第1章 7 正切函数（课件PPT）-【金榜题名】2025-2026学年高一数学必修第二册高中同步学案（北师大版）

该高中数学课件聚焦必修第二册第一章三角函数中的正切函数，通过课前预习衔接三角函数前期知识，以课前预习、课堂互动、课时作业为学习支架，帮助学生构建从概念到性质的知识脉络。 其亮点在于分阶段设计教学环节，通过梳理正切函数定义域、周期T=π、奇函数等性质，培养学生数学思维与数学语言表达能力。学生能系统掌握知识，教师可借助清晰的教学结构提升教学效率。

第一章　三角函数 第一章　三角函数 必修第二册 数学 §7　正切函数 第一章　三角函数 必修第二册 数学 目录 contents Part 01 课 前 预 习 课 堂 互 动 Part 02 课时作业（十一） Part 03 第一章　三角函数 必修第二册 数学 第一章　三角函数 必修第二册 数学 课 前 预 习 第一章　三角函数 必修第二册 数学 第一章　三角函数 必修第二册 数学 第一章　三角函数 必修第二册 数学 tan x 第一章　三角函数 必修第二册 数学 第一章　三角函数 必修第二册 数学 第一章　三角函数 必修第二册 数学 第一章　三角函数 必修第二册 数学 第一章　三角函数 必修第二册 数学 R T＝π 奇函数 第一章　三角函数 必修第二册 数学 第一章　三角函数 必修第二册 数学 第一章　三角函数 必修第二册 数学 第一章　三角函数 必修第二册 数学 第一章　三角函数 必修第二册 数学 第一章　三角函数 必修第二册 数学 第一章　三角函数 必修第二册 数学 课 堂 互 动 第一章　三角函数 必修第二册 数学 第一章　三角函数 必修第二册 数学 第一章　三角函数 必修第二册 数学 第一章　三角函数 必修第二册 数学 第一章　三角函数 必修第二册 数学 第一章　三角函数 必修第二册 数学 第一章　三角函数 必修第二册 数学 第一章　三角函数 必修第二册 数学 第一章　三角函数 必修第二册 数学 第一章　三角函数 必修第二册 数学 第一章　三角函数 必修第二册 数学 第一章　三角函数 必修第二册 数学 第一章　三角函数 必修第二册 数学 第一章　三角函数 必修第二册 数学 第一章　三角函数 必修第二册 数学 第一章　三角函数 必修第二册 数学 第一章　三角函数 必修第二册 数学 第一章　三角函数 必修第二册 数学 第一章　三角函数 必修第二册 数学 第一章　三角函数 必修第二册 数学 第一章　三角函数 必修第二册 数学 第一章　三角函数 必修第二册 数学 课时作业（十一） 点击进入word 第一章　三角函数 必修第二册 数学 谢谢观看 第一章　三角函数 必修第二册 数学 学习目标 素养要求 1．理解正切函数的定义；熟记正切函数的诱导公式． 2．掌握正切函数的图象和性质并能解决有关问题． 1．通过正切函数的定义，诱导公式的学习，培养数学抽象的核心素养． 2．通过正切函数性质与图象的应用，提升直观想象、数学运算的核心素养． [自主梳理] 知识点一　正切函数的定义、诱导公式 [问题1]　 我们学习了正、余弦函数，那么正切函数如何定义呢？ 答：任意实数x，比值 eq \f(sin x,cos x) 唯一确定(cos x≠0)，根据函数的定义， eq \f(sin x,cos x) 是x的函数，称为正切函数． [问题2]　我们学习了正、余弦函数的诱导公式，利用正切函数的定义如何推导正切函数的诱导公式？ 答：如tan (－x)＝ eq \f(sin (－x),cos (－x)) ＝－tan x. 再如tan (kπ＋x)＝ eq \f(sin (kπ＋x),cos (kπ＋x)) ＝tan x．其他类似推出． ►知识填空 1．正切函数的定义 根据函数的定义，比值______是x的函数，称为x的正切函数，记作y＝________，其中定义域为_______________________． eq \f(sin x,cos x) eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x\b\lc\|(\a\vs4\al\co1(x≠kπ＋\f(π,2)，k∈Z)))) 2．正切函数的诱导公式 　　　函数 角　　　　 y＝tan x kπ＋α tan α －α －tan α π＋α tan α π－α －tan α eq \f(π,2) ＋α － eq \f(1,tan α) eq \f(π,2) －α eq \f(1,tan α) 知识点二　正切函数的图象与性质 [问题1]　 诱导公式tan (kπ＋α)＝tan α，k∈Z说明了正切函数的什么性质？ 答：正切函数是最小正周期为π的周期函数． [问题2]　诱导公式tan (－α)＝－tan α，说明了正切函数的什么性质？ 答：正切函数是奇函数． [问题3]　类比画正弦函数图象的方法，可以画出正切函数的图象(如图). 根据图象，试讨论正切函数的主要性质． 答：值域为(－∞，＋∞)；周期为π；取一个周期 eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(π,2)，\f(π,2))) ，正切函数在 eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(π,2)，\f(π,2))) 上是递增的，故正切函数的增区间为 eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(kπ－\f(π,2)，kπ＋\f(π,2))) ，k∈Z. 2．正切函数的性质 函数 y＝tan x 定义域 ___________________________ 值域 ______ 周期 __________ 奇偶性 __________ eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x\b\lc\|(\a\vs4\al\co1(x≠kπ＋\f(π,2)))，k∈Z)) 单调性 在每个开区间_________________________上都是增函数 对称中心 正切曲线是中心对称图形，其对称中心为_____________ eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(kπ－\f(π,2)，kπ＋\f(π,2))) ,k∈Z eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(kπ,2)，0)) ,k∈Z [自主检验] 1．函数y＝2tan eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－3x＋\f(π,4))) 的最小正周期是(　　) A． eq \f(π,6) 　　　　　　　 B． eq \f(π,3) C． eq \f(π,2) D．π 答案：B 2．函数y＝－2＋tan eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)x＋\f(π,3))) 的单调递增区间是(　　) A． eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2kπ－\f(5π,3)，2kπ＋\f(π,3))) ，k∈Z B． eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2kπ－\f(π,3)，2kπ＋\f(5π,3))) ，k∈Z C． eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(kπ－\f(5π,3)，kπ＋\f(π,3))) ，k∈Z D． eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(kπ－\f(π,3)，kπ＋\f(5π,3))) ，k∈Z 解析：选A　由－ eq \f(π,2) ＋kπ< eq \f(1,2) x＋ eq \f(π,3) < eq \f(π,2) ＋kπ，k∈Z， 解得－ eq \f(5π,3) ＋2kπ<x< eq \f(π,3) ＋2kπ，k∈Z. 3．函数y＝tan eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(π,6))) ，x∈ eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(π,12)，\f(π,2))) 的值域为________． 解析：∵x∈ eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(π,12)，\f(π,2))) ，∴x－ eq \f(π,6) ∈ eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(π,4)，\f(π,3))) ， ∴tan eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(π,6))) ∈(－1， eq \r(3) )， ∴值域为(－1， eq \r(3) ). 答案：(－1， eq \r(3) ) 4．比较大小：tan eq \f(13π,3) ________tan eq \f(19π,6) . 解析：因为tan eq \f(13π,3) ＝tan eq \f(π,3) ，tan eq \f(19π,6) ＝tan eq \f(π,6) ， 又0< eq \f(π,6) < eq \f(π,3) < eq \f(π,2) ，y＝tan x在 eq \b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2))) 内单调递增， 所以tan eq \f(π,6) <tan eq \f(π,3) ，即tan eq \f(19π,6) <tan eq \f(13π,3) . 答案：> 题型一　正切函数的定义域、值域问题 [例1]　(1)函数y＝ eq \f(1,1＋tan x) 的定义域为__________． (2)函数y＝tan eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x－\f(π,3))) ，x∈ eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(π,12)，\f(7π,24))) 的值域是________. 解析：(1)要使函数y＝ eq \f(1,1＋tan x) 有意义， 必须且只需 eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(1＋tan x≠0，,x≠kπ＋\f(π,2)，k∈Z.)) 所以函数的定义域为 eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x\b\lc\|(\a\vs4\al\co1(x≠kπ－\f(π,4)且x≠kπ＋\f(π,2)，k∈Z)))) . (2)∵－ eq \f(π,12) <x< eq \f(7π,24) ，∴－ eq \f(π,2) <2x－ eq \f(π,3) < eq \f(π,4) ， 即tan eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x－\f(π,3))) <1，故函数的值域为(－∞，1). 答案：(1) eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x\b\lc\|(\a\vs4\al\co1(x≠kπ－\f(π,4)且x≠kπ＋\f(π,2)，k∈Z)))) (2)(－∞，1) [反思感悟] (1)求与正切函数有关的函数的定义域时，除了求函数定义域的一般要求外，还要保证正切函数y＝tan x有意义，即x≠ eq \f(π,2) ＋kπ，k∈Z. (2)求值域要用换元的思想，把tan x看作可取任意实数的自变量，一是要注意x的范围，再确定tan x的范围． 函数y＝tan (sin x)的定义域为__________，值域为__________． 答案：R　[－tan 1，tan 1] 题型二　正切函数的单调性 [例2]　(1)求函数y＝tan eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)x－\f(π,4))) 的周期和单调区间； (2)比较tan eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(13π,4))) 与tan eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(12π,5))) 的大小． 解：(1)函数的周期T＝ eq \f(π,\f(1,2)) ＝2π， 由kπ－ eq \f(π,2) < eq \f(1,2) x－ eq \f(π,4) <kπ＋ eq \f(π,2) ，k∈Z得， 2kπ－ eq \f(π,2) <x<2kπ＋ eq \f(3,2) π，k∈Z， 所以函数 y＝tan eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)x－\f(π,4))) 的单调递增区间是 eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2kπ－\f(π,2)，2kπ＋\f(3,2)π)) ，k∈Z. (2)由于tan eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(13π,4))) ＝tan eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－3π－\f(π,4))) ＝tan eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(π,4))) ＝－tan eq \f(π,4) ， tan eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(12π,5))) ＝－tan eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2π＋\f(2π,5))) ＝－tan eq \f(2π,5) ， 又0< eq \f(π,4) < eq \f(2π,5) < eq \f(π,2) ， 而y＝tan x在 eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2))) 上单调递增， 所以tan eq \f(π,4) <tan eq \f(2π,5) ， －tan eq \f(π,4) >－tan eq \f(2π,5) ， 即tan eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(13π,4))) >tan eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(12π,5))) . [反思感悟] 1．求函数y＝A tan (ωx＋φ)(A>0，φ≠0，且A，ω，φ都是常数)的单调区间的方法 (1)若ω>0，由于y＝tan x在每一个单调区间上都是增函数，故可用“整体代换”的思想，令kπ－ eq \f(π,2) <ωx＋φ<kπ＋ eq \f(π,2) ，k∈Z，解得x的范围即可． (2)若ω<0，可利用诱导公式先把y＝A tan (ωx＋φ)转化为y＝A tan [－(－ωx－φ)]＝－A tan (－ωx－φ)，即把x的系数化为正值，再利用“整体代换”的思想，求得x的范围即可． 2．运用正切函数单调性比较大小的步骤 (1)运用函数的周期性或诱导公式将角化到同一单调区间内． (2)运用单调性比较大小关系． 比较tan 1，tan 2，tan 3的大小． 解：∵1< eq \f(π,2) <2<3<π，根据y＝tan x的性质可得y＝tan x在 eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2))) 上单调递增且大于0，在 eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)，π)) 上单调递增且小于0， ∴tan 2<tan 3<0，tan 1>0，∴tan 2<tan 3<tan 1. 题型三　正切函数图象与性质的应用 [例3]　画出函数f(x)＝tan |x|的图象，并根据其图象判断周期性、奇偶性，并求单调区间． 解：f(x)＝tan |x|化为f(x)＝ eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(tan x，x≠kπ＋\f(π,2)，x≥0，k∈Z，,－tan x，x≠kπ＋\f(π,2)，x<0，k∈Z，)) 根据y＝tan x的图象，作出f(x)＝tan |x|的图象，如图所示， 由图象知，f(x)不是周期函数，是偶函数，单调增区间为 eq \b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2))) ， eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(kπ＋\f(π,2)，kπ＋\f(3π,2))) ，k∈N；单调减区间为 eq \b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(－\f(π,2)，0)) ， eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(kπ－\f(3π,2)，kπ－\f(π,2))) ，k＝0，－1，－2，…. [反思感悟] 正切型函数的周期性、奇偶性问题的解题策略 (1)一般地，函数y＝A tan (ωx＋φ)的最小正周期为T＝ eq \f(π,|ω|) ，常常利用此公式来求周期． (2)判断函数的奇偶性要先求函数的定义域，判断其是否关于原点对称．若不对称，则该函数无奇偶性，若对称，再判断f(－x)与f(x)的关系． 已知函数f(x)＝ eq \f(sin x,|cos x|) . (1)求函数f(x)的定义域； (2)判断函数f(x)的奇偶性； (3)在[－π，π]上作出函数f(x)的图象，并指出单调区间． 解：(1)由cos x≠0，得x≠kπ＋ eq \f(π,2) ，k∈Z， 所以函数f(x)的定义域是 eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x\b\lc\|(\a\vs4\al\co1(x≠kπ＋\f(π,2)，k∈Z)))) . (2)由(1)知函数f(x)的定义域关于原点对称， 因为f(－x)＝ eq \f(sin (－x),|cos (－x)|) ＝ eq \f(－sin x,|cos x|) ＝－f(x)， 所以f(x)是奇函数． (3)f(x)＝ eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(tan x，－\f(π,2)<x<\f(π,2)，,－tan x，－π≤x<－\f(π,2)或\f(π,2)<x≤π，)) 所以f(x)在[－π，π]上的图象如图所示． 从图可知，函数f(x)的增区间为 eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(π,2)，\f(π,2))) ， 减区间为 eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－π，－\f(π,2))) ， eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)，π)) . [课堂小结] 1．掌握正切函数的定义及诱导公式． 2．正切函数的图象 正切函数y＝tan x有无数多条渐近线，渐近线方程为x＝kπ＋ eq \f(π,2) ，k∈Z，相邻两条渐近线之间都有一支正切曲线，且单调递增． 3．正切函数的主要性质 (1)正切函数y＝tan x的最小正周期是π，函数y＝A tan (ωx＋φ)(A>0，ω≠0)的周期为T＝ eq \f(π,|ω|) . (2)正切函数在 eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(π,2)＋kπ，\f(π,2)＋kπ)) ，k∈Z上递增，不能写成闭区间，正切函数在定义域内不单调． $