（1）根据单调性可确定最小值点，由此可得最小值； （2）将问题转化为，令，利用导数可求得的单调性，由此可求得，进而得到结果； （3）将问题转化为，根据单调性可求得，分离变量可得，令，利用导数可求得单调性，进而求得最小值，由此可得取值范围. 【详解】（1）由题意知：； 与在上均为增函数，在上单调递增， . （2）当时，由得：， 若存在，使得成立，则； 令，则， 当时，，在上单调递增，， ，即实数的取值范围为. （3）由得：， 若对于任意的，总存在，使得成立，则； 在上单调递增，，，， 当时，，； 令，则， 当时，；当时，； 在上单调递减，在上单调递增，， ，即实数的取值范围为. 28. 已知函数. (1)若时，求曲线在处切线的斜率； (2)求的单调区间； (3)设，若对任意，均存在，使得，求的取值范围. 【答案】(1) (2)答案见解析 (3) 【知识点】求在曲线上一点处的切线方程（斜率）、利用导数研究不等式恒成立问题、利用导数研究能成立问题、利用导数求函数（含参）的单调区间 【分析】（1）根据导数几何意义直接求解即可； （2）求导后，分别在和的情况下，根据的正负得到结论； （3）将问题转化为，由二次函数性质可求得，采用参变分离的方式可得，利用导数可求得的最小值，进而得到结果. 【详解】（1）当时，，则， ，在处切线的斜率为. （2）由题意知：的定义域为，， ①当时，，，， 在上单调递增； ②当时，令，解得：， 当时，；当时，； 在上单调递增，在上单调递减； 综上所述：当时，的单调递增区间为，无单调递减区间；当时，的单调递增区间为，单调递减区间为. （3）对任意，均存在，使得，； ，当时，， 在上恒成立，即在上恒成立，； 令，则， 令，解得：， 当时，；当时，； 在上单调递减，在上单调递增，， ，即实数的取值范围为. 29. 已知函数． (1)当时，求曲线在点处的切线方程； (2)讨论的单调性； (3)设，函数，对于，，使得，求实数的取值范围． 【答案】(1)； (2)答案见解析； (3). 【知识点】求在曲线上一点处的切线方程（斜率）、利用导数研究不等式恒成立问题、利用导数研究能成立问题、利用导数求函数（含参）的单调区间 【分析】（1）应用导数的几何意义求切线方程； （2）对函数求导，应用分类讨论研究导数区间符号，进而确定单调区间； （3）问题化为在，成立，利用导数分别求出两函数在给定区间内的最小值，即可得参数范围. 【详解】（1）当时，得， 则曲线在点处的切线斜率为且， 所以曲线在点处的切线方程为； （2）由题设且， 当时在上单调递减； 当时，令， 当时在区间上单调递减， 当时在上单调递增， 综上， 当时，的减区间为，无增区间， 当时，的增区间为，减区间为； （3）由题设，对于，，使得， 所以在，成立， 由（2）知，当时，则在上单调递增，则， 由，，则在上单调递增，则， 只需. 30. 已知函数，其中． (1)求在处的切线方程； (2)求函数的极值； (3)若关于的不等式在上有解，求实数的取值范围． 【答案】(1) (2)极大值，极小值0 (3) 【知识点】利用导数研究能成立问题、求已知函数的极值、求在曲线上一点处的切线方程（斜率） 【分析】（1）求导，根据导数的几何意义求切线方程即可； （2）求导，令，根据导数的符号确定函数单调性，进而得到极值即可； （3）在上有解，即，令，则在上单调递增，令，在上单调递减，则，然后求解即可. 【详解】（1）， ， ，且， 在处的切线方程为：. （2）令，得或， 当和时，，则函数单调递增； 当时，，则函数单调递减， 为函数的极大值点，极大值为； 为函数的极小值点，极小值为. （3）根据题意关于的不等式在上有解， 即在上有解， 设，，，， 由于，在上单调递增，， 在上单调递减，， 则，解得， 实数的取值范围为. 七、利用导数研究函数零点 31. 已知函数. (1)若曲线在处的切线与在处的切线的倾斜角互补，求的值； (2)已知有三个不同的零点.求的取值范围． 【答案】(1) (2)； 【知识点】已知切线（斜率）求参数、函数单调性、极值与最值的综合应用、利用导数研究函数的零点 【分析】（1）分段求出函数的导数，再利用导数的几何意义，结合已知列式求解. （2）由函数零点的意义分离参数，构造函数，分类讨论，利用导数探讨函数性质即可； 【详解】（1）由题意得：函数， 求导得， 则， 因为曲线在处的切线与在处的切线的倾斜角互补， 则，即，所以. （2）函数的定义域为，由，得， 令函数，则 求导得， 当或时，；当时，， 则函数在上单调递减，在上单调递增， 故在取得极大值， 当从大于0的方向趋近于0时，；当时，， 而，当时，恒有， 又有三个零点，则， 所以的取值范围为. 32. 已知函数. (1)判断在区间的单调性； (2)证明：当时，； (3)证明：在上有且只有一个零点. 【答案】(1)在单调递增，在单调递减 (2)证明见解析 (3)证明见解析 【知识点】用导数判断或证明已知函数的单调性、利用导数证明不等式、利用导数研究函数的零点 【分析】（1）求导数，即可求得函数单调区间； （2）构造函数，求导数，得到函数单调区间，从而求得函数最小值，即证明，再由三角函数有界性得，即可得证； （3）由题意得，求导数，再令，求导数得到函数在区间上单调性，结合端点处函数值，由零点存在性原理得到存在零点，设零点得到函数的单调区间，由零点存在性原理得证. 【详解】（1）由题意可得， 当时，单调递减； 当时，单调递增； 所以在单调递增，在单调递减. （2）令，， 在上单调递增，且， 当时，，单调递减； 当时，，单调递增； 所以，即， 因为，所以， 所以. （3）依题得，， ，令， 则，     当时，且，且两项不同时为0， 所以，在上单调递减， 因为，， 由零点存在定理得，存在，使得， 所以当时，，单调递增； 当时，，单调递减； 因为，所以， 又因为， 由零点存在定理得，存在，使得， 因为在上单调递减，所以零点唯一， 又因为当时，单调递增，所以，在此区间无零点. 综上，在上有且只有一个零点. 33. 已知函数. (1)若，证明：当时，； (2)若，求的最小值； (3)讨论的零点个数. 【答案】(1)证明过程见解析 (2) (3)答案见解析 【知识点】由导数求函数的最值（不含参）、利用导数证明不等式、利用导数研究函数的零点 【分析】（1）利用导数的性质，结合函数的单调性进行运算证明即可； （2）根据导数的性质，结合函数的单调性进行求解即可； （3）根据参变量分离法，通过构造新函数，利用数形结合思想分类讨论进行求解即可. 【详解】（1）， 因为，， 所以，因此， 所以当时，函数在上单调递减， 于是由，证毕； （2）当时，，， 当时，，所以函数在时，单调递增， 当时，，，显然， 因此，所以函数在时，单调递减， 所以当时，函数有最小值； （3）当时，， 所以此时该函数是实数集上的减函数，而， 所以此时函数有唯一零点； ， 设， 当时，，此时函数单调递减， 当时，，此时函数单调递增，且， 函数的图象和直线的图象如下图所示： 显然当时，直线和函数的图象有唯一交点； 函数在处的切线斜率为， 因此当时，直线和函数的图象有唯一交点； 因此当时，直线和函数的图象有两个交点， 当时，直线和函数的图象有两个交点， 综上所述：当时，函数有两个零点， 当时，函数有一个零点. 34. 已知函数. (1)当时，求曲线在点处的切线方程； (2)讨论函数的单调性； (3)若函数有三个零点，求的取值范围. 【答案】(1) (2)答案见解析 (3) 【知识点】求在曲线上一点处的切线方程（斜率）、已知函数最值求参数、利用导数研究函数的零点、利用导数求函数（含参）的单调区间 【分析】（1）先求出导函数，再根据导数值得出切线斜率，最后由点斜式得出切线即可求解； （2）先求出导函数，再分类讨论当，时，分导函数的正负得出单调区间； （3）结合（2）知，再构造函数，再求导数得出最值再结合零点个数计算求参. 【详解】（1）当时，， 在点处的切线方程为： （2）定义域为， （i）当时，，令得， 所以在上单调递增，在上单调递减； （ii）当时，则由得或， 当时，，所以在单调递增； 当时，，令得 所以在和上单调递增，在上单调递减； 当时，，令得 所以在和上单调递增，在上单调递减. 综上所述， 当时在上单调递增，在上单调递减； 当时在和上单调递增，在上单调递减； 当时在单调递增； 当时在和上单调递增，在上单调递减. （3）由（2）知且， ， 记，则且， 当时，；当时 所以在上单调递增，在上单调递减， 所以有，所以，等号成立当且仅当 故当时，由（2）知有且只有一个零点，舍去 当且时，， 要使得有三个零点，则，解得 所以的取值范围是 35. 已知函数. (1)求曲线在点处的切线方程； (2)求证：存在极大值点； (3)求的零点个数. 【答案】(1) (2)证明见解析 (3) 【知识点】求在曲线上一点处的切线方程（斜率）、函数单调性、极值与最值的综合应用、利用导数研究函数的零点 【分析】（1）借助导数的几何意义计算即可得； （2）求导后结合零点存在性定理分析可得函数单调性，即可得其极值情况； （3）结合函数单调性与零点存在性定理分析即可得. 【详解】（1）， 则，又， 则曲线在点处的切线方程为，即； （2）， 令，则， 故在上单调递增， 又，， 故存在，使得， 当时，，当时，， 则当时，，当时，， 故在、上单调递增，在上单调递减， 故是的极大值点； （3）由（2）得在、上单调递增，在上单调递减， 则， 又， 故在上有一零点，在上无零点， 故的零点个数为. 八、利用导数研究双变量问题 36. 已知函数． (1)求函数在上的最值及其零点个数； (2)若对于任意的，均有，求的取值范围． 【答案】(1)最大值为，最小值为，只有1个零点； (2) 【知识点】利用导数研究双变量问题、利用导数研究函数的零点、利用导数研究不等式恒成立问题、由函数在区间上的单调性求参数 【分析】（1）利用导数计算函数的单调性计算最值，再根据零点存在性定理确定零点个数即可； （2）构造函数，将问题化为函数定义域上单调递增，即恒成立，分离参数，再利用导数研究函数的单调性、最值计算即可. 【详解】（1）易知， 则定义域上恒成立， 所以在上单调递增，则， 即最大值为，最小值为， 又，根据零点存在定理和函数的单调性，则在上只有一个零点； （2）设，则对于任意的，均有， 即在上单调递增， 所以在上恒成立， 即在上恒成立， 令，则， 令，则，即在上单调递增， 又，则在上单调递减，在上单调递增， 所以，故. 37. 已知函数， (1)若在定义域内单调递增，求实数的取值范围； (2)当时，若对任意，不等式恒成立，求实数的最小值； (3)若存在两个不同的极值点，，且，求实数的取值范围． 【答案】(1) (2)1 (3) 【知识点】利用导数研究双变量问题、根据极值点求参数、利用导数研究不等式恒成立问题、由函数在区间上的单调性求参数 【分析】（1）在定义域内单调递增等价于恒成立，分离参数转化为最值问题求解； （2）由，构造同构函数，利用的单调性求解； （3）由极值点得双变量之间关系，将通过变量代换转化为关于的函数，利用导数判断单调性求其最值情况即可求解. 【详解】（1）由题的定义域为，在恒成立，且的解不连续， 则， 所以的取值范围是； （2）当时，不等式可化为，变形为， 令，求导得，所以在上是增函数， 故，即，即， 所以对任意，不等式恒成立，即对任意恒成立， 令，则， 所以当时，，则单调递增； 当时，，则单调递减， 所以，即满足不等式的实数的取值范围为， 所以的最小值为1； （3）因为存在两个不同的极值点， 所以由可得是方程的两根， 所以，且，， 所以，故， 又由可得， 而， 令， 则， ∵，∴，即， 则，所以在区间上单调递减， 所以有，即， 所以实数取值范围. 38. 设函数 (1)分析的单调性和极值； (2)设，若对任意的，都有成立，求实数m的取值范围； (3)若，且满足时，证明：. 【答案】(1)在单调递减，在单调递增，的极小值为，无极大值. (2) (3)证明见解析 【知识点】利用导数研究双变量问题、利用导数研究不等式恒成立问题、求已知函数的极值、利用导数求函数的单调区间（不含参） 【分析】（1）求导研究函数单调性，求出极值； （2）构造函数，求导后注意到，进而得到，，再验证充分性； （3）构造函数利用导函数研究其单调性，从而证明不等式. 【详解】（1）函数，则， 令，解得：，且当时，，时，， 因此：在单调递减，在单调递增， 故的极小值为，无极大值. （2）对任意的，都有成立， 即对任意的，恒成立， 令，则， 注意到：，若要，必须要求，即，亦即， 另一方面：当时，因为单调递增， 则当时，恒成立， 所以在时单调递增，故；故实数的取值范围为：； （3）记，则， 记，，， 当时，，为增函数， 当时，，为减函数， 所以，即， 所以函数在单调递减， 则为，注意到，不妨， 要证，只需证，即证：， 即证：，即证：， 记， 则，记， 则，所以在单调递增，所以， 即，所以在单调递减，所以， 所以，所以，得证. 39. 已知函数，其中参数． (1)求函数的单调区间； (2)设函数，存在实数，使得不等式成立，求a的取值范围． 【答案】(1)答案见解析 (2) 【知识点】利用导数研究双变量问题、利用导数求函数（含参）的单调区间、利用导数研究能成立问题 【分析】（1）求导，对分类讨论求解单调区间； （2）不等式成立，转化为，然后求解函数的最大与最小值列出不等式求解． 【详解】（1）， （1）当时，，，的减区间是． （2）当时，，的减区间是． （3）当时，，，的增区间是， ，的减区间是． 综上，当时，减区间是；当时，增区间是，减区间是. （2），，因为存在实数，使得不等式成立， ， ，，,，，单减，，，单增． ． ，，，． 40. 设函数. (1)当时，求函数的单调区间； (2)若函数有两个极值点，且，求的最小值. 【答案】(1)调递增区间为，；单调递减区间为 (2) 【知识点】利用导数研究双变量问题、由导数求函数的最值（不含参）、利用导数求函数的单调区间（不含参） 【分析】（1）求导后，根据的正负可确定单调区间； （2）根据函数有两个极值点可得方程在上有两个不等实根，由此可得韦达定理的结论，将表示为关于的函数的形式，构造函数，利用导数求得即可. 【详解】（1）当时，，则定义域为，， 当时，；当时，； 的单调递增区间为，；单调递减区间为. （2）定义域为，， 有两个极值点等价于在上有两个不等实根， ，，，， ； 设， 则， 在上单调递减，， 即， 的最小值为. 九、导数中的极值点偏移问题 41. 已知函数，. (1)若对于任意，都有，求实数的取值范围； (2)若函数有两个零点，求证：. 【答案】(1) (2)证明见解析 【知识点】导数中的极值偏移问题、利用导数研究函数的零点、利用导数研究不等式恒成立问题 【分析】（1）通过转化构造函数，利用导数求出该函数的最小值即可； （2）通过利用极值点偏移的知识，令，，利用导数相关知识转化为证明即可. 【详解】（1）结合题意：对于任意，都有，所以， 因为，所以只需， ， 当时，，在上单调递减； 当时，，在上单调递增. 所以只需； （2）等价于， 设函数，，易知在区间上单调递增；上单调递减， 由知且，， 设函数，其中， 知， 知在区间上单调递增，即时， 即时，， 即， 又由已知由且， 有且，由在上单调递减， 所以，即. 42. 已知函数. (1)当时，求函数的零点个数. (2)若关于的方程有两个不同实根，求实数的取值范围并证明. 【答案】(1)有且仅有一个零点 (2)，证明见解析 【知识点】利用导数证明不等式、利用导数研究函数的零点、导数中的极值偏移问题 【分析】（1）利用导函数与单调性的关系，以及零点的存在性定理求解； （2）根据题意可得有两个不同实根，进而可得，两式相加得，两式相减得，从而有，进而要证，只需证，即证， 构造函数即可证明. 【详解】（1）当时，， 所以函数在上单调递增， 又因为， 所以函数有且仅有一个零点. （2）方程有两个不同实根，等价于有两个不同实根， 得，令，则， 令，解得；令，解得； 所以在上单调递增，在上单调递减， 所以当时，取得最大值， 由，得当时，； 当的大致图象如图所示，    所以当，即时，有两个不同实根； 证明：不妨设且 两式相加得，两式相减得， 所以， 要证，只需证， 即证， 设，令， 则， 所以函数在上单调递增，且， 所以，即， 所以，原命题得证. 【点睛】关键点点睛：本题第二问考查极值点偏移问题，常用解决策略是根据，两式相加相减，进而可得，进而要证，只需证，即证，从而将双变量转化为单变量，令，讨论该函数的单调性和最值即可证明. 43. 已知函数. (1)当时，求曲线在点处的切线方程； (2)若函数有两个不同零点，求的取值范围，并证明. 【答案】(1)； (2)，证明见解析. 【知识点】求在曲线上一点处的切线方程（斜率）、利用导数证明不等式、利用导数研究函数的零点、导数中的极值偏移问题 【分析】（1）利用导数的几何意义计算即可； （2）利用导数研究函数单调性及最值，分类讨论即可判定的取值范围，构造差函数证明即可. 【详解】（1）当时，，易知， 所以曲线在点处的切线方程为：； （2）由已知可得， ①若，则，， 即在上单调递增，上单调递减，， 又时，，所以函数存在两个零点； ②若时，，显然不符合题意； ③若时，令， 当时，令或，令， 即在上单调递减，和上单调递增， 函数极小值为，函数极大值为， 此时函数至多有一个零点，不符合题意； 当时，，则单调递增，至多一个零点，不符合题意； 当时，令或，令， 即在上单调递减，和上单调递增， 函数极大值为，函数极小值为， 此时函数至多有一个零点，不符合题意； 综上所述，时函数有两个零点，则一正一负， 不妨令，设， 令，即在R上单调递增， 所以，， 故时，有，时，有， 即，所以， 则， 又因为在上单调递减，故，证毕. 【点睛】第二问关键是分类讨论，通过判断单调性及极值、最值研究函数的零点个数，证明可利用构造差函数，通过证明来判定极值点偏移问题. 44. 已知函数. (1)若函数有两个零点，求的取值范围； (2)设是函数的两个极值点，证明：. 【答案】(1) (2)证明过程见解析. 【知识点】利用导数证明不等式、利用导数研究函数的零点、导数中的极值偏移问题 【分析】（1）根据函数零点定义，结合常变量分离法、构造函数法，结合导数的性质进行求解即可； （2）根据所证明不等式的结构特征，构造新函数，结合导数的性质进行求解即可. 【详解】（1）， 该方程有两个不等实根，由， 所以直线与函数的图象有两个不同交点， 由， 当时，单调递减， 当时，单调递增，因此， 当时，，当，， 如下图所示： 所以要想有两个不同交点，只需，即的取值范围为； （2）因为是函数的两个极值点， 所以，由（1）可知：，不妨设， 要证明，只需证明，显然， 由（2）可知：当时，单调递增，所以只需证明， 而，所以证明即可， 即证明函数在时恒成立， 由， 显然当时，，因此函数单调递减， 所以当时，有，所以当时，恒成立，因此命题得以证明. 【点睛】关键点睛：常变量分离构造新函数，利用新函数的单调性求解证明是解题的关键. 45. 已知函数，直线与曲线相切． (1)求实数的值； (2)若曲线与直线有两个公共点，其横坐标分别为． ①求实数的取值范围； ②证明：． 【答案】(1) (2)①；②证明见解析 【知识点】导数中的极值偏移问题、利用导数研究方程的根、已知切线（斜率）求参数 【分析】（1）利用导数的几何意义，即可求解； （2）①问题转化为有2个实数根，转化为与有2个交点，利用导数分析函数，即可求解的取值范围； ②构造函数，，利用导数判断函数的单调性，再结合极值点偏移问题的解决方法，即可证明. 【详解】（1）设切点，， 得，，所以，代入直线方程得； （2）①由（1）知，若曲线与直线有两个公共点，则等价于有2个实数根，， 设，则， 当时，，单调递增， 当时，，单调递减， ，当趋向于正无穷大时，趋向于0，当趋向于负无穷大时，趋向于负无穷大， 则； ②，即，等价于， 令，， ， 因为，所以，故， 所以在上单调递增，故, 不妨设，故，即， 由已知，所以， 由①知，当时，单调递增， 故，所以， 所以. 【点睛】极值点偏移问题中（极值点为），证明或的方法： ①构造， ②确定的单调性， ③结合特殊值得到或，再利用，得到与的大小关系， ④利用的单调性即可得到或. 学科网（北京）股份有限公司 $