第6章 3.2 刻画空间点、线、面位置关系的公理（课件PPT）-【金榜题名】2025-2026学年高一数学必修第二册高中同步学案（北师大版）

该高中数学课件聚焦空间点线面位置关系，核心涵盖公理4、等角定理及异面直线定义与夹角。课前通过长方体、四棱柱模型设计问题链，如“AB与C₁D₁位置关系”“对应平行角的大小”，搭建平面到空间的认知支架，衔接平面几何知识。 亮点在于以模型为载体渗透核心素养，用正方体等直观模型培养空间观念，通过公理4推理证明、等角定理应用发展逻辑推理。题型示例与跟踪训练结合具体几何体，如三棱锥、空间四边形，总结“一作二证三计算”步骤，助力学生空间想象与问题解决，教师教学可直接依托实例与流程提升效率。

第六章　立体几何初步 第六章　立体几何初步 必修第二册 数学 §3　空间点、直线、平面之间的位置关系 3.2　刻画空间点、线、面位置关系的公理(二) 第六章　立体几何初步 必修第二册 数学 目录 contents Part 01 课 前 预 习 课 堂 互 动 Part 02 课时作业（三十七） Part 03 第六章　立体几何初步 必修第二册 数学 第六章　立体几何初步 必修第二册 数学 课 前 预 习 第六章　立体几何初步 必修第二册 数学 第六章　立体几何初步 必修第二册 数学 第六章　立体几何初步 必修第二册 数学 平行 a∥c 传递性 第六章　立体几何初步 必修第二册 数学 平行 相等或互补 第六章　立体几何初步 必修第二册 数学 任何一个平面内(不共面) 第六章　立体几何初步 必修第二册 数学 一个 没有 第六章　立体几何初步 必修第二册 数学 ∥ ∥ 共面 不大于90° 直角 a⊥b 第六章　立体几何初步 必修第二册 数学 第六章　立体几何初步 必修第二册 数学 第六章　立体几何初步 必修第二册 数学 第六章　立体几何初步 必修第二册 数学 第六章　立体几何初步 必修第二册 数学 课 堂 互 动 第六章　立体几何初步 必修第二册 数学 第六章　立体几何初步 必修第二册 数学 第六章　立体几何初步 必修第二册 数学 第六章　立体几何初步 必修第二册 数学 第六章　立体几何初步 必修第二册 数学 第六章　立体几何初步 必修第二册 数学 第六章　立体几何初步 必修第二册 数学 第六章　立体几何初步 必修第二册 数学 第六章　立体几何初步 必修第二册 数学 第六章　立体几何初步 必修第二册 数学 第六章　立体几何初步 必修第二册 数学 第六章　立体几何初步 必修第二册 数学 第六章　立体几何初步 必修第二册 数学 第六章　立体几何初步 必修第二册 数学 第六章　立体几何初步 必修第二册 数学 第六章　立体几何初步 必修第二册 数学 第六章　立体几何初步 必修第二册 数学 第六章　立体几何初步 必修第二册 数学 第六章　立体几何初步 必修第二册 数学 第六章　立体几何初步 必修第二册 数学 第六章　立体几何初步 必修第二册 数学 第六章　立体几何初步 必修第二册 数学 课时作业（三十七） 点击进入word 第六章　立体几何初步 必修第二册 数学 谢谢观看 第六章　立体几何初步 必修第二册 数学 学习目标 素养要求 1．理解并掌握基本事实4(公理4)和(等角)定理，并能解决有关问题． 2．理解异面直线的定义，掌握空间中两条直线的位置关系，会求异面直线所成的角． 1．通过基本事实4和等角定理的应用，培养逻辑推理的核心素养． 2．通过异面直线定义、画法及夹角的学习，提升直观想象的核心素养． [自主梳理] 知识点一　基本事实4和(等角)定理 [问题1]　 观察长方体ABCD­A1B1C1D1，显然AB∥CD, CD∥C1D1，则AB与C1D1有何位置关系？ 答：AB∥C1D1. [问题2]　如图，在四棱柱ABCD­A′B′C′D′中，底面ABCD为菱形， ∠ADC与∠A′D′C′，∠ADC与∠A′B′C′的两边分别对应平行，这两组角的大小关系如何？ 答：∠ADC＝∠A′D′C′，∠ADC＋∠A′B′C′＝180°. ►知识填空 1．基本事实4(公理4) 文字语言 平行于同一条直线的两条直线互相________． 图形语言 符号语言 直线a，b，c，a∥b，b∥c⇒________． 作用 证明两条直线平行． 说明 公理4通常称为空间平行线的_________． 2．(等角)定理 如果空间中两个角的两条边分别对应_______，那么这两个角______________． 知识点二　异面直线 ►知识填空 1．异面直线 (1)定义：不同在____________________________的两条直线． (2)画法： 2．两条直线的位置关系 3．异面直线所成的角(或夹角) 如图，已知两条异面直线a，b过空间任一点O作直线a′____a， b′____b，这时a′，b′________，我们把a′与b′，所成的________________的角称为异面直线a，b所成的角(或夹角). 若两条异面直线a，b所成的角是________，则称这两条直线互相垂直，记作：_______． [自主检验] 1．判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)没有公共点的两条直线一定是异面直线.(　　) (2)两直线垂直，则这两条直线一定相交．(　　) (3)两直线和第三条直线成等角，则这两条直线平行．(　　) 答案：(1)×　(2)×　(3)× 2．如果两条直线a和b没有公共点，那么a和b(　　) A．共面　　　　　　　 B．平行 C．异面 D．平行或异面 答案：D 3．在三棱锥S­ABC中，与SA是异面直线的是(　　) A．SB B．SC C．BC D．AB 答案：C 4．已知角α和角β的两边分别平行且一组边方向相同，另一组边的方向相反，若α＝45°，则β＝__________． 答案：135° 题型一　空间两条直线位置关系的判定 [例1]　(1)如图，AA1是长方体的一条棱，这个长方体中与AA1异面的棱的条数是(　　) A．6　 　 B．4 C．5 D．8 (2)若a，b是异面直线，b，c是异面直线，则a，c的位置关系是(　　) A．异面 B．相交或平行 C．平行或异面 D．相交、平行或异面 解析：(1)结合异面直线的定义可知，与AA1异面 的棱有BC，B1C1，CD，C1D1，共4条． (2)如图所示，在正方体ABCD­A1B1C1D1中：①AA1 与DC异面，与B1C1异面，此时DC与B1C1异面； ②AA1与DC异面，与BC异面，此时DC与BC相交；③AA1与DC异面，与D1C1异面，此时DC与D1C1平行． 答案：(1)B　(2)D [反思感悟] 1．判断空间中两条直线位置关系的思路 (1)建立空间观念，全面考虑两条直线平行、相交和异面三种位置关系．特别关注异面直线． (2)重视正方体等常见几何体模型的应用，会举例说明两条直线的位置关系． 2．判定两条直线是异面直线的方法 (1)证明两条直线既不平行又不相交． (2)重要结论：连接平面内一点与平面外一点的直线，和这个平面内不经过此点的直线是异面直线．用符号语言可表示为A∉α，B∈α，B∉l，l⊂α，则AB与l是异面直线(如图). 如图，正方体ABCD­A1B1C1D1中，判断下列直线的位置关系： ①直线A1B与直线D1C的位置关系是________； ②直线A1B与直线B1C的位置关系是____________； ③直线D1D与直线D1C的位置关系是____________； ④直线AB与直线B1C的位置关系是________． 答案：①平行　②异面　③相交　④异面 题型二　基本事实4和(等角)定理的应用 [例2]　如图，正方体ABCD­A′B′C′D′中，E，F，E′，F′分别是棱AB，AD，B′C′，C′D′的中点． 求证：(1)四边形EFF′E′为平行四边形． (2)求证：∠EA′F＝∠E′CF′. 证明：(1)连接BD，B′D′，因为F，E分别为AB，AD的中点，所以EF綊 eq \f(1,2) BD，同理E′F′綊 eq \f(1,2) B′D′.在正方体ABCD­A′B′C′D′中， 四边形BB′D′D为平行四边形，所以BD綊B′D′，所以EF綊E′F′， 故四边形EFF′E′为平行四边形． (2)取A′B′的中点M，连接F′M，BM，则MF′綊B′C′綊BC， 所以四边形BMF′C为平行四边形，所以BM∥CF′， 又四边形BMA′E为平行四边形，所以BM∥A′E， 所以A′E∥CF′.同理A′F∥CE′.因为∠EA′F与 ∠E′CF′的两边分别对应平行，且方向相反， 所以∠EA′F＝∠E′CF′. [反思感悟] 1．空间两条直线平行的证明 (1)定义法，即证明两条直线在同一平面内且两直线没有公共点． (2)利用公理4找到一条直线，使所证的直线都与这条直线平行． 2．定理的结论是相等或互补 在实际应用时，一般是借助于图形判断是相等，还是互补，还是两种情况都有可能． 如图，已知在棱长为a的正方体ABCD­A1B1C1D1中，M，N分别是棱CD，AD的中点． 求证：(1)四边形MNA1C1是梯形； (2)∠DNM＝∠D1A1C1. 证明：(1)如图，连接AC，在△ACD中， ∵M，N分别是CD ，AD的中点， ∴MN是△ACD的中位线， ∴MN∥AC，MN＝ eq \f(1,2) AC. 由正方体的性质得AC∥A1C1 ，AC＝A1C1. ∴MN∥A1C1，且MN＝ eq \f(1,2) A1C1， 即MN≠A1C1，∴四边形MNA1C1是梯形． (2)由(1)可知MN∥A1C1. 又∵ND∥A1D1， ∴∠DNM与∠D1A1C1相等或互补． 而∠DNM与∠D1A1C1均为锐角， ∴∠DNM＝∠D1A1C1. 题型三　异面直线所成的角 [例3]　如图，在正方体ABCD­EFGH中，O为侧面ADHE的中心，求： (1)BE与CG所成的角； (2)FO与BD所成的角． 解：(1)∵CG∥FB， ∴∠EBF是异面直线BE与CG所成的角． 在Rt△EFB中，EF＝FB， ∴∠EBF＝45°， ∴BE与CG所成的角为45°. (2)如图，连接FH， ∵FB∥AE，FB＝AE， AE∥HD，AE＝HD， ∴FB＝HD，FB∥HD， ∴四边形FBDH是平行四边形， ∴BD∥FH， ∴∠HFO或其补角是FO与BD所成的角，连接HA，AF， 则△AFH是等边三角形， 又O是AH的中点， ∴∠HFO＝30°， ∴FO与BD所成的角为30°. [反思感悟] 求异面直线所成角的步骤 一作：选择适当的点，平移法作出异面直线所成的角． 二证：证明作出的角就是要求的角． 三计算：将异面直线所成的角放入某个三角形中，利用特殊三角形求解． 如图所示，空间四边形ABCD中，两条对边AB＝CD＝3，E，F分别是另外两条对边AD，BC上的点，且 eq \f(AE,ED) ＝ eq \f(BF,FC) ＝ eq \f(1,2) ，EF＝ eq \r(5) ，求AB和CD所成的角的大小． 解：如图，过E作EO∥AB，交BD于点O，连接OF， 所以 eq \f(AE,ED) ＝ eq \f(BO,OD) ，所以 eq \f(BO,OD) ＝ eq \f(BF,FC) ， 所以OF∥CD. 所以∠EOF(或其补角)是AB和CD所成的角． 在△EOF中，OE＝ eq \f(2,3) AB＝2，OF＝ eq \f(1,3) CD＝1， 又EF＝ eq \r(5) ，所以EF2＝OE2＋OF2， 所以∠EOF＝90°.即异面直线AB和CD所成的角为90°. [课堂小结] 1．判定两直线的位置关系的依据就在于两直线平行、相交、异面的定义．很多情况下，定义就是一种常用的判定方法． 2．在研究异面直线所成角的大小时，通常把两条异面直线所成的角转化为两条相交直线所成的角．将空间问题向平面问题转化，这是我们学习立体几何的一条重要的思维途径．需要强调的是，两条异面直线所成角的范围为(0°，90°]，解题时经常结合这一点去求异面直线所成角的大小． $