课时作业41 平面与平面垂直（Word练习）-【金榜题名】2025-2026学年高一数学必修第二册高中同步学案（北师大版）

课时作业(四十一)　平面与平面垂直

[基础达标练]

1．对于直线m，n和平面α，β，能得出α⊥β的一个条件是(　　)

A．m∥n，m⊥α，n⊥β B．m∥n，n⊥β，m⊂α

C．m⊥n，m∥α，n∥β D．m⊥n，α∩β＝m，n⊂α

解析：选B　⇒⇒α⊥β.

2．已知长方体ABCD­A1B1C1D，在平面AB1上任取一点M，作ME⊥AB于E，则(　　)

A．ME⊥平面AC B．ME⊂平面AC

C．ME∥平面AC D．以上都有可能

解析：选A　由于ME⊂平面AB1，平面AB1∩平面AC＝AB，且平面AB1⊥平面AC，ME⊥AB，则ME⊥平面AC.

3．如图所示，在三棱锥P­ABC中，平面PAB⊥平面ABC，PA＝PB，AD＝DB，则(　　)

A．PD⊂平面ABC

B．PD⊥平面ABC

C．PD与平面ABC相交但不垂直

D．PD∥平面ABC

解析：选B　因为PA＝PB，AD＝DB，所以PD⊥AB.

又因为平面PAB⊥平面ABC，平面PAB∩平面ABC＝AB，PD⊂平面PAB，所以PD⊥平面ABC.

4．如图所示，检查工件的相邻两个面是否垂直时，只要用曲尺的一边紧靠在工件的一个面上，另一边在工件的另一个面上转动，观察尺边是否和这个面密合就可以了，其原理是________．

解析：如图，因为OA⊥OB，OA⊥OC，OB⊂β，OC⊂β且OB∩OC＝O，

根据线面垂直的判定定理，可得OA⊥β.又OA⊂α，根据面面垂直的判定定理，可得α⊥β.

答案：面面垂直的判定定理

5．已知正三棱锥S­ABC的所有棱长均为2，则侧面与底面所成二面角的余弦值为________．

解析：如图，取BC的中点E，连接SE，AE，

∵SB＝SC＝AB＝AC，

∴SE⊥BC，AE⊥BC，

∴∠SEA即为所求二面角的平面角，

∵SA＝2，SE＝AE＝，

∴cos ∠SEA＝＝.

答案：

6．在正四面体P­ABC中，D，E，F分别是AB，BC，AC的中点，有下列四个命题：

①BC∥平面PDF；

②平面PDF⊥平面ABC；

③DF⊥平面PAE；

④平面PAE⊥平面ABC.

其中正确命题的序号是________．

解析：因为D，F分别是AB，AC的中点，

所以DF∥BC，

又DF⊂平面PDF，BC⊄平面PDF，

所以BC∥平面PDF，故①正确；

因为E是BC的中点，所以BC⊥AE，BC⊥PE.

因为AE∩PE＝E，AE，PE⊂平面PAE，

所以BC⊥平面PAE.

因为BC⊂平面ABC，所以平面PAE⊥平面ABC，故④正确；

因为DF∥BC，所以DF⊥平面PAE，故③正确；

只有②不正确．故正确的命题为①③④.

答案：①③④

7．如图，在直三棱柱ABC­A1B1C1中，D，E分别为AB，BC的中点，点F在侧棱B1B上，且B1D⊥A1F，A1C1⊥A1B1.

求证：(1)直线DE∥平面A1C1F；

(2)平面B1DE⊥平面A1C1F.

证明：(1)因为D，E是中点，所以DE∥AC，

又AC∥A1C1，所以DE∥A1C1，

又因为A1C1⊂平面A1C1F，且DE⊄平面A1C1F，

所以DE∥平面A1C1F.

(2)因为ABC­A1B1C1是直三棱柱，

所以AA1⊥平面A1B1C1，所以AA1⊥A1C1.

又因为A1C1⊥A1B1，且AA1∩A1B1＝A1，AA1，A1B1⊂平面AA1B1B，

所以A1C1⊥平面AA1B1B，所以A1C1⊥B1D，

又A1F⊥B1D，A1F∩A1C1＝A1，

所以B1D⊥平面A1C1F，

又因为B1D⊂平面B1DE，所以平面B1DE⊥平面A1C1F.

8．如图，在四棱锥P­ABCD中，AB∥CD，AB⊥AD，CD＝2AB，平面PAD⊥底面ABCD，PA⊥AD，E和F分别是CD和PC的中点，求证：

(1)PA⊥底面ABCD；

(2)BE∥平面PAD；

(3)平面BEF⊥平面PCD.