第1章 6.1,6.2 探究ω对y＝sin ωx的图象的影响&探究φ对y＝sin (x＋ φ)的图象的影响（课件PPT）-【金榜题名】2025-2026学年高一数学必修第二册高中同步学案（北师大版）

该高中数学课件聚焦必修第二册第一章三角函数，围绕图像变换（如横伸长、左右平移、初相相位等）核心知识点，通过课前预习、课堂互动、课时作业（九）构建学习支架，衔接三角函数概念与图像性质，帮助学生逐步深化理解。 其亮点在于以“问题链”引导学生用数学眼光观察变换规律，通过关键词梳理培养数学思维的推理能力，用简洁术语（如频率、纵坐标）强化数学语言表达。学生能系统掌握知识，教师可依托清晰环节提升教学效率。

第一章　三角函数 第一章　三角函数 必修第二册 数学 第一章　三角函数 必修第二册 数学 目录 contents Part 01 课 前 预 习 课 堂 互 动 Part 02 课时作业（九） Part 03 第一章　三角函数 必修第二册 数学 第一章　三角函数 必修第二册 数学 课 前 预 习 第一章　三角函数 必修第二册 数学 第一章　三角函数 必修第二册 数学 第一章　三角函数 必修第二册 数学 第一章　三角函数 必修第二册 数学 第一章　三角函数 必修第二册 数学 横 伸长 纵坐标 频率 第一章　三角函数 必修第二册 数学 第一章　三角函数 必修第二册 数学 左 右 左 右 第一章　三角函数 必修第二册 数学 初相 相位 第一章　三角函数 必修第二册 数学 第一章　三角函数 必修第二册 数学 第一章　三角函数 必修第二册 数学 第一章　三角函数 必修第二册 数学 第一章　三角函数 必修第二册 数学 课 堂 互 动 第一章　三角函数 必修第二册 数学 第一章　三角函数 必修第二册 数学 第一章　三角函数 必修第二册 数学 第一章　三角函数 必修第二册 数学 第一章　三角函数 必修第二册 数学 第一章　三角函数 必修第二册 数学 第一章　三角函数 必修第二册 数学 第一章　三角函数 必修第二册 数学 第一章　三角函数 必修第二册 数学 第一章　三角函数 必修第二册 数学 第一章　三角函数 必修第二册 数学 第一章　三角函数 必修第二册 数学 第一章　三角函数 必修第二册 数学 第一章　三角函数 必修第二册 数学 第一章　三角函数 必修第二册 数学 第一章　三角函数 必修第二册 数学 第一章　三角函数 必修第二册 数学 第一章　三角函数 必修第二册 数学 第一章　三角函数 必修第二册 数学 第一章　三角函数 必修第二册 数学 第一章　三角函数 必修第二册 数学 第一章　三角函数 必修第二册 数学 第一章　三角函数 必修第二册 数学 第一章　三角函数 必修第二册 数学 课时作业（九） 点击进入word 第一章　三角函数 必修第二册 数学 谢谢观看 第一章　三角函数 必修第二册 数学 §6　函数y＝A sin (ωx＋φ)的性质与图象 6.1　探究ω对y＝sin ωx的图象的影响　 6.2　探究φ对y＝sin (x＋φ)的图象的影响 学习目标 素养要求 1．了解ω，φ对y＝sin (ωx＋φ)的图象的影响． 2．掌握y＝sin x与y＝sin (ωx＋φ)图象间的变换关系． 1．通过“五点法”作函数图象，提升直观想象的核心素养． 2．通过函数图象间的变换关系，培养逻辑推理的核心素养． [自主梳理] 知识点一　探究ω的取值对y＝sin ωx的图象的影响 [问题1]　 函数y＝sin x，y＝sin 2x和y＝sin eq \f(1,2) x的周期分别是什么？ 答：2π；π；4π. [问题2]　当三个函数的函数值相同时，它们x的取值有什么关系？ 答：当三个函数的函数值相同时，y＝sin 2x中x的取值是y＝sin x中x取值的 eq \f(1,2) ，y＝sin eq \f(1,2) x中x的取值是y＝sin x中x取值的2倍． [问题3]　函数y＝sin ωx的图象是否可以通过y＝sin x的图象得到？ 答：可以，只要将y＝sin x图象横坐标“伸”或“缩”，纵坐标不变即可得到． ►知识填空 1．周期 一般地，对于ω>0，有sin ωx＝sin (ωx＋2π)＝sin ω eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(2π,ω))) . 根据周期函数的定义，T＝ eq \f(2π,ω) 是函数y＝sin ωx的最小正周期． 2．ω对函数y＝sin ωx的图象的影响 函数y＝sin ωx的图象是将函数y＝sin x图象上所有点的______坐标缩短到原来的______(当ω>1时)或________(当0<ω<1时)到原来的 eq \f(1,ω) (_________不变)得到的． 3．频率 通常称周期的倒数 eq \f(1,T) ＝ eq \f(ω,2π) 为________． eq \f(1,ω) 知识点二　探究φ的取值对y＝sin (x＋φ)的图象的影响 [问题]　 在同一平面直角坐标系中，用“五点法”作出函数y＝sin eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(π,3))) 与y＝sin eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(π,4))) 的图象，从表中所列变量的值以及画出的图象两个方面进行观察分析，y＝sin (x＋φ)的图象与y＝sin x的图象之间有什么关系？ 答：y＝sin (x＋φ)的图象可以由函数y＝sin x的图象经过左右平移|φ|个单位得到． ►知识填空 1．φ对函数y＝sin (x＋φ)，x∈R的图象的影响 函数y＝sin (x＋φ)的图象，可以看作将函数y＝sin x图象上的所有点向______(φ>0)或向______(φ<0)平移______个单位长度得到的． 2．ω对函数y＝sin (ωx＋φ)的图象的影响 函数y＝sin (ωx＋φ)的图象，可以看作将函数y＝sin ωx图象上的所有点向______(φ>0)或向______(φ<0)平移______个单位长度得到的． |φ| eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(\f(φ,ω))) 3．初相、相位 在函数y＝sin (ωx＋φ)中，φ决定了x＝0时的函数值，通常称φ为_____，ωx＋φ为________． [自主检验] 1．函数y＝cos x图象上各点的纵坐标不变，把横坐标变为原来的2倍，得到图象的解析式为y＝cos ωx，则ω的值为(　　) A．2　　　　　　　　 B． eq \f(1,2) C．4 D． eq \f(1,4) 答案：B 2．要得到y＝sin eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(x,2)＋\f(π,3))) 的图象，只要将函数y＝sin eq \f(x,2) 的图象(　　) A．向左平移 eq \f(π,3) 个单位长度 B．向右平移 eq \f(π,3) 个单位长度 C．向左平移 eq \f(2π,3) 个单位长度 D．向右平移 eq \f(2π,3) 个单位长度 答案：C 3．把函数y＝sin x，x∈R的图象上所有的点向左平移 eq \f(π,3) 个单位长度，再把所得图象上所有点的横坐标缩短到原来的 eq \f(1,2) (纵坐标不变)，得到的图象所表示的函数是(　　) A．y＝sin eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x－\f(π,3))) ，x∈R B．y＝sin eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(x,2)＋\f(π,6))) ，x∈R C．y＝sin eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x＋\f(π,3))) ，x∈R D．y＝sin eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x＋\f(2π,3))) ，x∈R 答案：C 4．函数y＝sin eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(3x－\f(π,6))) 的周期是__________，初相是__________，相位是________，最小值是________． 答案： eq \f(2π,3) 　－ eq \f(π,6) 　3x－ eq \f(π,6) 　－1 题型一　利用“五点法”画三角函数的图象 [例1]　(1)利用“五点法”画出函数y＝sin eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)x＋\f(π,6))) 在长度为一个周期的闭区间上的简图： (2)说明该函数的图象是由y＝sin x，x∈R的图象经过怎样的平移和伸缩变换得到的． 解：(1)函数的周期为 eq \f(2π,\f(1,2)) ＝4π.列表，描点并画图． eq \f(1,2) x＋ eq \f(π,6) 0 eq \f(π,2) π eq \f(3π,2) 2π x － eq \f(π,3) eq \f(2π,3) eq \f(5π,3) eq \f(8π,3) eq \f(11π,3) y 0 1 0 －1 0 (2)把y＝sin x的图象上所有的点向左平移 eq \f(π,6) 个单位长度，得到y＝sin eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(π,6))) 的图象，再把所得图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，得到y＝sin eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)x＋\f(π,6))) 的图象．或把y＝sin x的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，得到y＝sin eq \f(1,2) x的图象，再把所得图象上所有的点向左平移 eq \f(π,3) 个单位长度，得到y＝sin eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(1,2)\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(π,3))))) ，即y＝sin eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)x＋\f(π,6))) 的图象． [反思感悟] 用“五点法”作函数f(x)＝A sin (ωx＋φ) 图象的步骤 第一步：列表．　　　　　　　　　 ωx＋φ 0 eq \f(π,2) π eq \f(3π,2) 2π x － eq \f(φ,ω) eq \f(π,2ω) － eq \f(φ,ω) eq \f(π,ω) － eq \f(φ,ω) eq \f(3π,2ω) － eq \f(φ,ω) eq \f(2π,ω) － eq \f(φ,ω) f(x) 0 A 0 －A 0 第二步：在同一坐标系中描出各点． 第三步：用光滑曲线连接这些点，形成图象. 用“五点法”画出函数y＝sin eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x－\f(π,6))) (x∈R)的图象． 解：令X＝2x－ eq \f(π,6) ，则x变化时，y的值如下表： X 0 eq \f(π,2) π eq \f(3π,2) 2π x eq \f(π,12) eq \f(π,3) eq \f(7π,12) eq \f(5π,6) eq \f(13π,12) y 0 1 0 －1 0 描点画图： 因为函数的周期为π， 所以将函数在 eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(π,12)，\f(13π,12))) 上的图象向左、向右每次平移π个单位，即得y＝sin eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x－\f(π,6))) (x∈R)的图象． 题型二　三角函数图象的平移变换 [例2]　要得到函数y＝sin eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(4x－\f(π,3))) 的图象，只需要将函数y＝sin 4x的图象(　　) A．向左平移 eq \f(π,12) 个单位 B．向右平移 eq \f(π,12) 个单位 C．向左平移 eq \f(π,3) 个单位 D．向右平移 eq \f(π,3) 个单位 解析：因为y＝sin eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(4x－\f(π,3))) ＝sin eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(4\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(π,12))))) ， 所以只需要将函数y＝sin 4x的图象向右平移 eq \f(π,12) 个单位，故选B. 答案：B [反思感悟] 对平移变换应先观察函数名是否相同，若函数名不同则先化为同名函数．再观察x前系数，当x前系数不为1时，应提取系数确定平移的单位和方向，方向遵循左加右减，且从ωx→ωx＋φ的平移量为 eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(\f(φ,ω))) 个单位． 1．本例中函数y＝sin eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(4x－\f(π,3))) 变为y＝cos eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(4x－\f(π,6))) ，其他不变，则答案应选择哪一个？(　　) 解析：∵y＝cos eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(4x－\f(π,6))) ＝cos eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,6)－4x)) ＝sin eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)－\f(π,6)＋4x)) ＝sin eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(4x＋\f(π,3))) ＝sin eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(4\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(π,12))))) ， 所以只需将y＝sin 4x的图象向左平移 eq \f(π,12) 个单位．故选A． 答案：A 2．将函数y＝－sin eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,3)－\f(x,2))) ＋1向左平移 eq \f(2π,3) 后，再向下平移一个单位后得到函数g(x)的图象，则g(x)的解析式为________________________． 答案：g(x)＝sin eq \f(x,2) 题型三　三角函数图象的伸缩变换 [例3]　把函数y＝sin eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(3x－\f(π,4))) 的图象向左平移 eq \f(π,3) 个单位长度，再把所得图象上各点的横坐标扩大为原来的2倍，所得函数的解析式记为g(x). (1)求g(x)； (2)求函数g(x)的单调递减区间； (3)求g(x)取最小值时自变量x的集合． 解析：(1)法一：把函数y＝sin eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(3x－\f(π,4))) 的图象向左平移 eq \f(π,3) 个单位长度，可得y＝sin eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(3\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(π,3)))－\f(π,4))) 的图象，即函数解析式为y＝sin eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(3x＋\f(3π,4))) ，再把所得图象上各点的横坐标扩大为原来的2倍，可得g(x)＝sin eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,3)x＋\f(3π,4))) 的图象，故g(x)＝sin eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,3)x＋\f(3π,4))) . 法二：设f(x)＝sin eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(3x－\f(π,4))) ，把f(x)的图象向左平移 eq \f(π,3) 个单位得到y＝f eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(π,3))) ，再把y＝f eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(π,3))) 图象上各点的横坐标扩大为原来的2倍(纵坐标不变)，可得g(x)＝f eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)x＋\f(π,3))) . ∵f(x)＝sin eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(3x－\f(π,4))) ， ∴g(x)＝f eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)x＋\f(π,3))) ＝sin eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(3\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)x＋\f(π,3)))－\f(π,4))) ＝sin eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,3)x＋\f(3π,4))) . 故g(x)＝sin eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,2)x＋\f(3π,4))) . (2)∵g(x)＝sin eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,2)x＋\f(3π,4))) ，令t＝ eq \f(3x,2) ＋ eq \f(3π,4) ， 则y＝sin t的单调递减区间是 eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(2kπ＋\f(π,2)，2kπ＋\f(3π,2))) ，k∈Z 由2kπ＋ eq \f(π,2) ≤ eq \f(3x,2) ＋ eq \f(3π,4) ≤2kπ＋ eq \f(3π,2) ， 得 eq \f(4kπ,3) － eq \f(π,6) ≤x≤ eq \f(4kπ,3) ＋ eq \f(π,2) ，k∈Z. 即函数g(x)的递减区间是 eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(4kπ,3)－\f(π,6)，\f(4kπ,3)＋\f(π,2))) ，k∈Z. (3)由 eq \f(3x,2) ＋ eq \f(3π,4) ＝2kπ－ eq \f(π,2) ，k∈Z， 即x＝ eq \f(4kπ,3) － eq \f(5π,6) ，k∈Z时，g(x)取到最小值， 此时x的集合为 eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x\b\lc\|(\a\vs4\al\co1(x＝\f(4kπ,3)－\f(5π,6)，k∈Z)))) . [反思感悟] 1．三角函数图象伸缩变换的方法 y＝f(x)＝sin (ωx＋φ) eq \o(————————————→,\s\up17(横坐标变为原来的n倍),\s\do15(纵坐标不变)) y＝f eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(x,n))) ＝sin eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(ωx,n)＋φ)) . 即由y＝sin (ω1x＋φ)得到y＝sin (ω2x＋φ)的图象，应将横坐标变为原来的 eq \f(ω1,ω2) 倍，纵坐标不变． 2．由y＝sin (ωx＋φ)(ω>0)研究函数的单调性、最值等，把ωx＋φ看作一个整体，结合正弦函数的性质来完成． 将y＝f(x)的图象上所有点的横坐标缩短到原来的 eq \f(1,2) 倍(纵坐标不变)，然后再将整个图象沿x轴向右平移 eq \f(π,2) 个单位，得到的曲线与y＝sin x的图象相同，则函数y＝f(x)的周期为________，最大值为________． 答案：4π　1 课堂小结] 由y＝sin x的图象，通过变换可得到函数y＝sin (ωx＋φ)(ω>0)的图象，其变化途径有两条 (1)y＝sin x eq \o(——→,\s\up17(相位),\s\do15(变换)) y＝sin (x＋φ) eq \o(——→,\s\up17(周期),\s\do15(变换)) y＝sin (ωx＋φ). (2)y＝sin x eq \o(——→,\s\up17(周期变换)) y＝sin ωx eq \o(——→,\s\up17(相位变换)) y＝sin eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1( ω\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(φ,ω))))) ＝sin (ωx＋φ). [提醒] 两种途径的变换顺序不同，其中变换的量也有所不同 (1)是先相位变换后周期变换，平移|φ|个单位． (2)是先周期变换后相位变换，平移 eq \f(|φ|,ω) 个单位，这是很易出错的地方，应特别注意． $