第1章 4.3,4.4 诱导公式与对称&诱导公式与旋转（课件PPT）-【金榜题名】2025-2026学年高一数学必修第二册高中同步学案（北师大版）

该高中数学课件聚焦三角函数诱导公式，通过单位圆上点的对称关系（如α与-α、π±α）和旋转关系（如α+π/2）设计问题链，搭建从三角函数定义到公式推导的学习支架，衔接课前预习与课堂互动。 其亮点在于以问题驱动诱导公式推导，培养逻辑推理素养，通过分层题型（求值、化简证明、综合应用）强化数学运算，课堂小结提炼“三看”策略。学生能提升公式应用能力，教师可依托结构化资源高效教学。

第一章　三角函数 第一章　三角函数 必修第二册 数学 §4　正弦函数和余弦函数的概念及其性质 4.3　诱导公式与对称　 4.4　诱导公式与旋转 第一章　三角函数 必修第二册 数学 目录 contents Part 01 课 前 预 习 课 堂 互 动 Part 02 课时作业（六） Part 03 第一章　三角函数 必修第二册 数学 第一章　三角函数 必修第二册 数学 课 前 预 习 第一章　三角函数 必修第二册 数学 第一章　三角函数 必修第二册 数学 第一章　三角函数 必修第二册 数学 第一章　三角函数 必修第二册 数学 第一章　三角函数 必修第二册 数学 第一章　三角函数 必修第二册 数学 第一章　三角函数 必修第二册 数学 第一章　三角函数 必修第二册 数学 第一章　三角函数 必修第二册 数学 第一章　三角函数 必修第二册 数学 第一章　三角函数 必修第二册 数学 第一章　三角函数 必修第二册 数学 第一章　三角函数 必修第二册 数学 第一章　三角函数 必修第二册 数学 课 堂 互 动 第一章　三角函数 必修第二册 数学 第一章　三角函数 必修第二册 数学 第一章　三角函数 必修第二册 数学 第一章　三角函数 必修第二册 数学 第一章　三角函数 必修第二册 数学 第一章　三角函数 必修第二册 数学 第一章　三角函数 必修第二册 数学 第一章　三角函数 必修第二册 数学 第一章　三角函数 必修第二册 数学 第一章　三角函数 必修第二册 数学 第一章　三角函数 必修第二册 数学 第一章　三角函数 必修第二册 数学 第一章　三角函数 必修第二册 数学 第一章　三角函数 必修第二册 数学 第一章　三角函数 必修第二册 数学 第一章　三角函数 必修第二册 数学 第一章　三角函数 必修第二册 数学 第一章　三角函数 必修第二册 数学 课时作业（六） 点击进入word 第一章　三角函数 必修第二册 数学 谢谢观看 第一章　三角函数 必修第二册 数学 学习目标 素养要求 1．了解正(余)弦函数诱导公式的意义和作用． 2．理解诱导公式的推导过程． 3．灵活运用诱导公式进行化简、求值和证明． 1．通过诱导公式的推导，培养逻辑推理的核心素养． 2．通过诱导公式的应用，提升数学运算的核心素养． [自主梳理] 知识点一　诱导公式与对称 [问题1]　 如图．在平面直角坐标系中，设角α，－α，π＋α，π－α的终边与单位圆分别相交于点P，P1′，P2′，P3′，观察并思考． (1)P与P1′关于x轴有怎样的位置关系？ (2)P与P2′关于原点有怎样的位置关系？ (3)P与P3′关于y轴有怎样的位置关系？ 答：(1)关于x轴对称． (2)关于原点对称． (3)关于y轴对称． [问题2]　根据任意角正(余)弦函数的定义，并结合问题1的结论思考下面问题： (1)sin (－α)与sin α的值有何关系？cos (－α)与cos α的呢？ (2)sin (π＋α)与sin α的值有何关系？cos (π＋α)与cos α的呢？ (3)sin (π－α)与sin α的值有何关系？cos (π－α)与cos α的呢？ 答：借助单位圆，依据三角函数的定义和对称关系得sin (－α)＝－sin α，cos (－α)＝cos α，sin (π＋α)＝－sin α，cos (π＋α)＝－cos α，sin (π－α)＝sin α，cos (π－α)＝－cos α. 知识点二　诱导公式与旋转 [问题1]　 设锐角α的终边与单位圆交于点P(u，v)，将终边绕点O沿逆时针方向旋转 eq \f(π,2) 得到点P′，即α＋ eq \f(π,2) 的终边与单位圆交于点P′. (1)怎样用点P坐标表示点P′的坐标？ (2)sin eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α＋\f(π,2))) 与cos α的值有何关系？ cos eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α＋\f(π,2))) 与sin α的呢？ 答：(1)由平面几何的知识知P′的坐标为(－v，u). (2)依据三角函数的定义得sin eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α＋\f(π,2))) ＝cos α. cos eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α＋\f(π,2))) ＝－sin α. [问题2]　利用问题1中(2)的结论和－α与α的正(余)弦关系，探究 eq \f(π,2) －α与α三角函数值的关系？ 答：sin eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)－α)) ＝sin eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(π,2)＋(－α))) ＝cos (－α)＝cos α， 同理得cos eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)－α)) ＝sin α. ►知识填空 1．正(余)弦函数的诱导公式 　　　函数 角　　　 sin α cos α α＋2kπ(k∈Z) sin α cos α α＋π －sin α －cos α －α －sin α cos α π－α sin α －cos α α－π －sin α －cos α α＋ eq \f(π,2) cos α －sin α eq \f(π,2) －α cos α sin α 2．诱导公式的语言概括 除了关于－α的诱导公式sin (－α)＝－sin α和cos (－α)＝cos α，对于其他诱导公式中的角，都可以看作α＋ eq \f(nπ,2) ，其中n＝1，2，3，4k(k∈Z). 当n取奇数1或3时，公式的等号两边一个是正弦函数，另一个是余弦函数；当n取偶数2或4k(k∈Z)时，公式的等号两边都是正弦函数或都是余弦函数，其符号通常把α看成锐角时原三角函数的符号． [自主检验] 1．sin eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(19π,6))) 的值是(　　) A． eq \f(1,2) 　　　　　　　 B．－ eq \f(1,2) C． eq \f(\r(3),2) D．－ eq \f(\r(3),2) 答案：A 2．点A(sin 2 024°，cos 2 024°)在直角坐标平面上位于(　　) A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 答案：C 3．sin 95°＋cos 175°化简为(　　) A．sin 5° B．cos 5° C．0 D．2sin 5° 答案：C 4．已知sin (π＋α)＝－ eq \f(1,3) ，则cos eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α－\f(3π,2))) ＝____________． 解析：∵sin (π＋α)＝－sin α＝－ eq \f(1,3) ，∴sin α＝ eq \f(1,3) . ∴cos eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α－\f(3π,2))) ＝cos eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3π,2)－α)) ＝－sin α＝－ eq \f(1,3) . 答案：－ eq \f(1,3) 题型一　利用诱导公式求值 [例1]　(1)求sin (－1 200°)·cos 1 290°＋cos (－1 020°)·sin (－1 050°)的值； (2)已知cos eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α＋\f(π,6))) ＝ eq \f(3,5) ，求sin eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α＋\f(2π,3))) 的值． 解：(1)由题意知： 原式＝－sin (3×360°＋120°)·cos (3×360°＋210°) －cos (2×360°＋300°)·sin (2×360°＋330°) ＝－sin (180°－60°)·cos (180°＋30°) －cos (360°－60°)·sin (360°－30°) ＝sin 60°·cos 30°＋cos 60°·sin 30° ＝ eq \f(\r(3),2) × eq \f(\r(3),2) ＋ eq \f(1,2) × eq \f(1,2) ＝1. (2)∵α＋ eq \f(2π,3) ＝ eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α＋\f(π,6))) ＋ eq \f(π,2) ， ∴sin eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α＋\f(2π,3))) ＝sin eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α＋\f(π,6)))＋\f(π,2))) ＝cos eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α＋\f(π,6))) ＝ eq \f(3,5) . [反思感悟] 解决三角函数求值问题的策略 (1)首先要仔细观察条件式与所求式之间的关系，发现它们的互补、互余关系． (2)可以将已知式进行变形，向所求式转化，或将所求式进行变形，向已知式转化． 提醒：常见的互余关系有 eq \f(π,3) －α与 eq \f(π,6) ＋α， eq \f(π,4) ＋α与 eq \f(π,4) －α等；常见的互补关系有 eq \f(π,3) ＋θ与 eq \f(2π,3) －θ， eq \f(π,4) ＋θ与 eq \f(3π,4) －θ等． 求下列各式的值： (1) cos eq \f(25,3) π＋sin eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(15,4)π)) ； (2)sin 810°＋cos 360°. 解：(1)原式＝cos eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(8π＋\f(π,3))) ＋sin eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－4π＋\f(π,4))) ＝cos eq \f(π,3) ＋sin eq \f(π,4) ＝ eq \f(1,2) ＋ eq \f(\r(2),2) ＝ eq \f(\r(2)＋1,2) . (2)原式＝sin (2×360°＋90°)＋cos (360°＋0°)＝1＋1＝2. 题型二　利用诱导公式化简证明 [例2]　证明： eq \f(sin (－2π－α)cos (6π－α),sin \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α＋\f(3,2)π))cos \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α＋\f(3,2)π))) ＝1. 证明：左边 ＝ eq \f(sin (－α)·cos (－α),sin \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(2π－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)－α))))·cos \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(2π－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)－α))))) ＝ eq \f((－sin α)·cos α,sin \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)－α))))·cos \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)－α))))) ＝ eq \f(－sin α·cos α,－sin \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)－α))·cos \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)－α))) ＝ eq \f(－sin α·cos α,－cos α·sin α) ＝1＝右边． [反思感悟] 三角恒等式证明策略 利用诱导公式证明等式问题，关键在于公式的灵活应用，其证明的常用方法有 (1)从一边开始，使得它等于另一边，一般由繁到简． (2)左右归一法，即证明左右两边都等于同一个式子． (3)针对题设与结论间的差异，有针对性地进行变形，以消除差异． 化简： eq \f(cos \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3π,2)－α))·sin \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)－α))·sin \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)＋α)),cos \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(5π,2)－α))·sin \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(3π,2)－α))) 解析：原式＝ eq \f((－sin α)·cos α·cos α,cos \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2π＋\f(π,2)－α))\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－sin \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(π＋\f(π,2)＋α))))) ＝ eq \f(－sin α·cos α·cos α,sin α·cos α) ＝－cos α. 题型三　诱导公式的综合应用 [例3]　设角α的终边与单位圆交于点P eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(m，\f(\r(15),4))) 且α为第二象限角，求 eq \f(sin\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1( α－\f(π,2))),sin (π＋α)－sin \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3π,2)－α))＋1) 的值． 解：由题意知m2＋ eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(15),4))) eq \s\up20(2) ＝1，解得m2＝ eq \f(1,16) ， 因为α为第二象限角，故m<0，所以m＝－ eq \f(1,4) ， 所以sin α＝ eq \f(\r(15),4) ，cos α＝－ eq \f(1,4) . 原式＝ eq \f(－cos α,(－sin α)－(－cos α)＋1) ＝ eq \f(\f(1,4),－\f(\r(15),4)－\f(1,4)＋1) ＝－ eq \f(3＋\r(15),6) . [反思感悟] 诱导公式综合应用要“三看” 一看角：①化大为小；②看角与角间的联系，可通过相加、相减分析两角的关系． 二看函数名称：一般是正弦、余弦互化． 三看式子结构：通过分析式子，选择合适的方法，如分式可对分子分母同乘一个式子变形． 已知f(x)＝ eq \f(sin (π－x)cos (π＋x)cos \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,2)π＋x))cos \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(7,2)π－x)),cos (3π－x)sin (π－x)sin (－π＋x)sin \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(5,2)π＋x))) . (1)化简f(x)； (2)求f eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(31,3)π)) . 解：(1)f(x)＝ (2)f eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(31,3)π)) ＝ eq \f(sin \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(31,3)π)),cos \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(31,3)π))) ＝ eq \f(－sin \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(10π＋\f(π,3))),cos \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(10π＋\f(π,3)))) ＝ eq \f(－sin \f(π,3),cos \f(π,3)) ＝－ eq \r(3) . [课堂小结] 1．诱导公式反映了各种不同形式的角的三角函数之间的相互关系，并具有一定的规律性，要记准用活． 2．诱导公式是三角变换的基本公式，其中角α可以是一个单角，也可以是一个复角，应用时要注意整体把握、灵活变通． 3．利用诱导公式求任意角的正弦、余弦函数值，常采用“负角化正角，大角化小角，最后转化成 eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2))) 内的三角函数值”这种方式求解． $