第1章 8 三角函数的简单应用（课件PPT）-【金榜题名】2025-2026学年高一数学必修第二册高中同步学案（北师大版）

该高中数学课件聚焦三角函数的简单应用，通过生活中潮起潮落、昼夜更替等周期现象导入，连接已学三角函数概念，搭建从理论到实际应用的学习支架，涵盖建模步骤（收集数据、画散点图等）及气温、摩天轮、电流等实例。 其亮点在于结合生活与物理实例，通过数据建模和问题解决培养数学建模、数据分析素养，反思感悟总结方法。学生能提升用数学解决实际问题的能力，教师可借助结构化资源高效教学。

第一章　三角函数 第一章　三角函数 必修第二册 数学 §8　三角函数的简单应用 第一章　三角函数 必修第二册 数学 目录 contents Part 01 课 前 预 习 课 堂 互 动 Part 02 课时作业（十二） Part 03 第一章　三角函数 必修第二册 数学 第一章　三角函数 必修第二册 数学 课 前 预 习 第一章　三角函数 必修第二册 数学 第一章　三角函数 必修第二册 数学 第一章　三角函数 必修第二册 数学 第一章　三角函数 必修第二册 数学 课 堂 互 动 第一章　三角函数 必修第二册 数学 第一章　三角函数 必修第二册 数学 第一章　三角函数 必修第二册 数学 第一章　三角函数 必修第二册 数学 第一章　三角函数 必修第二册 数学 第一章　三角函数 必修第二册 数学 第一章　三角函数 必修第二册 数学 第一章　三角函数 必修第二册 数学 第一章　三角函数 必修第二册 数学 第一章　三角函数 必修第二册 数学 第一章　三角函数 必修第二册 数学 第一章　三角函数 必修第二册 数学 第一章　三角函数 必修第二册 数学 第一章　三角函数 必修第二册 数学 第一章　三角函数 必修第二册 数学 第一章　三角函数 必修第二册 数学 第一章　三角函数 必修第二册 数学 第一章　三角函数 必修第二册 数学 课时作业（十二） 点击进入word 第一章　三角函数 必修第二册 数学 谢谢观看 第一章　三角函数 必修第二册 数学 学习目标 素养要求 1．体会三角函数是描述周期变化现象的重要数学模型． 2．会用三角函数解决一些实际问题． 1．通过研究周期现象的实际问题，培养数学建模的核心素养． 2．通过三角函数模型的实际应用，提升数据分析、数学运算的核心素养． [自主梳理] 知识点　利用三角函数模型解释自然现象 在客观世界中，周期现象广泛存在，潮起潮落、星月运转、昼夜更替、四季轮换，甚至连人的情绪、体力、智力等心理、生理状况都呈现周期性变化． (1)利用三角函数模型解决实际问题的一般步骤： 第一步：阅读理解，审清题意． 读题要做到逐字逐句，读懂题中的文字，理解题目所反映的实际背景，在此基础上分析出已知什么、求什么，从中提炼出相应的数学问题． 第二步：收集、整理数据，建立数学模型． 根据收集到的数据找出变化规律，运用已掌握的三角函数知识、物理知识及相关知识建立关系式，将实际问题转化为一个与三角函数有关的数学问题，即建立三角函数模型，从而实现实际问题的数学化． 第三步：利用所学的三角函数知识对得到的三角函数模型予以解答． 第四步：将所得结论转译成实际问题的答案． (2)三角函数模型的建立程序 如图所示： 题型一　生活中具有周期现象的建模问题 [例1]　当我们所处的北半球为冬季的时候，新西兰的惠灵顿市恰好是盛夏，因此北半球的人们冬天愿意去那里旅游，下面是一份惠灵顿机场提供的月平均气温统计表． x(月份) t(气温) x(月份) t(气温) 1 17.3 7 10. 06 2 17.9 8 9.5 3 17.3 9 10. 06 4 15.8 10 11.6 5 13.7 11 13.7 6 11.6 12 15.8 (1)根据这个统计表提供的数据，为惠灵顿的月平均气温建立一个函数模型； (2)当平均气温不低于13.7 ℃时，惠灵顿市最适宜旅游，试根据你所确定的函数模型，确定惠灵顿市的最佳旅游时间． 解：(1)以月份x为横轴，气温t为纵轴作出图象，并以光滑的曲线连接各散点，得如图所示的曲线． 由于各地月平均气温的变化是以12个月为周期的函数， 依散点图所绘制的图象，我们可以考虑用t＝A cos (ωx＋φ)＋k来描述． 由最高气温为17.9 ℃，最低气温为9.5 ℃， 则A＝ eq \f(17.9－9.5,2) ＝4.2，k＝ eq \f(17.9＋9.5,2) ＝13.7. 显然 eq \f(2π,ω) ＝12，故ω＝ eq \f(π,6) . 又x＝2时t取最大值，取ωx＋φ＝0， 得φ＝－ωx＝－ eq \f(π,6) ×2＝－ eq \f(π,3) . 所以t＝4.2cos eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(πx,6)－\f(π,3))) ＋13.7为惠灵顿市的常年气温模型函数式． (2)如图所示，作直线t＝13.7与函数图象交于两点，(5，13. 7)，(11，13.7). 这说明在每年的十一月初至第二年的四月末平均气温不低于13.7 ℃，是惠灵顿市的最佳旅游时间． [反思感悟] 三角函数模型构建的步骤 (1)收集数据，观察数据，发现是否具有周期性的重复现象． (2)制作散点图，选择函数模型进行拟合． (3)利用三角函数模型解决实际问题． (4)根据问题的实际意义，对答案的合理性进行检验． 如图，游乐场中的摩天轮匀速转动，每转一圈需要12分钟，其中心O距离地面40.5米，半径为40米．如果你从最低处登上摩天轮，那么你与地面的距离将随时间的变化而变化，以你登上摩天轮的时刻开始计时，请解答下列问题： (1)求出你与地面的距离y(米)与时间t(分钟) 的函数关系式； (2)当你第4次距离地面60.5米时，用了多长时间？ 解：(1)由已知可设y＝40.5－40cos ωt，t≥0， 由周期为12分钟可知，当t＝6时，摩天轮第1次到达最高点，即此函数第1次取得最大值， 所以6ω＝π，即ω＝ eq \f(π,6) . 所以所求的函数关系式为y＝40.5－40cos eq \f(π,6) (t≥0). (2)设转第1圈时，第t0分钟时距离地面60.5米， 由60.5＝40.5－40cos eq \f(π,6) t0，得cos eq \f(π,6) t0＝－ eq \f(1,2) ， 所以 eq \f(π,6) t0＝ eq \f(2π,3) 或 eq \f(π,6) t0＝ eq \f(4π,3) ，解得t0＝4或t0＝8. 所以t＝8时，第2次距地面60.5米，故第4次距离地面60.5米时，用了12＋8＝20(分钟). 题型二　物理中具有周期现象的建模问题 [例2]　已知电流I＝A sin (ωt＋φ) eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(A>0，ω>0，|φ|<\f(π,2))) 在一个周期内的图象如图： (1)根据图中数据求I＝A sin (ωt＋φ)的解析式； (2)如果t在任意一段 eq \f(1,150) 秒的时间内，电流I＝A sin (ωt＋φ)都能取得最大值和最小值，那么ω的最小正整数值是多少？ 解：(1)由图象可知A＝300， T＝2 eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(1,180)－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,900))))) ＝ eq \f(12,900) ＝ eq \f(1,75) . ∴ω＝ eq \f(2π,T) ＝ eq \f(2π,\f(1,75)) ＝150π. ∴y＝300sin (150πt＋φ). ∵函数图象过 eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,900)，0)) ， ∴0＝300sin eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(150π×\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,900)))＋φ)) ， ∴sin eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(π,6)＋φ)) ＝0. 令－ eq \f(π,6) ＋φ＝0，∴φ＝ eq \f(π,6) .∴y＝300sin eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(150πt＋\f(π,6))) . (2)由题意T≤ eq \f(1,150) ，即 eq \f(2π,ω) ≤ eq \f(1,150) . ∴ω≥300π，∴ω的最小正整数值是943. [反思感悟] 利用三角函数模型处理物理学问题的策略 (1)常涉及的物理学问题有单摆、光波、电流、机械波等，其共同的特点是具有周期性． (2)明确物理概念的意义，此类问题往往涉及诸如频率、振幅等概念，因此要熟知其意义并与对应的三角函数知识结合解题． 一根细线的一端固定，另一端悬挂一个小球，当小球来回摆动时，离开平衡位置的位移s(单位：cm)与时间t(单位：s)的函数关系是s＝6sin eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2πt＋\f(π,6))) . (1)画出它的图象； (2)回答以下问题： ①小球开始摆动(即t＝0)，离开平衡位置是多少？ ②小球摆动时，离开平衡位置的最大距离是多少？ ③小球来回摆动一次需要多少时间？ 解：(1)周期T＝ eq \f(2π,2π) ＝1(s). 列表： t 0 eq \f(1,6) eq \f(5,12) eq \f(2,3) eq \f(11,12) 1 2πt＋ eq \f(π,6) eq \f(π,6) eq \f(π,2) π eq \f(3π,2) 2π 2π＋ eq \f(π,6) 6sin eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2πt＋\f(π,6))) 3 6 0 －6 0 3 描点画图： (2)①小球开始摆动(即t＝0)，离开平衡位置为3 cm. ②小球摆动时离开平衡位置的最大距离是6 cm. ③小球来回摆动一次需要1 s(即周期). $