6.5.2平面与平面垂直(1)课件-2023-2024学年高一下学期数学北师大版（2019）必修第二册

第六章 立体几何初步 6.5.2 平面与平面垂直(1) 1.理解二面角的有关概念,会求简单的二面角的大小; 2.理解两平面垂直的定义,掌握平面与平面垂直的性质定理及其应用; 3.通过对二面角和平面与平面垂直定义的理解,培养学生数学抽象素养; 4.通过应用平面与平面垂直的性质定理,培养学生逻辑推理素养. 二面角的概念及求法,面面垂直的定义和性质定理. 面面垂直的性质定理的应用. 2 观察下列图片,这些图片都给我们什么样的印象呢? 平面与平面相交 随着门的开启,其所在平面与墙所在平面的相交程度在变,怎样描述这种变化呢? 一个平面内的一条直线,把这个平面分成两部分,其中的每一部分都称为半平面. 从一条直线出发的两个半平面所组成的图形称为二面角,这条直线称为二面角的棱,这两个半平面称为二面角的面.如图,以直线AB(l)为棱、半平面为面的二面角,记作二面角或. 引入平面与平面的夹角——二面角 日常生活中,我们常说:“把门开的大一些”是指哪个角大一些? 如图,∠AOB、∠CDE等. 受此启发,你认为应该怎样刻画二面角的大小呢? 用平面角的大小来刻画二面角的大小. 以二面角的棱上任一点为端点,在两个半平面内分别作垂直于棱的两条射线,这两条射线所成的角称为二面角的平面角.如图中的∠AOB就是二面角的平面角. 平面角是直角的二面角称为直二面角. A O B C D E 两个平面相交,如果所成的二面角是直二面角,就说这两个平面互相垂直.平面与垂直,记作. 教室的墙面与地面构成二面角,分别指出构成二面角的面、棱、平面角及其度数. 二面角的面:墙面和地面; 二面角的棱:墙面和地面的交线; 二面角的平面角: A O B O B A l O′ B′ A′ (1)如图,∠AOB是二面角的平面角, 在l上任取一异于O的点O′,分别作A′O′和B′O′与l垂直, ∵A′O′⊥l,AO⊥l,∴AO∥A′O′,同理BO∥B′O′. 又∠AOB与∠A′O′B′方向相同,∴∠AOB=∠A′O′B′. 故二面角的平面角的大小,与棱上点的选择无关. (1)二面角的平面角的大小,与棱上点的选择是否有关? (2)二面角的棱与其平面角所在平面之间是什么关系? (3)二面角的取值范围是多少? O B A l (2)如图,∠AOB是二面角的平面角,∴AO⊥l,BO⊥l, 又,∴l⊥平面ABO. (3),. 当平面角为时,两半平面重合; 当平面角为时,两半平面共面,组成了一整个平面. (1)二面角的平面角的大小,与棱上点的选择是否有关? (2)二面角的棱与其平面角所在平面之间是什么关系? (3)二面角的取值范围是多少? l 不妨设黑板所在平面为,地面所在平面为,它们的交线为l.显然,. m 在平面内作直线m⊥l,则m⊥. 在教室里,黑板所在平面与地面所在平面垂直,你能否在黑板上画一条直线与地面垂直?怎么画? 如图,长方体ABCD-A1B1C1D1中,平面A1ADD1与平面ABCD垂直,直线A1A垂直于其交线AD,那么直线A1A与平面ABCD垂直吗? 平面A1ADD1内还有哪些直线与平面ABCD垂直? 垂直 D1D 其它与AD垂直的直线 两个平面垂直,如果一个平面内有一条直线垂直于这两个平面的交线,那么这条直线与另一个平面垂直. 你能证明你的猜想吗? 证明:在平面内作直线BC⊥MN, 则∠ABC是二面角的平面角. ∵, ∴∠ABC=90 ,即AB⊥BC. 又, ∴. C M N A B 已知: 求证:. 两个平面垂直,如果一个平面内有一条直线垂直于这两个平面的交线,那么这条直线与另一个平面垂直. 若,则. 符号语言 平面与平面垂直的性质定理 M N A B “线面垂直” “面面垂直” ① ② ③ 缺一不可 如图,山坡的倾斜度(坡面与水平面所成二面角的度数)是60 ,山坡上有一条直道CD,它和坡脚的水平线AB的夹角是30 ,沿这条路上山,行走100 m后升高多少米?(精确到0.1 m) 如图,过D作DH垂直于过BC的水平面,点H为垂足,则线段DH的长度就是所求的高度. 在平面DBC内,过点D作BC的垂线,垂足为点G,连接GH,再根据三角函数知识求解即可. H 如图,山坡的倾斜度(坡面与水平面所成二面角的度数)是60 ,山坡上有一条直道CD,它和坡脚的水平线AB的夹角是30 ,沿这条路上山,行走100 m后升高多少米?(精确到0.1 m) H 解:在平面DBC内,过点D作BC的垂线,垂足为点G,过点D作DH垂直于过BC的水平面,垂足为H,连接GH. ∵,∴ 又,∴. 又,∴. ∴∠DGH就是坡面DGC与水平平面BCH所成的二面角的平面角, ∠DGH=60 . ∴ 即沿直道前进100 m,升高约43.3 m. 如图,长方体ABCD-A1B1C1D1中,MN在平面B1BCC1内,MN⊥BC于