课时作业40 直线与平面垂直（Word练习）-【金榜题名】2025-2026学年高一数学必修第二册高中同步学案（北师大版）

课时作业(四十)　直线与平面垂直

[基础达标练]

1．下列条件中，能使直线m⊥平面α的是(　　)

A．m⊥b，m⊥c，b⊥α，c⊥α

B．m⊥b，b∥α

C．m∩b＝A，b⊥α

D．m∥b，b⊥α

解析：选D　根据线线平行，线面垂直的判定定理进行判断．

2．如图，在正方体ABCD­A1B1C1D1中，与AD1垂直的平面是(　　)

A．平面DD1C1C B．平面A1DB1

C．平面A1B1C1D1 D．平面A1DB

解析：选B　∵AD1⊥A1D，AD1⊥A1B1，A1D∩A1B1＝A1，A1D，A1B1⊂平面A1DB1，

∴AD1⊥平面A1DB1.

3.如图所示，如果MC⊥菱形ABCD所在平面，那么MA与BD的位置关系是(　　)

A．平行 B．垂直相交

C．垂直但不相交 D．相交但不垂直

解析：选C　连接AC，因为ABCD是菱形，所以BD⊥AC.

又MC⊥平面ABCD，则BD⊥MC.

因为AC∩MC＝C，所以BD⊥平面AMC.

又MA⊂平面AMC，所以MA⊥BD.

显然直线MA与直线BD不共面，因此直线MA与直线BD不共面，因此直线MA与BD的位置关系是垂直但不相交．

4．如图①，在正方形SG1G2G3中，E，F分别是边G1G2，G2G3的中点，D是EF的中点，现沿SE，SF及EF把这个正方形折成一个几何体(图②)，使G1，G2，C3三点重合于点G，下面结论成立的是(　　)

A．SG⊥平面EFG B．SD⊥平面EFG

C．GF⊥平面SEF D．GD⊥平面SEF

解析：选A　在图①中，SG1⊥G1E，SG3⊥G3F，

∴SG⊥GE，SG⊥GF，∴SG⊥平面EFG.∴应选A．

5．三棱锥的四个面中，直角三角形最多有________个．

解析：如图，在三棱锥S­ABC中，SA⊥平面ABC，

∠ABC＝90°.所以三棱锥的四个面都是直角三角形．

答案：4

6．在三棱柱ABC­A1B1C1中，各棱长相等，侧棱垂直于底面，点D是侧面BB1C1C的中心，则AD与平面BB1C1C所成角的正切值等于________．

解析：如图，E为BC的中点，由题意知∠ADE即为所求的线面角，设三棱柱的棱长为2，则DE＝1，AE＝，则tan ∠ADE＝.

答案：

7．在如图所示的几何体中，四边形ABCD是正方形，MA⊥平面ABCD，PD∥MA，E，G，F分别为MB，PB，PC的中点．

求证：GF⊥平面PDC.

证明：因为MA⊥平面ABCD，PD∥MA，

所以PD⊥平面ABCD.

又BC⊂平面ABCD，所以PD⊥BC.

因为四边形ABCD为正方形，所以BC⊥DC.

又PD∩DC＝D，所以BC⊥平面PDC.

在△PBC中，因为G，F分别为PB，PC的中点，

所以GF∥BC，所以GF⊥平面PDC.

8．如图所示，四边形ABCD是正方形，DE⊥平面ABCD，DE＝DA＝2.

(1)求证：AC⊥平面BDE；

(2)求AE与平面BDE所成的角的大小．

解：(1)证明：∵四边形ABCD是正方形，

∴AC⊥BD.

∵DE⊥平面ABCD，AC⊂平面ABCD，

∴AC⊥DE，

∵BD，DE⊂平面BDE，BD∩DE＝D，

∴AC⊥平面BDE.

(2)如图所示，设AC∩BD＝O，连接EO，

∵AC⊥平面BDE，

∴EO是直线AE在平面BDE上的投影，

∴∠AEO即为AE与平面BDE所成的角．

在Rt△EAD中，EA＝ ＝2，AO＝，

∴在Rt△EOA中，sin ∠AEO＝＝，

∴∠AEO＝30°，即AE与平面BDE所成的角为30°.

[能力提升练]

9．如图所示，定点A和B都在平面α内，定点P∉α，PB⊥α，C是平面α内异于A和B的动点，且PC⊥AC，则△ABC为(　　)