第4章 2.3,2.4 三角函数的叠加及其应用&积化和差与和差化积公式（课件PPT）-【金榜题名】2025-2026学年高一数学必修第二册高中同步学案（北师大版）

该高中数学课件聚焦必修第二册第四章三角恒等变换，涵盖两角和与差的三角函数公式、三角函数的叠加及其应用、积化和差与和差化积公式，通过课前预习支架衔接已学三角函数知识，构建从公式推导到实际应用的学习脉络。 其亮点在于采用“课前预习-课堂互动-课时作业”三阶教学结构，结合数学思维（推理能力）引导学生探究公式逻辑联系，通过三角函数叠加应用实例培养数学语言（模型意识），帮助学生形成严谨推理习惯，教师可借助结构化内容提升教学系统性与效率。

第四章　三角恒等变换 第四章　三角恒等变换 必修第二册 数学 §2　两角和与差的三角函数公式 2.3　三角函数的叠加及其应用　 2.4　积化和差与和差化积公式 第四章　三角恒等变换 必修第二册 数学 目录 contents Part 01 课 前 预 习 课 堂 互 动 Part 02 课时作业（二十八） Part 03 第四章　三角恒等变换 必修第二册 数学 第四章　三角恒等变换 必修第二册 数学 课 前 预 习 第四章　三角恒等变换 必修第二册 数学 第四章　三角恒等变换 必修第二册 数学 第四章　三角恒等变换 必修第二册 数学 第四章　三角恒等变换 必修第二册 数学 第四章　三角恒等变换 必修第二册 数学 第四章　三角恒等变换 必修第二册 数学 第四章　三角恒等变换 必修第二册 数学 第四章　三角恒等变换 必修第二册 数学 第四章　三角恒等变换 必修第二册 数学 第四章　三角恒等变换 必修第二册 数学 第四章　三角恒等变换 必修第二册 数学 课 堂 互 动 第四章　三角恒等变换 必修第二册 数学 第四章　三角恒等变换 必修第二册 数学 第四章　三角恒等变换 必修第二册 数学 第四章　三角恒等变换 必修第二册 数学 第四章　三角恒等变换 必修第二册 数学 第四章　三角恒等变换 必修第二册 数学 第四章　三角恒等变换 必修第二册 数学 第四章　三角恒等变换 必修第二册 数学 第四章　三角恒等变换 必修第二册 数学 第四章　三角恒等变换 必修第二册 数学 第四章　三角恒等变换 必修第二册 数学 第四章　三角恒等变换 必修第二册 数学 第四章　三角恒等变换 必修第二册 数学 第四章　三角恒等变换 必修第二册 数学 第四章　三角恒等变换 必修第二册 数学 第四章　三角恒等变换 必修第二册 数学 第四章　三角恒等变换 必修第二册 数学 第四章　三角恒等变换 必修第二册 数学 课时作业（二十八） 点击进入word 第四章　三角恒等变换 必修第二册 数学 谢谢观看 第四章　三角恒等变换 必修第二册 数学 学习目标 素养要求 1．理解辅助角公式，积化和差与和差化积公式的推导过程． 2．能利用辅助角公式积化和差与和差化积公式进行三角函数式的化简、求值及三角函数性质的讨论． 1．通过推导辅助角公式、积化和差与和差化积公式，培养逻辑推理的核心素养． 2．通过辅助角公式，积化和差与和差化积公式的应用，提升数学运算的核心素养． [自主梳理] 知识点一　辅助角公式 ►知识填空 a sin α＋b cos α＝______________________(a，b不同时为0).其中角φ所在象限由a，b的符号确定，角φ的值由sin φ和cos φ的值确定，也就是由tan φ＝ eq \f(b,a) 来确定． eq \r(a2＋b2) sin (α＋φ) 知识点二　积化和差与和差化积公式 [问题1]　 利用Cα±β公式，能用cos (α±β)表示cos αcos β及sin αcos β吗？ 答：能．因为cos (α±β)＝cos αcos β∓sin αcos β，　 运用方程思想得 cos αcos β＝ eq \f(1,2) [cos (α＋β)＋cos (α－β)]， sin αsin β＝－ eq \f(1,2) [cos (α＋β)－cos (α－β)]. [问题2]　利用Sα±β公式，能用sin (α±β)表示sin αcos β及cos αsin β吗？ 答：能．类似地由sin (α±β)＝sin αcos β±cos αsin β，　 得到：sin αcos β＝ eq \f(1,2) [sin (α＋β)＋sin (α－β)]， cos αsin β＝ eq \f(1,2) [sin (α＋β)－sin (α－β)]. eq \f(1,2) [sin(α＋β)－sin(α－β)] ►知识填空 1．积化和差公式 cos αcos β＝___________________________， sin αsin β＝___________________________， sin αcos β＝___________________________， cos αsin β＝___________________________． eq \f(1,2) [cos (α＋β)＋cos(α－β)] － eq \f(1,2) [cos(α＋β)－cos(α－β)] eq \f(1,2) [sin(α＋β)＋sin(α－β)] 2．和差化积公式 在积化和差公式中令 eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝α＋β，,y＝α－β)) 则α＝ eq \f(x＋y,2) ，β＝ eq \f(x－y,2) ，上述公式可改写为 2cos eq \f(x＋y,2) sin eq \f(x－y,2) cos x＋cos y＝______________________， cos x－cos y＝______________________， sin x＋sin y＝______________________， sin x－sin y＝______________________． 2cos eq \f(x＋y,2) cos eq \f(x－y,2) －2sin eq \f(x＋y,2) sin eq \f(x－y,2) 2sin eq \f(x＋y,2) cos eq \f(x－y,2) [自主检验] 1．判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)sin 5θ＋sin 3θ＝2sin 8θcos 2θ.(　　) (2)cos 3θ－cos 5θ＝－2sin 4θsin θ.(　　) (3)sin 3θ－sin 5θ＝－ eq \f(1,2) cos 4θcos θ.(　　) (4)sin 5θ＋cos 3θ＝2sin 4θcos θ.(　　) (5)sin x sin y＝ eq \f(1,2) [cos (x－y)－cos (x＋y) ].(　　) 答案：(1)×　(2)×　(3)×　(4)×　(5)√ 2. eq \r(3) cos eq \f(π,12) －sin eq \f(π,12) 的值为(　　) A．0　　　　　　　 B．－ eq \r(2) C． eq \r(2) D．2 答案：C 3．函数y＝sin 2x－ eq \r(3) cos 2x的最大值为________，周期为________． 答案：2　π 4．求值： eq \f(sin 10°＋cos 70°,sin 80°＋cos 20°) ＝________． 答案：2－ eq \r(3) 题型一　辅助角公式的应用 [例1]　已知sin eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1( α＋\f(π,3))) ＋sin α＝－ eq \f(4\r(3),5) ，则cos eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1( α＋\f(2π,3))) 等于__________． 解析：因为sin eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α＋\f(π,3))) ＋sin α ＝sin αcos eq \f(π,3) ＋cos αsin eq \f(π,3) ＋sin α ＝ eq \f(1,2) sin α＋ eq \f(\r(3),2) cos α＋sin α ＝ eq \f(3,2) sin α＋ eq \f(\r(3),2) cos α＝ eq \r(3) eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(3),2)sin α＋\f(1,2)cos α)) ＝ eq \r(3) cos eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α－\f(π,3))) ＝－ eq \f(4\r(3),5) . 所以cos eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α－\f(π,3))) ＝－ eq \f(4,5) ， 所以cos eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α＋\f(2π,3))) ＝－cos eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,3)－α)) ＝ eq \f(4,5) . 答案： eq \f(4,5) [反思感悟] 辅助角公式及其运用 (1)公式形式：公式a sin α＋b cos α＝ eq \r(a2＋b2) sin (α＋φ)(或a sin α＋b cos α＝ eq \r(a2＋b2) cos (α－φ))将形如a sin α＋b cos α(a，b不同时为零)的三角函数式收缩为同一个角的一种三角函数式． (2)形如a sin x＋b cos x三角函数式的化简，关键是记准特殊角的三角函数值，恰当选择并逆用公式化简为一个角的一种三角函数形式． 设f(x)＝ eq \r(3) sin 3x＋cos 3x，若对任意实数x都有|f(x)|≤a，则实数a的取值范围是________． 解析：由题意知f(x)＝2 eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(3),2)sin 3x＋\f(1,2)cos 3x)) ＝2sin eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(3x＋\f(π,6))) ， 则|f(x)|≤2，所以a≥2. 答案：[2，＋∞) 题型二　积(和差)化和差(积)公式的应用 [例2]　求证 ：sin αsin (60°＋α)sin (60°－α)＝ eq \f(1,4) sin 3α. 证明：左边＝sin α· eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2))) (cos 120°－cos 2α) ＝ eq \f(1,4) sin α＋ eq \f(1,2) sin αcos 2α＝ eq \f(1,4) sin α＋ eq \f(1,4) [sin 3α＋sin (－α)] ＝ eq \f(1,4) sin α＋ eq \f(1,4) sin 3α－ eq \f(1,4) sin α＝ eq \f(1,4) sin 3α＝右边． ∴等式成立． [反思感悟] 当要证明的等式一边复杂，另一边非常简单时，我们往往从复杂的一边入手证明，类似于化简． 1．sin 15°cos 165°的值是(　　) A． eq \f(1,4) 　　　　　　 B． eq \f(1,2) C．－ eq \f(1,4) D．－ eq \f(1,2) 解析：sin 15°cos 165° ＝ eq \f(1,2) [sin (15°＋165°)＋sin (15°－165°)] ＝ eq \f(1,2) [sin 180°＋sin (－150°)] ＝－ eq \f(1,4) . 答案：C 2. 化简 eq \f(cos α－cos 3α,sin 3α－sin α) 的结果为(　　) A．tan α B．tan 2α C． eq \f(1,tan α) D． eq \f(1,tan 2α) 解析：原式＝ eq \f(－2sin 2αsin (－α),2cos 2αsin α) ＝tan 2α. 答案：B 题型三　三角函数叠加的综合应用 [例3]　如图所示，要把半径为R的半圆形木料截成长方形，应怎样截取，才能使△OAB的周长最大？ 解：设∠AOB＝α，△OAB的周长为l， 则AB＝R sin α，OB＝R cos α， ∴l＝OA＋AB＋OB＝R＋R sin α＋R cos α ＝R(sin α＋cos α)＋R ＝ eq \r(2) R sin eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α＋\f(π,4))) ＋R. ∵0<α< eq \f(π,2) ，∴ eq \f(π,4) <α＋ eq \f(π,4) < eq \f(3π,4) . ∴l的最大值为 eq \r(2) R＋R＝( eq \r(2) ＋1)R， 此时，α＋ eq \f(π,4) ＝ eq \f(π,2) ，即α＝ eq \f(π,4) ， 即当α＝ eq \f(π,4) 时，△OAB的周长最大． [反思感悟] 三角函数叠加解决实际问题的基本策略 (1)方法：解答此类问题，关键是合理引入辅助角，确定各量之间的关系，将实际问题转化为三角函数问题，再利用三角函数的有关知识求解． (2)注意：在求解过程中，要注意三点：①充分借助平面几何性质，寻找数量关系．②注意实际问题中变量的范围．③重视三角函数有界性的影响． 求函数y＝sin x eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(sin x－sin \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(π,3))))) 的周期，最大值及对应的x的值． 解：y＝sin x eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(sin x－sin \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(π,3))))) ＝sin x·2cos eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(π,6))) sin eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(π,6))) ＝－sin x cos eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(π,6))) ＝－ eq \f(1,2) eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(sin \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x＋\f(π,6)))＋sin \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(π,6))))) ＝－ eq \f(1,2) sin eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x＋\f(π,6))) ＋ eq \f(1,4) ， 所以函数的周期为π， 因为sin eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x＋\f(π,6))) ∈[－1，1]， 所以当sin eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x＋\f(π,6))) ＝－1， 即x＝kπ－ eq \f(π,3) ，k∈Z时，ymax＝ eq \f(3,4) . [课堂小结] 1．研究形如f(x)＝a sin x＋b cos x的函数性质，都要运用辅助角公式化为一个整体角的正弦函数或余弦函数的形式．因此辅助角公式是三角函数中应用较为广泛的一个重要公式，也是高考常考的考点之一，对一些特殊的系数a，b应熟练掌握． 例如sin x±cos x＝ eq \r(2) sin eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x±\f(π,4))) ； sin x± eq \r(3) cos x＝2sin eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x±\f(π,3))) 等． 2．对于积化和差与和差化积公式，要准确掌握公式的结构特征，公式的作用并能合理使用． $