第2章 5.1 向量的数量积（课件PPT）-【金榜题名】2025-2026学年高一数学必修第二册高中同步学案（北师大版）

该高中数学课件聚焦向量的数量积，涵盖定义、几何意义、运算性质及应用。通过物理力做功问题导入，结合自主梳理的问题链抽象概念，衔接投影向量与数量的几何意义，构建从具体到抽象的学习支架。 其亮点是以数学抽象和数学运算为核心，通过正三角形数量积计算等问题驱动，分层设计求数量积、投影、模长等题型。反思感悟总结方法，如求模转化为平方，助学生形成逻辑思维，教师可借预习-互动-作业结构提升教学效率。

第二章　平面向量及其应用 第二章　平面向量及其应用 必修第二册 数学 §5　从力的做功到向量的数量积 5.1　向量的数量积 第二章　平面向量及其应用 必修第二册 数学 目录 contents Part 01 课 前 预 习 课 堂 互 动 Part 02 课时作业（十九） Part 03 第二章　平面向量及其应用 必修第二册 数学 第二章　平面向量及其应用 必修第二册 数学 课 前 预 习 第二章　平面向量及其应用 必修第二册 数学 第二章　平面向量及其应用 必修第二册 数学 |a||b|cosθ a·b a·b＝|a||b|cosθ 0 第二章　平面向量及其应用 必修第二册 数学 第二章　平面向量及其应用 必修第二册 数学 第二章　平面向量及其应用 必修第二册 数学 |a|cos〈a，b〉 第二章　平面向量及其应用 必修第二册 数学 |a|cosθ |b|cosθ 第二章　平面向量及其应用 必修第二册 数学 b·a (λa)·b a·(λb) a·c＋b·c 第二章　平面向量及其应用 必修第二册 数学 e·a |a|cos〈a，e〉 a⊥b |a|2 |a||b| 第二章　平面向量及其应用 必修第二册 数学 第二章　平面向量及其应用 必修第二册 数学 第二章　平面向量及其应用 必修第二册 数学 第二章　平面向量及其应用 必修第二册 数学 第二章　平面向量及其应用 必修第二册 数学 课 堂 互 动 第二章　平面向量及其应用 必修第二册 数学 第二章　平面向量及其应用 必修第二册 数学 第二章　平面向量及其应用 必修第二册 数学 第二章　平面向量及其应用 必修第二册 数学 第二章　平面向量及其应用 必修第二册 数学 第二章　平面向量及其应用 必修第二册 数学 第二章　平面向量及其应用 必修第二册 数学 第二章　平面向量及其应用 必修第二册 数学 第二章　平面向量及其应用 必修第二册 数学 第二章　平面向量及其应用 必修第二册 数学 第二章　平面向量及其应用 必修第二册 数学 第二章　平面向量及其应用 必修第二册 数学 第二章　平面向量及其应用 必修第二册 数学 第二章　平面向量及其应用 必修第二册 数学 第二章　平面向量及其应用 必修第二册 数学 第二章　平面向量及其应用 必修第二册 数学 第二章　平面向量及其应用 必修第二册 数学 第二章　平面向量及其应用 必修第二册 数学 第二章　平面向量及其应用 必修第二册 数学 第二章　平面向量及其应用 必修第二册 数学 第二章　平面向量及其应用 必修第二册 数学 第二章　平面向量及其应用 必修第二册 数学 第二章　平面向量及其应用 必修第二册 数学 第二章　平面向量及其应用 必修第二册 数学 课时作业（十九） 点击进入word 第二章　平面向量及其应用 必修第二册 数学 谢谢观看 第二章　平面向量及其应用 必修第二册 数学 学习目标 素养要求 1．了解向量数量积的物理意义． 2．掌握向量的数量积、投影的定义，理解数量积的几何意义． 3．会用数量积的运算律和性质，解决模长、夹角、投影数量等问题． 1．通过向量数量积、投影的学习，培养数学抽象的核心素养． 2．通过数量积的运算律、性质的应用，提升数学运算的核心素养． [自主梳理] 知识点一　向量的数量积的定义 [问题]　 如图，在力F的作用下，木块在水平方向上移动了5 m，若F＝3 N. (1)则力F做的功是多少？ (2)力做功的大小与哪些量有关？ 答：(1)3×5×cos 30°＝ eq \f(15\r(3),2) (J). (2)与力的大小、位移的大小及它们的夹角有关． ►知识填空 向量数量积的定义 条件 非零向量a与b，a与b的夹角为θ. 结论 数量_________________叫向量a与b的数量积．(或内积) 记法 向量a与b的数量积记作_________，即_____________________． 规定 零向量与任一向量的数量积为______． 知识点二　投影及数量积的几何意义 [问题]　 在平面直角坐标系中 (1)过点A(1，1)，点B(3，2)向x轴引垂线，垂足分别为A1，B1，则向量 eq \o(AB,\s\up14(→)) 在x轴方向上的投影向量及投影数量分别是什么？ 答： eq \o(A1B1,\s\up14(→)) ；| eq \o(A1B1,\s\up14(→)) |＝2. (2)过点C(－1，1)向x轴引垂线，垂足为C1则向量 eq \o(OC,\s\up14(→)) 在x轴上的投影向量及投影数量分别是什么？二者有什么联系？ 答：向量 eq \o(OC1,\s\up14(→)) ，| eq \o(OC1,\s\up14(→)) |；投影向量是一个向量，而投影的数量与投影的长度和向量 eq \o(OC,\s\up14(→)) 与 eq \o(OC1,\s\up14(→)) 的夹角有关．当〈 eq \o(OC,\s\up14(→)) ， eq \o(OB1,\s\up14(→)) 〉为钝角时，向量 eq \o(OC,\s\up14(→)) 在x轴上的投影的数量为－| eq \o(OC1,\s\up14(→)) |. ►知识填空 1．投影向量、投影数量 已知两个非零向量a和b，作 eq \o(OA,\s\up14(→)) ＝a， eq \o(OB,\s\up14(→)) ＝b，过点A向直线OB作垂线，垂足为A′得到a在b上的投影γ＝ eq \o(OA′,\s\up14(→)) ，γ称为投影向量．__________________称为投影向量γ的数量，也称为向量a在向量b方向上的投影数量，可以表示为__________． a· eq \f(b,|b|) 2．向量数量积a·b的几何意义 b的长度|b|与a在b方向上的投影数量___________的乘积；或a的长度|a|与b在a方向上的投影数量___________的乘积． 知识点三　数量积的运算性质 ►知识填空 1．数量积的运算律 对任意的向量a，b，c和实数λ： (1)交换律：a·b＝________； (2)与数乘的结合律：λ(a·b)＝___________＝___________； (3)关于加法的分配律：(a＋b)·c＝_______________． 2．数量积的性质 (1)若e是单位向量，则a·e＝___________＝________________； (2)若a，b是非零向量，则a·b＝0⇔_______； (3)a·a＝________即|a|＝__________； (4)cos 〈a，b〉＝______________________； (5)|a·b|≤__________，当且仅当a∥b时等号成立． eq \r(a·a) eq \f(a·b,|a||b|) (|a||b|≠0) [自主检验] 1．已知|a|＝ eq \r(3) ，|b|＝2 eq \r(3) ，a与b的夹角是120°，则a·b等于(　　) A．3　　　　　　　　 B．－3 C．－3 eq \r(3) D．3 eq \r(3) 解析：选B　由数量积的定义，得a·b＝|a||b|cos 120° ＝ eq \r(3) ×2 eq \r(3) × eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2))) ＝－3.故选B. 2．已知向量a，b满足|a|＝1，a·b＝－1，则a·(2a－b)＝(　　) A．4　　 B．3　　　 C．2　　 D．0 答案：B 3．若|a|＝8，|b|＝4，〈a·b〉＝120°，则b在a上的投影的数量为__________，a在b上投影的数量为__________． 答案：－2　－4 4．在边长为2的等边三角形ABC中， eq \o(AB,\s\up14(→)) · eq \o(BC,\s\up14(→)) 的值为__________. 答案：－2 题型一　求两向量的数量积 [例1]　已知正三角形ABC的边长为1，求： (1) eq \o(AB,\s\up14(→)) · eq \o(AC,\s\up14(→)) ；(2) eq \o(AB,\s\up14(→)) · eq \o(BC,\s\up14(→)) ；(3) eq \o(BC,\s\up14(→)) · eq \o(AC,\s\up14(→)) . 解：(1)∵ eq \o(AB,\s\up14(→)) 与 eq \o(AC,\s\up14(→)) 的夹角为60°， ∴ eq \o(AB,\s\up14(→)) · eq \o(AC,\s\up14(→)) ＝| eq \o(AB,\s\up14(→)) || eq \o(AC,\s\up14(→)) |cos 60°＝1×1× eq \f(1,2) ＝ eq \f(1,2) . (2)∵ eq \o(AB,\s\up14(→)) 与 eq \o(BC,\s\up14(→)) 的夹角为120°， ∴ eq \o(AB,\s\up14(→)) · eq \o(BC,\s\up14(→)) ＝| eq \o(AB,\s\up14(→)) || eq \o(BC,\s\up14(→)) |cos 120°＝1×1× eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2))) ＝－ eq \f(1,2) . (3)∵ eq \o(BC,\s\up14(→)) 与 eq \o(AC,\s\up14(→)) 的夹角为60°， ∴ eq \o(BC,\s\up14(→)) · eq \o(AC,\s\up14(→)) ＝| eq \o(BC,\s\up14(→)) || eq \o(AC,\s\up14(→)) |cos 60°＝1×1× eq \f(1,2) ＝ eq \f(1,2) . [反思感悟] 定义法求平面向量的数量积 若已知两向量的模及其夹角，则直接利用公式a·b＝|a|·|b|cos θ.运用此法计算数量积的关键是确定两个向量的夹角，条件是两向量的起点必须重合，否则，要通过平移使两向量符合以上条件． 已知|a|＝3，|b|＝6，当①a∥b，②a⊥b，③a与b的夹角是60°时，分别求a·b，a·(a＋b). 解：①当a∥b时，若a与b同向，则它们的夹角θ＝0°， ∴a·b＝|a||b|cos 0°＝3×6×1＝18， a·(a＋b)＝a2＋a·b＝9＋18＝27. 若a与b反向，则它们的夹角θ＝180°， ∴a·b＝|a||b|cos 180°＝3×6×(－1)＝－18， a·(a＋b)＝a2＋a·b＝9－18＝－9. ②当a⊥b时，它们的夹角θ＝90°. ∴a·b＝0，a·(a＋b)＝a2＝9. ③当a与b的夹角是60°时， 有a·b＝|a||b|cos 60°＝3×6× eq \f(1,2) ＝9. a·(a＋b)＝a2＋a·b＝18. 题型二　投影向量与投影数量 [例2]　已知向量a，b，c，其中|a|＝3，|b|＝4，a与c夹角θ＝120°，b与c的夹角γ＝45°. (1)若|c|＝1，求a在c方向上的投影向量； (2)求a＋b在c方向上的投影数量． 解：(1)|c|＝1，∴c为单位向量， ∴a在c方向上的投影向量为|a|·cos 120°·c＝3× eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2))) c＝－ eq \f(3,2) c. (2)(a＋b)· eq \f(c,|c|) ＝a· eq \f(c,|c|) ＋b· eq \f(c,|c|) ＝|a|cos θ＋|b|cos γ ＝3cos 120°＋4cos 45°＝－ eq \f(3,2) ＋2 eq \r(2) . [反思感悟] (1)投影向量的求法 ①向量a在向量b方向上的投影向量为|a|cos θe(其中e为与b同向的单位向量)，它是一个向量，且与b共线，其方向由向量a和b的夹角θ的余弦值决定． ②向量a在向量b方向上的投影向量为|a|cos θ eq \f(b,|b|) . (2)投影数量：a在b方向上的投影数量为|a|cos 〈a，b〉＝a· eq \f(b,|b|) . 已知|a|＝12，|b|＝8，a·b＝24，求a在b方向上的投影向量和投影数量． 解：∵a·b＝|a||b|cos θ，∴cos θ＝ eq \f(a·b,|a||b|) ＝ eq \f(24,12×8) ＝ eq \f(1,4) ， ∴a在b方向上的投影向量为|a|cos θ· eq \f(b,|b|) ＝12× eq \f(1,4) × eq \f(1,8) b＝ eq \f(3,8) b，a在b方向上的投影数量为 eq \f(a·b,|b|) ＝ eq \f(24,8) ＝3. 题型三　向量模的有关计算 [例3]　(1)已知向量a，b的夹角为60°，|a|＝2，|b|＝1，则|a＋2b|＝________． (2)已知向量a与b夹角为45°，且|a|＝1，|2a＋b|＝ eq \r(10) ，则|b|＝________． 解析：(1)|a＋2b|2＝|a|2＋4a·b＋4|b|2 ＝4＋4×2×1×cos 60°＋4＝12， ∴|a＋2b|＝2 eq \r(3) . (2)因为|2a＋b|＝ eq \r(10) ，所以(2a＋b)2＝10， 所以4a2＋4a·b＋b2＝10， 又因为向量a与b的夹角为45°且|a|＝1， 所以4|a|2＋4|a||b|cos 45°＋|b|2＝10， 故4×12＋4×1×|b|× eq \f(\r(2),2) ＋|b|2＝10， 整理得|b|2＋2 eq \r(2) |b|－6＝0， 解得|b|＝ eq \r(2) 或|b|＝－3 eq \r(2) (舍去). 答案：(1)2 eq \r(3) 　(2) eq \r(2) [反思感悟] 求向量的模的常见思路及方法 (1)求模问题一般转化为求模的平方，与向量数量积联系，并灵活应用a2＝|a|2，勿忘记开方． (2)a·a＝a2＝|a|2或|a|＝ eq \r(a2) ，可以实现实数运算与向量运算的相互转化． 设向量a，b，c满足a＋b＋c＝0，(a－b)⊥c，a⊥b，若|a|＝1，求|a|2＋|b|2＋|c|2的值． 解：由a⊥b，得a·b＝0. 由a＋b＋c＝0，得c＝－(a＋b). 又(a－b)⊥c，∴(a－b)·c＝0，(a－b)·(a＋b)＝0， ∴a2－b2＝0，|a|＝|b|＝1， ∴|c|2＝[－(a＋b)]2＝|a|2＋|b|2＋2a·b＝2， ∴|a|2＋|b|2＋|c|2＝1＋1＋2＝4. 题型四　向量的夹角与垂直问题 [例4]　(1)已知非零向量a，b满足2|a|＝3|b|，|a－2b|＝|a＋b|，则a与b的夹角的余弦值为________________． (2)已知非零向量m，n满足4|m| ＝3|n|，cos 〈m，n〉＝ eq \f(1,3) .若n⊥(tm＋n)，则实数t的值为(　　) A．4　　　　　　　 B．－4 C． eq \f(9,4) D．－ eq \f(9,4) 解析：由|a－2b|＝|a＋b|，得(a－2b)2＝(a＋b)2， 所以a·b＝ eq \f(1,2) b2， 所以cos 〈a，b〉＝ eq \f(a·b,|a||b|) ＝ eq \f(\f(1,2)b2,\f(3,2)b2) ＝ eq \f(1,3) . (2)法一：由n⊥(tm＋n)可得n·(tm＋n)＝0， 即tm·n＋n2＝0， 所以t＝－ eq \f(n2,m·n) ＝－ eq \f(n2,|m|·|n|cos 〈m，n〉) ＝－ eq \f(|n|2,|m|×|n|×\f(1,3)) ＝－3× eq \f(|n|,|m|) ＝－3× eq \f(4,3) ＝－4. 法二：由4|m|＝3|n|， 可设|m|＝3k，|n|＝4k(k>0)， 又n⊥(tm＋n)， 所以n·(tm＋n)＝n·tm＋n·n ＝t|m|·|n|·cos 〈m，n〉＋|n|2 ＝t×3k×4k× eq \f(1,3) ＋(4k)2＝4tk2＋16k2＝0，所以t＝－4. 答案：(1) eq \f(1,3) 　(2)B [反思感悟] (1)求向量夹角题应用数量积的变形公式cos θ＝ eq \f(a·b,|a||b|) ，一般要求两个整体a·b，|a| |b|，不方便求出的，可寻求两者关系，转化条件解方程组． (2)非零向量a⊥b⇔a·b＝0是非常重要的性质，它对于解决向量以及平面几何图形中有关垂直问题十分有效，应熟练掌握． 设两个向量e1 ，e2满足|e1|＝2，|e2|＝1，e1与e2的夹角为 eq \f(π,3) ，若向量2te1＋7e2与e1＋te2的夹角为钝角，则实数t的取值范围为__________． 答案： eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－7，－\f(\r(14),2))) ∪ eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(\r(14),2)，－\f(1,2))) [课堂小结] 1．两个向量的数量积是两个向量之间的一种运算，与实数乘实数、实数乘向量的乘法运算是有区别的，在书写时一定要把它们严格区分开来，绝不可混淆． 2．a·b＝|a||b|cos θ中，|b|cos θ和|a|cos θ分另叫做b在a方向上的投影数量和a在b方向上的投影数量，要结合图形严格区分． 3．在实数中，若ab＝0，则a＝0或b＝0或a，b同时为0，但是在数量积中，即使a·b＝0，也不能推出a＝0或b＝0或a，b同时为0，因为其中cos θ有可能为0. 4．在实数中，若ab＝bc，b≠0，则a＝c，在向量中a·b＝b·c，b≠0eq \o(⇒,/)a＝c. $