第2章 4.2 平面向量及运算的坐标表示（课件PPT）-【金榜题名】2025-2026学年高一数学必修第二册高中同步学案（北师大版）

该高中数学课件聚焦平面向量基本定理及坐标表示，通过课前预习铺垫基础，课堂互动深化坐标运算理解，课时作业巩固应用，构建预习-互动-作业的学习支架，衔接向量基本概念与坐标运算的知识脉络。 其亮点在于结合图形标注（如A、B、C、D、E(0)）和符号表达（如x₁y₂ - x₂y₁ = 0），培养数学眼光中的几何直观、数学思维中的推理能力及数学语言中的符号意识。课堂互动环节引导学生主动探究坐标运算规律，助力学生提升抽象与运算能力，教师可借助结构化设计高效开展教学。

第二章　平面向量及其应用 第二章　平面向量及其应用 必修第二册 数学 §4　平面向量基本定理及坐标表示 4.2　平面向量及运算的坐标表示 第二章　平面向量及其应用 必修第二册 数学 目录 contents Part 01 课 前 预 习 课 堂 互 动 Part 02 课时作业（十八） Part 03 第二章　平面向量及其应用 必修第二册 数学 第二章　平面向量及其应用 必修第二册 数学 课 前 预 习 第二章　平面向量及其应用 必修第二册 数学 第二章　平面向量及其应用 必修第二册 数学 标准正交基 第二章　平面向量及其应用 必修第二册 数学 第二章　平面向量及其应用 必修第二册 数学 第二章　平面向量及其应用 必修第二册 数学 第二章　平面向量及其应用 必修第二册 数学 第二章　平面向量及其应用 必修第二册 数学 第二章　平面向量及其应用 必修第二册 数学 x1y2－x2y1＝0 第二章　平面向量及其应用 必修第二册 数学 第二章　平面向量及其应用 必修第二册 数学 第二章　平面向量及其应用 必修第二册 数学 第二章　平面向量及其应用 必修第二册 数学 第二章　平面向量及其应用 必修第二册 数学 课 堂 互 动 第二章　平面向量及其应用 必修第二册 数学 第二章　平面向量及其应用 必修第二册 数学 第二章　平面向量及其应用 必修第二册 数学 第二章　平面向量及其应用 必修第二册 数学 第二章　平面向量及其应用 必修第二册 数学 第二章　平面向量及其应用 必修第二册 数学 第二章　平面向量及其应用 必修第二册 数学 第二章　平面向量及其应用 必修第二册 数学 第二章　平面向量及其应用 必修第二册 数学 第二章　平面向量及其应用 必修第二册 数学 第二章　平面向量及其应用 必修第二册 数学 第二章　平面向量及其应用 必修第二册 数学 第二章　平面向量及其应用 必修第二册 数学 第二章　平面向量及其应用 必修第二册 数学 第二章　平面向量及其应用 必修第二册 数学 第二章　平面向量及其应用 必修第二册 数学 第二章　平面向量及其应用 必修第二册 数学 第二章　平面向量及其应用 必修第二册 数学 第二章　平面向量及其应用 必修第二册 数学 第二章　平面向量及其应用 必修第二册 数学 第二章　平面向量及其应用 必修第二册 数学 第二章　平面向量及其应用 必修第二册 数学 第二章　平面向量及其应用 必修第二册 数学 第二章　平面向量及其应用 必修第二册 数学 第二章　平面向量及其应用 必修第二册 数学 课时作业（十八） 点击进入word 第二章　平面向量及其应用 必修第二册 数学 谢谢观看 第二章　平面向量及其应用 必修第二册 数学 学习目标 素养要求 1．理解平面向量坐标的概念，掌握平面向量运算的坐标表示． 2．掌握向量平行的坐标表示，并能解决有关平行、点共线等问题． 1．通过平面向量的坐标运算，提升数学运算的核心素养． 2．通过向量平行的坐标表示的应用，提升数学运算的核心素养． [自主梳理] 知识点一　平面向量的坐标表示 [问题]　 如图，已知i，j分别是x，y轴上的单位向量，|a|＝r，∠AOx＝θ， (1)试用i，j表示a； (2)点A在坐标系中的坐标是什么？ 答：(1)a＝r cos θ·i＋r sin θ·j. (2)(r cos θ，r sin θ) ►知识填空 1．基 在平面直角坐标系中，分别取与x轴、y轴方向相同的两个单位向量i，j作为______________． 2．坐标：对于坐标平面内的任意向量a，由平面向量基本定理可知，有且仅有一对实数x，y，使得a＝xi＋yj，我们把(x，y)称为向量a在标准正交基{i，j}下的坐标． 3．坐标表示：a＝(x，y). [点睛] 对符号(x，y)的认识 点A(x，y)的坐标(x，y)表示点A在平面直角坐标中的位置，a＝(x，y)的坐标(x，y)既表示向量的大小，又表示向量的方向． 知识点二　平面向量运算的坐标表示 [问题]　 在基{i.j)下，a＝x1i＋y1j，b＝x2i＋y2j(x1，x2，y1，y2∈R). (1)计算a＋b，a－b，2a； (2)若{i，j}是标准正交基，则a＋b，a－b，2a的坐标是什么？ 答：(1)a＋b＝(x1＋x2)i＋(y1＋y2)j，a－b＝(x1－x2)i＋(y1－y2)j， 2a＝2x1i＋2y1j. (2) (x1＋x2，y1＋y2)，(x1－x2，y1－y2)，(2x1, 2y1). ►知识填空 平面向量运算的坐标表示 设a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)， 数学公式 文字语言表述 向量 加法 a＋b＝(x1＋x2，y1＋y2) 两个向量和的坐标等于这两个向量相应坐标的和 向量 减法 a－b＝(x1－x2，y1－y2) 两个向量差的坐标等于这两个向量相应坐标的差 向量 数乘 λa＝(λx1，λy1) 实数与向量数乘的坐标等于这个实数与向量相应坐标的乘积 已知点A(x1，y1)，B(x2，y2)，那么向量 eq \o(AB,\s\up14(→)) ＝(x2－x1，y2－y1)，即任意一个向量的坐标等于其终点的坐标减去起点的坐标． 知识点三　平面向量平行的坐标表示 [问题1]　 若a，b都是非零向量，且a∥b，则a与b有何关系？ 答：a＝λb(λ∈R). [问题2]　若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)(b≠0)，a∥b，它们的坐标应满足什么条件？ 答： eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x1＝λx2，,y1＝λy2 )) (λ∈R). ►知识填空 设a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则向量a∥b(b≠0)⇔__________________． [自主检验] 1．如果用i，j分别表示x轴和y轴正方向上的单位向量，且点A(2，3)，B(4，2)，则 eq \o(AB,\s\up14(→)) 可以表示为(　　) A．2i＋3j　　　　　　　 B．4i＋2j C．2i－j D．－2i＋j 答案：C 2．已知向量a＝(5，2)，b＝(－4，－3)，若c满足3a－2b＋c＝0，则c等于(　　) A．(－23，－12) B．(23，12) C．(7，0) D．(－7，0) 解析：选A　∵3a－2b＋c＝0， ∴c＝－3a＋2b＝－3(5，2)＋2(－4，－3)＝(－23，－12). 3．已知点A(1，1)，B(4，2)和向量a＝(2，λ)，若a∥ eq \o(AB,\s\up14(→)) ，则实数λ的值为(　　) A．－ eq \f(2,3) B． eq \f(2,3) C． eq \f(3,2) D．－ eq \f(3,2) 答案：B 4．若向量a＝(x，1)，b＝(4，x)，则当x＝________时，a与b共线且方向相同． 答案：2 题型一　向量的坐标运算 [例1]　(1)已知A(2，－4)，B(－1，3)，C(3，4)，若 eq \o(CM,\s\up14(→)) ＝2 eq \o(CA,\s\up14(→)) ＋3 eq \o(CB,\s\up14(→)) ，求点M的坐标； (2)已知A(1，－2)，B(2，1)，C(3，2)和D(－2，3)，求 eq \o(AC,\s\up14(→)) ， eq \o(AB,\s\up14(→)) －2 eq \o(CD,\s\up14(→)) 的坐标． 解：(1)由A(2，－4)，B(－1，3)，C(3，4)， 得 eq \o(CA,\s\up14(→)) ＝(2－3，－4－4)＝(－1，－8)， eq \o(CB,\s\up14(→)) ＝(－1－3，3－4)＝(－4，－1)， 所以 eq \o(CM,\s\up14(→)) ＝2 eq \o(CA,\s\up14(→)) ＋3 eq \o(CB,\s\up14(→)) ＝2(－1，－8)＋3(－4，－1) ＝(－2，－16)＋(－12，－3) ＝(－14，－19). 设点M的坐标为(x，y)，则 eq \o(CM,\s\up14(→)) ＝(x－3，y－4). 由向量相等坐标相同可得 eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x－3＝－14，,y－4＝－19，)) 解得 eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝－11，,y＝－15.)) 所以点M的坐标为(－11，－15). (2)由题意得 eq \o(AC,\s\up14(→)) ＝(2，4)， eq \o(AB,\s\up14(→)) ＝(1，3)， eq \o(CD,\s\up14(→)) ＝(－5，1). ∴ eq \o(AB,\s\up14(→)) －2 eq \o(CD,\s\up14(→)) ＝(11，1). [反思感悟] 平面向量坐标运算的技巧 (1)若已知向量的坐标，则直接应用两个向量和、差及向量数乘的运算法则进行． (2)若已知有向线段两端点的坐标，则可先求出向量的坐标，然后再进行向量的坐标运算． (3)向量的线性坐标运算可完全类比数的运算进行． 1．已知向量 eq \o(OA,\s\up14(→)) ＝ (3, －2) ， eq \o(OB,\s\up14(→)) ＝(－5, －1)，则向量 eq \f(1,2) eq \o(AB,\s\up14(→)) 的坐标是(　　) A． eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－4，\f(1,2))) 　　　　　　　 B． eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(4，－\f(1,2))) C． eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－1，－\f(3,2))) D．(8，1) 解析： eq \f(1,2) eq \o(AB,\s\up14(→)) ＝ eq \f(1,2) ( eq \o(OB,\s\up14(→)) － eq \o(OA,\s\up14(→)) ) ＝ eq \f(1,2) [(－5，－1)－(3，－2)] ＝ eq \f(1,2) (－8，1)＝ eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－4，\f(1,2))) . 答案：A 2．已知平面上三个点A(4，6)，B(7，5)，C(1，8)，求 eq \o(AB,\s\up14(→)) ， eq \o(AC,\s\up14(→)) ， eq \o(AB,\s\up14(→)) ＋ eq \o(AC,\s\up14(→)) ， eq \o(AB,\s\up14(→)) － eq \o(AC,\s\up14(→)) ，2 eq \o(AB,\s\up14(→)) ＋ eq \f(1,2) eq \o(AC,\s\up14(→)) . 解：∵A(4，6)，B(7，5)，C(1，8)， ∴ eq \o(AB,\s\up14(→)) ＝(7－4，5－6)＝(3，－1)， eq \o(AC,\s\up14(→)) ＝(1－4，8－6)＝(－3，2)， eq \o(AB,\s\up14(→)) ＋ eq \o(AC,\s\up14(→)) ＝(3，－1)＋(－3，2)＝(0，1)， eq \o(AB,\s\up14(→)) － eq \o(AC,\s\up14(→)) ＝(3，－1)－(－3，2)＝(6，－3)， 2 eq \o(AB,\s\up14(→)) ＋ eq \f(1,2) eq \o(AC,\s\up14(→)) ＝2(3，－1)＋ eq \f(1,2) (－3，2)＝ eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(9,2)，－1)) . 题型二　根据向量平行的坐标表示求参数 [例2]　(1)已知向量a＝(2，m＋1)，b＝(m＋3，4)，且(a＋b)∥(a－b)，则m＝(　　) A．1　　　　　　　　　 B．5 C．1或－5 D．－5 (2)已知a＝(1，2)，b＝(－3，2)，当k为何值时，ka＋b与a－3b平行？平行时它们是同向还是反向？ 解析：(1)向量a＝(2，m＋1)，b＝(m＋3，4)，且(a＋b)∥(a－b)， 所以a＋b＝(m＋5，m＋5)，a－b＝(－m－1，m－3)， 所以(m＋5)(m－3)－(－m－1)(m＋5)＝0， 即(m＋5)(m－1)＝0. 解得m＝1或m＝－5. (2)由题意知ka＋b＝(k－3，2k＋2)， a－3b＝(10，－4)，因为ka＋b与a－3b平行， 所以(k－3)×(－4)－10×(2k＋2)＝0，解得k＝－ eq \f(1,3) . 这时ka＋b＝ eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,3)－3，－\f(2,3)＋2)) ＝－ eq \f(1,3) (a－3b). 所以当k＝－ eq \f(1,3) 时，ka＋b与a－3b平行，并且反向． 答案：(1)C　(2)k＝－ eq \f(1,3) 　反向 [反思感悟] 根据向量共线求参数值的方法 根据向量共线的条件求参数值的问题，一般有两种处理思路，一是利用向量共线定理a＝λb列方程组求解，二是利用向量平行的坐标表达式x1y2－x2y1＝0直接求解． 1．若a＝( eq \r(3) ，cos α)，b＝(3，sin α)，且a∥b，则锐角α＝________． 解析：∵a＝( eq \r(3) ，cos α)，b＝(3，sin α)，a∥b， ∴ eq \r(3) sin α－3cos α＝0，即tan α＝ eq \r(3) ， 又0<α< eq \f(π,2) ，故α＝ eq \f(π,3) . 答案： eq \f(π,3) 2. 已知 eq \o(OA,\s\up14(→)) ＝(k，2)， eq \o(OB,\s\up14(→)) ＝(1，2k)， eq \o(OC,\s\up14(→)) ＝(1－k，－1)，且相异三点A，B，C共线，则实数k＝________． 解析： eq \o(AB,\s\up14(→)) ＝ eq \o(OB,\s\up14(→)) － eq \o(OA,\s\up14(→)) ＝(1－k，2k－2)， eq \o(AC,\s\up14(→)) ＝ eq \o(OC,\s\up14(→)) － eq \o(OA,\s\up14(→)) ＝(1－2k，－3)， 由题意可知 eq \o(AB,\s\up14(→)) ∥ eq \o(AC,\s\up14(→)) ，所以(－3)×(1－k)－(2k－2)(1－2k)＝0， 解得k＝－ eq \f(1,4) (k＝1不合题意，舍去). 答案：－ eq \f(1,4) 题型三　向量坐标运算的应用 [例3]　如图所示，已知直角梯形ABCD，AD⊥AB，AB＝2AD＝2CD，过点C作CE⊥AB于点E，M为CE的中点，用向量的方法证明： (1)DE∥BC； (2)D，M，B三点共线． 证明：以E为原点，AB所在直线为x轴，EC所在直线为y轴建立平面直角坐标系，令| eq \o(AD,\s\up14(→)) |＝1，则| eq \o(DC,\s\up14(→)) |＝1，| eq \o(AB,\s\up14(→)) |＝2. 因为CE⊥AB，而AD＝DC. 所以四边形AECD为正方形． 所以可求得各点坐标分别为 E(0，0)，B(1，0)，C(0，1)，D(－1，1)，A(－1，0). (1)因为 eq \o(ED,\s\up14(→)) ＝(－1，1)－(0，0)＝(－1，1)， eq \o(BC,\s\up14(→)) ＝ (0，1)－(1，0)＝(－1，1)， 所以 eq \o(ED,\s\up14(→)) ＝ eq \o(BC,\s\up14(→)) ，所以 eq \o(ED,\s\up14(→)) ∥ eq \o(BC,\s\up14(→)) ，即 eq \o(DE,\s\up14(→)) ∥ eq \o(BC,\s\up14(→)) . (2)因为M为EC的中点，所以M eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(1,2))) ， 所以 eq \o(MD,\s\up14(→)) ＝(－1，1)－ eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(1,2))) ＝ eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－1，\f(1,2))) ， eq \o(MB,\s\up14(→)) ＝(1，0)－ eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(1,2))) ＝ eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1，－\f(1,2))) . 所以 eq \o(MD,\s\up14(→)) ＝－ eq \o(MB,\s\up14(→)) ，所以 eq \o(MD,\s\up14(→)) ∥ eq \o(MB,\s\up14(→)) . 又MD与MB共点于M，所以D，M，B三点共线． [反思感悟] 利用向量坐标法解决有关平行、点共线等问题的基本思路：先建立恰当的平面直角坐标系，将有关点坐标化、线段向量化，通过向量的坐标运算使问题得到解决． 已知平面上三点的坐标分别为A(－2，1)，B(－1，3)，C(3，4)，求点D的坐标，使这四点构成平行四边形的四个顶点． 解：当平行四边形为ABCD时，设D(x，y)， 由 eq \o(AB,\s\up14(→)) ＝(1，2)， eq \o(DC,\s\up14(→)) ＝(3－x，4－y)， 且 eq \o(AB,\s\up14(→)) ＝ eq \o(DC,\s\up14(→)) ，得D(2，2). 当平行四边形为ACDB时，设D(x，y)， 由 eq \o(AB,\s\up14(→)) ＝(1，2)， eq \o(CD,\s\up14(→)) ＝(x－3，y－4)，且 eq \o(AB,\s\up14(→)) ＝ eq \o(CD,\s\up14(→)) ， 得D(4，6). 当平行四边形为ACBD时，设D(x，y)， 由 eq \o(AC,\s\up14(→)) ＝(5，3)， eq \o(DB,\s\up14(→)) ＝(－1－x，3－y)，且 eq \o(AC,\s\up14(→)) ＝ eq \o(DB,\s\up14(→)) ， 得D(－6，0)， 故D点坐标为(2，2)或(4，6)或(－6，0). [课堂小结] 1．向量的坐标表示，沟通了向量“数”与“形”的特征，使向量运算完全代数化． 2．要区分向量终点的坐标与向量的坐标．由于向量的起点可以任意选取，如果一个向量的起点是坐标原点，这个向量终点的坐标就是这个向量的坐标；若向量的起点不是原点，则向量的终点坐标不是向量的坐标，此时 eq \o(AB,\s\up14(→)) ＝(xB－xA，yB－yA). 3．向量共线的坐标表示的应用 (1)已知两个向量的坐标判定两向量共线．可以证明三点共线、直线平行等几何问题．要注意区分向量的共线、平行与几何中的共线、平行． (2)已知两个向量共线，求点或向量的坐标，求参数的值．要注意方程思想的应用． $