课时作业15 向量的数乘运算（Word练习）-【金榜题名】2025-2026学年高一数学必修第二册高中同步学案（北师大版）

课时作业(十五)　向量的数乘运算 [基础达标练] 1．下列运算正确的个数是(　　) ①(－3)·2a＝－6a；②2(a＋b)－(2b－a)＝3a；③(a＋2b)－(2b＋a)＝0. A．0　　　　　　　 B．1 C．2 D．3 解析：选C　根据向量数乘运算和加减运算规律知①②正确；③(a＋2b)－(2b＋a)＝a＋2b－2b－a＝0，是零向量，而不是0，所以该运算错误．所以运算正确的个数为2. 2．(多选)下列说法中不正确的是(　　) A．λa与a的方向不是相同就是相反 B．若a，b共线，则b＝λa C．若|b|＝2|a|，则b＝±2a D．若b＝±2a，则|b| ＝2|a| 解析：选ABC　A错误，当λ＝0时，此说法不正确；B错误，当a＝0，b≠0时，不存在实数λ使b＝λa；C错误，若|b|＝2|a|，则b与a未必共线；D正确，若b＝±2a，则|b|＝2|a|. 3．(多选)设a是非零向量，λ是非零实数，则以下结论正的有(　　) A．a与－λa的方向相反 B．|－λa|≥|a| C．a与λ2a方向相同 D．|－2λa|＝2|λ|·|a| 解析：选CD　当λ＝－1时，a与－λa同向，故A不对； 当λ＝－时，|－λa|<|a|，故B不对； 当λ≠0时，a与λ2a同向，故C对； 显然D对，故选CD. 4．设P是△ABC所在平面内一点，＋＝2，则(　　) A．＋＝0 B．＋＝0 C．＋＝0 D．＋＋＝0 解析：选B　因为＋＝2， 所以点P为线段AC的中点，故选项B正确． 5．设D，E，F分别为△ABC三边BC，CA，AB的中点，则＋2＋3＝__________. 解析：∵D，E，F分别为△ABC三边的中点， ∴＋2＋3＝(＋)＋2×(＋)＋3×(＋) ＝＋＋＋＋＋ ＝＋＋ ＝. 答案： 6．化简：(a＋2b)－(5a－2b)＋a＝________． 解析：原式＝a＋b－a＋b＋a ＝a＋b＝－a＋b. 答案：－a＋b 7．计算： (1)6(3a－2b)＋9(－2a＋b)； (2)6(a－b＋c)－4(a－2b＋c)－2(－2a＋c). 解：(1)原式＝18a－12b－18a＋9b＝－3b. (2)原式＝6a－6b＋6c－4a＋8b－4c＋4a－2c ＝(6a－4a＋4a)＋(8b－6b)＋(6c－4c－2c) ＝6a＋2b. 8．已知▱ABCD中，＝a，＝b，M为AB的中点，N为BD上靠近B的三等分点． (1)用a，b表示向量，； (2)说明与的关系． 解析：(1)∵四边形ABCD是平行四边形， ∴＝＝A． ∵M为AB的中点，∴＝＝b， ∴＝＋＝b＋a． ∵N为BD上靠近B的三等分点，∴＝， ∴＝＋＝＋ ＝(－)＋＝(b－a)＋a ＝a＋b. (2)由(1)知＝， ∴向量与向量方向相同，且的长度为长度的. [能力提升练] 9．设D，E，F分别为△ABC的三边BC，CA，AB的中点，则＋等于(　　) A． B． C． D． 解析：选C　如图， ＋＝＋＋＋＝＋＝(＋)＝×2＝. 10．已知平面内有一点P及一个△ABC，若＋＋＝，则(　　) A．点P在△ABC外部 B．点P在线段AB上 C．点P在线段BC上 D．点P在线段AC上 解析：选D　∵＋＋＝， ∴＋＋－＝0，即＋＋＋＝0. ∴＋＋＝0，2＝， ∴点P在线段AC上． 11．若＝，＝(λ＋1)，则实数λ＝__________． 解析：如图，由＝，可知点P是线段AB上靠近点A的三等分点，则＝－，结合题意可得λ＋1＝－.所以λ＝－. 答案：－ 12．已知O是△ABC所在平面内一点，D为BC边的中点，且4＋＋＝0，则的值等于__________． 解析：∵D是BC的中点，∴＋＝2， ∴4＝2，即2＝， 故＝. 答案： 13．如图所示，L，M，N是△ABC三边的中点，O是△ABC所在平面内的任意一点，求证：＋＋＝＋＋. 证明：＋＋＝＋＋＋＋＋ ＝(＋＋)＋(＋＋) ＝(＋＋)＋(＋＋) ＝(＋＋)＋0 ＝＋＋. 所以原式成立． [素养拓展练] 14．设O在△ABC内部，且＋＋2＝0，则△ABC的面积与△AOC的面积之比为(　　) A．3 B．4 C．5 D．6 解析：选B　如图所示，以OA和OB为邻边作平行四边形OADB， 设OD与AB交于点E，则E分别是OD，AB的中点， ＋＝＝2， 则2＋2＝0，所以＝－. 则O，E，C三点共线，所以O是中线CE的中点， 又△ABC，△AEC，△AOC有公共边AC， 则S△ABC＝2S△AEC＝2(2S△AOC)＝4S△AOC. 学科网（北京）股份有限公司 $