2026届高三新高考数学模拟卷（拔高卷）

2026届高三新高考模拟卷 注意事项： 1.答题前，考生务必在答题卡上将自己的姓名、座位号、准考证号用0.5毫米的黑色签字笔填写清楚，考生考试条形码由监考老师粘贴在答题卡上的“贴条形码区”． 2.选择题使用2B铅笔填涂在答题卡上对应题目标号的位置上，如需改动，用橡皮擦擦干净后再填涂其它答案；非选择题用0.5毫米的黑色签字笔在答题卡的对应区域内作答，超出答题区域答题的答案无效；在草稿纸上、试卷上答题无效． 3.考试结束后由监考老师将答题卡收回． 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求． 1．已知集合，，则（   ） A． B． C． D． 2．已知直线，则“”是“”的（　　） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 3．向量，且，则（     ） A． B． C． D． 4．已知是等差数列的前项和，若，则使的最小整数（   ） A．22 B．23 C．24 D．25 5．若函数恰有个零点，则正数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 6．如图，记三棱锥的体积为为的中点，且平面，则该三棱锥外接球的表面积的取值范围为（    ） A． B． C． D． 7．双曲线的左、右焦点分别为，，以右焦点为焦点的抛物线与双曲线交于第一象限的点，若，则双曲线的离心率为（    ） A．2 B．5 C． D． 8．已知，曲线在点的切线都过坐标原点，则（    ） A． B． C． D． 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，选对但不全的得部分分，有选错的得0分． 9．下列有关说法正确的是（     ） A．若随机变量，且，则. B．若随机变量，则. C．若，则. D．已知一组从小到大排列的数据为，2，2，4，4，5，6，，8，8，若其第70百分位数等于其极差，则. 10．已知函数，则（    ） A．的图象关于点对称 B．，使得在上单调递增 C．若存在极值，则 D．若有三个零点，则 11．已知正方体的棱长为2，为正方形内一动点（含边界），点分别是棱的中点，下列说法正确的是（　　） A．平面与正方体各面的交线是正六边形 B．对任意的点，直线与直线是异面直线 C．平面将正方体分成体积相等的两部分，将其中一部分内置一球，球的半径最大为 D．若点到点的距离等于到棱的距离，则点的轨迹是抛物线的一部分 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12．等差数列中，为其前项的和．若，，则 ． 13．已知的展开式中，第6项系数与第7项系数之比为3:1．则n的值为 ． 14．中国象棋是中华民族的文化瑰宝，它源远流长，趣味浓厚，其棋盘为方格状，棋子的摆放与活动均在交叉点上. 如图，若马位于 处，其移动规则为循着日字的对角线走两格，即下一步可到达的地方是 中的一处; 同理， 若马位于 处，下一步可到达的地方是 中的一处. 假设马从某位置到达下一个位置是随机的， 且马的初始位置是在 处，则马到达 处至少要走 步；已知马第一步没有到达 处，则 3 步后马到达 处的概率是 . 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．设的内角的对边分别为，且． (1)求角大小； (2)再从以下三组条件中选择一组条件作为已知条件，使三角形存在且唯一确定，并求的面积． 条件①：，； 条件②：，； 条件③：边上的高，． 16．教育部办公厅要求中小学校要通过体育与健康课程、大课间、课外体育锻炼、体育竞赛、班团队活动、家校协同联动等多种形式加强教育引导，让家长和中小学生科学认识体质健康的影响因素，了解运动在增强体质、促进健康、预防肥胖与近视、锤炼意志、健全人格等方面的重要作用，提高学生体育与健康素养，增强体质健康管理的意识和能力．某学校为了了解学生的身体健康与身体素质状况，随机抽取了50名同学的体测结果（“合格”或“优秀”），统计数据如下表： 性别 体测结果 合计 合格 优秀 男生 2 28 30 女生 6 14 20 合计 8 42 50 (1)能否有的把握认为体测结果与性别有关？ (2)用样本估计总体，频率估计概率．现等可能地从男、女生中抽取一个性别，然后再从选好的性别中随机抽取1名学生的体测结果，已知抽出的学生体测结果是“优秀”，求这名学生是男生的概率． 附：，其中． 0.1 0.01 0.001 2.706 6.635 10.828 17．如图，底面为锐角三角形的直棱柱中，，，点在线段上，且满足，点为的中点. (1)当时，证明：平面； (2)若平面与平面所成角的余弦值为. （ⅰ）求异面直线与所成角的大小； （ⅱ）已知直线与平面所成角的正弦值为，求的值. 18．椭圆，是第一象限内椭圆上的点，，，，椭圆的离心率是．，，且．    (1)求椭圆的方程并在下图1中作出椭圆的左焦点，写出作图依据； (2)如图2，设，三角形的面积记为，三角形的面积记为，若，求点的坐标； (3)设，连结与椭圆交于点，连结与椭圆交于点，判断是否为定值？请说明理由． 19．已知. (1)曲线在点处的切线为直线，记的斜率为，比较与的大小； (2)若对任意的，恒成立，求的取值范围； (3)证明：. 2 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026届高三新高考模拟卷 注意事项： 1.答题前，考生务必在答题卡上将自己的姓名、座位号、准考证号用0.5毫米的黑色签字笔填写清楚，考生考试条形码由监考老师粘贴在答题卡上的“贴条形码区”． 2.选择题使用2B铅笔填涂在答题卡上对应题目标号的位置上，如需改动，用橡皮擦擦干净后再填涂其它答案；非选择题用0.5毫米的黑色签字笔在答题卡的对应区域内作答，超出答题区域答题的答案无效；在草稿纸上、试卷上答题无效． 3.考试结束后由监考老师将答题卡收回． 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求． 1．已知集合，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】并集的概念及运算、分式不等式 【分析】求出集合，利用并集的定义可得集合. 【详解】因为集合，， 故. 故选：A. 2．已知直线，则“”是“”的（　　） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【知识点】判断命题的充分不必要条件、已知直线平行求参数 【分析】由两直线平行求得参数,结合充分必要条件可得. 【详解】，且，解得或． 由可得；而还可能得， 由此可知：“”是“”的充分不必要条件. 故选：A． 3．向量，且，则（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】二倍角的正弦公式、数量积的运算律、向量减法法则的几何应用 【分析】设，则，由可得，作出相应图象，结合图象利用二倍角公式计算即可求解. 【详解】设，则， 因为，所以， 即，即，所以． 如图，设，，，    则，， 因为是等腰直角三角形， 设边中点为，则， 所以边上的高，， 因为，所以三点共线， 所以， 则， 所以，， 所以． 故选：C． 4．已知是等差数列的前项和，若，则使的最小整数（   ） A．22 B．23 C．24 D．25 【答案】C 【知识点】利用等差数列的性质计算、根据等差数列前n项和的最值求参数、求等差数列前n项和 【分析】根据条件得到，再利用等差数列的性质及前项和公式，即可求出结果. 【详解】等差数列的前项和为，由，且， 得，所以， 则数列的公差，所以数列是递增的等差数列， 且当时，，当时，， 又， 所以使成立的最小的为24， 故选：C． 5．若函数恰有个零点，则正数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】根据函数零点的个数求参数范围、正弦函数图象的应用 【分析】利用零点存在性定理求出函数的零点个数，再由正弦函数的图象性质及零点个数求出范围. 【详解】函数在上单调递增，则函数在上单调递增， 而，则，使得，函数在上有个零点， 由函数有个零点，得函数有个零点， 由，得，需使，解得， 所以正数的取值范围是. 故选：A. 6．如图，记三棱锥的体积为为的中点，且平面，则该三棱锥外接球的表面积的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】锥体体积的有关计算、球的表面积的有关计算、多面体与球体内切外接问题、线面垂直证明线线垂直 【分析】根据三棱锥体积的范围先确定的范围，然后确定三棱锥外接球的球心大概位置，然后根据勾股定理和基本不等式的性质求出外接球半径的范围，最后根据球的表面积公式求出结果即可. 【详解】因为，所以. 由于三棱锥的体积为，平面， 所以，所以. 因为等腰直角中，为的中点， 所以. 因为，所以三棱锥外接球的球心在直线上. 设外接球半径为，则根据勾股定理得 ，化简得， 即， 当且仅当时等号成立. 因为，当时，； 当时，； 所以， 此时该外接球的表面积为. 故选：C. 7．双曲线的左、右焦点分别为，，以右焦点为焦点的抛物线与双曲线交于第一象限的点，若，则双曲线的离心率为（    ） A．2 B．5 C． D． 【答案】A 【知识点】求双曲线的离心率或离心率的取值范围、双曲线定义的理解、抛物线定义的理解 【分析】根据给定条件，利用双曲线、抛物线定义求出点的坐标，再代入双曲线方程，结合离心率的定义求解. 【详解】由双曲线定义得，设点， 由抛物线定义得，解得，， 又点在双曲线上，则，即，而， 于是，整理得，即， 而，解得，所以双曲线的离心率为2. 故选：A 8．已知，曲线在点的切线都过坐标原点，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】函数与方程的综合应用、求在曲线上一点处的切线方程（斜率） 【分析】选项A：利用导数的几何意义求得切线的斜率，结合切线过原点列式可得即可判断；选项B：由函数与的图象可得，即可判断；选项C：由函数与的图象可得，即可判断；选项D：由C知，，整理后即可判断． 【详解】选项A：由，得， 则在点处的切线方程为：， 又切线过原点，代入得： 即，由此可得 故故A错误； 选项B：由得 故是函数与的图象交点的横坐标， 且这两个函数图象都是奇函数，图象关于原点对称，如图所示： 故，且，得，故B错误； 选项C：由函数与的图象可知，当时， 由得，即 ，故C错误； 选项D：由C知，即，又， 故，即 由A知，代入上式，得 ，即 故D正确． 故选：D 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，选对但不全的得部分分，有选错的得0分． 9．下列有关说法正确的是（     ） A．若随机变量，且，则. B．若随机变量，则. C．若，则. D．已知一组从小到大排列的数据为，2，2，4，4，5，6，，8，8，若其第70百分位数等于其极差，则. 【答案】ABD 【知识点】二项分布的均值、根据正态曲线的对称性求参数、二项展开式各项的系数和、总体百分位数的估计 【分析】对于A，由正态分布对称性可得；对于B，根据二项分布，列出方程求解即可；对于C，根据赋值法求二项展开式系数和即可；对于D，由极差和百分位数的求解方式求解即可． 【详解】对于A，由题意可知，故A正确； 对于B，，解得，故B正确； 对于C，令， 则， 所以，故C错误； 对于D，这一组数共10个，， 所以第70百分位数为第个和第个的平均值，即为， 则，整理得，故D正确； 故选：ABD． 10．已知函数，则（    ） A．的图象关于点对称 B．，使得在上单调递增 C．若存在极值，则 D．若有三个零点，则 【答案】ACD 【知识点】判断或证明函数的对称性、根据极值求参数、利用导数研究函数的零点、利用导数求函数（含参）的单调区间 【分析】求出即可判断A；利用导数分和两种情况讨论求出函数的单调区间及极值，即可判断BCD. 【详解】对于A，因为， 所以的图象关于点对称，故A正确； 对于BCD，，当时，在上恒成立， 所以在上单调递增， 当时，令，得， 当或时，，当时，， 所以在上单调递增，在上单调递减， 所以不存在，使在上单调递增， ， 要使有三个零点，必有极小值，解得， 故B错误，CD正确. 故选：ACD. 11．已知正方体的棱长为2，为正方形内一动点（含边界），点分别是棱的中点，下列说法正确的是（　　） A．平面与正方体各面的交线是正六边形 B．对任意的点，直线与直线是异面直线 C．平面将正方体分成体积相等的两部分，将其中一部分内置一球，球的半径最大为 D．若点到点的距离等于到棱的距离，则点的轨迹是抛物线的一部分 【答案】ACD 【知识点】判断正方体的截面形状、多面体与球体内切外接问题、异面直线的判定、立体几何中的轨迹问题 【分析】根据正方体的结构特征及平面的基本性质判断A，找到一个特例判断B，根据球体与相关面相切，结合正方体的结构及截面得到关于球体半径的方程求半径判断C，过作于，作于，连接，构建合适的坐标系，并证得，设，根据列方程并化简判断D. 【详解】A：如图所示，确定各边中点， 根据正方体的结构特征和三角形中位线的关系，可得，    且截面各边长都是相等的，是正六边形，正确； B：由A知，当点在中点处， 此时与直线为相交直线，故共面，错误； C：正方体棱长为2，则线段，则正六边形边长均为， 易知内置球半径最大时，球心在体对角线上， 不妨设球位于截面下方，且与面、面、面、面相切， 将问题平面化（如图）得，其中是平面与的交点， 证明如下：由平面，平面，则， 在正方形中，为中点，则，而， 所以，而，平面， 所以平面，平面，则，同理可证， 由，平面，则平面， 由平面，则，得证，    又（为正方体的中心），其中， 设所求球半径为，则，故，正确； D：如图所示，过作于，作于，连接，   由于， 又平面， 故平面平面，故，    以为原点，以为轴，建立平面直角坐标系，   设，且， 则， 若点到点的距离等于到棱的距离， 即，化简得， 故点的轨迹是抛物线的一部分，正确. 故选：ACD 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12．等差数列中，为其前项的和．若，，则 ． 【答案】 【知识点】等差数列片段和的性质及应用、利用等差数列的性质计算 【分析】利用等差数列的性质也成等差数列即可求得. 【详解】由等差数列的性质可知，数列成等差数列， 且公差， ∴，即， 则，则. 故答案为：72. 13．已知的展开式中，第6项系数与第7项系数之比为3:1．则n的值为 ． 【答案】6 【知识点】由项的系数确定参数 【分析】利用二项式展开式的通项公式可得，求解即可. 【详解】二项式的展开式的第项为： ， 所以第6项的系数为，第7项的系数． 又第6项系数与第7项系数之比为，所以， 所以，所以，解得． 故答案为：6 14．中国象棋是中华民族的文化瑰宝，它源远流长，趣味浓厚，其棋盘为方格状，棋子的摆放与活动均在交叉点上. 如图，若马位于 处，其移动规则为循着日字的对角线走两格，即下一步可到达的地方是 中的一处; 同理， 若马位于 处，下一步可到达的地方是 中的一处. 假设马从某位置到达下一个位置是随机的， 且马的初始位置是在 处，则马到达 处至少要走 步；已知马第一步没有到达 处，则 3 步后马到达 处的概率是 . 【答案】 4 【知识点】利用互斥事件的概率公式求概率、独立事件的乘法公式 【分析】通过马移动规则为循着日字的对角线走，分析每种情况，结合对立事件乘法公式即可求解. 【详解】由图可知：马走2步后的所有情况如下图： 从 处，到达 处，第一步应该走或, 又从处到处至少要走2步， 从处到处至少要走2步， 从处到处至少要走2步， 从处到处至少要走2步， 而从处，到，或，或，或如图至少2步， 又从处到处至少要走3步， 综上从处，到达处至少走4步； 马走2步后的所有情况可以用下列树状图表示： 第二步落在处，则第三步可以到达处， 则有如下情况， 由马移动规则为循着日字的对角线走，又第一步没走到，可得： 又概率为，概率为，概率为， 又概率为，概率为，概率为， 又概率为，概率为，概率为， 又概率为，概率为，概率为， 所以3步后马到达处的概率是： 故答案为：4； 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．设的内角的对边分别为，且． (1)求角大小； (2)再从以下三组条件中选择一组条件作为已知条件，使三角形存在且唯一确定，并求的面积． 条件①：，； 条件②：，； 条件③：边上的高，． 【答案】(1) (2)答案见解析 【知识点】正弦定理解三角形、三角形面积公式及其应用、余弦定理解三角形 【分析】（1）利用正弦定理可得，即，再结合为三角形内角可求角. （2）选①：由余弦定理可得满足条件的三角形不唯一，故选①不合题意. 选②：根据正弦定理可求边，再利用求，再利用三角形的面积公式求三角形面积. 选③：先由求得，再由余弦定理求边，最后利用三角形的面积公式求三角形面积. 【详解】（1）因为，由正弦定理可得， 又因为，所以，则，即，所以. （2）选①：由余弦定理可得，即，解得或3，不符合题意； 选②：因为，，所以， 由正弦定理可得， 此时三角形两角一边确定，故三角形唯一确定，符合题意， 又， 此时的面积； 选③：因为边上的高，所以，则， 由余弦定理，即，解得，（舍去）， 故唯一，符合题意， 此时的面积． 16．教育部办公厅要求中小学校要通过体育与健康课程、大课间、课外体育锻炼、体育竞赛、班团队活动、家校协同联动等多种形式加强教育引导，让家长和中小学生科学认识体质健康的影响因素，了解运动在增强体质、促进健康、预防肥胖与近视、锤炼意志、健全人格等方面的重要作用，提高学生体育与健康素养，增强体质健康管理的意识和能力．某学校为了了解学生的身体健康与身体素质状况，随机抽取了50名同学的体测结果（“合格”或“优秀”），统计数据如下表： 性别 体测结果 合计 合格 优秀 男生 2 28 30 女生 6 14 20 合计 8 42 50 (1)能否有的把握认为体测结果与性别有关？ (2)用样本估计总体，频率估计概率．现等可能地从男、女生中抽取一个性别，然后再从选好的性别中随机抽取1名学生的体测结果，已知抽出的学生体测结果是“优秀”，求这名学生是男生的概率． 附：，其中． 0.1 0.01 0.001 2.706 6.635 10.828 【答案】(1)能有的把握认为体测结果与性别有关 (2) 【知识点】独立性检验解决实际问题、利用全概率公式求概率、卡方的计算、计算条件概率 【分析】（1）根据列联表可得独立性检验的各项数据，利用独立性检验的计算公式以及检验过程，可得答案； （2）根据古典概型以及条件概率，利用全概率公式，可得答案. 【详解】（1）由题意可得， 则， 故能有的把握认为体测结果与性别有关. （2）设{抽取的一人为优秀}，{抽取的一人为男生}， 则{抽取的一人为合格}，{抽取的一人为女生}， 可得，，，， 所以， 故. 17．如图，底面为锐角三角形的直棱柱中，，，点在线段上，且满足，点为的中点. (1)当时，证明：平面； (2)若平面与平面所成角的余弦值为. （ⅰ）求异面直线与所成角的大小； （ⅱ）已知直线与平面所成角的正弦值为，求的值. 【答案】(1)证明见解析； (2)（ⅰ）；（ⅱ）. 【知识点】证明线面平行、已知面面角求其他量、异面直线夹角的向量求法、已知线面角求其他量 【分析】（1）根据给定条件证明，利用线面平行判定定理证明结论. （2）（ⅰ）分别取的中点，以为原点建立空间直角坐标系，求出平面与平面的法向量，利用面面角、线线角的向量法求解；（ⅱ）利用线面角的向量法列式求解. 【详解】（1）在直棱柱中，令，则是的中点， 由，得是中点，而点为的中点，则， 即，而平面，平面， 所以平面. （2）（ⅰ）分别取的中点，则，又平面， 所以平面，由，得，则直线两两垂直， 以点为原点，向量的方向分别为轴的正方向，建立空间直角坐标系，    令，则， ，， 设平面与平面的法向量分别为，， 则，令，得， ，令，得， 由平面与平面所成角的余弦值为， 得，解得或， 由是锐角三角形，得，即，则，即， 又，则， 而，因此， 所以异面直线与所成的角为. （ⅱ）由（ⅰ）知，，则， ，而平面的法向量， 因此，而， 所以. 18．椭圆，是第一象限内椭圆上的点，，，，椭圆的离心率是．，，且．    (1)求椭圆的方程并在下图1中作出椭圆的左焦点，写出作图依据； (2)如图2，设，三角形的面积记为，三角形的面积记为，若，求点的坐标； (3)设，连结与椭圆交于点，连结与椭圆交于点，判断是否为定值？请说明理由． 【答案】(1)椭圆的方程为，作图见解析 (2) (3)为定值 【知识点】根据a、b、c求椭圆标准方程、椭圆中的定值问题、椭圆中三角形（四边形）的面积 【分析】（1）根据椭圆中的关系求解椭圆方程即可，利用椭圆的定义作图即可得椭圆的左焦点； （2）设，则，根据三角形面积公式即可得，关于的式子，利用面积比例求解即可得所求； （3）设，其中，，其中，分别与椭圆方程联立，根据根于系数的关系得与，与的关系，再根据线段比例关系计算验证是否为定值即可. 【详解】（1）因为椭圆中，，，椭圆的离心率是， 则，解得， 则椭圆的方程为； 如下图：以为圆心，以的长为半径在线段上画圆弧，与线段的交点即为椭圆的左焦点；    （2）设，则①，且， 当时，， 又， 因为，，所以直线的方程为，即， 故点到直线的距离， ， 因为，所以，即②， 联立①②，且，解得， 故点的坐标为； （3）如图所示，，且，，则，    过作轴于，过作轴于， 设，其中， ，恒成立， 所以， 则， 设，其中， ，恒成立， 所以， 则， 因为， 所以 为定值， 所以为定值. 19．已知. (1)曲线在点处的切线为直线，记的斜率为，比较与的大小； (2)若对任意的，恒成立，求的取值范围； (3)证明：. 【答案】(1) (2) (3)证明见解析 【知识点】利用导数证明不等式、利用导数研究不等式恒成立问题、求在曲线上一点处的切线方程（斜率）、函数单调性、极值与最值的综合应用 【分析】（1）求得，得到，结合对数函数的性质，即可得到与的大小关系； （2）若，得到恒成立；若，由（1）得，令，求得在递增，结合，分和，两种情况讨论，即可求得实数的取值范围； （3）令，利用导数求得的单调性和极小值，得到， 取，由（2）得到，令，求得，结合对数的运算性质和累加法，即可得证. 【详解】（1）由函数 可得，则， 所以曲线在点处的切线的斜率为， 因为，所以，即. （2）由函数， 当时，可得， 若，可得恒成立； 若，由（1）知：， 令，可得， 因为，可得，所以，在递增， 又由， 当时，即，此时，即， 所以在递增，所以，满足恒成立； 当时，即，存在，使得， 当时，，即，单调递减，则， 不满足恒成立，舍去， 综上可得，实数的取值范围为. （3）令，可得，其中， 当时，，单调递减； 当时，，单调递增， 所以，即，即， 由（2）知，当，，即， 即， 令，则，即， 可得， 所以， 又由对数的运算性质，可得， 所以对于任意正整数，总有. 2 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $